POLYGONES ET POLYEDRES

CHAPITRE V
POLYGONES
ET POLYEDRES
La Géométrie ne nous intéresse que par ses interférences avec l’Algèbre. Pourtant, nous
essayons ici de concilier les « deux » géométries, plane et dans l’espace, trop souvent
enseignées séparément, avec toutes les difficultés, qu’une telle méthode comporte. Mieux,
c’est par « l’espace », que nous commençons, car les « deux dimensions » n’en sont qu’un
aspect très particulier !
40. Géométrie plane et géométrie dans l’espace.
Dans l’appréciation de notre Univers ont peut se contenter de 3 dimensions, car
la quatrième, le temps, n’est qu’une invention – ou plutôt une découverte – assez
récente : sa connaissance n’est, en tous cas, pas indispensable ici pour nous.
Dans notre vie quotidienne, nous rencontrons sans cesse des prismes et des
parallélépipèdes sans même nous en douter, bien souvent.
Ainsi, les cubes, les diverses boîtes d’emballage, à chaussures et autres, sont
tous des parallélépipèdes, qui dérivent
des polyèdres, et appartiennent donc
bien à la « géométrie dans l’espace ».
Notre géométrie plane à deux
dimensions, ne représente alors qu’un
ASPECT, qu’un extrait de cette
géométrie dans l’espace, mais ces deux
géométries répondent bien aux mêmes
lois, pour peu que l’on veuille bien se
souvenir de ceci : toute figure de la
géométrie plane n’est que la
projection d’une figure
correspondante de la géométrie dans
l’espace.
Et ce terme de projection peut presque être pris
dans un sens, disons photographique ; d’un cube
éclairé de l’extérieur, nous ne percevons, sur une
feuille de papier, donc en deux dimensions, que
l’ombre (fig. V-1).
Dans les projections photographiques, la position
de la source d’éclairage est indifférentes : pour
les projections géométriques, par contre, nous ajouterons encore l’obligation
Feuille de papier
Ombre
projetée
Cube
Source
de
lumière
Fig. V-1. La projection d’une figure de l’espace donne
une figure à deux dimensions.
angles droits
Fig. V-2. Les axes de projection
Sont perpendiculaires au plan
qui contient cette projection.

d’abaisser des perpendiculaires, qui formeront donc des angles droits de 90°
avec le plan à deux dimensions (fig. V-2) ; ces projections seront
ORTHOGONALES .
Dans cette transposition, un POINT ne sera plus que la trace, sur notre feuille de
papier, d’une droite élevée perpendiculairement (à cette feuille) ; de même, une
ligne ne sera que la trace, sur notre feuille de papier, d’un plan (toujours
perpendiculaire à cette feuille). (G)
Ces correspondances entre les « deux géométries », nous les avons résumées
dans le tableau V-A. Occupons-nous maintenant, surtout, des polygones inscrits
vers le bas de ce tableau.
41. Polygones réguliers.
Pour qu’un polygone soit régulier, il doit remplir essentiellement 2 conditions :
tous ses côtés seront égaux et deux côtés consécutifs (fig. V-4), quels qu’ils
soient, formeront entre eux, des angles égaux. Ces polygones prennent des noms
différents, suivant le nombre, théoriquement illimité, de leurs côtés :
 8 côtés donnent un octogone.
 6 côtés donnent un hexagone.
 5 côtés donnent un pentagone,
TABLEAU V-A (fig. V-3)
Géométrie dans l’espace Géométrie plane
Droite perpendiculaire Point
Dièdre Angle
Plan bissecteur de dièdre (partage
le dièdre en deux parties égales) Bissectrice d’angle (partage l’angle en deux parties égales)
Arête de dièdre Sommet de l’angle
Prisme Polygone
Parallélépipède Parallélogramme
Cube Carré
Cylindre droit Cercle
et d’autres encore…
Correspondance entre des figures de géométrie plane et de géométrie dans l’espace.
plans
perpendiculaires
droite
perpendiculaire
point
droite
dièdre
angle
polygone bissectrice de
dièdre
bissectrice
d’angle
cylindre droit
cercle
Fig. V-3. Les différentes traces laissées par les figures de l’espace dans un plan à deux dimensions.

