Séries entières

Séries entières
Préparation au Capes de Mathématiques
I - Convergence des séries entières
Notations
Pour tout élément rde R+, on note Dr=fz2C/jzj< rget Dr=fz2C/jzj  rg.
Dénition 1
On appelle série entière toute série de fonctions dont le terme général est du type un(z) = anzn,
où (an)est une suite de nombres complexes , et où la variable zest complexe .
Proposition 1 Lemme d'Abel
S'il existe une nombre réel r > 0tel que la suite (anrn)soit bornée, alors :
1. (8z2 Dr)la série Panznest absolument convergente .
2. (8s2[0; r[) la série Panznconverge normalement sur Ds.
Exercice 1
Démontrer cette proposition .
Proposition 2 Rayon de convergence
1. Il existe un unique élément Rde R+tel que :
a. pour tout nombre complexe zvériant jzj< R , la série Panznest absolument convergente .
b. pour tout nombre complexe zvériant jzj> R , la série Panznest grossièrement divergente .
2. (8s2[0; R[) la série Panznconverge normalement sur le disque fermé Ds.
Le nombre Rainsi déni est appelé le rayon de convergence de la série entière Panzn.
Exercice 2
Démontrer cette proposition selon le plan suivant :
1. Montrer que I=fr2R+/ la suite (anrn)est bornée gest un intervalle non vide de R+.
2. On pose R= sup Isi l'intervalle Iest borné , et R= +1sinon .
Montrer que ce nombre Rvérie les conditions requises .
3. Montrer enn que ce nombre Rest le seul qui convienne .
Exercice 3 Premiers exemples
A l'aide des résultats sur les suites numériques, déterminer le rayon de convergence des séries entières
suivantes, et étudier leur comportement en tout point du cercle de centre 0et de rayon R:
PznP1
nznP1 n2znP1 n!znPn!zn
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Proposition 3 Formule de Cauchy
Soit Panznune série entière , et soit L= lim sup n
pjanj.
Alors cette série entière à pour rayon de convergence : R=8
<
:
L1si 0< L < +1
0si L= +1
+1si L= 0
Exercice 4
1. Démontrer cette formule à l'aide de la règle de Cauchy pour les séries numériques .
2. Calculer le rayon de convergence de la série entière P2n(1)nznet étudier le comportement de
cette série en tout point du cercle frontière .
3. Soit (an)une suite de nombres complexes .
Montrer que les séries entières Panznet Pn anzn1ont le même rayon de convergence .
Proposition 4 Formule de d'Alembert
Soit Panznune série entière telle que L= lim
n!1 
an+1
anexiste dans R+.
Alors cette série entière à pour rayon de convergence : R=8
<
:
L1si 0< L < +1
0si L= +1
+1si L= 0
Exercice 5
1. Démontrer cette formule à l'aide de la règle de d'Alembert pour les séries numériques .
2. Calculer le rayon de convergence de la série entière P(n!)2
(2n)! zn.
Proposition 4 Régularité de la somme
Soit Panznune série entière de rayon de convergence R > 0, et soit Ssa somme dénie sur
le disque de convergence par : (8z2 DR)S(z) =
+1
P
n=0
anzn.
Alors Sest continue et dérivable sur le disque DR, et (8z2 DR)S0(z) =
+1
P
n=1
n anzn1.
Exercice 6
Démontrer cette proposition selon le plan suivant : soit z0un point de DR.
1. On pose (8n2N) (8z2C)vn(z) = 8
<
:
anznanzn
0
zz0
si z6=z0
n anzn1
0si z=z0
Montrer que (vn)n2Nest une suite de fonctions continues sur C.
2. Soit run réel vériant jz0j< r < R . Montrer que la série Pvnconverge normalement sur Dr.
En déduire que sa somme sest une fonction continue sur Dr.
3. Montrer enn que la continuité de sau point z0traduit la dérivabilité de Sen z0et déterminer S0(z0).
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Proposition 5 Théorème d'Abel
Soit Panznune série entière dont le rayon de convergence Rvérie 0< R < +1,
et soit Ssa somme dénie sur le disque de convergence DRpar : (8z2 DR)S(z) =
+1
P
n=0
anzn.
Si la série entière converge en un point z0du cercle frontière, alors la somme de la série en ce point
est égale à la limite de S(tz0)lorsque ttend vers 1 dans l'intervalle [0;1[ .
Exercice 7
Vérier qu'il s'agit d'une variante du théorème d'Abel étudié dans le chapitre sur les séries de fonctions.
Exercice 8
1. Vérier que la série entière P1
nzna pour rayon de convergence R= 1 .
2. D'après la proposition 4, sa somme Sest dérivable sur DR. Déterminer sa dérivée S0.
3. Calculer alors la valeur de la somme S(x) =
+1
P
n=1
1
nxnpour tout nombre réel x2]1;+1[ .
4. En déduire la valeur exacte de la somme de la série harmonique alternée
+1
P
n=1
(1)n
n.
Remarque
Tous les résultats établis dans ce paragraphe dans le cas d'une variable complexe peuvent bien sûr être
adaptés au cas où la variable est réelle . Il suft pour cela de remplacer dans les divers énoncés le disque de
convergence DRpar l'intervalle de convergence IR=fx2R/jxj< Rg.
II - Développement en série de Taylor
Notations
Pour tout élément rde R
+, on note Ir=fx2R/jxj< rget Ir=fx2R/jxj  rg.
