Mauvaise réduction des variétés de Drinfeld et correspondance de

Invent. math. 138, 573–629 (1999)
Digital Object Identifier (DOI) 10.1007/s002229900021
 Springer-Verlag 1999
Mauvaise réduction des variétés de Drinfeld
et correspondance de Langlands locale
P. Boyer
Ecole Normale Supérieure de Cachan, Département de Mathématiques (bât. Cournot),
61, av. du Président Wilson, F-94235 Cachan cedex, France
Oblatum 28-XII-1998 & 3-V-1999 / Published online: 5 August 1999
Introduction
On fixe un nombre premier l ainsi qu’une clotûre algébrique Ql de Ql . Etant
donné un corps local non archimédien F et un entier d ≥ 1, on dispose
de trois groupes G L d = G L d (F ), Hd = D×
F,d , où D F,d est une algèbre à
division centrale sur F d’invariant 1/d (unique à isomorphisme près), et
W F le groupe de Weil de F. On considère alors les ensembles de classes
d’équivalence de représentations suivants:
– A0G L d est l’ensemble des classes d’équivalence des Ql -représentations1
irréductibles, admissibles et cuspidales de G L d (F ), de caractères centraux d’ordre fini,
– A Hd est l’ensemble des classes d’équivalence des Ql -représentations1
irréductibles, admissibles de D×
F,d , de caractères centraux d’ordre fini,
– G0 (d) est l’ensemble des classes d’isomorphie des représentations
l-adiques (sur Ql )1 , irréductibles de dimension d de W F , de déterminants
d’ordre fini.
Pour F d’égale caractéristique positive p différente de l, Laumon,
Rapoport et Stuhler ([17]) ont prouvé la correspondance de Langlands
∼
locale, c’est-à-dire l’existence d’une famille de bijections L F,d : A0G L d −→
G0 (d), d ≥ 1, possédant certaines propriétés de conservation de facteurs
L et ε (cf. le paragraphe 1.2 pour un énoncé précis). En particulier pour
d = 1, L1,F est induit par l’isomorphisme W Fab ' F × de la théorie du corps
de classe abélien. Dans [12], Henniart a démontré la correspondance de
Jacquet-Langlands locale, c’est-à-dire l’existence, pour tout d ≥ 1, d’une
On notera qu’en ce qui concerne ces représentations, la topologie de Q l ne joue aucun
rôle, de sorte qu’un isomorphisme Q l ' C étant fixé, on peut considérer ces représentations
comme des représentations complexes.
1
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P. Boyer
injection J F,d : A0G L d ,→ A Hd , caractérisée par l’égalité des caractères sur
les éléments elliptiques réguliers semi-simples (cf. le paragraphe 1.1). Pour
d = 1, J1,F est l’application identité.
Deligne et Carayol (cf. [5] et [4]) ont proposé une réalisation géométrique
conjecturale de ces correspondances. Rappelons leur construction.
Soient O l’anneau des entiers de F et κ̄ une clôture algébrique du corps
résiduel κ de O. On fixe un O-module formel défini sur κ̄ et de hauteur d
(un tel O-module est unique à isomorphisme près). Soit Def d0 l’anneau
universel de ses déformations; Def d0 est une algèbre de séries formelles
en d − 1 indéterminées sur le complété Ônr de l’anneau des entiers d’une
extension non ramifiée maximale F nr de F. Plus généralement, pour tout
entier positif n, on considère le revêtement galoisien Def d0 −→ Def dn défini
par les bases de Drinfeld de niveau n sur la déformation universelle. Pour n
variable, ces revêtements s’organisent en un système inductif de groupe de
Galois, le groupe profini G L d (O).
Pour chaque entier n ≥ 0, Spf(Def dn ) est un schéma formel sur Spf(Ônr )
qui est spécial au sens de [1]. Une clôture séparable de F̂ nr étant fixée,
Berkovich construit dans loc. cit. le foncteur Ψη des cycles évanescents pour
le morphisme structural Ônr −→ Def dn , ainsi que ses foncteurs dérivés. Le
faisceau Rd−1 Ψη (Ql ) sur la fibre spéciale de Spf(Def dn ) (réduite à un point)
est un Ql -espace vectoriel de dimension finie, muni d’une action de W F ,
que l’on notera Ψd,n . L’action de G L d (O) sur le système inductif des Def dn
induit évidemment une action de G L d (O) sur le système inductif Ψd des
Ψd,n . Pour tout caractère ξ de F × d’ordre fini, notons Ψd (ξ) le facteur direct
de Ψd sur lequel le centre O× de G L d (O) agit par la restriction de ξ à O× .
On notera encore Ψd (ξ) la limite du système inductif Ψd (ξ). Cette limite
peut être munie d’une action du noyau P de l’application
G L d (F ) × D×
F,d × W F −→ Z/dZ
(g, δ, w) 7 −→ val(rn(δ))− val(det(g)) + deg(w)
(modulo dZ),
×
où rn : D×
F,d → F est la norme réduite et deg : W F Z est l’application
degré. Cette action est définie de telle sorte que le centre F × de G L d (F )
agisse par le caractère ξ.
La représentation locale fondamentale Ud (ξ) définie par Deligne et
Carayol, est alors l’induite de P à G L d (F )× D×
F,d ×W F de la représentation
Ψd (ξ). En particulier Ud (ξ) est une représentation admissible de G L d (F )×
×
D×
F,d et le centre F de G L d (F ) y agit par le caractère ξ.
Théorème. (conjecture de Deligne-Carayol) Soit π ∈ A0G L d une représentation cuspidale irréductible de G L d (F ) de caractère central ξ. Pour ρ
une représentation admissible irréductible de D×
F,d et σ une représentation
l-adique irréductible de W F , la multiplicité de π ⊗ ρ ⊗ σ dans Ud (ξ)
est non nulle si et seulement si (ρ, σ) appartient à A Hd × G0 (d) et est
Mauvaise réduction des variétés de Drinfeld
575
1−d
isomorphe au couple (J F,d (π̌), L F,d (π)⊗|−| 2 ), où π̌ est la représentation
contragrédiente de π. Dans ce cas, cette multiplicité est égale à 1.
Ce résultat de nature locale est prouvé par voie globale en utilisant les
variétés de modules des faisceaux elliptiques de Drinfeld ou plutôt leurs
variantes compactes dues à Stuhler. On choisit une courbe projective X,
irréductible, lisse et géométriquement connexe sur κ. On fixe deux places
distinctes o et ∞ de X que pour simplifier on supposera rationnelles sur
le corps des constantes κ. On identifie O au complété de l’anneau local de
X en la place o. On fixe une algèbre à division D, centrale sur le corps
des fonctions de X, de dimension d 2 ramifiée seulement en deux places
x1 , x2 distinctes des places ∞, o et telle que Dxi (i = 1, 2) est une algèbre
à division. On pose X 0 = X\{∞, x1 , x2 } et on choisit un faisceau d’ordres
maximaux D de D.
Pour tout idéal I de l’anneau A des fonctions régulières sur X\{∞},
les D-faisceaux elliptiques définis par Stuhler peuvent être munis de I structures de niveaux. Pour définir leurs variétés de modules M I,o au dessus
de Spec(Oo ), il faut pour o ∈ V(I ), utiliser la notion de base de Drinfeld.
Pour I décrivant l’ensemble des idéaux de A, les schémas M I,o s’organisent
en un système projectif qui, via les correspondances géométriques de Hecke,
est muni d’une action de (DA∞ )× .
Pour tout idéal I de A, on considère la cohomologie l-adique de la fibre
générique de M I,o et plus particulièrement son groupe en degré médian
Hηd−1
. C’est un Ql espace vectoriel de dimension finie muni d’une action
o ,I
forment un système inductif. L’action
de W F . Pour I variable, les Hηd−1
o ,I
∞ ×
de (DA ) sur le système projectif des M I,o , induit évidemment une action
de (DA∞ )× sur la limite inductive Hηd−1
des Hηd−1
. Cette limite est une
o
o ,I
∞ ×
représentation globale de (DA ) × W F dont la description est donnée en
termes automorphes dans [17].
On prouve l’équivalent du théorème de Serre-Tate pour les D-faisceaux
elliptiques, et on obtient en particulier que le complété de l’anneau de M I,o
en n’importe quel point supersingulier de sa fibre spéciale, est isomorphe
à l’anneau Def dn défini ci-dessus, où n est la multiplicité de o dans I .
On en déduit alors, à l’aide d’un théorème de Berkovich ([1]), que l’espace
vectoriel Ud (ξ), en tant que représentation de G L d (F )× W F , est «contenu»
. Le point essentiel de la preuve du théorème est que la différence
dans Hηd−1
o
entre ces deux représentations ne contient pas de représentations cuspidales
de G L d (F ).
Pour démontrer ce fait, on est amené à étudier plus en détail la fibre
spéciale de M I,o . On définit une stratification de cette fibre telle que le
polygone de Newton soit constant en tous les points géométriques d’une
même strate. Pour tout entier h tel que 1 ≤ h ≤ d, on obtient alors un sousschéma localement fermé M=h
I,o de pure dimension d −h (résultat conjecturé
par Rapoport). En particulier M =d
I,o est l’ensemble des points supersinguliers.
Cette stratification est compatible aux morphismes de restriction du niveau
576
P. Boyer
M J,o −→ M I,o , pour J ⊂ I des idéaux de A. On montre enfin que, pour
tout 1 ≤ h ≤ d − 1, lim
M=h
I,o est un κ-schéma «induit» sous l’action des
←−
I
correspondances de Hecke de G L d (F ).
Décrivons brièvement le contenu des différents paragraphes.
La première partie est de nature locale. Après quelques rappels de notations sur les correspondances locales de Jacquet-Langlands (1.1) et de Langlands (1.2), on introduit suivant Drinfeld les anneaux de déformations universelles Def dn d’un O-module formel de hauteur d sur κ̄ (2.1). La limite inductive sur n des Q l -espaces vectoriels de dimension finie Ψd,n définis via les
travaux de Berkovich (2.2), est munie suivant Deligne et Carayol, via les correspondances de Hecke (2.3), d’une action du groupe P. La représentation
locale fondamentale (2.4) est alors l’induite de P à G L d (F ) × D×
F,d × W F
de cette représentation. La conjecture de Deligne-Carayol (3.2.4) est exprimée en termes de multiplicité (3.1) se calculant à partir d’un sous-groupe
compact ouvert assez petit de G L d (F ) × D×
F,d .
La deuxième partie de nature globale est consacrée aux D-faisceaux elliptiques de Drinfeld et Stuhler (4.1) ainsi qu’à leurs structures de niveaux.
Leurs variétés de modules M I,o −→ Spec(Oo ) définies dans un premier
temps pour o 6 ∈ V(I ), sont munies de correspondances géométriques de
Hecke (4.2). On calcule ensuite les déformations de M I,o (5.1.4) et on montre que déformer un point géométrique de M I,o est équivalent à déformer
le Oo -module de Dieudonné qui lui est associé (5.3). En utilisant la théorie
du module de coordonnée de Genestier (6.1) reliant certains Oo -modules de
Dieudonné aux Oo -modules divisibles, on montre l’équivalent du théorème
de Serre-Tate pour les D-faisceaux elliptiques (6.3). Via la notion de base
de Drinfeld (7.1), les variétés M I,o sont définies pour I arbitraire (7.2). On
étend alors les correspondances de Hecke (7.3) et le théorème de SerreTate (7.4). On montre alors que le morphisme de restriction du niveau
r J,I : M J,o −→ M I,o pour J ⊂ I deux idéaux quelconques de A, est fini et
plat (7.5).
La troisième partie concerne l’étude de la fibre spéciale de M I,o . On
applique une construction générale sur les ϕ-faisceaux (8) tout d’abord au
ϕ-faisceau d’un O-module divisible universel (9) puis au ϕ-faisceau associé
à un D-faisceau elliptique de M I,o . On définit ainsi une stratification de
la fibre spéciale de M I,o par des sous-schémas localement fermés M=h
I,o
(1 ≤ h ≤ d) (10.1) de telle sorte que l’anneau local de M I,o en tout point
géométrique de la h-ième strate est donné par Def hn . On s’intéresse dans
un premier temps aux points géométriques de M=d
I,o dont on montre qu’il
en existe par la théorie de la multiplication complexe, et on en donne une
description adélique (10.2). L’étude, donnée par le théorème de Serre-Tate,
de la situation locale en un tel point permet alors (10.3) de montrer que
M=h
I,o est de pure dimension d − h (résultat conjecturé par Rapoport).
Le théorème principal est prouvé par voie globale dans la quatrième partie. On rappelle tout d’abord la description en termes automorphes d’après
Mauvaise réduction des variétés de Drinfeld
577
[17] de la cohomologie globale de la fibre générique de M I,o (11.5). Dans
le cas où la multiplicité de o dans I est non nulle, on montre que les strates
M=h
I,o pour 1 ≤ h ≤ d − 1, sont induites sous l’action des correspondances
de Hecke de G L d (Fo ) (13.1) de sorte que la contribution cuspidale de ces
strates à la suite spectrale des cycles évanescents est nulle. La contribution
des points supersinguliers à cette suite spectrale est calculée grâce à un
théorème de Berkovich via l’uniformisation du complété formel de M I,o le
long des points supersinguliers (14). La représentation locale fondamentale
apparait alors comme «inclue» dans la cohomologie globale (15.3) et même
égale en ce qui concerne les représentations cuspidales de G L d (Fo ) (13.2),
ce qui permet de prouver le théorème principal via une bonne globalisation
des données (15.4).
Je remercie profondément Gérard Laumon tant pour son aide mathématique déterminante que pour ses constants encouragements. Je tiens à
exprimer mes plus vifs remerciements à Henri Carayol, Michael Harris
et à Michael Rapoport pour leurs nombreuses remarques et corrections.
Ma gratitude va aussi à Alain Genestier et Ioan Badulescu pour leurs
enrichissantes discussions, ainsi qu’a Guy Henniart pour ses explications
précises et précieuses.
Table des matières
I Enoncé de la conjecture de Deligne-Carayol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1 Correspondances locales de Jacquet-Langlands et de Langlands . . . . . . . . . .
2 La représentation locale fondamentale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3 Enoncé du théorème principal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
II Rappels et compléments sur les D-faisceaux elliptiques . . . . . . . . . . . . .
4 Rappels sur les D-faisceaux elliptiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5 Déformations des D-faisceaux elliptiques et de leurs Oo -modules de Dieudonné .
6 Théorème de Serre-Tate sans niveau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7 Etude de la mauvaise réduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
III Stratification de la fibre spéciale de M I,o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8 ϕ-faisceaux sur une base S et stratification de S . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9 Application à l’anneau universel des déformations d’un O-module divisible . . .
10 Application à M I,o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
IV Preuve de la conjecture de Deligne-Carayol . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11 Cohomologie globale de la fibre générique d’après Laumon-Rapoport-Stuhler . .
12 Les cycles proches pour M I,o −→ Spec(Oo ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13 Calcul des multiplicités λτ ∞ ⊗σo (Hηno ), pour τo cuspidale . . . . . . . . . . . . .
14 Uniformisation du complété formel le long de l’ensemble des points supersinguliers
15 La représentation locale fondamentale revisitée . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Bibliographie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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I Enoncé de la conjecture de Deligne-Carayol
Soient F un corps local non archimédien, d’égale caractéristique p, O
l’anneau des entiers de F, π une uniformisante et k le corps résiduel de
578
P. Boyer
cardinal q. Notons I F le sous-groupe d’inertie de G F = Gal( F̄/F ). Le
groupe de Weil W F de F est défini par le diagramme à lignes exactes
IF
1
/
WF
/
deg
Z
/
/
0
=
1
/
IF
/
GF
/
Ẑ
/
0,
la topologie de W F étant telle que I F , avec sa topologie de Krull, est un sousgroupe ouvert de W F , et que W F /I F est isomorphe à Z muni de la topologie
discrète. Dans toute la suite l désigne un nombre premier différent de p.
1 Correspondances locales de Jacquet-Langlands et de Langlands
1.1 Correspondance de Jacquet-Langlands locale
Soit D F,d «l»’algèbre à division centrale sur F, d’invariant 1/d. Soit AG L d
(resp. A H ) l’ensemble des classes d’équivalence des représentations complexes admissibles, irréductibles de G L d (F ) (resp. de D×
F,d ) de caractère
central d’ordre fini. On note A0G L d le sous-ensemble de AG L d constitué des
représentations cuspidales.
Soit π un élément de AG L d . Pour tout élément f de l’algèbre de
Hecke H, l’opérateur π( f ) est de rang fini et admet donc une trace Θπ ( f ).
Soit G L d (F )rss l’ouvert de G L d (F ) formé des éléments réguliers semisimples, i.e. des éléments dont le polynôme caractéristique est irréductible
et à racines (dans une clôture algébrique de F) deux à deux distinctes. La
restriction de la distribution invariante f 7 → Θπ ( f ) à cet ouvert est donnée
par une fonction invariante localement constante que l’on notera encore Θπ .
Soit ρ un élément de A H . L’espace sous-jacent à ρ est de dimension
finie et pour tout élément δ de D×
F,d , on peut donc former la trace Θρ (δ) de
ρ(δ).
On dira que δ ∈ D×
F,d correspond à un élément semi-simple γ de
G L d (F ) si le polynôme caractéristique réduit de δ coïncide au polynôme
caractéristique de γ . Si γ est un élément semi-simple de G L d (F ) qui correspond à δ ∈ D×
F,d , il est alors automatiquement elliptique.
Par définition, on dit que ρ correspond à π par la correspondance
locale de Jacquet-Langlands si pour tout élément δ de D×
F,d et tout élément
γ de G L d (F )rss correspondant à δ, on a
Θρ (δ) = (−1)d−1 Θπ (γ).
Théorème 1.1.1. (cf. [12] Appendice) Pour tout élément π de A0G L d , il
existe un unique élément ρ de A H qui corresponde à π au sens de la
définition ci-dessus; on le notera J F,d (π).
Mauvaise réduction des variétés de Drinfeld
579
Remarque : Un isomorphisme ι : Ql −→ C étant fixé, on notera encore
A0G L d (resp. A H ) les ensembles de représentations l-adique correspondant
aux ι−1 ◦ π ◦ ι (resp. ι−1 ◦ ρ ◦ ι) pour π ∈ A0G L d (resp. ρ ∈ A H ). On notera
de même J F,d pour le composé ι−1 ◦ J F,d ◦ ι.
Cette correspondance locale ne sera en fait qu’exploitée dans le contexte
global de la proposition 15.4.
1.2 Correspondance de Langlands locale
(cf. [14]) Pour tout entier d ≥ 1, on note G0 (d) l’ensemble des classes
d’isomorphie des représentations complexes irréductibles de dimension d
de W F , de déterminant d’ordre fini.
Pour tout entier d ≥ 1 et pour tout élément π ∈ AG L d , Godement et
Jacquet définissent les facteurs L(π) et ε(π) (le facteur ε dépend du choix
d’un caractère additif de F). Jacquet et Piatetski-Shapiro associent à toute
paire (π, π 0 ) ∈ AG L d ×AG L d0 , les facteurs L(π, π 0 ) et ε(π, π 0 ). De la même
façon si σ est un élément de G0 (d) (resp. (σ, σ 0 ) ∈ G0 (d) × G0 (d 0 )), on a
des facteurs L(σ) et ε(σ) (resp. L(σ, σ 0 ) et ε(σ, σ 0 )).
Théorème 1.2.1. (cf. [17] théorème (15.7) correspondance de Langlands
locale) Il existe une unique suite d’applications bijectives (L F,d )d de A0G L d
