Sujet - LAAS

NOM PRENOM GROUPE
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Graphes
Mardi 5 mai 2015 4 IS
Durée : 1h15
Documents autorisés : aide mémoire Barème indicatif
Exercice 1. Composantes Fortement Connexes 5 Points
Soit le graphe orienté G ci-dessous.
Question 1. Donner les composantes fortement connexes (sur le graphe)
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Question 2. On appelle graphe réduit, noté G’, de G un graphe ayant
m
sommets
m
xx ...,,
1
tel
que chaque sommet correspond à une composante fortement connexe du graphe G et tel que il
existe un arc de
i
x
vers
j
x
si il existe un sommet
x
de
i
C
et un sommet
y
de
j
C
et un arc de
x
vers
y
dans G. Donner le graphe réduit de G.
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Question 3. Montrer que le graphe réduit G’ d’un graphe orienté G est sans circuit.
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Exercice 2. Problème de Flot Max 5 Points
L’utilisateur d’une machine P souhaite télécharger des fichiers stockés sur une machine S et
cherche à déterminer le débit de communication maximal dont il peut disposer. Ces deux
machines sont reliées par un réseau de communication dans lequel les liens disposent d’une
capacité donnée (ie. un débit de communication). Pour répondre à la question de l’utilisateur, on
se ramène à résoudre un problème de flot maximal. Dans le réseau de communication, on dispose
d’une solution initiale que l’on va chercher à améliorer.
Question 1. Appliquer l’algorithme de Ford Fulkerson sur les schémas fournis en donnant à
chaque étape :
- Le graphe d’écart
- L’arborescence du parcours (parcours en largeur en sélectionnant les sommets dans l’ordre
alphabétique)
- Le chemin augmentant
- La variation de flot
Note : Il a des schémas pour 4 itérations de l’algorithme mais cela ne veut pas dire que vous aurez
besoin de tous les schémas.
Question 2. Quelle est la valeur du débit maximal de communication pouvant être obtenu :
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Question 3. Donner la coupe obtenue lors de la dernière itération de l’algorithme et donner la
capacité de cette coupe.
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Graphe de Flot Graphe d’écart Arborescence parcours
Chemin :
Variation flot :
Graphe de Flot Graphe d’écart Arborescence parcours
Chemin :
Variation flot :

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Graphe de Flot Graphe d’écart Arborescence parcours
Chemin :
Variation flot :
Graphe de Flot Graphe d’écart Arborescence parcours
Chemin :
Variation flot :

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Exercice 3. Plus courts chemin s 5 Points
On souhaite calculer dans le graphe ci-dessous les plus courts chemins du sommet x1 vers tous les
autres en utilisant l’algorithme de Dijkstra.
Question 1. Appliquer l’algorithme en détaillant les étapes de l’algorithme dans le tableau. A
chaque étape entourer le sommet marqué (en cas d’égalité utiliser l’ordre lexicographique)
Etape
x1
x2
x3
x4
x5
x6
Init
0, -
∞, -
∞, -
∞, -
∞, -
∞, -
1
2
3
4
5
6
Question 2. Peut-on prédire le nombre d’étapes maximales de cet algorithme ? Pourquoi ?
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Question 3. Tracer sur le graphe, les plus courts chemins obtenus (de x1 vers chacun des autres
sommets). Donner également la valeur des plus courts chemins obtenus.
…x1 -> x2 : ……………………………………………………………………………………………………………………………………….
…x1 -> x3 : ……………………………………………………………………………………………………………………………………….
…x1 -> x4 : ……………………………………………………………………………………………………………………………………….
…x1 -> x5 : ……………………………………………………………………………………………………………………………………….
…x1 -> x6 : ……………………………………………………………………………………………………………………………………….