1
Stéphanie Bonneau (d’après M.C. Fauure, S. Bernard)… - Copie et usage interdits
sans autorisation explicite des auteurs.
Equations différentielles
1. Définitions générales
1.1 Equations différentielles
On appelle équation différentielle du n-ième ordre, une relation de
la forme :
0)y ..., ,''y ,'y ,y ,x(F
)n(
=
(1)
L’ordre est celui de la dérivée de rang le plus élevé, contenue dans
cette équation.
Exemples
Eq. dif. du 1
er
ordre
0yx3'y
2
=+
Eq. dif. du 2
ème
ordre
0
y
4
'
'
y
=
+
Une éq. dif. d'ordre n est dite linéaire si elle est du 1
er
degré par
rapport à y, y', y'', ... et y
(n)
, c'est à dire de la forme :
)x(cy (x)a...''y (x)a'y (x)ay (x)a
(n)
n210
=++++
a
0
(x), a
1
(x), a
2
(x), ..., a
n
(x) sont des fonctions de x ou des
constantes.
Exemples
Eq. dif. non linéaire du 1
er
ordre
0xy3'y
3
=+
Eq. dif. linéaire du 2
ème
ordre
0
y
4
'
y
3
'
'
y
=
+
+
Si a
0
, a
1
, a
2
, ..., a
n
sont des constantes, l'éq. dif. est dite à
coefficients constants.
2
Stéphanie Bonneau (d’après M.C. Fauure, S. Bernard)… - Copie et usage interdits
sans autorisation explicite des auteurs.
Si c(x) = 0, l'éq. dif. est dite sans second membre.
Remarque
Nous nous limiterons à l'étude :
des éq. dif. du 1
er
ordre,
des éq. dif. linéaires du 2
nd
ordre à coefficients constants.
1.2 Solutions d’une équation différentielle
Résoudre une éq. dif. trouver la solution générale de cette
équation.
Solution générale d'une éq. dif. d'ordre n = fonction dépendant de
n constantes d'intégration arbitraires.
Une solution spécifique est obtenue pour des valeurs précises des
ctes arbitraires, vérifiant des conditions propres au problème posé.
3
Stéphanie Bonneau (d’après M.C. Fauure, S. Bernard)… - Copie et usage interdits
sans autorisation explicite des auteurs.
2. Equations différentielles du 1er ordre
2.1 Equations différentielles à variables
séparables
2.1.1 Définition
Forme générale
)y(h )x(g
dx
dy =
(2)
2.1.2 Résolution
L'équation (2) peut s'écrire sous la forme :
dx
)
x
(
g
dy
)
y
(
h
=
Les solutions sont
K
)
x
(
G
)
y
(
H
+
=
=
=dx )x(g)x(G ,dy )y(h)y(H avec
et K une constante arbitraire.
Exemple 1
Résoudre 0
=
+
x
sin
y
'
y
Exemple 2
Résoudre 0=
'
xy
y
2.2 Equations différentielles linéaires
2.2.1 Définition
Forme générale
)
x
(
c
y
)
x
(
b
'
y
)
x
(
a
=
+
(3)
4
Stéphanie Bonneau (d’après M.C. Fauure, S. Bernard)… - Copie et usage interdits
sans autorisation explicite des auteurs.
où a, b et c sont des fonctions continues de la variable x ou des ctes.
(3) peut se réécrire :
)
x
(
C
y
)
x
(
B
'
y
=
+
(4)
avec
)x(a )x(c
)x(Cet
)x(a )x(b
)x(B ==
.
2.2.2 Résolution
Recherche de y
H
(x)
solution de y' + B(x) y = 0
(5)
dx )x(B
y
dy
0y )x(B
dx
dy
H
H
H
H
==+
=
=
dx )x(B
K
y
ln dx )x(B
y
dy
H
H
H
D'où :
)x(v Ke Ky
dx )x(B
H
==
avec
constante uneK et e)x(v
dx )x(B
=
.
Recherche de y(x)
solution de y' + B(x) y = C(x)
Méthode de variation de la constante
On considère la cte K de la solution y
H
= K v(x) comme une fonction
de x.
On cherche donc y(x) sous la forme :
)
x
(
v
)
x
(
K
y
=
5
Stéphanie Bonneau (d’après M.C. Fauure, S. Bernard)… - Copie et usage interdits
sans autorisation explicite des auteurs.
D'où
dx
dK
v
dx
dv
K
dx
yd +=
ou encore
)
x
(
'
K
)
x
(
v
)
x
(
'
v
)
x
(
K
)
x
(
'
y
+
=
En reportant dans (4),
[
]
)x(Cv )x(B'v K'K v )x(Cv K )x(B'v K'K v
=
+
+
=
+
+
Or K v(x) vérifie l'équation (5)
[
]
0v )x(B'v K
=
+
Il reste donc
)
x
(
C
'
K
)
x
(
v
=
En intégrant, on obtient :
k)x(gdx
)x(v
)x(C
)x(K +=
=
où g(x) est une primitive de
)x(v )x(C
et k une constante arbitraire.
