09 - Dipôles RC et R..

Cours n°9 : Dipôles RC et RL
Introduction
Au chapitre précédent, nous avons étudié le comportement général d’un circuit et également le
comportement des conducteurs ohmiques.
Dans ce chapitre, nous allons nous intéresser au comportement de deux nouveaux dipôles : le
condensateur et la bobine.
1) Le condensateur
1.1) Définition et propriétés
Définition
Par définition, un condensateur est un dipôle constitué par deux plaques conductrices en regard, les
armatures, séparées par un isolant, le diélectrique (de l’air, du mica,…).
Les condensateurs diffèrent par leur géométrie. Effectivement, les armatures peuvent avoir plusieurs
formes.
Dans la pratique, on trouve principalement des condensateurs plans et cylindriques. Lorsque les
armatures sont planes, on parle de « condensateur plan ».
Charge par influence
+𝑄
diélectrique
+𝑄
+++++++++++
⟼
+++++++++++
⟼
𝑒−
𝐸⃗⃗
−𝑄
-----------
L’apparition d’une charge +𝑄 aux bornes d’un condensateur va entraîner l’apparition d’un champ
électrique autour d’elle. Au niveau de l’autre armature, il y a mise en mouvement des électrons libres
par l’action de la force électrostatique 𝐹⃗ = −𝑒 𝐸⃗⃗ , jusqu’à l’apparition d’une charge – 𝑄 sur l’autre
armature.
Ce mouvement de charges est un courant induit par le champ électrique à travers le diélectrique. Ce
courant s’appelle courant de déplacement.
Relation entre charge et tension
On peut montrer qu’aux bornes d’un condensateur, la charge est proportionnelle à la différence de
potentiel qui existe entre ses armatures. On a :
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𝑄𝐴 = 𝐶 𝑈𝐴𝐵 = 𝐶(𝑉𝐴 − 𝑉𝐵 )
𝑄𝐵 = −𝑄𝐴 = 𝐶 𝑈𝐵𝐴 = 𝐶(𝑉𝐵 − 𝑉𝐴 )
Où 𝐶 s’appelle la capacité du condensateur et vaut pour un condensateur plan :
𝐶=
𝜀𝑆
𝑑
𝑉𝐴
𝑄𝐴
𝐶
𝑑
𝑄𝐵
𝑆
𝑉𝐵
avec 𝜀 la permittivité du diélectrique (𝐹 ⁄𝑚), 𝑆 la surface des armatures et 𝑑 l’épaisseur du
diélectrique.
La capacité est caractéristique du condensateur considéré et s’exprime en Farads de symbole , avec
1 𝐹 = 1 𝐴2 𝑠 4 𝑘𝑔−1 𝑚−2 en 𝑆𝐼.
𝜀 = 𝜀0 𝜀𝑟
𝜀0 : permittivité diélectrique du vide.
𝜀𝑟 : permittivité diélectrique relative de l’isolant (grandeur sans dimension)
𝜀0 =
1
= 8,85 ∙ 10−12 𝐹 ⁄𝑚
36 𝜋 109
1.2) Le dipôle condensateur
Inséré dans un circuit électrique en reliant chaque armature à une borne, le condensateur devient un
dipôle.
Modélisation
Le condensateur est symbolisé par deux traits parallèles de la manière suivante en convention
récepteur :
𝐶
−𝑞
+𝑞
𝑑𝑞
𝑑𝑡 } ⇒ 𝑖 = 𝐶 𝑑𝑢𝐶
𝑑𝑡
𝑞 = 𝐶 𝑢𝐶
𝑖=
𝑖
𝑢𝐶
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Page 2
!
