K-THEORIE EQUIVARIANTE D`ESPACES

K-THEORIE EQUIVARIANTE D’ESPACES VECTORIELS ET D’ESPACES
PROJECTIFS REELS
Par Max Karoubi
Dans leurs recherches sur un théorème de l’indice pour les variétés à coins, Pierre-Yves
Le Gall et Bertrand Monthubert [9] ont été amenés à étudier le groupe de K-théorie équivariante
K*| (R n ), où le groupe | n symétrique opère naturellement sur R n par permutation des
n
coordonnées. Soit pn le nombre de partitions de n du type n = λ1 + ... + λ2k avec
1 ≤ λ < ... < λ
1
2k
et soit i le nombre de partitions de n du type n = λ + ... + λ
avec
n
1
2k+1
1 ≤ λ < ... < λ
1
2k+1
A l’aide de la version du caractère de Chern équivariant due à Baum et Connes [4], un résultat
n
démontré dans [9] est par exemple le calcul du rang du groupe de type fini K*| (R ) : il est égal
n
à pn en dimension 0 et à in en dimension 1 (il s’agit ici de la K-théorie complexe qui est une
théorie cohomologique équivariante périodique de période 2). Dans cet article, nous démontrons
un résultat général qui complète celui-ci en montrant notamment que ces groupes de K-théorie
sont libres de type fini (théorème 1.1). Nous profitons de cette occasion pour améliorer des
théorèmes énoncés dans [1], [6] et [7], en relation avec les méthodes précédentes. Nous
explicitons notamment la K -théorie d’espaces vectoriels et d’espaces projectifs réels, G étant
G
un sous-groupe fini quelconque du groupe orthogonal O(n). Inversement, ces calculs de nature
topologique impliquent des résultats algébriques sur le nombre de classes de conjugaison de G
qui se décomposent dans une extension centrale (cf. 2.12 par exemple).
De manière précise, les résultats de cet article sont organisés de la manière suivante :
dans le premier paragraphe nous déterminons la K-théorie équivariante K (V) où G est un
G
groupe fini opérant sur un espace vectoriel réel V de dimension finie. Du théorème général 1.8,
nous déduisons facilement le théorème de Le Gall et Monthubert pour G = | n . Dans le
deuxième paragraphe, nous interprétons algébriquement une partie des résultats précédents
∼
grâce au revêtement à deux feuillets du groupe G par le “groupe de Schur” G ; celui-ci est
l’image réciproque du revêtement classique du groupe orthogonal O(n) par le groupe Pin(n)
(théorèmes 2.11 et 2.14). Enfin, dans le troisième paragraphe, nous revenons à la topologie en
déterminant le groupe de K-théorie équivariante K (P(V)), où P(V) est l’espace projectif réel de
G
V (théorème 3.4). Ce calcul permet de retrouver par des méthodes topologiques le théorème
2.14. En particulier, dans le § 3.11, nous déterminons complètement la K-théorie de l’algèbre
produit croisé|n ©␣␣C(Rn), où C(Rn) est l’algèbre de Clifford de Rn.
1
1. K-théorie équivariante d’espaces vectoriels réels.
1.1. THEOREME. Soit G un groupe fini quelconque opérant linéairement sur un espace
*
vectoriel réel V de dimension finie. La K-théorie équivariante complexe KG
(V) est alors un
n
Z-module libre de type fini. En particulier, si G = |n et V = R , on a
n
p
i
0
KG(R ) = Z n et K 1 (Rn) = Z n
G
1.2. Ce théorème est en fait une conséquence du théorème 1.8 démontré plus loin (qui implique
aussi le théorème de Le Gall et Monthubert mentionné dans l’introduction) et d’un théorème
plus général sur la K-théorie équivariante de l’espace de Thom d’un fibré vectoriel réel V de
base un espace compact X (cf. [1] et [7]). Dans ce contexte, X est un G-espace et G opère sur V
de manière linéaire, compatible avec l’action de G sur X. On peut alors munir V d’une métrique
définie positive invariante par l’action de G et considérer le fibré en algèbres de Clifford C(V)
V
associé à cette métrique ; le groupe G y opère aussi de manière naturelle. On note eG(X) la
catégorie des fibrés vectoriels E où opèrent simultanément le groupe G et le fibré en algèbres de
Clifford C(V) ; ces deux actions sont compatibles entre elles grâce à la formule
g*(a.e) = (g*a).(g*e)
où le symbole * (resp. .) désigne l’action de G (resp. de C(V)). Si X est réduit à un point, cette
V
catégorie est notée simplement eG .
V
La méthode développée dans [8] § 1 permet de montrer que eG(X) est équivalente à la
∼
∼
catégorie des modules projectifs de type fini sur l’algèbre produit croisé G © C(V), où C(V) est
l’algèbre des sections continues du fibré C(V). Par ailleurs, si “1” désigne le fibré trivial de
rang 1 sur X (avec action triviale de G), on a un foncteur “restriction des scalaires”
V⊕1
ϕ : eG (X) zzc
V
e
(X)
G
Le théorème suivant est démontré dans [7] (en K-théorie réelle aussi bien que complexe).
