( )2n!1 ( )2n!1 ( )+1

Quelques applications du petit théorème de Fermat
Le petit théorème de Fermat. Si p est un premier et ne divise pas a !! " alors p divise a p!1 ! 1 .
Il existe deux types de premiers impairs, ceux de la forme 4n ! 1 (par exemple 3 ; 7 ; 11 ; 19 ; 23 ; ...)
et ceux de la forme, 4n + 1 (par exemple 5 ; 13 ; 17 ; 29 ; 37 ; ...).
Observation. 5 = 12 + 22 ; 13 = 22 + 32 ; 17 = 12 + 42 ; 29 = 22 + 52 ; 65 = 5!13 = 12 + 82 ; ...
Fermat affirmait avoir prouvé que tout nombre impair n’admettant que des diviseurs premiers de la
forme 4n + 1 admet une écriture sous la forme d’une somme de deux carrés.
Ci-dessous figure une sorte de réciproque tout aussi fondamentale.
Théorème 1. Tout diviseur premier impair p d’une somme de deux carrés premiers entre eux ne peut
être de la forme p = 4n ! 1 . Autre dit, si p | a 2 + b2 et que (a,b) = 1 alors p = 4n + 1 .
Dém. Par l’absurde. Supposons le contraire, a 2 + b2 = pC et p = 4n ! 1 avec (a,b) = 1 et C !! .
Par Fermat on a a 4n!2 = 1+ Ap et b4n!2 = 1+ Bp . Or, en effectuant la somme de ces deux derniers :
( )
2 + ( A + B) p = a 4n!2 + b4n!2 = a 2
2n!1
( )
+ b2
2n!1
(
)
= a 2 + b2 ( polynôme en a et b)
Absurde, puisque le membre de l’extrême gauche n’est pas divisible par p alors qu’à droite il l’est !
Dans l’article E134, L. Euler généralise le résultat précédent pour obtenir :
2
2
- si p | a 2 + b2 et que (a,b) = 1 alors p = 23 n + 1 , et même plus généralement
k
k
- si p | a 2 + b2 et que (a,b) = 1 alors p = 2 k+1 n + 1 .
D’où l’on déduit aisément le cas particulier en prenant a = 2 et b = 1 .
k
Corollaire. Tout diviseur premier p du nombre de Fermat Fk := 22 + 1 est de la forme p = 2 k+1 n + 1 .
Exercice 1. Montrer que si F0 = 3 , F1 = 5 , F2 = 17 , F3 = 257 et F4 = 65537 sont tous premiers en
5
revanche, F5 = 22 + 1 = 4294967297 est divisible par un premier de la forme 26 k + 1 où k ! 10 .
Autre résultat du même genre, mais concernant les nombres de Mersenne, M p := 2 p ! 1 .
Exercice 2. a) Montrer que si p est composé alors M p l’est aussi.
b) Vérifier que M 2 = 3 , M 3 = 7 , M 5 = 17 et M 7 = 127 sont premiers, mais qu’en revanche
M11 = 2047 = 23!89 = ( 2 !11+ 1) ! ( 2 !11! 4 + 1) est composé, et donc la condition que p soit premier ne
(
)
garantit pas que M p le soit. Cependant si M p l’est montrer alors que 2 p!1 2 p ! 1 est parfait.
Théorème 2. Tout diviseur premier q de M p = 2 p ! 1 est de la forme q = 2kp + 1 avec k !! .
Dém. Supposons que q | 2 p ! 1 . Par Fermat on sait que q | 2q!1 ! 1 . Montrons alors que q ! 1 est un
multiple de p. Soit le plus petit entier m > 1 tel que q | 2 m ! 1 . Par division euclidienne de p par m on a
((
) )
s
p = s ! m + r avec 0 ! r < m . Comme q | 2 p ! 1 = 2sm+r ! 1 = 2 m ! 1 + 1 " 2r ! 1 , alors après
développement, on voit que q | 2r ! 1 . Par minimalité de m, on en déduit s = 1 et m = p . En résumé,
si q | 2 n ! 1 pour n !! quelconque > 1 alors forcément n est un multiplie de p. En particulier,
comme par Fermat, q | 2q!1 ! 1 alors q ! 1 est un multiple de p, c’est-à-dire pk = q ! 1 . Autrement
dit, q = pk + 1 pour k !! . Enfin, comme q est impair alors on peut même affirmer que q = 2kp + 1
pour un k !! .
Comme troisième application du petit théorème de Fermat nous énonçons un critère de non
primalité, plus précisément une méthode permettant révéler qu’un nombre donné n est composé, sans
connaître aucun de ses diviseurs. La méthode s’appuie sur la contraposée de Fermat.
Théorème. Si pour un certain n (que l’on appelle le témoin) avec (n, p) = 1 on a que p ne divise pas
n p!1 ! 1 alors p n’est pas premier. En résumé, si (n, p) = 1 et p /| n p!1 ! 1 alors p est composé.
Montrons sur un exemple le mode de fonctionnement de la méthode.
Prouvons que le nombre p = 1073 est composé en prenant n = 2 comme témoin.
À prouver 1073 /| 21072 ! 1 .
Le truc consiste à ne s’intéresser qu’aux restes des divisions euclidiennes des puissances de 2 par
1073. On introduit la notation « a ! r mod(1073) » qui se lit « a est congru à r modulo 1073 » et qui
signifie « le reste de la division euclidienne de a par 1073 est r ».
Exemples.
1) 1080 ! 7 mod(1073) car 1080 = 1!1073+ 7
2) 2 ! 2mod(1073) car 2 = 0 !1073+ 2
On voit facilement que si a ! r mod(1073) et que b ! s mod(1073) alors a ! b " r ! s mod(1073) .
En effet, chacune des écritures signifient a = q1 !1073+ r , b = q2 !1073+ s et donc
a ! b = ( q1 !1073+ r ) ( q2 !1073+ s ) = q3 !1073+ r ! s pour certains nombres qi !! .
Commençons par écrire 1073 en base deux : 1073 = 210 + 25 + 24 + 1 .
Ensuite en élevant systématiquement au carré les deux expressions de part et d’autre de la
congruence, et en réduisant si nécessaire encore modulo 1073, on obtient :
2
3
2 ! 2mod(1073) ; 22 ! 4mod(1073) ; 22 ! 16mod(1073) ; 22 ! 256mod(1073) ;
4
; 22 ! 832 ! 451mod(1073) ; 22 ! 4512 ! 604mod(1073) ;
7
; 22 ! 10692 ! 16mod(1073) ; 22 ! 162 ! 256mod(1073) ;
22 ! 2562 ! 83mod(1073)
22 ! 6042 ! 1069mod(1073)
5
8
6
9
10
et 22 ! 2562 ! 83mod(1073)
D’où
10
5
4
21073!1 = 21072 = 22 " 22 " 22 # 83" 451"83 # 604mod(1073)
et 604 ! 1 = 603 n’est pas divisible par 1073. D’où p = 1073 n’est pas premier !
Pour d’avantage d’explications (but in English) consulter
https://fr.khanacademy.org/computing/computer-science/cryptography/random-algorithmsprobability/v/fermat-primality-test-prime-adventure-part-10
Sinon, The Higher Arithmetic de H. Davenport.