Topographie par interférométrie spectrale

DOSSIER IMAGERIE & PHOTONIQUE
TECHNIQUE INSTRUMENTALE
Luc FROEHLY1, Adrian H. BACHMANN2, Theo LASSER2, Florian LANG3
Topographie par interférométrie
spectrale multiplexée en longueur
d’onde : application à l’imagerie
médicale
RÉSUMÉ
Cet article décrit un nouveau dispositif de topographie optique mis au point. Celui-ci permet
le transfert d’une information bidimensionnelle au travers d’un canal imageur de géométrie
unidimensionnelle. Le canal mis en oeuvre dans ce système est une fibre optique monomode.
Son utilisation est rendue possible par l’utilisation de l’optique de Fourier spatio-temporelle et
plus particulièrement par combinaison, d’une part de l’interférométrie dans le domaine spectral
et, d’autre part, du multiplexage en longueur d’onde. Nous montrons ici la validité du principe
de fonctionnement de ce dispositif et ses limites de résolution.
MOTS-CLÉS
Topographie optique, multiplexage en longueur d’onde, interférométrie spectrale
I - Introduction
Optique
Op
p q
Avec l’avènement de nouvelles techniques de
traitement des pathologies obstructives des
voies respiratoires, la nécessité de moyens
d’imagerie de faible dimension et donnant accès à une information dimensionnelle est apparue. C’est dans ce contexte initial que nous
avons initié le développement d’un nouveau
système d’imagerie permettant la transmission
d’une information topographique bidimensionnelle au travers d’un canal de géométrie unidimensionnelle. L’endoscopie standard présente
en effet deux inconvénients : d’une part elle
n’apporte qu’une vision projective (profondeur
de champs infinie) et d’autre part celle-ci n’est
pas telecentrique, c’est-à-dire que l’échelle latérale varie avec la profondeur de champs. Le
dispositif développé se base sur le couplage de
deux techniques issues des années 1970 : le
multiplexage en longueur d’onde d’une part (1)
et, d’autre part, l’interférométrie spectrale (2)
(aussi récemment renommée, dans son application à l’imagerie biomédicale, FDOCT pour
Fourier Domain Optical Coherence Tomography (3, 4) ). Après une présentation succincte
de ces deux techniques, nous présenterons ce
nouveau dispositif d’imagerie.
II - Le multiplexage en longueur
d’onde : codage d’une variable
d’espace en une longueur d’onde.
Le principe fondamental de cette technique repose sur le fait qu’un réseau de diffraction R illuminé
par une lumière polychromatique diffracte les
composantes spectrales de cette lumière incidente
selon différentes directions i′ obéissant à la loi des
réseaux soit :
k ⋅λ
− sin i + sin i′ =
Λ
avec i angle d’incidence, k ordre de diffraction, λ
longueur d’onde considérée, Λ pas du réseau.
Le dispositif représenté à la figure 1 est constitué
d’un masque d’amplitude a (x ), de deux lentilles L1
et L2 de distances focales f, d’un réseau de diffrac-
1
Département d’Optique P.-M. Duffieux (LOPMD) - Institut FEMTO - ST, UMR 6174 CNRS - Université de Franche-Comté - UFR Sciences, route de Gray, 25030
Besançon Cedex – E-Mail : [email protected]
2
Ecole Polytechnique Fédérale de Lausanne - CH-1015 Lausanne - Suisse
3
Centre Hospitalier - Universitaire Vaudois - CH-1005 Lausanne - Suisse
SPECTRA ANALYSE n° 250 • Juin - Juillet - Août 2006
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III - Le réseau de diffraction :
un corrélateur spectral
Le principe de cette méthode est schématisé sur la
Figure 2 : si deux impulsions de lumière séparées
dans le temps de Δt arrivent sur un spectroscope
(un ensemble réseau plus lentille), on observe dans
le plan de sortie du spectroscope (dans le plan focal de la lentille de sortie du spectroscope) et selon un axe gradué en longueur d’onde, un spectre
λ2
, (ce
c ⋅ Δt
1
qui correspond à un écart en fréquence de
) et
Δt
présentant des cannelures espacées de
Figure 1
Dispositif de codage
spatial-spectral
tion R de pas Λ . Le masque a (x )est éclairé par
une lumière blanche. L’amplitude a(x ) de l’onde
re-émise au point x après traversée du masque, est
collimatée par L1, puis diffractée par R. Derrière
le réseau, dans la direction d’émergence i′ (sur
le schéma prise égale à 0), une longueur d’onde
λ telle que − Λ ⋅ sin i′ + Λ ⋅ sin i = λ est émise
sous une incidence i telle que
Figure 2
Transformation de Fourier
temps-spectre par
spectroscopie et spectre
cannelé.
sin i ≈ tan i =
x
f
au premier ordre (petits angles). Si maintenant
nous plaçons derrière le réseau et dans la direction i′ , un trou T de filtrage spatial, dans
le plan focal de L2, nous ne sélectionnerons
qu’une composante λ provenant du point x .