*
(V) est naturellement isomorphe au groupe de
1.3. THEOREME. Le groupe KG
Grothendieck K*(ϕ) associé au foncteur banachique ϕ. Si c ’ désigne la catégorie
V⊕1
e
G
V
(X) et c la catégorie eG(X) , on a donc la suite exacte
i
Ki-1(c’) zzc Ki-1(c) zzc KG(V) zzc Ki(c’) zzc Ki(c)
2
1.4. Supposons maintenant que X soit réduit à un point. La catégorie c (et bien entendu c’) est
alors semi-simple (toute suite exacte est scindée) ; elle est donc équivalente à une catégorie de
modules sur une algèbre semi-simple, c’est-à-dire produit d’algèbres de matrices sur C dans le
cas complexe, sur R, C ou H dans le cas réel. Dans le cas complexe, il en résulte que K0(c’)
0
1
0
est libre de type fini et que K ( c ) = 0. Par conséquent, KG(V) = K ( ϕ ) =
-p
0
0
Ker[K (c’) zzc␣K (c)] est libre de type fini. Plus généralement, KG (V) est le groupe de
Grothendieck du foncteur restriction des scalaires
V⊕p ⊕1
e
G
(X) zzc
e
V⊕p
G
(X)
1
où “p” représente le fibré trivial de rang p, avec action triviale de G. Le groupe KG(V) =
-p
KG (V) pour p impair (dans le cas complexe) est donc libre lui aussi par le même argument. Le
théorème 1.1 résulte immédiatement de ces considérations et du théorème de Le Gall et
Monthubert (voir aussi 1.8).
1.5. Remarque. Supposons que G opère sur V par des automorphismes de déterminant +1 et
que le rang n de V soit pair, égal à 2r. Si e , ..., e est une base orthonormale de V, le produit
1
n
r
(i) e1. .. en dans l’algèbre de Clifford C(V) est de carré +1 et anticommute à chaque eα. Il en
V⊕1
résulte que la catégorie eG (X) se scinde en le produit
V⊕1
ϕ : eG (X) zzc
V
V
(X) x eG(X), le foncteur
G
e
V
e
i
(X) s’identifiant alors au foncteur “somme”. Le groupe KG(V) est
G
V
donc isomorphe au groupe Ki de la catégorie de Banach eG(X). En particulier, si X est réduit à
1
un point, le groupe KG(V) est identiquement nul, en contraste avec le théorème 1.1. Dans le cas
de la K-théorie réelle (et toujours X réduit à un point), le même raisonnement montre que les
i
groupes KG(V) sont nuls si i ≠ 1 mod. 4 et libres de type fini si i ≠ 0 mod. 4.
i
1.6. Il reste à déterminer de manière plus précise le rang des groupes KG(V), du moins dans le
cas de la K-théorie complexe, pour G quelconque. Pour cela, nous pouvons utiliser
l’isomorphisme de Baum-Connes [4][9] entre la K-théorie équivariante tensorisée par C d’une
part et la cohomologie équivariante complexe “délocalisée” d’autre part. De manière précise,
soit <G> l’ensemble des classes de conjugaison de G et soit g , ..., g un système de
1
p
*
représentants. D’après [4], l’espace vectoriel KG
(V) * C est isomorphe à la somme directe
suivante d’espaces de cohomologie
*
KG
(V) * C =
g
i
Hc*(V /Cg ; C)
⊕
i
gi∈<G>
0
où C désigne le centralisateur de g (les groupes de cohomologie pairs contribuant pour KG et
g
i
i
1
les groupes impairs pour KG).
3
1.7. Posons maintenant la définition suivante : la classe de conjugaison <gi> est dite paire (resp.
g
impaire) si la dimension de V i est paire ≠ 0 (resp. impaire). Elle est dite orientée1 si tous les
g
éléments de Cg opèrent sur V i avec la même orientation.
i
0
1
1.8. THEOREME. Le groupe KG(V) (resp. KG (V)) est un Z-module libre de rang égal au
nombre de classes de conjugaison g orientées paires (resp. impaires).
i
g
i
*
Démonstration. La cohomologie Hc (V /Cg ; C) s’identifie à la cohomologie en degré q =
i
g
q
dim(V i) de S /Γ , où Γ = C
. Il est facile de voir que celle-ci s’identifie à la partie invariante de
gi
H q(Sq) par l’action de Γ. Elle est donc de dimension 1 si gi est une classe de conjugaison
orientée et 0 sinon, d’où le théorème.
1.9. Remarque. Si G = | n , le théorème de [9] énoncé au début en résulte aisément, en
analysant l’action (orientée ou non) des éléments de Cg sur Vgi.
i
1.10. Revenons aux notations de 1.2. Si T est un espace de représentations spinorielles de G de
W
T⊕W
dimension paire 2r, les catégories eG et eG sont alors équivalentes. En effet, soit M un
C(T)-module irréductible et soit σ : G zzc Spin(T) un relèvement de l’homomorphisme
σ : G zzc␣O(T), O(T) désignant le groupe orthogonale de T. L’équivalence de catégories φ :
W
zzc
G
e
e
T⊕W
G
W
est alors définie en associant à un objet E de eG l’objet M
*
E de
T⊕W
e
G
.
Dans cette formule, G opère sur M via la représentation σ ; l’action de l’algèbre de Clifford
C(T ⊕ W) se déduit de l’homomorphisme T ⊕ W zzc End(M * E) défini ainsi
(t, w) € t * 1 + ε * w
r
où ε = i e ...e2
1
r
et (eα ) une base orthonormale orientée de T. Remarquons que cette
équivalence φ s’étend aux catégories de modules gradués. On en déduit les isomorphismes
0
0
1
KG(W) – KG(T ⊕ W) et KG(W)
théorème algébrique suivant.
