Equations differentielles

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Stéphanie Bonneau (d’après M.C. Fauure, S. Bernard)… - Copie et usage interdits
sans autorisation explicite des auteurs.
Equations différentielles
1. Définitions générales
1.1 Equations différentielles
• On appelle équation différentielle du n-ième ordre, une relation de
la forme :
0)y ..., ,''y ,'y ,y ,x(F
)n(
=
(1)
L’ordre est celui de la dérivée de rang le plus élevé, contenue dans
cette équation.
Exemples
Eq. dif. du 1
er
ordre 0yx3'y
2
=+
Eq. dif. du 2
ème
ordre
0
y
4
'
'
y
=
+
• Une éq. dif. d'ordre n est dite linéaire si elle est du 1
er
degré par
rapport à y, y', y'', ... et y
(n)
, c'est à dire de la forme :
)x(cy (x)a...''y (x)a'y (x)ay (x)a
(n)
n210
=++++
où a
0
(x), a
1
(x), a
2
(x), ..., a
n
(x) sont des fonctions de x ou des
constantes.
Exemples
Eq. dif. non linéaire du 1
er
ordre 0xy3'y
3
=+
Eq. dif. linéaire du 2
ème
ordre
0
y
4
'
y
3
'
'
y
=
+
+
• Si a
0
, a
1
, a
2
, ..., a
n
sont des constantes, l'éq. dif. est dite à
coefficients constants.
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• Si c(x) = 0, l'éq. dif. est dite sans second membre.
Remarque
Nous nous limiterons à l'étude :
 des éq. dif. du 1
er
ordre,
 des éq. dif. linéaires du 2
nd
ordre à coefficients constants.
1.2 Solutions d’une équation différentielle
• Résoudre une éq. dif. ⇔ trouver la solution générale de cette
équation.
• Solution générale d'une éq. dif. d'ordre n = fonction dépendant de
n constantes d'intégration arbitraires.
• Une solution spécifique est obtenue pour des valeurs précises des
ctes arbitraires, vérifiant des conditions propres au problème posé.

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2. Equations différentielles du 1er ordre
2.1 Equations différentielles à variables
séparables
2.1.1 Définition
Forme générale
)y(h )x(g dx
dy =
(2)
2.1.2 Résolution
L'équation (2) peut s'écrire sous la forme :
dx
)
x
(
g
dy
)
y
(
h
=
Les solutions sont
K
)
x
(
G
)
y
(
H
+
=
⌡
⌠
=
⌡
⌠
=dx )x(g)x(G ,dy )y(h)y(H avec
et K une constante arbitraire.
Exemple 1 Résoudre 0
=
+
x
sin
y
'
y
Exemple 2 Résoudre 0=−
'
xy
y
2.2 Equations différentielles linéaires
2.2.1 Définition
Forme générale
)
x
(
c
y
)
x
(
b
'
y
)
x
(
a
=
+
(3)
4
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où a, b et c sont des fonctions continues de la variable x ou des ctes.
(3) peut se réécrire :
)
x
(
C
y
)
x
(
B
'
y
=
+
(4)
avec
)x(a )x(c
)x(Cet
)x(a )x(b
)x(B ==
.
2.2.2 Résolution
 Recherche de y
H
(x) solution de y' + B(x) y = 0 (5)
dx )x(B
y
dy
0y )x(B
dx
dy
H
H
H
H
−=⇔=+
⌡
⌠
−=⇒
⌡
⌠
−=
⌡
⌠dx )x(B
K
y
ln dx )x(B
y
dy
H
H
H
D'où :
)x(v Ke Ky
dx )x(B
H
== ∫
−
avec
constante uneK et e)x(v
dx )x(B
∫
=
−
.
 Recherche de y(x) solution de y' + B(x) y = C(x)
 Méthode de variation de la constante
On considère la cte K de la solution y
H
= K v(x) comme une fonction
de x.
On cherche donc y(x) sous la forme :
)
x
(
v
)
x
(
K
y
=

