Mauvaise réduction des variétés de Drinfeld et correspondance de

Digital Object Identifier (DOI) 10.1007/s002229900021
Invent. math. 138, 573–629 (1999)
Springer-Verlag 1999
Mauvaise r´ eduction des vari´ et´ es de Drinfeld
et correspondance de Langlands locale
P. Boyer
Ecole Normale Sup´ erieure de Cachan, D´ epartement de Math´ ematiques (bât. Cournot),
61, av. du Pr´ esident Wilson, F-94235 Cachan cedex, France
Oblatum 28-XII-1998 & 3-V-1999 / Published online: 5 August 1999
Introduction
On fixe un nombre premier lainsi qu’une clotûre alg´ ebrique Qlde Ql.Etant
donn´ e un corps local non archim´ edien Fet un entier d≥1, on dispose
de trois groupes GLd=GLd(F),Hd=D×
F,d,oùD
F,dest une algèbre à
division centrale sur Fd’invariant 1/d(unique à isomorphisme près), et
WFle groupe de Weil de F. On considère alors les ensembles de classes
d’´ equivalence de repr´ esentations suivants:
–A0
GLdest l’ensemble des classes d’´
equivalence des Ql-repr´ esentations1
irr´ eductibles, admissibles et cuspidales de GLd(F), de caractères cen-
traux d’ordre fini,
–AHdest l’ensemble des classes d’´
equivalence des Ql-repr´ esentations1
irr´ eductibles, admissibles de D×
F,d, de caractères centraux d’ordre fini,
–G0(d)est l’ensemble des classes d’isomorphie des repr´
esentations
l-adiques (sur Ql)1,irr´
eductibles de dimension dde WF,ded´ eterminants
d’ordre fini.
Pour Fd’´ egale caract´ eristique positive pdiff´ erente de l, Laumon,
Rapoport et Stuhler ([17]) ont prouv´ e la correspondance de Langlands
locale, c’est-à-dire l’existence d’une famille de bijections LF,d:A0
GLd
∼
−→
G 0( d), d≥1,poss´
edant certaines propri´ et´ es de conservation de facteurs
Let ε(cf. le paragraphe 1.2 pour un ´ enonc´ epr
´
ecis). En particulier pour
d=1, L1,Fest induit par l’isomorphisme Wab
F'F×de la th´
eorie du corps
de classe ab´ elien. Dans [12], Henniart a d´ emontr´ e la correspondance de
Jacquet-Langlands locale, c’est-à-dire l’existence, pour tout d≥1, d’une
1On notera qu’en ce qui concerne ces repr´
esentations, la topologie de lne joue aucun
rôle, de sorte qu’un isomorphisme l'´
etant fix´ e, on peut consid´ erer ces repr´ esentations
comme des repr´ esentations complexes.

574 P. Boyer
injection JF,d:A0
GLd→AHd,caract´
eris´ ee par l’´ egalit´ e des caractères sur
les ´ el´ ements elliptiques r´ eguliers semi-simples (cf. le paragraphe 1.1). Pour
d=1, J1,Fest l’application identit´
e.
DeligneetCarayol(cf.[5]et[4])ontpropos´ euner´ ealisationg´ eom´ etrique
conjecturale de ces correspondances. Rappelons leur construction.
Soient Ol’anneau des entiers de Fet ¯ κune clôture alg´ ebrique du corps
r´ esiduel κde O.OnfixeunO-module formel d´ efini sur ¯ κet de hauteur d
(un tel O-module est unique à isomorphisme près). Soit Defd
0l’anneau
universel de ses d´ eformations; Defd
0est une algèbre de s´
eries formelles
en d−1ind
´
etermin´ ees sur le compl´ et´ eˆ Onr de l’anneau des entiers d’une
extension non ramifi´ ee maximale Fnr de F.Plusg
´
en´ eralement, pour tout
entier positif n, on considère le revêtement galoisien Defd
0−→ Defd nd´
efini
par les bases de Drinfeld de niveau nsur la d´ eformation universelle. Pour n
variable, ces revêtements s’organisent en un système inductif de groupe de
Galois, le groupe profini GLd(O).
