quantité kxkest finie pour tout x. De plus, on a clairement kx∗xk=kxk2. On quotiente maintenant A0
θpar
le sous-espace suivant, pour obtenir une norme :
N:=x∈A0
θ;∀(H,π)∈Γ π(x) = 0
On note Aθle séparé-complété pourla semi-norme définie ci-dessus du quotientA0
θ/N. Cet espace est
uneC∗-algèbre à élément unité, non triviale (puisqu’ona exhibé une représentation non triviale ci-dessus),
qui vérifie la propriété universelle suivante :
Proposition 1.3. Soit C une C∗-algèbre à unité contentant deux unitaires u0et v0vérifiant les relations
(1.1.1). Alors il existe un unique morphisme de C∗-algèbres unifère ϕ:Aθ→C, tel que ϕ(u) = u0et
ϕ(v) = v0.
Démonstration. Soit πune représentation isométrique de Cdans B(H), où Hest un espace de Hilbert.
Une telle représentation existe toujours, par la théorie générale des C∗-algèbres. Alors π◦Φ0est une re-
présentation de A0
θ, et par définition de la norme sur Aθ, on a kxk ≥
π◦Φ0(x)
=
Φ0(x)
. Donc on peut
prolonger Φ0par continuité.
On en conclut que toute C∗-algèbre vérifiant cette propriété universelle est isomorphe à Aθ, et donc
l’unicité à isomorphisme près de Aθ.
1.2 Simplicité de Aθ
A partir de maintenant, θsera un nombre irrationnel. On peut supposer que θ∈[0,1].
Action du tore sur Aθ
Soit (λ,µ)∈S1×S1. On a (λu)(µv) = e2iπθ(µv)(λu), donc par propriété universelle, il existe un mor-
phisme continu de C∗-algèbres : αλ,µ:Aθ−→ Aθ
u7−→ λu
v7−→ λv
On a immédiatement que αλ,µ◦αλ0,µ0=αλλ0,µµ0. En particulier, αλ,µ◦αλ,µ=αλ,µ◦αλ,µ=idAθ, donc pour
tout (λ,µ),αλ,µ∈Aut(Aθ). De plus, αλ,µest une isométrie pour tout (λ,µ).
Proposition 1.4. Pour tout x ∈Aθ, l’application (λ,µ)7→ αλ,µ(x)est continue.
Démonstration. Il suffit de montrer que l’application est continue en (1,1). Montrons qu’il suffit aussi de
le montrer pour xdans un sous-ensemble total Sde Aθ. En effet, par linéarité, on peut supposer que Sest
dense. Mais alors soit x∈Aθ, soit x0∈Stel que
x−x0
≤ε, on a :
x−αλ,µ(x)
=
(x−x0)−αλ,µ(x−x0) + x0−αλ,µ(x0)
≤ε+ε+ε
dès que (λ,µ)est assez proche de (1,1), par hypothèse, et car αλ,µest isométrique.
Reste donc à prouver la continuité pour un ensemble total. Mais en calquant la démonstration de la
proposition (1.1), on montre que tout élément de A0
θest une somme finie d’éléments de la forme unvm,
pour n,m∈Z, donc ces éléments forment un système total dans Aθ. Mais la continuité de αλ,µsur ces
éléments est exactement la continuité de la multiplication par un scalaire dans Aθ, donc la preuve est
finie.
Proposition 1.5 (Remarque fondamentale). Si (λ,µ)est de la forme (e2inπθ,e2imπθ), où n,m∈Z, alors
αλ,µest un automorphisme intérieur, plus précisément :
αλ,µ(x) = u−mvnxu−mvn∗
Notons que comme on a supposé θirrationnel, αλ,µest intérieur pour (λ,µ)dense dans S1×S1.
Démonstration. On vérifie pour x=uet x=v, puis comme αλ,µest un morphisme d’algèbre, on a la
propriété pour x∈A0
θ, et par densité, pour tout x∈Aθ.
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