entilles minces - Jean

Lentilles
I77. Phare.
Un phare est constitué par un filament lumineux de 1 cm de long et par une lentille de diamètre 2 cm. Lorsque celleci est à 11 cm du filament, elle en donne une image nette sur un écran situé à 110 cm de la lentille.
1) Quelle est la taille de cette image ?
2) Quelle est la distance focale de la lentille ?
3) Le filament étant à 10 cm de la lentille, quelle est la taille de la région éclairée à 100 mètres de la lentille ?
2 cm
30 cm
II64. Lunette.
Une lunette est constituée d’un objectif de
distance focale f1’ = 30 cm et de rayon r1 = 4 cm ,
d’un diaphragme de rayon r = 1 cm qui ne laisse
passer que les rayons situés à son niveau à moins de
1 cm de son axe et d’un oculaire de distance focale
f2’ = 2 cm. La distance entre le diaphragme et
l’objectif est 30 cm et celle entre le diaphragme et
l’oculaire est 2 cm. L’objectif, le diaphragme et l’oculaire ont même axe.
1) Une étoile envoie des rayons parallèles entre eux et inclinés sur l’axe d’un angle α = 0,001 radian. En quel point
(position longitudinale et transversale) se forme l’image que donne l’objectif de cette étoile ?
2) Déterminer l’image que donne la lunette de l’étoile.
3) On appelle grossissement le rapport des angles sous lequel on voit un objet à travers l’instrument et à l’œil nu.
Quel est le grossissement de la lunette ?
4) En raison du diaphragme, seules sont visibles à travers la lunette les étoiles dont la direction fait avec l’axe un
angle borné par β. Calculer β.
5) On regarde dans la lunette à l’envers. Que devient le grossissement ?
6) Où se trouve le cercle oculaire, c’est-à-dire l’image que l’oculaire donne de l’objectif ? Quel est son rayon ?
7) On veut que la lunette donne d’un objet situé à 10,3 m de l’objectif une image à l’infini. Quel est le sens et la
grandeur du déplacement de l’oculaire nécessaire ?
8) Dessiner la marche du faisceau de rayons venant de l’étoile située dans une direction inclinée sur l’axe de l’angle
β. En déduire le rayon minimum de l’oculaire pour que celui-ci ne gêne pas la vision.
III50. Lunette.
Une lunette est constituée d’un objectif formé par une lentille mince convergente L1, de distance focale f’1 = 10 cm et
de diamètre d’ouverture d1 = 3 cm, et d’un oculaire formé par une lentille mince convergente L2, de distance focale
f’2 = 2 cm et de diamètre d’ouverture d2 = 1 cm. La distance entre L1 et L2 est réglable. Le lunette est réglée de façon à
donner d’un objet à l’infini une image à l’infini.
1) Calculer la distance L entre les deux lentilles.
2) Soit un objet AB frontal à distance finie. On appelle A1B1 l’image qu’en donne l’objectif et A’B’ l’image qu’en
A'B '
donne le viseur. Calculer le grandissement γ =
.
AB
3) Si A se déplace de ∆A , son image A’ se déplace de ∆A ' . Calculer le grandissement axial de la lunette, c’est-à∆A '
dire g =
. Pour trouver la relation entre A et A’, on pourra utiliser les formules de Newton.
∆A
4) Soit un objet à l’infini dans une direction faisant l’angle α avec l’axe ; son image est à l’infini dans une direction
α'
.
faisant l’angle α ' avec l’axe. Calculer le grossissement G =
α
5) Comme les rayons lumineux sont obligés de traverser l’objectif, ils sont obligés, après avoir traversé l’oculaire, de
passer par l’image que l’oculaire donne de l’objectif, qu’on appelle cercle oculaire. Déterminer la position du centre C
du cercle oculaire.
6) Déterminer le diamètre dC du cercle oculaire.
7) Dessiner avec soin la marche d’un faisceau lumineux arrivant parallèle sur l’objectif, incliné alors d’un angle α
sur l’axe et éclairant tout l’objectif. Pour cela, représenter les rayons extrêmes de ce faisceau et hachurer la région où il
y a de la lumière.
IV35. Viseur.
1) Un viseur est constitué d’un objectif formé par une lentille mince convergente L1, de distance focale f’1 = 10 cm et
de diamètre d’ouverture d1 = 3 cm, et d’un oculaire formé par une lentille mince convergente L2, de distance focale
f’2 = 2 cm et de diamètre d’ouverture d2 = 1 cm. La distance entre L1 et L2 est réglable. Le viseur est réglé de façon que
ce viseur donne d’un objet réel situé à 20 cm de l’objectif une image à l’infini. Quelle est la distance L entre L1 et L2 ?
DS : lentilles, page 1
2) Un objet AB situé à 20 cm de l’objectif est vu sous l’angle α ' à travers le viseur. Calculer la puissance du viseur
α'
P =
en dioptries.
AB
3) Comme les rayons lumineux sont obligés de traverser l’objectif, ils sont obligés, après avoir traversé l’oculaire, de
passer par l’image que l’oculaire donne de l’objectif, qu’on appelle cercle oculaire. Déterminer la position du centre C
du cercle oculaire.