Avec un générateur de courant, l’intensité est constante. On a alors avec 𝑄(𝑡 = 0) = 0 :
𝐼=
𝑄
𝑡
ou
Q=I t
Association de capacités idéales
-
Condensateurs en série : plusieurs condensateurs en série se comportent comme un unique
condensateur de capacité équivalente 𝐶𝑒𝑞𝑆 telle que :
1
𝐶𝑒𝑞𝑆
=∑
𝑖
1
𝐶𝑖
Pour deux condensateurs 𝐶1 et 𝐶2 en série :
𝐶𝑒𝑞𝑆 =
-
𝐶1 𝐶2
𝐶1 + 𝐶2
Condensateurs en parallèle : plusieurs condensateurs en parallèle se comportent comme un
unique condensateur de capacité équivalente 𝐶𝑒𝑞𝑃 telle que :
𝐶𝑒𝑞𝑃 = ∑ 𝐶𝑖
𝑖
Pour deux condensateurs 𝐶1 et 𝐶2 en parallèle :
𝐶𝑒𝑞𝑃 = 𝐶1 + 𝐶2
1.3) Energie emmagasinée
L’énergie totale emmagasinée dans un condensateur vaut :
1
𝑊𝐶 = 𝐶 𝑢2
2
𝑢 étant la tension aux bornes du condensateur de capacité 𝐶.
Cette énergie est stockée sous forme d’énergie potentielle électrostatique.
On sait que 𝑞 = 𝐶 𝑢 donc :
1
1 𝑞2 1
𝑊𝐶 = 𝐶 𝑢2 =
= 𝑞𝑢
2
2𝐶
2
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1.4) Réponse du dipôle RC à un échelon de tension
1.4.1) Echelon de tension
Une source idéale de tension délivre un échelon de tension si la tension qu’elle produit est de la
forme :
𝑢(𝑡) = 0 pour 𝑡 < 0
{
𝑢(𝑡) = 𝐸 pour 𝑡 ≥ 0
𝑢(𝑡) en 𝑉
𝐸
𝑡 en 𝑠
La tension 𝑢(𝑡) va passer instantanément de la valeur 0 à la valeur 𝐸. Cela se produit notamment
lorsque l’on bascule l’interrupteur à 𝑡 = 0.
Ainsi, pour l’étude du dipôle RC, on utilisera le circuit suivant :
1
2
𝐸
1.4.2) Charge du condensateur à travers une résistance
Le condensateur est initialement déchargé (𝑞(0) = 0). L’interrupteur est basculé en position 1. On a
alors :
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𝑖
𝑢𝑅
𝑅
𝑢𝐺
𝐸
+𝑞
𝐶
𝑢𝐶
−𝑞
Aux bornes des différents dipôles, on a :
-
générateur en convention générateur ⇒ 𝑢𝐺 = 𝐸
-
résistance en convention récepteur ⇒ 𝑢𝑅 = 𝑅 𝑖 = 𝑅 𝑑𝑡
-
condensateur en convention récepteur ⇒ 𝑢𝐶 = 𝐶
𝑑𝑞
𝑞
La loi des mailles nous donne :
𝑢𝐶 + 𝑢𝑅 − 𝑢𝐺 = 0
𝑢𝐶 + 𝑢𝑅 = 𝑢𝐺
𝑅
𝑑𝑞 𝑞
+ =𝐸
𝑑𝑡 𝐶
𝑑𝑞
𝑞
𝐸
+
=
𝑑𝑡 𝑅𝐶 𝑅
Résolution de l’équation
On a une équation différentielle du premier ordre de solution :
𝑡
𝑞 = 𝐾𝑒 − 𝑅𝐶 + 𝐶𝐸
A = 0 , 𝑞 = 0 donc 𝐾 = −𝐶𝐸
𝑡
⇒ 𝑞 = 𝐶𝐸 (1 − 𝑒 − 𝑅𝐶 )
En posant = 𝑅𝐶 , on obtient :
𝑡
𝑞(𝑡) = 𝐶𝐸 (1 − 𝑒 − 𝜏 )
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La tension aux bornes du condensateur est donc donnée par :
𝑢𝐶 (𝑡) =
𝑞
𝐶
𝑡
⇒ 𝑢𝐶 (𝑡) = 𝐸 (1 − 𝑒 − 𝜏 )
Aux bornes de la résistance, on a 𝑢𝑅 = 𝐸 − 𝑢𝐶
𝑡
𝑢𝑅 (𝑡) = 𝐸 𝑒 − 𝜏
donc
𝑖(𝑡) =
𝑡
𝐸 −𝑡
𝑒 𝜏 = 𝑖0 𝑒 − 𝜏
𝑅
𝜏 est appelée constante de temps du dipôle RC.
