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Polynˆome minimal d’un entier d’un
corps de nombres
Colas Bardavid
samedi 4 juin 2005
Table des mati`eres
1 Rappel sur le contenu d’un polynˆome 3
1.1 D´efinition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 Premi`eres propri´et´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3 Multiplicativit´e du contenu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2 Polynˆome minimal d’un entier alg´ebrique 4
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R´esultats
Th´eor`eme 0.1 Soient P, Q ∈Q[X]. Alors, cont(P Q) = cont(P)cont(Q).
Questions en suspens et travail `a faire
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1 Rappel sur le contenu d’un polynˆome
1.1 D´efinition
On se place dans le cadre de Zmais on peut g´en´eraliser tout cela `a des
anneaux factoriels (c’est expliqu´e dans Algebra de Lang).
D´efinition 1.1 Soit P=PakXk∈Q[X]un polynˆome non-nul. On appelle
contenu de Pet on note cont(P)le nombre Qp∈P pminkvp(ak).
Exemple : Consid´erons le polynˆome P=X3+1
5X2+ 8X+ 9. Son contenu
est 1
5.
1.2 Premi`eres propri´et´es
Propri´et´e 1.2 Soit P∈Q[X]. Alors, P∈Z[X]⇐⇒ cont(P)∈Z.
D´emonstration : Dans un sens, c’est clair.
Dans l’autre, si cont(P)∈Z, alors, sa valuation p-adique est positive pour
tout p. Donc, il en est de mˆeme pour tous les aket donc P∈Z[X]. 
Propri´et´e 1.3 Soit P∈Q[X]. Notons c=cont(P). Alors, P
cest un polynˆome
entier de contenu 1. (On dit que Pest primitif).
D´emonstration : Notons P0=P
c. Il suffit de montrer que cont(P0) = 1. Si
on note bkle coefficient g´en´erique de P0, on a vp(bk) = vp(ak)−vp(c) qui est
positif ou nul tout le temps et qui vaut z´ero l`a o`u le min est atteint. Ainsi,
cont(P0) = 1. 
De fa¸con plus g´en´erale,
Proposition 1.4 Soit l∈Qet soit P∈Q[X]. Alors, cont(l·P) = l·cont(P).
1.3 Multiplicativit´e du contenu
On d´emontre :
Th´eor`eme 1.5 Soient P, Q ∈Q[X]. Alors, cont(P Q) = cont(P)cont(Q).
D´emonstration : On note x=cont(P) et y=cont(Q). Si on r´eussit `a
d´emontrer que le produit de deux polynˆomes primitifs est primitif, on applique
le r´esultat `a P
xet `a Q ypour obtenir : cont(P Q xy ) = 1 = cont(P Q) xy , ce qui est ce
qu’on veut.
Soient donc P, Q ∈Z[X] deux polynˆomes primitifs. Supposons que P Q ne
soit pas primitif : soit p∈ P tel que p|cont(P Q), c’est-`a-dire que P Q r´eduit
modulo pest nul. C’est impossible car ni Pni Qne sont nuls modulo p: absurde.
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2 Polynˆome minimal d’un entier alg´ebrique
On va d´emontrer :
Th´eor`eme 2.1 Soit Kun corps de nombres, soit x∈ OK. Alors, le polynˆome
minimal de xest `a coefficients dans Z.
D´emonstration : On sait qu’il existe Q∈Z[X], unitaire, tel que Q(x) = 0.
Notons P∈Q[X] le polynˆome minimal de xau-dessus de Q, qu’on choisit
unitaire. On sait que Pdivise Qdans Q[X] : soit donc R∈Q[X] tel que
Q=P R.
Notons set tles contenus respectifs de Pet R. On note P0=P
set R0=R t,
qui sont de contenu 1 : P0, R0∈Z[X]. On ´ecrit : Q=stP 0R0. On sait que
st = 1 car Qest primitif (il vit dans Zet un de ses coefficients, en l’occurence le
principal, vaut 1). Donc, on a Q=P0R0. En regardant les coefficients principaux,
on voit qu’on a n´ecessairement (quitte `a changer les signes) que P0et R0sont
unitaires. Comme Pl’´etait d´ej`a, c’est que s=t= 1.
En particulier, P∈Z[X]. 
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