Séries entières

Séries entières
Préparation au Capes de Mathématiques
I - Convergence des séries entières
Notations
Pour tout élément r de R+ , on note Dr = fz 2 C / jzj < rg
et Dr = fz 2 C / jzj
rg.
Dé nition 1
On appelle série entière toute série de fonctions dont le terme général est du type un (z) = an z n ,
où (an ) est une suite de nombres complexes , et où la variable z est complexe .
Proposition 1
Lemme d'Abel
S'il existe une nombre réel r > 0 tel que la suite (an rn ) soit bornée, alors :
P
1. (8z 2 Dr ) la série
an z n est absolument convergente .
P
2. (8s 2 [0; r[) la série
an z n converge normalement sur Ds .
Exercice 1
Démontrer cette proposition .
Proposition 2
Rayon de convergence
1. Il existe un unique élément R de R+ tel que :
a. pour tout nombre complexe z véri ant jzj < R , la série
b. pour tout nombre complexe z véri ant jzj > R , la série
2. (8s 2 [0; R[) la série
P
P
P
an z n est absolument convergente .
an z n est grossièrement divergente .
an z n converge normalement sur le disque fermé Ds .
Le nombre R ainsi dé ni est appelé le rayon de convergence de la série entière
Exercice 2
P
an z n .
Démontrer cette proposition selon le plan suivant :
1. Montrer que I = fr 2 R+ / la suite (an rn ) est bornée g est un intervalle non vide de R+ .
2. On pose R = sup I si l'intervalle I est borné , et R = +1 sinon .
Montrer que ce nombre R véri e les conditions requises .
3. Montrer en n que ce nombre R est le seul qui convienne .
Exercice 3
Premiers exemples
A l'aide des résultats sur les suites numériques, déterminer le rayon de convergence des séries entières
suivantes, et étudier leur comportement en tout point du cercle de centre 0 et de rayon R :
P n
P1 n
P 1 n
P 1 n
z
z
z
z
2
n
n
n!
[email protected]
1/7
P
n! z n
Département de Mathématiques
Proposition 3
Formule de Cauchy
p
P
Soit
an z n une série entière , et soit L = lim sup n jan j 8
.
< L 1
0
Alors cette série entière à pour rayon de convergence : R =
:
+1
si 0 < L < +1
si L = +1
si L = 0
Exercice 4
1. Démontrer cette formule à l'aide de la règle de Cauchy pour les séries numériques .
P n( 1)n n
2. Calculer le rayon de convergence de la série entière
2
z et étudier le comportement de
cette série en tout point du cercle frontière .
3. Soit (an ) une suite de nombres complexes .
P
P
Montrer que les séries entières
an z n et
n an z n
Proposition 4
Soit
P
1
ont le même rayon de convergence .
Formule de d'Alembert
an z n une série entière telle que L = lim
n!1
an+1
an
existe dans R+ .
8
< L 1
0
Alors cette série entière à pour rayon de convergence : R =
:
+1
si 0 < L < +1
si L = +1
si L = 0
Exercice 5
1. Démontrer cette formule à l'aide de la règle de d'Alembert pour les séries numériques .
P (n!)2 n
2. Calculer le rayon de convergence de la série entière
z .
(2n)!
Proposition 4
Régularité de la somme
P
Soit
an z n une série entière de rayon de convergence R > 0 , et soit S sa somme dé nie sur
+1
P
le disque de convergence par : (8z 2 DR ) S (z) =
an z n .
n=0
+1
P
Alors S est continue et dérivable sur le disque DR , et (8z 2 DR ) S 0 (z) =
n an z n 1 .
n=1
Exercice 6
Démontrer cette proposition selon le plan suivant : soit z0 un point de DR .
8 a zn a zn
n 0
< n
si z 6= z0
z z0
1. On pose (8n 2 N) (8z 2 C) vn (z) =
:
n an z0n 1
si z = z0
Montrer que (vn )n2N est une suite de fonctions continues sur C .
