le groupe de brauer-grothendieck en géométrie diophantienne

Actes, Congrès intern, math., 1970. Tome 1, p. 401 à 411.
LE GROUPE DE BRAUER-GROTHENDIECK
EN GÉOMÉTRIE DIOPHANTIENNE
par Y. I. MANIN
Introduction.
Soit k un corps, [k: Q] < cq, "T une classe de variétés algébriques sur k. Soit VE "V
et soit kv un complété de k.
La première condition nécessaire pour l'existence d'un /c-point sur V est que, pour
tout v, V(kv) ne soit pas vide. Si pour tout VE"T cette condition est suffisante, on dit
que le principe de Hasse est vérifié par "T.
Si "T est la classe des espaces homogènes principaux sur une variété abélienne V0,
Cassels [1] et Tate ont donné une obstruction au principe de Hasse et cette obstruction
est effectivement calculable. Plus précisément, soit VE'V et soit bEH1(G, V0(k)) la
classe de cohomologie correspondante, où G = Gai (k/k). Si tous les V(kv) sont non
vides, b appartient au groupe de Chafarevitch-Tate LU(l/o)- Soit V0 la variété abélienne
duale de V0 et soit LU(Fo) x LLl(^o) ~* Q/Z l'accouplement canonique de Cassels-Tate.
Pour que V(k) soit non vide, il faut que la classe b de V appartienne au noyau (à gauche)
de cet accouplement.
Le premier but de cet exposé est de démontrer que l'utilisation du groupe de Brauer-
Grothendieck Br(F) de la variété V permet de construire une obstruction parfaitement
générale au principe de Hasse. En calculant cette obstruction pour différentes classes 'f9
nous obtenons tout d'abord une démonstration simple et unifiée d'une série de résultats
déjà connus. On obtient ainsi :
a) La forme de Cassels-Tate et la « suite duale » de Cassels [1, 2].
b) Le théorème de Voskresensky sur le groupe m pour les tores [14].
c) Les contre-exemples de Swinnerton-Dyer [12], de Mordell [9] et de Cassels et
de Guy [3] au principe de Hasse pour certaines surfaces cubiques.
La construction de l'obstruction est liée à l'existence d'un accouplement général
Br(F) x Z(V) -• Br(fe), où Z(V) est le groupe des cycles de dimension zéro sur V.
En appliquant cet accouplement lorsque V(k) est non vide, on peut obtenir des résultats
qui vont plus loin :
d) Des minorations pour le « rang » de la surface cubique V (nombre de points
de V(k) à partir desquels on peut construire tous les autres par la méthode « des sécantes
et des tangentes » ; voir [7]).
e) Un certain accouplement de Br(F) et du noyau d'Albanese dans le groupe de
Chow de dimension zéro, cet accouplement étant à valeurs dans Br(/c). Comme l'a
démontré récemment Mumford [10], le deuxième groupe est de dimension infinie si

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k = C9 dim V= 2 et pg(V) > 0. L'étude de ce groupe par voie arithmétique peut
présenter un intérêt.
Construction de l'obstruction.
Soit V une variété sur k et soit Br(K) son groupe de Brauer-Grothendieck (voir
Grothendieck [5]). A tout élément aeBr(7) et à tout point géométrique XEV(K\
K => k9 est attachée une spécialisation a(x) G Br(X). (Si a est la classe d'une algèbre
d'Azumaya A sur V9 a(x) est la classe de la fibre géométrique A(x)).
Supposons que k soit un corps de nombres et que V(kv) soit non vide pour tout v.
Soit V(A) l'espace des k-adèles de V.
Fixons un sous-groupe B de Br(7).
DéFINITION. — a) Les adèles (xv)9 (yv) e V(A) sont B-équivalents si
VaEB, Vu, a(xv) = a(yv) E Br(k0).
b) On désignera par E Vespace quotient de V(A) par la relation de B-équivalence.
c) Soit X e E ; on définit un caractère ix : B -• Q/Z par la formule
ix(à) = Z inv«(û(x J)>
V
où (xv) adèle quelconque de la classe X et où inv„ : Br(fey) <+ Q/Z est le plongement
classique (c'est un isomorphisme si v n'est pas archimédienne).
1. THéORèME DE L'OBSTRUCTION: V(k) c \J X c V(A).
ix=0
La démonstration est triviale : si l'adèle (xv) e X est un adèle principal et correspond
au point x G V(k), alors a(x) appartient à Br(fc) pour tout a E B et, par conséquent,
Z inv„a(x) = 0.
V
Si l'on choisit convenablement V et B, il se peut que ix # 0 pour tout X : alors V(k)
est vide, bien que V(A) soit non vide.
Avant de passer aux exemples, donnons quelques propriétés du groupe de Brauer-
Grothendieck Br(F).
Les fc-morphismes canoniques V -> k et V® k -> V induisent des homomorphis-
mes Br(fe) -> Bv(V) et Bv(V) -> Br(F(g) fe). Désignons par Br0(7) l'image du premier
homomorphisme et par Br^K) le noyau du deuxième.
La filtration
Br0(7) a Bv^V) œ Br2(V) = Br(F)
joue un rôle essentiel dans l'étude du groupe de Brauer. Il est évident que, quels que
soient B et X, on a B n Br0(F) c Ker ix. Ici, seuls les sous-groupes B contenus dans
BT^V) nous intéressent. C'est pourquoi il faut savoir calculer Br1(K)/Br0(F). Ce groupe
est décrit, dans une large mesure, par le résultat suivant, dans lequel on suppose que
V est une varité projective lisse :

