TD4 - Université Paris 13

Universit´e Paris 13 M1 : de l’arithm´etique `a la th´eorie des nombres
Exercices de th´eorie de Galois
Exercice 1. — Montrer que si aet bsont deux ´el´ements non nuls d’un corps Kde ca-
ract´eristique diff´erente de 2, K(√a)est ´egal `a K(√b)si et seulement si b/a est un carr´e dans
K.
Exercice 2. — Soit K=Q(i+√2). Montrer que Kest galoisien sur Q. Calculer le degr´e
de Ksur Qet le groupe de Galois de K/Q. Donner la liste des sous-corps de K.
Exercice 3. — Soit L=Q(√5) et M=Q(p2 + √5). D´eterminer les degr´es des extensions
L/Q,M/Qet M/L. Indiquer lesquelles de ces extensions sont galoisiennes. D´eterminer les
polynˆomes minimaux de p2 + √5sur Qet sur L.
Exercice 4. — Soit aet bdeux rationnels, donnez une condition suffisante pour que le po-
lynˆome X4+aX2+bsoit irr´eductible sur Q. Donnez une CNS pour qu’alors son corps de
rupture soit galoisien sur Q. En particulier que se passe-t-il si on suppose que a2−4best
positif mais pas un carr´e rationnel, et bn´egatif.
Exercice 5. — Soit K=Q(3
√2),Lla clˆoture galoisienne de Ksur Q. Calculer le degr´e de
Lsur Q, le groupe de Galois de L/K. Donner la liste des sous-corps de L.
Exercice 6. — Soit Gle groupe de Galois de X5−2. Quel est le cardinal de G? Est-il
ab´elien, r´esoluble ?
Exercice 7. — Quel est le degr´e du corps de d´ecomposition du polynˆome (X3−5)(X3−7)
sur Q?
Exercice 8. — D´eterminez le groupe de Galois de X6−5sur Q,R.
Exercice 9. — Trouvez un ´el´ement primitif de Q[√3,√7].
Exercice 10. — Soit Gle groupe de Galois de (X3−5)(X4−2) sur Q.
1) Donner un ensemble de g´en´erateurs de Gainsi que l’ensemble de relations entre eux.
2) Gest-il un groupe cyclique, di´edral, sym´etrique ?
Exercice 11. — Trouvez un ´el´ement primitif du corps de d´ecomposition de (X2−2)(X2−
5)(X2−7).
Exercice 12. — Soit ζun racine primitive 12-i`eme de l’unit´e. Combien y a-t-il d’extension
comprises entre Q[ζ3]et Q[ζ].
Exercice 13. — Soit ζune racine primitive 5-i`eme de l’unit´e.
(1) D´ecrivez le groupe de Galois de K=Q[ζ]/Qet montrez que Kcontient un unique
sous-corps de degr´e 2sur Q`a savoir Q[ζ+ζ4].
(2) Donnez le polynˆome minimal de ζ+ζ4sur Q.
(3) Donnez le groupe de Galois de (X2−5)(X5−1).
(4) Donnez le groupe de Galois de (X2+ 3)(X5−1).
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Exercice 14. — Notons Kle corps Q(√−15),fson automorphisme non trivial, et αun
´el´ement de Ktel que le polynˆome X3−αsoit irr´eductible sur K. Pourquoi existe-t-il de tels
α? On note Lle corps de d´ecomposition de ce polynˆome, et {θ, jθ, j2θ}ses diff´erentes racines
dans L.
1) Pourquoi sont-elles de cette forme ?
2) Montrer que Lest une extension galoisienne de Kde degr´e 6, et que Lcontient √5.
3) Montrer qu’il existe deux K−automorphismes σet τde Ltels que
σ(√5) = √5, σ(θ) = jθ, τ (√5) = −√5, τ(θ) = θ.
4) D´eterminer l’ordre des ´el´ements σet τdu groupe Gal(L/K)et calculer τστ−1. Etablir
la liste des extensions de Kcontenues dans L.
5) On suppose d´esormais que NK/Q(α)est le cube d’un nombre rationnel b(on admettra que
c’est possible). D´eterminer les diff´erents conjugu´es de θsur Q. Montrer que l’extension
L/Qest galoisienne de degr´e 12. Prouver qu’il est possible de prolonger l’automorphisme
fde Ken un automorphisme φde Ltel que φ(√5) = √5et φ(θ) = b/θ. Calculer φ2,
φσφ−1et φτφ−1. Montrer que Q(√5) admet une extension de degr´e 3 contenue dans L
et galoisienne sur Q.