dans G0 (d) telle que:
– pour tout π × π 0 ∈ A0G L d × A0G L d0 , on a L L F,d (π) ⊗ Ld 0,F (π 0 ) =
L(π ⊗ π 0 );
– pour tout π ∈ A0G L d , on a L F,d (π̌) = Ľ F,d (π).
Remarque : L F,1 est induit par l’isomorphisme W Fab ' F × de la théorie du
corps de classe abélien.
Remarque : Pour toute représentation (σ, V ) de G0 (d), par continuité et par
le fait que le caractère central est d’ordre fini, σ se factorise par un quotient
fini de sorte qu’un isomorphisme ι : Ql −→ C étant fixé, ι−1 ◦ σ ◦ ι est une
représentation l-adique, c’est-à-dire continue pour la toplologie l-adique
sur ι−1 (V ).
Le théorème ci-dessus est obtenu via l’étude de la cohomologie du
schéma de module des D-faisceaux elliptiques (cf. le paragraphe 11). La
correspondance de Langlands locale ne sera utilisée dans ce texte, que sous
la forme du théorème 11.5, dû à Laumon, Rapoport et Stulher.
2 La représentation locale fondamentale
2.1 Les O-modules formels et leurs déformations
On reprend les résultats de Drinfeld dans [7] §1 et §4. Un groupe formel
(commutatif) sur un anneau R est par définition, une série formelle f ∈
580
P. Boyer
R[[x, y]] telle que f(x, y) = f(y, x), f(x, 0) = x et f(x, f(y, z)) =
f( f(x, y), z). Un homomorphisme d’un groupe formel f vers un groupe
formel g, est une série formelle ϕ ∈ R[[x]] telle que ϕ( f(x, y)) = g(ϕ(x),
ϕ(y)). Si R est de caractéristique p, on note τ l’endomorphisme de Frobenius qui correspond à la série ϕ(x) = x p . L’anneau des endomorphismes du
groupe additif est alors l’anneau non commutatif R{{τ}} muni de la loi de
commutation τ.r = r p .τ, pour tout élément r de R. On note D : End f → R,
l’homomorphisme canonique ϕ 7 → ϕ0 (0).
Soient R une O-algèbre et γ : O → R l’homomorphisme structural. Un
O-module formel sur R est un couple ( f, ψ) où f est un groupe formel
sur R et ψ est un homomorphisme de O vers End f , tel que D ◦ f = γ .
On notera ψa pour ψ(a). Une isogénie du groupe formel ( f, ψ) est un
endomorphisme ϕ du groupe formel f qui vérifie ψa (ϕ(x)) = ϕ(ψa (x)),
pour tout élément a ∈ O.
Soient κ 0 un sur-corps de κ et ( f, ψ) un O-module formel sur κ 0 . Si ϕ
est un endomorphisme non nul de ( f, ψ), il existe un entier h et une série
h
formelle Φ tels que ϕ(x) = Φ(x q ). L’entier h est appelé la hauteur de ϕ.
La hauteur d’un O-module formel sur κ 0 est par définition la hauteur de
l’endomorphisme ψπ .
Proposition 2.1.1. (cf. [7] §1) Il existe des O-modules formels de hauteur
arbitraire et tous les O-modules formels de hauteur d sur une clôture
séparable de κ sont isomorphes. L’anneau des endomorphismes d’un tel
O-module formel est isomorphe à l’anneau des entiers D F,d d’une algèbre
à division centrale D F,d sur F, d’invariant 1/d.
Un O-module formel sur κ̄ de hauteur d, est dit normal si l’action de
la puissance d-ème du Frobenius de κ sur le groupe formel f est égale à
l’action de π. Dans la suite, tous les O-modules formels considérés seront
normaux (sur κ̄).
Une structure de niveau n au sens de Drinfeld, sur un O-module formel
( f, ψ) sur R, est un homomorphisme de O-modules
ιn : (π −n O/O)d −→ R
où R est muni d’une structure de O-module via la formuleQ
a.r = ψa (r) pour
tout a ∈ O et tout r ∈ R, tel que ψπ (x) est divisible par α∈(π −1 O/O)d (x −
ιn (α)).
Soit Onr l’extension non ramifiée maximale de O et Ônr sa complétion.
On considère la catégorie C dont les objets sont les Ônr -algèbres locales
complètes noethériennes, de corps résiduel isomorphe à κ̄ = Ônr /(π). Les
morphismes de C sont les homomorphismes locaux de Ônr -algèbres. Soient
( f¯, ψ̄) un O-module formel sur κ̄, de hauteur d, normal et R un objet de C.
Une déformation de ( f¯, ψ̄) définie sur R est un O-module formel
( f, ψ) sur R tel que sa réduction modulo l’idéal maximal de R est ( f¯, ψ̄).
Des déformations ( f 1 , ψ1 ) et ( f 2 , ψ2 ) de ( f¯, ψ̄) définies sur R sont dites
Mauvaise réduction des variétés de Drinfeld
581
isomorphes s’il existe un isomorphisme entre ces deux O-modules formels
sur R, induisant l’identité sur ( f¯, ψ̄).
Proposition 2.1.2. (cf. [7] §4) Le foncteur de la catégorie C dans la
catégorie des ensembles qui à un objet R de C associe l’ensemble des
déformations sur R de ( f¯, ψ̄), à isomorphisme près, est représenté par une
Ônr -algèbre Def d0 isomorphe à l’algèbre des séries formelles Ônr [[t1 , · · · ,
td−1 ]].
Une déformation de niveau n de ( f¯, ψ̄), définie sur un objet R de C, est
par définition une déformation ( f, ψ) définie sur R et munie d’une structure
de niveau n. En particulier ιn est à valeurs dans m.
Proposition 2.1.3. Le foncteur qui à un objet R de C associe l’ensemble
des déformations de niveau n sur R de ( f¯, ψ̄), à isomorphisme près, est
représenté par une Ônr -algèbre Def dn telle que:
– Def dn est régulier,
– pour m ≤ n, le morphisme de restriction du niveau Def dm → Def dn est
un revêtement fini, plat, galoisien de groupe de Galois G L d (O/(π n )).
Remarque : L’action de G L d (O) sur Def dm est donnée sur la structure de
niveau n par son action à droite sur (m−n /O)d . De même le groupe des
d
¯
automorphismes D ×
F,d de ( f , ψ̄) agit naturellement sur Def m . Les actions
d
de G L d (O) et de D ×
F,d sur Def n , commutent et sont compatibles aux morphismes de restriction du niveau Def dm −→ Def dn (m ≤ n). On remarque
×
alors que l’action d’un élément (z, z) ∈ G L d (O) × D ×
F,d , pour z ∈ O vu
comme un élément du centre de G L d (O) et de D ×
F,d , est triviale.
2.2 Cohomologie évanescente
Pour chaque entier n ≥ 0, Spf(Def dn ) est un schéma formel sur Spf(Ônr )
qui est spécial au sens de [1]. Fixons une clôture séparable F̂ nr de F̂ nr . Dans
loc. cit. Berkovich construit le foncteur Ψη des cycles évanescents pour le
morphisme structural Ônr −→ Def dn , ainsi que ses foncteurs dérivés. Le
faisceau Ri Ψη (Ql ) sur la fibre spéciale de Spf(Def dn ) (réduite à un point) est
un Ql -espace vectoriel de dimension finie, muni d’une action de W F , que
l’on notera Ψd,i
n . Suivant les notations de l’introduction, le groupe en degré
maximal Ψd,d−1
sera noté Ψd,n . On rappelle que Gal( F̂ nr / F̂ nr ) est isomorphe
n
à Gal( F̄/F nr ). En particulier Gal( F̄/F nr ) agit naturellement sur le Q l -espace
×
vectoriel de dimension finie Ψd,i
n . De plus, les actions géométriques de D F,d
×
d
et G L d (O) sur Def n induisent une action de G L d (O) × D F,d sur Ψd,i
n qui
commute à l’action de Gal( F̄/F nr ).
582
P. Boyer
×
On fixe un caractère d’ordre fini ξ de F × à valeurs dans Ql . On note
0
0
d,i
0
×
Ψd,i
n (ξ ) la composante ξ -isotypique de Ψn où ξ est la restriction de ξ à O
×
×
et O est identifié au centre de G L d (O). Un élément z de O , vu comme
d,i 0
0
−1
élément du centre O× ⊂ D ×
F,d , agit alors sur Ψn (ξ ) via le scalaire ξ (z) .
d,i 0
d,i 0
Ψn (ξ ), où les flêches de transition sont induites
On pose Ψ (ξ ) = lim
−→
n
par les morphismes de restriction du niveau Def dm −→ Def dn (m ≤ n).
Le Ql -espace vectoriel Ψd,i (ξ 0 ) est muni d’une action du groupe produit
nr
G L d (O) × D ×
F,d × Gal( F̄/F ) et pour tout entier n, on a un isomorphisme
nr
d,i 0 K d,n
0
(G L d (O) × D ×
' Ψd,i
n (ξ ), où
F,d × Gal( F̄/F ))-équivariant Ψ (ξ )
n
K d,n := Ker (G L d (O) −→ G L d (O/(π ))).
2.3 Correspondances de Hecke
On fixe un élément τ de W F dont l’image dans F × est l’uniformisante π.
Soit P le noyau de l’application
G L d (F ) × D×
F,d × W F −→ Z/dZ
(g, δ, w) 7 −→ − val(det g)+ val(rn(δ)) + deg(w)
modulo dZ,
×
où rn : D×
F,d → F désigne la norme réduite. Le sous-groupe P contient
nr
G L d (O) × D ×
F,d × Gal( F̄/F ). Suivant Deligne et Carayol, on cherche à
nr
d,i 0
prolonger l’action de G L d (O) × D ×
F,d × Gal( F̄/F ) sur Ψ (ξ ), au sousgroupe P. On commence par donner les actions d’éléments particuliers qui
forment un système générateur de P.
(i) Aux éléments du type (z 1 , z 2 , 1) pour z 1 , z 2 ∈ F × , où l’on identifie
×
F respectivement au centre de G L d (F ) et de D×
F,d , on associe l’endomord,i 0
)
Id
de
Ψ
(ξ
).
phisme ξ(z 1 z −1
2
Proposition 2.3.1. (cf. [7] §4) Soit R une Ônr -algèbre locale complète de
corps résiduel isomorphe à κ̄. Soit ( f, ψ) un O-module formel défini sur R et
muni d’une structureQ
de niveau n, ιn . Soit P ⊂ (π −n O/O)d un sous-module.
On définit α(X) := p∈P f(X, ιn ( p)). Il existe alors un unique O-module
formel ( f P , ψ P ) défini sur R tel que
α ◦ f(X, Y ) = f P (α(X), α(Y )) et ∀a ∈ O, α ◦ ψa (X) = ψ P,a (α(X)).
Si m est tel que le morphisme naturel θ : (π −m O/O)d −→ (π −n O/O)d /P
est injectif, alors l’homomorphisme ιn ◦ θ de (π −m O/O)d dans l’idéal maximal de R est une structure de niveau m sur f P que l’on note ι P,m .
Mauvaise réduction des variétés de Drinfeld
583
Soit g un élément de Md (O) de déterminant non nul. Pour tout m ≥ 0,
soit n tel que le noyau de l’application ×g : (F/O)d −→ (F/O)d est
contenu dans (π −n O/O)d et tel que l’image de (π −n O/O)d par ×g contienne
(π −m O/O)d . On note (( f, ψ), ιn ) la déformation universelle de niveau n de
( f¯, ψ̄) et soit ( f Ker g , ψKer g ) le O-module formel de la proposition ci-dessus,
associé à Ker g, muni de sa structure de niveau m, ιKer g,m
(ii) Soient g ∈ Md (O) ∩ G L d (F ) et δ ∈ D×
F,d tels que val(det g) =
val(rn(δ)). A l’élément (g−1 , δ−1 , 1) est associé une correspondance de
δ−1
Hecke comme suit. La quasi-isogénie ( f¯, ψ̄) −→ ( f¯, ψ̄) −→ ( f¯Ker g ,
ψ̄Ker g ) est un isomorphisme. En considérant ( f Ker g , ψKer g , ιKer g,m ) comme
une déformation de niveau m de ( f¯, ψ̄), définie sur Def dn , on obtient alors
un morphisme c2 : Def dm −→ Def dn . La correspondance
Def dn
EE
y
EE c2
yy
EE
y
EE
yy
y
y
d _ _ _ _ _ _ _ _
Def m
Def dm
<
b
c1
o
où c1 est le morphisme de restriction du niveau, définit, pour tout i, un
0
endomorphisme du Ql -espace vectoriel Ψd,i
m (ξ ) et donc un endomorphisme
d,i 0
de Ψ (ξ ).
(iii) Soit g ∈ Md (O) ∩ G L d (F ) et r = val(det g). A l’élément (g−1 , 1,
−r
τ ) est associé une correspondance de Hecke comme suit. La quasir
τ −r
isogénie ( f¯, ψ̄)τ −→ ( f¯, ψ̄) −→ ( f¯Ker g , ψ̄Ker g ) est un isomorphisme.
On obtient alors un morphisme c02 : Def dm −→ Def d,(r)
, où Def d,(r)
est
n
m
r
nr
τ
¯
la Ô -algèbre associée aux déformations de ( f , ψ̄) , c’est-à-dire le produit tensoriel Def dm ⊗Ônr ,α Ônr où α est la puissance r-ième de l’inverse du
∼
relèvement canonique Ônr −→ Ônr du Frobenius de κ. La correspondance
Def dn SSS
GG SSS
GG SSS c2
GG
SSS
G
SSS
c02 GG
SSS
S
d,(r) ∼
Def m e f Def dm
y
c1 yy
y
y
y
yy
Def dm X Y Z
<
k
i
c
o
\ ] ^ _ ` a b d
où c1 est le morphisme de restriction du niveau, définit, pour tout i, un
endomorphisme de Ψd,i (ξ 0 ).
Proposition 2.3.2. (Deligne, Carayol) Il existe une unique action de P sur
nr
Ψd,i (ξ 0 ) qui prolonge l’action de G L d (O) × D ×
F,d × Gal( F̄/F ), de (i), (ii)
et (iii).
Preuve : Les éléments de la forme (i), (ii) et (iii) formant un système
générateur de P, une telle action si elle existe est forcément unique. La
584
P. Boyer
vérification des compatibilités est laissée au lecteur. Remarquons simplement que le O-module formel ( f¯, ψ̄) défini sur κ̄ (dont Def dn représente
les déformations) étant choisi normal, l’action de la puissance d-ième du
Frobenius de κ sur f¯ est égale à ψ̄π . L’action de (π −1 , 1, τ −d ) sur Def dn est
alors triviale.
t
u
×
Les groupes G L d (F ) × {1} × {1} et {1} × D F,d × {1} sont contenus
dans P. Un élément z du centre F × de G L d (F ) (resp. de D×
F,d ) agit sur
d,i 0
−1
d,i 0
Ψ (ξ ) par le scalaire ξ(z) (resp. ξ (z)). L’espace Ψ (ξ ) ainsi muni de
l’action de P sera noté Ψd,i (ξ).
2.4 La représentation locale fondamentale
Le quotient (G L d (F ) × D×
F,d × W F )/P étant fini, on pose pour tout entier i,
G L d (F )×D×
F,d ×W F
Ud,i (ξ) := IndP
Ψd,i (ξ).
Définition 2.4.1. La représentation Ud,d−1(ξ) est appelée la représentation
locale fondamentale associée au caractère d’ordre fini ξ; on la notera
Ud (ξ).
3 Enoncé du théorème principal
3.1 Notion de multiplicité
Soit G le groupe G L d (F ) × D×
F,d . On fixe une mesure de Haar rationnelle
sur G et on note H l’algèbre de Hecke de G. Pour tout sous-groupe compact
ouvert K de G, on note H K la sous-algèbre de H, formée des fonctions
invariantes à droite et à gauche par K. Soit e K = vol(K )−1 .1 K , où 1 K est la
fonction caractéristique de K.
Définition 3.1.1. On appellera représentation admissible de G × W F tout
(Ql ⊗H)-module M muni d’une action de W F , tel qu’il existe une extension
finie E de Ql contenue dans Ql pour laquelle M, muni de l’action de W F ,
est l’image, par le foncteur d’extension des scalaires de E à Ql , d’un
(E ⊗ H)-module M E vérifiant les propriétés suivantes:
(i) M E est un (E ⊗ H)-module non dégénéré, c’est-à-dire que pour tout
m ∈ M E , il existe un élément a ∈ E ⊗ H tel que a.m = m;
(ii) pour tout sous-groupe compact ouvert K de G, e K .M E est de dimension finie (M E est admissible) et l’action de W F y est continue.
Soit C G L,H,W la sous-catégorie pleine de celle des Q l ⊗H-modules munis
d’une action de W F , dont les objets sont les représentations admissibles de
G L d (F ) × D×
F,d × W F . On introduit de même pour tout sous-groupe ouvert
compact K de G, la catégorie C GK L,H,W en remplaçant H par H K dans la
définition de C G L,H,W .
Mauvaise réduction des variétés de Drinfeld
585
Lemme 3.1.2. Soient M et I des objets de la catégorie abélienne C G L,H,W
avec I irréductible. Pour tout sous-groupe ouvert compact K de G tel que
e K .I est non nul, e K .I est un objet irréductible de C GK L,H,W . La multiplicité de
e K .I dans e K .M est alors un entier indépendant de K, appelé la multiplicité
de I dans M et noté λ I (M).
Preuve : Soit JK un sous-objet de e K .I . Le module J := H.JK est alors
un sous-objet de I tel que ek .J = JK . D’après l’irréductibilité de I , J
est soit nul soit égal à I , d’où JK = 0 ou JK = e K .I . Les objets de
C GK L,H,W étant de dimension finie, la notion de multiplicité y a un sens.
L’indépendance par rapport à K découle alors de l’exactitude du foncteur
0
C GK L,H,W −→ C GK L,H,W , M K 7 −→ e0K .M K .
t
u
Proposition 3.1.3. Les objets irréductibles Π de C G L,H,W sont exactement
les produits tensoriels π ⊗ ρ ⊗ σ , où π (resp. ρ) est une représentation
admissible irréductible de G L d (F ) (resp. de D×
F,d ) définie sur E et σ est
une représentation l-adique de W F , irréductible et définie sur E, où E est
une extension finie (qui dépend de Π) de Ql contenue dans Ql .
Preuve : Par admissibilité on est ramené en dimension finie où le résultat
est connu (cf. Bourbaki Eléments de mathématiques).
t
u
3.2 La conjecture de Deligne-Carayol en termes de multiplicités
Proposition 3.2.1. Pour tout i, les représentations Ud,i (ξ) sont admissibles
au sens de la définition 3.1.1 et constituent donc des objets de la catégorie
C G L,H,W .
d,i
Preuve : Montrons la lissité de l’action de D×
F,h . Soit v ∈ U (ξ). Il existe
d,i
K d,n
un entier n assez grand tel que v appartienne à (U (ξ)) . On se ramène
facilement au cas où v appartient à Ψd,i
n . On note H le groupe des automornr
phismes de la (Ô )-algèbre locale Def dn et pour tout entier m positif, Hm
le sous-groupe de H constitué des automorphismes tangents à l’identité à
l’ordre m. La lissité de l’action de D×
F,h découle des deux résultats suivants.
Théorème 3.2.2. (Berkovich) Il existe un entier m pour lequel tout élément
de Hm agit trivialement sur Ψd,i
n .
Une preuve d’après Berkovich de ce théorème est donnée à la fin du
d
paragraphe 12. L’action de D×
F,d sur Def n fournit un morphisme de groupe
×
ρ : D F,d −→ H.
Lemme 3.2.3. Pour tout entier m, ρ −1 (Hm ) est ouvert dans D ×
F,d .
Preuve : La preuve est essentiellement donnée dans l’appendice de [3]
(proposition 1). On en reprend brièvement les arguments. Comme (Hm , Hm 0 )
586
P. Boyer
est inclu dans Hm+m 0 , on se ramème à montrer que ρ −1 (H1 ) est ouvert dans
×
D×
F,d . On note K 1 le sous-groupe de D F,d formé des éléments congrus à 1
modulo l’idéal maximal de D F,d : K 1 est un pro- p-groupe. L’image du morρ̄
phisme composé K 1
ρ
/
H
/
,
H/H1 est un p-groupe Λ (cf. loc. cit.
lemme 5). Soient Λm les sous-groupes de Λ définis comme suit: Λ0 = Λ,
Λm = (Λm−1 , Λm−1 ). Comme Λ est un p-groupe, Λk est trivial pour k
assez grand. Par récurrence sur m, on voit que Λm est ouvert dans K 1 et
t
u
donc que ρ −1 (H1 ) ∩ K 1 est ouvert dans K 1 .
La lissité de l’action de G L d (F ) est évidente et l’admissibilité de l’action
d,i
t
u
de G L d (F ) × D×
F,d résulte du fait que Ψn est de dimension finie.
Théorème 3.2.4. Soient ξ un caractère d’ordre fini de F × , π une représentation irréductible admissible cuspidale de G L d (F ) de caractère central ξ,
ρ une représentation irréductible admissible de D×
F,d et σ une représentation
irréductible l-adique de W F . Alors la multiplicité λπ⊗ρ⊗σ (Ud,i (ξ)) de la
représentation irréductible π ⊗ ρ ⊗ σ de G L d (F ) × D×
F,d × W F dans la
d,i
représentation U (ξ), est non nulle si et seulement si i = d − 1 et (ρ, σ)
appartient à A Hd × G0 (d) et est isomorphe au couple (J F,d (π̌), L F,d (π) ⊗
1−d
| − | 2 ), où π̌ est la représentation contragrédiente de π. Dans ce cas,
cette multiplicité est égale à 1.
Remarque : D’après la définition de l’action de G L d (F ) × D×
F,d × W F sur
Ud,i (ξ), si λπ⊗ρ⊗σ (Ud,i (ξ)) est non nulle pour un triplet (π, ρ, σ) comme
dans la théorème alors le caractère central de π (resp. de ρ) est ξ (resp. ξ −1 ).
II Rappels et compléments sur les D-faisceaux elliptiques
Soient X une courbe projective, irréductible, lisse et géométriquement connexe, sur un corps fini Fq et F son corps des fonctions. On fixe deux places
∞, o de F que l’on supposera, pour simplifier, rationnelles sur le corps des
constantes Fq de X. Le complété Fo de F en o jouera le rôle du corps local
de la première partie. Tous les schémas considérés sont des schémas sur Fq .
Si Y, Z sont de tels schémas, Y × Z désignera leur produit sur Fq .
Fixons une algèbre à division centrale D sur F de dimension finie d 2 ,
ramifiée seulement en deux places x1 et x2 distinctes des places ∞, o, telle
que Dxi (i = 1, 2) est une algèbre à division, et D un faisceau d’ordres maximaux de D. On pose X 0 = X\{∞, x1 , x2 } et on note A = Γ(X\{∞}, O X ).
Mauvaise réduction des variétés de Drinfeld
587
4 Rappels sur les D-faisceaux elliptiques
4.1 D-faisceaux elliptiques et structures de niveau en dehors de la
caractéristique
Un D-faisceau elliptique (E i , ji , ti ) sur un schéma S est d’après [17] un
diagramme commutatif
···