–
1
KG(T ⊕ W) d’après le théorème 1.3. Il en résulte le
1.11. THEOREME. Pour tout G-module W désignons par a0 (W) (resp. a 1 (W) l e
nombre de classes de conjugaison g orientées paires (resp. impaires) avec les notations de
i
1.7. Considérons par ailleurs deux G-modules V et V’ de même dimension tels que w (V)
1
= w1 (V’) et w2 (V) = w2 (V’), où w1 et w2 sont les deux premières classes2 de StiefelWhitney des G-modules V et V’. On a alors a0(V) = a0(V’) et a1(V) = a1(V’).
1 On peut dire aussi positivement orientée , si l’on veut se conformer aux conventions utilisées plus loin dans
l’article (cf. 3.3).
2 appartenant donc à Hi(G ; Z/2) avec i = 1, 2.
4
Démonstration. D’après 1.10, il suffit de trouver deux espaces de représentations spinorielles
T et T’ de dimensions paires tels que V ⊕ T soit isomorphe à V’⊕ T’. Pour cela, on choisit
T = V ⊕ V ⊕ V’ ⊕ V’ et T’ = V ⊕ V ⊕ V ⊕ V’
Les espaces de représentations T et T’ sont bien spinoriels, car leurs deux premières classes de
Stiefel-Whitney sont nulles.
1.12. Remarque sur les opérations cohomologiques en K-théorie complexe. Pour chaque
entier i, il existe des opérations cohomologiques
γi : K1(X) zzc K1(X)
issues du calcul bien connu de la K-théorie complexe du groupe unitaire infini : celle-ci
i
s’identifie à une algèbre extérieurs en les γ . Le produit x
€
γλ1(x)...γλs(x) pour λ1 <…< λs
définit donc une opération de K1(X) dans K[s](X), où [s] est la parité de s. Par ailleurs, en
n
suivant la méthode décrite par Atiyah [2], on voit qu’un élément du groupe K *| (R ), associé à
n
une partition λ1< ... < λs , définit aussi une opération en K-théorie complexe de K1(X) dans
[s]
K (X) d’après le théorème 1.1. Il est raisonnable de conjecturer que celle-ci correspond à
λ1
λs
l’opération x € γ (x)...γ (x) définie précédemment.
1.13. Autre remarque sur les opérations cohomologiques. Il existe un cup-produit évident
n
*
(R ) x KG*(Rn) zzc KG* (R2n)
KG
où le deuxième groupe s’identifie à l’anneau des représentations de G, car la représentation de
2n
G dans R est complexe. Si G = |n, notons que le rang de R(G) est égal au nombre total P(n)
de partitions de n. Il serait intéressant de déterminer de manière explicite les accouplements
p
p
P(n)
et Zin x Zin zzc ZP(n)
Z n x Z n zzc Z
qu’on en déduit, ainsi que la structure de R(G) -module de Zpn et Zin.
5
2. Relation avec les classes de conjugaison du groupe de Schur.
∼
2.1. Considérons le revêtement3 à deux feuillets Pin(n) de O(n), ainsi que le revêtement G de
G , O(n) qu’on en déduit par image réciproque :
∼
G zzc Pin(n)
d
d
G zzc O(n)
Le noyau de l’homomorphisme G z z c G s’identifie au groupe
∼
¶
1 dans l’algèbre de
∼
n
Clifford C(R ). Si G est le groupe symétrique | n, G n’est autre que le groupe de Schur4,
bien connu en théorie des représentations [5]. A cette extension de G est associé un cocycle
∼
∼ ∼
défini ainsi. Soient g et h deux éléments de G qui commutent et g, h deux éléments de G qui les
∼
relèvent. Alors le commutateur [∼g, h] = ¶ 1 n’est pas trivial en général. Plus généralement, si kα
et hα sont deux familles d’éléments de G telles que le produit des commutateurs [kα, hα] est
∼
∼
égal à 1, le signe du produit des commutateurs [kα, hα] définit le cocycle cherché. On se
propose de relier ce signe à “l’orientation” des éléments g = g définie précédemment.
i
2.2. Soient Vλ les sous-espaces propres (de dimension 1 ou 2) de g opérant sur V et soit
h [␣␣C . On peut mettre de côté les valeurs propres non réelles de g, car on voit par déformation
g
∼
des valeurs propres non réelles vers 1 (h laissant stable chaque Vλ ) que le commutateur [∼g, h]
ne dépend que des sous-espaces propres de g et h associés aux valeurs propres 1 et -1. Soit V +
_
(resp. V ) le sous-espace propre de g associé à la valeur propre 1 (resp. -1) de dimension n+
(resp. n- ). Il convient de noter que l’élément du groupe orthogonal associé au produit e1... ep
dans Pin(n), p ≤ n, est la symétrie ei €
¶
ei , où le signe est + si i > p et - si i ≤ p, ce qui permet
∼
de calculer aisément le commutateur [∼g, h]. L’argument de déformation et de “croisement” des
valeurs propres déjà utilisé plus haut ramène la discussion à l’un des 4 cas du tableau suivant :
∼
dét(g)
dét(h)
[∼g, h]
dét(h | +)
V
n-
(-1)
-
(-1)n
-
(-1)n
-
(-1)n
+1
+1
+1
-1
(-1)n
-1
(-1)n +1
+1
+1
-1
-1
-
-
-1
3 Contrairement aux conventions de [3], nous considérons ici le groupe Pin construit à partir de l’algèbre de
Clifford de Rn muni d’une forme quadratique définie positive (cf. aussi [6]).
