Transparents du Cours Magistral

07/04/2014
Machines Hydrauliques
J. Albagnac, L. Cassan, V. Roig
1H
avril-mai 2014
1
Plan
Turbo-Machines Hydrauliques : pompes centrifuges, turbines hydrauliques
•
•
•
•
Introduction générale
Chapitre 1 : Connaissances de base sur les turbo-machines
Chapitre 2 : Courbes caractéristiques des Pompes & Turbines (présentation du BE 1)
Chapitre 3 : Analyse adimensionnelle
2
1
07/04/2014
•
Introduction générale
Diverses technologies de convertisseurs en mécanique des fluides :
* « Machines Hydrauliques » :
- capsulismes : pompes volumétriques alternatives ou rotatives
- Dans le cadre de ce cours :
turbo-machines : transfert entre un rotor (partie mobile) et le fluide
( Pompes & Turbines )
* pompes magnétohydrodynamiques (MHD), génératrices MHD
* éjecteurs pour le pompage
etc ...
3
•
Introduction générale
Turbo-machines hydrauliques : hypothèse : écoulement incompressible !
(compresseurs & turbines à gaz ou vapeur vus en 2H et 3H)
A quoi servent ces machines hydrauliques ?
(1) production hydroélectrique : turbines (machines motrices) extraient l’énergie du fluide
(2) stations de pompage : pompes (machines génératrices) fournissent de l’énergie au fluide
Ex. d’enjeu avec la
centrale de Gezhouba :
lieu : Chine, fleuve Yangtse
21 turbines
eau très chargée
H très variable : 6 à 27 m
Q de l ’ordre de 1000 m3/s par turbine
ex : masse d ’une roue = 420 t
Roue de turbine Kaplan 176 MW
Quelques noms de groupes industriels : Alstom Power, VA Tech, ITT Flygt, Sulzer , Coyne & Bellier
4
2
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•
Introduction générale
Il existe de nombreuses technologies de machines hydrauliques !
Et de nombreux modes d ’utilisation !
Problèmes pour l ’ingénieur :
Choix d ’une technologie optimale, adaptée au cahier des charges d ’une installation
⇒ Comprendre
(1) les principes de fonctionnement interne, les spécificités des diverses machines,
leurs classifications
(2) les contraintes d ’une mise en fonctionnement sur réseau
& mettre en œuvre des calculs pratiques, savoir dimensionner des installations
Ex. pour une pompe :
αi
H
ω
R
Relat°entre
(H, Q, vitesse ω, dimens° R, angles αi) ?
Q
•
Introduction générale
(3) Savoir choisir une machine ! (ex. grandes classes de turbines)
Turbines à action
(fonctionnement à P cste, utilisation de l ’énergie cinétique (impact d ’un jet))
Exercice
Turbines à réaction
(machine fermée, utilisation de l ’énergie cinétique et des variations de pression, Equation d ’Euler)
3
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•
Introduction générale
Bibliographie
Ouvrages édités :
Lire l’une de ces 2 premières références (1) ou (2)
(1) White F. M., 1998, Fluid Mechanics, Mc Graw Hill : chapitre 11
(2) Munson B. R., Young D. F. & Okiishi T. H., 2002, Fundamental of Fluid Mechanics, John Wiley & Sons :
chapitre 12
(3) Spurk J. H., Aksel N., 2008, Fluid Mechanics, Springer (référence intéressante en mécanique des
fluides)
(4) D. J. Tritton, Physical Fluid Dynamics, 2d Edition, Oxford University Press, 1988 (Pour la partie
N.S. en référentiel relatif)
(5) M. Sedille, Turbo-Machines hydrauliques et thermiques, tome II, pompes centrifuges et axiales,
turbines hydrauliques, 1967, Masson (référence complète, un peu ancienne)
(6) R. Bidard, J. Bonnin, Energétique et turbomachines, 1979, Eyrolles (avec machines compressibles)
(7) P. Henry, Turbomachines hydrauliques, choix illustré de réalisations marquantes, 1992, Presses
Polytechniques et Universitaires Romandes. (belles illustrations)
Téléchargeables :
(8) sous la direction de Chapallaz J. M. et Graf J., Petites centrales hydrauliques, Turbines
hydrauliques, 1995, programme d’action PACER, Office fédéral des questions conjoncturelles, Berne
(9) Techniques de l’ingénieur
•
7
Connaissances de base
Chapitre 1 : Connaissances de base sur les turbo-machines
incompressibles
8
4
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•
Connaissances de base
•
Plan du chapitre :
–
section 1 : Les deux problèmes de base de ce cours
–
section 2 : Fonctionnement général des turbo-machines :
. Description du mouvement du fluide dans différents aubages (Triangle des vitesses)
. Outils de la mécanique des fluides (bilan de masse, relation d’Euler des turbomachines,
Th de Bernoulli en référentiel tournant)
9
section 1 : Les deux problèmes de base de ce cours
• Les savoirs recherchés dans cet enseignement :
(1) Assurer la mise en fonctionnement sur réseau => Calculer la contrainte énergétique imposée
par le réseau externe à la turbomachine
•
Théorème de l ’énergie mécanique
(2) Comprendre le fonctionnement interne d ’une turbomachine = comprendre comment avec
différents aubages on génère des variations d ’énergie cinétique, potentielle ou des variations de
pression entre l ’entrée et la sortie
•
Théorème de l ’énergie mécanique
+ Théorème du moment cinétique (ou équation d’Euler des turbomachines)
& / ou
Théorème de Bernoulli en repère tournant
5
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section 1 : Les deux problèmes de base de ce cours
•
Théorème de l ’énergie mécanique (régime permanent, écoulement incompressible)
Intérêt : 1er principe & 2d principe + écriture en f° de grandeurs mécaniques
e
s


ρV 2
Q.∆se P +
+ ρgz  = W&ext, A − m& ∫ δψ
e
2


s
W&ext , A
∆se g = g s − g e
Notation :
débit volumique
Q
V
W&ext , A > 0
Convention :
NB :
s
∫ δψ
e
W&ext , A < 0
Perte
(2d
( ∫ δψ ≥ 0)
e
principe)
(Homogénéisation des entrées / sorties)
& massique
m& = ρQ
(1) énergie cinétique du mouvement absolu
Attention :
s
Puissance mécanique
extérieure (W)
débit volumique
(1)
(2) convention
g
z
Vitesse absolue !
Puissances reçues par le fluide
ou
cédées par le fluide
g (en m) est la perte de charge
également notée δPt (et non ∆Pt !) (en référence au livre de Bennis)
section 1 : Les deux problèmes de base de ce cours
On peut voir à partir de ce bilan d’énergie mécanique qu’entre l’entrée et la sortie d’une
pompe on a une augmentation de pression et dans une turbine une baisse de pression
Démo :
(Volume de contrôle = Machine !) (système = fluide traversant la machine)
• le bilan se simplifie pour un fonctionnement idéal (sans perte de charge)
( + 1 entrée & 1 sortie identiques, à même cote)
W&ext , A = Q ( Ps − Pe ) (de mêmes signes !)