Dans tout ce paragraphe, fdésigne une application de l'intervalle Irdans R.
Dénition 2
On dit que la fonction fest développable en série entière sur l'intervalle Irs'il existe une suite (an)
de nombres réels vériant : (8x2 Ir)f(x) =
+1
P
n=0
anxn.
Proposition 6 Unicité du développement
Si la fonction fest développable en série entière sur l'intervalle Ir, alors fest de classe C1sur Ir
et les coefcients de la série entière vérient : (8n2N)an=f(n)(0)
n!.
Exercice 9
Démontrer cette proposition .
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Dénition 3
Si la fonction fest de classe C1sur Ir, on appelle série de Taylor de fla série entière Pf(n)(0)
n!xn.
Exercice 10
Soit fl'application dénie sur Rdénie par : (8x2R)f(x) = e1=x2si x6= 0
0si x= 0
1. Montrer que fest de classe C1sur R, et qu'il existe une suite (Pn)de fonctions polynômes vériant :
(8n2N) (8x2R)f(n)(x) = (Pn(x)
x3ne1=x2si x6= 0
0si x= 0
2. Vérier que la série de Taylor de fconverge normalement sur R.
3. Montrer que la fonction fn'est pas développable en série entière au voisinage de 0 .
Proposition 7 Existence du développement
Si fest de classe C1sur Ir, et s'il existe une fonction positive gdénie et continue sur Irvériant :
(8n2N) (8x2 Ir)f(n)(x)g(x),
alors fest développable en série entière sur l'intervalle Ir, et fest la somme de sa série de Taylor .
Démonstration
Soit xun point de Ir.
D'après la formule de Mac Laurin avec reste de Lagrange ,
(8n2N) (9n2]0;1[) Rn(x) = f(x)
n
P
k=0
f(k)(0)
k!xk=xn+1 (n+ 1)! f(n+1) (nx).
La fonction gétant continue, donc bornée, sur Ix= [ jxj;+jxj];on peut poser Mx= sup
t2Ix
jg(t)j.
Alors : (8n2N) (9n2]0;1[) jRn(x)j  jxjn+1
(n+ 1)! g(nx)jxjn+1 (n+ 1)! Mx.
Or la suite jxjn
n!converge vers 0, donc la suite (Rn(x)) converge vers 0, c.q.f.d.
Exercice 10 Développements usuels
1. A l'aide de la proposition 7 , démontrer que , pour tout nombre réel x,
ex=
+1
P
n=0
xn
n!cosh x=
+1
P
n=0
x2n
(2n)! sinh x=
+1
P
n=0
x2n+1
(2n+ 1)!
cos x=
+1
P
n=0
(1)nx2n
(2n)! sin x=
+1
P
n=0
(1)nx2n+1
(2n+ 1)!
2. A l'aide de la proposition 4 , démontrer que , pour tout nombre réel xvériant 1< x < +1 ,
ln (1 + x) =
+1
P
n=1
(1)n+1 xn
narg tanh x=
+1
P
n=0
x2n+1
2n+ 1 arctan x=
+1
P
n=0
(1)nx2n+1
2n+ 1
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Exercice 11 Autre développement usuel
Soit fla fonction dénie sur I= ]1;+1[ par : (8x2I)f(x) = (1 + x)où 2RrN.
1. Montrer que la fonction fest de classe C1sur I, et calculer ses dérivées successives .
2. Déterminer la série de Taylor Panxnde f, et calculer son rayon de convergence .
3. Vérier que malheureusement fne vérie pas l'hypothèse de la proposition 7 .
4. Soit x2]1;+1[ . D'après la formule de Mac Laurin avec reste intégral ,
(8n2N)Rn(x) = f(x)
n
P
k=0
akxk=Zx
0
(xt)n
n!f(n+1) (t)dt .
a. Vérier que pour tout réel tcompris entre 0et x,jxtj  (1 + t)jxj.
b. Montrer qu'il existe une constante K;x >0indépendante de nvériant :
(8n2N)jRn(x)j  K;x j(n+ 1) an+1 xnj.
c. En déduire que la suite (Rn(x)) converge vers 0.
5. Conclure que (8x2]1;+1[) (1 + x)= 1 +
+1
P
n=1
(1)    (n+ 1)
n!xn.
III - Somme et produit de séries entières
Proposition 8
Soient Panznet Pbnzndeux séries entières de rayons de convergence respectifs R1et R2.
1. La somme des deux séries est la série entière P(an+bn)zn.
Son rayon de convergence Rvérie : Rmin (R1; R2). Si de plus R16=R2, alors R= min (R1; R2).
2. Le produit des deux séries est la série entière Pcnznoù (8n2N)cn=
n
P
k=0
akbnk.
Son rayon de convergence R0vérie : R0min (R1; R2).
Corollaire
Si fet gsont deux fonctions réelles développables en séries entières sur l'intervalle Ir= ]r; +r[,
il en va de même de leur somme f+get de leur produit f g .
Exercice 12
Démontrer la proposition 8 et son corollaire .
Exercice 13
1. Calculer le rayon de convergence et la somme de la série entière P(2 2n)zn.
2. Calculer de même le rayon de convergence et la somme de la série entière P(1 + 3n)zn.
3. Calculer le rayon de convergence et la somme de la série produit des deux séries précédentes .
4. Que peut-on observer ?
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