4 Nous conserverons cette terminologie pour G un sous-groupe quelconque du groupe symétrique.
6
2.3. La lecture de ce tableau permet de déduire pour un g donné l’existence ou non d’un h tel
∼
que le cocycle [∼g, h] soit égal à -1 (c’est-à-dire de déterminer si ∼g est conjugué à -∼g ou non). En
suivant la terminologie de [5], on dira qu’une classe de conjugaison <g> de G est décomposée
∼
∼
dans G si ∼g n’est pas conjugué à - ∼g dans le “groupe de Schur” G. Le théorème général
suivant résulte alors du tableau précédent ; il est démontré dans [5] p. 29 dans le cas particulier
où G = |n. Pour simplifier les notations, on pose h+ = h | V+ avec V+ = Ker(ρ(g) - 1).
∼
2.4. THEOREME. Les classes de conjugaison <g> de G décomposées dans G se divisent
en deux catégories
a) La permutation g est paire, auquel cas ∀ h
[
Cg , on a dét(h) = dét(h+ ). E n
particulier, si G =|n, g se décompose en un produit de cycles de longueurs impaires
b) La permutation g est impaire, auquel cas ∀ h
[
Cg , on a dét(h+ ) = 1. E n
particulier, si G =|n, g se décompose en un produit de cycles de longueurs différentes.
2.5. En sens inverse, supposons que la représentation de G dans O(n) se relève au groupe
∼
∼
+
Pin(n). Le commutateur [g, h] est alors toujours égal à +1, ce qui permet de calculer dét(h ) à
partir de dét(g) et dét(h). D’après [6], cette condition de relèvement est équivalente à la nullité de
la deuxième classe5 de Stiefel-Whitney w de la représentation ρ de G dans O(n). Notons
2
alors b (ρ) (resp. b (ρ)) le nombre de classes de conjugaison d’éléments g pairs (resp.
i
0
1
impairs), avec la terminologie de 1.7, tels que
1) dét(ρ(gi)) = -1 , ou bien
2) dét(ρ(gi)) = +1 et quel que soit h [ Cg , dét(ρ(h)) = +1
i
Le théorème suivant est alors une conséquence directe de la discussion précédente et du
théorème 1.8.
2.6. THEOREME. Supposons que la deuxième classe de Stiefel-Whitney w de la
2
0
représentation ρ : G zzc O(n) soit nulle. Alors le rang du groupe libre KG(V)
1
(resp.KG (V)) est égal à b (ρ) (resp. b (ρ)).
0
1
2.7. COROLLAIRE. Soient ρ : G zzc O(n) et ρ’ : G zzc O(n) deux représentations
de G dans O(n) telles que w (ρ) = w (ρ’) et w (ρ) = w (ρ’) = 0. Alors b (ρ) = b (ρ’)
1
1
2
2
i
i
pour i = 0 et 1. En particulier, b (ρ) ne dépend que de la première classe de Stiefel-Whitney
i
de ρ (à condition que la deuxième soit nulle).
Démonstration. Elle est identique à celle du théorème 1.11.
5 Il convient de noter qu’on a choisi ici la forme positive de l’algèbre de Clifford. Pour la forme négative, la
condition devient w2 + (w1)2 = 0, où w1 est la première classe de Stiefel-Whitney : cf. [6] proposition 1.1.26.
7
∼
2.8. DEFINITION-THEOREME. Soit σ : G zzc GL(W) une représentation du groupe
∼
G. On dit que σ est de type linéaire si elle vérifie la condition supplémentaire σ(-∼g) = -σ( ∼g).
L’ensemble (fini) des classes d’isomorphie de représentations irréductibles de type linéaire
est alors en correspondance bijective avec les classes de conjugaison de G qui se
∼
décomposent dans G.
∼
Démonstration. Puisque -1 est dans le centre de G, il est clair que les représentations
∼
irréductibles de G se scindent en deux catégories : celles de type linéaire et celles qui vérifient la
condition σ(-∼g) = σ(∼g) pour tout ∼g, c’est-à-dire celles qui proviennent de représentations de G.
D’après la théorie des caractères, les premières sont en dualité avec les classes de conjugaison
∼
de G non décomposées dans G et les secondes avec le double des classes de conjugaison de G
∼
décomposées dans G. Par conséquent, nous avons l’identité
∼
<G >=<G>+<G>
déc.
∼
où < G >déc. désigne l’ensemble des classes de conjugaison de G décomposées dans G.
2.9. THEOREME. Soit V un espace vectoriel réel de dimension paire muni d’une forme
V
quadratique définie positive. Le rang du groupe6 libre K(eG) est alors égal au nombre
∼
de classes de conjugaison de G qui sont décomposées dans G.
