Topographie par interférométrie spectrale

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SPECTRA ANALYSE n° 250 • Juin - Juillet - Août 2006
TECHNIQUE INSTRUMENTALE
DOSSIER IMAGERIE & PHOTONIQUE
Optique
Luc FROEHLY1, Adrian H. BACHMANN2, Theo LASSER2, Florian LANG3
1Département d’Optique P.-M. Duffi eux (LOPMD) - Institut FEMTO - ST, UMR 6174 CNRS - Université de Franche-Comté - UFR Sciences, route de Gray, 25030
Besançon Cedex – E-Mail : [e-mail]
2 Ecole Polytechnique Fédérale de Lausanne - CH-1015 Lausanne - Suisse
3 Centre Hospitalier - Universitaire Vaudois - CH-1005 Lausanne - Suisse
Topographie par interférométrie
spectrale multiplexée en longueur
d’onde : application à l’imagerie
médicale
pq
Op q
I - Introduction
Avec l’avènement de nouvelles techniques de
traitement des pathologies obstructives des
voies respiratoires, la nécessité de moyens
d’imagerie de faible dimension et donnant ac-
cès à une information dimensionnelle est ap-
parue. C’est dans ce contexte initial que nous
avons initié le développement d’un nouveau
système d’imagerie permettant la transmission
d’une information topographique bidimension-
nelle au travers d’un canal de géométrie unidi-
mensionnelle. L’endoscopie standard présente
en effet deux inconvénients : d’une part elle
n’apporte qu’une vision projective (profondeur
de champs infinie) et d’autre part celle-ci n’est
pas telecentrique, c’est-à-dire que l’échelle la-
térale varie avec la profondeur de champs. Le
dispositif développé se base sur le couplage de
deux techniques issues des années 1970 : le
multiplexage en longueur d’onde d’une part (1)
et, d’autre part, l’interférométrie spectrale (2)
(aussi récemment renommée, dans son appli-
cation à l’imagerie biomédicale, FDOCT pour
Fourier Domain Optical Coherence Tomogra-
phy (3, 4) ). Après une présentation succincte
de ces deux techniques, nous présenterons ce
nouveau dispositif d’imagerie.
II - Le multiplexage en longueur
d’onde : codage d’une variable
d’espace en une longueur d’onde.
Le principe fondamental de cette technique repo-
se sur le fait qu’un réseau de diff raction R illuminé
par une lumière polychromatique diff racte les
composantes spectrales de cette lumière incidente
selon diff érentes directions
i′
obéissant à la loi des
réseaux soit :
Λ
⋅
=
′
+− λk ii sinsin
avec i angle d’incidence,
k
ordre de diff raction,
λ
longueur d’onde considérée, Λpas du réseau.
Le dispositif représenté à la fi gure 1 est constitué
d’un masque d’amplitude ()
xa , de deux lentilles L1
et L2 de distances focales f, d’un réseau de diff rac-
RÉSUMÉ
Cet article décrit un nouveau dispositif de topographie optique mis au point. Celui-ci permet
le transfert d’une information bidimensionnelle au travers d’un canal imageur de géométrie
unidimensionnelle. Le canal mis en oeuvre dans ce système est une fi bre optique monomode.
Son utilisation est rendue possible par l’utilisation de l’optique de Fourier spatio-temporelle et
plus particulièrement par combinaison, d’une part de l’interférométrie dans le domaine spectral
et, d’autre part, du multiplexage en longueur d’onde. Nous montrons ici la validité du principe
de fonctionnement de ce dispositif et ses limites de résolution.
MOTS-CLÉS
Topographie optique, multiplexage en longueur d’onde, interférométrie spectrale

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DOSSIER IMAGERIE & PHOTONIQUE
tion R de pas Λ. Le masque ()
xa est éclairé par
une lumière blanche. L’amplitude ()
xa de l’onde
re-émise au point xaprès traversée du masque, est
collimatée par L1, puis diff ractée par R. Derrière
le réseau, dans la direction d’émergence
i′
(sur
le schéma prise égale à 0), une longueur d’onde
λ
telle que
λ=⋅Λ+
′
⋅Λ− ii sinsin
est émise
sous une incidence i telle que f
x
ii =≈ tansin
au premier ordre (petits angles). Si maintenant
nous plaçons derrière le réseau et dans la di-
rection
i′
, un trou T de filtrage spatial, dans
le plan focal de L2, nous ne sélectionnerons
qu’une composante
λ
provenant du point x.
