Terminale S Devoir surveillé n° 6 mardi 24 mars 09 exercice 1 : sur

Terminale S
Devoir surveillé n° 6
exercice 1 : sur 6 points
mardi 24 mars 09
les 4 questions sont indépendantes
1. Résoudre l’équation différentielle : 2y’-4y = 3 puis déterminer la solution dont la courbe passe par
le point K(ln2 ; 0)
1
2. Vérifier que la fonction u : t a
est solution de l’équation : y’= 2y(1–y) .
1 + 9 e −2 t
3. On joue à un jeu où la probabilité de gagner est 0,3. On joue 7 fois de suite ( les jeux sont
identiques et indépendants).
Quelle est la probabilité de gagner :
a) exactement 2 fois ?
b) au plus deux fois ?
On donnera les résultats à 10-3 près.
4. Vrai ou Faux ? Justifier la réponse
« J’ai les mêmes chances de gagner une fois en jouant deux fois à un jeu où l’on gagne une fois sur
deux et en jouant cinq fois à un jeu où l’on gagne une fois sur cinq ».
exercice 2 : sur 8 points
Dans une kermesse un organisateur de jeux dispose de 2 roues de 20 cases chacune.
La roue A comporte 18 cases noires et 2 cases rouges.
La roue B comporte 16 cases noires et 4 cases rouges.
Lors du lancer d’une roue toutes les cases ont la même probabilité d’être obtenues.
La règle du jeu est la suivante : le joueur mise 1€ et lance la roue A
• S’il obtient une case rouge, alors il lance la roue B , note la couleur de la case obtenue et la partie
s’arrête.
• S’il obtient une case noire, alors il relance la roue A note la couleur de la case obtenue et la partie
s’arrête.
1. Traduire l’énoncé à l’aide d’un arbre pondéré.
2. Soient E et F les événements :
E : « à l’issue de la partie, les 2 cases obtenues sont rouges »
F : « à l’issue de la partie, une seule des deux cases est rouge »
Montrer que p(E) = 0,02 et p(F) = 0,17
3. Si les 2 cases obtenues sont rouges le joueur reçoit 10€ ; si une seule des cases est rouge le joueur reçoit
2 € ; sinon il ne reçoit rien.
X désigne la variable aléatoire égale au gain algébrique en euros du joueur ( rappel : le joueur mise 1€)
a) Déterminer la loi de probabilité de X
b) Calculer l’espérance mathématique de X et en donner une interprétation.
4. Le joueur décide de jouer n parties consécutives et indépendantes ( n désigne un entier naturel supérieur
ou égal à 2)
a) Démontrer que la probabilité pn qu’il lance au moins une fois la roue B est telle que pn=1–(0,9)n
b) Déterminer la limite de la suite (pn).
c) Quelle est la plus petite valeur de n pour laquelle pn est supérieure à 0,9 ?
exercice 3 : sur 6 points
On se propose de déterminer toutes les fonctions f définies et dérivables sur l’intervalle ]0 ; + ∞ [ vérifiant
l’équation différentielle : (E) :
xf '( x) − (2 x + 1) f ( x) = 8 x ² .
1. a) Démontrer que ,si f est solution de (E) alors la fonction g définie sur l’intervalle ]0 ; + ∞ [ par
f ( x)
g ( x) =
est solution de l’équation différentielle (E’) : y’= 2y+8
x
b) Démontrer que, si h est solution de (E’) alors la fonction f définie par f(x)= xh(x) est solution de (E).