Pour chaque entier n≥0, Spf(Defd
n)est un sch´
ema formel sur Spf(ˆ Onr)
qui est sp´ ecial au sens de [1]. Une clôture s´ eparable de ˆ Fnr ´
etant fix´ ee,
Berkovich construit dans loc. cit. le foncteur Ψηdes cycles ´
evanescents pour
le morphisme structural ˆ Onr −→ Defd
n, ainsi que ses foncteurs d´
eriv´ es. Le
faisceau Rd−1Ψη(Ql)surlafibresp
´
eciale de Spf(Defd
n)(r´
eduite à un point)
est un Ql-espace vectoriel de dimension finie, muni d’une action de WF,
que l’on notera Ψd,n. L’action de GLd(O)sur le système inductif des Defd
n
induit ´ evidemment une action de GLd(O)sur le système inductif Ψddes
Ψd,n. Pour tout caractère ξde F×d’ordre fini, notons Ψd(ξ) le facteur direct
de Ψdsur lequel le centre O×de GLd(O)agit par la restriction de ξàO×.
On notera encore Ψd(ξ) la limite du système inductif Ψd(ξ). Cette limite
peut être munie d’une action du noyau Pde l’application
GLd(F)×D×
F,d×WF−→ Z/dZ
(g,δ,w) 7−→ val(rn(δ))−val(det(g)) +deg(w)
(modulo dZ),
où rn :D×
F,d→F×est la norme r´
eduite et deg :WFZest l’application
degr´ e. Cette action est d´ efinie de telle sorte que le centre F×de GLd(F)
agisse par le caractère ξ.
La repr´ esentation locale fondamentale Ud(ξ) d´
efinie par Deligne et
Carayol, est alors l’induite de PàGLd(F)×D×
F,d×WFde la repr´
esentation
Ψd(ξ). En particulier Ud(ξ) est une repr´
esentation admissible de GLd(F)×
D×
F,det le centre F×de GLd(F)y agit par le caractère ξ.
Th´ eorème. (conjecture de Deligne-Carayol) Soit π∈A0
GLdune repr´
esen-
tation cuspidale irr´ eductible de GLd(F)de caractère central ξ. Pour ρ
une repr´ esentation admissible irr´ eductible de D×
F,det σune repr´
esentation
l-adique irr´ eductible de WF, la multiplicit´
edeπ⊗ρ⊗σdans Ud(ξ)
est non nulle si et seulement si (ρ, σ) appartient à AHd×G0(d)et est

Mauvaise r´ eduction des vari´ et´ es de Drinfeld 575
isomorphe au couple (JF,d(ˇ π),LF,d(π)⊗|−|1−d
2),où ˇ
πest la repr´ esentation
contragr´ ediente de π. Dans ce cas, cette multiplicit´ eest´ egale à 1.
Ce r´ esultat de nature locale est prouv´ e par voie globale en utilisant les
vari´ et´ es de modules des faisceaux elliptiques de Drinfeld ou plutôt leurs
variantes compactes dues à Stuhler. On choisit une courbe projective X,
irr´ eductible, lisse et g´ eom´ etriquement connexe sur κ. On fixe deux places
distinctes oet ∞de Xque pour simplifier on supposera rationnelles sur
le corps des constantes κ. On identifie Oau compl´ et´ e de l’anneau local de
Xen la place o. On fixe une algèbre à division D, centrale sur le corps
des fonctions de X,dedimensiond
2ramifi´
ee seulement en deux places
x1,x2distinctes des places ∞,oet telle que Dxi(i=1,2)est une algèbre
à division. On pose X0=X\{∞,x1,x2}et on choisit un faisceau d’ordres
maximaux Dde D.
Pour tout id´ eal Ide l’anneau Ades fonctions r´ egulières sur X\{∞},
les D-faisceaux elliptiques d´ efinis par Stuhler peuvent être munis de I-
structures de niveaux. Pour d´ efinir leurs vari´ et´ es de modules MI,oau dessus
de Spec(Oo), il faut pour o∈V(I), utiliser la notion de base de Drinfeld.
Pour Id´ ecrivant l’ensemble des id´ eaux de A,lessch´ emas MI,os’organisent
enunsystèmeprojectif qui,vialescorrespondancesg´ eom´ etriquesde Hecke,
est muni d’une action de (D∞)×.
Pour tout id´ eal Ide A, on considère la cohomologie l-adique de la fibre
g´ en´ erique de MI,oet plus particulièrement son groupe en degr´
em
´
edian
Hd−1
ηo,I.C’estunQ
lespace vectoriel de dimension finie muni d’une action
de WF. Pour Ivariable, les Hd−1
ηo,Iforment un système inductif. L’action
de (D∞)×sur le système projectif des MI,o, induit ´
evidemment une action
de (D∞)×sur la limite inductive Hd−1
ηodes Hd−1
ηo,I. Cette limite est une
repr´ esentation globale de (D∞)××WFdont la description est donn´
ee en
termes automorphes dans [17].