/
Ei
ji

/
E i+1
y
ti yy
y
y
y
yy τ

/
···
<
···

/
τ
-
Ei

ji
/
τ
E i+1

/
···
où:
– E i est un D X×S -module à droite localement libre de rang 1, et donc un
O X×S -module localement libre de rang d 2 ;
– τ E i est égal à (Id X × Frob S )∗ E i ;
– ji et ti sont des injections D X×S -linéaires;
– E i+d ' E i (∞) := E i ⊗O X O X (∞) et le composé E i → E i+1 → · · · →
E i+d est induit par l’injection canonique O X ,→ O X (∞);
– ( pr S )∗ (E i /E i−1 ) est un O S -module localement libre de rang d où pr S :
X × S → S est la projection canonique. De manière équivalente, E i /E i−1
est isomorphe à l’image directe (f
i ∞ )∗ (Γ∞,i ) d’un O S -module Γ∞,i localement libre de rang d, par la section ∞: (f
i ∞ ) : S −→ X × S s 7 −→
(∞, s);
– l’image directe de Coker ti est un O S -module localement libre de rang d.
Le support de Coker ti est disjoint de {∞, x1 , x2 } × S. De manière
équivalente, Coker ti est isomorphe à l’image directe (if
0,i )∗ (Γ0,i ) d’un
(i0,i ,id S )
O S -module Γ0,i localement libre de rang d, par la section (if
0,i ) : S −→
X × S induite par un morphisme i 0,i : S → X tel que i 0,i (S) ⊂ |X 0 |.
Remarque : Les inclusions E i ,→ E i+1 étant des isomorphismes sur (X\{∞})
× S et le support de Coker ti étant disjoint de ∞ × S, on en déduit que la
donnée des morphismes (ti )i est équivalente à la donnée d’un seul ti . Les
morphismes i 0,i sont indépendants de i; on le note i 0 , le morphisme caractéristique du D-faisceau elliptique.
Soient (E i , ji , ti ) un D-faisceau elliptique défini sur S et I un idéal de
A tel que V(I ) ∩ i 0 (S) = ∅. Une I -structure de niveau sur (E i , ji , ti ) est un
∼
isomorphisme de D I×S -modules à droite, ι̃ I : D I O S −→ E I×S tel que
le diagramme suivant est commutatif
τ
E |I×S
t|I×S
e
KK
KKKτ ι̃ I
KK
KK
K
/
ss
ss
s
ss
ss ι̃ I
D I OS
9
E |I×S
588
P. Boyer
4.2 Variétés de modules et correspondances de Hecke
On note Ell X,D,I la catégorie fibrée sur la catégorie des Fq -schémas, dont les
objets sont les D-faisceaux elliptiques munis d’une I -structure de niveau.
Les morphismes de Ell X,D,I (S) sont les isomorphismes entre deux tels
objets. Le morphisme caractéristique définit le morphisme zéro de catégorie
fibrée: Ell X,D,I −→ X 0 \V(I ). Laumon Rapoport et Stuhler montrent (cf.
[17] §4) que Ell X,D,I est un champ algébrique au sens de Deligne-Mumford,
lisse de dimension relative d − 1 sur X 0 \V(I ) que l’on note Ell X,D,I et qui
est un schéma dès que I est différent de A. Le morphisme de restriction
du niveau r J,I : Ell X,D,J −→ Ell X,D,I , pour J ⊂ I deux idéaux de A,
est fini et étale au dessus de X 0 \V(J ). Le groupe Z agit sur Ell X,D,I par
[n](E i , ji , ti ) = (E 0i , ji0 , ti0 ) avec E 0i = E i+n , ji0 = ji+n , ti0 = ti+n .
Proposition 4.2.1. (cf. [17] §6) Le morphisme (Ell X,D,I /Z) −→ X 0 \V(I )
est propre.
Soient A l’anneau des adèles de F et DA× := D× ⊗ F A. La fibre générique
Ell X,D,I est munie d’une action
de la limite projective Ell X,D := lim
←−
I
de (DA∞ )× . A niveau fini, pour K A∞ un sous-groupe compact ouvert de
(DA∞ )× , l’action d’un élément g∞ de (DA∞ )× se décrit par la correspondance
géométrique
Ell X,D /(K A∞ ∩ (g∞ )−1 K A∞ g∞ )
TTTT
j
TTTTc2
jjjj
j
j
TTTT
j
jj
j
TTTT
j
j
jjj
∞ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
Ell X,D /K A
Ell X,D /K A∞
UUUU
i
i
UUUU
iii
UUUU
iiii
i
i
UUUU
i
iiii
c1
t
*
/
*
Spec(F )
t
où le morphisme c1 (resp c2 ) est induit par l’inclusion (K A∞ ∩(g∞ )−1 K A∞ g∞ )
Ad(g∞ )
K A∞ ) (cf. [17] §7). En particulier
⊂ K A∞ (resp (K A∞ ∩ (g∞ )−1 K A∞ g∞ ) −→
Q
×
nx
×
on note K A∞,I le noyau de (D ∞
x6 =∞ D x ⊗Ox O x /M x , où n x est
A ) −→
∞
la multiplicité de x dans I . On a Ell X,D /K A ,I = Ell X,D,I .
Dans la suite, on considère la restriction M I,o de (Ell X,D,I /Z) à
Spec(Oo ) de sorte que pour tout idéal I de A tel que o 6 ∈ V(I ), M I,o −→
Spec(Oo ) est propre et lisse de dimension relative d −1. La limite projective
sur tous les idéaux I de A des M I,o ⊗Oo Fo est alors munie d’une action de
(DA∞ )× définie via les correspondances de Hecke.
Mauvaise réduction des variétés de Drinfeld
589
5 Déformations des D-faisceaux elliptiques et de leurs Oo -modules de
Dieudonné
5.1 Déformation des D-faisceaux elliptiques
Soient S le spectre d’un anneau local R artinien et S̄ = Spec R̄ avec R̄ le
quotient de R par un idéal m de carré nul. Soit (Ē i , j̄i , t¯i ) un D-faisceau
elliptique défini sur S̄, de caractéristique ī 0 : S̄ → Spec(Oo ); R est donc une
Oo -algèbre telle que l’image de πo est nilpotente. On note ī˜o le morphisme
(īo ,id )
S̄ −→ X × S̄. On a alors la suite exacte suivante
t¯0
0 −→ τ Ē 0 −→ Ē 1 −→ (ī˜o )∗ (Γ̄o ) −→ 0
(5.1.1)
où Γ̄o est un R̄-module libre de rang d. On cherche à relever (Ē i , j̄i , t¯i ) en
un D-faisceau elliptique (E i , ji , ti ) défini sur S. On montrera en fait que ce
problème revient à relever la suite exacte (5.1.1).
Proposition 5.1.2. Il n’y a pas d’obstruction à relever le D O S̄ -module
à droite localement libre de rang 1, E i . L’ensemble des relèvements est un
torseur sous Ext1D O (Ē i , Ē i ⊗ R̄ m).
S̄
Preuve : D’après les résultats de [15], l’obstruction à relever le D X×S̄ module à droite localement libre de rang 1, E i , se trouve dans le groupe
Ext2D O (Ē i , Ē i ⊗ R̄ m). Lorsque cette obstruction est nulle, l’ensemble des
S̄
relèvements est alors un torseur sous le groupe Ext1D O (Ē i , Ē i ⊗ R̄ m). La
S̄
proposition découle alors du lemme suivant.
t
u
Lemme 5.1.3. Le groupe Ext2D O (Ē i , Ē i ⊗ R̄ m) est trivial.
S̄
Preuve : Le (D O S̄ )-module Ē i étant localement libre, les Ext nD O (Ē i ,
S̄
Ē i ⊗ R̄ m) sont nuls pour n ≥ 1. Le schéma X × S̄ étant de dimension 1, la suite spectrale locale-globale pour les Extn , donne la nullité
de Ext2D O (Ē 1 , Ē 1 ⊗ R̄ m).
t
u
S̄
Proposition 5.1.4. Il n’y a pas d’obstruction à relever le D-faisceau elliptique (Ē i , j̄i , t¯i ) ci-dessus, en un D-faisceau elliptique (E i , ji , ti ) defini
sur Spec R. L’ensemble des relèvements est un torseur sous le groupe
Ext1D o O (Γ̄o , Ē 1,o ⊗ R̄ m), lequel, après équivalence de Morita, est isoS̄
morphe à Ext1O
o ⊗ R̄
( R̄, (Oo ⊗ R̄)d ⊗ R̄ m).
590
P. Boyer
Preuve : (i) Comme m2 = (0), l’image d’un élément r de R par le morphisme
Frobenius ne dépend que de sa classe modulo m. En d’autres termes, le
morphisme Frob S : S → S se factorise par S̄:
Frob S
S=
S
/
==
==
=
Frob S, S̄ ==
O
S̄
Ainsi pour tout i, les τ E i d’un éventuel relèvement E i de Ē i , sont donnés par
les faisceaux (Id X × Frob S, S̄ )∗ (Ē i ) et de même τ ji = (Id X × Frob S, S̄ )∗ ( ji ).
(ii) Considérons la suite exacte longue associée au foncteur
HomD OS̄ (•, Ē 1 ⊗ R̄ m) et à la suite exacte courte 0 −→ τ Ē 0 −→ Ē 1 −→
(ī˜ ) (Γ̄ ) −→ 0;
o ∗
o
0 → HomD OS̄ (ī˜o )∗ (Γ̄o ), Ē 1 ⊗ R̄ m → HomD OS̄ (Ē 1 , Ē 1 ⊗ R̄ m) →
→ HomD OS̄ ( τ Ē 0 , Ē 1 ⊗ R̄ m) → Ext1D O (ī˜o )∗ (Γ̄o ), Ē 1 ⊗ R̄ m →
S̄
→
Ext1D O ( τ Ē 0 , Ē 1
S̄
Ext1D O (Ē 1 , Ē 1
S̄
→ Ext2D O
S̄
⊗ R̄ m) →
(ī˜o )∗ (Γ̄o ), Ē 1 ⊗ R̄ m .
⊗ R̄ m) →
La condition nécessaire et suffisante pour l’existence d’un diagramme commutatif
0
τ
/
Ē 0 ⊗ R̄ m
τ
/
f1
E0
τ
/
f
0
Ē 0
/
f0
0
/
Ē 1 ⊗ R̄ m
/
E1
/
Ē 1
/
0
est qu’il existe une extension E 1 de Ē 1 par Ē 1 ⊗ R̄ m telle que l’extension
E 1 ∗ f 0 de τ Ē 0 par Ē 1 ⊗ R̄ m est égale à f 1 ∗ τ E 0 . L’obstruction à cette
existence est liée à la non surjectivité de
Ext1D O (Ē 1 , Ē 1 ⊗ R̄ m) → Ext1D O ( τ Ē 0 , Ē 1 ⊗ R̄ m)
S̄
S̄
et se situe donc dans le groupe Ext2D O (ī˜o )∗ (Γ̄o ), Ē 1 ⊗ R̄ m . Le même
S̄
argument que celui de la preuve
du
lemme 5.1.3 donne la nullité de
˜
2
ExtD O (ī o )∗ (Γ̄o ), Ē 1 ⊗ R̄ m et montre que Ext1D O (ī˜o )∗ (Γ̄o ), Ē 1 ⊗ R̄ m
S̄
S̄
est isomorphe à H 0 X × S̄, Ext 1D O (ī˜o )∗ (Γ̄o ), Ē 1 ⊗ R̄ m . Le faisceau
S̄
Mauvaise réduction des variétés de Drinfeld
591
(ī˜o )∗ (Γ̄o ) étant concentré au point o, on en déduit que ce dernier est isomorphe à Ext1D o O (Γ̄o , Ē 1,o ⊗ R̄ m).
S̄
(iii) On a donc construit E 1 ainsi que l’application t0 : τ E 0 → E 1 qui
relève l’application t¯0 . En outre pour tout i, on connait les D X×S -modules
τ
E i et les applications τ ji . Les places o et ∞ étant distinctes, il existe alors
un unique diagramme commutatif
···