4) En accommodant, l’observateur peut voir net des objets situés à une distance de lui comprise entre δ = 12,5 cm et
l’infini. Dans quelle région doit se trouver un objet pour que l’œil placé en C puisse le voir net à travers le viseur en
accommodant, C étant l’image que l’oculaire donne du centre optique de l’objectif ?
V59. Correction de la vue par une lentille.
1) On modélise un œil myope par une lentille mince, le cristallin, placée à la distance d = 23 mm d’un écran, la
rétine. Cet œil est capable de voir nets les objets situés à une distance comprise entre ∆ = 1 mètre et δ = 0,1 mètre en
faisant varier la vergence du cristallin. Dans quel intervalle peut-il la faire varier ?
2) Quelle lentille faut-il accoler à l’œil pour qu’il soit capable, en accommodant, de voir nets les objets entre l’infini
et la distance la plus courte possible ? Quelle est cette dernière distance ?
VI91. Mesure de distance focale d’une lentille.
1) Pour mesurer la distance focale f1′ d'une lentille convergente, l'on forme avec cette lentille sur un écran l'image
d'un objet transversal de longueur 20 mm. Lorsque cette image, renversée, mesure aussi 20 mm, la distance entre l'objet
et l'image est d = 124 cm. Déterminer f1′ .
2) On accole à cette lentille une autre lentille. Lorsque l'image, renversée, du même objet mesure 20 mm, sa distance
à l'objet est d’ = 248 cm. Quelle est la distance focale f2′ de la seconde lentille ?
VII75. Appareil photographique.
Un appareil photographique est constitué d'une lentille mince de vergence +20 dioptries qui donne sur la pellicule
une image nette de l'objet photographié.
1) Quelle est la distance entre l'objectif et la pellicule pour photographier une montagne de 500 m de haut située à 10
km ?
2) Quelle est la taille de l'image de la montagne sur la pellicule ?
3) Quelle est la distance entre l'objectif et la pellicule pour photographier une fleur de 0,1 m de haut située à 1 m de
l’objectif ?
4) Quelle est la taille de l'image de la fleur sur la pellicule ?
5) On appelle tirage la distance dont on a déplacé l'objectif par rapport à la pellicule par rapport au cas de la mise au
point sur un objet à l’infini. Calculer le tirage lors de la photographie de la fleur.
6) Le tirage peut varier entre zéro et cette valeur. Dans quel intervalle peut varier la distance entre un objet à
photographier et l’objectif pour que la mise au point soit possible ?
7) On accole à l'objectif une bonnette, constituée par une lentille de vergence + 2 dioptries. A quelle distance de
l'objectif faut-il que se trouve la fleur photographiée nette lorsque la distance entre l'objectif et la pellicule est celle de la
question 1) ?
8) Quelle est alors la taille de son image sur la pellicule ?
9) A quelle distance de l'objectif faut-il que se trouve la fleur photographiée nette lorsque la distance entre l'objectif
et la pellicule est celle de la question 3) ?
10) Dans quel cas, avec ou sans bonnette, la mise au point doit-elle être la plus précise ?
11) On appelle amplitude dioptrique la variation de l'inverse de la distance entre l'objet photographié et l'objectif
quand on fait varier la distance entre la pellicule et l'objectif. Montrer que la bonnette ne modifie pas l'amplitude
dioptrique.
12) Dans des bonnes conditions d'éclairage, l'œil ne peut séparer deux détails que s'il les voit sous un angle supérieur
à α = 3.10–4 radian . Quelle est la taille du plus petit détail qu'il peut discerner sur une photographie située à 25 cm de
son œil ?
13) Même question en regardant la photographie à travers une lentille de vergence +50 dioptries placée à 2 cm
d'elle ?
VIII52. Lunette astronomique.
On observe deux étoiles Ea et Eb à l’aide d’une lunette astronomique et d’un détecteur. Les deux étoiles Ea et Eb
sont considérées ponctuelles et à l’infini, séparées par une distance angulaire θ , l’étoile Ea étant située dans la
direction de l’axe optique de la lunette.
La lunette astronomique d’axe optique z ′z (Figure 1) est constituée d’un objectif assimilé à une lentille mince
convergente L1 de diamètre D1 = 50 cm et de distance focale image f1′ = 7, 5 m associé à une lentille divergente L2
de distance focale image f2′ = −0, 025 m . On désigne respectivement par O1 et O2 , par F1 et F1′ , F2 et F2′ , les
centres optiques, les foyers objet et image des lentilles L1 et L2 .
DS : lentilles, page 2
1. Quelle est la forme et la direction des faisceaux lumineux des ondes 1 et 2, respectivement émises par les étoiles
Ea et Eb , lorsqu’elles parviennent sur la lunette ?
2. On appelle A1 l’image de l’étoile Ea à travers la lentille L1 . De même, B1 désigne l’image de Eb à travers L1 .
a) Dans quel plan se situent A1 et B1 ? Donner la distance algébrique A1B1 .
b) La lentille L2 est placée peu avant le plan où se forment les images A1 et B1 . On appelle respectivement A2 et
B2 les images de Ea et Eb à travers la lunette. Sachant que
A2 B2
= 2 , exprimer et calculer la distance O2 A1 .