P
2. Soit r un réel véri ant jz0 j < r < R . Montrer que la série
vn converge normalement sur Dr .
En déduire que sa somme s est une fonction continue sur Dr .
3. Montrer en n que la continuité de s au point z0 traduit la dérivabilité de S en z0 et déterminer S 0 (z0 ) .
[email protected]
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Département de Mathématiques
Proposition 5
Théorème d'Abel
P
Soit
an z n une série entière dont le rayon de convergence R véri e 0 < R < +1 ,
et soit S sa somme dé nie sur le disque de convergence DR par : (8z 2 DR ) S (z) =
+1
P
an z n .
n=0
Si la série entière converge en un point z0 du cercle frontière, alors la somme de la série en ce point
est égale à la limite de S (tz0 ) lorsque t tend vers 1 dans l'intervalle [0; 1[ .
Exercice 7
Véri er qu'il s'agit d'une variante du théorème d'Abel étudié dans le chapitre sur les séries de fonctions.
Exercice 8
1. Véri er que la série entière
P1 n
z a pour rayon de convergence R = 1 .
n
2. D'après la proposition 4, sa somme S est dérivable sur DR . Déterminer sa dérivée S 0 .
+1
P
1 n
x pour tout nombre réel x 2 ] 1; +1[ .
n=1 n
+1
P ( 1)n
4. En déduire la valeur exacte de la somme de la série harmonique alternée
.
n
n=1
3. Calculer alors la valeur de la somme S (x) =
Remarque
Tous les résultats établis dans ce paragraphe dans le cas d'une variable complexe peuvent bien sûr être
adaptés au cas où la variable est réelle . Il suf t pour cela de remplacer dans les divers énoncés le disque de
convergence DR par l'intervalle de convergence IR = fx 2 R / jxj < Rg .
II - Développement en série de Taylor
Notations
Pour tout élément r de R+ , on note Ir = fx 2 R / jxj < rg et I r = fx 2 R / jxj
rg.
Dans tout ce paragraphe, f désigne une application de l'intervalle Ir dans R .
Dé nition 2
On dit que la fonction f est développable en série entière sur l'intervalle Ir s'il existe une suite (an )
+1
P
de nombres réels véri ant : (8x 2 Ir ) f (x) =
an xn .
n=0
Proposition 6
Unicité du développement
Si la fonction f est développable en série entière sur l'intervalle Ir , alors f est de classe C 1 sur Ir
et les coef cients de la série entière véri ent : (8n 2 N) an =
f (n) (0)
.
n!
Exercice 9
Démontrer cette proposition .
[email protected]
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Dé nition 3
Si la fonction f est de classe C 1 sur Ir , on appelle série de Taylor de f la série entière
P f (n) (0) n
x .
n!
Exercice 10
e
Soit f l'application dé nie sur R dé nie par : (8x 2 R) f (x) =
1=x2
0
si x 6= 0
si x = 0
1. Montrer que f est de classe C 1 sur R , et qu'il existe une suite (Pn ) de fonctions polynômes véri ant :
(
Pn (x) 1=x2
e
si x 6= 0
(8n 2 N) (8x 2 R) f (n) (x) =
x3n
0
si x = 0
2. Véri er que la série de Taylor de f converge normalement sur R .
3. Montrer que la fonction f n'est pas développable en série entière au voisinage de 0 .
Proposition 7
Existence du développement
Si f est de classe C 1 sur Ir , et s'il existe une fonction positive g dé nie et continue sur Ir véri ant :
f (n) (x)
(8n 2 N) (8x 2 Ir )
g (x) ,
alors f est développable en série entière sur l'intervalle Ir , et f est la somme de sa série de Taylor .
Démonstration
Soit x un point de Ir .
D'après la formule de Mac Laurin avec reste de Lagrange ,
(8n 2 N) (9
n
n f (k) (0)
P
xn+1
xk =
f (n+1) (
k!