/
Ei
ji

/
E i+1
y
ti yy
yy
y
yy τ ji

/
···
<
···

/
τ
-
Ei
τj

/
τ
E i+1

/
···
t0
qui contienne la ligne · · · τ E i −→ τ E i+1 · · · ainsi que la diagonale τ E 0 −→
E 1 . Clairement pour tout i, E i est un D X×S -module à droite localement
libre de rang 1 et ji , ti sont des injections D X×S -linéaires. La condition de
périodicité E i+d ' E i ⊗O X O X (∞) découle de la périodicité des τ E i . Pour
tout i, on a une suite exacte courte 0 → τ E i → E i+1 → F i → 0 et d’après
le lemme de Nakayama, ( pr S )∗ (F i ) est un R-module libre de rang d, soit
F i = (ĩ o )∗ (Γo,i ) où Γo,i est un R-module libre de rang d. De la même façon
on a pour tout i, une suite exacte courte 0 → E i → E i+1 → Gi → 0 où
( pr S )∗ (Gi ) est un R-module libre de rang d, soit Gi = (ĩ ∞ )∗ (Γ∞,i ), où Γ∞,i
est un R-module libre de rang d. Finalement, le diagramme (E i , ji , ti ) est
un D-faisceau elliptique qui est une déformation de (Ē i , j̄i , t¯i ).
(iv) Calculons l’espace des relèvements. Tout d’abord l’ensemble des
classes d’isomorphie des extensions E 1 telles que E 1 ∗ f 0 = f 1 ∗ τ E 0 est un
torseur sous
Ext1D O
S̄
i
(ī˜o )∗ (Γ̄o ), Ē 1 ⊗ R̄ m / Im HomD OS̄ ( τ Ē 0 , Ē 1 ⊗ R̄ m) .
L’extension E 1 étant fixé, l’ensemble des classes d’isomorphie des t0 :
E 0 → E 1 est
τ
HomD OS̄ ( τ Ē 0 , Ē 1 ⊗ R̄ m)/ Im HomD OS̄ (Ē 1 , Ē 1 ⊗ R̄ m) .
Cet ensemble est isomorphe à Im HomD OS̄ ( τ Ē 0 , Ē 1 ⊗ R̄ m) . Ainsi l’ensemble des relèvements
du D-faisceau
elliptique (Ē i , j̄i , t¯i ) est un torseur
˜
1
sous ExtD O (ī o )∗ (Γ̄o ), Ē 1 ⊗ R̄ m , qui d’après ce qui précède est isomorS̄
phe à Ext1D o O (Γ̄o , Ē 1,o ⊗ R̄ m).
S̄
t
u
592
P. Boyer
Corollaire 5.1.5. L’application tangente au morphisme M A,o−→Spec(Oo )
en un point fermé de sa fibre spéciale est donnée par le morphisme
Ext1D O (ī˜o )∗ (Γ̄o ), Ē 1 ⊗ R̄ m −→Ext1D O (ī˜o )∗ (Γ̄o ), (ī˜o )∗ (Γ̄o ) ⊗ R̄ m .
S̄
S̄
(5.1.6)
Ce morphisme est surjectif et M A,o −→ Spec(Oo ) est lisse de dimension
relative d − 1. L’anneau local de M A,o en un point géométrique de la fibre
spéciale est alors isomorphe à Ônr
o [[t2 , · · · , td ]] ' κ̄(o)[[t1 , · · · , td ]], où t1
nr
est une uniformisante de Ôo .
Preuve : En appliquant le foncteur HomD⊗ R̄ (ī˜o )∗ (Γ̄o ), • à la suite exacte
0 −→ τ Ē 0 ⊗ R̄ m −→ Ē 1 ⊗ R̄ m −→ (ī˜o )∗ (Γ̄o ) ⊗ R̄ m −→ 0,
on en déduit que le conoyau de (5.1.6) est un quotient de Ext 2D O (ī˜o )∗ (Γ̄o ),
S̄
τ
E 0 ⊗ R̄ m . Par un argument identique à celui du point (ii) de la preuve de
la proposition 5.1.4, on montre que ce dernier groupe est nul.
t
u
5.2 Déformations des O-modules de Dieudonné
Dans la suite O désigne l’anneau des entiers d’un corps local (la plupart du
temps O = Oo ), κ son corps résiduel de cardinal q et π une uniformisante.
Soit B une O-algèbre locale d’idéal maximal m nilpotent.
Définitions 5.2.1. – Un O-module de Dieudonné de rang d sur B est un
ˆ κ B)-module M, libre de rang d, muni d’un morphisme de Frobenius
(O⊗
ˆ κ Frobκ )∗ M −→ M tel que Coker F ' Γ∗ (ω) où ω est un
F : (IdO ⊗
B-module libre de type fini.
– Le Frobenius F sera dit topologiquement nilpotent s’il existe un entier n
ˆ κ Frobnκ )∗ M/πM −→ M/πM est le morphisme
pour lequel F n : (IdO ⊗
nul.
– Soit Mod B(B) la sous-catégorie pleine de celle des O-modules de
Dieudonné sur B, telle que Coker F ' Γ∗ (ω) où ω est un B-module
libre ω de rang inférieur à 1.
Soit ( M̄, F̄ ) un objet de la catégorie Mod B(κ̄); M̄ est alors un Ônr ˆ κ̄ Frobκ )∗ M̄ −→ M̄. Soit R
module libre, muni d’un Frobenius F̄ : (IdÔnr ⊗
nr
une Ô -algèbre locale complète noethérienne, de corps résiduel isomorphe
à κ̄, telle que le morphisme structural i : Ônr −→ R est un homomorphisme local de Ônr -algèbres. Une déformation (M, F ) sur R de ( M̄, F̄ ),
ˆ κ̄ R)-module libre M, muni d’un morphisme de Frobenius
est un (Ônr ⊗
ˆ
F : (IdÔnr ⊗κ̄ Frobκ )∗ M −→ M, tel que la réduction de (M, F ) modulo
l’idéal maximal de R est égale à ( M̄, F̄ ).
Mauvaise réduction des variétés de Drinfeld
593
Proposition 5.2.2. Soient B une O-algèbre locale artinienne, B̄ le quotient
de B par un idéal m de carré nul et ( M̄, F̄ ) un O-module de Dieudonné
défini sur B̄. Il n’y a pas d’obstruction à déformer ( M̄, F̄ ) en un O-module
de Dieudonnédéfini sur B.L’espace des relèvements est alors un torseur
sous Ext1O⊗ˆ B̄ N̄, M̄ ⊗ B̄ m lequel est isomorphe à
κ
HomO⊗ˆ κ B̄ ( τ M̄, M̄ ⊗ B̄ m)/ HomO⊗ˆ κ B̄ ( M̄, M̄ ⊗ B̄ m) ◦ F̄.
F̄
Preuve : On a la suite exacte courte 0 −→ τ M̄ −→ M̄ −→ N̄ −→ 0 où N̄
est de la forme Γ̄∗ (ω̄) avec ω̄ un B̄-module libre de type fini. On applique le
foncteur HomO⊗ˆ κ B̄ (•, M̄ ⊗ B̄ m) à cette suite exacte. Le reste de la preuve
est semblable à celle de la proposition 5.1.4.
t
u
5.3 Oo -module de Dieudonné associé à un D-faisceau elliptique et
équivalence de leurs déformations
Soient S le spectre d’une Oo -algèbre B locale artinienne et (E i , ji , ti ) un
D-faisceau elliptique sur S de caractéristique donnée par le morphisme
structural Oo −→ B. Le (Oo ⊗ B)-module E i ⊗ Oo est indépendant de i;
on le note E o . Un isomorphisme D o ' Md (Oo ) étant fixé, soit F o le
(Oo ⊗ B)-module libre de rang d défini par E 1,1 .E o , où E 1,1 est l’idempotent de Md (Oo ) associé au premier vecteur de la base canonique. Par
équivalence de Morita, on a un isomophisme D o -équivariant E o ' F do .
Les morphismes ti induisent alors un morphisme to0 : τ F o −→ F o . Le Oo module de Dieudonné sur B associé à (E i , ji , ti ) est le couple (Mo , Fo ) où
ˆ κ(o) B)-module libre de rang d, F o ⊗(Oo ⊗κ(o) B ) (Oo ⊗
ˆ κ(o) B) et
Mo est le (Oo ⊗
∗
ˆ κ(o) Frobκ(o) ) Mo −→ Mo est le morphisme de Frobenius induit
Fo : (IdOo ⊗
par to0 . L’image directe de Coker to0 étant un B-module de rang 1, (Mo , Fo )
est un objet de Mod B(B).
Soient S le spectre d’une Oo -algèbre R locale, artinienne, et S̄ = Spec R̄
avec R̄ le quotient de R par un idéal m de carré nul. Soit (Ē i , j̄i , t¯i ) un
D-faisceau elliptique défini sur R̄, de caractéristique i o : S̄ → Spec(Oo ).
Notons Def R (Ē ) l’ensemble des déformations définies sur R de (Ē i , j̄i , t¯i ) et
ˆ κ(o) R̄)Def R ( M̄o , F̄o ) l’ensemble des déformations définies sur R du (Oo ⊗
module de Dieudonné ( M̄o , F̄o ) associé à ce D-faisceau elliptique.
Proposition 5.3.1. L’application qui à un D -faisceau elliptique associe son
Oo -module de Dieudonné, induit une bijection Def R (Ē ) −→ Def R ( M̄o , F̄o ).
Preuve : On a la suite exacte 0 → τ Ē 0 −→ Ē 1 −→ (ī˜o )∗ (Γ̄o ) → 0. On fixe
une déformation (E 0i , ji0 , ti0 ) et soit (Mo0 , Fo0 ) la déformation de ( M̄o , F̄o ) qui
594
P. Boyer
lui correspond. Par rapport à ces points bases, les déformations de (Ē i , j̄i , t¯i )
(resp. de ( M̄o , F̄o )) sont en bijection avec
(resp. Ext1O ⊗ R̄ (Coker F̄o , F o ⊗ R̄ m)).
Ext1D O (ī˜o )∗ (Γ̄o ), Ē 1 ⊗ R̄ m
o
S̄
L’application de la proposition induit alors le morphisme canonique (localisation, équivalence de Morita puis complétion)
Ext1D O (ī˜o )∗ (Γ̄o ), Ē 1 ⊗ R̄ m −→ Ext1O ⊗ R̄ (Coker F̄o , F o ⊗ R̄ m),
S̄
o
qui est un isomorphisme.
t
u
6 Théorème de Serre-Tate sans niveau
6.1 Rappels sur le module de coordonnées d’un O-module formel
Dans ce paragraphe, B est une O-algèbre dans laquelle l’image de π est
nilpotente. Tous les groupes formels considérés sont lisses de dimension 1
(cf. 2.1). On reprend les résultats de ([10] I) dans ce cadre. Pour X un
O-module formel sur B, on considère le B-module M X = Hom(X, Ga,B )
lequel est muni par fonctorialité d’une action de O. Soit Frobq : B −→ B
le morphisme de Frobenius de la κ-algèbre B (x 7 −→ x q ), et τq l’isogénie
de Frobenius Ga,B −→ Frobq,∗ Ga,B . La multiplication à gauche par τq sur
M X est Frobq -semi-linéaire et induit donc un morphisme F : Frob∗q M X −→
M X . Via F, on peut considérer M X comme un B[[τq ]]-module localement
libre de rang 1 (= dim X). Le B[[τq ]]-module M X est de plus localement libre de rang 1, et s’identifie à la limite projective des B-modules
Coker Fq m ' B[[τq ]]/B[[τq ]].τqm . Il résulte du fait que l’image de π ∈ O
dans B est nilpotente, que l’action de π ⊗ 1 ∈ O ⊗κ B sur Coker Fq m
ˆ κ B de O ⊗κ B pour la topologie
est nilpotente. Le séparé complété O⊗
(π ⊗ 1)-adique, agit donc encore sur M X .
Définition 6.1.1. Le foncteur module des coordonnées sur B est le foncˆ κ B)-module
teur M B qui à un O-module formel X sur B, associe le (O⊗
ˆ κ B) muni du Frobenius F.
M X ⊗(O⊗κ B ) (O⊗
ˆ κ B −→
On note i le morphisme structural de la O-algèbre B et Γ : O⊗
ˆ
B le morphisme défini par Γ(a⊗b)
= i(a).b. Soit Mod C(B) la sousˆ κ B)-modules localement libres munis
catégorie pleine de celle des (O⊗
ˆ κ Frobq )∗ M −→ M, formée des objets tels que:
d’un Frobenius F : (IdO ⊗
– il existe un B-module localement libre de rang 1, ω tel que Coker F =
Γ∗ (ω);
ˆ κ Frobnq )∗ M/πM−→
– il existe un entier n tel que le morphisme F n : (IdO ⊗
M/πM est le morphisme nul.
Mauvaise réduction des variétés de Drinfeld
595
Théorème 6.1.2. (cf. [10] théorème 2.2.6) Le foncteur module des coordonnées M B , de la catégorie des O-modules formels (dim X = 1) sur B,
dans la catégorie Mod C(B), est une anti-équivalence de catégories.
Remarque : La preuve est la même que dans loc. cit. dans le cas particulier
où dim X = 1. Il suffit simplement de remarquer que dans [10], M X est un
B[[τq ]]-module localement libre de rang celui de Coker F. Le B-module ω
est donné par (Lie X)∨ .
Proposition 6.1.3. (changement de base cf. [10] 2.2.10) Soient X un Omodule formel sur B, C une B-algèbre et X ⊗ B C, le O-module formel sur C
obtenu par extension des scalaires, on a alors l’isomorphisme MC (X ⊗ B C)
ˆ κ C) ⊗(O⊗ˆ κ B ) M B (X).
' (O⊗
Remarque : Le foncteur quasi-inverse est G B tel que pour tout B-algèbre R:
G B (M, F )(R) = {g ∈ Hom B (M, R) / g(F(m)) = g(m)q , ∀m ∈ M}.
6.2 O-module de Dieudonné associé à un O-module divisible
Définition 6.2.1. (cf [7] §4 C) Un O-module divisible sur une Ônr -algèbre
locale R, complète noethérienne de corps résiduel isomorphe à κ̄, est un
couple (G, ψ) où G est un schéma formel en groupe sur R, muni d’un
homomorphisme ψ : O −→ End G, tel que G c est un O-module formel sur
R de hauteur h et G/G c ' Spf R × (F/O) j .
Sur κ̄, un O-module divisible est caractérisé à isomorphisme près par le
couple (h, j); on le notera Σh, j .
Proposition 6.2.2. Le foncteur M B induit une anti-équivalence de catégorie,
de la catégorie des O-modules divisibles sur B, dans la catégorie Mod B(B)
qui prolonge l’équivalence du théorème 6.1.2.
Preuve : Cette proposition est une généralisation simple du théorème 6.1.2
de Genestier qui s’obtient par dévissage des parties étales et connexes.
Lemme 6.2.3. Soit (M, F ) un O-module de Dieudonné sur B. Il existe des
O-modules de Dieudonné sur B, (M et , F et ), (M c , F c ) et une suite exacte:
0 −→ (M et , F et ) −→ (M, F ) −→ (M c , F c ) −→ 0
ˆ κ Frobκ )∗ M et −→ M et est bijectif, et F c : (IdO ⊗
ˆκ
tels que F et : (IdO ⊗
Frobκ )∗ M c −→ M c est topologiquement nilpotent.
596
P. Boyer
Preuve : Dans le cas où B est un corps, le résultat est connu et la suite
exacte est alors scindée (cf. [18] proposition 2.4.6). Soient donc κ 0 := B/m
et ( M̄, F̄ ) := (M, F ) ⊗ B B/m qui est alors un O-module de Dieudonné
sur κ 0 . On a M̄ = M̄ et ⊕ M̄ c , le morphisme de Frobenius
c F̄ étant donné
Ā 0
dans une certaine base, par une matrice Q̄ de la forme
, où Āet est
0 Āet
inversible et Āc topologiquement nilpotente. Si P est une matrice de passage,
la matrice de F dans la nouvelle base est alors donnée par P −1 Q( τ P). Le
résultat découle alors, par récurrence sur l’indice de nilpotence r de m
( R̄ = R/mr−1 ), du lemme suivant.
t
u
Lemme 6.2.4. Soient R une O-algèbre locale artinienne et R̄ le quotient de
R par un idéal m de carré nul. On suppose qu’il existe une base
dec M telle
Ā 0
que la matrice Q ⊗ R R̄ de F ⊗ R R̄ dans M ⊗ R R̄, est de la forme
,
Āext Āet
où Āet est inversible et Āc topologiquement nilpotente. Il existe alors une
matrice à coefficients
matrice de passage P de la forme Id +P 0 oùP 0 est une c
A
0
, avec Aet inversible
dans m, telle que P −1 Q( τ P) est de la forme
Aext Aet
et Ac topologiquement nilpotente.
Preuve : Comme m est de carré nul, pour toute matrice P 0 à coefficient
τ
0
dans m, la
matrice (Id + P ) est la matrice identité. On écrit Q sous
Q1 Q2
, où la matrice Q 4 est inversible. En prenant P 0 =
la forme
Q3 Q4
1 −Q 2 Q −1
4
, P = Id + P 0 , la matrice P −1 Q( τ P) = P −1 Q est de la
0
1
forme désirée.
t
u
Lemme 6.2.5. (cf. [10] 2.1.5) Soient G 1 , G 2 , G 3 des Spec B-schémas en
groupes finis, plats, de présentation finie, qui, localement pour la topologie
N
, pour un certain entier N. On
f. p.q.c. sur Spec B, se plongent dans Ga,B
suppose que l’on a la suite exacte
u
v
1 −→ G 1 −→ G 2 −→ G 3 −→ 1
(ce qui signifie que u est un noyau de v dans la catégorie des schémas en
groupes affines commutatifs et que v est plat surjectif). On a alors la suite
exacte
0 −→ MG 3 −→ MG 2 −→ MG 1 −→ 0.
Ainsi d’après le théorème 6.1.2, pour montrer la proposition, il suffit
de montrer que M B établit une équivalence de catégorie des O-modules
divisibles étales sur Spec B (G c = 0), dans la catégorie des O-modules
de Dieudonné (M, F ) tels que M c = 0. Le résultat découle alors de la
proposition suivante.
t
u
Mauvaise réduction des variétés de Drinfeld
597
Proposition 6.2.6. (cf. [18] proposition (2.4.11)) Les foncteurs contravariants G κ 0 et Mκ 0 entre la catégorie des O-modules de Dieudonné (M, F ) sur
κ 0 tels que Coker F est de dimension inférieure 1 (en tant que κ 0 -espace
vectoriel), et la catégorie des O-modules divisibles G sur κ 0 , sont quasiinverses l’un de l’autre. De plus G κ 0 (M, F ) est étale (resp. connexe) si et
seulement si M c = 0 (resp. M et = 0).
Remarque : Un O-module divisible sur κ̄ 0 est ici un O-module divisible G
sur κ 0 au sens de [18], tel que si G c est non nul alors il est de dimension 1;
ce qui explique la condition supplémentaire sur la dimension de Coker F
par rapport à l’énoncé tel que l’on peut le trouver dans [18].
6.3 Théorème de Serre-Tate
On note ST l’application qui à tout D-faisceau elliptique défini sur une Oo algèbre locale artinienne, fait correspondre le Oo -module divisible associé
par la proposition 6.2.2 au Oo -module de Dieudonné de la proposition 5.3.1.
Des résultats de 6.2.2, de 5.3.1 et du fait que M I,o −→ M A,o est étale si
o 6 ∈ V(I ), on a le théorème suivant dit de Serre-Tate.
Théorème 6.3.1. (Serre-Tate en dehors de la caractéristique) Soit z un
point géométrique de la fibre spéciale de M I,o , pour I un idéal de A tel
\
que o n’appartienne pas à V(I ). On note (M
I,o )z le complété formel de
∼
\
M I,o en z. L’application ST ci-dessus induit un isomorphisme (M
I,o )z −→
h, j
h, j
Spf(Def 0 ), où Def 0 représente les déformations du Oo -module divisible
h, j
Σ (cf. [7] § 4 C).
h
On rappelle (cf. loc. cit.) que Def h,0
0 est l’anneau Def 0 de la première
h, j
partie et que pour j ≥ 1, Def 0 est isomorphe à Def h0 [[d10 , · · · , d 0j ]].
7 Etude de la mauvaise réduction
Le but de ce paragraphe est de définir des mno -structures de niveau sur les
D-faisceaux elliptiques de M I,o (o 6 ∈ V(I )) et de prolonger les résultats des
paragraphes précédents.
7.1 mno -structures de niveau: bases de Drinfeld
Soient S un schéma et (E i , ji , ti ) un S-point de M I,o pour I un idéal de A
tel que o 6 ∈ V(I ). Soient (F o , to0 ) le couple construit au paragraphe 5.3 et
pour tout n ≥ 0, F o,n l’image directe de F o ⊗Oo (Oo /(πon ) relativement
à la projection Spec(Oo /(πon )) × S −→ S. On note Gr(F o,n ) le fibré
0
(x)) =
vectoriel associé à l’ensemble des éléments u de F ∗o,n tels que u(to,n
0
est le Frobenius induit par to0 .
u(x)q ∀x ∈ F o,n , où to,n
598
P. Boyer
Lemme 7.1.1. Pour tout entier n, Gr(F o,n ) est un S-schéma fini d’ordre
q nd , en Oo -modules et on a la suite exacte de S-schémas en Oo -modules
πon
in
0 −→ Gr(F o,n ) −→ Gr(F o,n+1 ) −→ Gr(F o,n+1 ).
Si P est un R-point d’un schéma Y , on note [P] le sous-R-schéma
P de
Y qu’il définit. Pour (Pi ) une famille finie de tels points, on note [Pi ]
le sous-schéma de Y défini par le faisceau d’idéaux produit des faisceaux
d’idéaux définissant les [Pi ].
Définition 7.1.2. Une mno -structure de niveau sur (E i , ji , ti )/S est un homomorphisme de Oo -modules ι0o,n : (Oo /mno )d −→ Gr(F o,n )(S) tel que le
X
sous-schéma
[ι0o,n (z)] de Gr(F o,n ) coïncide avec Gr(F o,n ).
z∈(Oo /mno )d
Pour tout élément z de (Oo /mno )d , ι0o,n (z) est un élément de F ∗o,n tel
∗
(ι0o,n (z)) = ι0o,n (z)q . Le morphisme ι0o,n fournit alors un homoque ϕo,n
morphisme de Oo -modules (Oo /mno )d −→ F ∗o,n qui après équivalence de
Morita, donne un homomorphisme de D o -modules ιo,n : D o,n −→ E ∗o,n tel
que le diagramme ci-dessous commute
D o,n
ιo,n
EE
EE
EE
τι
EE
o,n
"
τ
/
z
zz
zz
z
zz
∗
ϕo,n
E ∗o,n
E ∗o,n
|
Soit So est l’ouvert complémentaire de i 0−1 (Spec κ(o)).
Proposition 7.1.3. Si le morphisme ι0o,n est une mno -structure de niveau,
alors ι0o,n ⊗OS O S (So) induit un isomorphisme de Oo -modules
∗
(Oo /mno )d O S (So ) −→ F o,n ⊗OS O S (So) .
Preuve : Le morphisme ι0o,n étant une mno -structure de niveau définie sur S,
X
le sous-schéma
[ι0o,n (z)] ×S So de Gr(F o,n ) ×S So coïncide avec
z∈(Oo /mno )d
o
Gr(F o,n ) ×S S . Le schéma Gr(F o,n ) ×S So étant fini étale sur So, on en
déduit que les (ι0o,n (z)⊗OS O S (So))z∈(Oo /mno )d forment une base de (F o,n ⊗OS
O S (So))∗ , d’où la proposition.
t
u
Proposition 7.1.4. On suppose que S est un schéma intègre et que So
est un ouvert non vide de S. Si l’homomorphisme de Oo -modules ι0o,n :
(Oo /mno )d −→ Gr(F o,n )(S) induit un isomorphisme ι0o,n ⊗OS O S (So) :
∼
(Oo /mno )d OS (So) −→ (F o,n ⊗OS O S (So))∗ , alors ι0o,n est une mno -structure
de niveau.
Mauvaise réduction des variétés de Drinfeld
599
Preuve : On note A le faisceau d’anneaux X
de Gr(F o,n ) et I le faisceau
[ι0o,n (z)]. Par hypothèse
d’idéaux de A sous-jacent au S-schéma
z∈(Oo /mno )d
I ⊗OS O So est le sous-faisceau nul de A ⊗OS O So et comme S est intègre on
en déduit que I est le sous-faisceau nul de A.
t
u
7.2 Variétés de modules M I,o pour I arbitraire
Lemme 7.2.1. Soient S un schéma, Z/S un S-schéma fini et P1 , · · · , PN des
S-points de Z. Il existe un sous-schéma fermé S0 de S vérifiant
P N la condition
suivante: pour tout morphisme S0 → S, le sous-schéma i=1
[Pi ×S S0 ] de
0
0
Z ×S S coïncide avec Z ×S S , si et seulement si le morphisme de S0 dans S
se factorise par S0 .
Preuve : Pour S0 → S un S-schéma,
P N l’ensemble des familles de sections
[Pi ] en tant que sous-schéma de Z
P1 , · · · , PN de Z(S0 ) telles que i=1
coïncide avec Z, forme un faisceau sur le gros site étale (Sch/S)et . On
se ramène donc à supposer S = Spec R affine et Z libre sur Spec R et à
ne considérer que des S0 = Spec R0 affines. On choisit un isomorphisme
PN
O Z ' Rm et on note J l’idéal de O Z définissant le sous-schéma i=1
[Pi ]
de Z. On choisit un système de générateurs ( f i ) du sous-R-module de Rm
PN
sous-jacent à J. Pour R0 une R-algèbre, le sous-schéma i=1
[Pi × R R0 ]
0
0
coïncide avec Z × R R si et seulement si l’idéal J ⊗ R R de O Z ⊗ R R0 est nul.
Cela équivaut au fait que toutes les composantes des f i aient une image nulle
dans R0 . La conclusion du lemme est donc satisfaite par le sous-schéma S0
de S défini par l’idéal engendré par les composantes des f i .
t
u
Proposition 7.2.2. Pour tout n et pour tout idéal I tel que o 6 ∈ V(I ),
le morphisme Ell X,D,mno I −→ Ell X,D,I est relativement représentable et
même affine.
Ainsi d’après le paragraphe 4.2, pour tout idéal I de A, Ell X,D,I /Z est
un champ de Deligne-Mumford sur Spec(Oo ) que l’on note encore M I,o .
7.3 Prolongement des correspondances géométriques de Hecke
Au paragraphe 4.2, nous avons rappelé comment Laumon Rapoport et
Stuhler associaient à tout élément g∞ de (DA∞ )× , des correspondances
géométriques c1 et c2 sur les variétés M I,o , définies au dessus de Spec(Fo ).
L’objet de ce paragraphe est de montrer que ces correspondances peuM I,o et
vent être prolongées sur Spec(Oo ). On pose S = Mo = lim
←−
I
So := S ⊗Oo Fo . L’élément g∞ définit d’après loc. cit., un morphisme
So −→ So et donc un morphisme So −→ S. On veut montrer que ce morphisme que l’on note [g∞ ]o se prolonge en un morphisme [g∞ ] : S −→ S.
600
P. Boyer
Le schéma So étant ouvert dans S régulier, il y est dense et un tel prolongement est forcément unique. Il suffit alors de montrer que pour tout
recouvrement ouvert S = ∪Ui , le morphisme [g∞ ]o ×So Uio : Uio −→ Ui se
prolonge en un morphisme [g∞ ]i : Ui −→ Ui , la condition de recollement
étant automatique d’après l’unicité du prolongement. Soit donc U = Spec R
un ouvert de S et Ro le localisé de R correspondant à U o . Le schéma S étant
régulier, R est intègre et s’injecte dans Ro . On note ((E i , ji , ti ), ι∞ ) le Dfaisceau elliptique universel sur R. On reprend ce qui est fait dans [17] en
veillant à ce que les morphismes que l’on construit, soient définis sur R.
– L’action naturelle de (D ∞ )× sur ((E i , ji , ti ), ι∞ ) est définie sur R.
1
– L’image de ((E i , ji , ti ), ι∞ ) par un élément de Pic∞
X est le couple ((E i ,
1
1 1
∞;1
1 1
∞,o;1
1
ji , ti ), ι ) où (E i , ji , ti ) et ι
sont comme dans loc. cit. et ιo est
0
0
ι1,
donnée par équivalence de Morita par ι1,
o = lim
o,n , lequel est défini
−→
n
∼
définit pour tout n positif un
comme suit. L’isomorphisme E o,n −→
0
isomorphisme de S-schémas Gr(F o,n ) −→ Gr(F 1o,n ) et ι1,
o,n est alors
définie par la commutativité du diagramme
E 1o,n
∼
Gr(F o,n )(U )
oo
ooo
o
o
o
oooι1,0
ι0o,n
(Oo /mno )d
o,n
7
/
O
'
Gr(F 1o,n )(U )
D’après la proposition 7.1.3, ι0o,n ⊗ R Ro est un isomorphisme; il en est
0
o
donc de même pour ι1,
o,n ⊗ R R et d’après la proposition 7.1.4 (R étant
0
1
1 1
n
régulier), ι1,
o,n est une mo -structure de niveau sur (E i , ji , ti ).
∞
∞ ×
– Si g est un élément de (D ) tel que go est trivial, les morphismes c1
et c2 de loc. cit. sont alors définis sur R. Soit donc go ∈ Do× ∩ D o . Le
ιo,n fournit un diagramme commutatif
morphisme ιo = lim
−→
n
D o HR
ιo
/
HH
HH
HH
τι
HH
o
#
E ∗o
to∗
τ
E ∗o
tel que d’après la proposition 7.1.3, ιo ⊗ R Ro : D o Ro −→ E ∗o ⊗ R Ro est
un isomorphisme. Comme dans loc. cit., on définit l’endomorphisme [go ]∗
de E ∗o ⊗ R Ro tel que le diagramme suivant est commutatif
D o Ro
ιdo ⊗ R Ro
∼
/
E ∗o ⊗ R Ro
[go ]∗
×go
D o Ro
ιdo ⊗ R Ro
∼
/
E ∗o ⊗ R Ro .
Mauvaise réduction des variétés de Drinfeld
601
Soit r un élément de R tel que [go ⊗ r]∗ est défini sur E ∗o . On définit l’image
((E 1i , ji1 , ti1 ), ι∞;1 ) de ((E i , ji , ti ), ι∞ ) par go−1 par les produits
(E 1i )∗
αi
/
E ∗o
[go ⊗r]∗
βi
E ∗i
E ∗o .
/
∼
Le morphisme αi induit un isomorphisme (F 1o )∗ −→ F ∗o et pour tout n,
0
1 ∗
n d
on définit ι1,
o,n : (Oo /mo ) −→ (F o,n ) comme l’application induite par le
composé (αi ⊗Id)−1 ◦ιo,n . Le morphisme ι0o,n × R Ro étant un isomorphisme,
0
o
1,0
il en est de même de ι1,
o,n × R R . Ainsi d’après la proposition 7.1.4, ιo,n est une
mno -structure de niveau sur (E 1i , ji1 , ti1 ). Le fait que E 1i ⊗ R Ro est isomorphe
à celui donné dans loc. cit., découle du lemme suivant.
0
Lemme 7.3.1. Soient E 0i et Ẽ i donnés par les diagrammes suivants
0
E 0i
E i,o
Ẽ i
/
g̃0
E i,o
/
g0
r.g
g
Ei
/
E i,o
Ei
/
E i,o
où E i est un O X×Spec R -module localement libre de rang fini et où g est un
0
morphisme de O X×Spec R -modules. Alors E 0i et Ẽ i sont isomorphes.
0
Preuve : On a E 0i ' Im g0 ⊂ E i , Ẽ i ' Im g̃0 ⊂ E i et Im g̃0 ' r. Im g0 .
L’anneau R étant intègre, pour tout O X×Spec R -module localement libre de
rang fini F , le morphisme F −→ r.F , m 7 −→ r.m est un isomorphisme
de F sur r.F , d’où le lemme.
t
u
7.4 Théorème de Serre-Tate et structures de niveaux
On reprend les résultats de Drinfeld donnés dans [7] §4, dont on pourra
trouver une présentation dans [2]. Soient R une Ônr -algèbre locale complète,
noethérienne, de corps résiduel isomorphe à κ̄ et G un O-module divisible
(G c est de dimension 1) sur R de hauteur d = h + j (i.e. le O-module
de Dieudonné associé (M, F ) est de rang d et (M c , F c ) est de rang h (cf.
6.2.2)). On note G n , le Spec R-schéma en groupe des points de mn -torsion.
Définition 7.4.1. Une base de Drinfeld de niveau n sur G est un homomorphisme de O-modules
ιn : (m−n /O)d −→ G n (R)
X
tel que le sous-schéma
[ιn (α)] de G n coïncide avec G n (m = (π)).
α∈(m−n /O)d
602
P. Boyer
– Dans le cas où G = ( f, ψ) est un O-module formel sur R (de dimension 1) de hauteur h, la donnée d’une base de Drinfeld de niveau n sur G
est la donnée d’un homomorphisme ιn : (m−n /O)h −→ N = G(R) où
N est l’idéal maximal de R muni de la structure
Q de O-module déduite
de G, tel que les séries formelles ψπ (X) et α∈(m−1 /O)h (X − ιn (α)) se
déduisent l’une de l’autre par multiplication par une unité de R[[X]]. En
particulier si R = κ̄, un tel homomorphisme est forcément trivial.
– Dans le cas général, G est une extension de (F/O) j par G c . On a ainsi
une suite exacte
0 −→ G cn (R) −→ G n (R) −→ (m−n /O) j .
Le morphisme ιn est alors une base de Drinfeld si et seulement si les
deux conditions suivantes sont vérifiées:
ιn
– le composé (m−n /O) j+h −→ G n (R) −→ (m−n /O) j est surjectif; son
noyau K est alors un facteur direct dans (m−n /O)d , isomorphe à (m−n /
O)h ;
– la restricition de ιn à K est une base de Drinfeld sur G cn .
Soit C la catégorie dont les objets sont les Ô nr -algèbres locales complètes
noethériennes dont le corps résiduel est isomorphe à κ̄. Les morphismes de
C sont les homomorphismes locaux de Ônr -algèbres.
Théorème 7.4.2. (cf. [7] 4.5) Soit G un O-module divisible sur κ̄, de hauteur h + j (h ≥ 1 étant la hauteur de G c ), muni d’une base de Drinfeld
de niveau n, ιn . Le foncteur qui à un objet R de C associe l’ensemble
des déformations sur R du couple (G, ιn ) est représentable par l’anneau
j
h, j
Def nG = Def h,
n . L’anneau Def n est régulier et pour m ≤ n, le morphisme
j
h, j
naturel Def h,
m → Def n est fini et plat.
Dans la proposition 2.1.3, on donne Def nG dans le cas où G est un
Oo -module formel. Dans ce cas on note cet anneau Def hn où h est la hauteur de G c . L’anneau Def hn est régulier et les morphismes Spec(Def hn ) →
j
Spec(Def hm ) (m ≤ n) sont finis et plats. Drinfeld montre alors que Def h,
n
h
n
n
est isomorphe à Def n [[d1 , · · · , d j ]].
Lemme 7.4.3. Soient S le spectre d’une O o algèbre artinienne et ((E i , ji , ti ),
d
ι I ) un S-point de M I,o . Le morphisme ι0o,n : (m−n
o /Oo ) −→ Gro,n (F o ), où
n est la multiplicité de o dans I , est alors une structure de niveau n sur le
Oo -module divisible Gro (F o ).
Preuve : Il suffit de remarquer que Gro (F o ) est donné par la limite inductive
t
u
sur n des S-schémas Gr(F o,n ).
L’application ST du paragraphe 6.3 se prolonge donc avec les mno structures de niveau et le théorème 6.3.1 se généralise.
Mauvaise réduction des variétés de Drinfeld
603
Théorème 7.4.4. (Serre-Tate) Soit z un point géométrique de la fibre en o
de M I,o , pour I un idéal quelconque de A. On note n la multiplicité de o
\
dans I et (M
I,o )z le complété formel de M I,o en z. L’application ST induit
∼
h, j
\
alors un isomorphisme (M
I,o )z −→ Spf(Def n ).
7.5 Propriétés locales des M I,o
Soit I 0 un idéal de A tel que o n’appartient pas à V(I 0 ). Soient x un point
géométrique de la fibre spéciale de M I 0 ,o et y un point de la fibre spéciale
\
\
M I 0 .mno ,o tels que r I 0 .mno ,I 0 (y) = (x). On note (M
I 0 ,o )(x) (resp . (M I 0 .mno ,o )(y) ) le
complété formel de M I 0 ,o en x (resp. de M I 0 .mno ,o en y). D’après le théorème
de Serre-Tate ci-dessus, on a un diagramme commutatif
∼
\
(M
I 0 .mno ,o )(y)
Spf(Def h,d−h
)
n
/
r I 0 .mn ,I 0
o
\
(M
I 0 ,o )(x)
∼
/
Spf(Def h,d−h
)
0
où h est la hauteur de Groc (F o ).
Proposition 7.5.1. Pour tout idéal I de A, M I,o est régulier et M I,o →
Spec(Oo ) est propre. Pour tous les idéaux I ⊂ J de A, le morphisme de
restriction du niveau r J,I : M J,o −→ M I,o est fini et plat.
Preuve : La régularité de M I,o découle du théorème 7.4.2 et du théorème de
Serre-Tate. Le morphisme de restriction du niveau M I,o → M A,o étant fini,
la propreté de M I,o → Spec(Oo ) résulte de celle de M A,o → Spec(Oo ). En
ce qui concerne r J,I , le résultat se déduit du théorème de Serre-Tate et du
fait qu’un morphisme d’anneau A → B est plat si et seulement si pour tout
idéal premier P de A et tout idéal premier P de B au dessus de P , B̂ P est
un ÂP -module plat.
t
u
III Stratification de la fibre spéciale de M I,o
8 ϕ-faisceaux sur une base S et stratification de S
Soit (V, ϕ) un ϕ-faisceau sur un schéma S, c’est-à-dire que V est un O S module localement libre de rang fini n, muni d’une application O S -linéaire
ϕ : Frob∗S V −→ V. Soit S = ∪k Spec Rk un recouvrement affine de S
tel que V ⊗OS Rk est libre. Soient (vi )1≤i≤n une base de V ⊗OS Rk et
M = (m i, j )1≤i, j≤n la matrice de ϕ ⊗OS Rk dans cette base,
!
n
X
X
q
ri ⊗ vi =
m i, j ri v j , ∀i ri ∈ Rk
ϕ
i=1
1≤i, j≤n
604
P. Boyer
Pour tout entier h tel que 1 ≤ h ≤ n, on définit M !h := M( τ M) · · · ( τ M).
Pour q ≤ n, on note F qn l’ensemble des parties à q éléments de {1, · · · , n}.
Pour I et J deux éléments de F qn et M une matrice carré d’ordre n, on note
M IJ la matrice carré d’ordre q extraite de M, constituée des éléments m i, j
pour i ∈ I et j ∈ J.
h−1
Proposition 8.1. Pour tout entier h tel que 1 ≤ h ≤ n, soit Rk≥h le quotient
de Rk par l’idéal engendré par tous les mineures det(M !i ) I,J d’ordre (n −
i + 1) des matrices M !i , pour tous les i tels que 1 ≤ i ≤ h. Cette définition
est indépendante du choix de la base (vi )1≤i≤n de V ⊗OS Rk . Pour tout entier
h tel que 1 ≤ h ≤ n, on peut donc définir le sous-schéma fermé S≥h de S,
par recollement des Spec(Rk≥h ). Le schéma S≥h est un sous-schéma fermé
de S≥h−1 (S≥0 = S) et on pose S=h = S≥h \S≥h+1.
Preuve : Soient deux bases (vi )1≤i≤n et (vi0 )1≤i≤n de V ⊗OS Rk et M, M 0
les matrices de ϕ ⊗OS Rk relativement à ces bases. On note P la matrice
de passage de (vi )1≤i≤n à (vi0 )1≤i≤n . On a alors M 0 = P −1 M( τ P). On note
I (resp. I0 ) les idéaux de Rk engendrés par les éléments det(M !i ) I,J (resp.
0
det(M !i ) I,J ) pour 1 ≤ i ≤ n et I, J ∈ F n−i+1
. Le lemme suivant montre
n
t
u
alors que I = I0 .
Lemme 8.2. (formule de Cauchy-Binet) Soit A un anneau commutatif. Pour
tous X, Y ∈ Mn (A), pour tout entier q ≤ n et pour tous L, H ∈ F qn , on a
l’égalité
X
det(YX) L H =
det Y L K . det X K H .
q
K ∈F n
Remarque : On notera que S≥h est le lieu où pour tout entier i tel que
1 ≤ i ≤ h, ϕ!i : (FrobiS )∗ V −→ V est de rang inférieur ou égal à n − i.
En particulier en tout point fermé Spec κ → S≥h , ϕ!n ×S Spec κ est de rang
inférieur au égal à n − h.
9 Application à l’anneau universel des déformations d’un O-module
divisible
9.1 Le O-module de Dieudonné du O-module divisible universel
Soit ( M̄, F̄ ) un objet de la catégorie Mod B(κ̄), de rang h + j où h ≥ 1 est le
rang de M̄ c . D’après la proposition 6.2.2 et les résultats de Drinfeld (cf. [7], la
h, j
déformation universelle de ( M̄, F̄ ) est définie sur Def 0 ' Def h0 [[d10 , · · · ,
d 0j ]], où Def h0 ' Ônr [[a2 , · · · , ah ]] représente les déformations de ( M̄ c , F̄ c ).
Proposition 9.1.1. La déformation universelle de ( M̄ , F̄ ) sur la Ônr -algèbre
h, j
ˆ κ̄ Ônr [[a2 , · · · ,
Def 0 , est le couple (Muniv, Funiv ), où Muniv est un (Ônr ⊗
Mauvaise réduction des variétés de Drinfeld
605
ah+ j ]])-module libre de rang h + j (ah+i = di0 pour 1 ≤ i ≤ j), muni du
ˆ κ̄ Frobκ )∗ Muniv −→ Muniv, dont la matrice dans
Frobenius Funiv : (IdÔnr ⊗
une certaine base est

