Exercice 1 - Collège GYPTIS

Exercice 1 : Calculer en détaillant les calculs. On donnera le résultats sous forme de
fraction irréductible pour A et d'écriture scientifique pour B.
−3 7 −3
 ÷

A=
4 4
5
A=
0,36×10−5×8
B=
−4
9
6×10 ×2×10 
−3 7
5
 ×

4 4 −3
B=
0,36×8
10−5
×

−4
9
6×2
10 ×10 
−3 35

A=
4 −12
0,36×8
10−5
×

B=
−4
9
6×2
10 ×10 
−9 −35

A=
12 12
B = 0,24×
A=
−44
−11
=
12
3
10−5

105
B = 0,24×10−5×10−5
B = 2,4×10−1×10−5 ×10−5
B = 2,4×10−11
Exercice 2 : On donne l'expression D = ( 5x – 2 )² + ( x + 1 )( 5x – 2 )
1°) Développer et réduire D
D = ( 5x – 2 )² + ( x + 1 )( 5x – 2 )
D = ( (5x)² – 2 × 5x× 2 + 2² ) + ( 5x² – 2x + 5x – 2 )
D = 25x² – 20x + 4 + 5x² + 3x – 2
D = 30x² – 17x + 2
2°) Factoriser D
D = ( 5x – 2 ) ( ( 5x – 2 ) + ( x + 1 ) )
D = ( 5x – 2 ) ( 5x – 2 + x + 1 )
D = ( 5x – 2 ) ( 6x – 1 )
3°) Résoudre l'équation ( 5x – 2 ) ( 6x – 1 ) = 0
( 5x – 2 )( 6x – 1 ) = 0 si et seulement si
5x – 2 = 0 ou 6x – 1 = 0
5x = 2
2
x=
5
L'équation a deux solutions
1
2
et
.
6
5
ou 6x = 1
1
ou x =
6
4°) Calculer la valeur de D pour x = 0,4 puis pour x = 1.
Pour calculer la valeur de D on remplace x par sa valeur chiffrée puis on réalise le
calcul en respectant les priorités.
On peut utiliser les trois expressions de D, celle de l'énoncé, celle
obtenue en
développant ou celle obtenue en factorisant. Par sécurité, il vaut mieux utiliser
celle de la consigne.
D =( 5x – 2 )² + ( x + 1 )( 5x – 2 )
pour x = 0,4
D
D
D
D
=
=
=
=
( 5 × 0,4 – 2 )² + ( 0,4 + 1 )( 5 × 0,4 – 2 )
( 2 – 2 )² + 1,4 × ( 2 – 2 )
0² + 1,4 × 0
0+0=0
pour x = 1
D
D
D
D
=
=
=
=
( 5 × 1 – 2 )² + ( 1 + 1 )( 5 × 1 – 2 )
( 5 – 2 )² + 2 × ( 5 – 2 )
3² + 2 × 3
9 + 6 = 15
Exercice 3 : Un collège organise un tournoi sportif par équipe pour tous ses élèves.
Chaque équipe doit comporter le même nombre de filles et le même nombre de garçons.
Les professeurs souhaitent constituer le plus grand nombre possible d'équipes.
Il y a 210 filles et 294 garçons.
1. Quel est le plus grand nombre d'équipes que l'on peut constituer ?
Le plus grand nombres d'équipes pouvant être constituées dans les
conditions citées ci-dessus est donné par le PGCD de 210 et 294.
En utilisant l'algorithme de la division
294 = 210 × 1 + 84
210 = 84 × 2 + 42
84 = 42 × 2 + 0
Le PGCD de 210 et 294 est donc de 42. On peut constituer 42 équipes.
2. Combien y-a-t-il alors de filles et de garçons dans chaque équipe ?
210 = 42 × 5
et 294 = 42 × 7
Il y aura donc 5 filles et 7 garçons par équipes.
Exercice 4 : Sur la figure ci-contre qui n'est pas en vraie grandeur :
MO = 21mm; MA = 27 mm; MU = 28 mm et AI = 45 mm.
Les droites (OU) et (AI) sont parallèles.
Calculer les longueurs MI et OU.
Les triangles MOU et MAI sont en configuration du théorème de Thalès puisque U,
M et I ainsi que A, M et O sont alignés et que les droites (OU) et (AI) sont
parallèles.
On en déduit que :
MI MA AI
=
=
UM MO UO
d'où
MI 27 45
=
=
28 21 UO
On en tire les deux expressions suivantes :
MI 27
=
28 21
MI × 21 = 27× 28
27×28
MI =
= 36 mm
21
27 45
=
21 UO
UO × 27 = 21× 45
21×45
UO =
= 35 mm
27
Exercice 5 : Un astronome vient de découvrir deux planètes,Magnus et Minus, chacune
des deux étant assimilée à une sphère. On sait que le rayon de Magnus est de 2 832
km.
1. Calcule le volume de la planète Magnus et donner le résultat en notation
scientifique.
V=
4
4
×pi×R 3 =
×pi×2 832 3 ≈ 9,5141×1010 km3
3
3
2. Le volume de la planète Minus vaut exactement
Magnus. Calcule le volume de la planète Minus.
1
de celui de la planète
8
1
× volume de Magnus
8
9,5141×10 10
Volume de Minus ≈
≈ 1,189×1010 km3
8
Volume de Minus =