Chapitre 1 : Champ et force magnétostatiques

Physique
Électromagnétisme
Chapitre 1 :
Champ et force magnétostatiques
Chapitre 1 : Champ et force magnétostatiques
1. Sources du champ magnétique
Champ magnétique créé par un aimant permanent
1.1.
Champ d’induction magnétique créé par une charge électrique en mouvement
1.2.
Champ d’induction magnétique créé par un courant électrique
1.3.
2. Force magnétique
Force magnétique sur une particule chargée en mouvement
2.1.
Force magnétique sur un circuit filiforme
2.2.
Résumé du chapitre
1
2
2
4
6
8
8
9
2.2.1.
Vecteur densité de courant
9
2.2.2.
Courant électrique
10
2.2.3.
Force de Laplace sur un flux d’électrons dans un circuit
10
2.2.4.
Définition de l’Ampère
11
13
La présence d’une masse crée dans son voisinage un champ gravitationnel qui attire les
autres masses en présence. De même, la présence d’un corps chargé électriquement
crée un champ électrique qui va interagir avec les autres corps chargés.
Les effets du champ magnétique ont été observés dans la boussole depuis fort
longtemps. De nos jours, les lois de l’électricité et du magnétisme sont appliquées dans
tous les domaines de la vie courante. Les appareils électroniques tels que les
téléphones portables, les appareils électroménagers, le matériel hospitalier, les outils
des télécommunications (téléphone mobile, radar, infrarouge, bluetooth, WiFi) ainsi
que les moteurs électriques fonctionnent tous sur la base de ces principes.
L’électromagnétisme décrit l’interrelation entre le champ électrique et le champ
magnétique : la production de champ magnétique à partir du courant électrique et la
production d’un champ électrique à partir d’un champ magnétique.
La charge électrique est source du champ électrique. Il n’existe pas de charge
magnétique isolée. Le champ magnétique existe lorsque des charges électriques sont
en mouvement. Ce mouvement de charges est appelé courant électrique. C'est le
courant électrique qui est source du champ magnétique.
La force électrique décrit l’interaction entre deux charges électriques. La force
magnétique décrit l’interaction entre une charge électrique en mouvement et un
courant électrique ou l’interaction entre deux courants électriques (force de Laplace)
qui circulent dans deux conducteurs différents.
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1. Sources du champ magnétique
Le champ magnétique prend naissance à partir du mouvement de porteurs de charges
électriques. La magnétostatique est l’étude des phénomènes où le champ magnétique
est statique (indépendant du temps). Le champ magnétique est statique lorsque les
sources du champ ont un comportement constant par rapport au temps. Dans le cas
statique, les électrons ont un mouvement uniforme et le courant est constant. Toute
variation de régime des sources du champ magnétique produit les effets de l’induction.
1.1.
Champ magnétique créé par un aimant permanent
La magnétite (Fe3O4) ou oxyde de fer est un matériau ferromagnétique naturellement
aimanté. On appelle pôle nord magnétique de l’aimant, la partie qui s’oriente vers le
nord géographique terrestre. Il est indiqué par la lettre N. Le pôle sud de l’aimant est
indiqué par la lettre S et indique le pôle sud géographique.
L’aimant attire les matériaux paramagnétiques tel que le fer, le nickel et le cobalt. Ces
matériaux deviennent temporairement aimantés lorsqu’ils sont placés en présence d’un
aimant. Lorsqu’on éloigne les deux corps, le matériau paramagnétique perd ses
propriétés magnétiques.
Lorsqu’on rapproche deux aimants, deux pôles identiques se repoussent et deux pôles
différents s’attirent (figure 1). Les deux pôles de l’aimant ne peuvent pas être isolés
quand on le divise en deux.
N
S
a
S
N
S
b
N
N
S
Figure 1: deux pôles de même signe se repoussent (a), deux pôles de signes opposés
s’attirent (b).
Remarques:
• À l'extérieur de l’aimant, les lignes de champ magnétique sont orientées du pôle
Nord vers le pôle Sud.