0 · · · π0 ⊗ 1 − 1 ⊗ π0
 ..
1 .
a2

 ...
ah
0
0 ···
ah+1

.
..
 ..
.
0 ···
a j+h

0 ··· 0
..
.. 
.
. 


0 ··· 0 ,
b1,1 · · · b1, j 

..
.. 
.
. 
b j,1 · · · b j, j
où π 0 est une uniformisante de Ônr et où la matrice des (bk,l )1≤k,l≤ j est un
relèvement de la matrice inversible de F̄ et .
Preuve : Le morphisme structural i : Ônr −→ R étant un homomorphisme
local de Ônr -algèbres, par continuité on peut supposer que R est artinienne
et on raisonne par récurence sur l’indice de nilpotence r de son idéal maximal M. Pour r = 0 (i.e. R = κ̄), la proposition est exacte car le O-module
de Dieudonné ( M̄ c , F̄ c ) étant cyclique, on peut choisir une basede M̄ telle
Ac 0
que la matrice de F̄ dans cette base soit de la forme
avec Aet
0 Aet


0 · · · π0
 .

inversible et Ac =  1 . . 0  , où π 0 est une uniformisante de Ônr . Par
.
0 .. 0
hypothèse de récurence, pour R̄ = R/Mr−1 , il existe une base b̄ de M ⊗ R R̄
dans laquelle la matrice de F⊗ R R̄ est de la forme désirée. Le résultat découle
alors de la proposition 5.2.2 et du fait suivant. L’ensemble des matrices associées aux éléments de HomO⊗ˆ κ R̄ (M ⊗ R R̄, M ⊗ R̄ M) ◦ (F ⊗ R R̄) dans la
base b̄, est l’ensemble des matrices telles que toutes les composantes de la
h-ième colonne sont divisibles par π 0 ⊗ 1, c’est-à-dire que dans l’écriture
P
k
k≥0 π ⊗ αk , le terme α0 est nul.
Il ne reste plus qu’à justifier le terme π 0 ⊗1−1⊗π 0 . Celui-ci peut s’écrire
sous la forme π 0 ⊗ 1 − 1 ⊗ α où α est un élément de Ônr [[a2 , · · · , ah+ j ]] de
ˆ κ̄ Ônr [[a2 , · · · , ah+ j ]]/(π 0 ⊗1−1⊗
sorte que Coker F est isomorphe à Ônr ⊗
ˆ κ̄ Ônr [[a2 , · · · ,
α). Par hypothèse Coker F est isomorphe à Γ∗ (ω) où Γ : Ônr ⊗
ˆ = a.b (cf. la définiah+ j ]] −→ Ônr [[a2 , · · · , ah+ j ]] est donné par Γ(a⊗b)
ˆ κ̄ Ônr [[a2 , · · · , ah+ j ]]-module, Coker F étant tué par
tion 5.2.1). Le Ônr ⊗
t
u
π 0 ⊗ 1 − 1 ⊗ α, on a donc α = π 0 .
606
P. Boyer
h, j;≥h 0
9.2 Définition des anneaux quotients Def 0
Soit (M, F ) = (Mh,1 , Fh,1 ) ⊕ (M j,0 , F j,0 ) le O-module de Dieudonné sur
κ̄ tel que la matrice de F dans la base canonique de M = (Ônr )d , s’écrit


0 ··· π 0 ··· 0
.
.. 
 ..
 1 . 0 ..
. 


 ...

0 0 ··· 0 
0
0 ··· 0 1 0 ···.


.
.. . . .. 
 ..
. 0 . . 
0 ··· 0 0 0 1
c
c
, Funiv
) de (Mh,1 , Fh,1 ), définie sur Def h0 '
La déformation universelle (Muniv
c
ˆ κ̄ Def h0 )-module libre de
est un (Ônr ⊗
Ônr [[a2 , · · · , ah ]], est telle que Muniv
c
c
ˆ κ̄ Frobκ )∗ Muniv
rang h, muni d’un morphisme de Frobenius Funiv : (IdÔnr ⊗
c
−→ Muniv dont la matrice dans une certaine base (que l’on notera (ei )1≤i≤h ),
est


0 ··· 0 π ⊗ 1 − 1 ⊗ π
a2

1 0 ···
.
Acuniv = 
..

0 ... ...
.
0 ··· 1
ah
La déformation universelle (Muniv , Funiv ) de (M, F ), définie sur la Def h0 h, j
ˆ κ̄
algèbre Def 0 ' Def h0 [[d10 , · · · , d 0j ]], est telle que Muniv est un (Ônr ⊗
h, j
Def 0 )-module libre de rang d−h, muni d’un morphisme de Frobenius Funiv
dont la matrice
Auniv dans une certaine base (que l’on notera (ei )1≤i≤h+ j )
c
Auniv 0
est
, où Aext a toutes ses colonnes nulles sauf la h-ème qui est
Aext I j


ah+1
égale à  ...  , (ai+h := di0 1 ≤ i ≤ j). Pour tout entier n, on pose
a j+h
j
ˆ κ̄ Def h,
(Muniv,n , Funiv,n ) := (Muniv, Funiv ) ⊗(Ônr ⊗ˆ Def h, j ) Ônr /(π n )⊗
0
κ̄
0
c
c
c
c
ˆ κ̄ Def h0 .
, Funiv,n
) := (Muniv
, Funiv
) ⊗(Ônr ⊗ˆ κ̄ Def h ) Ônr /(π n )⊗
(Muniv,n
0
c
c
On considère alors (Muniv,1 , Funiv,1 ) (resp. (Muniv,1
, Funiv,1
)) comme un ϕh, j
h
faisceau sur Def 0 (resp. sur Def 0 ) de rang h + j (resp. h). Pour tout
0
h, j;≥h 0
(resp. Def h;≥h
) l’anneau
entier h 0 tel que 0 ≤ h 0 ≤ h, on notera Def 0
0
0
0
h, j
(Def 0 )≥h (resp. (Def h0 )≥h ) défini au paragraphe précédent.
Mauvaise réduction des variétés de Drinfeld
607
Proposition 9.2.1. Pour tout entier h 0 tel que 0 ≤ h 0 ≤ h, on a

h0 = 0
Def h0



 Def h ⊗ κ̄
0
h0 = 1
0
Ônr
:=
Def h;≥h
0

(Def h0 ⊗Ônr κ̄)/(a2 , · · · , ah 0 ) 2 ≤ h 0 ≤ h



0
h 0 > h.
0
c
Preuve : La matrice (Acuniv,1 )!h associée à Funiv,1
, dans la base (ei ⊗Ônr
0h 0 ,h−h 0 ∗
κ̄)1≤i≤h , est de la forme
. De plus la (h − h 0 + 1)-ème colonne
1h−h 0 ∗
 