W&ext , A > 0
Machine génératrice
W&ext , A < 0
Machine motrice
(pompe,
ventilateur)
la machine cède de l ’énergie
au fluide
accouplée à 1 moteur
ou turbo-récepteur
(turbine)
la machine reçoit de l ’énergie
du fluide
accouplée à alternateur, dynamo
ou turbo-générateur
machine de compression
dP > 0
machine de détente
dP < 0
6
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section 1 : Les deux problèmes de base de ce cours
• Les savoirs recherchés dans cet enseignement :
(1) Assurer la mise en fonctionnement sur réseau => Calculer la contrainte énergétique imposée
par le réseau externe à la turbomachine
La question : quel est le point de fonctionnement d’une machine sur un réseau (amont + aval) ?
se traduit :
quelle est la puissance à fournir au fluide, ou qu’il est possible d’extraire du fluide pour un débit donné ?
se résout en répondant à : Quelle est la valeur de ce
terme qui est imposée à la machine par l ’extérieur ?


ρV 2
W&ext , A = Q.∆se  P +
+ ρgz  + m& ∫ δψ
2


int_ Machine
(Th Energie mécanique pour
Volume de contrôle : intérieur machine)
On peut répondre à partir du cours Hydraulique en charge 1H:
A
e
(Th Energie mécanique pour Volume de contrôle : circuit amont)
s
ldc amont
ldc aval
 V2
P
V2
P 
0 = m& ( e + gze + e ) − ( A + gz A + A ) + m& ∫ δψ
ρ
ρ 
2
2

amont
B
(Th Energie mécanique pour Volume de contrôle : circuit aval)
W&ext , A
 V2
P
V2
P 
0 = m& ( B + gz B + B ) − ( s + gz s + s ) + m& ∫ δψ
2
ρ
ρ 
 2
aval
 V2
P
V2
P 
W&ext , A = m& ( B + gz B + B ) − ( A + gz A + A ) + m& ∫ δψ + m& ∫ δψ + m& ∫ δψ
ρ
ρ
2
2
aval
amont
int_ Machine
1444444444442444444
4444
4
3 14
24
3
Calculé en fonction du réseau
constructeur
13
section 1 : Les deux problèmes de base de ce cours
On en déduit directement :
Puissance que peut délivrer une turbine sous une chute de hauteur H et avec un débit Q :
point A
W&ext , A = − ρgQH + m& ∫ δψ + m&
aval
Q
∫ δψ + m& ∫ δψ
amont
H
int_ Machine
14
24
3
constructeur
Soit si on néglige les pertes de
charge, en 1ère approximation :
W&ext , A = − ρgQH
point B
Puissance que doit délivrer une pompe en aspiration pour assurer un débit Q :
point B
 V2
P
V2
P 
W&ext , A = m& ( B + gz B + B ) − ( A + gz A + A ) + m& ∫ δψ + m& ∫ δψ + m& ∫ δψ
2
2
ρ
ρ 

aval
amont
int_ Machine
14
24
3
constructeur
Soit si on néglige les pertes de charge :
point A
 V2
P
V2
P 
W&ext , A = m& ( B + gz B + B ) − ( A + gz A + A ) = m& g ( H tB − H tA )
2
ρ
2
ρ 

Si circuit fermé (A = B) & on ne néglige pas les pertes de charge du réseau :
W&ext , A = m& ∫ δψ + m& ∫ δψ = ρgQ ∑ δPt
14
aval
amont
amont , aval
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section 1 : Les deux problèmes de base de ce cours
• Les savoirs recherchés dans cet enseignement :
(2) Comprendre le fonctionnement interne d ’une turbomachine = comprendre comment avec
différents aubages on génère des variations d ’énergie cinétique, potentielle ou des variations de
pression entre l ’entrée et la sortie
Le Th de l ’énergie mécanique toujours pour Volume de contrôle = intérieur machine
ne répond pas forcément directement à cette question :
e
s
W&ext , A
cf la question est cette fois-ci : Comment créer la puissance
nette W& net entre l ’entrée et la sortie de la machine ?
W& net
: Nouvelle définition !
(P − P )
W&ext , A = ∆se E& C + E& P + m& s e + m&
{
}
ρ
∫ δψ
int_ Machine
Il faut en général d ’autres outils de la mécanique des fluides pour répondre :
le Théorème de l’énergie mécanique,
le Théorème du moment cinétique ou l’équation d’Euler des turbomachines
&/ ou le Théorème de Bernoulli en repère tournant
15
section 2 : Fonctionnement général : triangle des vitesses, outils de la mécanique des fluides
hsection 2 : Fonctionnement général des turbo-machines :
I - Description du mouvement du fluide dans différents aubages,
(Triangle des vitesses)
II- Outils de la mécanique des fluides
16
8
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section 2 : Fonctionnement général : triangle des vitesses, outils de la mécanique des fluides
• Une machine = un rotor + un stator
L’échange d’énergie a lieu entre le fluide et le rotor
Le stator n’est là que pour faciliter le guidage de l’écoulement et le rendre optimal ou pour faciliter la
récupération d’énergie ‘noble’ (sous forme de pression plutôt que d’énergie cinétique*)
• On va voir que pour créer un échange d’énergie entre le fluide et un rotor il faut créer un
différentiel de moment cinétique du fluide entre l’entrée (1) et la sortie (2) du rotor :
il faut :
(r2 Vθ 2 − r1 Vθ 1 ) ≠ 0
où r est la position radiale de la section et Vθ la vitesse azimutale absolue
Dans les machines ce différentiel de vitesse est imposé par la forme des aubages.
On étudie dans ce cours 2 types de machines caractérisés par des formes d’aubes simplifiées :
les machines radiales et les machines axiales où les mouvements sont idéalisés
* La pression est dite ‘noble’ comparativement à l’énergie cinétique qui se dégrade par dissipation visqueuse.
17
section 2 : Fonctionnement général : triangle des vitesses, outils de la mécanique des fluides
hsection 2 : Fonctionnement général des turbo-machines :
I - Description du mouvement du fluide dans différents aubages,
(Triangle des vitesses)
Passage important !
Comprendre l ’écoulement à l ’intérieur d ’une turbomachine demande de l ’attention !
18
9
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section 2 : Fonctionnement général : triangle des vitesses, outils de la mécanique des fluides
I.1/ Approximation d ’écoulement unidimensionnel
(1) Effets 3D issus de la présence de couches limites
(2) Effets 3D issus de la présence des aubages et de la rotation
On adopte une représentation simple, 1D & globale, en se contentant
d ’examiner les évolutions le long de l ’abscisse curviligne du filet fluide médian.