Exercice 15. — On note Lle corps de d´ecomposition dans Cdu polynˆome P=T4−3T−3.
a) Montrer que le polynˆome Pest irr´eductible sur Q, et qu’il admet dans Cdeux racines
r´eelles xet y, et un couple (z, z)de racines complexes conjugu´ees l’une de l’autre.
b) Notons T2+aT +bet T2−aT +b′les polynˆomes unitaires de degr´e 2 qui divisent P
dans R[X]. Montrer que aest une racine du polynˆome X6+ 12X2−9, et calculer le degr´e
de a2sur Q.
c) Montrer que [L:Q]est un multiple de 12.
d) Montrer que le groupe altern´e A4est le seul sous-groupe d’indice 2 du groupe sym´etrique
S4.
e) Montrer qu’il existe un automorphisme de Lqui ´echange zet zet qui laisse xfixe.
D´eterminer le groupe de Galois de L/Q. Combien La-t’il de sous-corps ?
Exercice 16. — Montrez en r´eduisant modulo 2et 3, que le groupe de Galois de X5−X−1
est S5.

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1Il est clair que, si b/a =x2est un carr´e dans K, on a √b=±x√aet K(√a) = K(√b).
R´eciproquement, si ces deux corps sont ´egaux et diff´erents de K, on peut ´ecrire par exemple
√b=x+y√aavec xet ydans K. On en d´eduit (b−x2−ay2)2= 4x2y2a. Comme an’est
pas un carr´e dans K, cela implique 2xy = 0 et b=x2+ay2. Comme bn’est pas un carr´e et la
caract´eristique n’est pas 2, 2y6= 0. On en d´eduit que x= 0 et b/a =y2est un carr´e dans K.
Reste le cas K(√a) = K(√b) = Kpour lequel bet asont des carr´es, et leur quotient aussi.
2Comme −1/2 n’est pas un carr´e dans Q, l’exercice pr´ec´edent montre que Q(i) et Q(√2) sont
deux extensions quadratiques distinctes de Q. Le compos´e L=Q(i, √2) est donc une extension
galoisienne de degr´e 4 de Q. On peut d´ecrire l’action du groupe de Galois Gal(L/Q) =
{Id, τ1, τ2, τ3}sur iet √2 :
τ1(i) = −i, τ1(√2) = √2, τ2(i) = i, τ2(√2) = −√2, τ3(i) = −i, τ3(√2) = −√2.
Seul Id laisse fixe l’´el´ement α=i+√2 de L. On en d´eduit que le corps engendr´e par αest
Ltout entier, c’est-`a-dire L=K.
3Comme 5 n’est pas un carr´e dans Q,L/Qest une extension quadratique. Montrons que
2 + √5 n’est pas un carr´e dans L: en effet, si (x+y√5)2= 2 + √5, son conjugu´e v´erifie
(x−y√5)2= 2 −√5 et en faisant le produit, on obtient
(x2−5y2)2= 4 −5 = −1
mais −1 n’est pas un carr´e dans Q, une contradiction. L’extension M/L est donc quadratique,
et [M:Q] = [M:L][L:Q] = 4.. Le g´en´erateur α=p2 + √5 de Msur Qv´erifie (α2−2)2= 5,
son polynˆome minimal sur Qest donc (X2−2)2−5 = X4−4X2−1. Les deux racines
imaginaires de ce polynˆome ne peuvent appartenir `a Mqui est inclus dans R. On en d´eduit que
l’extension M/Qn’est pas galoisienne. D’autre part, une extension quadratique est toujours
galoisienne, c’est donc le cas de M/L et L/Q. Le polynˆome minimal de αsur Lest simplement
X2−2−√5.
4(i) Le discriminant ∆ = a2−4bne doit pas ˆetre un carr´e, sinon le polynˆome serait r´eductible.
Le corps quadratique Q(√∆) contient alors (−a+√∆)/2 et (−a−√∆)/2, dont les racines
carr´ees sont les racines de X4+aX2+b. Ces racines engendrent des extensions quadratiques
de Q(√∆) qui co¨ıncident si et seulement si le quotient
−a−√∆
−a+√∆=a2−∆ (−a+√∆)2=b2 −a+√∆2
est un carr´e dans Q(√∆), ce qui ´equivaut `a dire que blui-mˆeme est un carr´e dans Q(√∆).
L’´equation b= (x+y√∆)2implique que xou yest nul, et best un carr´e ou ∆ fois un carr´e
dans Q.
Ainsi X4+aX2+best r´eductible si et seulement si (−a+√∆)/2 est un carr´e dans Q(√∆).
Dans le cas contraire le corps de rupture associ´e est galoisien si et seulement si beou ∆best
un carr´e dans Q.