On prouve l’´ equivalent du th´ eorème de Serre-Tate pour les D-faisceaux
elliptiques, et on obtient en particulier que le compl´ et´ e de l’anneau de MI,o
en n’importe quel point supersingulier de sa fibre sp´ eciale, est isomorphe
à l’anneau Defd
nd´
efini ci-dessus, où nest la multiplicit´ edeodans I.
On en d´ eduit alors, à l’aide d’un th´ eorème de Berkovich ([1]), que l’espace
vectoriel Ud(ξ), en tant que repr´
esentation de GLd(F)×WF, est «contenu»
dans Hd−1
ηo. Le point essentiel de la preuve du th´
eorème est que la diff´ erence
entre ces deux repr´ esentations ne contient pas de repr´ esentations cuspidales
de GLd(F).
Pour d´ emontrer ce fait, on est amen´ eà´ etudier plus en d´ etail la fibre
sp´ eciale de MI,o.Ond
´
efinit une stratification de cette fibre telle que le
polygone de Newton soit constant en tous les points g´ eom´ etriques d’une
même strate. Pour tout entier htel que 1 ≤h≤d, on obtient alors un sous-
sch´ ema localement ferm´ eM=h
I,ode pure dimension d−h(r´
esultat conjectur´ e
parRapoport). Enparticulier M=d
I,oestl’ensembledes points supersinguliers.
Cette stratification est compatible aux morphismes de restriction du niveau

576 P. Boyer
MJ,o−→ MI,o, pour J⊂Ides id´ eaux de A. On montre enfin que, pour
tout 1 ≤h≤d−1, lim
←−
I
M= h
I,oest un κ-sch´
ema «induit» sous l’action des
correspondances de Hecke de GLd(F).
D´ ecrivons brièvement le contenu des diff´ erents paragraphes.
La première partie est de nature locale. Après quelques rappels de nota-
tions sur les correspondances locales de Jacquet-Langlands (1.1) et de Lang-
lands (1.2), on introduit suivant Drinfeld les anneaux de d´ eformations uni-
verselles Defd
nd’un O-module formel de hauteur dsur ¯
κ(2.1). La limite in-
ductivesurndesQl-espacesvectorielsdedimensionfinie Ψd,nd´
efinisviales
travaux deBerkovich(2.2),est muniesuivantDeligneet Carayol,viales cor-
respondances de Hecke (2.3), d’une action du groupe P.Larepr
´
esentation
locale fondamentale (2.4) est alors l’induite de PàGLd(F)×D×
F,d×WF
de cette repr´ esentation. La conjecture de Deligne-Carayol (3.2.4) est ex-
prim´ ee en termes de multiplicit´ e (3.1) se calculant à partir d’un sous-groupe
compact ouvert assez petit de GLd(F)×D×
F,d.
La deuxième partie de nature globale est consacr´ ee aux D-faisceaux el-
liptiques de Drinfeld et Stuhler (4.1) ainsi qu’à leurs structures de niveaux.
Leurs vari´ et´ es de modules MI,o−→ Spec(Oo)d´
efinies dans un premier
temps pour o6∈ V(I), sont munies de correspondances g´ eom´ etriques de
Hecke (4.2). On calcule ensuite les d´ eformations de MI,o(5.1.4) et on mon-
tre que d´ eformer un point g´ eom´ etrique de MI,oest ´
equivalent à d´ eformer
le Oo-module de Dieudonn´
e qui lui est associ´ e (5.3). En utilisant la th´ eorie
du module de coordonn´ ee de Genestier (6.1) reliant certains Oo-modules de
Dieudonn´ eauxO
o
-modules divisibles, on montre l’´ equivalent du th´ eorème
de Serre-Tate pour les D-faisceaux elliptiques (6.3). Via la notion de base
de Drinfeld (7.1), les vari´ et´ es MI,osont d´
efinies pour Iarbitraire (7.2). On
´
etend alors les correspondances de Hecke (7.3) et le th´ eorème de Serre-
Tate (7.4). On montre alors que le morphisme de restriction du niveau
rJ,I:MJ,o−→ MI,opour J⊂Ideux id´
eaux quelconques de A,estfiniet
plat (7.5).
