Caractéristique d`un anneau, anneaux de fractions d`un anneau

CHAPITRE IV
Caractéristique d’un anneau, anneaux de
fractions d’un anneau intègre
Proposition (4.1)
Soit A un anneau, alors il existe un et un seul morphisme d’anneaux χ:Z−→ A . On l’appelle le morphisme
caractéristique. Il vérifie χ(n) = 
nfois
z }| {
1A+· · · + 1Asi n > 0
0Asi n= 0
−(χ(−n)) si n < 0
.
Démonstration – Z
est le groupe libre sur 1, autrement dit pour tout groupe G et tout g∈G , il existe un unique
morphisme de groupes ϕ:Z−→ G tel que ϕ (1) = g ( ϕ vérifie ϕ ( n ) =
gnsi n > 0
eGsi n= 0
(g−1)nsi n < 0
). C’est la fonction puissance,
on vérifie par récurrence que c’est un morphisme de groupes. L’unicité est due au fait que 1 engendre Z comme groupe.
Si f:Z−→ A est un morphisme d’anneaux, alors f (1) = 1
A
et f est un morphisme de groupes. Donc f est la fonction
puissance Z−→ ( A, +) associée à 1
A∈A
. POur conclure cette démonstration, il reste à vérifier que cette application
χ ( n ) = 1A+· · · + 1A
| {z }
nfois
est multiplicative, ce qui entraîne que χ est un morphisme d’anneaux. On doit démontrer
χ(mn) = χ(m)χ(n). On fixe n∈Z. Si m= 0, alors mn = 0 et on a χ(mn) = χ(0) = 0A= 0A.χ(m) = χ(m)χ(n).
Si m > 0, par récurrence sur m , on peut supposer pour m> 1que χ (( m− 1) n ) = χ ( m− 1) χ ( n ). Alors χ ( mn ) =
χ ((( m− 1) + 1) n ) = χ (( m− 1) n + n ) = χ (( m− 1) n ) + χ ( n ) = χ ( m− 1) χ ( n ) + χ ( n )=( χ ( m− 1) + 1
A
) χ ( n ) =
(χ(m−1) + χ(1))χ(n) = χ(m)χ(n).
Si m < 0, on peut faire une récurrence sur −m (en remplaçant − 1par +1), ou on utilise que ( −m ) n = − ( mn )et le
fait que χest un morphisme de groupes. 
Remarques
1. Hom(Z, A) = {X}.
2. 
Hom(Z[X], A)←→ A
ϕ7−→ ϕ(X)
(P(X)7→ P(α)) 7−→ α
Définition (4.2)
Soit A un anneau, Ker ( χ:Z−→ A )est un idéal de Z , donc il existe un unique c> 0dans Z tel que Ker ( χ )=( c ). Ce
nombre cs’appele la caractéristique de A.
Si aet bcommutent pour la multiplication dans un anneau A, on a (a+b)n=
n
P
i=0
χn
iaibn−i.
Démonstration – La preuve usuelle. 
Si la caractéristique de Aest p, alors (a+b)p=ap+bp.
Démonstration – Les χp
i pour 16i6p−1sont tous égaux à 0Aparce que p|n i.
Proposition (4.3)
Si A est intègre, alors Car ( A )est un nombre premier. Si de plus A = K est un corps, alors K contient un unique sous
corps appelé le sous-corps premier de K qui est soit isomorphe à Q si Car ( K )=0soit isomorphe à Fp si Car ( K ) = p .
Démonstration – Si A intègre, alors Im ( χ )est un sous-anneau de A . On a Z/Ker χ' −→ Im χ (théorème de factorisa-
tion). Donc Z/cZ est intègre ce qui impose c premier. Donc Z/cZ est le corps à p = c éléments qu’on a l’habitude de
noter Fp . Si A = K est un corps, il est intègre et l’image de χ est cet unique sous-corps lorsque Car ( K ) 6 = 0. Pour
démontrer qu’un corps K tel que Car ( K ) = 0 contient un unique sous-corps isomorphe à Q , on utilise que Q est le
corps des fractions de Z. Les affirmations d’unicité proviennent de l’unicité de χ:Z−→ A.
1

1. Localisation dans les anneaux intègres, corps des fractions
Si A est un sous-anneau de B et si B est intègre, alors A aussi. De sorte que pour qu’il existe un morphisme injection
A →K où K est un corps, il est nécessaire que A soit intègre. En fait, cette condition est nécessaire et suffisante : si A
est intègre, on peut toujours le « plonger » dans Frac(A)qui est son corps des fractions.