a1
..  (a = −1 ⊗ π). Il suffit alors
c
!h 0

de (Auniv,1 ) est la matrice colonne
1
.
ah
de remarquer que pour tous les entiers i, j tels que 1 ≤ i ≤ h 0 ≤ j ≤ h,
0
le coefficient de la i-ème ligne et j-ème colonne de (Acuniv,1 )!h appartient à
t
u
l’idéal de Def h0 engendré par a1 , · · · , ai .
0
j;≥h
Proposition 9.2.2. Pour tout entier h 0 > h, Def h,
est nul et pour 0 ≤
n
0
0
h,
j;≥h
h,
j
h;≥h 0
0
est isomorphe à Def 0 ⊗Defh Def 0
' Def h;≥h
[[d10 ,
h ≤ h, Def 0
0
0
j;≥1
j
· · · , d 0j ]]. En particulier Def h,
est égal à Def h,
n
n ⊗Ônr κ̄.
0
!h
Preuve : Pour touth 0 , la matrice (A
univ,1 ) , dans la base (ei ⊗Ônr κ̄)1≤i≤h+ j ,
c
!h 0
(Auniv,1 ) 0
h, j;≥h 0
est de la forme
est nul pour h 0 > h
. Ainsi Def 0
Aext,h0 I j
et pour i ≤ h 0 ≤ h, demander la nullité de tous les mineures d’ordre
h + j − i + 1 de (Auniv,1 )!i est équivalent à demander la nullité de tous les
t
u
mineures d’ordre h − i + 1 de (Acuniv,1 )!i , d’où la proposition.
Pour tout h 0 tel que 0 ≤ h 0 ≤ h, on pose
j;=h 0
=h 0
=h 0
ˆ κ̄ Def h,
, Funiv
).
:= (Muniv, Funiv ) ⊗(Ônr ⊗ˆ Def h, j ) (Ônr ⊗
Muniv
0
κ̄
0
0
0
=h
=h
, Funiv
)
Corollaire 9.2.3. Pour tout entier h 0 tel que 0 ≤ h 0 ≤ h, (Muniv
admet le dévissage
0
0
0
0
0
0
=h ,et
=h ,et
=h
=h
=h ,c
=h ,c
0 −→ (Muniv
, Funiv
) −→ (Muniv
, Funiv
) −→ (Muniv
, Funiv
) −→ 0
0
0
0
j;=h
=h ,et
=h ,c
ˆ κ̄ Def h,
où Muniv
(resp. Muniv
) est un (Ônr ⊗
)-module libre de rang
0
0
=h ,et
=h 0 ,c
constant égal à j + h − h 0 (resp. h 0 ) et Funiv
est bijectif (resp. Funiv
est
topologiquement nilpotent).
608
P. Boyer
h, j;=h 0
Preuve : Le résultat découle de la forme de la matrice Auniv ⊗Def h, j Def 0
h, j;=h 0
0
donnée ci-dessus et du fait que l’élément ah 0 +1 de Def 0
est inversible.
Il suffit en fait de montrer qu’il existe une matrice de passage P de la
0
−1 h, j:=h τ
forme
I j+h
+ π ⊗ P1 + · · · telle que P Auniv ( P) est de la forme
A1 A2
, où A2 est nulle, A1 est topologiquement nilpotente et A4 est
A3 A4
inversible. Oncalcule les
Pi de proche en proche. Pour P1 , montrons que si
Ih πP1
h, j:=h 0
on pose P =
, la matrice P −1 Auniv ( τ P) est de la forme désirée
0 Ij
2
modulo π . Cela revient à montrer qu’il existe une matrice P1 à coefficients
h, j;=h 0
telle que A2 + A1 ( τ P1 )− P1 A4 est nulle. La matrice A1 étant
dans Def 0
cyclique nilpotente modulo π, et la matrice A4 étant inversible, on calcule
t
u
les lignes de P1 de proche en proche.
En termes de O-modules divisibles, la situation se décrit comme suit. Soit
h, j
G h, j le O-module divisible universel sur Spec Def 0 . Pour tout entier h 0 tel
0
h, j;≥h 0
)
que 0 ≤ h 0 ≤ h, soit G h, j;≥h la restriction de G h, j au fermé Spec(Def 0
h, j
h, j;=h 0
h, j;≥h 0
) ,→ Spec(Def 0
),
,→ Spec(Def 0 ). Sur l’ouvert Spec(Def 0
h, j;=h 0
h, j;=h 0
h, j,h 0
=G
×Spec(Defh, j,h 0 ) Spec(Def 0
) admet le dévissage
G
0
0
0
0
0 −→ (G h, j;=h )c −→ G h, j;=h −→ (G h, j;=h )et −→ 0
0
0
où (G h, j;=h )et est étale et (G h, j;=h )c est, en tout point fermé de Spec
h, j;=h 0
), un O-module formel de hauteur h 0 .
(Def 0
0
j;=h
) A pour n > 0
9.3 Les composantes Spec(Def h,
n
0
0
j;≥h
et Def h,
par changement
Pour tout entier n positif, on définit Def h;≥h
n
n
de base
0
0
0
h, j;≥h 0
j;≥h
Def h;≥h
:= Def h;≥h
⊗Defh Def hn , Def h,
:= Def 0
n
n
0
0
j
⊗Defh, j Def h,
n .
0
j
h
h
n
Pour tout n, Def h,
n , en tant que Def n -algèbre, est isomorphe à Def n [[d1 , · · · ,
0
0
j;≥h
d nj ]] et donc Def h,
est isomorphe à Def h;≥h
[[d1n , · · · , d nj ]].
n
n
j;≥1
j
h
Remarque : Avec ces notations on a Def h,
= Def h,
n
n ⊗Ônr κ̄ ' (Def n ⊗Ônr κ̄)
n
n
[[d1 , · · · , d j ]].
Lemme 9.3.1. Pour tous les entiers positifs m, n tels que m ≤ n, le morj;≥h 0
j;≥h 0
phisme de restriction du niveau Spec(Def h,
) −→ Spec(Def h,
) est
n
m
fini et plat.
Mauvaise réduction des variétés de Drinfeld
609
On munit (M, F ) d’une structure de niveau n, ιn tel que le noyau A1→h ⊂
(m−n /O)h+ j de ιn est engendré par les h-premiers vecteurs de la base
h, j
j
canonique. Après le changement de base Def 0 −→ Def h,
n , (Muniv , Funiv )
est muni d’une structure de niveau n universelle, ιn,univ qui relève ιn . Pour
tout élément z de (m−n /O)h+ j , ιn,univ (z) est un élément m ∗ de (Muniv,n )∗ tel
que m ∗ ◦ Funiv = (m ∗ )q (la condition de Drinfel’d s’exprime sur le O-module
0 ,et
divisible universel associé). On considère alors le morphisme ι=h
n,univ :
0
0
j;=h
=h ,et ∗
(m−n /O)h+ j × Spec Def h,
−→{m ∗ ∈ (Muniv,n
) | m∗
n
0
=h ,et
◦ Funiv
= (m ∗ )q },
0
=h ,et
qui à un élément z de (m−n /O)h+ j associe la restriction de ιn,univ (z) à Muniv,n
.
0
0
∗
=h ,et ∗
∗
=h ,et
∗ q
D’après le corollaire 9.2.3, {m ∈ (Muniv,n ) | m ◦ Funiv = (m ) } est
0
j;=h 0
, de fibre (m−n /O)h+ j−h . La
un faisceau en O-modules sur Spec Def h,
n
0 ,et
condition sur ιn,univ d’être une structure de niveau n, entraine que ι=h
n,univ
0 ,et
est surjectif (cf. le paragraphe 7.4) et que le noyau K de ι=h
n,univ est un sousj;=h 0
(O/mn )-module facteur direct de rang h 0 dans (m−n /O)h+ j ×Spec Def h,
n
0
contenu dans A1→h . Si h ≥ 1, K est donc de la forme
a
j;=h 0
{ A} × Spec(Def h,
)A
n
A∈P(h+ j,h 0 ,n,A1→h )
où P(h+ j, h 0 , n A1→h ) est l’ensemble des facteurs directs de (m−n /O)h+ j de
rang h 0 contenu dans A1→h . On rappelle que pour tous les s ≤ t, l’ensemble
des facteurs directs de (m−n /O)t de rang s est en bijection avec l’ensemble quotient G L t (O/mn )/Pt,s,n où Pt,s,n est le sous-groupe parabolique
de G L t (O/mn ) associé aux s premiers vecteurs e1 , · · · , es de la base
canonique. Cette bijection associe à un élément ḡ de G L t (O/mn )/Pt,s,n ,
le (O/mn )-module engendré par les ei .g−1 pour 1 ≤ i ≤ s, où g est un
élément quelconque de G L t (O/mn ) dans la classe de ḡ. En ce qui concerne
j;=h 0
Def h,
, un élément A de G L h (O/mn )/Ph,h 0 ,n est considéré comme un
n
sous-module de A1→h
Proposition 9.3.2. Pour tous les entiers n, j et h 0 tel que 1 ≤ h 0 ≤ h, on a
a
j;=h 0
j;=h 0
Spec(Def h,
)=
Spec(Def h,
)A.
n
n
A∈G L h (O/mn )/Ph,h 0 ,n
0
j;=h
De plus tous les Spec(Def h,
) A sont isomorphes et sont permutés sous
n
l’action naturelle de Ph (O/mn ).
j;=h
Proposition 9.3.3. Pour tout élément z de (m−n /O) j+h , dans Def h,
n
on a
0
0
,et
=h
(q)
ι=h
n,univ (z) = 0 ⇐⇒ (ιn,univ (z))
nh 0
= 0.
0
610
P. Boyer
Preuve : Pour 0 ≤ k ≤ n − 1, soit f ni+k = (π k ⊗ 1)ei , où (ei )1≤i≤ j+h
est la base de Muniv adaptée à Funiv (cf. le début du paragraphe précédent).
0
=h 0
=h 0
La matrice A=h
de Funiv
, dans la base ( f i )1≤i≤n( j+h) de Muniv,n
, est de la
univ,n
0
A0
forme
où B est inversible de rang n( j + h − h 0 ) et A!nh est nulle
C B
0
(cf. le corollaire 9.2.3). De même on écrit ι=h
n,univ (z) sous la forme (α | β).
0
(q)
La matrice ligne associée à (ι=h
n,univ )
0
(βC 0 | βB !nh ).
nh 0
0
0
!nh
est alors égale à (α | β)(A=h
=
univ )
t
u
Lemme 9.3.4. Soient h 01 ≤ h 02 des entiers et A1 un élément de G L h (O/mn )/
h, j;=h 02
Ph,h 01 ,n . Pour A2 ∈ G L h (O/mn )/Ph,h 02 ,n , Spec(Def n
hérence de
h, j;=h 01
) A1
Spec(Def n
) A2 est dans l’ad-
si et seulement si A1 ⊂ A2 .
0
Pour j = 0, en accord avec les notations précédentes, on pose (Def h;=h
)A =
n
h,0;=h 0
h, j;≥h 0
h;≥h 0
n
n
(Def n
) A . L’isomorphisme Def n
' Def n [[d1 , · · · , d j ]] et la
décomposition de la proposition 9.3.2, donnent la proposition suivante.
Proposition 9.3.5. Pour tout élément A de G L h (O/mn )/Ph,h 0 ,n , on a
j;=h 0
h;=h 0
n
n
ˆ
Spec(Def h,
κ̄[[d
)
=
Spec
(Def
)
,
·
·
·
,
d
]]
.
×
A
A
κ̄
n
n
1
j
10 Application à M I,o
On applique ce qui précède au cas des D-faisceaux elliptiques. Pour éviter
les problèmes de champs, on supposera dans la suite que l’idéal I de A est
tel que V(I ) contienne au moins un point fermé distinct de o. On note M I,so
la fibre spéciale de M I,o .
10.1 Définition des strates M=h
I,o
Soient S le schéma M I,o et (E i , ji , ti ) le D-faisceau elliptique universel
défini sur S, muni de sa I -structure de niveau ι I . Pour tout i, les fibres E i,o
sont isomorphes et après équivalence de Morita, l’application to0 : τ F o −→
F o permet de considérer F o ⊗Oo κ(o) comme un ϕ-faisceau sur S de rang d.
=h
Définition 10.1.1. Pour tout 0 ≤ h ≤ d, on définit M≥h
I,o et M I,o comme
respectivement le sous-schéma fermé S≥h et S=h introduit dans la proposition 8.1.
≥1
=d
Avec les notations introduites, on a M≥d
I,o = M I,o et M I,o = M I,so .
Mauvaise réduction des variétés de Drinfeld
611
Proposition 10.1.2. Pour tout 1 ≤ i ≤ d, l’ensemble des points géométriques de M≥i
I,o est le sous-ensemble des points géométriques de la fibre
spéciale de M I,o pour lesquels le polygône de Newton est de la forme
suivante
1
0
0
d-h
d-1
d
c’est-à-dire tels que la partie étale (resp. connexe) du Oo -module de Dieudonné est de rang d − h (resp. h).
Preuve : D’après la remarque de la fin du paragraphe 8, si (E i , ji , ti , ι I )
est le D-faisceau elliptique universel sur M I,o muni de sa I -structure de
niveau universelle ι I alors pour tout 1 ≤ h ≤ d, M≥h
I,o est le lieu où pour tout
0 !i
τi
1 ≤ i ≤ h, (to ) : F o −→ F o est de rang inférieur ou égal à d − i. En
0 !d
particulier pour tout point fermé Spec κ(o) → M=h
I,o , (to ) ×M I,o Spec κ(o)
0
est de rang d − h. Le noyau de to étant de dimension 1, on obtient que le
sous-espace propre associé à 0 est cyclique de dimension h.
t
u
10.2 Etude des points supersinguliers
Soit κ̄(o) une clôture algébrique de κ(o). Dans cette section, on étudie les
points géométriques de M =d
I,o . On montre que de tels points, dits supersinguliers, existent et on en donne une description adélique compatible aux
correspondances de Hecke.
On note D̄, «l»’algèbre à division centrale sur F dont les invariants sont
(
−1/d
si x = ∞
si x = o
invx ( D̄) = 1/d
invx (D) pour x 6 = ∞, o
Proposition 10.2.1. Pour tout idéal I , M=d
I,o (κ̄(o)) est non vide et correspond à une unique classe d’isogénie.
Preuve :
– D’après [17] §9, pour montrer l’existence de points supersinguliers il
suffit de montrer qu’il existe une ϕ-paire ( F̃, Π̃) telle que F̃ ⊗ F F∞ et
F̃ ⊗ F Fo soient des corps, que deg(∞)
˜ ∞(
˜ Π̃) = −[ F̃ : F]/d, où ∞
˜ est
l’unique place de F̃ divisant ∞ et que x̃(Π̃) = 0, pour tout x̃ 6 = ∞,
˜ õ,
où õ est l’unique place de F̃ divisant o (cf. loc. cit. proposition 9.9 avec
h = d dans (iv)). Les points de la jacobienne de X, à valeurs dans un
corps fini, étant tous d’ordre fini, soit m un entier strictement positif tel
que m.[o − deg(o)∞] = 0 (deg ∞ = 1). Il existe alors un élément f de
612
P. Boyer
F tel que ∞( f ) = − deg(o)m, o( f ) = m et x( f ) = 0 pour toute place
x de F distincte des places o et ∞. On pose Π̃ F = f ⊗ 1/ deg(o)md de
sorte que le couple (F, Π̃) convient.
– D’après loc. cit. proposition 9.13, pour montrer l’unicité de la classe
d’isogénie, il suffit de montrer que le couple (F, Π) ci-dessus est le seul
qui convienne. Soit donc ( F̃, Π̃) un tel couple. Fo ⊗ F F̃ est un corps et
si õ est l’unique place de F̃ divisant o, on a deg(õ)õ(Π̃) = [ F̃ : F]/d
et õ est l’unique place x̃ de F̃ telle que x̃(Π̃) 6 = 0. Ainsi on peut
considérer F̃ comme une F-sous-algèbre de D̄. L’algèbre ∆ de loc. cit.
associée à ( F̃, Π̃), est une algèbre à division centrale sur F̃ de dimension
(d/[ F̃ : F])2 dont les invariants sont donnés dans loc. cit. On identifie
alors ∆ au centralisateur de F̃ dans D̄. Montrons que F̃ = F et donc
que ∆ = D̄. Soit σ un F-automorphisme de F̃ et soit N un entier tel que
Π̃ N appartient à F̃ × . Comme õ et ∞
˜ sont les seules places x̃ de F̃ telles
que x̃(Π̃ N ) 6 = 0 et comme σ(∞)
˜ =∞
˜ et σ(õ) = õ, les éléments Π̃ N et
N
×
σ(Π̃ ) de F̃ ont les mêmes valuations en toutes les places x̃ de F̃. Ainsi
Π̃ N /σ(Π̃ N ) appartient à F×
q et est une racine de l’unité. Il existe donc un
0
0
0
N0
entier N ≥ N tel que Π̃ = σ(Π̃ N ) et donc F̃ = F[Π̃ N ] = F[Π̃ N ] et
σ est l’identité. L’extension F̃/F étant séparable, on en déduit F̃ = F. u
t
Proposition 10.2.2. Il existe pour
h tout idéal I de A,
i une bijection de
∞,o ×
∞,o
=d
×
M I,o (κ̄(o)) avec le quotient D̄ \ ( D̄A ) /K A ,I × Z , le Frobenius géométrique en o agissant par la translation de valeur 1 sur la composante Z.
De plus si (M J,o , c1 , c2 ) est une correspondance de Hecke sur M I,o as⊂ K I∞,o ∩
sociée à un élément g∞ de (DA∞ )× (J est donc tel que K ∞,o
J
(g∞,o )−1 K I∞,o g∞,o ), la correspondance induite par ces bijections est
D̄× \[( D̄A∞,o )× /
K A∞,o
,J × Z]
qq
qqq
q
qq
qq
c1
x
D̄
×
\[( D̄A∞,o )× /
∞,o
K A ,I × Z]
MM
MM c2
MM
MM
MM
&
∞,o ×
×
D̄
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ D̄ \[(
∞,o A
/
) /
K A ,I × Z]
∞,o
où c1 est induit par l’inclusion K A∞,o
,J ⊂ K A ,I et où c2 est induit par la
multiplication à droite de (g∞,o )−1 sur (DA∞,o )× et la translation de valeur
− val(det(go )) sur la composante Z.
Preuve : Par rapport à [17] §9 et §10, le seul point à vérifier est l’action d’un
élément go de G L d (Fo ). Clairement go n’agit que sur la composante Z. Le
groupe PSL d (Fo ) étant simple, l’endomorphisme de Z associé à go est la
translation de valeur −k. val(det(go )), pour un certain entier k. De plus si
Mauvaise réduction des variétés de Drinfeld
613
go est l’élément du centre πo , alors d’après la Oo -linéarité de la structure de
niveau et d’après la proposition B.10 de [17], on obtient k = 1.
t
u
10.3 Preuve d’une conjecture de Rapoport
Proposition 10.3.1. Soit z un point géométrique de M=h
I,o . L’entier h est
alors la hauteur du O o -module formel Gr c (F o ) associé et pour tout entier h 0
∼
\
tel que 0 ≤ h 0 ≤ h, l’isomorphisme du théorème de Serre-Tate (M
I,o )z −→
Spf(Def h,d−h
) où n est la multiplicité de o dans I , induit un isomorphisme
n
0
0
\
≥h
) ' Spf Def h, j;≥h .
(M
n
I,o z
D’après le lemme 9.3.1, on a le corollaire suivant.
Corollaire 10.3.2. Pour tous les idéaux I, J de A tels que J ⊂ I , le mor≥h
phisme de restriction du niveau sur la h-ième strate r J,I : M≥h
J,o −→ M I,o
est fini et plat.
Théorème 10.3.3. (Conjecture de Rapoport) Pour tout entier h tel que
1 ≤ h ≤ d, les strates M≥h
I,o sont non vides, purement de dimension d − h
et lisses sur κ(o) si o 6 ∈ V(I ).
≥d
Preuve : Pour tout h, M≥h
I,o contient M I,o qui est non vide d’après la propo0
sition 10.2.1. Soient alors z un point géométrique de M≥h
I,o et h ≥ h tel que
0
≥h
\
z appartient à M=h . D’après la proposition 10.3.1, l’anneau local (M
)
I,o
0
0
I,o z
est isomorphe à Spec(Def nh ,d−h ;≥h ) où n est la multiplicité de x dans I , et
0
0
Def nh ,d−h ;≥h est de dimension d − h.
u
t
10.4 Les composantes (M=h
I,o ) A pour o ∈ V(I )
Soient n la multiplicité de o dans I et ι0o,n la mno -structure de niveau universelle sur S := M I,o . Pour tout z ∈ (mno /Oo )d , ι0o,n (z) est un élément m ∗
de F ∗o,n tel que m ∗ ◦ Fo = (m ∗ )q . La proposition 9.3.3 motive la définition
suivante.
Définition 10.4.1. Soit A un élément de G L d (Oo /mno )/Pd,h,n . On définit
=h
le sous-schéma fermé (M=h
I,o ) A de M I,o , comme le lieu d’annulation des
nh
sections ι0o,n (a)q de F ∗o,n ×S S=h , pour a décrivant A.
La proposition 9.3.3 et le théorème de Serre-Tate donnent la proposition
suivante.
614
P. Boyer
Proposition 10.4.2. Soient Ah un élément de G L d (Oo /mno )/Pd,h,n et z un
0
0
point géométrique de (M=h
I,o ) Ah . Pour tout entier h tel que 0 ≤ h ≤ h et
n
pour tout élément A de G L h (Oo /mo )/Ph,h 0 ,n (on considère A comme un
sous-module de Ah ), l’isomorphisme de la proposition 10.3.1 induit l’iso0
\
=h 0
morphisme ((M
) ) ' Spf(Def h,d−h;=h ) . On a alors la décomposition
I,o
de la h-ème strate
A z
M=h
I,o =
A
n
a
A∈G L d (Oo /m
(M=h
I,o ) A .
n )/P
d,h,n
o
Ces définitions sont compatibles aux morphismes de restriction du
0
niveau, c’est-à-dire que pour n ≥ n 0 et A0 ∈ G L d (Oo /mno )/Pd,h 0 ,n , on
a
a
0
=h 0
)
(M=h
(M
=
r I−1
0 mn ,o ) A ,
0
0
A
0 mn ,o
0
0 mn ,I 0 mn
I
I
o
o
o
o
A∈G( A0 ,n)
où G(A0 , n) est l’ensemble des éléments A de G L d (Oo /mno )/Pd,h 0 ,n qui ont
0
pour image A0 modulo mno .
Lemme 10.4.3. Soient h 1 ≤ h 2 des entiers et A1 un élément de G L d (Oo /
mno )/Pd,h 1 ,n . Pour A2 un élément de G L d (Oo /mno )/Pd,h 2 ,n , le schéma
≥h 1
2
(M=h
I,o ) A2 est dans l’adhérence de (M I,o ) A1 si et seulement si A1 ⊂ A2 .
IV Preuve de la conjecture de Deligne-Carayol
Rappelons les hypothèses faites sur F et D au début de la deuxième partie.
