Chapitre 8 L`ensemble R des nombres réels

Lycée Chrestien de Troyes
Chapitre 8 − L’ensemble R des nombres réels
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Chapitre 8
L’ensemble R des nombres réels
Version du 04-10-2016 à 04:05
Table des matières
1.
2.
3.
La propriété d’Archimède et la partie entière d’un nombre réel
Parties de R denses dans R
Borne supérieure, borne inférieure
Introduction
Nous rappelons dans ce chapitre deux propriétés fondamentales que possède R
1. la propriété d’Archimède, qui vaut aussi sur Q ;
2. la propriété de la borne supérieure, qui ne vaut pas sur Q et qui, de manière fondamentale distingue Q
de R.
Ces deux propriétés ont des liens ténus avec la topologie de R. La topologie s’intéresse à l’étude des lieux (étymologiquement). Dans le contexte présent, la topologie pourra être comprise comme un outil permettant de
préciser, étudier le caractère proche de deux nombres réels.
La propriété de la borne supérieure joue un rôle essentiel dans nombre de résultats de MPSI (e.g. construction de l’intégrale de Riemann, théorème de la limite monotone pour les suites ou les fonctions) et continuera
d’avoir un rôle prépondérant dans de nouveaux chapitres d’analyse du programme de MP (e.g. familles sommables, intégrales généralisées).
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1 La propriété d’Archimède et la partie entière d’un nombre réel
Axiome 1 (Propriété d’Archimède)
Pour tout x ∈ R, il existe n ∈ Z tel que x < n.
Remarque (Interprétation géométrique de la propriété d’Archimède)
La propriété d’Archimède est assez simple à interpréter si l’on se représente l’ensemble des réels comme une
droite orientée, sur laquelle est tracée « l’échelle des entiers ». Elle signifie qu’étant donné un point quelconque
de la droite, un des barreaux de l’échelle des entiers le dépasse.
Remarque (Interprétation topologique de la propriété d’Archimède)
La propriété d’Archimède est équivalente à
1
−−−−−→ 0.
n n→+∞
Théorème 1 (Existence et unicité de la partie entière d’un réel)
Pour tout x ∈ R, il existe un unique n ∈ Z tel que :
n ≤ x < n + 1.
Cet entier n est appelé partie entière de x et est notée E (x).
Remarque (Reformulation de la notion de partie entière d’un réel)
La partie entière d’un réel x est le plus grand entier qui est inférieur ou égal à x.
Remarque (Conséquence de l’unicité de la partie entière d’un nombre réel)
Soit x ∈ R. Si un nombre n vérifie
¯
¯ (a) n ∈ Z
¯
¯ (b) n ≤ x < n + 1
alors n = E (x). Il s’agit d’une simple conséquence de l’unicité de la partie entière, commode pour démontrer
des identités mettant en jeu la partie entière.
Remarque (Deux inégalités importantes)
Si x ∈ R, alors par définition
E (x) ≤ x < E (x) + 1
et donc
x − 1 < E (x) ≤ x.
Proposition 1 (Quelques propriétés de la fonction partie entière)
On définit la fonction partie entière, notée E , par
¯
¯ E
¯
¯
:
R
x
→
7
→
R
E (x).
1. La fonction partie entière est croissante sur R.
2. Son comportement asymptotique en ±∞ est donné par
E (x) −−−−−→ −∞
x→−∞
et
E (x) −−−−−→ +∞
x→+∞
3. La fonction x 7→ E (x) − x est 1-périodique, ce qui implique
∀x ∈ R ∀n ∈ Z E (x + n) = E (x) + n.
Exercice 1
Soit x ∈ R et soit n ∈ N∗ . Étudier le comportement asymptotique de la suite
2
µ
E (nx)
n
¶
.
n∈N∗
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Exercice 2
Soit x ∈ R. Pour tout entier n ∈ N∗ , notons u n =
n
1 X
E (kx). Montrer que (u n )n∈N converge et détermi2
n k=1
ner sa limite.
Exercice 3
n−1
X
¶
k
= E (nx).
E x+
Soit x ∈ R et soit n ∈ N . Montrer que
n
k=0
∗
µ
Exercice 4
Soit n ∈ N∗ . Montrer que E
p
¡p
¢
¡p
¢
n + n + 1 = E 4n + 2 .