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D'où
dx
dK
v
dx
dv
K
dx
yd +=
ou encore
)
x
(
'
K
)
x
(
v
)
x
(
'
v
)
x
(
K
)
x
(
'
y
+
=
En reportant dans (4),
[
]
)x(Cv )x(B'v K'K v )x(Cv K )x(B'v K'K v
=
+
+
⇔
=
+
+
Or K v(x) vérifie l'équation (5) ⇒
[
]
0v )x(B'v K
=
+
Il reste donc
)
x
(
C
'
K
)
x
(
v
=
En intégrant, on obtient :
k)x(gdx
)x(v
)x(C
)x(K +=
⌡
⌠
=
où g(x) est une primitive de
)x(v )x(C
et k une constante arbitraire.
Ainsi :
[
]
k )x(g)x(v)x(v )x(K)x(y
+
=
=
Remarques
 Eq. dif. du 1
er
ordre ⇒ la solution générale ne comporte qu'une
seule cte (ici k).
Exemple 1 Résoudre
(
)
0
=
−
y
x
sin
'
y
Déterminer la solution vérifiant : y(0) = 1
Exemple 2 Résoudre 2
3
32
x
e x y x 'y =−
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Exemple 3 Résoudre
x
sin
y
'
y
63 =+ .
En déduire la solution vérifiant y(x = 0) = 0.
3. Equations différentielles du 2e ordre, linéaires,
à coefficients constants
3.1 Définition
Forme générale
)
x
(
g
y
c
'
y
b
'
'
y
a
=
+
+
(6)
où a, b et c sont des constantes et g(x) une fonction continue de la
variable x.
3.2 Résolution
y
P
=
solution particulière
de l'équation complète (6)
y
H
=
solution générale
de l'équation sans 2
nd
membre
a y’’ + b y’ + c y = 0
y solution générale
de (6) :
y = y
H
+ y
P
 Recherche de y
H
solution de a y'' + b y' + c y = 0
On cherche des solutions de la forme :
xr
H
ey = , où r
∈
C.
⇒
xr2''
H
xr'
H
e ry ,e ry ==
⇒
(
)
xr2
H
'
H
''
H
e cr br ay cy by a ++=++
xr
H
ey = est solution de
0
y
c
'
y
b
'
'
y
a
=
+
+
ssi :

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0
c
r
b
r
a
2
=
+
+
équation caractéristique
Résolution de l'équation caractéristique ⇒ calcul de ∆ = b
2
- 4 a c
⇒ 3 formes de solutions selon le signe de ∆
 ∆
∆∆
∆ > 0
∗ Solutions de l'équation caractéristique
2 racines réelles et distinctes r
1
et r
2
a2 ac4bb
r
r
2
2
1
−±−
=
∗
Solution générale y
H
xr
2
xr
1
H
21
e Ce Cy +=
où C
1
et C
2
sont des constantes arbitraires.
∗
Allure de la courbe représentant les variations de y
H
pour a, b et c
positifs
O
y
x
Régime apériodique
(amortissement brutal)
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 ∆
∆∆
∆ = 0
∗ Solutions de l'équation caractéristique
1 racine double λ=
−
==
a
2
b
rr
21
∗
Solution générale y
H
(
)
xC C ey
2
1
x
H
+=
λ
où C
1
et C
2
sont des constantes arbitraires.
∗
Allure de la courbe représentant les variations de y
H
pour λ < 0
O
∆
= 0
∆
> 0
y
x
Régime critique

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 ∆
∆∆
∆ < 0
On écrit :
)bac4(iac4b
0
22
0
2
4342143421
>
<
−=−=∆
∗
Solutions de l'équation caractéristique
2 racines complexes conjuguées ω±λ=
−±−
=
 i
a2 bac4 ib
r
r
2
2
1
avec
a
2
bac4
et
a
2
b
2
−
=ω−=λ
∗
Solution générale y
H
(
)
( )
( ) ϕ+ω=•
ω+ω=•
+=•
λ
λ
ω
−
ω
λ
xcose Cy
xsinKxcosKey
e Ce Cey
x
H
21
x
H
x i
2
x i
1
x
H
où C
1
,C
2
, K
1
, K
2
, C et ϕ sont des constantes arbitraires.
∗
Allure de la courbe représentant les variations de y
H
pour λ < 0
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ω
π
=∆ 2 x
x
e
C
λ
O
x
e
C
λ
−
y
x
Régime oscillant
pseudo
-périodique
Remarque
Si b = 0 ⇒ λ = 0 et 2 racines imaginaires pures ω±=±== i
a
c
i rr
21
Et,
(
)
ϕ
+
ω
=
xcos Cy
H
Allure de la courbe représentant les variations de y
H
ω
π
=∆ 2 x
O
y
x
Régime oscillant
périodique
Applications
 Equation du mouvement d'un oscillateur harmonique simple de
pulsation propre ω
0
0y ''y
2
0
=ω+
Exemple : mouvement d'une masse suspendue à un ressort dans un
milieu sans frottement