Action du groupe des tresses sur une cat龐gorie

Invent. math. 128, 159– 175 (1997)
Action du groupe des tresses sur une categorie
P. Deligne
School of Mathematics, Institute for Advanced Study, Princeton, NJ 08540, USA
(e-mail: [email protected])
Oblatum: VII-1996
Abstract. We describe how to dene by generators and relations an action of
the braid group on a category. More generally, how to dene a functor from
a generalized positive braids monoid, corresponding to a nite Coxeter group,
to a monoidal category. Applications to constructions of Bondal (exceptional
systems) and of Broue–Michel (correspondences on ag manifolds) are given.
0. Introduction ...........................................159
1. Actions .............................................164
2. Contractibilite..........................................171
Bibliographie ............................................175
0 . Introduction
Une action d’un mono de M(n’ayant pas necessairement d’unite) sur
une categorie Cest la donnee de foncteurs T(f)(f∈M) et d’iso-
morphismes de foncteurs c
f; g :T( f)◦T( g)→T( fg) rendant commutatifs les
diagrammes
T(f)◦T(g)◦T(h)−−−−→ T( fg)◦T(h)
y y
T(f)◦T(gh)−−−−→ T( fg h ):
(0.1)

160 P. Deligne
Les actions d’un mono de Msur une categorie Cforment une categorie: un
morphisme (T; c)→(T0;c
0
) est la donnee de morphismes de foncteurs T(f)→
T0(f) rendant commutatifs les diagrammes
T(f)T(g)
c
f; g
−−−−→ T( fg)
y y
T0(f)T0(g)
c0
f; g
−−−−→ T0( fg):
Supposons Mdonne par generateurs et relations: M=hG|Ri.Sia chaque
generateur g∈Gon fait correspondre T(g): C→C, et si chaque relation
r1=r2dans Rdonne lieu a une 
egalit ede foncteurs composes, on obtient
par composition des T(g)(g∈G) une action de Msur Cpour laquelles les
cf; g sont des isomorphismes identiques. Cette construction est sans interˆet. La
question utile est la suivante. Considerons la categorie des systemes du type
suivant (a) des T(g):C→C(g∈G); (b) des isomorphismes entre fonc-
teurs composes pour r1=r2dans R; (c) veriant des compatibilites a la (0.1)
(aspecier). Comment specier (c) pour que le foncteur de restriction, de la
categorie des actions de Msur Cdans celle des systemes (a) (b) veriant (c),
soit une equivalence de categories? En d’autres termes: pour qu’il “revienne
au mˆeme” de se donner une action de Msur Cou de se donner un systeme
(a) (b) veriant (c).
Dans cet article, nous traitons du cas o uMest le mono de des tresses
strictement positives B+
n(1.2). Nous utilisons un systeme de generateurs indexe
par les elements non triviaux du groupe symetrique Sn. Pour b∈B+
n, soit
E(b) l’ensemble des decompositions de bcomme produit de generateurs. Cet
ensemble admet un ordre naturel et notre outil principal est le theoreme que
la realisation geometrique de l’ensemble ordonne E(b) est contractile. On peut
penser acetheoreme comme un resultat d’unicite“a homotopie pres” de la
decomposition de ben produit de generateurs. Pour prouver la contractibilite
de E(b), nos methodes sont celles de Deligne (1972) et donc, indirectement,
de Garside (1969).
Nos methodes s’appliquent aussi bien au cas de mono des de tresses stricte-
ment positives generalises (1.4), correspondant aux groupes de Coxeter nis.
Par ailleurs, f7→ T(f) peut ˆetre pris a valeurs dans une quelconque categorie
mono dale M, plutˆot qu’a valeurs dans Hom(C;C).
Dans la n de cette introduction, nous donnons les deux applications qui
nous ont motives. Le lecteur peut preferer les lire apres le par. 2.
Application 1. Soient Tune categorie triangulee et Wune ltration W1⊂
···⊂W
N=Tde Tpar des sous-categories triangulees, avec Wnepaisse
(Verdier (1963) p. 13) dans W
n+1 (15n¡N). On pose W0:= 0.