19
section 2 : Fonctionnement général : triangle des vitesses, outils de la mécanique des fluides
I. 2/ Référentiels du mouvement :
• Nécessité de travailler en référentiel absolu et relatif
(selon qu’on travaille sur le stator ou le rotor, avec le th. de l’énergie mécanique ou avec Bernoulli en réf. tournant …)
=> Il faut savoir décrire des mouvements absolus et relatifs !
=> Il faut savoir définir :
r
Vitesse de rotation du rotor : ω
r
Vitesse absolue : Vr
Vitesse relative : W
ω
(2)
20
10
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section 2 : Fonctionnement général : triangle des vitesses, outils de la mécanique des fluides
I.2/ Définition, classification des machines en f° des trajectoires / axe de rotation dans le rotor
Analyse des mouvements en coordonnées cylindriques (r, θ, z) (!)
Mouvement le plus général :
r r
r
r
V = Vr + Vθ + VZ
r r
r
r
W = Wr + Wθ + WZ
r r r
r
U = ω ∧ r = ωreθ
Mouvements simplifiés :
r
Vθ
r
Vrr
VZ
Vocabulaire :
vitesse azimutale
vitesse radiale
vitesse axiale
Trajectoires du fluide dans le rotor
a/
b/
c/
Machines « modèles » :
r
r
a/ radiales VZ ≈ 0
r
r
b/ axiales Vr ≈ 0
r
r
WZ ≈ 0 re ≠ rs
r
r
re ≈ rs
Wr ≈ 0
(3-a)
c/ hélices ou mixtes
Etc ...
+ Commencer par identifier les entrées et sorties (!)
re = ?
rs = ?
Pompes centrifuges et Turbines centripètes
21
(3-b)
section 2 : Fonctionnement général : triangle des vitesses, outils de la mécanique des fluides
• Exemple 1 d ’une Pompe radiale :
NB : Pompe => machine centrifuge
Dans le rotor :
r r
VZ ≈ 0
Vocabulaire :
entrée 1 axiale : aspiration,
sortie 2 radiale : refoulement
Roue (Rotor) (M) : aubages mobiles (aubes, pales, grilles
d ’aubes, ailettes), à vitesse de rotation cste autour de
OO ’
l ’espace entre 2 pales : canal mobile,
C : entrée des canaux mobiles, ouïe de la pompe
(augmentation de Ec et de P du fluide)
Stator (F) : corps de pompe (enveloppe)
aubages fixes servant de diffuseur (conversion de l ’Ec
en P) en aval du rotor,
Volute (V) pour une transformation complémentaire de
22
l ’Ec en P
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section 2 : Fonctionnement général : triangle des vitesses, outils de la mécanique des fluides
• Exemple 2 d’une Turbine Francis de type radial :
NB : Turbine => machine centripète
r r
VZ ≈ 0
Dans le rotor :
Vocabulaire :
Eléments Statoriques :
- en amont du rotor :
Bâche spirale
& distributeur (aubes statiques mais
orientables)
- En aval du rotor : diffuseur
Bache spirale
Rotor : aubages mobiles
distributeur
Illustration : Distributeur (jaune) réglé pour un débit minimum ou maximum
(nb : la machine représentée n’est pas complètement radiale)
23
section 2 : Fonctionnement général : triangle des vitesses, outils de la mécanique des fluides
• Exemple 3 d’une Turbine axiale de type Kaplan :
Dans le rotor :
r r
Vr ≈ 0
Eléments Statoriques :
- en amont du rotor :
Bâche spirale
& distributeur (aubes statiques mais
orientables)
- et diffuseur en aval du rotor
Spécificité suppl.
Rotor : aubages mobiles et
orientables
24
12
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section 2 : Fonctionnement général : triangle des vitesses, outils de la mécanique des fluides
• Exemple 4 d’une Pompe axiale :
Dans le rotor :
r3
r2 r1
S1
Redresseur
Eléments Statoriques :
- En amont du rotor :
conduit d’amenée
- en aval du rotor :
Redresseur (aubes statiques)
et diffuseur
+ coude
Rotor : aubages mobiles
r r
Vr ≈ 0
Complément :
z
r
r V2
U1
r
r
W1 r V1
U1
r
W2
S2
Schéma « déplié » du rotor
Pour visualiser le mouvemt le long des aubes
(feuille A4 roulée en cylindre puis dépliée)
à r1 fixé
à r2 fixé
Rotor
à r3 fixé
empilage des 3 sections
25
section 2 : Fonctionnement général : triangle des vitesses, outils de la mécanique des fluides
• Exemple 5 d’une Turbine Francis hélico-centripète:
Bâche spirale
Directrices du
distributeur
Conduite forcée
Stator :
Bâche spirale, distributeur
orientable, diffuseur
Diffuseur
Rotor : aubages mobiles en vert
Dans cet exemple mouvements hélico-centripètes :
Cad à la fois axiaux et radiaux !
Dans ce cours nous ne calculerons pas des aubages pour des mouvements aussi complexes de
machines hélico-centripètes !
26
13
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section 2 : Fonctionnement général : triangle des vitesses, outils de la mécanique des fluides
I.3/ Triangle des vitesses : décomposition des vitesses dans le rotor
Il faudra apprendre à calculer toutes les composantes des vitesses en entrées et sorties du rotor et
du stator respectivement et cela en coordonnées cylindriques ! Pour cela on a 4 relations :
• Composition des vitesses :
r r r
V = U +W
• Vitesse d ’entraînement du rotor :
Notations :
(4-a)
r r r
U =ω ∧r
Vitesse absolue :
Vitesse relative :
(4-b)
r
V
r
W
(attention à identifier r en entrée et sortie !!)