A1B1
3. On définit la distance focale f ′ de la lunette par la relation A2 B2 = f ′θ .
a) Calculer la distance focale f ′ de la lunette.
b) Calculer A1A2 .
c) Quel est l’intérêt d’ajouter la lentille L2 ? Quel est son inconvénient ?
4. On place dans le plan où se forment les images A2 et B2 , une caméra à DTC (Dispositif à Transfert de Charge).
Ce récepteur d’images est composé d’une matrice rectangulaire de 768 × 512 détecteurs élémentaires, appelés pixels,
de forme carrée, de côtés a1 = 9 µm . On suppose que la lunette est librement orientable.
Une image parfaite à travers la lunette d’un point situé à l’infini, produit sur le détecteur un signal donnant une image
dont la dimension ne peut être inférieure à la taille d’un pixel.
Exprimer et calculer en seconde d’arc, la limite de séparation angulaire θ min de deux étoiles due au récepteur
d’image. Quelle est la plus grande valeur de séparation angulaire décelable θ max de deux étoiles en minute d’arc ?
IX22. Microscope.
Un microscope porte les indications suivantes : sur son objectif : x40 ; sur son oculaire: x10. La notice du
constructeur précise : ouverture numérique de l'objectif ω0 = 0, 65 , intervalle optique ∆ = 16 cm . La signification de
ces indications sera précisée dans la suite. On modélise ce microscope par deux lentilles minces convergentes,
l’objectif, de centre optique O1 et de foyers F1 et F1′ , et l’oculaire, de centre optique O2 et de foyers F2 et F2′ .
L’intervalle optique ∆ = F1′F2 est positif, c’est-à-dire dans le sens de propagation de la lumière.
Soit un objet réel AB, perpendiculaire à l'axe optique, A étant sur l'axe, un peu plus loin de l'objectif que le foyer
objet de cet objectif ; l’objectif donne de AB une image intermédiaire A1B1 ; l’oculaire donne de A1B1 une image A'B'.
Nous supposerons cette image à l’infini. Elle est observée par un œil situé au voisinage du foyer image de l'oculaire. Cet
œil est dit emmétrope, car il est capable d’accommoder pour voir nets les objets situés entre la distance δ = 25 cm et
l'infini.
1) Faire un schéma qualitatif du dispositif, sans chercher à respecter les proportions entre les longueurs données par
l’énoncé, et tracer la marche de deux rayons lumineux issus du point B, l'un émis parallèlement à l'axe optique, l'autre
passant par F1 .
2) L'indication portée sur l'oculaire (x10) est le grossissement commercial G2 = 10 de l’oculaire, c’est-à-dire le
rapport de l'angle α ′ sous lequel on voit l'image à l'infini d'un objet à travers l'oculaire seul (et non à travers le
microscope) et de l'angle α sous lequel on voit ce même objet à l'œil nu lorsqu'il est situé à la distance minimale de
vision distincte. Déterminer f2′ , distance focale image de l'oculaire.
3) L'indication portée sur l'objectif (x40) est la valeur absolue du grandissement γ1 = A1B1 / AB de l'objectif :
γ1 = 40 . Calculer f1′ , distance focale image de la lentille équivalente à l'objectif .
4) Calculer la distance O1A entre l'objet et l’objectif.
5) Calculer la latitude de mise au point, c’est-à-dire la variation de la distance O1A compatible avec une vision nette
de l'image finale par l'observateur, dont l'œil est au foyer image de l'oculaire. Interpréter le résultat obtenu.
6) Calculer dans le cas d'une image finale à l'infini le grossissement commercial G du microscope.
DS : lentilles, page 3
7) L'ouverture numérique du microscope, ω0 , correspond à n sin u , n indice du milieu dans lequel plonge
l'objectif, u angle maximum des rayons issus de A arrivant sur l'objectif. Calculer u pour un objectif plongé dans l'air.
Le microscope est-il utilisé dans les conditions de Gauss ? Quel est l'ordre de grandeur du diamètre D de la monture de
l'objectif ?
8) Déterminer la position C et le diamètre d du cercle oculaire, image de la monture de l'objectif à travers l'oculaire.
Quel est l'intérêt de placer l'œil sur le cercle oculaire ?
X42. L’objectif photographique.
Dans tout le problème, on supposera l'approximation de Gauss valable.
Les lentilles seront désignées par la lettre L, leurs foyers objet et image étant respectivement F et F', leur centre optique
O, leur distance focale image f'.
On notera A et A' respectivement, le couple de points conjugués objet et image.
1° Objectif simple.
Un objectif photographique est modélisé par une lentille mince de distance focale image f' = 50 mm. La mise au point
s'effectue en déplaçant l'objectif par rapport à la pellicule (P).
a. Où faut il placer la pellicule pour photographier un immeuble de 20 m de haut, situé à 1 km du centre O ? Calculer la
grandeur A ' B ' de son image.
b. Le tirage t de l'appareil est la distance dont il faut déplacer l’objectif par rapport à la pellicule pour photographier un
objet à distance finie au lieu d’un objet à l’infini. Le tirage maximum permet de photographier un objet situé à
δ = 0, 9 m de l’objectif. Quel est ce tirage maximum ?
c. On suppose la mise au point faite sur l'infini.