Groupe des tresses 161
Disons avec Bondal–Kapranov (1989) 4.1 que la ltration West admissible
a droite si les conditions equivalentes suivantes sont veriees pour 15n¡N:
(i) l’inclusion de W
ndans W n+1 admet un adjoint a droite; (ii) le foncteur
de passage au quotient W
n+1 →W n+1=W nadmet un adjoint a droite; (iii) tout
objet Yde W
n+1 gure dans un triangle distingue(X; Y; Z) avec Xdans W n
et Zdans l’orthogonal a droite de W
ndans W n+1. Pour l’equivalence de ces
conditions, voir Bondal–Kapranov (1989) par. 1 ou Verdier (1963) Ch. 1 par. 2
no. 6. La ltration West admissible 
a gauche si elle est admissible a droite
dans la categorie triangulee opposee: remplacer dans (i) (ii) ci-dessus “adjoint
a droite” par “adjoint a gauche”. Elle est admissible si elle l’est a gauche et
a droite.
Notons GrW
n(T) la categorie quotient W
n=W n−1(15n5N). Pour W
admissible a droite, notons
in∗:W
n→T: le foncteur d’inclusion
i!
n:T→W
n: son adjoint a droite
jn∗:GrW
n(T)→T: le composedei
n∗et de l’adjoint a
droite du foncteur de passage au quotient
W
n→W n=W n−1=GW
nT
j!
n:T→GrW n: le compose du foncteur de passage
au quotient et de i!
n.
Comme explique dans Bondal–Kapranov (1989) 4.3, la donnee d’une ltration
admissible a droite Wequivaut a celle d’une suite (Bi)15i5Nde sous-
categories triangulees strictement pleines de Tengendrant T, avec B
jortho-
gonale a droite a Bipour i¡j: Hom(X; Y ) = 0 pour Xdans Biet Ydans
Bj. Passage de Wa(B
i
):B
nest l’image essentielle de GrW
n(T) par le fonc-
teur jn!;de(B
i
)aW:W
nest la sous-categorie triangulee de Tengendree par
les Bi(i5n), i.e. la plus petite sous-categorie triangulee strictement pleine
de Tcontenant ces Bi.
Pour une permutation de {1;:::;N},lamutation  a droite dWou simple-
ment W de West denie par (W )n:= sous-categorie triangulee engendree
par les Bi(i 5n) = categorie des objets Kde Tavec j!
iK= 0 pour i ¿n.
Les equivalences
GrW
nT∼
←− B n
∼
−→ GrW
n T(0.2)
fournissent une equivalence de GrW
nTavec GrW n T.
Pour Wadmissible a gauche, la mutation  a gauche sWest la mutation
a droite dans la categorie opposee. Si West admissible, la mutation a droite
dWest encore admissible a gauche, et (−1)sdW=W.
Une ltration West ∞-admissible si elle est admissible, ainsi que ses mu-
tations a gauche ou a droite iterees. Le lecteur trouvera dans Bondal–Kapranov
(1989) par. 3, 4 des criteres commodes pour verier la ∞-admissibilite d’une
ltration.

162 P. Deligne
L’exemple suivant explique les notations choisies.
Exemple 1. Soient Xun espace topologique et F1⊂···⊂F
N=Xune l-
tration de Xpar des sous-espaces fermes. Posons F0:= ∅et Sn:= F
n−F n−1
(n∈I:= {1;:::;N}). La ltration Wde T:= D+(X) par les sous-categories
epaisses D+(Fn) est admissible. Les foncteurs in∗et i!
n(resp. jn∗et j! n)
s’identient a ceux de mˆeme nom relatifs a l’inclusion inde F
ndans X(resp.
jnde Sndans X).
Factorisons l’inclusion jnde Sndans Xen les morphismes d’inclusion gn; i :
Fn−Fi→Fn−Fi−1(n¿i¿0) et in. Soit une permutation de {1;:::;N}
et soit W la mutation a droite correspondante de W. La sous-categorie (W )n
de D+(X) est celle des objets Ktels que j!
iK= 0 pour i ¿n. La ltration
W est admissible a gauche, l’orthogonal a droite de (W )n−1dans (W )n
etant l’image essentielle de D+(Sn) par le foncteur compose des gn; i!(pour
i ¡ n)oug
n; i∗(pour i ¿ n)etdei n∗=i n!
. Le foncteur compose induit
l’equivalence deja consideree de D+(Sn)=GrW
n(T) avec GrW n (T).
Soient Tune categorie triangulee et (T
i)i∈Iune famille a Nelements de
categories triangulees. Considerons les syst emes exceptionnels Edu type (a)
(b) (c) suivant.
(a) Un ordre total sur I, identiea une bijection de Idans {1;:::;N}
(l’unique bijection croissante).
(b) Une ltration ∞-admissible W:W1⊂···⊂W
N=Tde T.
(c) Des equivalences de categories triangulees ’i:GrW
(i)(T)→T
i(i∈I).
Les systemes exceptionnels forment une categorie: il n’y a de morphisme
de Edans E0que si les ordres correspondants co
ncident, et dans ce cas un
morphisme est un systeme d’isomorphismes de foncteurs ’i→’0
i.
Soit une permutation de {1;:::;N}. La mutation (a droite) E de E=
(; W; (’i)) est le systeme exceptionnel deni par ◦; W et les equivalences
GrW
(i)(T)(0:2)
←→ GrW
(i)(T)’i
−→ T
i
Cette construction E7→ E est une autoequivalence de la categorie des systemes
exceptionnels, d’inverse donne par une mutation a gauche.
Notons l() le nombre de paires (i; j) telles que i¡j et (j)¡(i).
Si l(12)=‘(
1
)+‘(
2
), on verie que 12Eest canoniquement isomor-
phe a 1(2E), avec une compatibilite pour un compose triple 123si
‘(223)=‘(
1
)+‘(
2
)+‘(
3
). Appliquant 1.5 et 1.10, on obtient une
action du groupe des tresses sur la categorie des systemes exceptionnels.
Ceci precise Bondal–Kapranov (1989) 4.10 qui denit l’action par muta-
tions du groupe des tresses sur l’ensemble des ltrations ∞-admissibles, et