• Définition des angles et triangle des
vitesses (utiles en entrée et sortie de la
roue ou des aubages fixes)
r
W
α
r
V
β
r
r
α = (U ,V )
r
U
r r
β = (U , W )
(4-c)
r
ω
• Hypothèse de Calcul simplifié :
r
W
r
V
tangent à l ’aube dans le rotor
(5)
tangent à l’aube dans le stator
27
section 2 : Fonctionnement général : triangle des vitesses, outils de la mécanique des fluides
exemple : Schéma des vitesses en entrée et sortie du rotor d ’une machine hydraulique
radiale centrifuge avec entrée radiale
π/2-β2
π/2-β2
r r r
U = ω ∧ r azimutal
r
W tangent à l ’aube
π/2-β1
NB : Ce schéma permet de faire le lien entre les angles du
triangle des vitesses et les orientations des pales
28
14
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section 2 : Fonctionnement général : triangle des vitesses, outils de la mécanique des fluides
hsection 2 : Fonctionnement général des turbo-machines :
II- Outils de la mécanique des fluides :
II.1/ Choix d ’un volume de contrôle
II.2/ Bilan de masse
II.3/ Théorème d ’Euler
II.4/ Théorème du moment cinétique
et relation d ’Euler des turbomachines
Approche eulérienne
globale
II.5/ Analyse en lecture autonome d’une machine axiale
II.6/ Théorème de Bernoulli en repère relatif en rotation uniforme
29
section 2 : Fonctionnement général : triangle des vitesses, outils de la mécanique des fluides
II.1/ Choix d ’un volume de contrôle
•
•
Choix d ’un volume de contrôle fixe (entrée-sortie du rotor, ou entrée-sortie du stator)
•
Etude en régime permanent
Approche homogénéisée, profils de vitesses uniformisés; indices 1 et 2 en entrée et sortie
NB : Attention à bien visualiser ces sections d ’entrée-sortie pour des
machines radiales ou axiales !
NB : Dans cet exposé on traite une machine radiale, à vous de lire les transparents
pour 1 machine axiale
30
15
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section 2 : Fonctionnement général : triangle des vitesses, outils de la mécanique des fluides
∫
II.2/ Bilan de masse
rr
SC
ρV .n dS = 0
NB : C ’est la vitesse
absolue qui intervient !
(6)
Ex1 de bilan de masse : machine hydraulique radiale
En rouge : Volume de contrôle enveloppant le rotor :
( de type couronne annulaire )
r r
VZ = 0
r r
π/2-β2
r r
ρV1 .n1 S1 + ρV2 .n2 S 2 = 0
π/2-β 2
m& = ρVr 2 S 2 = ρVr1 S1
π/2-β 1
ρVr 2 2πr2 b2 = ρVr1 2πr1 b1
31
section 2 : Fonctionnement général : triangle des vitesses, outils de la mécanique des fluides
II.3/ Théorème d ’Euler :
(1) Volume de contrôle fixe et écoulement stationnaire :
∫
SC
r rr
r
V
r
r
ρV (V .n )dS = − ∫ PndS + ∫ Σ .ndS + ∫ ρgdv
SC
SC
r
V
(*)
VC
Vitesse absolue par rapport à un référentiel Galiléen
NB : Utile au calcul des poussées axiales des machines
ou pour le calcul d ’une turbine Pelton
NB : Intérêt moindre pour les calculs des pompes centrifuges et des turbines Kaplan ou Francis
32
16
07/04/2014
section 2 : Fonctionnement général : triangle des vitesses, outils de la mécanique des fluides
II.4/ Théorème du moment cinétique et relation d ’Euler des turbomachines :
• Enoncé du théorème du moment cinétique :
Pour un Volume de contrôle fixe et écoulement stationnaire, O point fixe :
∫
SC
r rr
r
V
r
r
ρ OM ∧ V (V .n )dS = − ∫ OM ∧ PndS + ∫ OM ∧ Σ .ndS + ∫ OM ∧ ρgdv
SC
SC
VC
(**)
Application :
Démonstration de l’équation d ’Euler des turbomachines, qui est à la base de tous les calculs de
ce cours
33
section 2 : Fonctionnement général : triangle des vitesses, outils de la mécanique des fluides
Du théorème du moment cinétique appliqué aux machines à l ’équation d ’Euler des turbomachines :
Ex1 : machine hydraulique radiale
Volume de contrôle fixe et, O point fixe
appartenant à l ’axe de rotation z:
En projection selon z :
r rr
r
r
r
r
r
eZ .∫ ρ OM ∧ V (V .n )dS = eZ .∫ OM ∧ Σ.n dS + eZ .∫ OM ∧ ρgdv
SC
SC
VC
1444424444
3 14
4
42444
3 14
4
42444
3
= m& ( r2 Vθ 2 − r1 Vθ 1 )
=0
= M OZ
MOZ est le moment des forces exercées sur fluide à l ’intérieur du volume VC.
Hyp. Écoulement uniforme en entrée (indice 1) et sortie (indice 2)
Rque : MOZ est le moment des forces exercées sur fluide au niveau des aubes !
Cf le moment des forces de pression exercées sur S1 ou S2 est nul car ces efforts sont radiaux
M OZ = m& (r2 Vθ 2 − r1 Vθ 1 )
Vitesse de rotation de la machine : ω autour de l ’axe z
Puissance transférée vers le fluide par le rotor
W& ext , A = M OZ ω = m& ( r2 Vθ 2 − r1 Vθ 1 )ω = m& (U 2Vθ 2 − U1 Vθ 1 )
(>0 si reçue par le fluide)
W&ext , A = m& (U 2Vθ 2 − U1 Vθ 1 )
Equation d ’Euler des turbomachines !
(convention : 1, 2 = entrée, sortie du rotor)
(7)
34
17
07/04/2014
section 2 : Fonctionnement général : triangle des vitesses, outils de la mécanique des fluides
Exercice 1 :
Sur l ’utilisation des triangles de vitesse, de la relation d ’Euler, et du bilan d’énergie mécanique
1/ Tracer les triangles des vitesses en entrée et en sortie d ’une pompe centrifuge telle que :
D1=20 cm, D2=40cm, b2=0.5b1, la roue tourne à 1500 tr/mn
V1=4m/s, α1=90° (entrée radiale), β2=150°
donner les AN
2/ Quelle est la puissance par unité de débit Wext,A ?
3/ Calculer l ’augmentation de pression P2-P1.
Indications : Wext,A=768 J/kg, surpression de 4.68 bar
35
section 2 : Fonctionnement général : triangle des vitesses, outils de la mécanique des fluides
II.5/ Analyse en lecture autonome d’une machine axiale
Choix d ’un volume de contrôle fixe (entrée-sortie du rotor, ou entrée-sortie du stator)
+ régime permanent
Approche homogénéisée, profils de vitesses uniformisés; indices 1 et 2 en entrée et sortie
Volume de contrôle du rotor d ’une machine axiale :
(de type cylindre évidé du cylindre constitué par le moyeux)
Ra
Rb
S1
S2
S=π(Ra2 –Rb2)
NBB : Pas d’encombrement des
pales !