• À l’intérieur de l’aimant, les lignes de champ sont orientées du pôle Sud vers le
pôle Nord.
• Le champ est plus intense aux pôles (les lignes de champ sont plus resserrées).
• Les deux pôles magnétiques vont toujours de pair et il n’existe pas de charge
magnétique isolée.
• L’unité du champ magnétique est le Tesla ou le Gauss (1 T = 104 G).
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Le spin de l’électron
Au niveau microscopique, la matière est formé d'un noyau complexe environné par
un nuage d’électrons. Le noyau contient des protons qui sont des particules de charge
positive qproton = + e et de neutrons qui sont des particules neutres qneutron = 0. Les
électrons sont en mouvement autour du noyau avec qelectron = − e . Le nombre de
protons étant égal au nombre d’électrons, la matière est électriquement neutre.
De manière analogue au mouvement de rotation de la terre sur elle-même et de son
mouvement de révolution autour du soleil, les électrons ont un mouvement de
rotation appelé spin et un mouvement de révolution autour du noyau atomique. Le
spin de l’électron est binaire : s = +
1
1
ou s = − . Il indique la direction de l’axe
2
2
de rotation. Ce mouvement de spin donne naissance au champ magnétique de spin.
Le moment magnétique de spin de l’électron : μs = − g
eℏ
s⃗
( 2me )
• g facteur de Landé
• e charge de l’électron
• ℏ constante de Plank réduite
• me masse de l’électron
s=+
• s ⃗ vecteur de spin de l’électron
1
2
s=−
1
2
Le champ magnétique orbital de l’électron
Le mouvement de révolution de l'électron donne naissance aussi à un champ
magnétique dit orbital. L’expression du moment angulaire orbital de l’électron est :
L ⃗ = r⃗ × p ⃗
• r ⃗ est le vecteur position de l'électron par rapport au noyau ;
• p ⃗ est le vecteur quantité de mouvement de l’électron.
Le moment magnétique est proportionnel au moment angulaire orbital. Son signe est
opposé à celui du moment angulaire orbital en raison de la charge négative de
l’électron :
L⃗
μ L⃗ = −
e
L⃗
2me
• e est la charge de l’électron
• me est la masse de l’électron
v⃗
i
μ⃗
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1.2.
Champ d’induction magnétique créé par une charge électrique en
mouvement
Lorsqu’une charge q est en mouvement (avec une vitesse uniforme v ≪ c), elle crée en
tout point de l’espace un champ d’induction magnétique B ⃗ d’expression (Figure 2) :
B⃗=
μ0 q v ⃗ × r ⃗
4π r ⃗3
v⃗
Figure 2 : champ magnétique créé par une charge en
mouvement
• μ0 = 4π ⋅ 10−7 H ⋅ m −1 est la perméabilité du vide qui décrit la capacité du vide à
laisser passer le champ magnétique.
10−9
• ϵ0 =
36π
F ⋅ m −1 est la perméabilité du vide.
• ϵ0 μ0 c 2 = 1, avec c la vitesse de la lumière dans le vide.
• r ⃗ position du point par rapport à la charge q où le champ est calculé.
Le champ magnétique produit est tubulaire autour de la charge. Son intensité décroit
lorsqu’on s'éloigne de la charge. l’unité du champ magnétique est le Tesla (T).
Remarques:
• Le champ d’induction magnétique est toujours perpendiculaire à la direction du
mouvement (figure 2).
• C'est un pseudo-vecteur qui dépend de l’orientation de l’espace. Le sens
conventionnel est la règle du tire bouchon (équivalente à la règle de la main droite).
• Le champ d’induction magnétique obéit au principe de superposition.
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Exemple : champ magnétique créé par une particule chargée q animée d’une vitesse v ⃗ = | v ⃗ | i ⃗
Une charge q placée à l’origine et
animée d’une vitesse v ⃗ = | v ⃗ | i ⃗ va
produire un champ magnétique en tout
point de l'espace.
