Sujet - LAAS
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NOM Mardi 5 mai 2015 Durée : 1h15 Documents autorisés : aide mémoire PRENOM Graphes Exercice 1. Composantes Fortement Connexes GROUPE 4 IS Barème indicatif 5 Points Soit le graphe orienté G ci-dessous. Question 1. Donner les composantes fortement connexes (sur le graphe) ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… Question 2. On appelle graphe réduit, noté G’, de G un graphe ayant m sommets x1 , ..., x m tel que chaque sommet correspond à une composante fortement connexe du graphe G et tel que il existe un arc de xi vers x j si il existe un sommet x de Ci et un sommet y de C j et un arc de x vers y dans G. Donner le graphe réduit de G. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… Question 3. Montrer que le graphe réduit G’ d’un graphe orienté G est sans circuit. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 1/7 NOM PRENOM Exercice 2. Problème de Flot Max GROUPE 5 Points L’utilisateur d’une machine P souhaite télécharger des fichiers stockés sur une machine S et cherche à déterminer le débit de communication maximal dont il peut disposer. Ces deux machines sont reliées par un réseau de communication dans lequel les liens disposent d’une capacité donnée (ie. un débit de communication). Pour répondre à la question de l’utilisateur, on se ramène à résoudre un problème de flot maximal. Dans le réseau de communication, on dispose d’une solution initiale que l’on va chercher à améliorer. Question 1. Appliquer l’algorithme de Ford Fulkerson sur les schémas fournis en donnant à chaque étape : - Le graphe d’écart - L’arborescence du parcours (parcours en largeur en sélectionnant les sommets dans l’ordre alphabétique) - Le chemin augmentant - La variation de flot Note : Il a des schémas pour 4 itérations de l’algorithme mais cela ne veut pas dire que vous aurez besoin de tous les schémas. Question 2. Quelle est la valeur du débit maximal de communication pouvant être obtenu : ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… Question 3. Donner la coupe obtenue lors de la dernière itération de l’algorithme et donner la capacité de cette coupe. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 2/7 NOM PRENOM Graphe de Flot GROUPE Graphe d’écart Arborescence parcours Chemin : Variation flot : Graphe de Flot Graphe d’écart Arborescence parcours Chemin : Variation flot : 3/7 NOM PRENOM Graphe de Flot GROUPE Graphe d’écart Arborescence parcours Chemin : Variation flot : Graphe de Flot Graphe d’écart Arborescence parcours Chemin : Variation flot : 4/7 NOM PRENOM GROUPE Exercice 3. Plus courts chemin s 5 Points On souhaite calculer dans le graphe ci-dessous les plus courts chemins du sommet x1 vers tous les autres en utilisant l’algorithme de Dijkstra. Question 1. Appliquer l’algorithme en détaillant les étapes de l’algorithme dans le tableau. A chaque étape entourer le sommet marqué (en cas d’égalité utiliser l’ordre lexicographique) Etape x1 x2 x3 x4 x5 x6 Init 0, - ∞, - ∞, - ∞, - ∞, - ∞, - 1 2 3 4 5 6 Question 2. Peut-on prédire le nombre d’étapes maximales de cet algorithme ? Pourquoi ? ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… Question 3. Tracer sur le graphe, les plus courts chemins obtenus (de x1 vers chacun des autres sommets). Donner également la valeur des plus courts chemins obtenus. …x1 -> x2 : ………………………………………………………………………………………………………………………………………. …x1 -> x3 : ………………………………………………………………………………………………………………………………………. …x1 -> x4 : ………………………………………………………………………………………………………………………………………. …x1 -> x5 : ………………………………………………………………………………………………………………………………………. …x1 -> x6 : ………………………………………………………………………………………………………………………………………. 5/7 NOM PRENOM GROUPE Exercice 4. Modélisation d’un problème d’évacuation 5 Points On considère une grille composée de n lignes et de m colonnes. Une grille peut être représentée par un graphe non orienté dans lequel il y n × m sommets. Un sommet situé sur les coins de la grille a 2 voisins, un sommet situé sur les bords a 3 voisins et un sommet situé à l’intérieur de la grille a 4 voisins. Des personnes peuvent être positionnées sur les intersections de la grille. On va chercher à déterminer l’existence de trajets d’évacuation indépendants pour chacune de ces personnes. Fig 1. Fig 2. Fig 3. La figure 1 donne une grille vide correspondant à un graphe de 36 sommets, la figure 2 représente cette même grille avec 10 personnes placées à 10 sommets du graphe. La figure 3 donne une solution d’évacuation pour ces 10 personnes (10 trajets indépendants). Les personnes situées au bord de la grille ont un trajet d’évacuation direct. Question 1. Combien d’arêtes comporte le graphe représentant une grille n × m (en ignorant le problème d’évacuation de personnes) ? ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… Question 2. Donner un exemple d’évacuation impossible pour 10 personnes sur une grille 6 × 6. 6/7 NOM PRENOM GROUPE Pour résoudre ce problème d’évacuation, on va le modéliser comme un problème de flot sur lequel on cherchera le flot maximal. Question 3. Expliquer la modélisation du problème sous forme de flots (définir les sommets, les arcs, les capacités). Expliquer à quoi correspond la notion de « trajets indépendants ». ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… Question 4. Que représente la valeur de flot maximal avec la modélisation retenue ? ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 7/7
