ex - series entieres

EX - SERIES ENTIERES
Un type de séries de fonctions qui joue un rôle important en mathématiques est constitué de fonctions
puissances et généralise les fonctions polynômes : ce sont les séries entières, que nous allons étudier
dans ce chapitre. Nous verrons en particulier une application dans la résolution de certaines équations
différentielles linéaires.
1. Définition d’une série entière
Soit (an)n≥0une suite de nombres complexes, et xun nombre réel ou complexe. On appelle série
entière de coefficients anla série de terme général anxn. Par abus de langage on appellera parfois
cette série « la série entière
∞
X
n=0
anxn».
Si l’on pose, pour xréel,
un(x) = anxn,
on pourra considérer la série entière comme une série de fonctions définies sur R, et étudier les pro-
priétés de la fonction considérée.
Remarque : on ne s’occupera pas dans ce chapitre de l’aspect fonctionnel lorsque xest dans C, ce qui
ne nous interdit pas de considérer la série entière dans ce cas.
2. Rayon de convergence d’une série entière
Considérons l’ensemble Iconstitué des nombres réels positifs rtels que la suite (anrn)n≥0soit bornée.
Cet ensemble contient 0et n’est donc pas vide. Si rappartient à I, et si 0≤r′≤ron a
|an|r′n≤ |an|rn,
donc la suite (anr′n)n≥0est également bornée. Il en résulte que Iest un intervalle de borne inférieure
0. On appelle rayon de convergence de la série entière de coefficients anla borne supérieure R
(éventuellement infinie) de l’intervalle I.
Etudions la convergence de la série suivant les valeurs de x∈C.
– Si |x|> R, alors la suite (anxn)n’est pas bornée. Elle ne converge pas vers 0, et la série ne converge
pas.
– Si |x|< R. Soit rtel que |x|< r < R. Alors, en écrivant
|anxn|=|an|rn|x|
rn
,

EX 2
et puisque la suite (anrn)est majorée par une constante M, on a
|anxn| ≤ M|x|
rn
.
Mais puisque |x|/r < 1, le membre de droite est le terme général d’une série géométrique conver-
gente, et la série de terme général anxnconverge absolument, donc converge.
Si le rayon de convergence Rn’est pas nul, on appelle disque de convergence de la série entière le
disque ouvert de centre O et de rayon R. Si l’on se limite aux nombres réels, on appellera intervalle
de convergence de la série entière l’intervalle ]−R, R [.
Ce qui précède ne donne aucun renseignement sur ce qui se passe lorsque |x|=R, et, suivant la série
considérée, on verra qu’elle peut converger ou diverger.
Nous résumons tous ceci dans le tableau suivant.
|x|< R |x|=R|x|> R
La série de terme général anxn
converge absolument
La série de terme général anxn
ne converge pas absolument
La série de terme général anxn
converge
La série de terme général anxn
diverge
La suite (anxn)n≥0
converge vers 0
La suite (anxn)n≥0
ne converge pas vers 0
La suite (anxn)n≥0
est bornée
La suite (anxn)n≥0
n’est pas bornée
Il peut se passer
n’importe quoi

EX 3
Remarques.
1) Dire que R= 0 revient à dire que la série de terme général anxnconverge uniquement si x= 0.
Dans ce cas la série n’a pas d’intérêt.
2) Dire que R=∞revient donc à dire que la série de terme général anxnconverge absolument quel
que soit xcomplexe. Le « disque » de convergence est Ctout entier.
3) Dire que la série entière de coefficients anconverge pour un nombre xsignifie que son rayon Rest
tel que |x| ≤ R.
4) Dire que la série entière de coefficients andiverge pour un nombre xsignifie que son rayon Rest
tel que |x| ≥ R.
5) Il résulte du chapitre sur les séries que la série géométrique de terme général xnest une série entière
de rayon 1. Par ailleurs un polynôme est une série entière de rayon infini. En particulier la série nulle
est une série entière de rayon infini.
6) Le rayon de convergence d’une série entière ne dépend pas des premiers termes de la série. On peut
modifier un nombre fini de coefficients sans modifier le rayon de convergence.
7) Comme la convergence est absolue si |x|< R, on peut donc sommer une série entière par paquets,
ou réarranger l’ordre des termes.
Donnons quelques résultats sur les rayons de convergence.
Tout d’abord, on peut comparer les rayons de convergence de deux séries si l’on sait comparer leurs
coefficients.
Soit (an)et (bn)deux suites de nombres complexes. Soit R1le rayon de convergence de la
série entière de coefficients anet R2celui de la série entière de coefficients bn. Alors
– si à partir d’un certain rang |an| ≤ |bn|, on a R2≤R1
– si |an| ∼ |bn|, on a R2=R1
Si à partir d’un certain rang |an| ≤ |bn|, on a pour tout x
|anxn| ≤ |bnxn|.
Or si |x|< R2la série de terme général |bnxn|converge, donc la série de terme général |anxn|
converge. Alors R1≥R2. (Il faut faire attention au renversement de l’inégalité).
Si |an| ∼ |bn|, alors
|anxn| ∼ |bnxn|,
la série de terme général |anxn|et la série de terme général |bnxn|sont de même nature. Les deux
séries auront donc le même rayon de convergence. 