L’intensité du champ est maximale dans
le plan y0z perpendiculaire à v ⃗ . Il est
nul dans la direction de v .⃗
Dans un plan parallèle au plan xOy , le
champ magnétique conserve la même
allure et son intensité plus faible car
l’intensité du champ magnétique décroît
en 1/r 2.
Lorsque la charge se trouve à une
distance r0 de l’origine, la charge
produit un champ magnétique
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Champ magnétique terrestre
La Terre est une planète qui possède un champ magnétique comme Jupiter ou
Saturne. Ce champ est appelé la magnétosphère. Il est généré par la composition du
noyau terrestre et similaire au champ créé par un dipôle magnétique avec un pôle
nord et un pôle sud. Le pôle nord géographique terrestre qui attire le pôle nord d'un
aimant correspond au pôle sud magnétique. La position du pôle Nord magnétique se
déplace d’environ 40 km par an. L’angle de déclinaison est l’angle formé entre le
nord magnétique indiqué par la boussole et le nord géographique.
Le champ magnétique terrestre protège la vie sur terre car il dévie les particules de
grande énergie provenant des vents solaires et des rayons cosmiques. Les vents
solaires sont constitués de particules chargées. Ces particules sont des électrons et
des protons qui ont des vitesses très élevées. Les rayons cosmiques sont des particules
chargées qui proviennent de l’espace. Les vents solaires et les rayons cosmiques
perturbent les processus biologiques et les dispositifs électroniques à la surface de la
Terre, ainsi que les satellites dans l’espace.
Les ceintures de Van Allen
Les ceintures de Van Allen sont des régions de l’espace autour de la Terre où les
S
N
particules chargées sont piégées par le champ magnétique terrestre. Elles permettent
de protéger la surface de la Terre des radiations qui sont nocives. Ces particules
endommagent les cellules vivantes par ionisation des molécules et compromettent les
fonctions cellulaires. Les dispositifs électroniques à la surface de la Terre ou dans les
satellites sont exposés aux vents solaires. Les particules chargées provoquent des
courants dans les dispositifs électroniques qui causent des dysfonctionnements et une
dégradation des matériaux utilisés.
1.3.
Champ d’induction magnétique B ⃗ créé par un courant électrique
Une charge électrique en mouvement est source de champ magnétique. Lorsqu’un
ensemble de charges sont mobiles dans un conducteur, elles vont créer un courant
électrique. Le champ magnétique créé par chaque charge vont contribuer au champ
total créé par le fil conducteur.
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Soit un circuit électrique filiforme de longueur L et traversé par un courant permanent
I. Ce circuit crée un champ d’induction magnétique B ⃗ en tout point M( r ⃗ ) tel que :
B⃗=
μ0 I
dl ⃗× r⃗
4π ∮circuit r ⃗3
(Loi de Biot et Savart)
Le champ d’induction magnétique B ⃗ total en un point M( r ⃗ ) créé par un circuit
curviligne est la contribution des champs créés par les segments élémentaires de
courant d l .⃗
• d l ⃗ est le vecteur courant élémentaire du circuit et l’intégrale porte sur tout le circuit.
• r ⃗ est le point où l’expression du champ d’induction magnétique est évalué.
La loi de Biot et Savart permet de calculer le champ d’induction magnétique B ⃗ d’une
configuration quelconque dans le cas d’un courant continu. Lorsqu’il existe plusieurs
sources de courant, le champ d’induction magnétique B ⃗ résultant est la somme
vectorielle des champs individuels (principe de superposition).
Perméabilité magnétique μ
La perméabilité magnétique μ d’un matériau est une propriété fondamentale. Elle
décrit sa capacité à laisser s’établir le champ magnétique à l’intérieur du matériau. La
répartition du champ magnétique ainsi que sa propagation dépendent de cette
propriété.
La perméabilité magnétique du vide μ0 ou constante magnétique représente la
propriété du vide à soutenir un champ magnétique. La perméabilité relative d’un
matériau se mesure par rapport à la perméabilité du vide: μr =
μ
.
