Terminale S Devoir surveillé n° 6 mardi 24 mars 09 exercice 1 : sur

Terminale S Devoir surveillé n° 6 mardi 24 mars 09
exercice 1 : sur 6 points les 4 questions sont indépendantes
1. Résoudre l’équation différentielle : 2y’-4y = 3 puis déterminer la solution dont la courbe passe par
le point K(ln2 ; 0)
2. Vérifier que la fonction u : t
a
2
1
1 9
t
e
−
+
est solution de l’équation : y’= 2y(1–y) .
3. On joue à un jeu où la probabilité de gagner est 0,3. On joue 7 fois de suite ( les jeux sont
identiques et indépendants).
Quelle est la probabilité de gagner : a) exactement 2 fois ? b) au plus deux fois ?
On donnera les résultats à 10
-3
près.
4. Vrai ou Faux ? Justifier la réponse
« J’ai les mêmes chances de gagner une fois en jouant deux fois à un jeu où l’on gagne une fois sur
deux et en jouant cinq fois à un jeu où l’on gagne une fois sur cinq ».
exercice 2 : sur 8 points
Dans une kermesse un organisateur de jeux dispose de 2 roues de 20 cases chacune.
La roue A comporte 18 cases noires et 2 cases rouges.
La roue B comporte 16 cases noires et 4 cases rouges.
Lors du lancer d’une roue toutes les cases ont la même probabilité d’être obtenues.
La règle du jeu est la suivante : le joueur mise 1€ et lance la roue A
• S’il obtient une case rouge, alors il lance la roue B , note la couleur de la case obtenue et la partie
s’arrête.
• S’il obtient une case noire, alors il relance la roue A note la couleur de la case obtenue et la partie
s’arrête.
1. Traduire l’énoncé à l’aide d’un arbre pondéré.
2. Soient E et F les événements : E : « à l’issue de la partie, les 2 cases obtenues sont rouges »
F : « à l’issue de la partie, une seule des deux cases est rouge »
Montrer que p(E) = 0,02 et p(F) = 0,17
3. Si les 2 cases obtenues sont rouges le joueur reçoit 10€ ; si une seule des cases est rouge le joueur reçoit
2 € ; sinon il ne reçoit rien.
X désigne la variable aléatoire égale au gain algébrique en euros du joueur ( rappel : le joueur mise 1€)
a) Déterminer la loi de probabilité de X
b) Calculer l’espérance mathématique de X et en donner une interprétation.
4. Le joueur décide de jouer n parties consécutives et indépendantes ( n désigne un entier naturel supérieur
ou égal à 2)
a) Démontrer que la probabilité p
n
qu’il lance au moins une fois la roue B est telle que p
n
=1–(0,9)
n
b) Déterminer la limite de la suite (p
n
).
c) Quelle est la plus petite valeur de n pour laquelle p
n
est supérieure à 0,9 ?
exercice 3 : sur 6 points
On se propose de déterminer toutes les fonctions f définies et dérivables sur l’intervalle ]0 ; +
∞
[ vérifiant
l’équation différentielle : (E) :
'( ) (2 1) ( ) 8 ²
xf x x f x x
− + =
.
1. a) Démontrer que ,si
f est solution de (E) alors la fonction g définie sur l’intervalle ]0 ; +
∞
[ par
( )
( )
f x
g x
x
= est solution de l’équation différentielle (E’) : y’= 2y+8
b) Démontrer que, si h est solution de (E’) alors la fonction f définie par f(x)= xh(x) est solution de (E).