EX 4
Par ailleurs, en raison de la convergence absolue, on peut extraire une série entière d’une autre.
Soit (an)une série entière de rayon R, et ϕune application strictement croissante de Ndans
N. Alors la série entière de terme général aϕ(n)xϕ(n)est de rayon R′≥R.
Remarque : c’est la cas des séries des termes de rang pair et de rang impair.
3. Opérations sur les séries entières
Nous allons voir quelques opérations que l’on peut effectuer sur les séries entières et ce que l’on peut
dire des rayons de convergence.
Somme
Soit (an)et (bn)deux suites de nombres complexes. Soit R1le rayon de convergence de la
série entière de coefficients anet R2celui de la série entière de coefficients bn. Alors le rayon
Rde convergence de la série entières de coefficients an+bnvérifie
R= inf(R1, R2)si R16=R2
R≥R1si R1=R2
et si |x|<inf(R1, R2),
∞
X
n=0
(an+bn)xn=
∞
X
n=0
anxn+
∞
X
n=0
bnxn.
Si |x|<inf(R1, R2)les séries de terme général anxnet bnxnconvergent toutes les deux, donc la
série de terme général (an+bn)xnégalement. Il en résulte que l’on a R≥inf(R, R′), et que si
|x|< R, on a l’égalité ∞
X
n=0
(an+bn)xn=
∞
X
n=0
anxn+
∞
X
n=0
bnxn.
Si R1=R2on ne peut rien dire de plus.
Par contre si R16=R2, choisissons xstrictement compris entre R1et R2. Alors une des deux
série converge, et l’autre diverge donc la somme diverge. Il en résulte que Rest plus petit que
inf(R1, R2).

EX 5
Remarques.
1) Si R1=R2, le rayon de la série somme peut être effectivement plus grand. Par exemple, les séries
de terme général xnet −xnsont de rayon 1, mais leur somme est la série nulle de rayon infini.
2) Lorsque R16=R2, si |x|>sup(R1, R2)les deux séries divergent et leur somme également.
Multiplication par un scalaire
Soit (an)une suite de nombres complexes, et λun nombre complexe non nul. Les séries
entières de coefficients anet λanont le même rayon de convergence R, et, si |x|< R, on a
∞
X
n=0
(λan)xn=λ
∞
X
n=0
anxn.
D’après les résultats sur les séries numériques, on sait que la série de terme général anxnest de
même nature que la série de terme général λanxn, ce qui montre que les deux séries entières ont
le même rayon de convergence, et lorsque les séries convergent on a l’égalité voulue. 
Produit
Soit (an)et (bn)deux suites de nombres complexes. Soit R1le rayon de convergence de la série
entière de coefficients anet R2celui de la série entière de coefficients bn. Alors le rayon Rde
convergence de la série entière produit de coefficients
n
X
k=0
akbn−kest tel que R≥inf(R1, R2)
et si |x|<inf(R1, R2),
∞
X
n=0 n
X
k=0
akbn−k!xn= ∞
X
n=0
anxn! ∞
X
n=0
bnxn!.
Si |x|<inf(R1, R2)les séries de terme général anxnet bnxnconvergent toutes les deux absolu-
ment, donc la série produit également. Elle a pour terme général
n
X
k=0
(akxk)(bn−kxn−k) = n
X
k=0
akbn−k!xn.