Les places ∞, o de F sont rationnelles sur le corps des constantes Fq de X,
et Fo est le corps local de la première partie. L’algèbre à division D est
ramifiée seulement en deux places x1 et x2 distinctes des places ∞, o, telle
que Dxi (i = 1, 2) est une algèbre à division. Dans la suite I est un idéal
de A tel que V(I ) contienne une place de F autre que o de sorte que les
M I,o sont des schémas.
Nous allons dans un premier temps rappeler les résultats de [17] (1512, 15-13, 15-17) qui décrivent la cohomologie de la fibre générique des
schémas de modules M I,o . A partir de ces résultats de nature globale, nous
étudierons la cohomologie des cycles proches associée à la spécialisation de
M I,o , notamment lorsque o ∈ V(I ). Nous montrerons que la représentation
locale fondamentale intervient dans ces cycles proches et que le résultat
global de [17] permet de décrire sa partie cuspidale.
De manière analogue à 3.1, on considère la catégorie C(D∞ )× ,Wo des
représentations admissibles de (D∞ )× × W Fo où W Fo désigne le groupe de
weil de Fo . La notion de multiplicité y est alors définie selon un processus
similaire.
Mauvaise réduction des variétés de Drinfeld
615
11 Cohomologie globale de la fibre générique d’après
Laumon-Rapoport-Stuhler
Soient η = Spec F le point générique de X et F̄ une clôture algébrique de
F. On considère les groupes de cohomologie l-adique
n
Hη,I
= H n ((Ell X,D,I /Z) × X 0 Spec F̄, Ql ).
n
est un Ql -espace vectoriel de dimension finie, nulle
Pour tout n ≥ 0, Hη,I
pour n > 2d − 2, et qui possède une Ql -structure. On a une action de
n
Gal( F̄/F ) sur Hη,I
définie sur Ql et continue pour la topologie de Krull
n
sur Gal( F̄/F ) et la topologie l-adique sur Hη,I
. On choisit une clôture
algébrique F̄o de Fo contenant F̄ et on considère un diagramme
F̄ ⊂ F̄o ⊃ Ōo → κ̄(o)
∪
∪
∪
∪
F ⊂ Fo ⊃ Oo → κ(o)
où Ōo est la normalisation de Oo dans F̄o et κ̄(o) est le corps résiduel de Ōo .
On notera Hηno ,I la représentation du groupe de Weil W Fo de F̄o /Fo sur
n
. Soit Hηno la limite inductive sur tous les idéaux I de A des Hηno ,I . Les
Hη,I
correspondances géométriques de Hecke du paragraphe 7.3 induisent une
action de (DA∞ )× sur Hηno , définie sur Ql et commutant à l’action de W Fo .
∞
Pour tout I , Hηno ,I = (Hηno ) K A,I est muni de l’action de H ∞
I induite par celle
∞
n
n
de H sur Hηo . Comme Hηo ,I est de dimension finie, on en déduit le lemme
suivant.
Lemme 11.1. La représentation Hηno de (DA∞ )× × W Fo est un objet de
C(D∞)× ,Wo .
Pour τ ∞ une représentation admissible irréductible de (DA∞ )× et σo
représentation l-adique irréductible de W Fo , on note λτ ∞ ⊗σo (Hηno ) la multiplicité de τ ∞ ⊗ σo dans Hηno . Soit St∞ la représentation de Steinberg de
×
D∞
.
Théorème 11.2. ([17] théorème 14.12) Si τ ∞ est une représentation admissible, irréductible de (DA∞ )× , de dimension infinie, pour laquelle il existe
un entier n et une représentation l-adique irréductible σo de W Fo telle que
λτ ∞ ⊗σo (Hηno ) 6 = (0) alors n = d − 1 et St∞ ⊗ τ ∞ est une représentation
Z
.
automorphe de DA× /π∞
Soit πo une représentation irréductible, cuspidale de G L d (Fo ), de caractère central d’ordre fini.
616
P. Boyer
Lemme 11.3. (cf. [17] lemme 15.10) Il existe une sous-représentation cus×
\G L d (A)), telle que Π∞ ' St∞, Πo ' πo ,
pidale Π de L cusp (G L d (F )F∞
et Πxi est cuspidale, irréductible, admissible pour i = 1, · · · , 4, où x3 , x4
sont deux places distinctes des places ∞, o, x1 , x2 .
×
Proposition 11.4. (cf. [12]) Soit Π un élément de L cusp (G L d (F )F∞
\
G L d (A)) vérifiant les hypothèses du lemme ci-dessus. Il existe alors un
×
\DA× ) tel que pour
et un seul à isomorphisme près, élément τ de L(D× F∞
toute place y 6 = x1 , x2 , τ y est isomorphe à Π y . De plus la multiplicité m(τ)
×
de τ dans L(D× F∞
\DA× ) est égale à 1.
Théorème 11.5. (cf. [17] 15.14) Soit τ comme dans la proposition cidessus. La multiplicité λτ ∞ ⊗σo (Hηd−1
) est non nulle si et seulement si σo est
o
1−d
isomorphe à L Fo ,d (πo )⊗|−| 2 , où L Fo ,d désigne la correspondance locale
de Langlands (cf. le paragraphe 1.2). Dans ce cas, elle est égale à 1.
12 Les cycles proches pour M I,o −→ Spec(Oo )
On reprend les notations M I,o = (Ell X,D,I /Z) × X 0 Spec Oo et M I,so sa
fibre spéciale. On pose M I,sō := M I,so ⊗κ(o) κ̄(o). D’après le théorème de
changement de base propre, Hηno ,I est canoniquement isomorphe en tant que
Ql -représentation de W Fo à H n (M I,o ⊗Spec(Oo ) Spec( F̄o ), Ql ). Pour tout ce
qui concerne les rappels suivants, on se réfèrera à [23].
Les schémas M I,o sont de type fini et propres sur Spec Oo . On considère
le complexe des cycles proches RΨηo (Ql ) ∈ Dcb (M I,sō , Ql ) sur M I,sō , muni
de son action de W Fo qui relève l’action du Frobenius en o sur M I,ō .
Pour tout point géométrique z̄ de M I,sō , on notera Ri Ψηo (Ql )z̄ la fibre de
Ri Ψηo (Ql ) en ce point. On rappelle que pour tout 0 ≤ i ≤ d, la dimension
i
du support de Ri Ψηo (Ql ) est inférieure ou égale à d−1−i. On pose EVo,I
:=
i
H (M I,sō , RΨηo (Ql )). Le morphisme de schéma M I,o −→ Spec Oo étant
propre, on en déduit un isomorphisme W Fo -équivariant
i
.
Hηi o ,I ' EVo,I
(12.1)
i
Les EVo,I
sont munis d’une action de H ∞
I que l’on définit comme suit.
Si (M J,o, c1 , c2 ) est une correspondance géométrique sur M I,o associée à un
élément de H ∞
I , c1 et c2 sont finis et la correspondance cohomologique associée est définie par la composée des trois applications ci-dessous obtenues
d’après les propriétés de fonctorialité de RΨηo :
– c∗1 RΨηo (Ql ) −→ RΨηo (c∗1 (Ql )), par changement de base;
– RΨηo (c∗1 (Ql )) −→ RΨηo (c!2 (Ql )), que l’on obtient par fonctorialité de
RΨηo à partir de l’adjointe de la flèche
Ql −→ c1,∗ c!1 (Ql ) = c1,∗ c!2 (Ql ).
Mauvaise réduction des variétés de Drinfeld
617
En effet, comme M I,o est lisse de dimension d sur Spec Fq , son complexe
dualisant ε! Ql , où ε : M I,o −→ Spec Fq est le morphisme structural, est
canoniquement isomorphe à Ql (d)[2d] (cf. [20] exposé XVIII). Comme
on a trivialement ε ◦ c1 = ε ◦ c2 , on obtient un isomorphisme canonique
entre c!1 (Ql ) = c!1 ε! (Ql (−d)[−2d]) et c!2 (Ql ) = c!2 ε! (Ql (−d)[−2d]);
– RΨηo (c!2 (Ql )) −→ c!2 RΨηo (Ql ), par changement de base.
Cette action est définie sur Ql et commute à l’action de W Fo . L’isoi
morphisme 12.1 est alors H ∞
I × W Fo -équivariant. La limite directe EVo =
i
lim
EVo,I sur le système inductif paramétré par les idéaux I de A, les mor−→
I
phismes de transition étant induits par les morphismes de restriction du
niveau r J,I , est alors munie d’une action de H ∞ , définie sur Ql et commutant à l’action de W Fo . Les morphismes de transition étant injectifs, pour
i
comme un sous-espace vectoriel de
tout idéal I de A, on considère EVo,I
∞
K
i
i
i
i A,I
EVo et on a EVo,I = (EVo ) , où l’action de H ∞
I sur EVo,I , correspond
∞
i
à l’action induite de H I sur les vecteurs de EVo invariants sous K A∞,I .
L’isomorphisme 12.1 fournit un isomorphisme (DA∞ )× × W Fo -équivariant
i
Hηi o ' EVoi . Pour tout idéal I , les Ql -espaces vectoriels EVo,I
étant de
dimension finie, on a le
Lemme 12.2. Pour tout entier i, EVoi est isomorphe à Hηi o , en tant qu’objet
de la catégorie C(D∞)× ,Wo .
d
Le complété formel M I,(z̄) de M I,o en un point géométrique z̄ de sa fibre
spéciale est un schéma formel sur Spf(Ônr
o ) qui est spécial au sens de [1].
Pour tout k positif, le faisceau Rk Ψηo (Ql ), construit par Berkovich dans loc.
d
b ):
cit., sur la fibre spéciale de M I,(z̄) (réduite à un point), sera noté Rk Ψηo (Q
l
c’est un Ql -espace vectoriel de dimension finie.
Théorème 12.3. (Berkovich cf. [1] théorème 3.1) Pour tout entier k positif,
∼
b ).
il existe un isomorphisme canonique Rk Ψηo (Ql )z̄ −→ Rk Ψηo (Q
l
Proposition 12.4. Le support de Ri Ψηo (Ql ) est contenu dans la i + 1-ème
strate M≥i+1
de M I,so . De plus si z̄ est un point géométrique de M=h
I,o pour
I,o
i
i < h ≤ d, la fibre de R Ψηo (Ql ) en z̄ est (G L d (Oo ) × Wo )-isomorphe au
Ql -espace vectoriel de dimension finie Ψh,i
n défini au paragraphe 2.2 pour
h
la Ônr
-algèbre
Def
,
où
n
est
la
multiplicité
de o dans I .
n
o
Preuve : Pour tout entier i, on a dim Supp(Ri Ψηo (Ql )) ≤ d − 1 − i. D’après
le théorème de Berkovich ci-dessus, pour tout point géométrique z̄ de M=h
I,o ,
d
i
la fibre de R Ψηo (Ql ) en z̄ ne dépend que du complété formel M I,(z̄) . D’après
le théorème de Serre-Tate, ce dernier est isomorphe au spectre formel de
618
P. Boyer
ˆ κ̄(o) κ̄(o)[[t1 , · · · , td−h ]]. Cette fibre ne dépend ainsi que de la strate
Def hn ⊗
à laquelle z̄ appartient. Les strates M≥h
I,o étant de dimension d − h, on en
déduit que le support de Ri Ψηo est inclu dans M≥i+1
I,o . En outre d’après [1],
h ˆ
les cycles évanescents de Spf(Def n ⊗κ̄(o)κ̄(o)[[t1 , · · · , td−h ]]) sont égaux à
ceux de Spf(Def hn ).
t
u
Preuve du théorème 3.2.2: Soit I un idéal de A tel que n est la multiplicité
de o dans I . D’après la proposition ci-dessus M I,o est un schéma de type
fini sur Spec(Oo ) tel que la fibre de Ri Ψηo (Ql ) en un point supersingulier,
est isomorphe à Ψd,i
t
u
n . Le théorème découle alors de [1] théorème 4.1.
13 Calcul des multiplicités λτ ∞ ⊗σo (Hηno ), pour τo cuspidale
Soit M une représentation admissible de (DA∞ )× ×W Fo . Pour toute représentation admissible irréductible πo de G L d (Fo ) et pour toute représentation
l-adique irréductible σo de W Fo , on notera λπo ⊗σo (M), la multiplicité de
πo ⊗ σo dans la restriction de M à G L d (Fo ) × W Fo . On a alors l’égalité
numérique
X
λΠ∞ ⊗σo (M),
(13.1)
λπo ⊗σo (M) =
Π∞ ∈A∞
glob (πo )
où A∞
glob (πo ) est l’ensemble des représentations admissibles irréductibles
Π∞ de (DA∞ )× telles que (Π∞ )o ' πo . En particulier si λπo ⊗σo (M) est nul
alors λΠ∞ ⊗σo (M) est nul pour tout élément Π∞ de A∞
glob (πo ).
13.1 Les strates non supersingulières sont induites
On a vu que la stratification de la fibre spéciale M I,so introduite dans les
deux paragraphes précédents, est compatible aux morphismes de restriction
du niveau r J,I . En ce qui concerne les correspondances de Hecke, on a les
deux propositions suivantes.
Proposition 13.1.1. Pour toute correspondance géométrique de Hecke
≥h
(M J,o, c1 , c2 ) sur M I,o , les sous-schémas fermés de M J,o , c−1
2 (M I,o ) et
≥h
≥h
c−1
1 (M I,o ) sont égaux à M J,o .
Preuve : Soient g∞ un élément de (DA∞ )× et (M J,o, c1 , c2 ) la correspondance géométrique qui lui est associée pour un certain idéal J de A (cf.
le paragraphe 7.3). On rappelle que c1 est le morphisme de restriction
du niveau et que si (E i , ji , ti ) est le D-faisceau elliptique universel sur
Ell X,D,J , alors (E 1i , ji1 , ti1 ) = c2 ((E i , ji , ti )) est isomorphe à (E i , ji , ti ). La
proposition découle alors du lemme 10.1.2.
t
u
On note Ph le parabolique de G L d associé aux h-premiers vecteurs.
Avec les notations précédentes, on a Pd,h,n = Ph (Oo /mno ).
Mauvaise réduction des variétés de Drinfeld
619
Proposition 13.1.2. Pour tout élément A de G L d (Oo /mno )/Pd,h,n , les correspondances de Hecke associées aux éléments de A−1 Ph (Fo )A agissent
n 0
0
sur (M=h
I,o ) A (I = mo I avec o 6 ∈ V(I )), c’est-à-dire
a
−1
=h
=h
c−1
(M=h
J,o ) A0 ,
2 ((M I,o ) A ) = c1 ((M I,o ) A ) =
0
A ∈G( A,m)
où J = I 0 mm
o avec m assez grand (cf. la preuve) et où G(A, m) est l’ensemble des éléments A0 de G L d (Oo /mm
o )/Pd,h,m qui ont pour image A modulo mno .
Preuve : Soit go un élément de G L d (Fo ) ∩ Md (Oo ). Le morphisme c2 du
paragraphe 7.3, qui correspond à l’action de go−1 , est défini comme suit. Les
0
idéaux I et J sont tels que I = I 0 mno et J = I 0 mm
o avec o 6 ∈ V(I ), où m est
d
d
tel que le noyau de l’application go : (Fo /Oo ) −→ (Fo /Oo ) est contenu
d
−m
d
−n
d
dans (m−m
o /Oo ) et l’image de (mo /Oo ) par go contient (mo /Oo ) .
Soit (E i,univ , ji,univ , ti,univ ) le D-faisceau elliptique universel sur S := M J,o
0
muni de sa mm
o -structure de niveau universelle ιo,m,univ . Il existe alors un
recouvrement ouvert de S par des ouverts affines Spec Ri et des éléments ri
de Ri tels que l’on a le diagramme commutatif
d
(m−m
o /Oo )
ι0o,m,univ
/
F o,m,univ ⊗ Ri
[go ⊗ri ]
go
d
(m−m
o /Oo )
ι0o,m,univ
/
F o,m,univ ⊗ Ri .
Le D-faisceau elliptique (E 0i , ji0 , ti0 ) défini par le morphisme c2 (cf. le paragraphe 7.3) est tel que F 0o ×S Spec Ri est isomorphe à l’image [go ⊗
ri ](F o,univ ×S Spec Ri ) et la structure de niveau n sur (E 0i , ji0 , ti0 ) est définie
sur chaque ouvert Spec Ri , par la composée
d
−n
d
0
(m−n
o /Oo ) × Ri −→ (mo /Oo ) × Spec Ri −→ F o,n ⊗ Ri
où la première application est donnée par go ⊗ ri et la deuxième applid
cation, par la restriction de ιo,m,univ ×S Spec Ri à (m−n
o /Oo ) × Spec Ri .
La proposition se déduit alors immédiatement de cette description et de la
proposition 10.4.2.
t
u
Proposition 13.1.3. Soient o une place de X 0 . Pour tout 1 ≤ h ≤ d,
l’action de G L d (Fo ) sur M=h
o se décrit à partir de celle de Ph (Fo ) sur
=h
=h
=h
(Mo )1̄ = lim
(M I,o )1̄ comme l’induite M=h
o = (M o )1̄ × Ph (Fo ) G L d (Fo )
←−
I
o)
(M=h
que l’on notera par la suite IndGPhL(Fd (F
o )1̄ .
o)
n
Preuve : Le sous-espace (M=h
I,o )1̄ est stable sous l’action de Ph (Oo /mo ), où n
est la multiplicité de o dans I . D’après les propositions 10.4.2 et 13.1.2, M=h
I,o
620
P. Boyer
n
est isomorphe au produit (M=h
I,o )1̄ × Ph (Oo /mno ) G L d (Oo /mo ). La stratification
étant compatible aux morphismes de restriction du niveau, en passant à la
= (M=h
limite on obtient M=h
o
o )1̄ × Ph (Oo ) G L d (Oo ). L’action de Ph (Fo )
=h
sur (Mo )1̄ et la décomposition d’Iwasawa G L d (Fo ) = Ph (Fo )G L d (Oo ),
donnent alors le résultat.
t
u
13.2 Les strates non supersingulières ont une contribution cuspidale nulle
Proposition 13.2.1. Pour tout 1 ≤ h ≤ d − 1, on a une bijection G L d (Fo )équivariante
G L d (Fo )
i
i
lim
Hcp (M=h
Hcp ((M=h
I,ō , R Ψηo (Ql )) = Ind Ph (Fo ) lim
I,ō )1̄ , R Ψηo (Ql )).
−→
−→
I
I
Preuve : On commence par démontrer le lemme suivant.
Lemme 13.2. Soient V un κ-espace vectoriel muni d’une action d’un
groupe G et P un sous-groupe d’indice fini dans G. On suppose que
V se décompose
comme une somme directe de sous-espaces vectoriels
L
0
0
V
V =
ḡ∈G/P ḡ telle que pour tout élément g de G, on a g (Vḡ ) ⊂
Vg0 g ∀ḡ ∈ G/P. On a alors une bijection G-équivariante V = IndGP (V1̄ ).
Preuve du lemme: A un élément (vḡ )ḡ∈G/P on associe l’application f :
G −→ V1̄ telle que f(g) = g.vg−1 . L’espace vectoriel V est alors isomorphe
à l’ensemble des applications f : G −→ V1̄ telles que ∀g ∈ G, ∀ p ∈ P,
f( pg) = p. f(g).
t
u
D’après la proposition 13.1.3, n étant la multiplicité de o dans un
G L d (Oo /mno )
=h
idéal I de A, on a M=h
I,o = Ind Ph (Oo /mno ) (M I,o )1̄ . Le Ql -espace vectoriel
p
i
Hc (M=h
I,ō , R Ψηo (Ql )) se décompose en une somme directe
M
i
Hcp ((M=h
I,ō )ḡ , R Ψηo (Ql )).
ḡ∈G L d (Oo /mno )/Ph (Oo /mno )
i
Pour tout g0 ∈ G L d (Oo /mno ), g0 (Hc ((M=h
I,ō )ḡ , R Ψηo (Ql )) est inclu dans
p
p
=h
Hc ((M I,ō )g0 g , Ri Ψηo (Ql )). D’après le lemme ci-dessus, Hc (M=h
I,ō ,
p
Ri Ψηo (Ql )) est alors l’induite de Ph (Oo /mno ) à G L d (Oo /mno ) de Hc ((M=h
I,o )1̄ ,
p
Ri Ψηo (Ql )). On obtient ainsi une bijection G L d (Oo )-équivariante
G L d (Oo )
i
i
lim
Hcp (M=h
Hcp ((M=h
I,ō , R Ψηo (Ql )) = Ind Ph (Oo ) lim
I,ō )1̄ , R Ψηo (Ql )).
−→
−→
I
I
i
On a de plus une action de Ph (Fo ) sur lim
Hcp ((M=h
I,ō )1̄ , R Ψηo (Ql )). Le
−→
I
résultat découle alors de la décomposition d’Iwasawa G L d (Fo ) = Ph (Fo ).
t
u
G L d (Oo ).
Mauvaise réduction des variétés de Drinfeld
621
Corollaire 13.2.2. Pour tout entier h tel que 1 ≤ h ≤ d − 1, pour toute
représentation irréductible admissible τ ∞ de (DA∞ )× telle que (τ ∞ )o est une
représentation cuspidale de G L d (Fo ) et pour toute représentation l-adique
!
i
irréductible σo de W Fo , les multiplicités λτ ∞ ⊗σo lim
Hcp (M=h
I,ō , R Ψηo (Ql )) ,
−→
I
sont nulles, quels que soient les entiers p et i.
Preuve : Le résultat découle du lemme suivant dont une démonstration m’a
été indiquée par Henniart, et du fait qu’une cuspidale ne peut pas être le
sous-quotient d’une induite parabolique.
t
u
Lemme 13.2.3. Soit (π, V ) une représentation admissible de P alors la
restriction de π au radical unipotent U de P est triviale.
Preuve : Soit L un sous-groupe de Levi de P (P = LU). Soient v un