Groupe des tresses 163
prouve l’equivalence de GrW
n(T) avec GrbW
bn (T) (pour b7→ 
bla projec-
tion du groupe des tresses sur le groupe symetrique). Nous obtenons une
equivalence [b]: GrW
n(T)→GrbW
bn (T) bien denie a isomorphisme unique
pres, un isomorphisme [b1b2]→
∼[b1]◦[b2], et une compatibilite pour un com-
pose triple.
Variante. Suppons la categorie triangulee Tk-lineaire, pour kun corps com-
mutatif, et que les k-espaces vectoriels Hom∗(X; Y ):=⊕Hom(X; Y [n]) sont
de dimension nie. Si chacune des categories T
iest la categorie derivee
bornee de la categorie des espaces vectoriels de dimension nie sur k, i.e.
si T
iest la categorie des espaces vectoriels gradues de dimension nie, la
notion de syst eme exceptionnel se reduit a celle de suite exceptionnelle:
une suite X1;:::;X
Nd’objets de Tavec Hom∗(Xi;X j) = 0 pour i¡j et
Hom∗(Xi;X
i)=k, qui engendrent T. Plus precisement, il faudrait considerer
une famille nie (Xi)i∈I, un ordre total 5sur Iet exiger que les Xien-
gendrent T, que Hom∗(Xi;X
j) = 0 pour i¡j et que Hom∗(Xi;X i)=k.Le
systeme exceptionnel correspondant est deni par l’ordre 5, identifee a une
bijection comme en (a) et par la ltration W,o uW
nest engendre par les
Xipour (i)5n.L’equivalence ’iest caracterisee comme envoyant Xisur k
en degre 0. D’apres Bondal–Kapranov (1989) 3.2 et 4.11, la ltration West
automatiquement ∞-admissible.
L’action du groupe des tresses sur la categorie des systemes exceptionnels
en fournit une sur celle des suites exceptionnelles.
Application 2. Soient Gun groupe reductif deploye sur un corps ket Bla
variete de ses sous-groupes de Borel. Soit Mla categorie des schemas sur
B×B, vus comme correspondances de Bvers B. La composition des cor-
respondances fait de Mune categorie mono dale. Soit Wle groupe de Weyl,
identiea l’ensemble des positions relatives de sous-groupes de Borel, i.e. aux
orbites de G(k) sur B(k)×B(k). Pour w∈W, on note X(w) la variete des
paires (B0;B
00) de sous-groupes de Borel en position relative w. Dans cette
description de W, pour e∈Wl’element neutre, l’orbite X(e) est la diago-
nale. Les generateurs distingues sicorrespondent aux orbites Xd’adherence
X∪diagonale et la loi de groupe est caracterisee par
X(w)=X(w
0
)◦X(w
00)siw=w 0
w
00 et que ‘(w)=‘(w 0
)+‘(w
00):(0.3)
Les generateurs distingues de Wen font un groupe de Coxeter ni. Soit B+le
mono de des tresses positives generalise correspondant. Broue et Michel (1995)
deduisent de (0.3) qu’on peut etendre w7→ X(w) en une construction qui
a b∈B+attache une classe d’isomorphie de schemas X(b) sur B×B, avec
X(b)'X(b0)◦X(b00) pour b=b0b00. Nos resultats montrent que X(b) est en
fait deni a isomorphisme unique pres.