2r
(r+1)
e1… e2r et j l’inclusion canonique de Pin(V) dans
Démonstration. Soient V = R , ε = i
C(V)*. On définit un autre homomorphisme φ de Pin (V) dans C(V) * en posant φ(u) = j(u) si
u est de degré pair et φ(u) = j(u).ε si u est de degré impair. Puisque ε est de carré -1 et qu’il
anticommute aux générateurs de l’algèbre de Clifford, φ est bien un homomorphisme de
groupes. Par ailleurs, on a un diagramme commutatif
φ
Pin(V)zzc C(V)*
dθ
dΘ
O(V) zzc Aut (C(V))
Dans ce diagramme, θ est le revêtement standard du groupe orthogonal par le groupe Pin et Θ
associe à u [ C(V)* l’automorphisme intérieur s € u.s.u-1. Il en résulte un diagramme
commutatif analogue
φ
∼
G zzc C(V)*
d
dΘ
G zzc Aut(C(V))
V
V
6 La définition de la catégorie e est donnée en 1.1. D’autre part, d’après ce qui précède, le rang de K(e ) est
G
G
aussi le nombre de facteurs simples de l’algèbre semi-simple produit croisé de G par l’algèbre de Clifford C(V).
8
que nous allons utiliser pour “détordre” l’action de G sur C(V). De manière précise, nous
(V)
V
allons montrer que la catégorie eG est équivalente à la catégorie, notée
∼
e∼
, formée des espaces
G
vectoriels E munis d’une action de type linéaire de G et d’une action de l’algèbre de Clifford
C(V) qui commute avec celle-ci. Puisque C(V) est isomorphe à une algèbre de matrices, il en
V
resultera (par équivalence de Morita) que eG est équivalente à la catégorie des espaces vectoriels
∼
munis d’une action de type linéaire de G.
En effet, soit M un objet de
V
e
, avec une action de G notée (g, m) € g*m et une action
G
(V)
de C(V) notée (λ, m) € λ.m, comme au début de l’article. On lui associe un objet de eG∼ en
∼
conservant la même action de l’algèbre de Clifford mais avec une action ≥ de G définie par la
formule (F) suivante
∼
∼ -1. (g m)
g≥m = φ(g)
*
où g désigne la projection de ∼g sur G. D’après les axiomes énoncés en 1.2, on a l’identité
g*(φ(∼g)-1.m) = φ(∼g)-1. (g*m). Par ailleurs, si λ est un élément de l’algèbre de Clifford, on a
∼
g≥(λ.m) = g*(φ(∼g)-1λm) = φ(∼g)(φ(∼g)-1λ) φ(∼g)-1 g*m = λ.(∼g≥m), ce qui montre que les actions
∼
∼
de G et de C(V) commutent. Enfin, si -1 est l’élément central non trivial de G de classe 1 dans
∼
G, on a (-1)≥ m = φ(-1)-1. (1*m) = -m, ce qui montre que l’action de G sur M est de type
linéaire. Les considérations précédentes permettent de définir ainsi un foncteur de
V
dans
e
G
(V)
e∼
. Le foncteur en sens inverse est défini de manière analogue. Ceci achève la démonstration
du théorème.
G
2.10. La démonstration du théorème précédent permet de traiter également le cas de la catégorie
V⊕1
e
G
V⊕1
, en supposant toujours paire la dimension de V. En effet, les objets de eG
peuvent être
V
vus comme des objets gradués de la catégorie eG. Plus précisément, avec les notations utilisées
en 2.9, on se donne en plus une involution η de l’objet M telle que η.v = -v.η pour v [ V et g.η
= η. g pour g [ G. D’après la formule (F) plus haut, l’équivalence des catégories
∼
∼
V
(V)
et
G
e
∼
e∼
∼
G
transforme alors l’action de G en une action de G telle que η.g = g.η si dét(g) = 1 et η.g = ∼
g.η si dét(g) = -1. Par ailleurs, en changeant η en η.ε, on fait commuter η.ε avec l’action de V
tout en conservant le caractère involutif de η.ε. En d’autres termes, la catégorie
e
V⊕1
G
est
équivalente à celle des espaces vectoriels E munis d’une action de type linéaire du groupe
∼
∼
G ˙ Z/2, considéré comme “groupe de Schur” G' associé au sous-groupe G’ = G x Z/2 de
O(n+1).
9
Notons enfin que le cas où la dimension de V est impaire se ramène à celui où elle est
V
paire grâce aux considérations précédentes et à l’équivalence de catégories eG ≈
(V⊕1)⊕1
e
G
vue
en 1.10. On en déduit le théorème que voici :
V
V⊕1
n
2.11. THEOREME. Soient G un sous-groupe de O(n) et V = R . Les rangs RG et RG
V
V⊕1
des groupes K(eG) et K(eG ) respectivement sont ainsi déterminés en fonction de n :
V
V⊕1
1. Si n est pair (resp. impair), RG (resp. RG ) est le nombre de classes de conjugaison de
∼
G décomposées dans G
V
V⊕1
2. Si n est impair (resp. pair),RG (resp. RG ) est le nombre de classes de conjugaison du
∼
∼
sous-groupe G’ = G x Z/2 de O(n+1) qui sont décomposées dans G' = G ˙ Z/2.
2.12. COROLLAIRE. Soient ρ : G zzc O(n) et ρ ’ : G zzc O(n) d e u x
représentations de G dans le groupe orthogonal O(n). Soient w (resp. w, ) les classes de
Stiefel-Whiney de ρ et ρ’ respectivement. On suppose que w =
∼
1
∼
i
,
w1
i
et w = w,2. Soient enfin
2
G et G’ les groupes de Schur associés. Alors le nombre de classes de conjugaison de G qui
∼
se décomposent dans G est égal à celui des classes de conjugaison de G qui se décomposent
∼
dans G’.