Il apparaît ainsi une relation linéaire au pre-
mier ordre (angles faibles) entre une position
xau niveau du masque et une longueur d’onde
λ
au niveau du trou. Ce dispositif permet donc
de coder l’information spatiale ()
xa en une in-
formation spectrale
()
λa
qui peut voyager au
travers d’un canal unique (fibre optique par
exemple). L’intérêt de ce procédé réside dans
le fait qu’il permet d’utiliser un canal sonde de
petite dimension.
III - Le réseau de diff raction :
un corrélateur spectral
Le principe de cette méthode est schématisé sur la
Figure 2 : si deux impulsions de lumière séparées
dans le temps de
tΔ
arrivent sur un spectroscope
(un ensemble réseau plus lentille), on observe dans
le plan de sortie du spectroscope (dans le plan fo-
cal de la lentille de sortie du spectroscope) et se-
lon un axe gradué en longueur d’onde, un spectre
présentant des cannelures espacées de
2
ct
λ
⋅Δ , (ce
qui correspond à un écart en fréquence de 1
tΔ) et
donc à une transformation de Fourier temps-fré-
quence. En eff et, un spectroscope constitue l’ana-
logue temporel du montage 2f de transformation
de Fourier spatiale.
Ce phénomène de « battements spectraux » est
schématisé sur la Figure 2. Nous pouvons tout
d’abord considérer le fait que, d’après la théorie de
l’optique de Fourier, chaque impulsion est cons-
tituée d’une somme d’ondes monochromatiques
(c’est-à-dire temporellement illimitées) de phases,
de fréquence et d’amplitude données par la trans-
formée de Fourier du signal temporel. Le cas pré-
senté en Figure 2 correspond uniquement deux
longueurs d’onde, le « rouge » et le « bleu ».
Les diff érentes composantes monochromatiques
appartenant à chacune des deux impulsions se
superposent et interfèrent. Les composantes mo-
nochromatiques de la première impulsion sont
représentées en traits gras derrière le réseau alors
qu’elles sont en pointillés pour la deuxième im-
pulsion. Les interférences pouvant être construc-
tives ou destructives pour certaines longueurs
d’ondes conduisent au phénomène de cannelures
observées dans le spectre. Lorsque la distance en-
tre les deux impulsions varie (ou qu’une des deux
impulsions subit une dispersion), la position des
cannelures change car les relations de phase rela-
tives entre les composantes du spectre de chaque
impulsion sont modifi ées.
IV - Interférométrie spectrale…
principe
Nous venons de voir l’eff et d’un réseau sur deux
impulsions séparées dans le temps, une expérien-
ce vieille de 50 ans et dites du « Spectre cannelé ».
Cette propriété a été utilisée pour créer l’hologra-
phie temporelle ou interférométrie spectrale. La
Figure 3 présente le principe de l’holographie tem-
porelle. Soit un train d’impulsions (E) provenant
d’un milieu (la réponse impulsionnelle du milieu),
à ce train d’impulsion est ajoutée une impulsion de
référence (S) dont l’énergie est la même que celle
contenue dans (S). L’ensemble (S) + (E) est envoyé
sur le réseau de diff raction (R). Ceci donne lieu
Figure 1
Dispositif de codage
spatial-spectral
Figure 2
Transformation de Fourier
temps-spectre par
spectroscopie et spectre
cannelé.

Technique instrumentale
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Topographie par interférométrie spectrale multiplexée
en longueur d’onde : application à l’imagerie médicale
dans le plan focal du spectromètre à un ensemble
de spectres cannelés (S1) dont la superposition
donne (S2). Une analyse en fréquence de (S2) per-
met alors de remonter à la forme temporelle du
signal (S) + (E).
V - Couplage du multiplexage
et de l’interférométrie spectrale
La Figure 4 présente schématiquement le cou-
plage entre le multiplexage en longueur d’onde,
comme moyen d’encodage en x et en z, à l’in-
terférométrie spectrale qui réalise l’opération de
démultiplexage.Lorsque l’impulsion de lumière
I(t) arrive sur le réseau R elle est diff ractée puis
focalisée par la lentille L sur l’échantillon S. Cha-
que point de l’échantillon se retrouve donc éclairé
par une « longueur d’onde » diff érente suivant le
principe vu précédemment. L’échantillon retro-
diff use la lumière incidente qui parcourt alors le
chemin inverse. Après le réseau R on retrouve
donc un signal I’(t) qui correspond à l’impulsion
I(t) spectralement fi ltrée par le réseau R et dont
les composantes sont temporellement décalées
suivant une loi qui dépend directement de la to-
pographie de l’échantillon (retard de groupe des
composantes les unes par rapport aux autres plus
un terme d’amplitude qui dépend de l’absorption
locale de l’échantillon). Si l’on rajoute une référen-
ce temporelle au signal I’(t) par le biais d’un sys-
tème interférométrique (fi gure 4b) puis que l’on
réalise une transformation de Fourier temps-fré-
quence du signal complet ainsi obtenu (au moyen
du spectroscope décrit dans le point III – Interfé-
rométrie spectrale…principe) on obtient un spec-
tre cannelé. La position d’un point sur le spectre
est directement l’image d’un point de l’objet et la
modulation locale du spectre est inversement liée
à la distance entre la composante spectrale locale
et la référence. Ainsi une analyse par transforma-
tion de Fourier à fenêtre glissante ou par ondelette
(l’alternative privilégiée par notre équipe) conduit
à un affi chage direct de la topographie de la ligne
éclairée.