Il apparaît ainsi une relation linéaire au premier ordre (angles faibles) entre une position
x au niveau du masque et une longueur d’onde
λ au niveau du trou. Ce dispositif permet donc
de coder l’information spatiale a (x ) en une information spectrale a(λ ) qui peut voyager au
travers d’un canal unique (fibre optique par
exemple). L’intérêt de ce procédé réside dans
le fait qu’il permet d’utiliser un canal sonde de
petite dimension.
donc à une transformation de Fourier temps-fréquence. En effet, un spectroscope constitue l’analogue temporel du montage 2f de transformation
de Fourier spatiale.
Ce phénomène de « battements spectraux » est
schématisé sur la Figure 2. Nous pouvons tout
d’abord considérer le fait que, d’après la théorie de
l’optique de Fourier, chaque impulsion est constituée d’une somme d’ondes monochromatiques
(c’est-à-dire temporellement illimitées) de phases,
de fréquence et d’amplitude données par la transformée de Fourier du signal temporel. Le cas présenté en Figure 2 correspond uniquement deux
longueurs d’onde, le « rouge » et le « bleu ».
Les différentes composantes monochromatiques
appartenant à chacune des deux impulsions se
superposent et interfèrent. Les composantes monochromatiques de la première impulsion sont
représentées en traits gras derrière le réseau alors
qu’elles sont en pointillés pour la deuxième impulsion. Les interférences pouvant être constructives ou destructives pour certaines longueurs
d’ondes conduisent au phénomène de cannelures
observées dans le spectre. Lorsque la distance entre les deux impulsions varie (ou qu’une des deux
impulsions subit une dispersion), la position des
cannelures change car les relations de phase relatives entre les composantes du spectre de chaque
impulsion sont modifiées.
IV - Interférométrie spectrale…
principe
Nous venons de voir l’effet d’un réseau sur deux
impulsions séparées dans le temps, une expérience vieille de 50 ans et dites du « Spectre cannelé ».
Cette propriété a été utilisée pour créer l’holographie temporelle ou interférométrie spectrale. La
Figure 3 présente le principe de l’holographie temporelle. Soit un train d’impulsions (E) provenant
d’un milieu (la réponse impulsionnelle du milieu),
à ce train d’impulsion est ajoutée une impulsion de
référence (S) dont l’énergie est la même que celle
contenue dans (S). L’ensemble (S) + (E) est envoyé
sur le réseau de diffraction (R). Ceci donne lieu
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Topographie par interférométrie spectrale multiplexée
en longueur d’onde : application à l’imagerie médicale
a)
Figure 3
Le principe de l’Holographie temporelle. (S) : impulsion de référence ;
(E) : réponse temporelle analysée ; (R) : Réseau de diffraction ; (S1) :
spectres cannelés respectifs ; (S2) : somme des spectres cannelés
précédents.
dans le plan focal du spectromètre à un ensemble
de spectres cannelés (S1) dont la superposition
donne (S2). Une analyse en fréquence de (S2) permet alors de remonter à la forme temporelle du
signal (S) + (E).