L'objectif possède un diaphragme à iris d'ouverture réglable, placé contre la lentille. Son diamètre D s'exprime en
fonction de la distance focale f' et de l'ouverture n suivant la relation D = f’/n. La structure du film étant granulaire, la
tache image correspondant à un objet ponctuel a le diamètre d'un grain a = 25 µm = 25. 10–6 m. Déterminer l'ensemble
des positions d'un objet A sur l'axe optique donnant une image aussi nette que pour un point à l'infini.
Application numérique : Calculer la distance minimale de cet objet au centre optique, l'ouverture étant n = 16.
d. On appelle limite de résolution, la distance minimale de deux objets A et B dans un plan perpendiculaire à l'axe, dont
les images A' et B’ sont distinctes sur la pellicule. Cette distance A'B' doit être supérieure au grain de la pellicule a.
Déterminer cette limite en fonction de a, f', AF .
Application numérique : Comment placer l'objectif par rapport à A pour que cette limite de résolution soit la plus faible
possible. La calculer.
2° Téléobjectif.
Pour augmenter le grandissement de l'image et abaisser la limite de résolution, il faut utiliser des objectifs de grande
focale, ce qui conduit à des appareils encombrants et lourds.
On préfère utiliser deux lentilles, L1 convergente de distance focale f’1 = 50 mm et L2 divergente, placée derrière, de
distance focale f’2 = – 20 mm. La distance des centres optiques est O1O2 = 35 mm.
a. Calculer numériquement la position du foyer image F' du système, c’est-à-dire l’image du point à l’infini dans le
système.
b. Déterminer la grandeur de l'image de l'objet AB défini en 1° a.
c. Quelle serait la distance focale d'une lentille convergente unique donnant une image de même grandeur ? Intérêt du
dispositif ?
3° Aberration chromatique.
La vergence d’une lentille d’indice n et dont les faces ont pour sommets S1 et S2 et pour centres C1 et C2 est
⎛ 1
1 ⎞⎟
⎟.
−
V = (n − 1) ⎜⎜
⎜⎝ S1C 1 S 2C 2 ⎠⎟⎟
Pour corriger le chromatisme de l'objectif, on associe deux lentilles L1 et L2, respectivement
convergente et divergente.
Les centres optiques étant pratiquement confondus (lentilles accolées) :
B
L1 est d'un verre d'indice n1 = 21 + C 1 C 1 = 1, 515 B1 = 4, 5.10−15 m -2 ;
λ
B
L2 est d'un verre d'indice n2 = 22 + C 2 C 2 = 1, 652 B2 = 7, 4.10−15 m -2 .
λ
DS : lentilles, page 4
a. Donnez sans démonstration la vergence de la lentille unique équivalente en fonction de f'1 et f’2 ?
b. L1 est équiconvexe, ses rayons de courbure égaux ont pour valeur absolue R1. L2, accolée, a un rayon de courbure
arithmétique R1, sa face non accolée a un rayon de courbure algébrique R2. Calculer R1 et R2 pour que la lentille
équivalente ait une distance focale f' = 5 cm, indépendante de la longueur d'onde.
Réponses
I. 1) 10 cm ; 2) f ′ = 10 cm ; 3) Dα ′ = 10 m .
II. 1) dans le plan du diaphragme, à
0,3 mm de l’axe ; 2) à l’infini dans une
direction inclinée de 0,015 radian sur
f′
l’axe ; 3) G = 1 = 15 ; 4)
f2′
2 cm
30 cm
r2,min
1
r
= 0, 0333 rad ; 5) G =
; 6)
′
f1
15
2,133 cm derrière l’oculaire ; rayon
0,267 cm ; 7) reculer l’oculaire de 0,9
cm ; 8) r2 min = 1, 33 cm .
β=
III. 1) L = f1′ + f2′ = 12 cm ; 2) γ = −
g =
f2′
2
f1′
2
= 0, 04 ; 4) G =
Figure 3
f2′
= −0, 2 ; 3)
f1′
f1′
= 5 ; 5)
f2′
2
d f′
−f2′
= 0, 4 cm ; 6) dC = 1 2 = 0, 6 cm ; 7) voir
f1′
F2O1
ci-contre.
1
IV. 1) L = 2f1’ + f2’ = 22 cm ; 2) P =
= 50 dioptries ;
f2′
F2′C =
−f2 '2
= 0, 2 cm ; 4) à une distance de l’objectif
F2O1
du viseur comprise entre 19,685 et 20 cm.
1
1
1 1
= 44, 5 dioptries et V1 = + = 53, 5 dioptries ; 2) V2 = −1/ ∆ = −1 dioptrie ;
V. 1) entre V0 = +
d
∆
d
δ
1
δ′ =
= 0,111m .
V2 + 1/ δ
D
VI. 1) f ′ =
= 31 cm ; 2) f2′ = −62 cm .
4
f ′ ⋅ AB
1
= 2, 5 mm ; 3) p ′ =
= 5, 263 mm ; 4) A′ B ′ = 5, 26 mm ; 5)
VII. 1) 50 mm ; 2) A′ B ′ =
D
V + 1/ p
1
= −0, 5 m ; 8) A′ B ′ = 10 mm ; 9)
2, 63 mm ; 6) entre l’infini et 1 m ; 7) p =
1/ p ′ − V
1
p=
= −0, 333 m ; 10) avec la bonnette, la mise au point doit être plus précise ; 12) AB = δα = 75 µm ;
1/ p ′ − V
13) AB = f ′α = 6 µm .
