R. Chibloun - Seminario Matematico

Rend. Sem. Mat. Univ. Pol. Torino
Vol. 49, 2 (1991)
ACGA - 1990
R. Chibloun - A. Micali - J.-P. Olivier
SUR LA DIMENSION DES ALGEBRES SYMETRIQUES
Dedicated to professor Paolo Salmon on his 60th birthday.
Abstract. In this paper, like P. Jaffard for polynomial rings, we give a Krull
dimension theory for symmetric algebras. We remember that the symmetric
algebra of a free module is a polynomial ring and in this sense, our theory is
a natural generalization of Jaffard-s theory. Moreover, we show that Fitting
ideals play a central role in the efFective calculation of examples.
Dans les annees 1970/1971, deux des auteurs de ce papier ont bati
(cf. [15]), a Pins tar de P. Jaffard (cf. [9]), une theorie de la dimension
de Krull des algebres symetriques, resultats qui sont, en partie, donnes
dans le premier paragraphe. En particulier, ces auteurs avaient donne une
version (cf. corollaire 1.7), dans le cas local, de la formule demontree
ulterieurement par C. Huneke et M.E. Rossi (cf. theoreme 3.3) dans le cas ou
Panneau de base est quotient d'un anneau noetherien integre universellement
catenaire. De cette formule nous donnons ici le cadre general en montrant
que, effectivemen.t, elle depend uniquement de Pinegalite de la dimension.
Plus precisement on supposera que les quotients de Panneau de base par les
ideaux premiers verifient Pinegalite de la dimension. Cette hypothese englobe
les cas noetherien, Prufer, 5-domaines fort universels entre autres. De plus,
les modules sur ces anneaux sont de type fini. Ces hypotheses interviennent a
partir du paragraphe 2. Finalement, dans cette direction, A.J. Parameswaran
et V. Srinivas (cf. [17]) ont donne une variante du lemme de normalisation de
Noether.

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Les resultats obtenus, completes par ceux contenus dans la these de R.
Chibloun (cf. [7]), sont consignes dans les pages qui suivent.
1. Premiers resultats sur la dimension
Si A est un anneau commutatif a element unite et M est un A-module,
on notera /i(M) le nombre d'un systeme minimal de generateurs de M. Le
Lemme suivant nous montre que le calcul de la dimension d'une algebre
symetrique se ramene toujours au cas ou l'anneau de base est local (cf. [6]):
LEMME 1.1. Soient A un anneau commutatif a element unite et
M un A-module. Alors dim(SA(M)) = supp€Spec^) dim(5j4p(Mp)) =
SUPpGMax(/4)dim(^p(Mp))-
LEMME 1.2. Soient A une anneau commutatif a element unite et M
un A-module. Si pour tout ideal premier p de A,SA,p(M/pM) est integre,
alors
d\m(SA(M)) > sup (dim(Ap) + dimfc(p)(M ®A k(p)) .
p€Spec(4)
En effet, soit p0 C Px C ... C pn une chaine strictement croissante
d'ideaux premiers de A, pn etant maximal dans A. On deduit alors une chaine
strictement croissante d'ideaux premiers de SA(M), a savoir, p0SA(M) C
ptSA(M) C ... C PnSA(M) C PnSA(M) + S+(M), ou S+(M) est l'ideal
d'augment at ion de SA(M). Or, l'image de l'ideal pnSA(M) + SA(M) par
la fleche canonique SA(M) -+ Sk{Pn)(M ®A fc(pj) = KPn)lxilien ou
card(J) = dim^/p \(M ®A ^(pn)), est l'ideal d'argumentation de l'anneau
integre &(pn)[A"t-]t-€/. Si / est fini de cardinal m, on a une chaine d'ideaux
premiers de k(pn)[Xv ..., Xm], a savoir,
(0)c(X1)c(X1,X2)C.C(X1,...,Xm)
et, par image reciproque, on obtient une chaine d'ideaux premiers de SA(M)
d'origine pnSA(M) et d'extremite pnSA(M) + S\~{M), d'ou le resultat. Si J
est infini, on peut extraire de / une suite infinie denombrable (in)n^ d'ou
une chaine infinie denombrable d'ideaux premiers
(0) C (X, ) C (X:,Xk) C ... C (X, ,...,*,•„) C ...