V - Couplage du multiplexage
et de l’interférométrie spectrale
La Figure 4 présente schématiquement le couplage entre le multiplexage en longueur d’onde,
comme moyen d’encodage en x et en z, à l’interférométrie spectrale qui réalise l’opération de
démultiplexage.Lorsque l’impulsion de lumière
I(t) arrive sur le réseau R elle est diffractée puis
focalisée par la lentille L sur l’échantillon S. Chaque point de l’échantillon se retrouve donc éclairé
par une « longueur d’onde » différente suivant le
principe vu précédemment. L’échantillon retrodiffuse la lumière incidente qui parcourt alors le
chemin inverse. Après le réseau R on retrouve
donc un signal I’(t) qui correspond à l’impulsion
I(t) spectralement filtrée par le réseau R et dont
les composantes sont temporellement décalées
suivant une loi qui dépend directement de la topographie de l’échantillon (retard de groupe des
composantes les unes par rapport aux autres plus
un terme d’amplitude qui dépend de l’absorption
locale de l’échantillon). Si l’on rajoute une référence temporelle au signal I’(t) par le biais d’un système interférométrique (figure 4b) puis que l’on
réalise une transformation de Fourier temps-fréquence du signal complet ainsi obtenu (au moyen
du spectroscope décrit dans le point III – Interférométrie spectrale…principe) on obtient un spectre cannelé. La position d’un point sur le spectre
est directement l’image d’un point de l’objet et la
modulation locale du spectre est inversement liée
à la distance entre la composante spectrale locale
b)
et la référence. Ainsi une analyse par transformation de Fourier à fenêtre glissante ou par ondelette
(l’alternative privilégiée par notre équipe) conduit
à un affichage direct de la topographie de la ligne
éclairée.
VI - Dispositif d’imagerie
en configuration auto compensée
en dispersion
Nous avions précédemment présenté un dispositif d’imagerie interférométrique dont les deux
voies (référence et mesure) étaient séparées (5).
Cette particularité conduit, bien évidemment, à
la nécessité d’un équilibrage du montage difficile,
notamment dans le cas de son application à l’endoscopie.
Nous proposons ici un dispositif auto-compensé
en dispersion (aux lentilles de sortie près) et symétrisé car il n’utilise qu’un seul trajet (dans le canal
de transport de signal) pour à la fois la référence et
le bras de mesure. Ce système est représenté sur la
Figure 5. Un train d’impulsions lumineuses issues
d’une source laser femtoseconde Ti-Sa est focalisé
sur l’entrée d’une fibre optique monomode. À la
sortie de la fibre optique le faisceau est agrandi
puis collimaté. Cette onde collimatée est ensuite
envoyée sur un réseau de diffraction. Les deux
premiers ordres symétriques de diffraction du
réseau sont utilisés : l’ordre +1 est focalisé sur un
Figure 4
Principe du dispositif
de topographie. a)
encodage en x et en z
par réseau de diffraction;
b) démultiplexage par
ajout d’une référence
temporelle et TF optique.
Figure 5
Dispositif d’imagerie
« auto-compensée ».
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miroir et l’ordre –1 est focalisé sur l’échantillon à
observer. Les signaux retropropagés provenant respectivement du miroir et de l’échantillon sont recombinés par le réseau, retraversent le cube qui les
re-dirige vers le spectroscope de sortie matérialisé
par le réseau et sa lentille. Le spectre cannelé obtenu est enregistré sur une caméra CCD standard.
Notre dispositif peut-être considéré comme un système linéaire (au sens de la théorie du signal) et sa
réponse impulsionnelle peut donc être calculée par
la convolution des réponses impulsionnelles de ses
différents sous-éléments. Celle-ci peut s’écrire sous
la forme :
⎡ ⎛ t ⎞
⎛ c ⋅ t ⎞⎤
′
′
hA (t ,θ ′ ) = ⎢tri ⎜⎜
⎟⎟ comb ⎜⎜ λ (θ ′ ) ⎟⎟ ⎥ ⊗ ⎣⎡ r (θ ) ⋅ δ (t − τ ) + F ⋅ δ (t − τ )⎦⎤
⎢⎣ ⎝ 2T (θ ′ ) ⎠
⎝
⎠ ⎥⎦
où T (θ ′ ) est la longueur de train d’onde, δ (•) le retard
induit par le trajet parcouru, r (θ ′ ) la réflectivité locale
de l’objet et F représente un filtre photométrique pour
équilibrer le bras de référence et d’objet.