élément de V et K P = K L K U un sous-groupe compact ouvert de P tel que
v appartienne à V K P . On choisit un élément z dans le centre de L tel que
z −n K P z n ⊂ · · · ⊂ z −1 K P z ⊂ K P ⊂ z K P z −1 ⊂ · · · z n K P z −n ⊂ · · ·
S
−n
n
−m
m
et n≥0 z n K P z −n = K L U. Pour tout n et m, V z K P z et V z K P z sont
des espaces vectoriels de même dimension (ils sont isomorphes, un isomorn
−n
phisme étant donné par π(z n−m )). Ainsi on a x ∈ V K P = V z K P z = V K L U
lequel est inclu dans V U .
t
u
13.3 Les contributions cuspidales se calculent aux points supersinguliers
Proposition 13.3.1. Pour toute représentation irréductible admissible τ ∞
de (DA∞ )× telle que (τ ∞ )o est cuspidale et pour toute représentation l-adique
irréductible σo de W Fo , on a
!
(i) les multiplicités λτ ∞ ⊗σo lim
H n (M I,sō , Rv Ψηo (Ql ))
−→
I
tout v, égales à
!
v
H n (M=d
λτ ∞ ⊗σo lim
I,ō , R Ψηo (Ql )) .
−→
I
En particulier elles sont nulles pour n strictement positif.
(ii) les multiplicités λτ ∞ ⊗σo (Hηno ) sont, pour tout n, égales à
n
λτ ∞ ⊗σo H 0 (M=d
,
R
Ψ
(Q
))
.
η
l
o
I,ō
sont, pour
622
P. Boyer
≥d
≥d−1
Preuve : (i) A la filtration ∅ 6 = M=d
⊂ · · · ⊂ M≥1
I,o = M I,o ⊂ M I,o
I,o =
M I,so est associée la suite spectrale
v; p,q
= p−1
= Hcp+q (M I,ō
E 1,I
, Rv Ψηo (Ql )) H⇒ Hcp+q (M I,sō , Rv Ψηo (Ql )).
v; p,q
E 1,I ) sont nulles
D’après le corollaire 13.2.2, les multiplicités λτ ∞ ⊗σo (lim
−→
I
pour ( p, q) 6 = (d + 1, −d − 1). On rappelle que λτ ∞ ⊗σo est additive sur
les suites exactes courtes et est positive sur les représentations effectives de
sorte que, si pour un objet V de C(D∞)× ,Wo , λτ ∞ ⊗σo (V ) est nulle, alors il en
v; p,q
est de même pour tout sous-quotient de V . Par récurrence sur r, Er,I étant
v; p,q
v; p,q
Er,I ) sont nulles
un sous-quotient de Er−1,I , les multiplicités λτ ∞ ⊗σo (lim
−→
I
v; p,q
pour ( p, q) 6 = (d + 1, −d − 1). La suite (Er,I )r étant stationnaire pour
v; p,q
v;n
E ∞,I ) = 0. E ∞,I
étant filtré par les
r assez grand, on a donc λτ ∞ ⊗σo (lim
−→
I
v; p,q
v;n
E ∞,I pour p + q = n, les multiplicités λτ ∞ ⊗σo (lim
E ∞,I
) sont alors nulles
−→
I
pour n strictement positif. On a aussi l’égalité
X
X
v; p,q
v;n
(−1) p+q λτ ∞ ⊗σo (lim
E
)
=
(−1)n λτ ∞ ⊗σo (lim
E ∞,I
).
1,I
−→
−→
I
p,q
I
n
v;0
v;d+1,−d−1
E ∞,I
) est égale à λτ ∞ ⊗σo (lim
E 1,I
).
On en déduit donc que λτ ∞ ⊗σo (lim
−→
−→
I
I
(ii) On a la suite exacte des cycles évanescents d’objets de C(D∞ )× ,Wo
(cf. 12.2)
u,v
E 2,I
= Hcu (M I,sō , Rv Ψηo (Ql )) H⇒ Hηu+v
.
o ,I
u,v
E 2,I
) sont nulles pour u 6 = 0 et
D’après (i), les multiplicités λτ ∞ ⊗σo (lim
−→
I
v
,
R
Ψ
(Q
))
. Par
pour u = 0, elles sont égales à λτ ∞ ⊗σo lim −→ Hc0 (M=d
η
l
o
I,ō
I
u,v
u,v
u−r,v−r+1
/ Im dr,I
, le lemme
étant isomorphe à Ker dr,I
récurrence sur r, Er,I
u,v
suivant montre que pour tout u, v, la multiplicité λτ ∞ ⊗σo (lim
Er,I ) est égale
−→
I
u,v
u,v
à λτ ∞ ⊗σo (lim
E 2,I
). La suite (Er,I
)r étant stationnaire pour r assez grand,
−→
I
u,v
u,v
on a λτ ∞ ⊗σo (lim
E ∞,I
) = λτ ∞ ⊗σo (lim
E 2,I
). Ces multiplicités étant nulles
−→
−→
I
I
u,v
n
pour u 6 = 0, et E ∞,I
pour u + v = n, on a alors
étant filtré par les E ∞,I
0,n
n
∞
E
)
=
λ
(lim
E
).
t
u
λτ ∞ ⊗σo (lim
τ ⊗σo −→ 2,I
∞,I
−→
I
I
Mauvaise réduction des variétés de Drinfeld
623
Lemme 13.3.2. Soient U, V, W des objets de C(D∞ )× ,Wo et f : U −→ V,
g : V −→ W des flèches de C(D∞ )× ,Wo . Si les multiplicités λτ ∞ ⊗σo (U ) et
λτ ∞ ⊗σo (W ) sont nulles, on a alors l’égalité numérique
λτ ∞ ⊗σo (Ker g/ Im f ) = λτ ∞ ⊗σo (V ).
Preuve : La multiplicité λτ ∞ ⊗σo est additive sur les suites exactes courtes
et est positive sur les objets effectifs. Ainsi pour tout sous-quotient V 0 de
U ou de W, on a λτ ∞ ⊗σo (V 0 ) = 0. Comme V/ Ker g est isomorphe à un
sous-espace de W, alors λτ ∞ ⊗σo (V/ Ker g) est nulle, soit λτ ∞ ⊗σo (Ker g) =
λτ ∞ ⊗σo (V ). On a de plus une surjection de U sur Im f , d’où λτ ∞ ⊗σo (Im f ) =
t
u
0 et finalement l’égalité λτ ∞ ⊗σo (Ker g/ Im f ) = λτ ∞ ⊗σo (V ).
14 Uniformisation du complété formel le long de l’ensemble des points
supersinguliers
d
Le but de ce paragraphe est de décrire le complété formel M I,Sing de M I,o
le long des points supersinguliers. De manière équivalente, cela revient à
=d
décrire le complété formel de M I,o ⊗Oo Onr
o le long de M I,ō muni de l’action
du Frobenius en o.
Soit G o un Oo -module formel normal sur κ̄(o), de hauteur d. On note
Def dn son anneau des déformations universelles. Pour tout entier r, on pose
Def d,(r)
= Def dn ⊗Ônro ,α Ônr
n
o où α est la puissance r-ième de l’inverse du
∼
nr
relèvement canonique Ônr
o −→ Ôo du Frobenius de κ(o). On rappelle (cf.
d,(r)
le paragraphe 2.3) que Def n est l’anneau des déformations universelles
de Frobro (G o ). L’action du sous-groupe P de G L d (Fo ) × D̄o× × W Fo sur
lim
Spf(Def dn ), donnée au paragraphe 2.3, peut s’interpréter en disant que
←−
`n
d,(r)
) est munie d’une action de FrobZ
o ainsi que de correr∈Z Spf(Def n
spondances de Hecke pour les éléments de G L d (Fo ), définies comme suit.
L’action de Frobo est donnée par les isomorphismes canoniques d’anneaux
(et non de Ônr
o -algèbre)
∼
Spf(Def d,(r)
) −→ Spf(Def d,(r+1)
) ∀r ∈ Z.
n
n
A tout élément go de G L d (Fo ) et pour tout m ≥ 0 est associé une correspondance
Def d
nG
GG
y
c1 yy
GG
y
GG
y
y
c02 GG
yy
Def d _ _ _ _ _ _ _ _ Def d,(r)
<
c
o
m
m
où r = − val(det go ) et n est tel que le noyau de ×go−1 : (Fo /Oo )d −→
(Fo /Oo )d est contenu dans (πo−n Oo /Oo )d et l’image de ×go−1 contienne
624
P. Boyer
(πo−m Oo /Oo ) (cf. le paragraphe 2.3). Le Oo -module formel G o étant choisi
normal, (πo−1 , 1, Frob−d
o ) agit trivialement.
Proposition 14.1. Pour tout idéal I de A, on a un isomorphisme
"
d
M I,Sing
∼
−→ D̄× \ ( D̄A∞,o )× /K A∞,o
,I ×
a
#
Spf(Def d,(r)
m ) ,
(14.2)
r∈Z
où m est la multiplicité de o dans I . Cette famille d’isomorphismes est
de plus compatible à l’action de Frobo et aux morphismes de restriction
du niveau. En outre pour g∞ ∈ (DA∞ )× et pour J un idéal de A tel que
K A∞,J ⊂ K A∞,I ∩ (g∞ )−1 K A∞,I g∞ , la correspondance géométrique de Hecke
d
sur M I,Sing qui leur est associée, fournit via les isomorphismes (14.2) pour
I et J, la correspondance de Hecke suivante
( D̄∞,o )× /K A∞,o
,J
` A
D̄ \
× r∈Z Spf(Def d,(r)
)
n
×
c1
×
D̄ \
SSS
SSS c2
SSSS
SSSS
S
( D̄∞,o )× /K A∞,o
,I
` A
× r∈Z Spf(Def d,(r)
m )
)
×
_ _ _ D̄ \
/
( D̄∞,o )× /K A∞,o
,I
` A
× r∈Z Spf(Def d,(r)
m )
∞,o
où n est la multiplicité de o dans J, où c1 est induit par K A∞,o
,J ⊂ K A ,I et
∞,o
d,(r)
d,(r)
Spec(Def n ) −→ Spec(Def m ), et où c2 est induit par K A ,J ⊂ K A∞,o
,I ∩
Ad(g∞,o )
d
∞,o
0
(g∞,o )−1 K A∞,o
−→ K A∞,o
,I g
,I et le morphisme c2 : Spec(Def n ) −→
Spec(Def d,(r)
m ) donné par go (cf. ci-dessus).
Preuve : D’après le paragraphe 10.2, il existe un seul couple ( F̃, Π̃) pour
les points supersinguliers, (F, Π̃ F ) (cf. le proposition 10.2.1). Soit alors
(V, ϕ, λ), un ϕ-espace muni d’une action de D qui a (F, Π̃ F ) pour ϕ∞,o
× Yo (cf loc. cit.), l’ensemble, pour toutes les
paire. On note Y∞
A ,I = Y I
places x de Q
F, des D x -réseaux Mx de Vx muni d’une structure de niveau
αx,n x (I = x mnx x ), qui vérifient les conditions (i)-(iv) de la proposition
(9.3) de [17]. L’ensemble M=d
I,o (κ̄(o)) des points supersinguliers est alors
∞
×
isomorphe à D̄ \YA ,I .
On fixe un point base s0 = (Mx (s0 ), αx (s0 ))x∈|X| de Y∞
A ,I tel que le Oo module formel G o associé au D o -réseau Mo (s0 ) est normal. Le choix de ce
point base donne un isomorphisme
∞,o ×
∞,o
Y∞
× Z.
A ,I ' (DA ) /K A ,I
Mauvaise réduction des variétés de Drinfeld
625
On note (Ē i (s0 ), j̄i (s0 ), t¯i (s0 )) le D-faisceau elliptique défini sur κ̄(o), muni
d’une I -structure de niveau ῑ I (s0 ), tel que pour toute place x de F, E 0,x (s0 ) =
Mx (s0 ) et ιx (s0 ) = αx (s0 ). Pour un point supersingulier s̄ et s = (d̄ ∞,o , r)
un élément de Y∞
A ,I dans la classe de s̄, on a un isomorphisme
d
M I,(s̄) −→ Spf(Def d,(r)
m ),
d
donné par le théorème de Serre-Tate en considérant M I,(s̄) comme représentant les déformations de (d̄ ∞,o , Frobro )((Ē i (s0 ), j̄i (s0 ), t¯i (s0 )), ι I (s0 )). On
obtient alors un isomorphisme
a
s∈Y∞
A,I
a
d
M I,(s̄) −→ (DA∞,o )× /K A∞,o
Spf(Def d,(r)
×
m ),
,I
(14.3)
r∈Z
compatible à l’action de Frobo et aux morphismes de restriction du niveau.
L’action de D̄o× sur le membre de droite de 14.3 permet de définir une action
de D̄o× sur le membre de gauche de 14.3 de sorte que l’action de D̄× ⊂ D̄o×
ainsi définie, relève l’action de D̄× sur Y∞
. L’isomorphisme 14.2 découle
` A ,I
d
d
alors de l’isomorphisme M I,Sing ' x∈SingI (κ̄(o)) M I,(x) .
Vérifions la compatibilité de cette famille d’isomorphismes aux correspondances géométriques de Hecke (cf. le paragraphe 7.3). Le résultat est
immédiat en ce qui concerne les correspondances associées aux éléments de
(DA∞,o )× (cf. le paragraphe 10.2). Soit go un élément de G L d (Fo )∩Md (Oo ).
La correspondance de Hecke qui lui est associée sur le membre de droite
de 14.2 (resp. sur le membre de gauche de 14.2) donne pour tout r des
0)
gch
morphismes godrt (r) (resp. go (r)) Spf(Def d,(r)
) −→ Spf(Def d,(r+r
) avec
n
m
gch
0
drt
r = − val(det go ). Il faut vérifier que pour tout r, go (r) = go (r). Un
point base s0 de Y∞
A ,I étant fixé comme dans la preuve de la proposition
précédente, soit s = (d̄ ∞,o , r) l’élément de Y∞
A ,I , image du point base
∞,o
s0 par (d̄ , r). Soit ((E i , ji , ti ), ι I ) la déformation universelle, définie
∞,o
sur S = Spf(Def d,(r)
, Frobro )((Ē i (s0 ), j̄i (s0 ), t¯i (s0 )), ῑ I (s0 )). On
m ), de (d̄
note ((E 1i , ji1 , ti1 ), ι1J ) le D-faisceau elliptique du paragraphe 7.3, image de
((E i , ji , ti ), ι I ) par go−1 . Sur le point générique η de S, (F 1o )∗ ×S η est isomorphe à Ker[go ]∗ ×S η ⊂ F ∗o ×S η et le Oo -module formel Gro (F 1o ) ×S η
est alors isomorphe au Oo -module formel Gro (F o )Ker go ×S η (cf. les notagch
tions du paragraphe 2.3). On a alors, pour tout r, go (r)×S η = godrt (r)×S η,
gch
t
u
d’où go (r) = godrt (r).
15 La représentation locale fondamentale revisitée
On reprend le caractère d’ordre fini ξo de Fo× et ξo0 sa restriction à O×
o.
K
V
,
où
4
est
un
ensemble
Pour un objet V de C(D∞)× ,Wo , on a V = lim
−→
K ∈4
626
P. Boyer
de sous-groupes compacts ouverts de Do× ' G L d (Fo ), qui est un système
fondamental de voisinages de l’élément neutre et V K est de dimension
V K (ξo0 ), et on définit V(ξo ) comme le quotient
finie. On pose V(ξo0 ) = lim
−→
K ∈4
V(ξo0 )/(πo − ξo (πo ). Id)V(ξo0 ).
On rappelle que la représentation locale fondamentale Ud,i (ξo ) (cf. 2.4)
d−1
M
lim
Ψd,i,(r)
(ξo0 ) où Ψd,i,(r)
est le Ql est isomorphe à la somme directe
n
n
−→
r=0
n
espace vectoriel de dimension finie du paragraphe 2.2 pour la Ônr
o -algèbre
×
Def d,(r)
.
L’action
de
G
L
(F
)
×
D̄
×
W
se
décrit
comme
suit.
Pour tout
d
o
Fo
n
o
d,i,(r) 0
r, la limite lim
Ψn (ξo ) est munie d’une action du sous-groupe P défini
−→
n
comme le noyau de l’application qui au triplet (go , δo , σo ) ∈ G L d (Fo ) ×
D̄o× × W Fo associe la classe modulo dZ de − val(det(go ) + val(rn(δo )) +
deg(σo ). Soit τo ∈ W Fo tel que son image dans Fo× par le morphisme de la
théorie du corps de classe, est πo . L’élément τo induit des isomorphismes
∼
−→ Def d,(r)
, pour 0 ≤ r ≤ d − 2, de sorte que l’endomorphisme
Def d,(r+1)
n
n
associé à τod est égal à ξo (πo )−1 Id.
!
i
H 0 (M=d
Proposition 15.1. Pour tout entier i positif, lim
I,ō , R Ψηo (Ql )) (ξo )
−→
I
est isomorphe, en tant qu’objet de C(D∞)× ,Wo , à l’espace vectoriel des applications f 0 : ( D̄A∞,o )× −→ Ud,i (ξo ) telles qu’il existe un idéal I de A (qui
dépend de f 0 ) pour lequel
×
0
0
∀γ ∈ ( D̄A∞,o )× , ∀k ∈ K A∞,o
,I , ∀δ ∈ D̄ , f (dγk) = do f (γ),
où do désigne l’image de d dans D̄o× .
Preuve : D’après la proposition 14.1, pour tout idéal I de A, on a
"
#
a
d
∞,o
∞,o
Spf(Def d,(r)
M I,Sing ' D̄× \ ( D̄A )× /K A ,I ×
m ) ,
r∈Z
où m est la multiplicité de o dans I . La proposition découle alors du théorème
de Berkovich (cf. le théorème 12.3), en passant à la limite sur I .
t
u
:= C ∞ ( D̄× \( D̄A∞ )× ).
On pose C ∞
D̄
!
i
H 0 (M=d
Proposition 15.2. Pour tout entier i positif, lim
I,ō , R Ψηo (Ql )) (ξo )
−→
I
h
i D̄o×
d,i
est isomorphe, en tant qu’objet de C(D∞)× ,Wo , à C ∞
⊗
U
(ξ
)
.
o
D̄
Mauvaise réduction des variétés de Drinfeld
627
Preuve : Soit f 0 une fonction comme dans la proposition précédente. On
définit une fonction f : ( D̄A∞ )× −→ Ud,i (ξo ) par la formule f(γ) =
γo−1 f 0 (γ o ). On vérifie alors que pour tout élément d de D̄× et tout élément
δo de D̄o× , on a
f(dγδo ) = δo−1 γo−1 do−1 f 0 ((dγ)o ) = δo−1 γo−1 f 0 ((dγ)o ) = δo−1 f(γ).
L’ensemble de fonctions de l’énoncé de la proposition précédente est alors
en bijection (DA∞ )× × W Fo -équivariante avec l’ensemble des fonctions f :
( D̄A∞ )× −→ Ud,i (ξo ) telles qu’il existe un idéal I de A (qui dépend de f )
pour lequel
×
∞ ×
t
f(dγkδo ) = δo−1 f(γ). u
∀δo ∈ D̄o× , ∀k ∈ K A∞,o
,I , ∀d ∈ D̄ ∀γ ∈ ( D̄A )
Le Q -espace vectoriel C ∞
se décompose comme la somme directe
D̄
M l
m(τ̄)τ̄, où m(τ̄) est la multiplicité de τ̄ dans C ∞
.
D̄
τ̄ τ̄∞ =1∞
Proposition 15.3. Pour toute représentation τ ∞ irréductible de (DA∞ )×
telle que (τ ∞ )o est une représentation cuspidale de G L d (Fo ) et pour toute
représentation l-adique irréductible σo de W Fo , les multiplicités λτ ∞ ⊗σo (Hηi o )
sont, pour tout n, données par la somme
X
m(τ̄)λτo ⊗τ̄ˇ o ⊗σo (Ud,i (ξo )),
τ̄∈A(τ ∞,o )
où A(τ ∞,o ) désigne l’ensemble des sous-représentations τ̄ irréductibles de
telles que τ̄ o = τ ∞,o ⊗ 1∞ .
C∞
D̄
Preuve : D’après la proposition 13.3.1 (ii) et la proposition
précédente,
×
∞
d,i
i
D̄
λτ ∞ ⊗σo (Hηo ) est égale à λτ ∞ ⊗σo [C D̄ ⊗ U (ξo )] o . La proposition découle alors du lemme de Schur.
t
u
Preuve du théorème principal 3.2.4 Le corps local est Fo et on indexe
par o toutes les notations de 3.2.4. Soit πo une représentation irréductible
cuspidale de G L d (Fo ) de caractère central ξo (d’ordre fini). La proposition
qui suit se trouve essentiellement dans [12] Appendice (A-4). La preuve
m’en a été indiquée par Ioan Badulescu.
Proposition 15.4. (cf. [12] Appendice (A-4)) Soit Π une représentation
automorphe cuspidale de G L d (A) qui vérifie les hypothèses du lemme 11.3,
c’est-à-dire telle que Πo ' πo , Π∞ ' St∞ , et Πxi est cuspidale pour
i = 1, · · · , 4. Il existe alors une unique représentation automorphe, à
isomorphisme près, τ̄ de D̄A× telle que pour toute place v n’appartenant pas
à S, Πv est isomorphe à τ̄v . On a alors τ̄∞ ' 1∞ et pour toute place x de
S, en particulier pour x = o, τ̄x est isomorphe à J Fx ,d (Πx ). En outre la
multiplicité m(τ̄) de τ̄ dans L( D̄× \ D̄A× ) est égale à 1.
628
P. Boyer
Preuve : En utilisant la formule des traces simples de Deligne-Kazhdan,
exactement comme dans [12], on arrive à l’égalité
Y
X
Y
ΘΠ x =
m(τ̄)
Θτ̄x ,
x∈S
τ̄∈A(Π)
x∈S
où A(Π) est l’ensemble des représentations automorphes τ̄ de D̄A× telles
que τ̄ S ' Π S . Pour tout x ∈ S\{∞}, Πx est cuspidale, et d’après loc.
cit., la correspondance de Jacquet-Langlands locale donne l’égalité ΘΠx =
(−1)d−1 ΘJ Fx ,d (Πx ) . Le caractère Θ St∞ étant égal à (−1)d−1 Θ1∞ , on obtient
alors l’égalité suivante
Y
X
Y
ΘJ Fx ,d (Πx ) =
m(τ̄)
Θτ̄x ,
x∈S
τ̄∈A(Π)
x∈S
où désormais toutes les représentations qui interviennent sont des représentQ
ations du produit x∈S D̄×
x . La proposition découle alors de l’indépendance
Q
t
u
des caractères sur x∈S D̄×
x.
×
Soient donc Π une telle représentation de G L d (A) et τ ∈ L(D× F∞
\DA× ),
x1 ,x2
'
la représentation donnée par la proposition 11.4 qui vérifie donc τ
Πx1 ,x2 (m(τ) = 1). D’après la proposition ci-dessus, l’ensemble A(τ ∞,o ) est
alors réduit à un seul élément τ̄ tel que m(τ̄) = 1. Pour σo une représentation
l-adique de W Fo , la proposition 15.3 s’écrit
λτ ∞ ⊗σo (Hηi o ) si τo = J Fo ,d (πo )
d,i
λπo ⊗τ̄ˇ o ⊗σo (U (ξo )) =
0
sinon.
– Pour i = d − 1, le théorème 11.5 de Laumon, Rapoport et Stuhler,
) est non nulle si et seulement
montre que la multiplicité λτ ∞ ⊗σo (Hηd−1
o
si σo est isomorphe à L Fo ,d (τo∞ ) ⊗ | − | 2 . Elle est alors égale à 1.
– Pour i 6 = d − 1, le théorème 11.2 de Laumon, Rapoport et Stuhler,
t
u
montre que la multiplicité λτ ∞ ⊗σo (Hηi o ) est nulle si i 6 = d − 1.
1−d
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