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Lycée Chrestien de Troyes Chapitre 8 −L’ensemble Rdes nombres réels MP1617
1 La propriété d’Archimède et la partie entière d’un nombre réel
Axiome 1 (Propriété d’Archimède)
Pour tout x∈R, il existe n∈Ztel que x<n.
Remarque (Interprétation géométrique de la propriété d’Archimède)
La propriété d’Archimède est assez simple à interpréter si l’on se représente l’ensemble des réels comme une
droite orientée, sur laquelle est tracée « l’échelle des entiers». Elle signifie qu’étant donné un point quelconque
de la droite, un des barreaux de l’échelle des entiers le dépasse.
Remarque (Interprétation topologique de la propriété d’Archimède)
La propriété d’Archimède est équivalente à 1
n−−−−−→
n→+∞ 0.
Théorème 1 (Existence et unicité de la partie entière d’un réel)
Pour tout x∈R, il existe un unique n∈Ztel que :
n≤x<n+1.
Cet entier nest appelé partie entière de xet est notée E(x).
Remarque (Reformulation de la notion de partie entière d’un réel)
La partie entière d’un réel xest le plus grand entier qui est inférieur ou égal à x.
Remarque (Conséquence de l’unicité de la partie entière d’un nombre réel)
Soit x∈R. Si un nombre nvérifie ¯¯¯¯
(a) n∈Z
(b) n≤x<n+1
alors n=E(x). Il s’agit d’une simple conséquence de l’unicité de la partie entière, commode pour démontrer
des identités mettant en jeu la partie entière.
Remarque (Deux inégalités importantes)
Si x∈R, alors par définition
E(x)≤x<E(x)+1 et donc x−1<E(x)≤x.
Proposition 1 (Quelques propriétés de la fonction partie entière)
On définit la fonction partie entière, notée E, par
¯¯¯¯
E:R→R
x7→ E(x).
1. La fonction partie entière est croissante sur R.
2. Son comportement asymptotique en ±∞ est donné par
E(x)−−−−−→
x→−∞ −∞ et E(x)−−−−−→
x→+∞ +∞
3. La fonction x7→E(x)−xest 1-périodique, ce qui implique
∀x∈R∀n∈ZE(x+n)=E(x)+n.
Exercice 1
Soit x∈Ret soit n∈N∗. Étudier le comportement asymptotique de la suite µE(nx)
n¶n∈N∗
.
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