C’est un temps caractéristique d’évolution du système.
𝑢𝐶 (𝑡)
𝐸
0,63 𝐸
0,5 𝐸
𝑡1⁄
2
𝜏
5𝜏
𝑡
𝑢𝐶 (𝜏) = 𝐸(1 − 𝑒 −1 ) = 0,63 𝐸 = 63% 𝐸
𝑢𝐶 (5𝜏) = 𝐸(1 − 𝑒 −5 ) = 99% 𝐸
On est en régime permanent à partir de 𝑡 = 5𝜏
𝑡1⁄ = 𝜏 ln 2
2
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𝑖(𝑡)
𝑖0
0,5 𝑖0
0,37 𝑖0
𝑡1⁄
2
𝜏
𝑡
5𝜏
Au moment où l’on ferme l’interrupteur, la tension aux bornes du condensateur est nulle et il
s’établit un courant 𝑖0 =
𝐸
𝑅
.
Pendant la charge, 𝑢𝐶 augmente et 𝑖 donc 𝑢𝑅 diminuent en régime transitoire.
En régime permanent (𝑡 > 5𝜏), le condensateur est chargé donc il n’y a plus de mouvement de
charges et 𝑖 = 0.
On a :
lim 𝑖(𝑡) = lim 𝑢𝑅 (𝑡) = 0
𝑡→+∞
𝑡→+∞
1.4.3) Décharge du condensateur à travers une résistance
L’interrupteur est maintenant basculé en position 2 après avoir initialement chargé le condensateur.
𝑢𝑅
𝑅
𝑖
𝑢𝐶
𝐶
+𝑞
−𝑞
Il y a décharge lorsque l’on supprime le générateur une fois le condensateur chargé. Celui-ci peut
débiter un courant 𝑖 dans le sens inverse de celui de la charge.
Le condensateur se comporte alors comme un générateur.
Conditions initiales du problème :
𝑢𝐶 (0) = 𝑢0
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et
𝑞(0) = 𝑞0 = 𝐶 𝑢0
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Page 7
Pendant la décharge, le courant entre par l’armature négative du condensateur, on a donc :
𝑖=
𝑑(−𝑞)
𝑑𝑞
=−
𝑑𝑡
𝑑𝑡
La loi des mailles nous donne :
𝑢𝐶 − 𝑢𝑅 = 0
On a
𝑢𝐶 =
𝑞
𝐶
et
𝑢𝑅 = 𝑅 𝑖 = −𝑅
𝑑𝑞
𝑑𝑡
d’où, on obtient :
𝑞
𝑑𝑞
+𝑅
=0
𝐶
𝑑𝑡
soit
𝑑𝑞
𝑞
+
=0
𝑑𝑡 𝑅𝐶
Résolution de l’équation
𝑡
𝑞(𝑡) = 𝐾𝑒 − 𝑅𝐶
𝑞(0) = 𝑞0 = 𝐶 𝑢0 ⇒ 𝐾 = 𝐶 𝑢0
En posant = 𝑅𝐶 , on obtient :
𝑡
𝑞(𝑡) = 𝐶 𝑢0 𝑒 − 𝜏
𝑞
Aux bornes du condensateur, on a 𝑢𝐶 = 𝐶 donc :
𝑡
𝑢𝐶 = 𝑢0 𝑒 − 𝜏
Aux bornes de la résistance :
𝑡
𝑢𝑅 = 𝑢𝐶 = 𝑢 0 𝑒 − 𝜏
L’intensité du courant est :
𝑖(𝑡) =
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𝑡
𝑢𝑅
𝑢0 𝑡
⇒ 𝑖(𝑡) = 𝑒 − 𝜏 = 𝑖0 𝑒 − 𝜏
𝑅
𝑅
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𝑢𝐶 (𝑡)
𝑢0
0,5 𝑢0
0,37 𝑢0
𝑡1⁄
𝜏
2
𝑡
5𝜏
𝑢𝐶 (𝜏) = 𝑢0 𝑒 −1 = 37% 𝑢0
𝑢𝐶 (5𝜏) = 𝑢0 𝑒 −5 = 6,7 ∙ 10−3 𝑢0 = 0,7%𝑢0
La tension aux bornes du condensateur est éteinte après 5𝜏.