3) F2 'C =
• VIII. 1) Ea envoie un faisceau de rayons parallèles à l’axe ; Eb envoie un faisceau de rayons parallèles entre eux
et faisant l’angle θ avec l’axe ; 2.a) A1 et B1 sont dans le plan focal image de L1 , f1′ = 7, 5 m derrière cette lentille ;
A1B1 = f1′θ ; 2.b) O2 A1 = 0, 0125 m ; 3.a) f ′ = 2 f1′ = 15 m ; 3.b) A1A2 = 0, 0125 m ; 3.c) L2 réduit la taille du
dispositif et le champ transversal ; 4) θ min = A2B2 / f ′ = 0,124 seconde ;
θ max = 6.10−7 × 7682 + 5122 = 1, 9 minute .
δ
IX. 1) voir ci-contre ; 2) f2′ =
= 2, 5 cm ; 3)
G2
∆
f1′ =
= 0, 4 cm ; 4) O1 A = 0, 41 cm ; 5) 1, 54 µm ; 6)
γ1
G = G2 γ1 = 400 ; 7) u = 40, 5° ; conditions de Gauss
B
A
DS : lentilles, page 5
F2 = A1
F1
F1′
B1
F2′
non vérifiées ; D = 2O1A tan u = 0, 7 cm ; 8) O2 C = 2, 88 cm ; d = 0,106 cm ; l’œil recueille toute la lumière.
f ′2
a.FA
; optimum
X. 1° a. 50 mm derrière L ; A′ B ′ = 1 mm ; b. 2, 94 mm ; c. −p >
= 6, 25 m ; d. AB >
na
f′
AF = 0, 85 m ; alors AB = 0, 425 mm ;
2° a. O1F ′ = 95 mm ; b. 4 mm ; c. f ′ = 4 f1′ = 200 mm ; moins encombrant.
1
1
1
⎡
B ⎤
R1
3° a. V =
=
+
; b. R1 = 2 f ′ ⎢ (C 1 − 1 ) − (C 2 − 1 ) 1 ⎥ = 1,185 cm ; R2 =
= 5, 48 cm .
B
B
2
/
⎢
⎥
f′
f1′
f2′
⎣
2 ⎦
1 B2 − 1
DS : lentilles, page 6
Corrigé
I.
p′
110
=
= 10 : l’image du filament mesure 10 cm de long.
p
11
1
1
1
1
1
=
− =
−
⇒ f ′ = 10 cm
2)
110 −11
f′
p′ p
3) L’image du filament est à l’infini ; sa taille est α ′ = AB / f ′ = 0,1 radian . A D = 100 m , elle éclaire sur une
largeur Dα ′ = 10 m .
1) γ =
II.
1) La figure 1 montre que A1 B1 = f 1′α = 300 × 0,001 = 0,3 mm : l’image intermédiaire
B1 de l’étoile est dans le plan du diaphragme, à 0,3 mm de l’axe.
AB
0,3
= 0,015 radian : l’image B' de l’étoile à
2) La figure 2 montre que α ′ = 1 1 =
f 2′
20
travers la lunette est à l’infini dans une direction inclinée de 0,015 radian sur l’axe.
α ′ f 1′
3) G =
=
= 15 .
f 2′
α
4) Seules sont visibles les étoiles dont l’image intermédiaire est à l’intérieur du
r
1
diaphragme : A1 B1 ≤ r α ≤ β =
=
= 0,0333 rad .
f 1′ 30
1
.
15
6) Le centre du cercle oculaire est l’image O'1 que donne l’oculaire de O1 ; son rayon
r1′ est la taille de l’image du rayon r1 de l’objectif :
5) D’après le principe du retour inverse de la lumière, G =
O 2 O1′ = p ′ =
B à l’∞
α
A1 = F'1
B1
Figure 1
B' à l’∞
A1 = F2
α'
B1
Figure 2
32
1
1
=
=
= 2,133 cm
1 1
1
1 15
+
+
− 32 2
p f 2′
p′
32 / 15 4
=4
=
= 0,267 cm
p
32
15
Le cercle oculaire est 2,133 cm derrière l’oculaire et a pour rayon 0,267 cm.
30 2
7) F1 A.F1′A1 = − f 1′ 2 F1′A1 = −
= 0,9 cm . A1 doit coïncider avec F2, donc il faut reculer l’oculaire de 0,9 cm.
− 1000
8) La distance à l’axe d’un point d’un
2 cm
30 cm
rayon varie linéairement avec l’abscisse
de ce point sur l’axe ; appliquons cette
propriété au rayon extrême, passant par
le bas de l’objectif et le haut du
r2,min
diaphragme :
r1 + r
r
−r
= 2 min
f1′
f2′
Figure 3
( r + r ) f2′
r2 min = r + 1
f1′
( 4 + 1) × 2
=1+
= 1, 33 cm
30
r1′ = r1
F1′ = F2
III.
1) Pour que F1′ soit confondu avec F2, il faut que L = f1′ + f2′ = 12 cm .
A'B '
f′
= − 2 = −0, 2 .
