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MP Lycée Berthollet, 2014/2015
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Résumé 15 : Algèbre générale
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1GROUPES
§ 1. Lois de composition interne.— Définition d’un loi, de la commutativité,
de l’associativité, de l’élément neutre, du symétrique.
§ 2. Groupes.— et sous-groupes
Définition 1.1
Un groupe est un ensemble Gmuni d’un loi de composition interne ∗vérifiant
les propriétés suivantes :
(i) La loi ∗est associative.
(ii) Elle est munie d’un élément neutre e.
(iii) Tout élément de Gadmet un symétrique.
Si la loi est commutative, le groupe est dit abélien ou commutatif.
Si x∈G, pour tout n∈N,, on note xn=x∗x∗ · · · ∗ x
| {z }
mfois
, et x−n= (xn)−1. Ces
éléments appartiennet à G. Attention toutefois : ceci est la notation multiplica-
tive, i.e que c’est celle pour la loi ×et la loi◦. Pour la loi +, les itérés de xse
notent plutôt nx.
EXEMPLES :
IPour la loi +:C,Mn,p(K), E, où Eest un espace vectoriel , F(X, E), où Xest un
ensemble.
IPour la loi ×:C∗, Gln(K).
IPour la loi ◦:SXpour tout ensemble X, est appelé groupe de permuations de X. et en
particulier Sn. Profitons-en pour un bref rappel sur Sn, notamment les transpositions,
les p−cycles, la notation en deux lignes. Décomposition d’un permutation comme
produit de cycles à supports disjoints, unicité de cette décomposition et commutativité
(les étudiants doivent savoir décomposer une permutation, dixit le programme).
IGroupe-Produit : Etant donnés (G1,∗)et (G2, ]), on définit une loi Tsur G1×G2
par
(x1, x2)T(y1, y2)=(x1∗y1, x2]y2).
Muni de cette loi, G1×G2est un groupe. Le symétrique de (x1, x2)est (x−1
1, x−1
2).
Par récurrence, on définit une structure de groupe sur un produit fini de groupes.
Une partie Hd’un groupe (G, ∗)est un sous-groupe de Glorsqu’elle vérifie les
propriétés suivantes :
(i) Hn’est pas vide.
(ii) Hest stable par ∗.
(iii) Muni de ∗,Hest un groupe.
Puisque la loi sur Hhérite de certaines propriétés de la loi sur G, il est plus
aisé de prouver la structure de sous-groupe que celle de groupe :
Proposition 1.2
Soit (G, ∗)un groupe et H⊂G.Hest un sous-groupe de Gsi et seulement si
(i) e∈H.
(ii) Pour tout x, y ∈G, x ∗y−1∈H.
EXEMPLES :
1. Dans (C,+),ilyaR,R[i],Q,Z,...
2. Dans (C∗,×),ilyaR∗,R∗
+,Q∗, S1, Un,....
3. Dans GLn(K),×,ilyaSln,On, Tn∩Gln,...
4. Pour la loi de composition, il y a les similitudes, le sous-groupe alterné,. . .
Puisque toute intersection de sous-groupes de Gest un sous-groupe de G, on
peut définir le Sous-groupe engendré par une partieAde Gainsi : L’intersec-
tion de tous les sous-groupes de Gcontenant Aest un sous-groupe de G, appelé
sous-groupe engendré par A, et noté <A>.
EXEMPLES :
(i) <{x}>, que l’on note plutôt <x>, est égal à {xn, n ∈Z}.
(ii) Snest engendré par l’ensemble des permutations, mais aussi par l’ensemble des
cycles.
Proposition 1.3
Les sous-groupes de (Z,+) sont les nZ, où n∈N.
§ 3. Morphismes de groupes.— : Définition, image et noyau, isomorphisme,
réciproque d’isomorphisme.
EXEMPLES :
exp,det, z 7→ zn, z 7→ |z|, σ 7→ ε(σ). Je vous laisse retrouver les lois et les groupes.
Proposition 1.4
IL’image directe par un morphisme d’un groupe est un groupe.
Résumé N°15 : Algèbre générale Page 1/4