(ii) Ainsi si δest positif sans ˆetre un carr´e dans Qet si best n´egatif alors ni bni ∆bne
sont des carr´es dans Qde sorte que X4+aX2+best irr´eductible mais son corps de rupture
n’est pas galoisien.
(iii) Par exemple, pour b= 1 et a=−1 : le polynˆome X4−X2+ 1 est irr´eductible et son
corps de rupture est galoisien sur Q.

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5Le corps Lest le corps de d´ecomposition de X3−2. Comme X3−2 est irr´eductible, Kest
de degr´e 3. Les autres racines ne sont pas r´eelles : le polynˆome X2+3
√2X+3 √4 est donc
irr´eductible sur Ket ses racines engendrent une extension quadratique L=K(j) de K, et
[L:Q] = 6. Le groupe de Galois est un sous-groupe du groupe des permutations des trois
racines : c’est S3tout entier. Ce groupe a 6 sous-groupes : les deux sous-groupes triviaux,
correspondant aux corps Qet L, les trois sous-groupes d’ordre 2 correspondant aux trois corps
cubiques K=Q(3
√2), K′=Q(ρ3
√2) et K′′ =Q(ρ23 √2), enfin le groupe altern´e, d’ordre 3,
correspond au corps quadratique Q(ρ) = Q(√−3).
6On note ζ=e2iπ
5et α=5
√2 dont les polynˆomes minimaux sont respectivement Φ5(X) =
X4+X3+X2+X+ 1 et X5−2. Le corps de d´ecomposition de X5−2 est L=Q[ζ, α] qui
contient entr’autre les corps Q[ζ] et Q[α] qui sont respectivement de degr´e 4 et 5 sur Q. On
en d´eduit alors que [L:Q] est divisible par 5 et 4 et donc par 20. Par ailleurs ζest au plus
de degr´e 4 sur Q[α] de sorte que [L:Q]≤20. Ainsi d’apr`es le th´eor`eme de Galois, Gest de
cardinal 20.
Pour tout σ∈G, on a σ(α)∈ {α, ζα, ζ2α, ζ3α, ζ4α}et σ(ζ)∈ {ζ, ζ2, ζ3, ζ4}. Comme Gest
de cardinal 20, alors pour tout 0 ≤k≤4 et 1 ≤l≤4, il existe σ∈Gtel que σ(α) = αζk,
σ(ζ) = ζl.
Soit alors σ(resp. τ) tel que σ(α) = αζ (resp. τ(α) = α) et σ(ζ) = ζ(resp. τ(ζ) = ζ2) de
sorte que σest d’ordre 5 (resp. d’ordre 4) et que tout ´el´ement de Gs’´ecrit de mani`ere unique
sous la forme σkτlavec 0 ≤k≤4 et 0 ≤l≤3.
Clairement Gn’est pas ab´elien car Q[α]/Qn’est pas galoisien. Par contre il est r´esoluble
car tout groupe de cardinal 20 l’est (le plus petit groupe non r´esoluble est A5).
Remarque : En fait G≃Z/5Z⋉ψZ/4Zo`u ψ:Z/4Z→(Z/5Z)×avec ψ(1) est la multiplication
par 2. On peut d´eterminer tous les sous-groupes de Get donc toutes les sous-extensions de
L, on obtient alors
sous-groupe corps interm´ediaires degr´e sur Q
{1}Q[ζ, α] 20
{1, τ2}Q[α, ζ2+ζ3] 10
{1, στ2σ−1}Q[ζα, ζ2+ζ3] 10
{1, σ2τ2σ−2}Q[ζ2α, ζ2+ζ3] 10
{1, σ3τ2σ−3}Q[ζ3α, ζ2+ζ3] 10
{1, σ4τ2σ−4}Q[ζ4α, ζ2+ζ3] 10
< τ > Q[α] 5
< στσ−1>Q[ζα] 5
< σ2τσ−2>Q[ζ2α] 5
< σ3τσ−3>Q[ζ3α] 5
< σ4τσ−4>Q[ζ4α] 5
< σ > Q[ζ] 4
< σ, τ2>Q[ζ2+ζ3] 2
GQ1
7Si E1et E2sont deux extensions galoisiennes de Falors E1E2et E1∩E2sont galoisiennes
sur Fet on a la suite exacte suivante
Gal(E1E2/F )֒→Gal(E1/F )×Gal(E2/F )։Gal(E1∩E2/F )

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o`u la derni`ere fl`eche n’est un morphisme que si Gal(E1∩E2/F ) est ab´elien et o`u l’image de la
premi`ere est exactement les ´el´ements du groupe produit qui s’envoie sur l’´el´ement neutre de
Gal(E1∩E2/F ). Ici on a E1∩E2=Q[j] o`u jest une racine cubique primitive de l’unit´e de
sorte que le degr´e cherch´e est 18. On v´erifie alors que Gal(E1E2/F ) s’identifie aux ´el´ements
d(σ1, σ2)∈S3×S3tels que ǫ(σ1) = ǫ(σ2) o`u ǫd´esigne la signature.