Démonstration. Supposons d’abord n pair et désignons par V et V’ les espaces de
représentation de ρ et ρ’ respectivement. D’après 2.9, il suffit de démontrer que les catégories
V
et
G
e
e
V'
G
sont équivalentes. Pour cela, on applique la méthode utilisée en 1.10. Si T est un
W
T⊕W
espace de représentations spinorielles de dimension paire, les catégories eG et eG
sont
équivalentes et on a par ailleurs V ⊕ T – V’ ⊕ T’, avec T = V ⊕ V ⊕ V’ ⊕ V’ et T’ = V ⊕ V
⊕ V ⊕ V’ spinoriels. Le cas n impair se déduit du cas pair en remplaçant V et V’ par V ⊕ 1 et
V’ ⊕ 1 respectivement.
∼
∼
2.13. Le nombre de classes décomposées de G dans G ou de G x Z/2 dans G ˙ Z/2 est
déterminé explicitement à l’aide du théorème 2.4. Si G est le groupe symétrique, ce nombre se
calculé en comptant certaines partitions de l’entier n. De manière plus précise, indépendamment
des nombres p et i définis dans l’introduction, définissons j comme le nombre de partitions
n
n
n
de n de la forme n = λ +… + λ , 1 ≤ λ ≤… ≤ λ , avec tous les λ impairs. Il est classique que
1
s
1
s
i
j est en fait égal à q = p + i . En effet, la série génératrice de q est le produit infini
n
n
n
n
n
∞
∏
m=1
(1 + xm) tandis que celle de jn est le produit infini
que le produit infini
10
∞
(1 - x2r-1)
∏
r=1
-1
Il suffit donc de vérifier
∞
(1 + xm) (1 - x2m-1)
∏
m=1
est identiquement égal à 1, ce qui se voit par regroupement des termes. De cette discussion et de
2.11 on déduit l’énoncé suivant qui complète le théorème 1.1 (cf. aussi le théorème 3.10).
2.14. THEOREME. Soit G le groupe symétrique |n . Alors
-
V
K(eG) est un groupe libre de rang égal à pn + 2in
et
V⊕1
- K(eG ) est un groupe libre de rang égal à 2pn+ in
Démonstration. Avec les notations du tableau en annexe qui reproduit tous les types de
partitions possibles, on a
p = B0 + B2 + D4 ; i = D0 + D2 + B4 ; j = A0 + B0 + C3 + D0 ( = p + i d’après 2.13),
n
n
n
n
n
où les colonnes D (resp. B) sont nulles si n est pair (resp. impair).
2.15. Généralisation. Soient A une algèbre centrale simple sur un corps k et G un groupe fini
opérant sur A et dont l’ordre est inversible dans A (ce qui implique que l’algèbre produit croisé
G © A est semi-simple). D’après le théorème de Skolem-Noether, l’homomorphisme Θ de A*
-1
dans Aut(A) défini par l’application qui à s associe l’automorphisme intérieur x € s.x.s est
surjectif de noyau k*. Avec des notations légèrement différentes des précédentes, définissons le
“groupe de Schur linéarisé” G comme le produit fibré suivant
G
zzc
d
A*
d
G zzc Aut(A)
Dans ce contexte, une représentation de type linéaire de G est définie comme une représentation
ρ usuelle de source G telle que ρ(λ) soit la multiplication par le scalaire λ pour λ [ k* , G.
Avec le raisonnement tenu en 2.9, on démontre que le nombre de facteurs simples de l’algèbre
G © A est égal au nombre de représentations irréductibles de type linéaire du groupe G. Dans
le cas de cet article, A est l’algèbre de Clifford C(V), où V est de dimension paire (sur le corps
des complexes k = C). On peut en déduire que les représentations irréductibles de type linéaire
∼
de G sont en correspondance bijective avec celles de G (dans le sens de 2.9).
3. K-théorie équivariante d’espaces projectifs réels.
3.1. On peut aller encore plus loin dans la relation entre l’algèbre et la topologie en considérant
le fibré projectif réel P(V) au lieu de l’espace de Thom de V. Nous redémontrerons ainsi de
manière plus naturelle le théorème 2.14. Le théorème général suivant en K-théorie réelle aussi
bien que complexe complète sur ce sujet les résultats de [6] et [7].
11
*
(P(V))
3.2. THEOREME. Soit V un G-fibré réel de base X. La K-théorie équivariante KG
est alors naturellement isomorphe au groupe de Grothendieck K*+1(φ), où φ est le foncteur
restriction des scalaires
φ:e
V⊕1
G
(X) zzc
e
1
(X) ,
G
“1” désignant toujours le fibré trivial de rang 1. Plus généralement, si W est un sous-fibré
*
(P(V), P(W)) s’identifie au groupe de
équivariant de V, la K-théorie équivariante KG
Grothendieck K*+1(ψ), où ψ est le foncteur restriction des scalaires
V⊕1
ψ : eG (X) zzc
W⊕1
e
G
(X)
Démonstration. Ce théorème est démontré dans [6], p. 242, dans le cas où G est le groupe
trivial. Malheureusement, cette preuve ne s’adapte pas au cas équivariant. Nous allons donc
utiliser une autre méthode, en fait plus conceptuelle, basée sur la remarque suivante : le groupe
*
*
(S(V)) , où S(V) est le fibré en
KG
(P(V)) est isomorphe à la K-théorie équivariante KG
x Z/2
sphères avec l’action antipodique de Z/2.