2. Résoudre (E’) et en déduire toutes les solutions de (E).

Corrigé
exercice 1 : sur points les 4 questions sont indépendantes
1. L’équation 2y’-4y = 3 équivaut y’=2y +
3
2
équation différentielle du type y’=ay+b avec a =2 et
b=
3
2
. On sait que toutes les solutions sont les fonctions f définies sur IR par ( )
ax
b
f x Ce
a
= −
donc
ici f(x) =
2
3
4
x
Ce
−
On cherche la solution f telle que
(ln 2) 0
f
=
(ln 2) 0
f
=
⇔
2 ln 2
3
0
4
Ce
− =
⇔
ln 4
3
4
Ce
=
⇔ 4C = ¾ ⇔ C =
3
16
La solution cherchée est donc la fonction f définie pour tout réel x par f(x) =
2
3 3
16 4
x
e
−
2. La fonction u est définie et dérivable sur IR et de type 1/f de dérivée –f ’/f ² et on sait que (e
v
)’= v’e
v
Pour tout réel t ,
2
2
18
'( )
(1 9 )²
t
t
e
u t e
−
−
=
+
d’autre part ,
2u(t) (1-u(t)) =
2 2
2 2 2 2 2 2
2 1 2 2 2(1 9 ) 2 18
(1 )
1 9 1 9 1 9 (1 9 )² (1 9 ) (1 9 )²
t t
t t t t t t
e e
e e e e e e
− −
− − − − − −
+ −
− = − = =
+ + + + + +
Conclusion u est bien solution de l’équation proposée.
3. Le jeu a deux issues : un succès « gagner » de probabilité p=0,3 et un « échec » de probabilité 1-
p=0,7. C’est donc une épreuve de Bernouilli.
Cette épreuve est répétée n=7 fois de suite de façon indépendante.
La variable aléatoire X égale au nombre de succès au cours de ces n épreuves suit une loi binomiale
B(n,p) et pour tout k entier tel que 0 ≤k ≤ 7 on a p(X=k)=
7
7
0,3 0,7
k k
k
−
a) p(X=2)= 0,318
b) p(X ≤ 2) = p(X=0)+p(X=1)+p(X=2) = 0,7
7
+7
×
0,3
×
0,7
6
+p(X=2) soit p(X ≥ 2) ≈ 0,647
4. Il s’agit de comparer deux probabilités calculées avec deux variables aléatoires X et X’ suivant
chacune une loi binomiale B(n,p).
Pour X les paramètres sont n= 2 et p=1/2 et pour X’ , n=5 et p=1/5
p(X= 1) =
1 1
2
1 1 1
( ) ( )
1
2 2 2
=
  et p(X’=1)=
1 4
4
5
5
1 4 4
5
15 5
5
= ×
≈0,4096
Conclusion : l’affirmation est fausse.
exercice 2 : sur points
1. Notons N
A
l’événement « tomber sur une case noire en lançant la roue A»
et N
B
l’événement « tomber sur une case noire en lançant la roue B»
La roue A comporte 18 cases noires et 2 cases rouges toutes équiprobables donc la probabilité de
tomber sur une case noire sur la roue A est p(N
A
)
18 9
20 10
= =0,9
et donc celle de tomber sur une case rouge p(
N
A
) = 0,1
De façon analogue p (N
B
)=
16 4
20 5
=
=0,8 et p (
N
B
)= 0,2
On peut donc visualiser la situation à l’aide de l’arbre pondéré
N
A
A
N
N
A
B
N
0, 9
0,1
0, 9
0,2
0,8
0,1
A
N
N
B

E =
A B
N N
∩ événements indépendants donc p(E)= 0,1
×
0,2 d’où p(E) = 0,02
F est réalisé par
une rouge sur la roue A suivie d’une noire sur la roue A
ou bien une noire sur la roue A suivie d’une rouge sur la roue B
F=
A B
A
(N N ) (N N )
A
∩ ∪ ∩
donc selon la formule des probabilités totales p(F) = 0,9
×
0,1 +0,1
×
0,8 d’où p(F)= 0,17
3.
Si les 2 cases obtenues sont rouges le joueur reçoit 10€ donc X = 9 et p(X=9)= p(E) = 0,02
Si une seule des cases est rouge le joueur reçoit 2 € donc X = 1 et p(X=1)= p(F)
Sinon il ne reçoit rien donc X = –1 et p(X=–1) = 1–(p(X=9)+p(X=1))= 0,81
La loi de probabilité de X est donc
valeurs de X 9 1 –1
probabilité 0,02 0,17 0,81
b) L’espérance mathématique E(X)= 9
×
0,02+1
×
0,17-1
×
0,81 Conclusion : E(X) = –0,46
Cela signifie que sur un grand nombres de parties en moyenne le joueur va perdre 0,46 € par partie jouée
lorsqu’il mise 1 €. (Le jeu est défavorable au joueur car l’espérance est négative).