(n
+
1)!
k=0
2 ]0; 1[) Rn (x) = f (x)
n x)
.
La fonction g étant continue, donc bornée, sur Ix = [ jxj ; + jxj ] ; on peut poser Mx = sup jg (t)j .
t2Ix
Alors : (8n 2 N) (9
jxjn
n!
Or la suite
Exercice 10
n
2 ]0; 1[) jRn (x)j
jxjn+1
g(
(n + 1)!
jxjn+1
Mx .
(n + 1)!
n x)
converge vers 0 , donc la suite (Rn (x)) converge vers 0 ,
c.q.f.d.
Développements usuels
1. A l'aide de la proposition 7 , démontrer que , pour tout nombre réel x ,
ex =
xn
n=0 n!
+1
P
cosh x =
cos x =
( 1)n x2n
(2n)!
n=0
+1
P
x2n
n=0 (2n)!
+1
P
sinh x =
sin x =
x2n+1
n=0 (2n + 1)!
+1
P
( 1)n x2n+1
n=0 (2n + 1)!
+1
P
2. A l'aide de la proposition 4 , démontrer que , pour tout nombre réel x véri ant
ln (1 + x) =
+1
P
n=1
n+1
( 1)
xn
n
[email protected]
arg tanh x =
+1
P x2n+1
n=0
4/7
2n + 1
arctan x =
1 < x < +1 ,
( 1)n x2n+1
2n + 1
n=0
+1
P
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Exercice 11
Autre développement usuel
Soit f la fonction dé nie sur I = ] 1; +1[ par : (8x 2 I) f (x) = (1 + x)
où
2RrN.
1. Montrer que la fonction f est de classe
sur I , et calculer ses dérivées successives .
P
2. Déterminer la série de Taylor an xn de f , et calculer son rayon de convergence .
C1
3. Véri er que malheureusement f ne véri e pas l'hypothèse de la proposition 7 .
4. Soit x 2 ] 1; +1[ . D'après la formule de Mac Laurin avec reste intégral ,
Z x
n
P
(x t)n (n+1)
k
ak x =
f
(t) dt .
(8n 2 N) Rn (x) = f (x)
n!
0
k=0
a. Véri er que pour tout réel t compris entre 0 et x , jx
b. Montrer qu'il existe une constante K
;x
(8n 2 N) jRn (x)j
(1 + t) jxj .
tj
> 0 indépendante de n véri ant :
K
;x
j(n + 1) an+1 xn j .
c. En déduire que la suite (Rn (x)) converge vers 0 .
5. Conclure que (8x 2 ] 1; +1[) (1 + x) = 1 +
+1
P
(
1)
n=1
(
n!
n + 1)
xn .
III - Somme et produit de séries entières
Proposition 8
P
P
Soient
an z n et
bn z n deux séries entières de rayons de convergence respectifs R1 et R2 .
P
1. La somme des deux séries est la série entière
(an + bn ) z n .
Son rayon de convergence R véri e : R
min (R1 ; R2 ). Si de plus R1 =
6 R2 , alors R = min (R1 ; R2 ).
n
P
P
2. Le produit des deux séries est la série entière
cn z n où (8n 2 N) cn =
ak bn k .
Son rayon de convergence R0 véri e : R0
k=0
min (R1 ; R2 ) .
Corollaire
Si f et g sont deux fonctions réelles développables en séries entières sur l'intervalle Ir = ] r; +r[ ,
il en va de même de leur somme f + g et de leur produit f g .
Exercice 12
Démontrer la proposition 8 et son corollaire .
Exercice 13
1. Calculer le rayon de convergence et la somme de la série entière
P
2n ) z n .
P
2. Calculer de même le rayon de convergence et la somme de la série entière
(1 + 3n ) z n .