Les fonctions tri et comb ensemble décrivent, pour un
aller-retour d’une impulsion lumineuse, le comportement du réseau (auto-convolution de sa réponse impulsionnelle). Les autres termes sont liés au bras d’objet
et au bras de référence. Passant dans le domaine fré⎡
⎛ ν ⋅ λ (θ ′ ) ⎞ ⎤
− j 2πντ
+ F ⋅ e − j 2πντ ′ ⎤⎦
H A (ν ,θ ′ ) = ⎢ sinc 2 (ν T (θ ′ ))⊗ comb ⎜
⎟ ⎥ ⋅ ⎡⎣ r (θ ′ )⋅ e
c
⎝
⎠ ⎦⎥
⎣⎢
quentiel, nous obtenons donc la réponse fréquentielle
En multipliant ce résultat avec le spectre de la source
H 0 (ν ) puis en exprimant le résultat sous la forme
d’une intensité celle-ci peut s’écrire sous la forme :
2
⎡
⎡ ⎛ d (θ ′ ) ⎞ ⎤ ⎤
H A′ (ν ,θ ′ ) = I (ν ) ⎢1 − ω (θ ′ )⋅ cos ⎢ 2π ⎜ 2 ⋅
⎟ν ⎥ ⎥
c ⎠ ⎦⎥ ⎦⎥
⎣⎢ ⎝
⎣⎢
d (θ ′ ) est le retard de groupe local entre l’impulsion
de référence et l’impulsion localement retro-diffusée
par l’échantillon (on notera que grâce au multiplexage
nous avons une correspondance θ ′ ↔ x ). I (υ ) est
le terme d’enveloppe qui contient l’intensité des deux
ondes et la Densité Spectrale de Puissance de la source
2
H 0 (ν ) . Le terme ω (θ ′ ) est le contraste du terme
d’interférences qui ne dépend plus que de l’absorption
locale de l’échantillon et non de ν . Cette propriété
intéressante a pour effet d’augmenter la sensibilité du
dispositif en limitant le terme DC du signal interférométrique.
VII - Résolution
Une analyse du système permet d’établir une relation
entre résolution latérale, résolution axiale et le nombre de points résolus dans les deux dimensions. Ces
trois paramètres sont en fait reliés par une relation de
la forme N = Δσ .δl A ou N est le nombre d’échantillons spectraux résolus, Δσ est la bande spectrale
( en nombre d’onde) et δl A est la résolution axiale du
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système. Cette relation fait qu’il est possible de fixer
arbitrairement deux de ces paramètres mais que le
troisième est alors automatiquement fixe.
1. Zone d’observation
Comme différentes couleurs codent différents endroits au niveau de l’objet, les deux longueurs d’ondes limites utilisées par notre système définissent la
zone d’observation (sous forme d’une ligne droite
pour le dispositif actuel) de la manière suivante :
a ≈ f .Δθ ′ = f .Δλ / Λ2 − λ2
avec a dénotant l’extension latérale, f la longueur
focale de la lentille, Λ = 1/G1 avec G1 fréquence
spatiale du réseau, Δλ = λ 2 - λ 1 ou les λ i sont
les longueurs d’ondes limites utilises par notre système. Pour notre système : a ≈ 6,9mm avec λ 1
=150nm, λ 2=850nm, f = 100mm, G1 = 600 mm-1.
2. Résolution transversale
La résolution transversale peut être déduite à partir
de la zone d’observation et du nombre d’échantillons
spectraux résolus N. La bande passante de la source
étant :
Δσ = (σ 22 − σ1) = (1 / λ 22 − 1 / λ11)
on obtient alors :
N = Δσ /δσ
δ σ11
où δ σ1 est la résolution spectrale, du spectromè-
tre de codage qui est, pour un système donné,
δ σ1 ≈ (k11..λ .p11 ) - 1, avec k1 l’ordre de diffraction
utilisée, λ la longueur d’onde centrale du spectre et p1
le nombre de traits du réseau illuminés. La résolution
spectrale vient du fait que deux « couleurs » différentes doivent être séparées d’au moins la moitie du rayon
de la tache de diffraction correspondant au faisceau illuminant le réseau. La résolution transversale devient
alors :
δ l = a / N = λ. f / Λ2 − λ2 . p 1
t
résultat que nous retrouvons directement si nous nous
intéressons simplement à la résolution obtenue pour
une lentille de focale f illuminée sur un diamètre.
Λ2 − λ2 . p1
Cette résolution ne dépend donc en fait que de la
lentille de sortie du spectromètre et du diamètre
d’illumination de celle-ci. Pour notre dispositif ceci
correspond à δ l ≈ 0,09
09 mm
mm avec comme nouveaux
tT
paramètres p1 = 600 et λ = 800nm.