36
18
07/04/2014
section 2 : Fonctionnement général : triangle des vitesses, outils de la mécanique des fluides
Ex2 de bilan de masse : machine hydraulique axiale
Volume de contrôle d ’une machine hydraulique axiale :
(pompe à hélice ou pompe axiale)
r r
Vr = 0
r
r
U1 = U 2
+ On considère que le fluide s’écoule le long d’un rayon moyen Rm=(Ra+Rb)/2
U 2 = U1 = U = Rmω
S1
S2
Bilan de masse : ρS1V1z=ρS2V2z
Pour les machines axiales incompressibles en général les sections S1 = S2 = S = π(Ra2 –Rb2)
et S1=S2=S
=> V1z=V2z
37
section 2 : Fonctionnement général : triangle des vitesses, outils de la mécanique des fluides
Ex2 : Machine hydraulique axiale
On conserve la relation d ’Euler et on a :
U 2 = U1 = U
W&ext , A = m& U (Vθ 2 − Vθ 1 )
(convention : 1, 2 =
entrée, sortie du rotor)
NB :Puissance transférée plus importante dans les machines radiales qu ’axiales
(cf on varie U et Vθ dans les machines radiales, alors qu ’on ne change pas U entre
l ’entrée et la sortie des machines axiales)
38
19
07/04/2014
section 2 : Fonctionnement général : triangle des vitesses, outils de la mécanique des fluides
Schéma des triangles de vitesses dans une Machine axiale :
(entrées-sorties des rotors et stators)
Ces 2 schémas dépliés montrent pour une turbine puis une pompe, l’évolution du triangle des vitesses à la traversée
du stator et du rotor (dont l’ordre est inversé pour la pompe) depuis l’amont jusqu’à l’aval de la machine.
(Les sections de passage du débit sont invariantes, les vitesses adéquates tangentes aux aubes …)
Etage complet d ’une turbine axiale périodique
Etage complet d ’une pompe axiale périodique
Rotor
(W tangent à l ’aube)
V3
W3
r
U
V3 z = V2 z = V1z
V1
V2
V1
r
U W V2
1
Partie
fixe
V1
V3 z = V2 z = V1 z
V2
W2
(V tangent à l ’aube)
W2
W& ext , A = m& U (Vθ 3 − Vθ 2 ) < 0
{ {
<0
>0
V2
Partie
fixe
Rotor
W&ext , A = m& U (Vθ 2 − Vθ 1 ) > 0
{
{
>0
> 0 moindre
39
section 2 : Fonctionnement général : triangle des vitesses, outils de la mécanique des fluides
II.6/ Théorème de Bernoulli en repère relatif en rotation uniforme
Dans le rotor le mouvement absolu ne peut être considéré comme permanent le long d’une ldc
MAIS
le mouvement relatif peut être considéré comme permanent et on peut définir une ligne de
courant entre l ’entrée (1) et la sortie (2) du rotor et lui appliquer le théorème de Bernoulli par
exemple pour examiner les variations d ’énergie ou de pression.
Pour un fluide parfait et une rotation uniforme le théorème s ’énonce :
(W22 − U 22 )
(W 2 − U12 )
+ ρgz2 = P1 + ρ 1
+ ρgz1
2
2
Pour un fluide réel et une rotation uniforme :
P2 + ρ
P2 + ρ
(W22 − U 22 )
(W 2 − U12 )
+ ρgz2 = P1 + ρ 1
+ ρgz1 − ξ{
12
2
2
≥0
(8)
(U = rΩ)
Démonstration (cf Polycopié complet sur Moodle ou Tritton (4)) :
NB :
Il y a équivalence entre le {théorème de Bernoulli en mouvement relatif, le bilan d’énergie mécanique} & l ’équation d ’Euler
Exercice imposé
NB : Danger : savoir choisir le théorème de Bernoulli adéquat dans un rotor ou un stator !!
Pour le rotor : écoulement permanent dans le référentiel en rotation !
=> Bernoulli en réf. tournant
Pour le stator : écoulement permanent dans le référentiel du labo. !
=> Bernoulli en réf galiléen
20
07/04/2014
Chapitre 2 : Courbes caractéristiques des Pompes & Turbines
Chapitre 2 : Courbes caractéristiques des Pompes & Turbines
41
Chapitre 2 : Courbes caractéristiques des Pompes & Turbines
•
Questions posées :
(1)
Comprendre les évolutions de l’énergie mécanique et de la pression (Charge,
Hauteur piézométrique) à l’intérieur d’une pompe
(1)
Analyser les pertes d’énergie
(2)
Comprendre la forme des courbes caractéristiques réelles en fonction du
débit Q : Hmp(Q), η(Q) …
Démonstrations et analyse précise en BE 1 !!
42
21
07/04/2014
Chapitre 2 : Courbes caractéristiques des Pompes & Turbines
BE1 : Evolutions de l’énergie mécanique et de la pression à l’intérieur de la pompe
(2) On examinera en BE l’évolution de la charge et de la
hauteur piézométrique à la traversée d ’une pompe
(1) On démontrera en BE que les Courbes
caractéristiques à vitesse de rotation ω fixée
ont la forme suivante
Chapitre 2 : Courbes caractéristiques des Pompes & Turbines
2.1/ Les 3 Courbes caractéristiques d ’une pompe : : à vitesse de rotation ω
fixée
•
Courbe caractéristique réelle Hmp(Q)
•
hauteur manométrique pompe(énergie totale fournie au liquide
entre les sections d ’entrée et de sortie) : HmP = ∆esHtot
Rendement η(Q)
Zone optimale d’utilisation
H th
δJ f
δJ S
H mP
(β2.>π/2) aubes
courbées en arrière
•
NPSH(Q) (cf cavitation)
hauteur d ’aspiration
requise ou NPSH (Net
Positive Suction Head)
hauteur en m
(β2.>π/2) aubes
courbées en
arrière
Patm − PVS (T )
− has
ρg
(NPSHrequis)
donnée
constructeur
(NPSHdispo)
Domaine de cavitation
Qcrit
44
Q
22
07/04/2014
Chapitre 2 : Courbes caractéristiques des Pompes & Turbines
2.2/ Courbes caractéristiques d ’une turbine (à ω constante)
NB : les turbines ont des variables de réglages
internes supplémentaires par rapport aux pompes.
Il s ’agit de :
-le degré d ’ouverture du distributeur x (rapport
entre la section de passage et la section maximale
autorisée),
- l ’angle de calage des aubages rotoriques i
Position fixe de
l ’organe de
réglage de débit
Au lieu d’utiliser les courbes similaires à celles des pompes
obtenues pour une géométrie d’aubes fixée, on utilise les Collines
de rendement. Qu’est-ce ?