VI - Dispositif d’imagerie
en confi guration auto compensée
en dispersion
Nous avions précédemment présenté un dispo-
sitif d’imagerie interférométrique dont les deux
voies (référence et mesure) étaient séparées (5).
Cette particularité conduit, bien évidemment, à
la nécessité d’un équilibrage du montage diffi cile,
notamment dans le cas de son application à l’en-
doscopie.
Nous proposons ici un dispositif auto-compensé
en dispersion (aux lentilles de sortie près) et symé-
trisé car il n’utilise qu’un seul trajet (dans le canal
de transport de signal) pour à la fois la référence et
le bras de mesure. Ce système est représenté sur la
Figure 5. Un train d’impulsions lumineuses issues
d’une source laser femtoseconde Ti-Sa est focalisé
sur l’entrée d’une fi bre optique monomode. À la
sortie de la fi bre optique le faisceau est agrandi
puis collimaté. Cette onde collimatée est ensuite
envoyée sur un réseau de diff raction. Les deux
premiers ordres symétriques de diff raction du
réseau sont utilisés : l’ordre +1 est focalisé sur un
Figure 3
Le principe de l’Holographie temporelle. (S) : impulsion de référence ;
(E) : réponse temporelle analysée ; (R) : Réseau de diff raction ; (S1) :
spectres cannelés respectifs ; (S2) : somme des spectres cannelés
précédents.
Figure 4
Principe du dispositif
de topographie. a)
encodage en x et en z
par réseau de diff raction;
b) démultiplexage par
ajout d’une référence
temporelle et TF optique.
Figure 5
Dispositif d’imagerie
« auto-compensée ».
a) b)

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DOSSIER IMAGERIE & PHOTONIQUE
miroir et l’ordre –1 est focalisé sur l’échantillon à
observer. Les signaux retropropagés provenant res-
pectivement du miroir et de l’échantillon sont re-
combinés par le réseau, retraversent le cube qui les
re-dirige vers le spectroscope de sortie matérialisé
par le réseau et sa lentille. Le spectre cannelé ob-
tenu est enregistré sur une caméra CCD standard.
Notre dispositif peut-être considéré comme un sys-
tème linéaire (au sens de la théorie du signal) et sa
réponse impulsionnelle peut donc être calculée par
la convolution des réponses impulsionnelles de ses
diff érents sous-éléments. Celle-ci peut s’écrire sous
la forme :
() () () () ( )
,()
2
A
tct
h t tri comb r t F t
T
θ θδτ δτ
θλθ
⎡⎤
⎛⎞⎛⎞
⋅
′′′
=⊗⋅−+⋅−
⎡⎤
⎢⎥
⎜⎟⎜⎟
⎣⎦
⎜⎟⎜⎟
′′
⎢⎥
⎝⎠⎝⎠
⎣⎦
où ()
Tθ′ est la longueur de train d’onde, ()
•δ le retard
induit par le trajet parcouru, ()
rθ′ la réfl ectivité locale
de l’objet et F représente un fi ltre photométrique pour
équilibrer le bras de référence et d’objet.