2. Résoudre (E’) et en déduire toutes les solutions de (E).
Corrigé
exercice 1 : sur points
les 4 questions sont indépendantes
3
équation différentielle du type y’=ay+b avec a =2 et
2
3
b
b= . On sait que toutes les solutions sont les fonctions f définies sur IR par f ( x) = Ceax − donc
2
a
3
ici f(x) = Ce 2 x −
4
On cherche la solution f telle que f (ln 2) = 0
3
3
3
f (ln 2) = 0 ⇔ Ce 2 ln 2 − = 0 ⇔ Celn 4 = ⇔ 4C = ¾ ⇔ C =
4
4
16
3 2x 3
La solution cherchée est donc la fonction f définie pour tout réel x par f(x) =
e −
16
4
1. L’équation 2y’-4y = 3 équivaut y’=2y +
2. La fonction u est définie et dérivable sur IR et de type 1/f de dérivée –f ’/f ² et on sait que (ev)’= v’ev
Pour tout réel t , u '(t ) =
2u(t) (1-u(t)) =
18e −2t
(1 + 9e−2t )²
d’autre part ,
2
1
2
2
2(1 + 9e −2t ) − 2
18e−2t
(1
−
)
=
−
=
=
1 + 9e −2t
1 + 9e −2t
1 + 9e −2t (1 + 9e−2t )²
(1 + 9e −2t )
(1 + 9e −2t )²
Conclusion u est bien solution de l’équation proposée.
3. Le jeu a deux issues : un succès « gagner » de probabilité p=0,3 et un « échec » de probabilité 1p=0,7. C’est donc une épreuve de Bernouilli.
Cette épreuve est répétée n=7 fois de suite de façon indépendante.
La variable aléatoire X égale au nombre de succès au cours de ces n épreuves suit une loi binomiale
7
B(n,p) et pour tout k entier tel que 0 ≤k ≤ 7 on a p(X=k)=   0,3k 0, 7 7 − k
k 
a) p(X=2)= 0,318
b) p(X ≤ 2) = p(X=0)+p(X=1)+p(X=2) = 0,77 +7 × 0,3× 0,76+p(X=2) soit p(X ≥ 2) ≈ 0,647
4. Il s’agit de comparer deux probabilités calculées avec deux variables aléatoires X et X’ suivant
chacune une loi binomiale B(n,p).
Pour X les paramètres sont n= 2 et p=1/2 et pour X’ , n=5 et p=1/5
1
4
 2 1 1 1 1 1
 5  1   4 
44
p(X= 1) =   ( ) ( ) =
et p(X’=1)=       = 5 × 5 ≈0,4096
2
5
1  2 2
1   5   5 
Conclusion : l’affirmation est fausse.
exercice 2 : sur
points
1. Notons NA l’événement « tomber sur une case noire en lançant la roue A»
et NB l’événement « tomber sur une case noire en lançant la roue B»
La roue A comporte 18 cases noires et 2 cases rouges toutes équiprobables donc la probabilité de
18 9
tomber sur une case noire sur la roue A est p(NA )
=
=0,9
NA
20 10
et donc celle de tomber sur une case rouge p( NA) = 0,1
0, 9
16 4
De façon analogue p (NB)=
= =0,8 et p ( NB )= 0,2
20 5
On peut donc visualiser la situation à l’aide de l’arbre pondéré
0,1
0, 9
NA
0,1
NA
0,8
NB
0, 2
NB
NA
E = N A ∩ N B événements indépendants donc p(E)= 0,1 × 0,2 d’où p(E) = 0,02
F est réalisé par
une rouge sur la roue A suivie d’une noire sur la roue A
ou bien une noire sur la roue A suivie d’une rouge sur la roue B
F= (N A ∩ N A ) ∪ (N A ∩ N B )
donc selon la formule des probabilités totales p(F) = 0,9 × 0,1 +0,1 × 0,8 d’où p(F)= 0,17
3.
Si les 2 cases obtenues sont rouges le joueur reçoit 10€ donc X = 9 et p(X=9)= p(E) = 0,02
Si une seule des cases est rouge le joueur reçoit 2 € donc X = 1 et p(X=1)= p(F)
Sinon il ne reçoit rien donc X = –1 et p(X=–1) = 1–(p(X=9)+p(X=1))= 0,81
La loi de probabilité de X est donc
1
–1
valeurs de X 9
probabilité
0,02 0,17 0,81
b) L’espérance mathématique E(X)= 9 × 0,02+1× 0,17-1× 0,81
Conclusion : E(X) = –0,46
Cela signifie que sur un grand nombres de parties en moyenne le joueur va perdre 0,46 € par partie jouée
lorsqu’il mise 1 €. (Le jeu est défavorable au joueur car l’espérance est négative).