2) La figure montre que γ =
f1′
AB
DS : lentilles, page 7
⎧
⎪⎪ F1A ⋅ F1′A1 = −f1′ 2
3) ⎪⎨
⎪⎪ F A ⋅ F ′A′ = −f ′ 2
2
⎪
⎩ 2 1 2
2
F2A '
f′
= 2 2 = 0, 04 .
F1A
f1′
4) D’un objet à l’infini vu sous l’angle α, l’objectif donne une image intermédiaire A1B1 = f1′α ; l’oculaire en donne
α'
AB
f′
= 1 = 5.
une image à l’infini vue sous l’angle α ' = 1 1 . D’où G =
α
f2′
f2′
5) La position et la grandeur du cercle oculaire peuvent être
déterminées en utilisant les formules de Newton :
2
F2O1 ⋅ F2′C = −f2′
Comme F2 et F1′ sont confondus, en prenant le rapport membre à membre : g =
2
22
−f2′
=−
= 0, 4 cm .
−10
F2O1
d
f′
d f′
3×2
= 0, 6 cm .
6) γ2 = C = 2 ⇒ dC = 1 2 =
d1
10
f1′
f1′
7) Voir ci-contre. L’angle d’inclinaison est très exagéré
(parce que le dessin est alors plus facile à réaliser), ce qui
oblige à dessiner un oculaire dont le diamètre d’ouverture est
plus grand qu’en réalité.
F2′C =
IV. Viseur.
1) L’objectif travaille dans la situation de la méthode de
Silbermann, formant d’un objet réel qui lui est distant de 2f1’ une image réelle située en F2 à 2f1’ de lui. L = 2f1’ + f2’ =
22 cm.
2) A1B1 = AB
AB
α′ = 1 1
f2′
P =
α′
1
=
= 50 dioptries .
AB
f2′
3) En utilisant les formules de Newton, F2O1 .F2 'C = −f2 '2 , d’où F2 'C =
22
−f2 '2
=−
= 0, 2 cm .
−20
F2O1
4)
CA′ = −12, 5 cm ⇔ F2′A′ = 0, 2 − 12, 5 = −12, 3 cm ⇔ F2A1 = −
f2′2
22
40
cm
=−
=
−
12,
3
123
F2′A′
40
1270
102 × 123
f ′2
=
= −9, 685 cm
cm ⇔ F1A = − 1 = −
123
123
1270
F1′A1
Donc, en accommodant, on peut voir net à une distance de l’objectif du viseur comprise entre 19,685 et 20 cm. La
profondeur de champ est faible, ce qui explique la précision des pointés longitudinaux réalisés avec un viseur.
F1′A1 = 10 +
V.
1
1
1
1
1
1
− = +
=
+ = 44, 5 dioptries .
∆
d
0, 023 1
p′ p
1
1
1 1
1
1
− = + =
+
= 53, 5 dioptries .
En accommodant au maximum, p ′ = d p = −δ V1 =
δ
d
0, 023 0,1
p′ p
2) Première solution : la lentille accolée à l’œil, de vergence V2 , donne d’un objet à l’infini une image situé à la
distance ∆ de l’œil, donc f2′ = −∆ = −1 m V2 = 1/ f2′ = −1 dioptrie ; en accommodant au maximum, on voit
1) Sans accommodation, p ′ = d
p = −∆
V0 =
un objet distant de δ ′ dont la lentille donne une image distant de δ , d’où
1
1
1 1
1
1
p = −δ ′ p ′ = −δ V2 =
− = −
δ′ =
=
= 0,111 m .
′
′
δ
+
δ
−
+
1/
1
1/ 0,1
p
V
δ
p
2
Deuxième solution : le cristallin et la lentille équivalent à une lentille unique ; sans accommodation,
p = ∞ p ′ = d V0 + V2 = 1/ d V2 = 1/ d − ( 1/ d + 1/ ∆ ) = −1/ ∆ = −1 dioptrie . En accommodant au
DS : lentilles, page 8
maximum, on voit à la distance δ ′ : V1 + V2 =
1
1
1 1
1
+ . Or V1 = + et V2 = − , d’où
′
d
d
δ
∆
δ
1
1
1
= −
⇒ δ ′ = 0,111 m .
δ ∆
δ′
VI.
D
124
=
= 31 cm .
4
4
D′
248
=
= 62 cm . Comme les vergences de lentilles accolées
2) La distance focale de l’ensemble est f ′ =
4
4
1
1
1
1
1
1
1
1
1−2
1
s’ajoutent,
= +
⇒
=
− =
−
=
=−
⇒ f2′ = −62 cm
62
62
f′
f1′ f2′
f2′
f ′ f1′ 62 31
1) C’est la méthode de Silbermann : f ′ =
VII.
1) L’objet est pratiquement à l’infini, donc le film est dans le plan focal image, soit à 1/50 m = 50 mm de l’objectif.
AB
A′B ′
f ′ ⋅ AB
0, 05 × 500
B
=α=
⇒ A′B ′ =
=
= 0, 0025 m = 2, 5 mm .
2)
10000
D
D
f ' A'
f′
α
A
1
1
1
B'
D
− = V p′ =
= 0, 05263 m = 5, 263 mm .