Pour simplifier les notations, posons H = G x Z/2. On a alors une suite exacte de
cohomologie
i
i
i
i+1
zc KH(B(V), S(V)) zzc KH(B(V)) zzc KH(S(V)) zzc KH (B(V), S(V)) zc
i
En termes homotopiques, le groupe KH(S(V)) s’identifie au groupe Ki+1 de la “grille carrée”
suivante de catégories de Banach (cf. [6] p.192) :
V⊕1
(X) zzc
e
H
d
e
(X)
H
d
V
e
(X) zzc
H
0
V⊕1
V
i+1
c’est-à-dire simplement au groupe K du foncteur eH (X) zzc eH(X) x eH(X) [ce fait
général est vrai quel que soit le groupe H opérant linéairement sur V]. Examinons maintenant le
cas spécifique où H = G x Z/2. Puisque Z/2 opère par l’involution ε : v € -v sur V, la catégorie
V
V⊕1
V⊕1
(X) s’identifie à eG (X). Par ailleurs, on peut décrire la catégorie eH (X) en remarquant
H
e
que si le quadruplet (g, v, ε, η) “symbolise” l’action de G, V, Z/2 et 1 respectivement, on peut
lui substituer de manière équivalente le quadruplet (g, v, ε, εη), avec une involution εη
V⊕1
commutant aux trois autres actions : cette correspondance montre que la catégorie eH (X) est
V⊕1
V⊕1
i
en fait équivalente au produit eG (X) x eG (X). Le groupe KH(S(V)) est donc isomorphe au
12
groupe Ki+1 du foncteur
e
V⊕1
G
V⊕1
V⊕1
(X) x eG (X) zzc
e
G
(X) x
e
1
(X)
G
V⊕1
soit, en “simplifiant” par eG (X), le foncteur φ du théorème.
*
(P(V), P(W)) est déterminé de manière analogue : c’est le groupe Ki+1 de
Le groupe KG
la grille carrée
V⊕1
(X) zzc
e
G
1
e
d
d
W⊕1
e
G
(X)
G
(X) zzc
1
e
(X)
G
c‘est-à-dire le groupe Ki+1 du foncteur ψ du théorème.
3.3. Supposons maintenant que X soit réduit à un point7. Nous allons déterminer le rang de
*
(P(V)) * C, grâce à des calculs du même type que ceux du premier
l’espace vectoriel KG
paragraphe. En précisant la terminologie de 1.7, on dira qu’une classe de conjugaison8 g est
positive (resp. négative) si Ker(ρ(g) - 1) ≠ 0 (resp. Ker(ρ(g) + 1) ≠ 0). Soit maintenant {gi}
l’ensemble des classes de conjugaison des éléments de G. Si on pose X = P(V), le sous-espace
g
X i est la réunion disjointe de P(V+gi) et de P(V-gi), où
V+gi = Ker(ρ(gi) - 1) et V-gi = Ker(ρ(gi) + 1)
On voit donc qu’une classe de conjugaison de conjugaison comptée positivement ou
0
négativement9 contribue pour une dimension dans le groupe K . De même, une classe de
conjugaison paire orientée comptée positivement ou négativement contribue pour une dimension
1
dans le groupe K (car l’espace projectif correspondant est de dimension impaire). De cette
discussion on déduit ainsi le théorème suivant :
3.4. THEOREME. Soient AG (resp. OG ) le nombre de classes de conjugaison positives
ou négatives (resp. positives ou négatives paires orientées). Alors, le rang du groupe
0
1
KG(P(V)) est égal à A et celui du groupe KG (P(V)) est égal à O .
G
G
7 Il convient de noter que le groupe
*
KG
(P(V)) n’est pas nécessairement libre, contrairement au groupe
*
KG
(V).
8 Bien entendu, une classe de conjugaison peut être à la fois positive et négative.
9 On notera qu’une classe de conjugaison comptée positivement et négativement contribue pour 2 dimensions.
13
3.5. COROLLAIRE. Soit CG le nombre de classes de conjugaison de G. Alors le rang
V⊕1
RG
V⊕1
du groupe libre K(eG ) vérifie l’équation
V⊕1
RG
- 2C = O - A
G
G
G
Par conséquent, si V est de dimension impaire (resp. paire), 2CG + OG - A G est égal au
∼
nombre de classes de conjugaison de G (resp. G x Z/2) qui se décomposent dans G (resp.
∼
G ˙ Z/2).
1
Démonstration. C’est une conséquence des théorèmes 2.11 et 3.3, compte tenu que eG =
e
G
x eG. On démontre de même le corollaire suivant :
3.6. COROLLAIRE. Soit P (resp. N ) le nombre de classes de conjugaison positives
G
G
V
V
orientées paires (resp. impaires). Alors, d’après 1.8, le rang RG du groupe libre K(eG) est
V⊕1
solution de l’équation RG
V
- RG = P - N , soit
G
G
V
RG = 2C + O - A - P + N
G
G
G
G
G
Par conséquent, si V est de dimension paire (resp. impaire) 2CG + OG - A G - PG + NG est
∼
égal au nombre de classes de conjugaison de G (resp. G x Z/2) qui se décomposent dans G
∼
(resp. G ˙ Z/2).