𝑖(𝑡)
𝑖0
0,5 𝑖0
0,37 𝑖0
𝑡1⁄
2
𝜏
5𝜏
𝑡
A l’instant où l’on bascule l’interrupteur (𝑡 = 0), la tension aux bornes du condensateur vaut 𝑢0 et il
s’établit un courant 𝑖0 =
𝑢0
.
𝑅
Pendant la décharge, on est en régime transitoire avec 𝑢𝐶 et 𝑖 décroissantes donc 𝑢𝑅 décroissante.
En régime permanent (𝑡 > 5𝜏) le condensateur est déchargé et il n’y a plus de mouvement de
charges donc la tension et l’intensité s’éteignent. On a :
lim 𝑢𝐶 (𝑡) = lim 𝑖(𝑡) = 0
𝑡→+∞
𝑡→+∞
1.5) Charge à courant constant
On branche un dipôle RC en série avec un générateur de courant délivrant une intensité constante.
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𝐼
𝑢𝑅
𝑅
𝑢𝐺
+𝑞
𝐶
𝐼=
𝑢𝐶
−𝑞
𝑑𝑞
= 𝑐𝑠𝑡𝑒
𝑑𝑡
La charge du condensateur est :
𝑞(𝑡) = 𝐼 𝑡 + 𝑞0
Si le condensateur est initialement déchargé alors 𝑞0 = 0.
⇒
𝑞(𝑡) = 𝐼 𝑡
⇒ 𝑢𝐶 (𝑡) =
𝐼
𝑡
𝐶
𝑢𝐶 (𝑡)
𝑈𝑚𝑎𝑥
𝑡
La tension 𝑢𝐶 augmente linéairement jusqu’à une valeur maximale 𝑈𝑚𝑎𝑥 appelée tension de
claquage pour laquelle il se produit un arc électrique entre les deux armatures. Le condensateur est
alors définitivement détérioré.
2) Le dipôle RL
2.1) La bobine
Une bobine est un dipôle constitué d’un enroulement de fil conducteur.
Quand cette bobine est parcourue par un courant, elle crée un champ magnétique.
Lorsque l’intensité varie, le champ magnétique créé varie également et il apparaît alors une force
électromotrice auto-induite 𝑒 d’autant plus importante que le courant varie rapidement.
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Loi de Lenz :
𝑒 = −𝐿
𝑑𝑖
𝑑𝑡
𝐿 : inductance de la bobine exprimée en Henry de symbole 𝐻.
Le signe – dans l’expression de 𝑒 exprime l’opposition de la bobine aux variations de l’intensité
électrique.
Ainsi, par définition, une bobine est un dipôle s’opposant aux variations d’intensité du courant qui le
traverse.
2.1.1) Inductance pure
𝑒
𝑖
𝑢𝐿
La tension aux bornes de la bobine est donnée par la relation :
𝑢𝐿 = −𝑒 = 𝐿
-
En régime stationnaire, 𝑖 = 𝑐𝑠𝑡𝑒 ⇒
𝑑𝑖
𝑑𝑡
𝑑𝑖
𝑑𝑡
= 0 ⇒ 𝑢𝐿 = 0.
La bobine n’a pas d’effet sur le courant. Elle se comporte comme un fil électrique.
-
𝑑𝑖
Si 𝑖 augmente alors 𝑑𝑡 > 0 ⇒ 𝑒 < 0.
Il se crée dans la bobine une f.é.m. qui produit un courant s’opposant au sens conventionnel
du courant et donc à l’augmentation de 𝑖.
-
𝑑𝑖
Si 𝑖 diminue alors 𝑑𝑡 < 0 ⇒ 𝑒 > 0.
Il se crée dans la bobine une f.é.m. qui produit un courant dans le sens conventionnel et
donc s’oppose à la diminution de 𝑖.
2.1.2) Energie stockée dans bobine
Soit 𝑊𝐿 l’énergie stockée dans bobine (en 𝐽), on a :
1
𝑊𝐿 = 𝐿 𝑖 2
2
𝐿 :inductance de la bobine (𝐻).
𝑖 : intensité du courant traversant la bobine (𝐴).
