( )2n!1 ( )2n!1 ( )+1

Quelques applications du petit théorème de Fermat
Le petit théorème de Fermat. Si p est un premier et ne divise pas
a!!"
alors p divise
ap!1!1
.
Il existe deux types de premiers impairs, ceux de la forme
4n!1
(par exemple 3 ; 7 ; 11 ; 19 ; 23 ; ...)
et ceux de la forme,
4n+1
(par exemple 5 ; 13 ; 17 ; 29 ; 37 ; ...).
Observation.
5=12+22
;
13 =22+32
;
17 =12+42
;
29 =22+52
;
65 =5!13 =12+82
; ...
Fermat affirmait avoir prouvé que tout nombre impair n’admettant que des diviseurs premiers de la
forme
4n+1
admet une écriture sous la forme d’une somme de deux carrés.
Ci-dessous figure une sorte de réciproque tout aussi fondamentale.
Théorème 1. Tout diviseur premier impair p d’une somme de deux carrés premiers entre eux ne peut
être de la forme
p=4n!1
. Autre dit, si
p|a2+b2
et que
(a,b)=1
alors
p=4n+1
.
Dém. Par l’absurde. Supposons le contraire,
a2+b2=pC
et
p=4n!1
avec
(a,b)=1
et
C!!
.
Par Fermat on a
a4n!2=1+Ap
et
b4n!2=1+Bp
. Or, en effectuant la somme de ces deux derniers :
2+(A+B)p=a4n!2+b4n!2=a2
( )
2n!1+b2
( )
2n!1=a2+b2
( )
polynôme en a et b
( )
Absurde, puisque le membre de l’extrême gauche n’est pas divisible par p alors qu’à droite il l’est !
Dans l’article E134, L. Euler généralise le résultat précédent pour obtenir :
- si
p|a22+b22
et que
(a,b)=1
alors
p=23n+1
, et même plus généralement
- si
p|a2k+b2k
et que
(a,b)=1
alors
p=2k+1n+1
.
D’où l’on déduit aisément le cas particulier en prenant
a=2
et
b=1
.
Corollaire. Tout diviseur premier p du nombre de Fermat
Fk:=22k
+1
est de la forme
p=2k+1n+1
.
Exercice 1. Montrer que si
F
0=3
,
F
1=5
,
F
2=17
,
F
3=257
et
F
4=65537
sont tous premiers en
revanche,
F
5=225
+1=4294967297
est divisible par un premier de la forme
26k+1
où
k!10
.
Autre résultat du même genre, mais concernant les nombres de Mersenne,
Mp:=2p!1
.
Exercice 2. a) Montrer que si
p
est composé alors
Mp
l’est aussi.
b) Vérifier que
M2=3
,
M3=7
,
M5=17
et
M7=127
sont premiers, mais qu’en revanche
M11 =2047 =23!89 =2!11+1
( )
!2!11!4+1
( )
est composé, et donc la condition que p soit premier ne
garantit pas que
Mp
le soit. Cependant si
Mp
l’est montrer alors que
2p!12p!1
( )
est parfait.
Théorème 2. Tout diviseur premier q de
Mp=2p!1
est de la forme
q=2kp +1
avec
k!!
.
Dém. Supposons que
q| 2p!1
. Par Fermat on sait que
q| 2q!1!1
. Montrons alors que
q!1
est un
multiple de p. Soit le plus petit entier
m>1
tel que
q| 2m!1
. Par division euclidienne de p par m on a
p=s!m+r
avec
0!r<m
. Comme
q| 2p!1=2sm+r!1=2m!1
( )
+1
( )
s
"2r!1
, alors après
développement, on voit que
q| 2r!1
. Par minimalité de m, on en déduit
s=1
et
m=p
. En résumé,
si
q| 2n!1
pour
n!!
quelconque > 1 alors forcément n est un multiplie de p. En particulier,
comme par Fermat,
q| 2q!1!1
alors
q!1
est un multiple de p, c’est-à-dire
pk =q!1
. Autrement
dit,
q=pk +1
pour
k!!
. Enfin, comme q est impair alors on peut même affirmer que
q=2kp +1
pour un
k!!
.

Comme troisième application du petit théorème de Fermat nous énonçons un critère de non
primalité, plus précisément une méthode permettant révéler qu’un nombre donné n est composé, sans
connaître aucun de ses diviseurs. La méthode s’appuie sur la contraposée de Fermat.
Théorème. Si pour un certain n (que l’on appelle le témoin) avec
(n,p)=1
on a que p ne divise pas
np!1!1
alors p n’est pas premier. En résumé, si
(n,p)=1
et
p/
|np!1!1
alors p est composé.
Montrons sur un exemple le mode de fonctionnement de la méthode.
Prouvons que le nombre
p=1073
est composé en prenant
n=2
comme témoin.
À prouver
1073 / | 21072 !1
.
Le truc consiste à ne s’intéresser qu’aux restes des divisions euclidiennes des puissances de 2 par
1073. On introduit la notation «
a!rmod(1073)
» qui se lit « a est congru à r modulo 1073 » et qui
signifie « le reste de la division euclidienne de a par 1073 est r ».
Exemples.
1)
1080 !7 mod(1073)
car
1080 =1!1073 +7
2)
2!2mod(1073)
car
2=0!1073 +2
On voit facilement que si
a!rmod(1073)
et que
b!smod(1073)
alors
a!b"r!smod(1073)
.
En effet, chacune des écritures signifient
a=q1!1073 +r
,
b=q2!1073 +s
et donc
a!b=q1!1073 +r
( )
q2!1073 +s
( )
=q3!1073 +r!s
pour certains nombres
qi!!
.
Commençons par écrire 1073 en base deux :
1073 =210 +25+24+1
.
Ensuite en élevant systématiquement au carré les deux expressions de part et d’autre de la
congruence, et en réduisant si nécessaire encore modulo 1073, on obtient :
2!2mod(1073)
;
22!4mod(1073)
;
222!16mod(1073)
;
223!256mod(1073)
;
224!2562!83mod(1073)
;
225!832!451mod(1073)
;
226!4512!604mod(1073)
;
227!6042!1069mod(1073)
;
228!10692!16 mod(1073)
;
229!162!256mod(1073)
;
et
2210 !2562!83mod(1073)
D’où
21073!1=21072 =2210 "225"224#83"451"83 #604mod(1073)
et
604 !1=603
n’est pas divisible par 1073. D’où
p=1073
n’est pas premier !
Pour d’avantage d’explications (but in English) consulter
https://fr.khanacademy.org/computing/computer-science/cryptography/random-algorithms-
probability/v/fermat-primality-test-prime-adventure-part-10
Sinon, The Higher Arithmetic de H. Davenport.