et ainsi de suite.
angles
égaux
angles
égaux
côtés
égaux
côtés
égaux
hexagone régulier pentagone régulier
Fig. V-4. Des polygones réguliers ont des côtés égaux et des angles égaux entre ses côtés.
Pour connaître la somme
des angles d’un polygone
(surtout convexe), il faut
compter le nombre de ses
côtés, en retrancher deux et
multiplier ce résultat par
180°. Pour un octogone, on
trouvera 6 fois 180° =
1080°, pour un rectangle 2
fois 180° = 360°, pour un
triangle 1 fois 180° . (G)
Lorsqu’un polygone
régulier compte un nombre,
toujours plus grand de
côtés, on pourra confondre
ceux-ci avec le cercle, qui
lui est circonscrit, autrement dit, avec le cercle, qui touche tous ses sommets,
mais aucun de ses côtés. (voir fig. V-5)
42. Quadrilatères et leurs surfaces.
Les polygones à 4 côtés forment le groupe des quadrilatères qui englobent les
figures géométriques, les plus connues : parallélogrammes, rectangles, carrés,
losanges, trapèzes. Pour alléger notre texte, nous avons préféré résumer leurs
principales caractéristiques dans le tableau V-B ci-dessous
Nous ajouterons, tout juste, que le point de rencontre des diagonales du rectangle
et du carré sert également de centre au cercle, que l’on peut leurs circonscrire
(fig. V-7 ci-contre), comme à tout polygone régulier.
On remarquera que le carré pourrait être considéré comme provenant aussi bien
d’un rectangle, qui aurait ses 4 côtés égaux, que d’un losange, qui aurait l’un de
ses angles droits. La surface de ces quadrilatères, sauf le trapèze, s’obtient tout
points
de contact
Seule,
cette zone
distingue le côté
de la
circonférence
Fig. V-5. Lorsque le nombre de côtés d’un polygone augmente
ces côtés ne se distinguent plus guère de la circonférence
circonscrite.

simplement, en multipliant un côté par la hauteur, qui y aboutit. La hauteur, elle,
côtés du parallélogramme
côtés du losange
intersection
des diagonales
longueurs égales des diagonales
paralèlogramme
losange
côtés paralèles (les bases) angles droits côtés égaux
trapèze quelconque trapèze rectangle trapèze isocèle
Fig. V-6. Quelques quadrilatères et leurs principales propriétés.
sera la
distance la plus
courte, qui sépare
deux côtés opposés,
donc deux côtés
parallèles et par
« distance la plus
courte », on entend
une droite,
perpendiculaire, à la
fois,
à ces deux côtés (fig. V-8).
Il existe ainsi, au moins, deux
possibilités pour le calcul de telles
surfaces (fig. V-8 bis ci-dessous).
S = a.h = b.h’
Dans les rectangles et dans les
carrés, on pourra se borner à multiplier l’un par l’autre, deux côtés adjacents,
puisque, aussi bien, ces côtés sont perpendiculaires l’un à l’autre (tableau V-B).
perpendiculaire
Fig. V-8. La perpendiculaire à la droite
est la plus courte distance entre
deux droites parallèles.
même parallèlogramme
côté a hauteur h
côté b
côté h’
Fig. V-8 bis. La surface d’u parallèlogramme
peut se calculer de deux manières.
rectangle carré
intersection des diagonales
Fig. V-7. Les diagonales du carré se coupent à angle
droit.

Dans un trapèze, deux côtés seulement sont parallèles ; il n’existe alors qu’un
seul moyen de calculer sa surface ; mais laquelle des deux bases faudra-t-il alors
prendre comme « côté réel » ? En fait, aucune, mais plutôt leur valeur
moyenne (fig. V-9), autrement dit, la moitié de leur somme, soit
2
ba
+
et la
surface devient, dans ce cas,
2
ba
hS
+
=
43. Triangles et droites caractéristiques.
On n’a pas l’habitude de classer des triangles parmi les polygones, bien que
l’étymologie du terme polygone nous y
autorise bien.
Dans tout triangle, on peut tracer, au moins, 3
droites caractéristique (fig. V-10 ci-contre) :
 Les trois MÉDIANES , qui joignent chaque
sommet au milieu du côté opposé ; ces trois
médianes se coupent en un seul point, qui
sera le centre de gravité du triangle ; (G).
 Les trois MÉDIATRICES ,
perpendiculaires élevées au milieu de
chaque côté, et dont le point d’intersection, également unique, sera le centre
du cercle circonscrit (§ 41). Ce point de rencontre peut, d’ailleurs, se trouver
en dehors de la surface, délimité par les côtés du triangle ;
 Les trois HAUTEURS ou perpendiculaires, abaissées en partant de chaque
sommet sur le côté opposé (§ 42). Elles aussi, se rencontrent en un seul point,
qui peut se trouver en dehors du triangle, surtout si l’un de ses angles est
obtus (angle compris entre 90° et 180° ; les angles aigus, eux, sont inférieurs
à 90°).
TABLEAU V-B (fig. V-6)
Parallélogramme Losange Trapèze
Parallèle 2 à 2
Côtés Egaux
2 à 2 Egaux Tous les 4
2 côtés opposés
(les bases)
seulement sont
parallèles
Se coupent en leur milieu Diagonales
(droites, qui
joignent deux
sommets
opposés)
Et à angle
droit
Se coupent en
leur milieu,
dans les trapèzes
isocèles
seulement
Formes
particulières Rectangle Carré
ISOCÈLE :
lorsque deux
côtés non
parallèles sont
égaux
RECTANGLE :
lorsque l’un des
angles de chaque
base est droit.
base a
hauteur
base b
valeur moyenne
Fig. V-9. La surface du trapèze se calcule à
l’aide de la valeur moyenne des deux bases.