3. Résolution axiale
Le pouvoir de résolution dans la direction axiale peut
être explique d’une manière équivalente a la résolution
transversale. Pour pouvoir distinguer deux points en
profondeur les deux points ne doivent pas être plus
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en longueur d’onde : application à l’imagerie médicale
proche l’un de l’autre que l’ondelette est longue (similaire au critère de Rayleigh). Donc la résolution axiale
est inversement proportionnelle à la résolution spectrale du spectromètre respectivement proportionnelle
au diamètre de la zone du réseau éclairée. Mathématiquement ceci devient :
δlA = 1 / δσσ11 ≈ k 1.λ.p11
Pour le dispositif utilisé δlA ≈ 0,48mm avec k1 = 1
(premier ordre de diffraction). Le nombre de points
que l’on pourra résoudre axialement est évidemment
le même que celui que l’on pourra résoudre transversalement puisque chaque point résolu latéralement
contient aussi l’information de profondeur locale
codée dans les cannelures. Bien entendu ceci n’est
vrai que tant que deux points contigus sont séparés
axialement de plus de δlA . La profondeur de champ
est non dépendante du réseau mais uniquement de la
lentille de sortie utilisée. Le critère de Rayleigh nous
donne une bonne indication de celle-ci.
/λ f 2 / D 2
2z0 ≈ 0,7πλ
Avec D diamètre du faisceau diffracté par le réseau.
Pour le système décrit ici, 2z0 ≈ 17,6 mm.
VIII - Résultats expérimentaux
Les résultats des expériences effectuées que nous
présentons ici correspondent à l’utilisation d’une fibre
monomode (coupure mode fondamental @ 760nm)
d’une longueur de 1,5 m.
Les résultats sont présentés sur la figure 6 parties a) et
b). La figure 6a présente la configuration dans le bras
de l’échantillon. Un morceau de papier incliné d’un
angle θ est placé dans le bras de l’échantillon. Le spectre enregistré dans le plan du détecteur est présenté
figure 6b. On distingue la variation spatiale de période
des franges spectrales qui traduit les différences de délais locaux entre l’impulsion de référence et l’impulsion
rétro diffusée par l’échantillon. Les basses fréquences
signifient une différence de chemin plus courte et les
hautes fréquences une différence plus longue. La figure 6c présente le résultat d’une une transformation en
ondelette du spectre de la figure 6b, cette transformation fait apparaître directement la topographie de la
ligne de l’échantillon observée. En effet, la transformée
en ondelette du signal g (υ ) s’écrit
⎛ kν − aθ ′ ⎞
Wg (θ ′, d ) = ∫ g (ν )⋅ Ψ ⎜⎜
⎟⎟ dν où
⎝ α (d ) ⎠
⎛ kν − aθ ′ ⎞
⎟⎟ est une ondelette mère de type
Ψ ⎜⎜
⎝ α (d ) ⎠
Morlet. Cette opération correspond à une analyse locale des fréquences du spectre qui sont alors affichées
sous forme d’une hauteur particulière dans le graphe
pour une position x donnée. Les variables conjuguées par transformation de Fourier sont ν et t . Le
réseau, quant à lui, fait correspondre à un θ ′ donné
(i.e. x ) un λ (dans l’approximation des petits angles).
On peut remarquer sur les résultats expérimentaux
des tavelures spectrales qui rendent comptent de
l’absorption locale de l’échantillon, mais aussi des
Figure 6
e
e
t
a)
b)
Dispositif expérimental et
résultats. a) Configuration
de l’échantillon. b)
Spectre cannelé
enregistré. c) Transformée
en ondelettes.
c)
tavelures déjà présentes temporellement de par la réponse impulsionnelle de l’échantillon diffusant.
IX - Conclusion et perspectives
Cet article constitue une présentation succincte d’un
dispositif fibré de topographie optique fondé sur concept innovant d’interférométrie spectrale multiplexée
en longueur d’onde. Ce dispositif dont nous avons présenté les caractéristiques en terme de résolution a fait
l’objet d’une validation expérimentale. Une analyse de
la littérature publiée sur ce sujet depuis 5 ans souligne
que l’interférométrie spectrale semble présenter un
avantage en terme de rapport signal sur bruit en comparaison avec sa version temporelle (TDOCT). Les
expériences que nous avons réalisées laissent toutefois
apparaître que ce rapport signal sur bruit (6, 7, 8) est
encore en dessous de ce que nous devrions théoriquement obtenir. On peut invoquer pour expliquer cette
différence : un mauvais couplage dans la fibre ainsi
qu’une source laser instable dont le spectre n’est pas
uniforme. Une prochaine étape des travaux pourrait
consister à optimiser ces paramètres afin d’améliorer
le rapport signal/bruit et faire de cette méthode un
outil utilisable dans le domaine des sciences de la vie.
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