8Soit Lle corps de d´ecomposition de X6−5 : L=Q[ζ, α] avec α6= 5, α∈Ret ζest une
racine primitive 3-i`eme de l’unit´e de sorte que −ζest une racine primitive 6-i`eme de l’unit´e.
Le degr´e [L:Q] est donc ´egal `a 12 et G≃D6engendr´e par (26)(35) et (123456). Sur Rle
groupe de galois est Z/2Z.
9Comme 3/7 n’est pas un carr´e dans Q, on en d´eduit Q[√3] ∩Q[√7] = Qet donc que
[Q[√3,√7] : Q] = 4 avec pour base 1,√3,√7,√21. Le groupe de Galois est isomorphe `a
Z/2Z×Z/2Zavec (i, j)(√3) = (−1)i√3 et (i, j)(√7) = (−1)j√7. En particulier on remarque
que x=√3 + √7 poss`ede 4 conjugu´es distincts deux `a deux (utilisez que la famille √3 et √7
est libre sur Q). On peut par ailleurs trouver son polynˆome minimal en proc´edant selon le
principe g´en´eral suivant : soit Aet Bdeux polynˆomes irr´eductibles unitaires sur Q. Le syst`eme
en d’´equations A(X) = B(Y−X) = 0 poss`ede comme solutions les couples (xa, xb+xa) o`u xa
(resp. xb) d´ecrit les solutions de A(X) = 0 (resp. B(X) = 0). On consid`ere alors les polynˆomes
A(X) et B(Y−X) comme des polynˆomes `a valeurs dans K[Y] et on introduit leur r´esultant
qui est un polynˆome en Ydont les z´eros sont d’apr`es ce qui pr´ec`ede, exactement les sommes
des z´eros de Aavec ceux de B.
Dans notre cas on a A(X) = X2−3 et B(X) = X2−7. Le r´esultant en question est donn´e
par le d´eterminant
1 0 −3 0
0 1 0 −3
1−2Y Y 2−7 0
0 1 −2Y Y 2−7
soit apr`es calcul Y4−20y2+ 16
10 Le corps de d´ecomposition de X4−2 est E1=Q[i, α] avec α4= 2 qui est de degr´e 8 sur
Qet de groupe de Galois D4. Le corps de d´ecomposition de X3−5 est E2=Q[j, β] qui est
de degr´e 6 et de groupe de Galois S3sur Q. Comme les extensions Ei/Qsont galoisiennes
le degr´e de [E1E2:Q] = [E1:Q].[E2:Q]/[E1∩E2:Q] et on est donc ramen´e `a ´etudier
E1∩E2qui est donc de degr´e sur Qun diviseur de 6 et 8 et donc ´egal `a 1 ou 2. Il faut
donc ´etudier les extensions de degr´e 2 contenues dans E1et E2ce qui revient `a ´etudier les
sous-groupes d’indice 2 dans les groupes de Galois respectifs. En ce qui concerne E2, le seul
sous-groupe d’indice 2 de S3est A3(utilisez que la signature est le seul morphisme non trivial
de S3։Z/2Z) et donc Q[j] est la seule extension quadratique contenue dans E2. En ce qui
concerne E1, les sous-groupes Hd’indice 2 de D4sont soit D+
4≃Z/4Zcorrespondant aux
rotations ; sinon H∩D+
4ne peut pas ˆetre r´eduit `a l’identit´e c’est donc le sous-groupe d’indice
2 de D+
4´egal `a ±Id et Hest alors ´egal `a {±Id, σD, σD⊥} ≃ Z/2Z×Z/2Zo`u σDest la r´eflexion
par rapport `a la droite D(diagonale ou m´ediatrice du carr´e). Les corps correspondant sont
alors Q[i], Q[√2] et Q[i√2]. Comme 2/−3, 2/3 et −1/−3 ne sont pas dans (Q×)2, les
extensions pr´ec´edentes sont distinctes deux `a deux et E1∩E2=Q. Ainsi le groupe de Galois
est le groupe produit D4×D3.
11 Comme 2/5 n’est pas un carr´e de Q,Q[√2,√5]/Qest de degr´e 4 de groupe de Galois
Z/2Z/2 : les extensions quadratiques contenue dans Q[√2,√5] sont Q[√2], Q[√5] et Q[√10]