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et, par image reciproque, on obtient une chaine denombrable infinie d'ideaux
premiers de SA(M) entre pnSA(M) et pnSA(M) + SA(M), d'ou encore le
resultat.
Notons que dim(SA(M)) > sup (dim(>L) + d\mk(tt)(M ®A k(p)) >
P€Spec(A)
sup = dim(A) et l'exemple ci-dessous nous montre que l'on peut
p€Spec(/l) dim(/4p
avoir l'egalite.
EXAMPLE 1.3. Soient A un anneau commutatif a element unite et M
un A-module tel que pour tout ideal premier p de A on a M ®A (A/p) = 0
ou M ®A k(p) = 0, k(p) etant le corps des fractions de l'anneau integre A/p.
Si la fleche. naturelle, Spec(5^(M)) —>• Spec(A) definie par q »-> q fl A est un
homeomorphisme alors d\m(SA(M)) = dim(A).
LEMME 1.4. Soient A un anneau commutatif a element unite et M un
A-module. Alors
d\m(SA(M)) > sup (dim(A/p) + dimk(p)(M ®A k(p))).
peSpec(A)
En effet, si p0 C pj C ... C pn est une chaine strictement croissante
d'ideaux premiers de A, l'image de l'ideal premier p0SA(M) + SA(M) de
SA(M) par la fleche composee evidente SA(M) —• SA,pQ(M/p0M) —>
Sk(p0)(M®Ak(pQ)) est l'ideal d'augmentation de l'algebre Sk,p\(M ®Ak(p0)).
Done, par image reciproque, on obtient une chaine strictement croissante
d'ideaux premiers de SA(M) de longueur d\mkfo0\(M ®A k(p0)) qui commence
a p0SA(M) et qui abouit a p0SA(M) + 5j(Af).
Cette chaine, jointe a la chaine d'ideaux premiers p0SA(M) + SA(M) C
... C pnSA(M) + SA(M) acheve la demonstration du lemme.
Comme consequence du lemme 1.4 on voit que si A est un anneau local
de corps residuel k et M un A-module, alors dim(SA(k)) > dimfc(M ®A k) et,
de meme, si A est integre de corps de fractions K et M un A-module, alors
dim(5^(M)) > dim(A) + dimK(M ®A K). On verra, plus loin, que l'on peut
avoir ici l'inegalite stricte.

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THEOREME 1.5. Soient A un anneau local de corps residuel k et M
un k-espace vectorieL Alors
dim(SA(M) = sup(dim(A), dimfc(M)).
Ce theoreme est une consequence du lemme suivant:
LEMME ET DEFINITION 1.6. Soient A un anneau local d'ideal maximal
m et corps residuel k et M un k-espace vectorieL Tout ideal premier q de
SA(M) verifie alors Vune des deux conditions suivantes:
(1) q fl A = m et q est dit alors du premier type;
(2) q = (q n A)SA(M) + S^(M) et q est dit du second type. Vunique
ideal premier de SA{M) qui est a la fois du premier et second type est
mSA(M) + SA(M). De plus, si q est un ideal premier de SA(M), tout ideal
premier de SA(M) contenant q est du meme type que q.
On rappelle tout d'abord, que si / : A —• B est une A-
algebre commutative et F: Spec(A) <— Spec(B) le morphisme d'espaces
topologiques induit par /, pour tout ideal premier p de A, il existe une
bijection d'espaces topologiques entre F~1(p) et Spec(B (&A k(p)).
Soit done F : Spec(SA(M)) —• Spec(A) la fleche naturelle induite par
l'injection canonique A <-^ SA(M) et q un ideal premier de SA(M) qui ne
soit pas du premier type et posons p = q n A Cm. Alors p est un ideal
premier de A et M ®A k(p) = (M ®A k) ®A k(p) = M ®A (k ®A k(p)) = 0
car pcm. Done SA(M) ®A k(p) = Sk(p)(M ®A k((p)) = k(p) soit
Spec(SA(M) ®A k(p)) = {0} done la fibre F~1(p) ne contient qu'un seul
element. Comme il y a, dans cette fibre, les elements q et pSA(M) + SA(M),
necessairement q = pSA(M) + S+(M). II est evident que si q est, a la fois,
du premier et du second type, alors q = mSA(M) + SA(M). Le reste de la
demonstration suit sans difficultes.
On note, pour ce qui est de la demonstration du theoreme 1.5 que toute
chaine croissante d'ideaux premiers de SA(M) est formee par des ideaux du
meme type. Done, si £i est la borne superieure des longeurs des chaines
d'ideaux premiers de SA(M) de type i (i = 1,2), necessairement
dim{SA{M)) = sup{t^t2).

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De la surjection canonique
SA{M) — Sk(M) = SA{M) ®A k « SA(M)/mSA(M)
on deduit l'injection topologique
Spec(Sk(M)) <-+ Spec(SA(M)), ou
Spec(Sk(M)) = {q|q 6 Spec(Sk(M)),qD mSA(M)}
= {q|q G .^^(^(M)), q n A = m} .
Ceci nous dit que £t est, par definition, la borne superieure des longueurs
des chaine d'ideaux premiers de Sk(M) soit encore, tx = dim(SA(M)) =
dimk(M).
Considerons maintenant une chaine d'ideaux premiers de SA(M) du
second type:
q0 C qx C ... C qn .
Necessairement qt- '== (qz- U A)SA(M) -f SA(M) et a cette chaine
correspond une chaine d'ideaux premiers de A
q0 n A C qx D A C ... C qn D A
et reciproquement, a toute chaine d'ideaux premiers de A
p0
c Pi C ... G pn
on peut associer une chaine d'ideaux premiers de-5yl(M) du second type, a
savoir,
p0SA(M) + S\{M) C P.S^M) + S+(M) C ... C pnSA(M) + S+(M)
d'ou £2 = dim(A). La theoreme 1.5 est ainsi demontre.
II decoule de ce theoreme, qui si A est un anneau local integre qui n'est
pas un corps et k son corps residuel, alors dim(SA(k)) = dim(A).