3.7. Appliquons ce qui précède au cas du groupe symétrique G = |n opérant naturellement sur
Rn. Comme il a été dit plus haut, la classe de conjugaison de g est définie par une partition
1 ≤ λ ≤ ...≤ λ avec n = λ + ... + λ . Nous décrivons en annexe un tableau précisant les
1
s
1
s
différents types de partition possibles. Avec les notations de ce tableau, on déduit du théorème
3.4 l’énoncé suivant10
0
3.8. THEOREME. Soit G = | n opérant naturellement sur V = R n. Le rang de KG(P(V))
1
est alors égal à 2P(n) - jn et celui de KG (P(V)) est égal à pn , où P(n) est le nombre total
de partitions de n, où p est défini dans l’introduction et où j est le nombre de partitions
n
n
de n = λ 1 + ...+ λ s de la forme 1≤ λ 1 ≤ ...≤ λ s avec tous les λ i impair (noter que jn = pn +
in d’après 2.13).
0
0
3.9. Par ailleurs, le rang RG de K(eG), l’anneau des représentations de G, est égal à P(n). De
1
1
0
0
même, le rang RG de K(eG) = K(eG x eG) est égal à 2P(n). D’après 3.2, on en déduit le
théorème suivant qui donne une démonstration topologique plus directe11 du théorème 2.14 :
10 On rappelle les notations du tableau en annexe : p = B0 + B2 + D4, i = D0 + D2 + B4, j = A0 + B0 +
n
n
n
C3 + D0 (= pn + in d’après 2.13).
11 plus “directe”, car nous n’avons pas eu à distinguer le cas n pair du cas n impair.
14
V⊕1
3.10. THEOREME. Le rang RG
V⊕1
RG
V⊕1
du groupe libre K(eG ) est la solution de l’équation
1
0
- 2P(n) = rang(KG (P(V))) - rang(KG(P(V))) = pn - (2P(n) - jn)
soit
V⊕1
RG
= pn + jn = 2pn + in
V
V
Par ailleurs, d’après 1.1 et 1.3, le rang RG du groupe libre K(eG) est solution de
V⊕1
V
l’équation RG - RG = p - i , soit
n n
V
RG = p + 2i
n
n
3.11. Remarque. Le théorème précédent s’écrit de manière équivalente en termes de K-théorie
n
n
d’algèbres produits croisés. En effet, soit C(R ) l’algèbre de Clifford de R munie d’une forme
n
quadratique définie positive. Si An désigne par exemple l’algèbre produit croisé |n © C(R )
n+1
et Bn l’algèbre produit croisé |n © C(R ), on a les formules suivantes
K(An) – Z2pn + in et K(Bn) – Zpn + 2in
où pn et insont définis dans l’introduction.
3.12. Remarque finale. Les entiers pn et in sont des fonctions classiques de n dans la théorie
n
des partitions12. D’après Euler, pn - in est le coefficient de q dans les expressions
∞
∏ (1 - q
+∞
∑ (-1)
m
)=
m=1
m
q
m(3m-1)
2
m = -∞
En particulier, p - i = (-1)m si n est de la forme m(3m - 1) et 0 sinon (Andrews p. 11). Par
n
n
2
ailleurs, jn = pn + in est asymptotiquement équivalent à
n
3
π
e
1
4
4.3 .n
3
4
quand n tend vers l’infini (Andrews p. 97).
12 cf. par exemple le livre de G.E. Andrews. The theory of partitions. Addison-Wesley (1976).
15
REFERENCES
[1] M.F. ATIYAH. Bott periodicity and the index of elliptic operators. Quart. J. Math.
Oxford 74, p. 113-140 (1968).
[2] M.F. ATIYAH. Power operations and K-theory. Quart. J. Math. Oxford (2) 17, p.
165-193 (1966).
[3] M.-F. ATIYAH, R. BOTT et R. SHAPIRO. Clifford modules. Topology 3, p. 338 (1964).
[4] P. BAUM et A. CONNES. Chern character for discrete groups, in A fête of
topology, p. 163-232, Academic Press, Boston, MA (1988).
[5] P.N. HOFFMANN et J.F. HUMPHREYS. Projective representations of the
symmetric groups. Clarendon Press, Oxford (1992).
[6] M. KAROUBI. Algèbres de Clifford et K-théorie. Ann. Sci. Ec. Norm. Sup., p. 161270 (1968).
[7] M. KAROUBI. Sur la K-théorie équivariante, Springer Lecture Notes N° 136, p. 187253, (1970).
[8] M. KAROUBI. K-theory, an introduction. Springer-Verlag, Grundlehren N° 226
(1978)
[9] P.-Y. LE GALL et B. MONTHUBERT. K-theory of the indicial algebra of a
manifold with corners (prépublication).
Equipe Topologie et Geometrie Algebriques
Institut de Mathematiques de Jussieu
Universite Paris 7-Denis Diderot - Case 7012
2, Place Jussieu, 75251 PARIS cedex 05 - FRANCE
e.mail et Web : [email protected] ; http://www.math.jussieu.fr/~karoubi/
16