A/ Courbes à ouverture du distributeur
(notée A ici) fixe
:
(ou à réglage du pointeau fixe)
Méthode d ’obtention :
(1) essais sur modèles réduits, simulation numérique
(2) conversion des courbes d ’essais pour les machines réelles
en utilisant les lois de la similitude
(3) Analyse théorique pour une turbine centripète utilisant la
Formule d ’Euler (id démonstration sur pompes)
Chapitre 2 : Courbes caractéristiques des Pompes & Turbines
Courbes caractéristiques à vitesse constante
B/ Colline des rendements H(Q) :
Courbes à différentes ouvertures du distributeur
=>
on construit un faisceau de courbes H(Q) auquel on
superpose des lignes de rendement constant
23
07/04/2014
Chapitre 3 : Analyse adimensionnelle
Chapitre 3 : Analyse adimensionnelle
47
Chapitre 3 : Analyse adimensionnelle
Plan du chapitre 3
•
•
3.1/ Analyse adimensionnelle
•
3.2/ Conditions de similitude
•
3.3/ Utilisation de la similitude
•
3.4/ Vitesse spécifique, classement des machines
Questions posées :
Comment varie le fonctionnement d ’une machine quand on change la vitesse de rotation N ?
Quelles sont les caractéristiques d ’une machine géométriquement semblable à une machine
donnée mais de dimension différente ?
Comment fabriquer une machine réelle à partir d’une maquette ?
48
24
07/04/2014
Chapitre 3 : Analyse adimensionnelle
•
3.1/ Analyse adimensionnelle
• Quels sont les nombres adimensionnels qui régissent le fonctionnement d’une
machinede géométrie donnée ?
• On étudie des familles de machines géométriquement semblables
(caractérisées par une seule longueur de référence notée r)
L’ensemble des machines d’une même famille est caractérisé par d’uniques rapports des dimensions
linéaires à cette échelle de longueur r & par la constance des angles d’aubages homologues
Quels rotors sont géométriquement semblables ?
49
Chapitre 3 : Analyse adimensionnelle
•
3.1.a/ Analyse adimensionnelle pour les pompes
L’analyse adimensionnelle :
5 variables indépendantes : ρ, µvisc , r, ω, Q (volumique)
2 Nombres adimensionnels dont dépend le problème :
L’usage => Nombre de Reynolds & coefficient de débit :
Re =
ρω r 2
µvisc
δ=
Q
ω r3
**
• Choix de variables dépendantes pour caractériser le fonctionnement de la pompe :
Hauteur manométrique
H mP
Rendement hydraulique d’aubages
ηH
On construit les nombres sans dimension qui caractérisent le fonctionnement. Les plus courants sont :
µ=
gH mP
ω 2r 2
Pouvoir manométrique ou
coefficient de pression
ηH
Rendement hydraulique
d’aubages
50
25
07/04/2014
Chapitre 3 : Analyse adimensionnelle
NBB : la dépendance en Reynolds est faible (à grand Re), et on l’élimine donc ! Sauf pour du pompage de fluides très visqueux.
• Le fonctionnement des pompes est caractérisé de façon générale par les relations entre nombres
adimensionnels de la forme :
µ=f1(Re,δ),
ηH=f2(Re,δ) ...
Les caractéristiques de toutes les pompes géométriquement semblables sont résumées
par ces deux courbes !
Cela justifie l’essai de pompes sur maquettes par ex.
51
Chapitre 3 : Analyse adimensionnelle
•
3.1.b/ Analyse adimensionnelle pour les turbines
NB : L ’ouverture du distributeur x et/ou l ’angle de calage des aubes du rotor i sont deux
variables supplémentaires de réglage des turbines / pompes.
N=6 (ou 7) variables indépendantes : ρ, µvisc , r, H, ω, x (et i)
3 (ou 4) Nombres adimensionnels dont dépend le problème
l ’usage =>
Re =
ρω r 2
µ visc
µ=
gH
ω 2r 2
(9)
Pouvoir
manométrique
x (et i)
Choix de variables dépendantes pour caractériser le fonctionnement :
débit Q (volumique) , Rendement hydraulique global ...
On construit les nombres sans dimension qui caractérisent le fonctionnement. Les plus courants sont :
δ=
Q
ω r3
(10)
coefficient de débit
ηt =
Pmec
Phyd
Rendement hydraulique
d’aubages
...
Le fonctionnement en similitudes de turbines géométriquement semblables est donc régi
par les relations entre variables réduites dites « coefficients de Rateau » :
δ = δ (Re, µ , x, i )
ηt = ηt (Re, µ , x, i )
...
26
07/04/2014
Chapitre 3 : Analyse adimensionnelle
Attention ! Pas facile !
• 3.2/ Conditions de similitude
Similitude =
Machines géométriquement semblables
(Chaque machine est caractérisée par une seule longueur r )
+
Similitude de fonctionnement :
Cad qu’en tous points homologues, on a des champs des vitesses absolues et
relatives semblables (cf figure) (conservat° des angles du triangle des vitesses)
Pour un fonctionnement de 2 machines (A) et (B) géométriquement
semblables & fonctionnant en similitude on a :
δA = δB
(démo ci-dessous*)
Peu de dépendance en Re =>
µ A = µB
L ’analyse adimensionnelle permet alors d’écrire :
* Démonstration :
• Triangles des vitesses semblables
& géométrie semblable =>
introduisons les facteurs c & λ tels que
(angles conservés =>
Th. Thalès valable)
r
W
r
V
ub = cu a
vrb = cvra
vθb = cvθa
rb = λra
bb = λba
r
u
u =ωr
*
Triangles des vitesses
semblables de 2 pompes du
même type en similitude
η A = ηB
et
…
Qb ≈ vrb rb bb ≈ cvra λra λba ≈ cλ2Qa
δb =
Qb
ωb rb3
=
cλ2Qa
c(ωa ra )λ2 ra2
** H th )b = (u2 vθ 2 − u1 vθ 1 )b = c 2 H th ) a
g
= δa
µa )b =
gH th )b
= µa ) a
ub2
Nb : stricto sensu Re b = Re a demanderait
cλ
de vérifier
µb
=1
µa
Chapitre 3 : Analyse adimensionnelle
• Attention !!
Si entre 2 machines géométriquement semblables les points de fonctionnement n’assurent pas que
les triangles des vitesses soient semblables alors on ne peut pas utiliser les lois de similitude !!!
Les angles du triangle des vitesses ne sont pas conservés entre n’importe quels points de
fonctionnement (ωa, Qa) et (ωb, Qb)
La similitude de fonctionnement demande donc d’être dans des conditions particulières des vitesses
de rotation et de débits des 2 machines géométriquement semblables.
• Exemple où il n’y a pas similitude entre des machines radiales a et b :
rayon caract.
rb = λra
hauteur caract.
bb = λba
entraint.
ub = cu a
vitesse
vitesse en θ
vθb = cvθa
vitesse en r
vrb ≠ cvra
(vrb = dvra )
Qb = 2πrb bb vrb = 2π (λra )(λba )vrb = λ2
vrb
Qa = λ2 dQa
vra
λ dQa
Qb
d
=
= δa ≠ δa
3
ωb rb c(ωa ra )λ2 ra2 c
2
δb =
donc pas de similitude !
même si :
H th )b =
(u 2 vθ 2 − u1 vθ 1 )b
= c 2 H th ) a
g
µa )b =
gH th )b
= µa ) a
ub2
dans ce cas particulier, mais fortuit !!
