Analyse fonctionnelle - Espace d`authentification univ

Analyse fonctionnelle
Jean-Philippe Nicolas
Département de Mathématiques,
Université de Brest, 6 avenue Victor Le Gorgeu,
29200 Brest.
Bureau H109, Tel. [phone],
email : [e-mail]
webpage : http: // pageperso. univ-brest. fr/ ~jnicolas

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Table des matières
1 Applications linéaires continues dans les espaces de Banach 5
1.1 Rappels sur les applications linéaires continues . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2 EspacesdeBanach ............................... 7
1.3 ThéorèmedeBaire ............................... 8
1.4 Conséquences du Théorème de Baire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.5 Exercices..................................... 13
2 Applications linéaires continues sur les espaces de Hilbert 15
2.1 Rappels sur les espaces de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.2 Convergence d’une suite d’opérateurs, adjoint d’un opérateur, opérateurs
auto-adjoints .................................. 19
2.3 Spectre des opérateurs bornés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.4 Opérateurs compacts, définition, propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.5 Exemple fondamental : les opérateurs à noyau . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.6 Spectre des opérateurs auto-adjoints compacts . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.7 Deuxexemples ................................. 34
2.8 Exercices..................................... 35
3 Espaces de Sobolev sur R39
3.1 Espace L2(R)et transformée de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.2 Espaces de Sobolev sur R........................... 40
3.3 Espaces de Sobolev sur un intervalle de R.................. 42
3.4 Exercices..................................... 42
4 Théorème de Lax-Milgram et applications 45
4.1 Le théorème de Lax-Milgram . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
4.2 Application à la résolution d’équations différentielles sur R......... 45
4.3 Application à l’étude de problèmes aux limites sur un intervalle borné de R47
4.3.1 Conditions de Dirichlet homogènes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
4.3.2 Conditions de Neumann homogènes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
4.4 Exercices..................................... 49
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4TABLE DES MATIÈRES
5 Matériel complémentaire 51
5.1 ThéoriedeFredholm .............................. 51
5.2 Spectre des opérateurs compacts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
5.3 Théorème de Hahn-Banach et applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

Chapitre 1
Applications linéaires continues dans
les espaces de Banach
1.1 Rappels sur les applications linéaires continues
Théorème 1.1. Soit Eet Fdeux espaces vectoriels normés sur K=Rou Cet Lune
application linéaire de Edans F, alors les propositions suivantes sont équivalentes :
1. Lest continue sur E;
2. Lest continue en 0;
3. Lest bornée, i.e.
∃C≥0 ; kL(x)kF≤CkxkE,∀x∈E .
Preuve. Laissée en exercice.
On remarque que la propriété 3. implique que l’image par Lde toute partie bornée
de Eest une partie bornée de F. On a le corollaire suivant au Théorème 1.1.
Corollaire 1.1. Si L:E→Fest linéaire continue, alors elle est uniformément continue
sur E.
Preuve. Soit C > 0tel que dans la propriété 3. du Théorème 1.1. Soit ε > 0et xet
ydans E. On a
kL(y)−L(x)k=kL(y−x)k ≤ Cky−xk.
Donc on peut prendre η=ε/C et on a
∀x∈E , ∀y∈E , ky−xk< η ⇒ kL(y)−L(x)k< ε .
Ceci prouve le corollaire.
Proposition 1.1. Si Eest de dimension finie, toute application linéaire de Edans Fest
continue.
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