4.
Le joueur décide de jouer n parties ( n désigne un entier naturel supérieur ou égal à 2)
Lors d’une partie, la probabilité de lancer la roue B est celle d’obtenir une case rouge sur la roue A donc
0,1. Donc la probabilité de ne pas lancer la roue B est 0,9.
Avec n parties consécutives et indépendantes, la probabilité de ne pas lancer la roue B est donc 0,9n.
Et la probabilité de l’événement contraire , c'est-à-dire , lancer au moins une fois la roue B est 1– 0,9n
notée pn
b) On sait que la suite de terme général 0,9n est une suite géométrique de raison q= 0,9 avec –1 < q < 1 .
Donc elle est convergente vers 0 . On en déduit que lim pn = 1
c) On cherche la plus petite valeur de n telle que pn ≥ 0,9 .
pn ≥0,9 ⇔ 1– 0,9n ≥ 0,9 ⇔ 0,9n ≤ 0,1 ⇔ ln(0,9n) ≤ ln(0,1) la fonction ln étant croissante sur ]0 ; + ∞ [
ln 0,1
soit encore n ln (0,9) ≤ ln(0,1) ⇔ n ≥
car ln ( 0,9) <0
ln 0,9
ln 0,1
≈ 21,9 on déduit que la plus petite valeur de n telle que pn ≥ 0,9 est 22
Comme
ln 0,9
exercice 3 :
1. La fonction g définie sur l’intervalle ]0 ; + ∞ [ par g ( x) =
f ( x)
est dérivable sur ]0 ; + ∞ [ et
x
xf '( x) − f ( x)
f '( x) f ( x)
=
−
x²
x
x²
Par hypothèse f est solution de (E) donc
pour tout réel x de ]0 ; + ∞ [, xf '( x) − (2 x + 1) f ( x) = 8 x ²
xf '( x) − (2 x + 1) f ( x) 8 x ²
⇔ pour tout réel x de ]0 ; + ∞ [,
=
d où en divisant par x²
x²
x²
f '( x)
f ( x) f ( x)
⇔ pour tout réel x de ]0 ; + ∞ [,
−2
−
=8
x
x
x²
g '( x) =
f '( x) f ( x)
f ( x)
−
=2
+8
x
x²
x
⇔ pour tout réel x de ]0 ; + ∞ [, g’(x) =2g(x)+8
⇔ pour tout réel x de ]0 ; + ∞ [,,
bien mettre en évidence que les équivalences sont valables pour tout réel x>0
ce qui démontre que
si f est solution de (E) alors g est solution de l’équation différentielle (E’) : y’= 2y+8
bien mettre en évidence l’implication démontrée ( même si on a pu raisonner par équivalence)
2. Par hypothèse : f(x)= x h(x) et h est solution de (E’).
Pour tout réel x de ]0 ; + ∞ [ , f '( x) = h( x) + xh '( x) et h’(x)=2h(x)+8 soit encore h’(x)–2h(x)=8
Alors , en remplaçant f(x) par x h(x) et f '( x) par h( x) + xh '( x) on a :
Pour tout réel x de ]0 ; + ∞ [
xf '( x) − (2 x + 1) f ( x) = x(h( x) + xh '( x)) – (2x+1) x h(x) = xh( x) + x ² h '( x) − 2 x ² h( x) − xh( x)
= x² ( h '( x) − 2h( x) )= 8x²
ce qui démontre que :
si f(x)= x h(x) avec h est solution de (E’) alors f est solution de (E)
3.
L’équation (E’) est du type y’=ay+b avec a = 2 et b=8 de solutions toutes les fonctions g définies sur
]0 ; + ∞ [ par g ( x )= Ce 2 x − 4 avec C décrivant IR.
On a vu d’après 1 et 2 que :
f solution de (E) ⇔ f(x) = x g(x) avec g solution de (E’)
bien faire apparaître l’équivalence démontrée aux questions 1 et 2
Donc les solutions de (E) sont les fonctions f définies par f(x) = x ( Ce 2 x − 4 ) avec C ∈ IR.