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Soit VQ la variété d'Albanese de V, V0 la variété duale et NS le groupe de Nêron-
Severi.
2. THéORèME. — Si H3(G, k*) = 0, on a une suite exacte
Pic (V® k)G -+ NS(V®kf -+ H\G, V0(k)) A Br^VyB^V)
*> H\G, NS(V® k)) -+ H2(G, V0(k)).
Cas particuliers
a) Si H1 (G, NS(V® k)) = 0 (par exemple, si V est une courbe, ou, plus généralement,
si NS(V® k) est libre et G opère dessus de façon triviaje), il existe un épimorphisme à
noyau fini
Hl(G, V0(k)) A Br1(F)/Br0(F) - 0.
b) Si K0 = { 0}, alors Br^/B^V) s H\G, 1S[S(V® k)).
Pour la démonstration, nous aurons besoin de deux lemmes.
3. LEMME. — Br1(F)/Br0(F) s H\G, Pic(V®k).
Démonstration. — Soit k(Ç) le corps des fonctions rationnelles sur V® k. De la lissité
de V, on déduit facilement, par passage à la fibre générique, la suite exacte (cf. Grothen-
dieck [5], II) 0
-> Br,(V) -+ H2(G,k(Ç)*) -• H2(G, Div(V®k)).
On peut l'inclure dans le diagramme commutatif:
Br(/c) ^ Br(k)
1 i_
0 -» BTiiV) -> H2(G, fc(ö*) -> H2(G, Div (K® fc))
i i1
0 -• iî^G, Pic (F® k)) -+ H2(G, k(Ç)*/k*) -+ H2(G, Div (f ® A:))
i
H3(G, /c*) = 0
La ligne du bas de ce diagramme provient de la suite exacte de G-modules
0 -• k(Ç)*/k* -+ F)iv(V®k) -+ Pic(V®k) -+ 0,
tandis que la colonne provient de la suite 0 -• k* -> k(â)* ->• k(Ç)*fk* -*• 0.
En utilisant la partie gauche de ce diagramme, on obtient facilement le résultat
cherché. (Ce raisonnement a été utilisé par Lichtenbaum [6] dans le cas où V est une
courbe et où, par conséquent, BT^V) = Bv(V)).
Remarque. — La condition H3(G, k*) = 0 peut être remplacée par la suivante : V(k)
est dense pour la topologie de Zariski.
4. LEMME. — Pic°(V®k) = V0(k) en tant que G-modules.
Démonstration. •— Pic0 est le groupe des classes des diviseurs qui sont algébriquement
équivalents à zéro. L'application canonique a : V x V -> V0 induit un plongement
a*: Pic°(F0) -> Pic°(Fx V)\