3)
V + 1/ p
p′ p
A′B ′
p′
5, 263
4)
=
A ′ B ′ = 0,1
m = 5, 26 mm .
1
AB
p
5) Le tirage est la différence entre les valeurs de p ′ calculées aux questions 3) et 1) soit 52, 63 − 50 = 2, 63 mm .
6) On peut photographier des objets dont la distance à l’objectif est comprise entre l’infini et 1 m.
7) Comme deux lentilles accolées équivalent à une lentille dont la vergence est la somme de leurs vergences,
1
1
1
1
− = V = 20 + 2 = 22 dioptries p =
=
= pmax = −0, 5 m .
1/ 0, 05 − 22
p′ p
1/ p ′ − V
p′
0, 05
= 0,1 ×
= 0, 01 m = 10 mm .
p
0, 5
1
1
9) p =
=
= pmin = −0, 333 m
1/ 0, 05263 − 22
1/ p ′ − V
8) A ′ B ′ = AB
10) Avec la bonnette, la mise au point doit être plus précise, car l’intervalle de p correspondant au tirage est
beaucoup plus petit : une petite erreur sur l’évaluation de p entraînera une photographie floue.
1
1
1
1
1
1
⎛ 1
⎞ ⎛ 1
⎞
−
. Comme
est le même en présence
11)
−
= ⎜⎜
+ V ⎟⎟⎟ − ⎜⎜
+ V ⎟⎟⎟ =
−
⎝ pmin
⎠ ⎝ pmax
⎠
′
′
′
′
pmin
pmax
pmin
pmax
pmin
pmax
1
1
ou en l’absence de la bonnette, qui fait varier V ,
est le même en présence ou en l’absence de la bonnette.
−
pmin
pmax
12) AB = δα = 250 × 3.10−4 = 0, 075 mm = 75 µm .
13) AB = f ′α = 20 × 3.10−4 = 0, 006 mm = 6 µm .
VIII.
1) Ea envoie un faisceau de rayons parallèles à l’axe; Eb envoie un faisceau de rayons parallèles entre eux et faisant
l’angle θ avec l’axe.
2.a) A1 et B1 sont dans le plan focal image de L1 , f1′ = 7, 5 m derrière cette lentille. A1B1 = f1′θ .
2.b) On peut appliquer à la seconde lentille :
• soit les formules de Descartes :
p′
1
1
1
1
1
γ2 =
=2
− =
⇒− =
O2 A2 = −f2′ = 0, 025 m O2 A1 = 0, 0125 m
p
p′ p
f′
p′
f′
x′
f
=−
x
f′
′
x = −f / 2 = −0, 025 / 2 = −0, 0125 m x = −2 f ′ = 2 × 0, 025 = 0, 05 m .
•
soit les formules de Newton γ2 = −
O2 A2 = O2 F2′ + F2′A2 = −0, 025 + 0, 05 = 0, 025 m
3.a) f ′ =
O2 A1 = O2 F2 + F2 A1 = 0, 025 − 0, 0125 = 0, 0125 m .
A2 B2
AB
AB
= 2 2 × 1 1 = 2 f1′ = 15 m .
θ
A1B1
θ
DS : lentilles, page 9
3.b) A1A2 = A1O2 + O2 A2 = −0, 0125 + 0, 025 = 0, 0125 m .
3.c)Pour obtenir une image de même taille avec une seule lentille de distance focale f1′ , il faut que f1′ = f ′ = 15 m .
La présence de L2 réduit la taille du dispositif de 15 à 7,5 m. Par contre, elle réduit aussi le champ transversal, limité à
la largeur de L2 .
4) θ min = A2 B2 / f ′ = 9.10−6 /15 = 6.10−7 rad = 6.10−7 × 180 × 60 × 60 / π = 0,124 seconde .
θ max = 6.10−7 × 7682 + 5122 = 5, 54.10−4 rad = 5, 54.10−4 × 180 × 60 / π = 1, 9 minute .
IX.
1) Voir ci-contre.
2)
B
α′
δ
AB
AB
α ′ = 1 1 α = 1 1 G2 =
=
F2 = A1
F1
δ
α
f2′
f2′
A
F1′
δ
25
=
= 2, 5 cm
f2′ =
G2
10
B1
∆
AB
F ′A
16
=
= 0, 4 cm .
f1′ =
3) γ1 = 1 1 = 1 1
γ1
40
AB
f1′
1
1
1
1
1
4)
− =
⇒p=
=
= −0, 41cm : O1 A = 0, 41cm .
1
1
1
1
p′ p
f′
−
−
16 + 0, 4 0, 4
p′ f ′
2
5) F2′A ′.F2 A1 = − ( f2′ )
F2′
−2, 52
= 0,25 cm
−25
2
( f1′)
0, 42
=−
= 0, 009846 cm
F1 A = −
16, 25
F1′A1
F2 A1 =
F1′A1 = 16 + 0, 25 = 16,25 cm
0, 42
= 0, 01cm , d’où la latitude de mise au point due à la capacité de l’œil d’accommoder
16
0, 01 − 0, 009846 = 0, 000154 cm = 1, 54 µm .
au lieu de F1 A = −
La mise au point n’est pas facile, car l’on ne voit net dans le microscope que pour une position très précise de
l’objectif par rapport à l’objet.
