CC136 Effet Doppler et lois de Kepler les calculs

Exoplanètes, effet Doppler et lois de Kepler
Les calculs
Les notations
M
E
masse de létoile. Elle peut être déterminée à partir de son spectre.
R
E
distance du centre de létoile au centre de masse du système étoile planète. Inconnue.
M
P
masse de la planète. Inconnue.
R
P
distance du centre de la planète au centre de masse du système étoile planète. Inconnue.
R distance du centre de létoile au centre de la planète. Inconnue.
V
E
= vitesse linéaire de létoile sur son orbite autour du centre de masse. Peut être déterminée par effet
Doppler.
F = force dattraction entre létoile et la planète.
T
E
= période de révolution de létoile autour du centre de masse. Peut être déterminé par effet Doppler.
Les formules de départ
(1) M
E
R
E
= M
P
R
P
(définition du centre de masse)
(2) R = R
E
+ R
P
(voir figure)
(3) F = G M
E
M
P
R² (loi de Newton)
(4) F = M
E
a
E
= M
E
V
E
²
R
E
(force centripète)
(5) T
E
V
E
= 2 R
E
(distance parcourue par le centre de l’étoile en une révolution)
Les calculs de larticle
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a. Formule donnant V
E
²
Avec (3) et (4), on obtient :
V
E
² = G M
E
M
P
R² ×R
E
M
E
On remplace R par R
E
+ R
P
avec (2) :
V
E
² = G M
E
M
P
(R
E
+ R
P
)² × R
E
M
E
= G × M
P
R
E
R
P
²(R
E
/R
P
+ 1)² = G × R
E
R
P
× M
P
R
P
× 1
(R
E
/R
P
+ 1)²
Or, daprès (1) : R
E
R
P
= M
P
M
E
doù : V
E
² = G × M
P
M
E
× M
P
R
P
× 1
(M
P
/M
E
+ 1)² (6)
M
P
étant petit devant M
E
, on peut écrire :
V
E
²  G × M
P
²
M
E
R
P
ou M
P
² × G
R
P
M
E
(7)

b. Formule donnant T
E
²
Avec (5) : T
E
² = 4 ² R
E
²
V
E
²
Avec (6), cela devient : T
E
² = 4 ² R
E
²×
(
)
²MG
²1M/MRM
P
EPPE
×
+ = 4 ²
G × RE² MP² × MERP ×
(
)
1M/M
1M/M
EP
3
EP
+
+
Avec (1), on obtient : T
E
² = 4 ²
G×R
P
²
M
E
²×M
E
R
P
×
(
)
1M/M
1R/R
EP
3
PE
+
+
= 4 ²
G×
(
)
( )
1M/MM
1R/RR
EPE
3
PE
3
P
+
+
= 4 ²
G×
(
)
( )
1M/MM
RR
EPE
3
PE
+
+
Avec (2) : T
E
² = 4 ²
G×
( )
1M/MM
R
EPE
3
+
 4 ² R
3
G M
E
ou TE²
R
3
= 4 ²
G M
E
(car M
P
est très petit devant M
E
)
Page 32
c. Formule donnant V
OBS
V
OBS
= V
E
sin i
Avec (7) : V
OBS
= sin i × M
P
× G
R
P
M
E
Autre manière de faire les calculs
Formules de départ
(1) M
E
R
E
= M
P
R
P
; (2) R = R
E
+ R
P
; (3) F = G M
E
M
P
R²
(4a) F = M
E
V
E
²
R
E
et (4b) F = M
P
V
P
²
R
P
; (5a) T
E
V
E
= 2  R
E
et (5b) T
P
V
P
= 2  R
P
Calcul de R
P
à partir de M
E
et T
P
Les formules (3) et (4b) donnent V
P
² = G M
E
R
P
R²
La formule (5b) donne V
P
² = 4 ² R
P
²
T
P
² ; doù G M
E
R
P
R² = 4 ² R
P
²
T
P
² ou T
P
²
R
P
×R² = 4 ² G M
E
Or, R
P
×R² = R
P
×(R
P
+ R
E
)² = R
P3
×(1 + R
E
/R
P
)² = R
P3
×(1 + M
P
/M
E
)² quon assimile à R
P3
car M
P
<< M
E
On retrouve donc la 3
e
loi de Kepler T
P
²
R
P3
= 4 ²
G M
E
On peut mesurer T
P
et M
E
, on en déduit donc R
P
Calcul de M
P
avec comme donnée supplémentaire la mesure de V
E
La formule (5a) T
E
V
E
= 2  R
E
donne R
E
puisque lon connaît T
E
et V
E
.
On peut alors calculer M
P
avec la formule (1) : M
E
R
E
= M
P
R
P
.
M
E
, T
E
et V
E
sont des résultats de mesure.
Remarque Avec les deux méthodes, on a M
P3
= M
E
²×T
E
×V
E3
2G