μ0
Une forte perméabilité augmente l’intensité du champ magnétique à l’intérieur du
matériau et permet de réaliser des circuits inducteurs plus compacts. L’énergie
magnétique stockée par un circuit est proportionnelle à sa perméabilité magnétique.
La perméabilité magnétique permet de classer les matériaux :
• Matériau diamagnétique tel que le cuivre ou l’argent (μr < 1) : il est faiblement
repoussé par un champ magnétique.
• Matériau paramagnétique tel que l’aluminium et le platine (μr > 1) : il est
faiblement attiré par le champ magnétique.
• Matériau ferromagnétique tel que le fer, le cobalt et le nickel (μr > > 1): il est
fortement attiré par le champ magnétique.
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Valeur
exacte
Vitesse de la lumière 299 792 458 m.s-1
Perméabilité du vide μ0 = 4π ⋅ 10−7 N.A-2
Constante
Permittivité du vide
μ0ϵ0 =
1
c2
Unité
C2.N.m-2
Valeur approchée
V.s.A-1.m-1
A.s.V-1.m-1
3.108
8,8542.10-12
Permittivité électrique ε
La permittivité électrique ε est une propriété fondamentale des matériaux. Elle décrit
la réponse du matériau sous l’effet d’un champ électrique. Cette réaction se traduit
par une polarisation du matériau. La polarisation décrit la répartition du champ
électrique ainsi que sa vitesse de propagation à l’intérieur du matériau.
La permittivité électrique du vide ε0 est appelée constante diélectrique du vide. La
permittivité relative d’un matériau est la quantité εr =
ε
. Elle est sans dimension et
ε0
mesure la capacité du matériau à être influencé par un champ électrique par rapport
au vide.
Un matériau avec une permittivité électrique élevée réduit la force du champ
électrique. Les matériaux qui ont des permittivité très élevées permettent de créer des
condensateurs plus petits avec une capacité plus élevée.
2. Force magnétique
Le champ d’induction magnétique B ⃗ a pour origine le mouvement des particules
chargées. Ce champ magnétique va influencer les particules électriques en mouvement
et les circuits électriques traversés par un courant électrique permanent.
2.1.
Force magnétique sur une particule chargée en mouvement
Lorsqu’une particule de charge électrique q et de vitesse v ≪ c (c est la vitesse de la
lumière) est plongée dans un champ d’induction magnétique B ⃗, elle subit la force
magnétique :
F m⃗ = q v ⃗ × B ⃗
La force magnétique est toujours perpendiculaire à la vitesse de la particule et au
champ magnétique. Le travail de la force magnétique est de ce fait nul : la force
magnétique ne modifie pas la vitesse de la particule. Elle peut par contre modifier la
trajectoire :
W F m⃗ = F m⃗ ⋅ v ⃗ = 0
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La loi de Lorentz exprime la force subie par une particule de charge q et de vitesse v ,⃗
plongée dans un champ électrique E ⃗ et un champ d’induction magnétique B ⃗ :
F ⃗ = F e⃗ + F m⃗ = q( E ⃗ + v ⃗ × B )⃗
• F e⃗ est la force électrique ;
• F m⃗ est la force magnétique ;
• F ⃗ = F e⃗ + F m⃗ est la force de Lorentz ;
• ( E ,⃗ B )⃗ est le champ électromagnétique au point M( r ⃗ ).
2.2.
Force magnétique sur un circuit filiforme
Le courant électrique est un déplacement de charges dans un circuit et la force
magnétique agit sur les particules chargées en mouvement. Pour un circuit filiforme
⃗ , chaque charge en mouvement va
plongé dans un champ d’induction magnétique B ext
subir la force magnétique. La force totale sur le circuit sera la contribution des
différentes forces appliquées sur chacune des charges.
2.2.1.
Vecteur densité de courant
On considère un segment de fil de longueur L et de section S plongé dans un champ
⃗ .
d’induction magnétique extérieur B ext
Chaque porteur de charge pi dans le matériau possède une masse mi et est animé
d’une vitesse vi . Les porteurs de charge peuvent être des électrons, des protons, des
ions ou des trous. La conductivité électrique dans un métal est assurée en grande partie
par les électrons. Dans un milieu neutre, ρ = ρn + ρp = 0 : la densité volumique de
charges négatives ρn est égale à la densité volumique des charges positives ρp.