Corollaire 1 (Dilatation, contraction de l’échelle des entiers)
Soit α > 0. Alors pour tout x ∈ R, il existe un unique entier n ∈ Z tel que :
nα ≤ x < (n + 1)α.
Démonstration. On raisonne par analyse-synthèse.
• Analyse
Si un entier n satisfait l’inégalité de l’énoncé alors il vérifie
n≤
et par conséquent il est égal à E
• Synthèse
x
< n +1
α
³x´
. L’unicité est donc prouvée et nous avons un candidat.
α
³x´
x
. Alors n est un entier relatif et n ≤ < n + 1. En multipliant membre à membre cette
α
α
double inégalité par α > 0, on obtient
nα ≤ x < (n + 1)α.
Posons n = E
Q.E.D.
2 Parties de R denses dans R
Définition 1 (Partie dense dans R)
Soit A ⊂ R. On dit que A est dense dans R si :
∀x ∈ R ∀ε > 0 ∃a ε ∈ A tel que |x − a ε | ≤ ε.
Remarque (Interprétation de la densité en termes de voisinages)
Une partie A de R est donc dense dans R si et seulement si tout voisinage de tout point de R contient un point
de A.
Proposition 2 (Caractérisation de la densité)
Soit A ⊂ R. Les propositions suivantes sont équivalentes.
(D1) A est dense dans R.
(D2) Pour tout (x, y) ∈ R2 tels que x < y, A ∩ [x, y] 6= ;.
(D3) Pour tout x ∈ R, il existe une suite (a n )n∈N d’éléments de A telle que a n −−−−−→ x.
n→+∞
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Démonstration.
• (D1) ⇒ (D2)
Supposons A dense dans R. Soit (x, y) ∈ R2 tel que x < y.
Introduisons
x+y
z :=
2
le milieu du segment [x, y]. Notons que la demie longueur du segment [x, y] est
ε := z − x = y − z =
y −x
> 0.
2
Comme A est dense dans R, il existe a ε ∈ A tel que :
|z − a ε | ≤ ε =
De (1) et de :
y −x
.
2
(1)
¯
x + y ¯¯
¯
|z − a ε | = |a ε − z| = ¯a ε −
¯
2
on déduit :
¯
x + y ¯¯ y − x
¯
¯≤
¯a ε −
2
2
et donc :
x =−
y −x x +y
y −x x +y
+
≤ aε ≤
+
= y.
2
2
2
2
Ainsi a ε ∈ A ∩ [x, y] et donc A ∩ [x, y] 6= ;.
• (D2) ⇒ (D3)
Supposons que pour tout (x, y) ∈ R2 tel que x < y, A ∩ [x, y] 6= ;. Soit x ∈ R.
1
Soit n ∈ N. Alors x −
< x. D’après l’hypothèse faite ici,
n +1
¸
·
1
, x ∩ A 6= ;.
x−
n +1
·
¸
1
On choisit un élément, que l’on note a n , dans x −
, x ∩ A. On a alors a n ∈ A et :
n +1
x−
1
≤ a n ≤ x.
n +1
(2)
D’après le théorème d’encadrement, a n −−−−−→ x.
n→+∞
On a donc construit une suite (a n )n∈N d’éléments de A telle que a n −−−−−→ x.
n→+∞
• (D3) ⇒ (D1)
Supposons que pour tout x ∈ R, il existe une suite (a n )n∈N d’éléments de A telle que a n −−−−−→ x.
n→+∞
Soit x ∈ R et soit ε > 0. D’après l’hypothèse faite ici, il existe une suite (a n )n∈N d’éléments de A telle que
a n −−−−−→ x. Donc il existe un rang N ∈ N tel que :
n→+∞
∀ n ∈ N n ≥ N ⇒ |x − a n | ≤ ε.
En particulier |x − a N | ≤ ε. Puisque a N ∈ A, la preuve est achevée.
Q.E.D.
Théorème 2 (Q est dense dans R)
L’ensemble Q est dense dans R.
Exercice 5 (L’ensemble des nombres irrationnels est dense dans R)
Démontrer que R \ Q est dense dans R.
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Exercice 6 (L’ensemble des nombres dyadiques est dense dans R)
Montrer que l’ensemble
D=
o
n n
, (n, m) ∈ Z × N∗
m
2
est dense dans R.
