Equations differentielles
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Equations différentielles • Si c(x) = 0, l'éq. dif. est dite sans second membre. Remarque 1. Définitions générales Nous nous limiterons à l'étude : des éq. dif. du 1er ordre, des éq. dif. linéaires du 2nd ordre à coefficients constants. 1.1 Equations différentielles • On appelle équation différentielle du n-ième ordre, une relation de la forme : F( x, y, y' , y' ' , ..., y ( n ) ) = 0 (1) L’ordre est celui de la dérivée de rang le plus élevé, contenue dans cette équation. Exemples y'+3x 2 y = 0 y' '+4 y = 0 Eq. dif. du 1er ordre Eq. dif. du 2ème ordre • er Une éq. dif. d'ordre n est dite linéaire si elle est du 1 degré par rapport à y, y', y'', ... et y(n), c'est à dire de la forme : 1.2 Solutions d’une équation différentielle • Résoudre une éq. dif. ⇔ trouver la solution générale de cette équation. • Solution générale d'une éq. dif. d'ordre n = fonction dépendant de n constantes d'intégration arbitraires. • Une solution spécifique est obtenue pour des valeurs précises des ctes arbitraires, vérifiant des conditions propres au problème posé. a 0 (x) y + a1 (x) y'+a 2 (x) y' '+... + a n (x) y (n) = c( x ) où a0(x), a1(x), a2(x), ..., an(x) sont des fonctions de x ou des constantes. Exemples Eq. dif. non linéaire du 1er ordre Eq. dif. linéaire du 2ème ordre • y'+3xy3 = 0 y' '+3y'+4 y = 0 Si a0, a1, a2, ..., an sont des constantes, l'éq. dif. est dite à coefficients constants. 1 Stéphanie Bonneau (d’après M.C. Fauure, S. Bernard)… - Copie et usage interdits sans autorisation explicite des auteurs. 2 Stéphanie Bonneau (d’après M.C. Fauure, S. Bernard)… - Copie et usage interdits sans autorisation explicite des auteurs. 2. Equations différentielles du 1er ordre où a, b et c sont des fonctions continues de la variable x ou des ctes. (3) peut se réécrire : 2.1 Equations différentielles à variables séparables avec B( x ) = 2.1.1 Définition Forme générale dy g(x) = dx h(y) y'+ B( x ) y = C( x ) (2) b( x ) c( x ) et C( x ) = . a (x) a (x) 2.2.2 Résolution Recherche de yH(x) solution de y' + B(x) y = 0 2.1.2 Résolution dyH L'équation (2) peut s'écrire sous la forme : dx h ( y) dy = g( x ) dx + B(x) yH = 0 ⇔ dyH (5) = −B(x) dx yH ⌠ dyH y ⌠ ⌠ = − B(x) dx ⇒ ln H = − B(x) dx K ⌡ ⌡ ⌡ yH H ( y) = G ( x ) + K Les solutions sont (4) ⌠ ⌠ avec H(y) = h(y) dy, G(x) = g(x) dx et K une constante arbitraire. ⌡ ⌡ − B( x ) dx yH = K e ∫ = K v( x ) D'où : − B(x) dx avec v(x) = e ∫ et K une constante . Exemple 1 Résoudre y'+y sin x = 0 Exemple 2 Résoudre y − xy' = 0 Recherche de y(x) solution de y' + B(x) y = C(x) 2.2 Equations différentielles linéaires 2.2.1 Définition Forme générale 3 a ( x ) y'+ b( x ) y = c( x ) Méthode de variation de la constante On considère la cte K de la solution yH = K v(x) comme une fonction de x. On cherche donc y(x) sous la forme : y = K(x) v(x) (3) Stéphanie Bonneau (d’après M.C. Fauure, S. Bernard)… - Copie et usage interdits sans autorisation explicite des auteurs. 4 Stéphanie Bonneau (d’après M.C. Fauure, S. Bernard)… - Copie et usage interdits sans autorisation explicite des auteurs. dy dv dK =K +v dx dx dx ou encore y' (x) = K(x) v' (x) + v(x) K' (x) En reportant dans (4), D'où v K '+ K v'+ B( x ) K v = C( x ) ⇔ v K '+ K [v'+ B( x ) v] = C( x ) Or K v(x) vérifie l'équation (5) ⇒ Exemple 3 En déduire la solution vérifiant y(x = 0) = 0. 3. Equations différentielles du 2e ordre, linéaires, à coefficients constants K [v'+B(x) v ] = 0 3.1 Définition v( x ) K ' = C( x ) Il reste donc Forme générale En intégrant, on obtient : ⌠ C(x) K(x) = dx = g(x) + k ⌡ v(x) où g(x) est une primitive de y' + 3 y = 6 sin x . Résoudre a y' '+ b y'+c y = g ( x ) (6) où a, b et c sont des constantes et g(x) une fonction continue de la variable x. 3.2 Résolution C( x ) et k une constante arbitraire. v( x ) Ainsi : yH = solution générale de l'équation sans 2nd membre a y’’ + b y’ + c y = 0 y solution générale de (6) : y = yH + yP y(x) = K(x) v(x) = v(x) [g(x) + k ] yP = solution particulière de l'équation complète (6) Remarques Eq. dif. du 1er ordre ⇒ la solution générale ne comporte qu'une seule cte (ici k). Exemple 1 Résoudre y'− sin(x ) y = 0 Déterminer la solution vérifiant : y(0) = 1 Exemple 2 5 Résoudre y'−2 x y = 3 x e 3 x 2 Stéphanie Bonneau (d’après M.C. Fauure, S. Bernard)… - Copie et usage interdits sans autorisation explicite des auteurs. Recherche de yH solution de a y'' + b