On fixe A intègre. On étudie le problème universel suivant : « Existe-t-il K un corps et un plongement ϕ:A →K tel
que pour tout ψ:A →L, il existe un unique morphisme de corps K−→ Lqui fasse commuter
Aϕ//
o
ψ
K
_
hϕ
L
(on veut alors hϕ◦ϕ = ψ ). Si une telle solution ϕ:A →K existe, alors K est unique et à un unique isomorphisme pur.
En effet, si ϕ0:A →K0est une autre solution alors
Aϕ//
p
ϕ0
K
_
hϕ0
K0
Aϕ0
//
p
ϕ
K0
_
hϕ
K
Z→Qest la solution pour A=Z.
R[T]→R(T)est la solution pour A=R[T].
1.1. Partie multiplicative dans les anneaux intègres
Soit Aun anneau intègre.
Définition (4.4)
Une partie S⊂Aest multiplicative lorsque :
(i) 0/∈S
(ii) 1∈S
(iii) ∀x∈S,∀y∈S,x×y∈S
Définition (4.5)
Soit A un anneau intègre et S une partie multiplicative. On note S−1A l’ensemble quotient de A×S par la relation
d’équivalence ( a, s ) ∼ ( b, t ) ⇐⇒ at = bs . L’usage est de noter
a
s
la classe d’équivalence (un élément de S−1A donc) du
couple (a, s). ON a ainsi « convenu » de l’égalité a
s=b t⇐⇒ at =bs.
Lemme (4.6)
∼est une relation d’équivalence.
Démonstration – 1. On a as =as donc (a, s)∼(a, s). D’où la réflexivité.
2. Si at =bs, alors bs =at donc ∼est symétrique.
3. On suppose que ( a, s ) ∼ ( b, t )et ( b, t ) ∼ ( c, u ), alors at = bs et bu = ct . Donc asbu = asct et alors asbu = bssc
et donc bcau = bssc . Comme A est intègre, on a si b6 = 0, au = sc , c’est-à-dire ( a, s ) sin ( c, u ). Si b = 0, alors
( a, s ) ∼ ( b, t )et ( b, t ) ∼ ( c, u ), cela impose at = 0 et ct = 0. Or, t6 = 0 car t∈S . D’où a = c = 0. De plus,
∀t, u ∈S,(0, t)∼(0, u)∼(0,1). Donc ∼est stransitive.
Donc ∼est bien une relation d’équivalence. 
Théorème (4.6)
Soit Aun anneau intègre et Sune partie multiplicative.
1. S−1Amuni des opérations a
s+b t=at+bs st et a s×b t
ab
st est un anneau intègre.
2. Le morphisme (canonique) ϕ:A−→ S−1A
a7−→ a
1
est un morphisme d’anneaux unitaires, tel que ϕ ( S ) ⊂
(S−1A)×.
3. Pour tout morphisme d’anneaux ψ:A−→ B vérifiant ψ ( S ) ⊂B× , il existe un unique morphisme d’anneaux
hψ:S−1A−→ Bqui fait commuter
Aϕ//
ψ""
S−1A
hψ
B
2

Démonstration – 1. L’addition est bien définie. On prend
a0
s0
=
a
s
et
b0
t0
=
b
t
. On doit vérifier que
at+bs
st
=
a0t0+b0s0
s0t0
.
On a sa0 = s0a et tb0 = t0b et on vérifie les identités s0t0 ( at + bs ) = s0att0 + s0t0bs = sa0t0t + s0stb0 = st ( a0t0 + s0b0 ).
La multiplication est bien définie. On doit vérifier que
ab
st
=
a0b0
s0t0
dès que
a0
s0
=
a
s
et
b0
t0
=
b
t
. Mais ici, on a
s0t0ab =sa0tb0=sta0b0. D’où ab
st =a0b0 s0t0.
0
1est un neutre pour l’addition : a s+0 1=a×1+s×0 s×1=a s.
L’inverse additif de a
s=−a s. En effet, a s+−a s=as−as s2=0 s2=0 1.
a
s+b t+c u=at+bs st +c u=atu+bsu+cst stu =a s+bu+ct tu =a s+b t+c u. Donc +est associative.
a
s+b t=at+bs st =bs+at ts =b t+a s.S−1Aest bien un groupe additif.
1
1est un neutre pour ×.
a
s×b t×c u=ab st ×c u=abc stu =a s×bc tu =a s×b t×c u. Donc ×est associative.
a
s×b t=ab st =ba ts =b t×a s. Donc ×est commutative.
