Plan de séance math 5e & MA2 : équations & nombres réels

M ATHÉM ATIQUES · SÉANCE 1
Premier cours : classes de 5e et de MA2
5e : SA 4, équations a + x = b | MA2 : Chapitre I, ensemble des nombres réels
5e
MA2 (2e année industrielle)
Programme
Situation d'apprentissage n° 4 :
Organisation des données (12 h au total)
Chapitre I : Ensemble des nombres réels
Thème de la
séance
Équations du type a + x = b dans ID
Définition des nombres réels : IN, ZZ, ID,
IQ, IR et nombres irrationnels
Durée
2 heures
2 heures
Prérequis
Opérations dans IN, ZZ et ID (nombres
décimaux relatifs)
Rappels du chapitre 0 : opérations dans D
et dans Q
Objectif
Traduire un problème par une équation a +
x = b et en trouver la solution dans ID
Situer un nombre dans le plus petit
ensemble qui le contient et reconnaître un
irrationnel
Matériel
Tableau, cahier, ardoise
Tableau, cahier, calculatrice
Notation des ensembles (celle du programme) : IN entiers naturels, ZZ entiers relatifs, ID nombres décimaux
relatifs, IQ nombres rationnels, IR nombres réels.
1. Organisation de la séance pour les deux classes
Les deux classes suivent les mêmes phases (démarche par situation d'apprentissage) et le même rythme.
Le professeur peut ainsi passer d'une classe à l'autre : quand l'une travaille seule ou en groupe, il encadre
l'autre. Seule l'ouverture est commune.
Temps
5e
MA2
0 – 15 min
Ouverture commune : les deux classes
ensemble (voir partie 2).
Ouverture commune : les deux classes
ensemble (voir partie 2).
15 – 30 min
Introduction : lecture de la situation de départ
(excursion), reformulation, questions libres.
Introduction : lecture de la situation de départ
(plaque carrée), reformulation, questions
libres.
30 – 45 min
Travail individuel : analyse et mise en
équation.
Travail individuel : calcul de d, essais avec la
calculatrice.
45 – 65 min
Travail en groupe : comparer les équations
trouvées et les solutions.
Travail en groupe : comparer les valeurs,
chercher l'ensemble de nombres.
65 – 85 min
Travail collectif : compte rendu des groupes,
validation.
Travail collectif : compte rendu des groupes,
validation.
85 – 100 min
Trace écrite : « À retenir » (partie 3).
Trace écrite : « À retenir » (partie 4).
100 – 115 min
Exercices d'application (série 3.4).
Exercices d'application (série 4.4).
115 – 120 min
Retour et projection : ce que j'ai appris,
comment, où l'utiliser.
Retour et projection : ce que j'ai appris,
comment, où l'utiliser.
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2. Ouverture commune (15 min)
Consigne écrite au tableau : pour chaque équation, dis si elle a une solution dans IN, puis dans ZZ, puis
dans ID, puis dans IQ, puis dans IR.
N°
Équation
Solution et plus petit ensemble
Qui la traite ?
1
x+5=2
x = 2 − 5 = −3, donc dans ZZ (pas
dans IN)
5e et MA2
2
x + 2,5 = 4
x = 4 − 2,5 = 1,5, donc dans ID (pas
dans IN ni ZZ)
5e et MA2
3
3x = 1
x = 1/3 = 0,333… n'est pas décimal,
donc dans IQ
MA2 seulement (5e : on écoute,
sans traiter)
4
x2 = 2 (x > 0)
x = √2 n'est pas rationnel, donc
dans IR
MA2 seulement (5e : on écoute,
sans traiter)
Message commun aux deux classes
Chaque fois qu'un ensemble de nombres ne suffit plus pour résoudre une équation, on passe à un
ensemble plus grand. La 5e s'arrête à ID ; la MA2 va jusqu'à IR.
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3. Partie 5e : équations du type a + x = b
3.1 Situation de départ (SA 4)
Un établissement organise une excursion à laquelle participent 120 élèves : 15 élèves de 1 ère
scientifique, 50 élèves de 3e, 25 élèves de 5e, et les autres de 4e. Trois bus partent à 8 h. Ils s'arrêtent à
10 h, à 180 km du départ, et Kossi, élève de 5e, achète un journal.
Questions retenues pour cette séance :
• Combien d'élèves de 4e ont participé à l'excursion ?
• Combien de temps les bus ont-ils roulé avant l'arrêt ?
Les autres questions de la situation (vitesse moyenne des bus, titre du journal, enquête sur les filles de
BOBEY) serviront aux séances suivantes : équations ax = b, proportionnalité, statistique.