On définit la charge volumique des électrons du matériau ou quantité de charges par
unité de volume:
ρn = n ⋅ e
• n est la densité volumique des électrons libres ou nombre d'électrons par unité de
volume (et ρn est la densité volumique de charges) ;
• e est la charge d’un électron.
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Le vecteur densité de courant volumique J ⃗ caractérise le déplacement des porteurs de
charges dans le matériau :
J ⃗ = n ⋅ e ⋅ v n⃗ = ρn v n⃗
vn la vitesse d’entraînement des électrons libres.
Dans le cas où plusieurs porteurs de charge participent à la conduction, le vecteur
densité de courant volumique aura pour expression (en vertu du principe de
superposition) :
J ⃗=
n ⋅ q ⋅ v i⃗
∑ i i
i
•
ni est la densité volumique des porteurs de charge de type i.
•
qi est la charge d’une particule de type i.
2.2.2.
Courant électrique
L’intensité du courant électrique I traversant une section S du conducteur est définie
comme le flux du vecteur densité de courant volumique J ⃗ à travers cette surface :
I=
∬S
⃗
J ⃗ ⋅ n dS
L’unité de l'intensité du courant électrique est l’Ampère (A).
2.2.3.
Force de Laplace sur un flux d’électrons dans un circuit
La force de Laplace décrit l’action d’un champ d’induction magnétique permanent
⃗ sur un fil conducteur traversé par un courant I.
B ext
On considère un segment de fil conducteur cylindrique de section S . Les porteurs de
charge majoritaires sont les électrons. La vitesse de dérive des porteurs de charge est
v n⃗ (figure 3).
Au cours du temps dt , chaque électron va parcourir en moyenne la distance
L = vn ⋅ dt.
La quantité de charges qui traverse la section du conducteur au cours du temps dt est :
dQ = n ⋅ q ⋅ V = n ⋅ q ⋅ S ⋅ vn ⋅ dt
On définit le courant électrique I comme la quantité de charges par unité de temps :
I=
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dQ
= n ⋅ q ⋅ S ⋅ vn = ρn ⋅ vn ⋅ S
dt
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Le vecteur densité de courant est la quantité de charges qui traverse la surface du
conducteur par unité de temps : J ⃗ = ρn v n⃗
⃗
La force exercée sur une charge : F m⃗ = q ⋅ v n⃗ × B ext
La force exercée sur le segment L de fil :
⃗
F T⃗ = QT ⋅ v n⃗ × B ext
F⃗ = ρ ⋅S⋅L ⋅ v⃗ × B⃗
T
n
⃗
F T⃗ = I ⋅ L ⃗ × B ext
n
⃗
S
⃗
ext ≡ (ρn ⋅ vn ⋅ S ) ⋅ L × B ext
vn dt
La force résultante ou force de Laplace exercée sur un
circuit filiforme de longueur L , traversé par un courant
permanent I
et placé dans un champ d’induction
⃗ est l’expression :
magnétique B ext
⃗
F m⃗ = I L ⃗ × B ext
Figure 3 : force
magnétostatique sur un
circuit parcouru par un
courant électrique
Remarques:
• La force de Laplace est perpendiculaire au courant ;
• Elle est proportionnelle à l’intensité du courant dans le circuit ;
⃗ ;
• Elle est proportionnelle à l’intensité du champ d’induction magnétique B ext
⃗ et l’élément de courant
• La force est orthogonale au plan formé par le champ B ext
considéré (circuit).
2.2.4.
Définition de l’Ampère
On définit l’ampère (1 A) comme le courant constant qui circule entre deux
conducteurs parallèles rectilignes, de longueur infinie, de section circulaire négligeable
et placés à une distance de 1 mètre l’un de l’autre dans le vide, et entre lesquels
l’intensité de la force d’interaction vaut 2 ⋅ 10−7 Newtons par mètre de longueur.