2. a
sb t+c u
=
a
sbu+ct tu 
=
abu+act
stu
=
sabu+sact
stsu
=
ab
st +ac su 
=
a
s×b t+a s×c u
car
s
s
d
v
=
d
v
. Donc × est
distributive par rapport à +.
Donc (S−1A, +,×)est bien un anneau.
3. ϕ:A−→ S−1A
a7−→ a
1
est un morphisme de groupes. On a ϕ (1) =
1
1
= 1
S−1A
, ϕ ( a + b ) =
a+b
1
=
a+b
1×1
=
a
1
+
b
1
=
ϕ ( a ) + ϕ ( b ), ϕ ( a×b ) =
a×b
1
=
a×b
1×1
= ϕ ( a ) ×ϕ ( b ). On a Ker ϕ = {x∈A / x
1
=
0
1∈S−1A}
= {x∈A/x× 1 =
0}={0}. Dans S−1A, on a s
1×1 s=s s=1 1. Donc ϕ(S)⊂(S−1A)×.
4. ψ:A−→ B est un morphisme d’anneaux tel que ψ ( S ) ⊂B× si
a
s∈S−1A
. On pose hψa
s
= ψ ( a ) × ( ψ ( s ))
−1
.
C’est bien défini parce que si
a
s
=
a0
s0
, alors s0a = sa0 et donc, dans B , ψ ( s0 ) ψ ( a ) ψ ( s )
−1
= ψ ( s0a ) ψ ( s )
−1
=
ψ ( sa0 ) ψ ( s )
−1
= ψ ( a0 ). D’où ψ ( s0 ) ψ ( a ) ψ ( s )
−1
= ψ ( a0 )et donc ψ ( a ) ψ ( s )
−1
= ψ ( a0 ) ψ ( s0 )
−1
. Cette application est
bien définie. On peut vérifier que c’est un morphisme d’anneaux. C’est le seul que fasse commuter
Aϕ//
ψ""
S−1A
hψ
B
Si h0
ψ
vérifie cette condition, on doit avoir h0
ψa
1
= ψ ( a ) = hψa
1
. Donc aussi, h0
ψs
1
= hψs
1
. Puis
h0
ψ1
s
=
h0
ψs
1−1
=
hψs
1−1
= hψs
1
. En définitive, h0
ψa
s
= h0
ψa
1×1 s
= h0
ψa
1×h0
ψ1
s
=
hψa
1×hψ1 s=hψa s.
Si S=A\ {0}alors S−1Aest un corps a
t−1=t asi a6= 0, qui factorise tout plongement A →Lpour tout corps L.
2. Conclusion : bilan de la localisation
2.1. Niveau 1 : CAPES et Master Enseignement
Z⊂Qet Qest le corps des fractions de Z.
K[X]⊂K(X)et K(X)est le corps des fractions de K[X].
Un élément générique du corps des fractions d’un anneau A est
N
D
avec N∈A le numérateur et D∈A\ { 0 } le
dénominateur. On a N
D=M C⇐⇒ CN =DM ⇐⇒ CN CD =DM CD .
On attend aussi une compétence de calcul sur les fractions (factorisation, ppcm, pgcd dans Z,etc.)
2.2. Niveau 2 : Compétences exigibles en Licence 3
Localisation S−1Aavec Aun anneau intègre et Sune partie de A.
Généralisation immédiates du 2.1. :
N
D
=
M
C⇐⇒ CN
= DM dans A intègre avec C, D ∈S qui se généralise à
C, D ∈A\ {0}et A\ {0}est aussi multiplicative. Z⊂Qse généralise A →S−1A
a7−→ a
1
.
Propriété universelle : (f:S−1A−→ B)⇐⇒ (ϕ:A−→ Btel que ϕ(S)⊂B×).
S−1A est la construction ad hoc pour faire un sur-anneau de A dans lequel les éléments de S sont inversibles. 0 /∈S ,
car on ne peut jamais diviser par 0.
T⊂S,T−1A →S−1A
a
t7−→ a t
.
Pour S=A\ {0}, on obtient le corps des fractions de Aqui contient aussi tous les localisés de S−1Ade A.
Exemple
Z⊂ {10n/ n ∈N}−1Z
| {z }
=D
⊂Q
2.3. Niveau 3 : Pour aller plus loin
L’hypothèse A est intègre simplifie les preuves et la présentation. Il est toute à fait possible de localiser vis-à-vis de
S⊂Acommutatif quelconque. Sdoit être multiplicative.
3