Chapitre 8 L`ensemble R des nombres réels

Lycée Chrestien de Troyes Chapitre 8 −L’ensemble Rdes nombres réels MP1617
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Chapitre 8
L’ensemble Rdes nombres réels
Version du 04-10-2016 à 04:05
Table des matières
1. La propriété d’Archimède et la partie entière d’un nombre réel
2. Parties de Rdenses dans R
3. Borne supérieure, borne inférieure
Introduction
Nous rappelons dans ce chapitre deux propriétés fondamentales que possède R
1. la propriété d’Archimède, qui vaut aussi sur Q;
2. la propriété de la borne supérieure, qui ne vaut pas sur Qet qui, de manière fondamentale distingue Q
de R.
Ces deux propriétés ont des liens ténus avec la topologie de R. La topologie s’intéresse à l’étude des lieux (éty-
mologiquement). Dans le contexte présent, la topologie pourra être comprise comme un outil permettant de
préciser, étudier le caractère proche de deux nombres réels.
La propriété de la borne supérieure joue un rôle essentiel dans nombre de résultats de MPSI (e.g. construc-
tion de l’intégrale de Riemann, théorème de la limite monotone pour les suites ou les fonctions) et continuera
d’avoir un rôle prépondérant dans de nouveaux chapitres d’analyse du programme de MP (e.g. familles som-
mables, intégrales généralisées).
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1 La propriété d’Archimède et la partie entière d’un nombre réel
Axiome 1 (Propriété d’Archimède)
Pour tout x∈R, il existe n∈Ztel que x<n.
Remarque (Interprétation géométrique de la propriété d’Archimède)
La propriété d’Archimède est assez simple à interpréter si l’on se représente l’ensemble des réels comme une
droite orientée, sur laquelle est tracée « l’échelle des entiers». Elle signifie qu’étant donné un point quelconque
de la droite, un des barreaux de l’échelle des entiers le dépasse.
Remarque (Interprétation topologique de la propriété d’Archimède)
La propriété d’Archimède est équivalente à 1
n−−−−−→
n→+∞ 0.
Théorème 1 (Existence et unicité de la partie entière d’un réel)
Pour tout x∈R, il existe un unique n∈Ztel que :
n≤x<n+1.
Cet entier nest appelé partie entière de xet est notée E(x).
Remarque (Reformulation de la notion de partie entière d’un réel)
La partie entière d’un réel xest le plus grand entier qui est inférieur ou égal à x.
Remarque (Conséquence de l’unicité de la partie entière d’un nombre réel)
Soit x∈R. Si un nombre nvérifie ¯¯¯¯
(a) n∈Z
(b) n≤x<n+1
alors n=E(x). Il s’agit d’une simple conséquence de l’unicité de la partie entière, commode pour démontrer
des identités mettant en jeu la partie entière.
Remarque (Deux inégalités importantes)
Si x∈R, alors par définition
E(x)≤x<E(x)+1 et donc x−1<E(x)≤x.
Proposition 1 (Quelques propriétés de la fonction partie entière)
On définit la fonction partie entière, notée E, par
¯¯¯¯
E:R→R
x7→ E(x).
1. La fonction partie entière est croissante sur R.
2. Son comportement asymptotique en ±∞ est donné par
E(x)−−−−−→
x→−∞ −∞ et E(x)−−−−−→ x→+∞ +∞
3. La fonction x7→E(x)−xest 1-périodique, ce qui implique
∀x∈R∀n∈ZE(x+n)=E(x)+n.
Exercice 1
Soit x∈Ret soit n∈N∗. Étudier le comportement asymptotique de la suite µE(nx)
n¶n∈N∗
.
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Exercice 2
Soit x∈R. Pour tout entier n∈N∗, notons un=1
n2
n
X
k=1
E(kx). Montrer que (un)n∈Nconverge et détermi-
ner sa limite.
Exercice 3
Soit x∈Ret soit n∈N∗. Montrer que
n−1
X
k=0
Eµx+k
n¶=E(nx).
Exercice 4
Soit n∈N∗. Montrer que E¡pn+pn+1¢=E¡p4n+2¢.
Corollaire 1 (Dilatation, contraction de l’échelle des entiers)
Soit α>0. Alors pour tout x∈R, il existe un unique entier n∈Ztel que :
nα≤x<(n+1)α.
Démonstration. On raisonne par analyse-synthèse.
•Analyse
Si un entier nsatisfait l’inégalité de l’énoncé alors il vérifie
n≤x
α<n+1
et par conséquent il est égal à E³x
α´. L’unicité est donc prouvée et nous avons un candidat.
•Synthèse
Posons n=E³x
α´. Alors nest un entier relatif et n≤x α<n+1. En multipliant membre à membre cette
double inégalité par α>0, on obtient
nα≤x<(n+1)α.
Q.E.D.