54
27
07/04/2014
Chapitre 3 : Analyse adimensionnelle
•
Rappel définitions
3.3.a/ Utilisation de la similitude des pompes
gH mP
ω 2r 2
Q
δ= 3
ωr
µ=
1er exemple : Connaissant les courbes de fonctionnement d ’une pompe tournant à la vitesse ω1,
déterminer le fonctionnement de cette même pompe, véhiculant le même fluide mais tournant à une
vitesse différente ω2 :
On ne peut faire le calcul que dans des conditions de similitude !
Fonctionnement 2 à vitesse ω2 ?
Fonctionnement 1 à vitesse ω1 connu
on connaît les caractéristiques
HmP1(Q1) , η1(Q1)
On cherche les caractéristiques en
similitude (Q , H ,η )
2
mP2 2
et notamment un point :
(Q1 , H mP1 ,η1 )
dimension
similitude
r
conservée
δ1 = δ 2
µ1 = µ 2
η1 = η 2
Q2 ω2
=
Q1 ω1
H mP 2 ω22
=
H mP1 ω12
55
η1 = η 2
gHmP
Chapitre 3 : Analyse adimensionnelle
Connaissant HmP(Q) à ω1 on peut donc
construire HmP(Q) à ω2 !
1
2
Caractéristiques à diverses vitesse de rotation
Commentaires :
C1 : Les fabricants proposent divers ‘modèles de pompes’ en gardant un même corps de pompe
(rotor + stator) mais en entrainant le rotor avec différents moteurs et en changeant la vitesse
de rotation ω => ils peuvent ainsi proposer des produits assurant différentes courbes
caractéristiques bien déterminées du plan Hmp(Q) !
C2 : Un moteur à vitesse de rotation réglable permet de se régler aisément un débit
56
28
07/04/2014
Chapitre 3 : Analyse adimensionnelle
Exercice 1 :
Une pompe de la famille définie par les courbes ci-contre
a un rayon r=20cm, une vitesse de rotation ω=1500 tr/min.
Estimer au point de fonctionnement optimal,
(1) le débit Q,
(2) la hauteur manométrique Hmp,
(3) l’élévation de pression,
&
(4) la puissance sur l’arbre du moteur Warbre
si on admet que le rendement mécanique ηm = 0,7
(5) le NPSH)requis et la hauteur maximale d’installation sans
cavitation si on néglige la perte de charge dans le circuit
d’alimentation
ηΗ
ηΗ
0,6
µ
µ
0,4
0,2
µcavit
µcavit
X
10
0
δ (x 10)
Indications de correction :
Q~0,014m3/s; Hmp~51 m; ∆P~5 Pa;
ηΗ~0,88; Warbre~11,8 kW
NPSH)requis ~3 m; haspi<7 m
µcavit =
g ( NPSH )
ω 2r 2
57
Chapitre 3 : Analyse adimensionnelle
•
3.3.b/ Utilisation de la similitude des turbines
(1) Changement de caractéristiques lié à un changement de taille d’une turbine
Pbe : calculer les caractéristiques d’une turbine de forme géométriquement semblable à
un modèle réduit pour lequel on connaît les courbes de performances
Maquette
?
µ1 =
gH
= µ2
ω 2r 2
δ1 =
Q
ωr 3
= δ2
Turbine en grandeur
réelle
Turbine Francis, centrale d ’Itaipu
(18 turbines , 740 MW) (Photo P Henry)
Démonstration : page ci-après en lecture autonome
29
07/04/2014
Chapitre 3 : Analyse adimensionnelle
Démonstration :
Fonctionnement 2 de la machine réelle ?
Fonctionnement 1 de la maquette connu
on connaît les caractéristiques :
r1 dimension, angles
&
H1(Q1) , η1(Q1) à ω1
On cherche les caractéristiques en
similitude :
la dimension r2, pour les mêmes angles
&
(ω2 , Q2 , H2 ,η2 ) pour la similitude
et notamment un point :
(ω1 , Q1 , H1 ,η1 )
dimension
similitude
r
transformée
Q2 ω2 r23
=
Q1 ω1 r13
δ1 = δ 2
µ1 = µ 2
η1 = η 2
H 2 ω22 r22
=
H1 ω12 r12
cqft
η1 = η 2
Rappel définitions
gH mP
ω 2r 2
Q
δ= 3
ωr
µ=
NB1 : Si l’installation réelle impose (Q2 et H2) alors on en déduit ω2 et r2 par exemple.
NB2 : puissance P=ρgQH, couple T=P/ω.
59
Chapitre 3 : Analyse adimensionnelle
(2) Courbes représentatives du fonctionnement d’une famille de machines
En pratique, le fonctionnement en similitudes de turbines n’est pas représenté par les
courbes associées aux coefficients adimensionnels de Rateau : δ = δ ( µ , x, i ) η t = η t ( µ , x , i )
…!…
• On utilise plutôt des Collines de rendement utilisant des variables réduites de la machine réelle qui correspondent
à un fonctionnement en similitude avec une machine modèle travaillant sous une hauteur H = 1 m et avec un diamètre de
rotor D = 1 m.
•Ces variables réduites sont:
La vitesse angulaire réduite N11 : vitesse (tr/min) de la machine modèle de diamètre 1m, qui fonctionnerait en similitude
sous une hauteur de 1m
Le débit réduit Q11 ; la puissance réduite P11 (en W ou kW) ; le couple réduit C11 : idem pour la machine modèle
On définit ces variables à partir des données de la machine réelle (vraie vitesse de rotation N, vrai diamètre D, vrai
débit Q, vrai hauteur H) :
N11 = N
D
H 1/ 2
Q11 =
Q
D 2 H 1/ 2
P11 =
P
D2 H 3/ 2
C11 =
C
D3H
Ces variables réduites N11, Q11, P11 et C11 ne sont pas adimensionnelles, leur valeur dépend du système d’unités utilisé.
Mais D et H doivent être exprimés en m ! ( en raison de la similitude).
Ces variables se conservent dans une similitude.
• Les relations caractéristiques d’une famille de turbines sont donc données sous la forme :
Q11 = f1(N11, x, i) ; C11 = f2(N11, x, i) ; P11 = f3(N11, x, i) ; η = f4(N11, x, i)
Exercice formateur : retrouver les définitions de N11, Q11 et P11 en utilisant la similitude
30
07/04/2014
Chapitre 3 : Analyse adimensionnelle
Exemple de Colline de rendement utilisant des variables réduites :
Une représentation très utilisée des courbes de fonctionnement d’une famille de turbines consiste à
tracer : (1) P11 ou Q11 en fonction de N11 avec x comme paramètre & (2) les courbes joignant entre eux
les points d’égal rendement.