4.
Le joueur décide de jouer n parties ( n désigne un entier naturel supérieur ou égal à 2)
Lors d’une partie, la probabilité de lancer la roue B est celle d’obtenir une case rouge sur la roue A donc
0,1. Donc la probabilité de ne pas lancer la roue B est 0,9.
Avec n parties consécutives et indépendantes, la probabilité de ne pas lancer la roue B est donc 0,9
n.
Et la probabilité de l’événement contraire , c'est-à-dire , lancer au moins une fois la roue B est 1– 0,9
n
notée p
n
b) On sait que la suite de terme général 0,9
n
est une suite géométrique de raison q= 0,9 avec –1 < q < 1 .
Donc elle est convergente vers 0 . On en déduit que lim p
n
= 1
c) On cherche la plus petite valeur de n telle que p
n
≥ 0,9 .
p
n
≥0,9 ⇔ 1– 0,9
n
≥ 0,9 ⇔ 0,9
n
≤ 0,1 ⇔ ln(0,9
n
) ≤ ln(0,1) la fonction ln étant croissante sur ]0 ; +
∞
[
soit encore n ln (0,9) ≤ ln(0,1) ⇔ n ≥
ln 0,1
ln 0,9
car ln ( 0,9) <0
Comme
ln 0,1
ln 0,9
≈ 21,9 on déduit que la plus petite valeur de n telle que p
n
≥ 0,9 est 22
exercice 3 :
1. La fonction g définie sur l’intervalle ]0 ; +
∞
[ par
( )
( )
f x
g x
x
= est dérivable sur ]0 ; +
∞
[ et
'( ) ( )
'( )
²
xf x f x
g x
x
−
==
'( ) ( )
²
f x f x
x x
−
Par hypothèse f est solution de (E) donc
pour tout réel x de ]0 ; +
∞
[,
'( ) (2 1) ( ) 8 ²
xf x x f x x
− + =
⇔ pour tout réel x de ]0 ; +
∞
[,
'( ) (2 1) ( ) 8 ²
² ²
xf x x f x x
x x
− +
= d où en divisant par x²
⇔ pour tout réel x de ]0 ; +
∞
[, '( ) ( ) ( )
2 8
²
f x f x f x
x x x
− − =

⇔ pour tout réel x de ]0 ; +
∞
[,,
'( ) ( ) ( )
2 8
²
f x f x f x
x x x
− = +
⇔ pour tout réel x de ]0 ; +
∞
[, g’(x) =2g(x)+8
bien mettre en évidence que les équivalences sont valables pour tout réel x>0
ce qui démontre que
si f est solution de (E) alors g est solution de l’équation différentielle (E’) : y’= 2y+8
bien mettre en évidence l’implication démontrée ( même si on a pu raisonner par équivalence)
2. Par hypothèse : f(x)= x h(x) et h est solution de (E’).
Pour tout réel x de ]0 ; +
∞
[ ,
'( ) ( ) '( )
f x h x xh x
= +
et h’(x)=2h(x)+8 soit encore h’(x)–2h(x)=8
Alors , en remplaçant f(x) par x h(x) et
'( ) ( ) '( )
f x par h x xh x
+
on a :
Pour tout réel x de ]0 ; +
∞
[
'( ) (2 1) ( )
xf x x f x
− + =
( ( ) '( ))
x h x xh x
+
– (2x+1) x h(x) =
( ) ² '( ) 2 ² ( ) ( )
xh x x h x x h x xh x
+ − −
= x² (
'( ) 2 ( )
h x h x
−
)= 8x²
ce qui démontre que :
si f(x)= x h(x) avec h est solution de (E’) alors f est solution de (E)
3.
L’équation (E’) est du type y’=ay+b avec a = 2 et b=8 de solutions toutes les fonctions g définies sur
]0 ; +
∞
[ par g ( x )=
2
4
x
Ce
−
avec C décrivant IR.
On a vu d’après 1 et 2 que : f solution de (E) ⇔ f(x) = x g(x) avec g solution de (E’)
bien faire apparaître l’équivalence démontrée aux questions 1 et 2
Donc les solutions de (E) sont les fonctions f définies par f(x) = x (
2
4
x
Ce
−
) avec C ∈ IR.