Ainsi :
[
]
k )x(g)x(v)x(v )x(K)x(y
+
=
=
Remarques
Eq. dif. du 1
er
ordre la solution générale ne comporte qu'une
seule cte (ici k).
Exemple 1 Résoudre
(
)
0
=
y
x
sin
'
y
Déterminer la solution vérifiant : y(0) = 1
Exemple 2
Résoudre 2
3
32
x
e x y x 'y =
6
Stéphanie Bonneau (d’après M.C. Fauure, S. Bernard)… - Copie et usage interdits
sans autorisation explicite des auteurs.
Exemple 3
Résoudre
x
sin
y
'
y
63 =+ .
En déduire la solution vérifiant y(x = 0) = 0.
3. Equations différentielles du 2e ordre, linéaires,
à coefficients constants
3.1 Définition
Forme générale
)
x
(
g
y
c
'
y
b
'
'
y
a
=
+
+
(6)
a, b et c sont des constantes et g(x) une fonction continue de la
variable x.
3.2 Résolution
y
P
=
solution particulre
de l'équation complète (6)
y
H
=
solution gérale
de l'équation sans 2
nd
membre
a y’’ + b y’ + c y = 0
y solution gérale
de (6) :
y = y
H
+ y
P
Recherche de y
H
solution de a y'' + b y' + c y = 0
On cherche des solutions de la forme :
xr
H
ey =
, où r
C.
xr2''
H
xr'
H
e ry ,e ry
==
(
)
xr2
H
'
H
''
H
e cr br ay cy by a
++=++
xr
H
ey
=
est solution de
0
y
c
'
y
b
'
'
y
a
=
+
+
ssi :
7
Stéphanie Bonneau (d’après M.C. Fauure, S. Bernard)… - Copie et usage interdits
sans autorisation explicite des auteurs.
0
c
r
b
r
a
2
=
+
+
équation caractéristique
Résolution de l'équation caractéristique calcul de = b
2
- 4 a c
3 formes de solutions selon le signe de
> 0
Solutions de l'équation caractéristique
2 racines réelles et distinctes r
1
et r
2
a2 ac4bb
r
r
2
2
1
±
=
Solution générale y
H
xr
2
xr
1
H
21
e Ce Cy +=
où C
1
et C
2
sont des constantes arbitraires.
Allure de la courbe représentant les variations de y
H
pour a, b et c
positifs
O
y
x
Régime apériodique
(amortissement brutal)
8
Stéphanie Bonneau (d’après M.C. Fauure, S. Bernard)… - Copie et usage interdits
sans autorisation explicite des auteurs.
= 0
Solutions de l'équation caractéristique
1 racine double λ=
==
a
2
b
rr
21
Solution générale y
H
(
)
xC C ey
2
1
x
H
+=
λ
où C
1
et C
2
sont des constantes arbitraires.
Allure de la courbe représentant les variations de y
H
pour λ < 0
O
= 0
> 0
y
x
Régime critique
9
Stéphanie Bonneau (d’après M.C. Fauure, S. Bernard)… - Copie et usage interdits
sans autorisation explicite des auteurs.
< 0
On écrit :
)bac4(iac4b
0
22
0
2
4342143421
>
<
==
Solutions de l'équation caractéristique
2 racines complexes conjuguées
ω±λ=
±
=
i
a2 bac4 ib
r
r
2
2
1
avec
a
2
bac4
et
a
2
b
2
=ω=λ
Solution générale y
H
(
)
( )
( )
ϕ+ω=
ω+ω=
+=
λ
λ
ω
ω
λ
xcose Cy
xsinKxcosKey
e Ce Cey
x
H
21
x
H
x i
2
x i
1
x
H
où C
1
,C
2
, K
1
, K
2
, C et ϕ sont des constantes arbitraires.
Allure de la courbe représentant les variations de y
H
pour λ < 0
10
Stéphanie Bonneau (d’après M.C. Fauure, S. Bernard)… - Copie et usage interdits
sans autorisation explicite des auteurs.
ω
π
=2
x
x
e
C
λ
O
x
e
C
λ
y
x
Régime oscillant
pseudo
-périodique
Remarque
Si b = 0 λ = 0 et 2 racines imaginaires pures
ω±=±== i
a
c
i rr
21
Et,
(
)
ϕ
+
ω
=
xcos Cy
H
Allure de la courbe représentant les variations de y
H
ω
π
=2
x
O
y
x
Régime oscillant
périodique
Applications
Equation du mouvement d'un oscillateur harmonique simple de
pulsation propre ω
0
0y ''y
2
0
=ω+
Exemple : mouvement d'une masse suspendue à un ressort dans un
milieu sans frottement
1 / 6 100%
La catégorie de ce document est-elle correcte?
Merci pour votre participation!

Faire une suggestion

Avez-vous trouvé des erreurs dans linterface ou les textes ? Ou savez-vous comment améliorer linterface utilisateur de StudyLib ? Nhésitez pas à envoyer vos suggestions. Cest très important pour nous !