La troisième partie concerne l’´ etude de la fibre sp´ eciale de MI,o.On
applique une construction g´ en´ erale sur les ϕ-faisceaux (8) tout d’abord au
ϕ-faisceau d’un O-module divisible universel (9) puis au ϕ-faisceau associ´ e
àunD-faisceau elliptique de MI,o.Ond
´
efinit ainsi une stratification de
la fibre sp´ eciale de MI,opar des sous-sch´
emas localement ferm´ es M=h
I,o
(1 ≤h≤d) (10.1) de telle sorte que l’anneau local de MI,oen tout point
g´ eom´ etrique de la h-ième strate est donn´ eparDefh
n. On s’int´
eresse dans
un premier temps aux points g´ eom´ etriques de M=d
I,odont on montre qu’il
en existe par la th´ eorie de la multiplication complexe, et on en donne une
description ad´ elique (10.2). L’´ etude, donn´ ee par le th´ eorème de Serre-Tate,
de la situation locale en un tel point permet alors (10.3) de montrer que
M=h
I,oest de pure dimension d−h(r´
esultat conjectur´ e par Rapoport).
Le th´ eorème principal est prouv´ e par voie globale dans la quatrième par-
tie. On rappelle tout d’abord la description en termes automorphes d’après

Mauvaise r´ eduction des vari´ et´ es de Drinfeld 577
[17] de la cohomologie globale de la fibre g´ en´ erique de MI,o(11.5). Dans
le cas où la multiplicit´ edeodans Iest non nulle, on montre que les strates
M=h
I,opour 1 ≤h≤d−1, sont induites sous l’action des correspondances
de Hecke de GLd(Fo)(13.1) de sorte que la contribution cuspidale de ces
strates à la suite spectrale des cycles ´ evanescents est nulle. La contribution
des points supersinguliers à cette suite spectrale est calcul´ ee grâce à un
th´ eorème de Berkovich via l’uniformisation du compl´ et´ e formel de MI,ole
long des points supersinguliers (14). La repr´ esentation locale fondamentale
apparait alors comme «inclue» dans la cohomologie globale (15.3) et même
´
egale en ce qui concerne les repr´ esentations cuspidales de GLd(Fo)(13.2),
ce qui permet de prouver le th´ eorème principal via une bonne globalisation
des donn´ ees (15.4).
Je remercie profond´ ement G´ erard Laumon tant pour son aide math´ e-
matique d´ eterminante que pour ses constants encouragements. Je tiens à
exprimer mes plus vifs remerciements à Henri Carayol, Michael Harris
et à Michael Rapoport pour leurs nombreuses remarques et corrections.
Ma gratitude va aussi à Alain Genestier et Ioan Badulescu pour leurs
enrichissantes discussions, ainsi qu’a Guy Henniart pour ses explications
pr´ ecises et pr´ ecieuses.
Table des matières
I Enonc´e de la conjecture de Deligne-Carayol ....................577
1 Correspondances locales de Jacquet-Langlands et de Langlands ..........578
2Larepr
´
esentation locale fondamentale .......................579
3 Enonc´ eduth
´
eorèmeprincipal ...........................584
II Rappels et compl´ements sur les D-faisceaux elliptiques .............586
4 Rappels sur les D-faisceaux elliptiques ......................587
5D
´
eformations des D-faisceaux elliptiques et de leurs Oo-modules de Dieudonn´
e . 589
6Th
´
eorèmedeSerre-Tatesansniveau ........................594
7 Etude de la mauvaise r´ eduction...........................597
III Stratification de la fibre sp´eciale de MI,o.....................603
8ϕ-faisceaux sur une base Set stratification de S..................603
9 Application à l’anneau universel des d´ eformations d’un O-module divisible . . . 604
10 Application à MI,o.................................610
IV Preuve de la conjecture de Deligne-Carayol ...................614
11 Cohomologie globale de la fibre g´ en´ erique d’après Laumon-Rapoport-Stuhler . . 615
12 Les cycles proches pour MI,o−→ Spec(Oo)...................616
13 Calcul des multiplicit´ es λτ∞⊗σo(Hn
ηo), pour τocuspidale .............618
14 Uniformisation du compl´ et´ e formel le long de l’ensemble des points supersinguliers 623
15 La repr´ esentation locale fondamentale revisit´ ee ..................625
Bibliographie ......................................628
I Enonc´ e de la conjecture de Deligne-Carayol
Soient Fun corps local non archim´ edien, d’´ egale caract´ eristique p,O
l’anneau des entiers de F,πune uniformisante et kle corps r´ esiduel de