Angles et droites parallèles

Angles et droites parallèles
1 Vocabulaire
1.1 angles complémentaires, angles supplémentaires
Deux angles sont dits complémentaires lorsque la somme de leurs mesures est égale à 90˚.
Deux angles sont dits supplémentaires lorsque la somme de leurs mesures est égale à 180˚.
Exemple :
Soient trois angles ba,
b
bet bctels que ba= 27˚,
b
b= 63˚et bc= 153˚.
Alors baet
b
bsont complémentaires car ba+
b
b= 27 + 63 = 90˚,
et baet bcsont supplémentaires car ba+bc= 27 + 153 = 180˚.
1.2 angles adjacents, angles opposés par le sommet
Deux angles sont dits adjacents lorsqu’ils ont un sommet commun, un côté commun, et qu’ils sont situés
de part et d’autre de ce côté commun.
Exemple :
angles adjacents : angles non adjacents :
pas de sommet commun
pas de côté commun
un angle recouvre l’autre
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Deux droites sécantes déterminent deux paires d’angles opposés par le sommet.
Exemple :
x
y
z
t
O
Les angles
d
xOt et
d
zOy sont opposés par le sommet.
De même, les angles
d
xOz et
d
yOt sont également opposés par le sommet.
1.3 angles alternes internes, angles correspondants
Deux droites coupées par une sécante déterminent deux paires d’angles alternes internes et quatre paires
d’angles correspondants.
Exemple :
12
34
56
7
8
Les angles 1et 5sont correspondants.
Les angles 3et 6sont alternes internes.
Autres paires d’angles correspondants :
– 2 et 6 ;
– 3 et 8 ;
– 4 et 7.
Autre paire d’angles alternes internes : 4 et 5.
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2 Egalités d’angles
2.1 angles opposés par le sommet
Propriété : Deux angles opposés par le sommet ont la même mesure.
Cette propriété est une conséquence du fait que deux angles opposés par le sommet sont symétriques par
rapport à leur sommet.
2.2 angles alternes internes, angles correspondants
Propriété 1 :
Si deux angles alternes internes sont déterminés par des droites parallèles,
alors ces angles ont la même mesure.
Propriété 2 :
Si deux angles correspondants sont déterminés par des droites parallèles,
alors ces angles ont la même mesure.
Exemple :
x
y
z
t
u
v
A
38˚
B
Données :
–
d
vAy = 38˚;
– les droites (xy)et (zt)sont parallèles.
Conclusions :
–
d
uBz = 38˚(grâce à la propriété 1) ;
–
d
tBv = 38˚(grâce à la propriété 2).
Autres conclusions :
–
d
xAv = 180 −38 = 142˚car les angles
d
xAv et
d
vAy sont supplémentaires ;
–
d
xAu = 38˚car il est opposé par le sommet avec
d
vAy ;
– etc.
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3 Reconnaître deux droites parallèles
Propriété 1 :
Si deux droites sont coupées par une sécante en formant une paire d’angles alternes internes égaux,
alors ces droites sont parallèles.
Propriété 2 :
Si deux droites sont coupées par une sécante en formant une paire d’angles correspondants égaux,
alors ces droites sont parallèles.
Exemple :
x
y
z
t
u
v
A
B
131˚
131˚
Donnée :
d
xAv =
d
zBv
Conclusion :
Les droites (xy)et (zt)sont parallèles.
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