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en outre, l'application L H> pfL ® p%L~^ (où pt'. Vx V -> F est la ième projection)
définit un plongement
ß*: Pic°(F) -> Pic°(Fx V).
On voit facilement que a* et ß* ont même image, formée des classes des faisceaux
inversibles sur V x V qui sont triviaux sur la diagonale. Ceci donne des isomorphismes
VQ(k) -* Pic°(F0) ; on a une construction analogue sur le corps k.
DéMONSTRATION DU THéORèME 2. — On l'obtient en considérant la suite exacte
de cohomologie associée à la suite de G-modules
0 -> Pic°(V®k) -+ Pic(V®k) -> NS(V®k) -> 0
et en appliquant les lemmes 3 et 4.
Applications. — Nous nous limiterons à deux exemples:
5. LA SURFACE DE SWINNERTON-DYER [12]. — Cette surface F est donnée par l'équa-
tion homogène sur g :
T2(T0 + T3)(TQ + 2T3) = fi (T0 + fl»7i + 0(f)2T2) (1)
i=l
où les 0(O sont les trois racines du polynôme O3 + 7(0 + l)2 = 0. On vérifie facilement
que V(Qp) et V(R) sont non vides. Soit K = Q(0). C'est une extension cubique normale ;
V® K est birationnellement équivalente à P\. On a donc Br(F) = Br^F) et VQ = 0.
Il découle du théorème 2 que
Br1(F)/Br0(F) = H1 (Gai K/k9 Pic (F® K)) ^ Z3 x Z3.
Étant donné que G0 = Gal(K/k) est cyclique, il est commode d'identifier BT(V) au
sous-groupe de Br(Q(Ç)) que voici :
Ker [H2(G09 K«)*) -+ ff2(G0, Div (F® K))]
S Ker [H°(G0f X(0*) -> H°(G0, Div (7® K))] c: /cfâVN^K^)*),
où ^ est un point générique de V.
Désignons par B le sous-groupe de Bv^V) engendré par les deux éléments de
k(Ç)*/NK/k(K(Ç)*) représentés par les fonctions
, T0 + T3 , _T0 + 2T3
Jl ~ rp > J2 rp
J3 ^3
(Leurs diviseurs sont des normes, comme on le voit sur l'équation (1) ; c'est pourquoi
les cocycles fonctionnels correspondants se décomposent dans la cohomologie à
coefficients dans Div (V). Un calcul facile montre que Bv(V) est engendré par Br0(F)
et B).
Une étude locale élémentaire permet d'établir le fait suivant :
PROPOSITION. — a) Soit XEV(R) OU V(Qp)9 avec p^l, T3(T0 + T3)(T0 + 2T3)(x)^0.
Alors
invv(fi(x)) = invv(f2(x)) = 0.
b) Soit XE V(Q7). Alors, ou bien inv7(fl(x)) ^ 0, ou bien m\1(f2(x)) # 0.

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Le résultat relatif à Q7 provient de ce que 7 est complètement ramifié dans K, et
fi(x) et /2W doivent être des unités locales, tandis que f2(x) — ft(x) = 1. Mais les nor-
mes des unités locales sont congrues à ± 1 (mod. 7) et leur différence ne "peut donc
être égale à 1.
COROLLAIRE. — L'ensemble V(Q) est vide.
En effet, il découle clairement de la proposition précédente que, pour tout adèle
(xv) E V(A), on a £ invX/lM) ^ 0 ou £ mvv(f2(x)) ï 0.
V V
On peut interpréter de la même façon les contre-exemples de Mordell [9] qui cons-
tituent plusieurs séries infinies.
L'exemple plus fin de Cassels et Guy [3] rentre aussi dans notre schéma général
mais non sans quelques difficultés. Pour les détails, voir [7].
VARIéTéS ABéLIENNES. — Soit V un espace homogène principal sur une variété abé-
lienne V0 et soit bEH1(G, V0(k)) sa classe de cohomologie, où G = Gai (k/k). Si tous
les V(kv) sont non vides, alors bE 111(^0)-
Choisissons maintenant le sous-groupe B de Br(7). L'obstruction la plus écono-
mique est obtenue si l'ensemble E = V(A) mod B est composé d'une seule classe, autre-
ment dit si, pour tout a e B, la spécialisation a(xv) ne dépend pas du choix de xv dans
V(kv). Pour cela, il suffit que a ® k0 eBr0(F® kv) pour tout v; dans ce cas, l'obstruc-
tion est alors l'homomorphisme i: B -> Q/Z défini par
i(a) = £ inv„(fl(xy)).
V
En particulier, le théorème 2 montre qu'on peut prendre pour B le groupe suivant :
B^p-'ocpmVo)), (2)
où p ; Br(F) -• Br(F)/Br0(F) est l'épimorphisme canonique.
Dans ces conditions, on a
6. THéORèME. — Soit üEB, p(a) = cp(a'), a'E LU(K0), et soit bE [U(V0) la classe de
l'espace V. On a alors i(a)
= <:b,a'yEQ/Z,
où < , > est la forme de Cassels-Tate lil(F0) x LU(F0) -> Q/Z.
La démonstration s'obtient par une simple comparaison de deux définitions (cf. la
proposition 8 c) ci-dessous, qui contient l'idée centrale des calculs).
Remarques.
a) Regardons ce que l'on obtient si on construit l'obstruction à l'aide d'un sous-
groupe plus grand que le groupe (2). Ceci a une raison d'être si l'obstruction précédente
est nulle, ou, autrement dit, si (classe JOeL-K^t)),
avec
les notations de Cassels [2].
Posons alors B'= p-1 o cp(H1(G, V0(k)). Il est évident que pour toute classe
X E V(A) mod B', nous avons B E Ker ix, où B est défini par (2). Chaque classe X
définit donc un caractère
i'x: B'/B = H\G9 FoW)/UJ(?o) - Q/Z