3.2 Déroulement
Introduction (15 min)
• Les élèves lisent, reformulent le problème avec leurs mots et posent librement leurs questions. Aucune
justification n'est demandée à cette étape.
Réalisation (65 min)
• Analyse : relever les données (120 élèves au total ; 15, 50 et 25 élèves connus ; départ 8 h ; arrêt 10
h) et l'inconnue (nombre d'élèves de 4e ; durée du trajet).
• Mathématisation : traduire par une égalité avec un nombre inconnu x.
• Opérer : trouver x, puis vérifier que le résultat a un sens dans le problème.
• Le professeur circule pendant le travail individuel, aide les groupes, puis organise le compte rendu
collectif.
Retour et projection (5 min)
• Chaque élève dit ce qu'il a appris et comment. On cherche ensuite des situations de la vie courante où
l'on retrouve une équation de ce type (monnaie, température, âge).
3.3 Trace écrite
À retenir
Équation a + x = b : a et b sont deux nombres décimaux relatifs connus et x est l'inconnue.
Elle admet pour solution :
x=b−a
Pourquoi ? On ajoute l'opposé de a aux deux membres : (−a) + a + x = b + (−a), donc x = b − a.
Vérification : on remplace x par la solution trouvée et on contrôle que a + x = b.
Ensemble de recherche : on précise toujours l'ensemble dans lequel on cherche la solution (IN, ZZ ou
ID). La solution b − a est dans IN seulement si b − a est un entier naturel.
Exemples résolus
Exemple
Résolution
Conclusion
A
(excursion)
15 + 50 + 25 + x = 120, donc 90 + x = 120, donc
x = 120 − 90 = 30
Il y a 30 élèves de 4^{e}.
B (durée)
8 + x = 10, donc x = 10 − 8 = 2
Les bus ont roulé 2 heures.
C
−3,7 + x = −1,2, donc x = −1,2 − (−3,7) = −1,2 +
3,7 = 2,5. Vérification : −3,7 + 2,5 = −1,2
Solution : 2,5 (dans ID).
D
x + 5 = 2, donc x = 2 − 5 = −3
Solution : −3 (dans ZZ, pas dans IN).
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3.4 Exercices d'application
Exercice 1. Résous chaque équation dans ID et vérifie ta solution :
a) x + 7 = 12
b) 8,5 + x = 20
c) x + 4 = −3
d) −2,5 + x = 4
e) −6 + x = −10
f) 0,75 + x = −1,25
Exercice 2. Pour chaque équation de l'exercice 1, dis si la solution appartient à IN, à ZZ ou seulement à ID.
Problème 1. Un thermomètre indique −3 °C à 6 h et 9 °C à midi. Écris une équation et trouve la variation x
de température.
Problème 2. Kossi avait 2 500 F avant l'excursion. À l'arrêt, il lui reste 1 850 F. Écris une équation et trouve
la variation x de son argent. Que signifie le signe du résultat ?
3.5 Corrigé (5e)
Question
Réponse
Exercice 1
a) x = 5
Exercice 2
a) 5 ∈ IN b) 11,5 : seulement ID
f) −2 ∈ ZZ
Problème 1
−3 + x = 9, donc x = 9 − (−3) = 12. La température a augmenté de 12 °C.
Problème 2
2 500 + x = 1 850, donc x = 1 850 − 2 500 = −650. Le résultat est négatif : Kossi a
dépensé 650 F.
b) x = 11,5
c) x = −7
d) x = 6,5
e) x = −4
c) −7 ∈ ZZ
f) x = −2
d) 6,5 : seulement ID
e) −4 ∈ ZZ
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4. Partie MA2 : chapitre I, ensemble des nombres réels
4.1 Situation de départ (proposée pour cette séance)
Dans un atelier de métallerie, un apprenti doit découper une plaque carrée de 1 m de côté suivant sa
diagonale pour fabriquer un renfort. Il veut connaître la longueur exacte d de cette diagonale afin de
commander la baguette de soudure. Un collègue annonce 1,41 m, un autre 1,4142 m.
Questions :
• Écris une égalité qui permet de calculer d (théorème de Pythagore).
• Existe-t-il un nombre décimal dont le carré est exactement 2 ? Utilise la calculatrice pour tester
des valeurs.
• Dans quel ensemble de nombres se trouve d ?
4.2 Déroulement
Introduction (15 min)
• Lecture, reformulation, questions libres. Les élèves donnent d'abord leur avis sur les deux valeurs
annoncées.
Réalisation (65 min)
• Analyse : triangle rectangle isocèle de côtés 1 m et 1 m ; d est l'hypoténuse.
• Mathématisation : d2 = 12 + 12 = 2. Il faut donc un nombre positif dont le carré vaut 2.