Exemple : force de Laplace entre deux fils conducteurs
Soit deux circuits filiformes de longueurs L1 et L 2 traversés respectivement par les
courants I1 et I2 et séparés par une distance a.
Le circuit I1 crée dans tout l’espace un champ d’induction magnétique B 1⃗ .
Le circuit I2 plongé dans ce champ d’induction magnétique subit la force de Laplace :
⃗
F 1→2
= I2 ⋅ L 2⃗ × B 1⃗
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I1
B 1⃗ =
I2
μ0 I1
u⃗
2π r θ
I1
B 2⃗ =
I2
μ0 I2
u θ⃗
2π r
r
r
De même, le circuit I2 crée un champ B 2⃗ qui interagit avec le circuit I1 à travers la
force de Laplace :
⃗
F 2→1
= I1 ⋅ L 1⃗ × B 2⃗
Aimant naturel
Certains matériaux possèdent des propriétés magnétiques de manière naturelle. Un
exemple est la magnétite de formule Fe3O4 que l’on retrouve sous forme de roche.
La magnétite attire les objets ferromagnétiques comme le fer et les autres matériaux
contenant du fer. Elle est utilisée pour fabriquer des boussoles qui ont servi à la
navigation dans l’Antiquité.
Aimant artificiel
Un aimant artificiel est un matériau qui a subi un traitement pour avoir des propriétés
magnétiques.
Aimant permanent artificiel
C’est un alliage d’éléments tels que le néodyme-fer-bore (NdFeB) ou le samariumcobalt (SmCo). Ces matériaux sont traités pour aligner les domaines magnétiques de
manière permanente et créer Ainsi un champ magnétique stable.
Aimant temporaire
Il existe des matériaux tels que le fer qui deviennent magnétiques lorsqu’ils sont
exposés à un champ magnétique externe. Cependant, ils perdent leurs propriétés
magnétiques une fois quels champ magnétique est supprimé. Le fer et l’acier doux
sont des exemples d’aimants temporaires.
Électroaimant
C’est un matériau qui devient aimanté sous l’effet d’un champ magnétique créé par
une bobine alimentée par un courant électrique.
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Résumé du chapitre
•
Les sources du champ magnétique sont les charges électriques en
mouvement.
•
Le champ magnétique est statique si les sources ont un régime uniforme
qui ne varie pas par rapport au temps.
•
L’aimant permanent est source de champ magnétostatique. Les deux
pôles magnétiques vont toujours de pair et il n’existe pas de charge
magnétique isolée. Deux pôles identiques se repoussent, deux pôles
différents s’attirent.
•
Une particule de charge q animée d’une vitesse v ⃗ produit le champ
d’induction magnétique au point M( r ⃗ ) :
⃗ =
B (r)
•
μ0 q v ⃗ × r ⃗
4π r ⃗3
Loi de Biot et Savart : un circuit filiforme traversé par un courant
permanent I produit le champ d’induction magnétique au point M( r ⃗ ) :
⃗ =
B (r)
•
μ0 I
dl ⃗× r⃗
4π ∮circuit r ⃗3
Une particule de charge q animée d’une vitesse v ⃗ et plongée dans un
⃗ subit la force :
champ d’induction magnétique B ext
⃗
F m⃗ = q v ⃗ × B ext
•
Une particule de charge q animée d’une vitesse v ⃗ et plongée dans un
⃗ , B ⃗ ) subit la force de Lorentz :
champ électromagnétique ( E ext
ext
⃗ + v⃗× B⃗ )
F ⃗ = q( E ext
ext
•
La force de Laplace est la force subie par un circuit filiforme traversé par
⃗ :
un courant I et plongé dans le champ d’induction magnétique B ext
⃗
F m⃗ = I L ⃗ × B ext
•
1 A correspond au courant qui provoque une force de 2 ⋅ 10−7 N entre
deux circuits filiformes séparés par une distance de 1 m.
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