Si on regarde un milieu transparent, on ne voit net qu’une très mince tranche de ce milieu, d’épaisseur de l’ordre du
micromètre.
α′
α′
AB
=
× 1 1 = G2 γ1 = 10 × 40 = 400 .
6) G =
AB / δ
A1B1 / δ
AB
7) u = arcsin ( 0, 65 ) = 40, 5° . Les conditions de Gauss ne sont pas vérifiées avec une seule lentille.
D = 2O1A tan u = 2 × 0, 41 × tan ( 40, 5° ) = 0, 7 cm .
2
8) F2′C = −
( f2′ )
F2O1
=−
2, 52
= 0, 38 cm
− ( 16 + 0, 4 )
O2 C = 2, 88 cm .
0, 7 × 0, 38
d
F ′C
= 2 ⇒d =
= 0,106 cm .
2, 5
D
f2′
L’œil, s’il est placé sur le cercle oculaire, recueille toute la lumière : on voit tout ce qu’on peut voir.
X.
1° Objectif simple.
a. La pellicule doit être dans le plan focal image de L, 50 mm derrière L.
A′ B ′ = f ′α .
20
Pour l’immeuble considéré, α =
= 0, 02 rad ; A′ B ′ = 1 mm .
1000
502
= 2, 94 mm
b. Comme FA.F ′A′ = −f ′2 , t est compris entre 0 et
900 − 50
c.
A’
O
α
B’
D /2
d /2
f′
DS : lentilles, page 10
p′
d
p′ − f ′
=
D
p′
⎛
f ′⎞
d = D ⎜⎜ 1 − ⎟⎟⎟
⎝⎜
p′ ⎠
1
1
1
=
+
p′
f′ p
Df ′
<a
d =−
p
Df ′
f ′2
502
−p >
=
=
= 6250 mm = 6, 25 m
a
na
16 × 0, 025
La netteté est acceptable, compte tenu du grain de la pellicule, si l’objet est situé à une distance de l’objectif
supérieure à 6,25 m.
d.
A′ B ′
f
OF
γ =
=− =−
x
AB
FA
AB.f ′
a.FA
> a ⇔ AB >
A′ B ′ =
FA
f′
Cette limite de résolution est la plus faible quand FA est minimum soit pour AF = 0, 85 m .
0, 025 × 850
= 0, 425 mm
Alors, AB >
50
2° Téléobjectif.
a. L1 donne d’un objet à l’infini une image intermédiaire F1′B1 . L2 en donne une image F ′B ′ . La formule de
conjugaison de L2 donne :
1
1
1
1
1
−
=
⇒ O2F ′ =
=
= 60 mm ⇒ O1F ′ = 95 mm
1
1
1
1
′
O2F
f2′
+
−
O2F1′
50 − 35 20
f2′
O2F1′
b. L’image intermédiaire mesure F1′B1 = f1′ α .
La formule de grandissement de L2 donne γ2 =
O2F ′
=
60
= 4 , d’où A’B’= 4f1′ α .
50 − 35
O2F1′
La taille de l’immeuble est de 4 mm.
c. Il faut une lentille de distance focale f ′ telle que f ′α = 4 f1′ α ⇒ f ′ = 4 f1′ = 200 mm .
Le téléobjectif a pour longueur 35 + 60 = 95 mm, alors qu’un objectif simple de même performance a pour longueur
200 mm. Il est moins encombrant, tant en longueur qu’en largeur et en poids.
3° Aberration chromatique.
a. V =
1
1
1
=
+
′
f
f1′
f2′
b. Posons R2 = S2C 2 , positif si la face arrière est concave et négatif si elle est convexe.
1
2
⎛ 1
1 ⎞⎟
= ( n1 − 1 ) − ( n2 − 1 )⎜⎜
+
⎟ qui, si l’on exprime l’indice en fonction de la longueur d’onde, est de la
⎝ R1
R1
R2 ⎠⎟
f′
b
1
forme a + 2 . La lentille est achromatique si b = 0 et a = , soit :
f′
λ
⎛ 1
2
1 ⎞⎟
1
1
2B1
− B2 ⎜⎜
+
+
=
b = B1
⎟=0⇒
⎝ R1
R1
R2 ⎠⎟
R1
R2
B2R1
DS : lentilles, page 11
1
2
1 ⎞⎟
2
2B1
⎛ 1
= (C 1 − 1 ) − (C 2 − 1 )⎜⎜
+
⎟ = (C 1 − 1 ) − (C 2 − 1 )
⎝ R1
R1
R2 ⎠⎟
R1
B2R1
f′
4, 5 ⎤
B ⎤
⎡
⎡
R1 = 2 f ′ ⎢ (C 1 − 1 ) − (C 2 − 1 ) 1 ⎥ = 2 × 5 × ⎢ 0, 515 − 0, 652 ×
⎥ = 1,185 cm
7, 4 ⎥⎦
B2 ⎥⎦
⎢⎣
⎢⎣
1,185
R1
R2 =
=
= 5, 48 cm
2 × 4, 5
2B1
−1
−1
7, 4
B2
La lentille L2 est donc biconcave. La petitesse de R1 implique que cet achromat ne peut travailler que dans des
a =
conditions de faible ouverture.
DS : lentilles, page 12