• Opérer : tester 1,412 = 1,9881 ; 1,422 = 2,0164 ; 1,4152 = 2,002225 ; on n'obtient jamais exactement 2.
On conjecture que d n'est pas un nombre décimal, puis qu'il n'est pas rationnel.
• Compte rendu collectif : on classe d, ainsi que les nombres rencontrés à l'ouverture, dans les
ensembles IN, ZZ, ID, IQ, IR.
Retour et projection (5 min)
• Bilan des savoirs construits. Application : on retrouve les irrationnels dans les diagonales de pièces
carrées et dans la circonférence d'un cercle (π).
4.3 Trace écrite
À retenir : les ensembles de nombres
• IN = {0 ; 1 ; 2 ; 3 ; …} : entiers naturels.
• ZZ = {… ; −2 ; −1 ; 0 ; 1 ; 2 ; …} : entiers relatifs.
• ID : nombres décimaux, dont l'écriture décimale est finie (2,75 ; −0,125).
• IQ : nombres rationnels, de la forme p/q avec p ∈ ZZ et q ∈ ZZ, q ≠ 0. Leur écriture décimale est
finie ou illimitée périodique (1/3 = 0,333…).
• Irrationnels : nombres à écriture décimale illimitée non périodique (√2 ; π).
• IR : ensemble des nombres réels, formé des rationnels et des irrationnels.
Inclusions :
IN ⊂ ZZ ⊂ ID ⊂ IQ ⊂ IR
À tout nombre réel correspond un point de la droite graduée, et réciproquement.
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Tableau de classement (✓ signifie « appartient à ») :
Nombre
IN
ZZ
ID
IQ
IR
7
✓
✓
✓
✓
✓
✓
✓
✓
✓
✓
✓
✓
✓
✓
−3
2,75
1/3
✓
√2 ; π
Attention
Il faut d'abord simplifier : √9 = 3 est un entier naturel, alors que √5 est irrationnel. De même 12/4 = 3
appartient à IN.
Pour aller plus loin : √2 n'est pas rationnel
Supposons √2 = p/q avec p/q irréductible. Alors p2 = 2q2, donc p2 est pair, donc p est pair : p = 2k. On
obtient 4k2 = 2q2, donc q2 = 2k2, donc q est pair aussi. Or p/q est irréductible : contradiction. Donc √2
n'est pas rationnel.
4.4 Exercices d'application
Exercice 1. Donne le plus petit ensemble (IN, ZZ, ID, IQ ou IR) qui contient chaque nombre :
−5
12/4
0,125
5/6
√49
√7
π
0,2727…
Exercice 2. Vrai ou faux ? Justifie.
a) IN ⊂ ID
b) Tout nombre rationnel est décimal
e) −4 ∈ IN
irrationnel
f) √16 ∈ ZZ
c) √2 ∈ IQ
d) 0,5 ∈ IQ
g) Tout nombre décimal est rationnel
h) Un réel est soit rationnel, soit
Exercice 3. Résous et donne le plus petit ensemble qui contient la solution (x > 0 pour d et e) :
a) x + 9 = 4
b) 4x = 10
c) 6x = 4
d) x2 = 9
e) x2 = 3
Exercice 4. Un carré a pour aire 25 cm², puis 6,25 cm², puis 2 cm², puis 9/4 cm². Donne la mesure du côté
dans chaque cas et l'ensemble auquel elle appartient.
4.5 Corrigé (MA2)
Question
Réponse
Exercice 1
−5 : ZZ 12/4 = 3 : IN 0,125 = 1/8 : ID 5/6 = 0,8333… : IQ
(irrationnel) π : IR (irrationnel) 0,2727… = 3/11 : IQ
Exercice 2
a) Vrai b) Faux (1/3 n'est pas décimal) c) Faux
g) Vrai (p/10n) h) Vrai (par définition de IR)
Exercice 3
a) x = −5 : ZZ
Exercice 4
25 cm² : côté 5 cm (IN) 6,25 cm² : côté 2,5 cm (ID)
(irrationnel, IR) 9/4 cm² : côté 3/2 = 1,5 cm (ID)
b) x = 2,5 : ID
c) x = 2/3 : IQ
d) Vrai
d) x = 3 : IN
√49 = 7 : IN
e) Faux
√7 : IR
f) Vrai (√16 = 4)
e) x = √3 : IR (irrationnel)
2 cm² : côté √2 cm ≈ 1,414 cm
Suite prévue. 5e : équations ax = b (vitesse moyenne des bus, même situation de départ). MA2 : racine carrée
d'un réel positif, puis calcul sur les radicaux.
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