Les fonctions tri et comb ensemble décrivent, pour un
aller-retour d’une impulsion lumineuse, le comporte-
ment du réseau (auto-convolution de sa réponse im-
pulsionnelle). Les autres termes sont liés au bras d’objet
et au bras de référence. Passant dans le domaine fré-
quentiel, nous obtenons donc la réponse fréquentielle
En multipliant ce résultat avec le spectre de la source
()
0
Hν puis en exprimant le résultat sous la forme
d’une intensité celle-ci peut s’écrire sous la forme :
() () ( ) ()
2
,1cos22
A
d
HI c
θ
νθ ν ωθ π ν
⎡⎤
⎡⎤
′
⎛⎞
′′′
=−⋅ ⋅
⎢⎥
⎢⎥
⎜⎟
⎢⎥
⎢⎥
⎝⎠
⎣⎦
⎣⎦
()
dθ′ est le retard de groupe local entre l’impulsion
de référence et l’impulsion localement retro-diff usée
par l’échantillon (on notera que grâce au multiplexage
nous avons une correspondance
xθ′↔
). ()
Iυ est
le terme d’enveloppe qui contient l’intensité des deux
ondes et la Densité Spectrale de Puissance de la source
()
2
0νH. Le terme
()
ωθ
′
est le contraste du terme
d’interférences qui ne dépend plus que de l’absorption
locale de l’échantillon et non de ν. Cette propriété
intéressante a pour eff et d’augmenter la sensibilité du
dispositif en limitant le terme DC du signal interféro-
métrique.
VII - Résolution
Une analyse du système permet d’établir une relation
entre résolution latérale, résolution axiale et le nom-
bre de points résolus dans les deux dimensions. Ces
trois paramètres sont en fait reliés par une relation de
la forme
A
lN δσ.Δ=
ou N est le nombre d’échan-
tillons spectraux résolus,
σΔ
est la bande spectrale
( en nombre d’onde) et A
lδ est la résolution axiale du
système. Cette relation fait qu’il est possible de fi xer
arbitrairement deux de ces paramètres mais que le
troisième est alors automatiquement fi xe.
1. Zone d’observation
Comme diff érentes couleurs codent diff érents en-
droits au niveau de l’objet, les deux longueurs d’on-
des limites utilisées par notre système défi nissent la
zone d’observation (sous forme d’une ligne droite
pour le dispositif actuel) de la manière suivante :
22
/.. λλθ−ΛΔ=
′
Δ≈ ffa
avec dénotant l’extension latérale, f la longueur
focale de la lentille, Λ = 1/G1 avec G1 fréquence
spatiale du réseau,
λΔ
=
λ
2 -
λ
1 ou les
λ
i sont
les longueurs d’ondes limites utilises par notre sys-
tème. Pour notre système : ≈ 6,9mm avec
λ
1
=150nm,
λ
2=850nm, f = 100mm, G1 = 600 mm-1.
2. Résolution transversale
La résolution transversale peut être déduite à partir
de la zone d’observation et du nombre d’échantillons
spectraux résolus N. La bande passante de la source
étant :
)/1/1()( 122 λλσσσ−==Δ −
on obtient alors :
1/δσσΔ=N
où est la résolution spectrale, du spectromè-
tre de codage qui est, pour un système donné,
)1..1( pk λ≈ - 1, avec k1 l’ordre de diff raction
utilisée, λ la longueur d’onde centrale du spectre et p1
le nombre de traits du réseau illuminés. La résolution
spectrale vient du fait que deux « couleurs » diff éren-
tes doivent être séparées d’au moins la moitie du rayon
de la tache de diff raction correspondant au faisceau il-
luminant le réseau. La résolution transversale devient
alors :
././ 22 pfNal
tλλδ−Λ==
résultat que nous retrouvons directement si nous nous
intéressons simplement à la résolution obtenue pour
une lentille de focale f illuminée sur un diamètre.
.
22 pλ−Λ
Cette résolution ne dépend donc en fait que de la
lentille de sortie du spectromètre et du diamètre
d’illumination de celle-ci. Pour notre dispositif ceci
correspond à mml
t09,0≈δ avec comme nouveaux
paramètres p1 = 600 et λ= 800nm.
3. Résolution axiale
Le pouvoir de résolution dans la direction axiale peut
être explique d’une manière équivalente a la résolution
transversale. Pour pouvoir distinguer deux points en
profondeur les deux points ne doivent pas être plus
() ()
() () ()
222
,
jj
A
HsincTcomb reFe
c
πντ πντ
νλθ
νθ ν θ θ
′
−−
⎡⎤
′
⋅
⎛⎞
′′ ′
⎡⎤
= ⊗ ⋅⋅+⋅
⎢⎥
⎜⎟
⎣⎦
⎢⎥
⎝⎠
⎣⎦
a
a
2121
σ
δ1
σ
δ11.1
T09 mm
σ
δ1
1
1
mm

Technique instrumentale
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SPECTRA ANALYSE n° 250 • Juin - Juillet - Août 2006
Topographie par interférométrie spectrale multiplexée
en longueur d’onde : application à l’imagerie médicale
proche l’un de l’autre que l’ondelette est longue (simi-
laire au critère de Rayleigh). Donc la résolution axiale
est inversement proportionnelle à la résolution spec-
trale du spectromètre respectivement proportionnelle
au diamètre de la zone du réseau éclairée. Mathémati-
quement ceci devient :
1
11 ../1 pklAλδσδ≈=
Pour le dispositif utilisé
Alδ
≈ 0,48mm avec k1 = 1
(premier ordre de diff raction). Le nombre de points
que l’on pourra résoudre axialement est évidemment
le même que celui que l’on pourra résoudre transver-
salement puisque chaque point résolu latéralement
contient aussi l’information de profondeur locale
codée dans les cannelures. Bien entendu ceci n’est
vrai que tant que deux points contigus sont séparés
axialement de plus de
Alδ
. La profondeur de champ
est non dépendante du réseau mais uniquement de la
lentille de sortie utilisée. Le critère de Rayleigh nous
donne une bonne indication de celle-ci.