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2.1.3) Bobine réelle
En réalité, du fait de la grande longueur de fil bobinée, la bobine possède une résistance interne 𝑟.
Ainsi, une partie de l’énergie reçue par la bobine va être dissipée par effet Joule dans la résistance
interne.
On peut ainsi modéliser la bobine de la manière suivante en convention récepteur :
𝐿, 𝑟
𝑖
𝑖
⟺
𝑢𝐿
𝐿
𝑟
𝑒
𝑟𝑖
𝑢𝐿
On a :
𝑢𝐿 = −𝑒 + 𝑟 𝑖
d’où
𝑢𝐿 = 𝐿
𝑑𝑖
+𝑟𝑖
𝑑𝑡
𝑢𝐿 représente la tension aux bornes d’une bobine réelle.
2.1.4) Associations de bobines idéales
Bobines idéales en série : plusieurs bobines en série se comportent comme une unique bobine
d’inductance équivalente 𝐿𝑒𝑞𝑆 telle que :
𝐿𝑒𝑞𝑆 = ∑ 𝐿𝑖
𝑖
Pour deux bobines 𝐿1 et 𝐿2 en série :
𝐿𝑒𝑞𝑆 = 𝐿1 + 𝐿2
Bobines idéales en parallèle : plusieurs bobines en parallèle se comportent comme une unique
bobine d’inductance équivalente 𝐿𝑒𝑞𝑃 telle que :
1
𝐿𝑒𝑞𝑃
=∑
𝑖
1
𝐿𝑖
Pour deux bobines 𝐿1 et 𝐿2 en parallèle :
𝐿𝑒𝑞𝑃 =
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𝐿1 𝐿2
𝐿1 + 𝐿2
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2.2) Réponse du dipôle RL à un échelon de tension
1
2
𝑅
𝐸
(𝐿, 𝑟)
Le circuit d’étude comporte un générateur parfait de f.é.m. 𝐸, un bobine d’inductance 𝐿 et de
résistance interne 𝑟, et une résistance 𝑅.
2.2.1) Etablissement du courant
A 𝑡 = 0, on bascule l’interrupteur en position 1. On a alors le circuit suivant :
𝑖
On a :
𝑢𝑅
𝑅
𝑢𝐺 = 𝐸
𝑢𝑅 = 𝑅 𝑖
𝑢𝐺 = 𝐸
𝑢𝐿
(𝐿, 𝑟)
𝑢𝐿 = 𝑟 𝑖 + 𝐿
𝑑𝑖
𝑑𝑡
La loi des mailles donne :
𝑢𝑅 + 𝑢𝐿 − 𝑢𝐺 = 0
𝑢𝑅 + 𝑢𝐿 = 𝑢𝐺
⇒
𝑅𝑖+𝑟𝑖+𝐿
𝑑𝑖
=𝐸
𝑑𝑡
soit
(𝑟 + 𝑅) 𝑖 + 𝐿
𝑑𝑖
=𝐸
𝑑𝑡
En posant 𝑅𝑇 = 𝑟 + 𝑅, on obtient :
𝑑𝑖 𝑅𝑇
𝐸
+
𝑖=
𝑑𝑡
𝐿
𝐿
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Résolution de l’équation différentielle
En posant
𝜏=
𝐿
𝑅𝑇
on obtient :
𝑑𝑖 𝑖 𝐸
+ =
𝑑𝑡 𝜏 𝐿
Equation différentielle du premier ordre de solution :
𝑡
𝑖(𝑡) = 𝐾𝑒 − 𝜏 +
𝐸
𝑅𝑇
Le courant ne subit pas de discontinuité donc à 𝑡 = 0 , 𝑖 = 0, car le circuit est initialement ouvert.
⇒
0=𝐾+
𝐸
𝑅𝑇
⇒
𝐾=−
𝐸
𝑅𝑇
d’où
𝑖(𝑡) =
𝑡
𝑡
𝐸
𝐸
(1 − 𝑒 − 𝜏 ) =
(1 − 𝑒 − 𝜏 )
𝑅𝑇
𝑟+𝑅
𝐸
En posant 𝐼𝑚 = 𝑅 .