(2
3. Calculer le rayon de convergence et la somme de la série produit des deux séries précédentes .
4. Que peut-on observer ?
[email protected]
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Exercice 14
n
P
1. Montrer que : (8m 2 N) (8n 2 N)
k=0
m+k
m
m+n+1
.
m+1
=
2. En déduire par récurrence que : (8m 2 N) (8z 2 D1 )
+1
P m+n n
1
=
z .
m+1
m
z)
n=0
(1
Dé nition 4
On appelle fonction exponentielle complexe l'application de C dans C dé nie par
+1
P zn
(8z 2 C) exp (z) =
.
n=0 n!
Proposition 9
1. La fonction exp est continue et dérivable sur C , et exp0 = exp .
2. (8z1 2 C) (8z2 2 C) exp (z1 + z2 ) = exp (z1 ) exp (z2 ) .
3. La restriction de la fonction exp à R n'est autre que la fonction exponentielle réelle .
4. (8x 2 R) exp (ix) = cos x + i sin x .
5. (8z 2 C)
exp (z + 2i ) = exp (z) .
6. (8z 2 C)
exp (z) = 1 () z 2 2i Z .
Proposition 10
Les fonctions à variable réelle cosh , sinh , cos , sin peuvent être prolongées à C tout entier en posant :
cosh z =
.
P z 2n
exp (z) + exp ( z) +1
=
2
n=0 (2n)!
sinh z =
P ( 1)n z 2n
exp (iz) + exp ( iz) +1
cos z =
=
2
(2n)!
n=0
sin z =
exp (z)
exp (iz)
P z 2n+1
exp ( z) +1
=
2
n=0 (2n + 1)!
P ( 1)n z 2n+1
exp ( iz) +1
=
2i
n=0 (2n + 1)!
Les fonctions ainsi dé nies sont continues et dérivables sur C , et de plus
cosh0 = sinh
sinh0 = cosh
cos0 =
sin0 = cos .
sin
Elles véri ent d'autre part les propriétés suivantes :
1. (8z 2 C)
cosh2 z
sinh2 z = 1
2. (8z 2 C)
cosh ( z) = cosh z
et
cos2 z + sin2 z = 1 .
sinh ( z) =
sinh z
cos ( z) = cos z
sin ( z) =
sin z .
3. Formules d'addition : Pour tout a 2 C et pour tout b 2 C ,
cos (a + b) = cos a cos b
sin (a + b) = sin a cos b + sin b cos a .
sin a sin b
sinh (a + b) = sinh a cosh b + sinh b cosh a .
cosh (a + b) = cosh a cosh b + sinh a sinh b
Exercice 15
1. Démontrer les propositions 9 et 10 .
2. Résoudre dans C les équations :
[email protected]
sin z =
5
4
jsin zj = jcos zj
6/7
cosh z = i sinh z .
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IV - Applications
Les séries entières sont un outil intéressant pour rechercher les solutions d'une équation différentielle .
Exercice 16
Montrer que l'équation différentielle y 00
y = 2ex possède une solution développable en série entière
sur R véri ant les conditions initiales y (0) = 0 et y 0 (0) = 1 .
Exercice 17
On considère l'équation différentielle :
(E)
xy 00 + 2y 0 + xy = 0 .
1. Déterminer l'ensemble des solutions de (E) développables en série entière au voisinage de 0 .
2. On note y1 la solution de (E) développable en série entière qui véri e y1 (0) = 1 .
Déterminer la solution générale de (E) sur R+ et sur R
en posant y = zy1 :
3. En déduire la solution générale de (E) sur R .
Exercice 18
On considère l'équation différentielle :
(E)
xy 00 + 2 (x
1) y 0
4y = 0 .
1. Déterminer l'ensemble D des solutions de (E) développables en série entière sur R .
2. Véri er que D est un plan vectoriel dont on précisera une base (y1 ; y2 ) .
3. Montrer que l'ensemble S des solutions de (E) sur R est un espace vectoriel de dimension 3.
En donner une base .
[email protected]
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