2 Parties de Rdenses dans R
Définition 1 (Partie dense dans R)
Soit A⊂R. On dit que Aest dense dans Rsi :
∀x∈R∀ε>0∃aε∈Atel que |x−aε|≤ε.
Remarque (Interprétation de la densité en termes de voisinages)
Une partie Ade Rest donc dense dans Rsi et seulement si tout voisinage de tout point de Rcontient un point
de A.
Proposition 2 (Caractérisation de la densité)
Soit A⊂R. Les propositions suivantes sont équivalentes.
(D1) Aest dense dans R.
(D2) Pour tout (x,y)∈R2tels que x<y,A∩[x,y]6=;.
(D3) Pour tout x∈R, il existe une suite (an)n∈Nd’éléments de Atelle que an−−−−−→
n→+∞ x.
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Démonstration.
•(D1) ⇒(D2)
Supposons Adense dans R. Soit (x,y)∈R2tel que x<y.
Introduisons
z:=x+y
2
le milieu du segment [x,y]. Notons que la demie longueur du segment [x,y] est
ε:=z−x=y−z=y−x
2>0.
Comme Aest dense dans R, il existe aε∈Atel que :
|z−aε|≤ε=y−x
2. (1)
De (1) et de :
|z−aε|=|aε−z| =¯¯¯aε−x+y
2¯¯¯
on déduit : ¯¯¯aε−x+y
2¯¯¯≤y−x 2
et donc :
x=−y−x
2+x+y 2≤aε≤y−x 2+x+y 2=y.
Ainsi aε∈A∩[x,y] et donc A∩[x,y]6=;.
•(D2) ⇒(D3)
Supposons que pour tout (x,y)∈R2tel que x<y,A∩[x,y]6=;. Soit x∈R.
Soit n∈N. Alors x−1
n+1<x. D’après l’hypothèse faite ici,
·x−1
n+1,x¸∩A6=;.
On choisit un élément, que l’on note an, dans ·x−1
n+1,x¸∩A. On a alors an∈Aet :
x−1
n+1≤an≤x. (2)
D’après le théorème d’encadrement, an−−−−−→
n→+∞ x.
On a donc construit une suite (an)n∈Nd’éléments de Atelle que an−−−−−→
n→+∞ x.
•(D3) ⇒(D1)
Supposons que pour tout x∈R, il existe une suite (an)n∈Nd’éléments de Atelle que an−−−−−→
n→+∞ x.
Soit x∈Ret soit ε>0. D’après l’hypothèse faite ici, il existe une suite (an)n∈Nd’éléments de Atelle que
an−−−−−→
n→+∞ x. Donc il existe un rang N∈Ntel que :
∀n∈Nn≥N⇒|x−an|≤ε.
En particulier |x−aN|≤ε. Puisque aN∈A, la preuve est achevée.
Q.E.D.
Théorème 2 (Qest dense dans R)
L’ensemble Qest dense dans R.
Exercice 5 (L’ensemble des nombres irrationnels est dense dans R)
Démontrer que R\Qest dense dans R.
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Exercice 6 (L’ensemble des nombres dyadiques est dense dans R)
Montrer que l’ensemble
D=nn
2m, (n,m)∈Z×N∗o
est dense dans R.
3 Borne supérieure, borne inférieure
Définition 2 (Borne supérieure, borne inférieure d’une partie de R)
Soit Aune partie de R. Notons :
M(A)={x∈R:∀a∈A,a≤x} [l’ensemble des majorants de A]
m(A)={x∈R:∀a∈A,a≥x} [l’ensemble des minorants de A]
• Supposons que M(A) est non vide et possède un plus petit élément, i.e. supposons que :
∃M∈M(A)∀x∈M(A)M≤x.
Alors Mest unique ; on l’appelle borne supérieure de Aet on le note sup(A).
• Supposons que m(A) est non vide et possède un plus grand élément, i.e. supposons que :
∃m∈m(A)∀x∈m(A)m≥x.
Alors mest unique ; on l’appelle borne inférieure de Aet on le note inf(A).
Exercice 7 (Maximum versus borne supérieure)
Soit Aune partie de Rpossédant un plus grand élément, noté M.
Montrer que sup(A) existe et que sup(A)=M.
Exercice 8 (Borne inférieure versus borne supérieure)
Soit Aune partie de R, notons −A=: {−a,a∈A}.
1. Démontrer que Aadmet une borne inférieure si et seulement si −Aadmet une borne supérieure.
2. Si Aadmet une borne inférieure, démontrer que inf(A)=−sup(−A).
Axiome 2 (Propriété de la borne supérieure)
Toute partie de Rnon vide et majorée possède une borne supérieure.
Remarque (Existence d’une borne inférieure pour une partie de R)
On déduit de la propriété de la borne supérieure qu’une partie non vide et minorée de Rpossède une borne
inférieure (cf. exercice 8).
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