3 Borne supérieure, borne inférieure
Définition 2 (Borne supérieure, borne inférieure d’une partie de R)
Soit A une partie de R. Notons :
M (A) = {x ∈ R : ∀a ∈ A, a ≤ x}
m(A) = {x ∈ R : ∀a ∈ A, a ≥ x}
[l’ensemble des majorants de A]
[l’ensemble des minorants de A]
• Supposons que M (A) est non vide et possède un plus petit élément, i.e. supposons que :
∃M ∈ M (A) ∀x ∈ M (A)
M ≤ x.
Alors M est unique ; on l’appelle borne supérieure de A et on le note sup(A).
• Supposons que m(A) est non vide et possède un plus grand élément, i.e. supposons que :
∃m ∈ m(A) ∀x ∈ m(A)
m ≥ x.
Alors m est unique ; on l’appelle borne inférieure de A et on le note inf(A).
Exercice 7 (Maximum versus borne supérieure)
Soit A une partie de R possédant un plus grand élément, noté M .
Montrer que sup(A) existe et que sup(A) = M .
Exercice 8 (Borne inférieure versus borne supérieure)
Soit A une partie de R, notons −A =: {−a, a ∈ A}.
1. Démontrer que A admet une borne inférieure si et seulement si −A admet une borne supérieure.
2. Si A admet une borne inférieure, démontrer que inf(A) = − sup(−A).
Axiome 2 (Propriété de la borne supérieure)
Toute partie de R non vide et majorée possède une borne supérieure.
Remarque (Existence d’une borne inférieure pour une partie de R)
On déduit de la propriété de la borne supérieure qu’une partie non vide et minorée de R possède une borne
inférieure (cf. exercice 8).
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Proposition 3 (Caractérisation de la borne supérieure)
Soit A une partie non vide de R, soit M ∈ R. Les propositions suivantes sont équivalentes.
(BS1) M = sup A.
M − ε n’est pas un majorant de A
z
}|
{
(BS2) M est un majorant de A et ∀ε > 0, ∃a ε ∈ A tel que M − ε < a ε .
(BS3) M est un majorant de A et il existe une suite (a n )n∈N d’éléments de A telle que a n −−−−−→ M .
n→+∞
Exercice 9
Étudier les éventuelles bornes supérieures et inférieures des parties de R suivantes.
½
¾
½
¾
1
1
1
A = N ; B = Q+ ; C =
, n∈N
; D=
+
, (n, m) ∈ N∗ × N∗
n +1
n m
Exercice 10 (Bornes supérieures et inférieures pour les intervalles)
Soit I une partie de R. On dit que I est un intervalle si :
∀(x, y) ∈ I 2
[x, y] ⊂ I .
Déterminer les bornes supérieure et inférieure d’un intervalle lorsque elles existent.
Proposition 4 (Raisonnement de passage à la borne supérieure)
Soit A une partie non vide de R. Soit M ∈ R tel que
∀x ∈ A
x ≤ M.
Alors A admet une borne supérieure et sup(A) ≤ M .
Exercice 11
Soient A et B deux parties non vides de R telles que pour tout (a, b) ∈ A × B , a ≤ b.
1. Démontrer que A admet une borne supérieure et que B admet une borne inférieure.
2. Démontrer sup(A) ≤ inf(B ).
Exercice 12
Soient A, B deux parties majorées et non vides de R. Notons :
A + B = {a + b : (a, b) ∈ A × B }.
Montrer que A + B admet une borne supérieure et que sup(A + B ) = sup A + sup B.
Exercice 13
Soit E un ensemble non vide, soient f : E → R et g : E → R deux fonctions majorées. Montrer que
sup f (x), sup g (x) et sup( f + g )(x) existent et que
x∈E
x∈E
x∈E
sup( f + g )(x) ≤ sup f (x) + sup g (x).
x∈E
x∈E
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x∈E
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Exercice 14
Soit A une partie non vide de R2 . Notons k.k la norme euclidienne sur R2 .
1. Soit x ∈ R2 . Justifier que d (x, A) := inf kx − ak est bien défini.
a∈A
2. Montrer que :
¯
¯ °
°
∀(x, y) ∈ R2 × R2 , ¯d (x, A) − d (y, A)¯ ≤ °x − y ° .
Exercice 15
Soit f : R2 → R une application bornée. Montrer que :
sup inf f (x, y) ≤ inf sup f (x, y).
x∈R y∈R
y∈R x∈R
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