07,02zπλ≈
Avec D diamètre du faisceau diff racté par le réseau.
Pour le système décrit ici, ≈
0
2z17,6 mm.
VIII - Résultats expérimentaux
Les résultats des expériences eff ectuées que nous
présentons ici correspondent à l’utilisation d’une fi bre
monomode (coupure mode fondamental @ 760nm)
d’une longueur de 1,5 m.
Les résultats sont présentés sur la fi gure 6 parties a) et
b). La fi gure 6a présente la confi guration dans le bras
de l’échantillon. Un morceau de papier incliné d’un
angle
θ
est placé dans le bras de l’échantillon. Le spec-
tre enregistré dans le plan du détecteur est présenté
fi gure 6b. On distingue la variation spatiale de période
des franges spectrales qui traduit les diff érences de dé-
lais locaux entre l’impulsion de référence et l’impulsion
rétro diff usée par l’échantillon. Les basses fréquences
signifi ent une diff érence de chemin plus courte et les
hautes fréquences une diff érence plus longue. La fi gu-
re 6c présente le résultat d’une une transformation en
ondelette du spectre de la fi gure 6b, cette transforma-
tion fait apparaître directement la topographie de la
ligne de l’échantillon observée. En eff et, la transformée
en ondelette du signal ()
gυ s’écrit
() () ()
,
g
ka
Wdg d
d
νθ
θν ν
α
⎛⎞
′
−
′=⋅Ψ
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
∫ où
() ⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛′
−
Ψd
ak
α
θν
est une ondelette mère de type
Morlet. Cette opération correspond à une analyse lo-
cale des fréquences du spectre qui sont alors affi chées
sous forme d’une hauteur particulière dans le graphe
pour une position x donnée. Les variables conju-
guées par transformation de Fourier sont ν et
t
. Le
réseau, quant à lui, fait correspondre à un
θ′
donné
(i.e. x) un
λ
(dans l’approximation des petits angles).
On peut remarquer sur les résultats expérimentaux
des tavelures spectrales qui rendent comptent de
l’absorption locale de l’échantillon, mais aussi des
tavelures déjà présentes temporellement de par la ré-
ponse impulsionnelle de l’échantillon diff usant.
IX - Conclusion et perspectives
Cet article constitue une présentation succincte d’un
dispositif fi bré de topographie optique fondé sur con-
cept innovant d’interférométrie spectrale multiplexée
en longueur d’onde. Ce dispositif dont nous avons pré-
senté les caractéristiques en terme de résolution a fait
l’objet d’une validation expérimentale. Une analyse de
la littérature publiée sur ce sujet depuis 5 ans souligne
que l’interférométrie spectrale semble présenter un
avantage en terme de rapport signal sur bruit en com-
paraison avec sa version temporelle (TDOCT). Les
expériences que nous avons réalisées laissent toutefois
apparaître que ce rapport signal sur bruit (6, 7, 8) est
encore en dessous de ce que nous devrions théorique-
ment obtenir. On peut invoquer pour expliquer cette
diff érence : un mauvais couplage dans la fi bre ainsi
qu’une source laser instable dont le spectre n’est pas
uniforme. Une prochaine étape des travaux pourrait
consister à optimiser ces paramètres afi n d’améliorer
le rapport signal/bruit et faire de cette méthode un
outil utilisable dans le domaine des sciences de la vie.
BIBLIOGRAPHIE
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Figure 6
Dispositif expérimental et
résultats. a) Confi guration
de l’échantillon. b)
Spectre cannelé
enregistré. c) Transformée
en ondelettes.
/λ22 /Df
σ
δ1
a) b)
c)
1
ee
t