Ces courbes sont nommées collines de la famille de turbines.
Cas avec ouverture x réglable
P11 =
P
D 2 H 3/ 2
N11 = N
D
H 1/ 2
Attention : selon les cas P=PHyd ou P=ηPHyd !
Chapitre 3 : Analyse adimensionnelle
•
3.4a/ Vitesse spécifique, classement des pompes centrifuges
NB : Pour conserver un rendement appréciable & une taille raisonnable du rotor il faut choisir
une classe de machine en fonction de ce que l’on appelle la vitesse spécifique ΩS (ou NS)
Vitesse angulaire spécifique (ou nombre de tours spécifique)
Concept basé sur les propriétés de similitude, utile pour le choix d’une pompe pour une
application donnée, cf il permet une classification des pompes selon leur type.
C’est une combinaison de µ et δ , qui se conserve donc dans la similitude, et qui permet
d’éliminer r et ne fait intervenir que des grandeurs intéressant l’installation hydraulique,
à savoir : Q, HmP et ω.
Mais: DANGER cf ce n’est pas un nombre sans dimension !
ΩS =
Q1 / 2
δ 1/ 2
= ω 3/ 4 3/ 4
3/ 4
g H mP
µ
NS =
Q1 / 2
60
ΩS g 3 / 4 = N 3/ 4
2π
H mP
selon les auteurs
en tr/mn
Pour aller plus loin : démonstration : l’élimination de r entre µ et δ permet d’introduire un nouveau nombre adim conservé dans la similitude
µ =
gH
ω 2r 2
= cste
Q
δ = 3 = cste
ωr
On définit donc Ns qui
se conserve dans la
similitude
δ 2 Q 2ω 4
=
= cste
µ 3 g 3H 3
N S = g 3/ 4
1/ 2
Q1 / 2
2π δ
= N 3/ 4
20 µ 3 / 4
H
Q1/ 2
δ 1/ 2
= ω 3 / 4 3 / 4 = cste
g H
µ 3/ 4
Au sens de : Vitesse de rotation (en tr/min) d’une machine de la
famille considérée fonctionnant en similitude et capable de
débiter Q=1 m3/s sous H=1m
ω=
2πN
60
62
31
07/04/2014
Chapitre 3 : Analyse adimensionnelle
Classification des pompes en fonction de la vitesse angulaire spécifique (ou du
nombre de tours spécifique)
radiale
axiale
Dans ce tableau
ΩS =
δ 1/ 2
µ 3/ 4
Augmenter Ω S
augmenter δ et diminuer µ
passage de pompes radiales à des pompes hélico-centrifuges puis axiales …
63
Chapitre 3 : Analyse adimensionnelle
3.4.b/ Classification des turbines classiques, domaines d ’application
Les types de turbines sont classés en fonction de la vitesse spécifique.
Le plus souvent on utilise la définition suivante de NS : « le nombre de tours par minutes d ’une turbine
en similitude qui fonctionnerait sous 1 m de chute en produisant 1kW. »
Cela revient à écrire :
NS = N
1/ 2
Phyd
NB : N et Ns en tr/min ; H en m ; Phyd en kW
H 5/ 4
NB : Il existe une autre définition de la vitesse spécifique dans la littérature : nq d ’une turbine
travaillant sous 1 m de chute avec un débit de 1m3/s
nq = N
Q1 / 2
3/ 4
H mP
Attention à bien identifier la définition avec laquelle on travaille !
32
07/04/2014
Chapitre 3 : Analyse adimensionnelle
Classification en 3 technologies principales …
Roue de turbine Pelton
Machine « à action »
Roue d’une turbine Francis
Machine « à réaction »
Roue d’une turbine Kaplan
Machine axiale « à réaction »
On choisit la technologie en fonction de la chute à équiper :
cad en fonction de (Q, Hn) ou mieux : en f° des vitesses spécifiques Ns ou nq
Q
H
Règle élémentaire de choix des turbines :
Vitesses spécifiques (Ns et nq ) et hauteurs d’utilisation des différentes turbines
Type de turbines NS (tr/mn)
Pelton
6 à 60
Francis
50 à 350
Kaplan
200 à 950
nq(tr/min)
2 à 20
16 à 120
65 à 300
Hn(m)
40 à >1 000 grand
6 à 250
moyen
2 à 20
petit
Q (m3/s)
Q<1
petit
1<Q<10 moyen
1<Q<20 grand
65
Merci de votre attention,
des questions ?
66
33
07/04/2014
Formulaire (1/2)
r
Vitesse de rotation du rotor : ω
s
(P − P )
∆ E& C + E& P = W&ext , A − m& ∫ δψ − m& s e
s
e
{
}
ρ
e
(2)
r
(1)
Vitesse absolue : Vr
Vitesse relative : W
W& int
Machines « modèles » :
r
r
WZ ≈ 0 re ≠ rs
r
r
re ≈ rs
Wr ≈ 0
r
r
a/ radiales VZ ≈ 0
r r
b/ axiales Vr ≈ 0
Identification des entrées et sorties :
re = ?
(3-a)
r r r
V = U +W
r
V
α
β
r r r
U =ω∧r
(4-a)
r r
α = (U ,V )
r
U
(4-c)
r
r
(3-b)
Pompes centrifuges et Turbines centripètes
c/ hélices ou mixtes
r
W
rs = ?
β = (U , W )
r
W
r
V
(4-b)
tangent à l ’aube dans le rotor
(5)
tangent à l’aube dans le stator
r r r
V = U +W
67
Formulaire (2/2)
Volume de contrôle fixe (entrée-sortie du rotor)
rr
∫
ρV .n dS = 0
∫
SC
ρV (V .n ) dS = − ∫ PndS + ∫ Σ .ndS + ∫ ρgdv
∫
SC
ρ OM ∧ V (V .n )dS = − ∫ OM ∧ Pn dS + ∫ OM ∧ Σ .n dS + ∫ OM ∧ ρgdv
SC
(6)
r rr
r
V
SC
r
r
SC
r rr
r
V
SC
W&ext , A = m& (U 2Vθ 2 − U1 Vθ 1 )
(*)
VC
r
SC
r
(**)
VC
Equation d ’Euler des turbomachines !
(7)
( Machines axiales et / ou radiales )
Pour un fluide réel et une rotation uniforme le théorème de Bernoulli en
repère relatif s ’énonce :
P2 + ρ
µ=
δ=
(W22 − U 22 )
(W 2 − U12 )
+ ρgz2 = P1 + ρ 1
+ ρgz1 − ξ{
12
2
2
≥0
gH
ω 2r 2
Q
ω r3
(U = rΩ)
(8)
(9) Pouvoir manométrique
(10) coefficient de débit
68
34