y' + c y = 0 On cherche des solutions de la forme : yH = er x , où r ∈ C. ⇒ y'H = r er x, y'H' = r2 er x ⇒ a y'H' + b y'H + c yH = a r 2 + b r + c er x ( ) yH = er x est solution de a y' '+ b y'+c y = 0 ssi : 6 Stéphanie Bonneau (d’après M.C. Fauure, S. Bernard)… - Copie et usage interdits sans autorisation explicite des auteurs. a r2 + b r + c = 0 équation caractéristique Résolution de l'équation caractéristique ⇒ calcul de ∆ = b2 - 4 a c ⇒ 3 formes de solutions selon le signe de ∆ ∆>0 ∆=0 ∗ Solutions de l'équation caractéristique 1 racine double ∗ Solutions de l'équation caractéristique −b =λ 2a ∗ Solution générale yH r1 − b ± b − 4ac = r2 2a 2 2 racines réelles et distinctes r1 et r2 r1 = r2 = yH = eλ x (C1 + C2 x ) où C1 et C2 sont des constantes arbitraires. ∗ Solution générale yH y H = C1 e r1x + C 2 e r2 x ∗ Allure de la courbe représentant les variations de yH pour λ < 0 y où C1 et C2 sont des constantes arbitraires. Régime critique ∗ Allure de la courbe représentant les variations de yH pour a, b et c ∆>0 positifs y O ∆=0 x Régime apériodique (amortissement brutal) O x 7 Stéphanie Bonneau (d’après M.C. Fauure, S. Bernard)… - Copie et usage interdits sans autorisation explicite des auteurs. 8 Stéphanie Bonneau (d’après M.C. Fauure, S. Bernard)… - Copie et usage interdits sans autorisation explicite des auteurs. ∆<0 y ∆x = 2π ω C e λx Régime oscillant pseudo-périodique 2 On écrit : ∆ = b1 − 44 ac = i 2 (41 ac2 −4 b32 ) 42 3 4 <0 >0 O C e − λx ∗ Solutions de l'équation caractéristique 2 racines complexes conjuguées avec λ = − b 2a Remarque r1 − b ± i 4ac − b 2 =λ±iω = r2 2a 4ac − b 2 2a et ω = x Si b = 0 ⇒ λ = 0 et 2 racines imaginaires pures r1 = r2 = ± i yH = C cos (ωx + ϕ ) Et, Allure de la courbe représentant les variations de yH y ∗ Solution générale yH ( • yH = eλ x C1 ei ω x + C2 e−i ω x c =±iω a ) ∆x = 2π ω Régime oscillant périodique O • yH = eλ x (K1 cos ωx + K 2 sin ωx ) x • yH = C eλ x cos(ωx + ϕ ) où C1,C2, K1, K2, C et ϕ sont des constantes arbitraires. ∗ Allure de la courbe représentant les variations de yH pour λ < 0 Applications Equation du mouvement d'un oscillateur harmonique simple de pulsation propre ω0 y' '+ω02 y = 0 Exemple : mouvement d'une masse suspendue à un ressort dans un milieu sans frottement 9 Stéphanie Bonneau (d’après M.C. Fauure, S. Bernard)… - Copie et usage interdits sans autorisation explicite des auteurs. 10 Stéphanie Bonneau (d’après M.C. Fauure, S. Bernard)… - Copie et usage interdits sans autorisation explicite des auteurs. Equation du mouvement d'un oscillateur harmonique amorti a y'' + b y' + c y = 0 Exemples : Solution générale de l'équation complète (6) y(x) = yH(x) + yP(x) - mouvement d'une masse suspendue à un ressort, d'un pendule simple, d'un pendule de torsion dans un milieu visqueux - tension aux bornes d'un circuit RLC Recherche de yP solution particulière de a y' '+ b y'+c y = g ( x ) Remarques fondamentales i) Eq. dif. du 2e ordre ⇒ y comporte 2 ctes d'intégration. Utilisation de la spécificité du 2nd membre forme de g(x) forme de yP yP est un polynôme de degré : g(x) = P(x) P(x) polynôme de degré n • n, si c ≠ 0 • n+1, si c = 0 et b ≠ 0 • n+2, si c = 0 et b = 0 • si β n'est pas racine de l'équation caractéristique : ii) Les coefficients constants de yP sont calculés, par identification, à partir des coefficients constants de l'éq. dif. complète. iii) Les ctes d'intégration dans yH doivent être déterminées en appliquant les conditions initiales à y ET NON à yH. iv)Si C(x) = 0, alors y = yH. v) En Physique, le second membre de l'équation différentielle g(x) traduit l'action d'un excitateur extérieur au système étudié (exemple : oscillateur forcé). yP = K eβ x g(x) = g0 eβ x (g0 est une constante) • si β est racine simple : Exemple 1 Résoudre y'' − 2 y' + y = 0 yP = K x eβ x Exemple 2 Résoudre y'' − 9 y = e−3 x Exemple 3 Résoudre y''+ y'−2 y = 8 sin 2x • si β est racine double : yP = K x 2 eβ x • g(x) = g1 cos(ωex) + g2 sin(ωex) • yP = C1 cos(ωex) + C2 sin(ωex) • g(x) = Ae cos(ωex + ϕe) • yP = AP cos(ωex + ϕP) (AP > 0) • g(x) = Ae sin(ωex + ϕe) • yP = AP sin(ωex + ϕP) (AP > 0) 11 Stéphanie Bonneau (d’après M.C. Fauure, S. Bernard)… - Copie et usage interdits sans autorisation explicite des auteurs. y(x = 0) = 0 En déduire la solution vérifiant y'(x = 0) = 0 12 Stéphanie Bonneau (d’après M.C. Fauure, S. Bernard)… - Copie et usage interdits sans autorisation explicite des auteurs.