𝑇
𝑡
𝑖(𝑡) = 𝐼𝑚 (1 − 𝑒 − 𝜏 )
On en déduit donc les différentes tensions.
Aux bornes de la résistance :
𝑡
𝑢𝑅 (𝑡) = 𝑅 𝐼𝑚 (1 − 𝑒 − 𝜏 ) =
𝑡
𝑡
𝑅𝐸
𝑅𝐸
(1 − 𝑒 − 𝜏 ) =
(1 − 𝑒 − 𝜏 )
𝑅𝑇
𝑟+𝑅
Aux bornes de la bobine :
𝑢𝐿 = 𝐿
𝑑𝑖
+𝑟𝑖
𝑑𝑡
𝑑𝑖 𝐸 − 𝑡
= 𝑒 𝜏
𝑑𝑡 𝐿
⇒ 𝑢𝐿 (𝑡) =
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𝑡
𝑡
𝑟𝐸
𝑟
𝐸
+ (1 − ) 𝐸𝑒 − 𝜏 =
(𝑟 + 𝑅 𝑒 − 𝜏 )
𝑅𝑇
𝑅𝑇
𝑟+𝑅
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𝑖(𝑡)
𝐼𝑚
0,63 𝐼𝑚
0,5 𝐼𝑚
𝑡1⁄
2
𝜏
𝑡
5𝜏
𝑢𝐿
𝐸
𝑟𝐸
𝑅𝑇
0
𝑡
La bobine va retarder l’établissement du courant dans le circuit par effet inertiel.
2.2.2) Rupture du courant
Un fois le régime stationnaire établi, on bascule l’interrupteur en position 2. La bobine se comporte
alors comme un générateur.
𝑖
𝑢𝐿 = 𝑒 − 𝑟 𝑖 = −𝐿
𝑢𝑅
𝑑𝑖
−𝑟𝑖
𝑑𝑡
𝑢𝑅 = 𝑅 𝑖
𝑅
Loi des mailles :
𝑢𝐿
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(𝐿, 𝑟)
𝑢𝐿 − 𝑢𝑅 = 0
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−𝐿
𝑑𝑖
−𝑟𝑖−𝑅𝑖 = 0
𝑑𝑡
⇒
𝑑𝑖 𝑟 + 𝑅
+
𝑖=0
𝑑𝑡
𝐿
Soit avec 𝑅𝑇 = 𝑟 + 𝑅 :
𝑑𝑖 𝑅𝑇
+
𝑖=0
𝑑𝑡
𝐿
Résolution de l’équation différentielle
En posant
𝜏=
𝐿
𝑅𝑇
on obtient :
𝑑𝑖 𝑖
+ =0
𝑑𝑡 𝜏
Equation différentielle du premier ordre de solution :
𝑡
𝑖(𝑡) = 𝐾𝑒 − 𝜏
𝐸
Le courant ne subit pas de discontinuité donc à 𝑡 = 0, 𝑖(0) = 𝑅 = 𝐼𝑚
𝑇
⇒𝐾=
𝐸
𝑅𝑇
Ainsi
𝑖(𝑡) =
𝑡
𝐸 −𝑡
𝐸
𝑒 𝜏=
𝑒− 𝜏
𝑅𝑇
𝑟+𝑅
On en déduit les différentes tensions :
Aux bornes de la résistance :
𝑢𝑅 (𝑡) = 𝑅 𝑖 =
𝑅𝐸 −𝑡
𝑅 𝐸 −𝑡
𝑒 𝜏=
𝑒 𝜏
𝑅𝑇
𝑟+𝑅
Aux bornes de la bobine :
𝑢𝐿 (𝑡) = 𝑢𝑅 (𝑡) =
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𝑅𝐸 −𝑡
𝑅 𝐸 −𝑡
𝑒 𝜏=
𝑒 𝜏
𝑅𝑇
𝑟+𝑅
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𝑖(𝑡)
𝐸
𝑅𝑇
0,37
𝐸
𝑅𝑇
𝜏
5𝜏
𝑡
𝑢𝐿 (𝑡)
𝑅𝐸
𝑅𝑇
0,37
𝑅𝐸
𝑅𝑇
𝜏
5𝜏
𝑡
La bobine va retarder l’extinction du courant par effet inertiel.
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