Arithmétique I. Rappel Division euclidienne : dividende = diviseur × quotient + reste 724 = 17 × 42 + 10 (dividende : 724 diviseur : 17 quotient : 42 reste : 10) 724 = 17 × 41 + 27 → Non car 27 > 10 724 = 17 × 43 – 7 → Non car –7 < 10 Théorème : Pour tout entier naturel a, et pour tout entier naturel positif b non nul, il existe un unique couple d'entiers (q ; r), où q est le quotient et r le reste. Exemples : 476 = 13 × 36 + 8 273 = 5 × 54 + 3 120 = 10 × 12 + 0 Remarque : Si r = 0, a est un multiple de b,ou b est un diviseur de a. Définition : Un nombre est dit premier s'il a exactement 2 diviseurs : 1 et lui-même. Remarque : • 2 est le premier nombre premier. • 2 est le seul nombre premier pair. Critères de divisibilité 2 : si il se termine par 0, 2, 4, 6, 8 3 : si la somme de tous les chiffres est divisible par 3 5 : si il se termine par 0 ou 5 10 : si il se termine par 0 6 : si il est divisible par 2 et par 3 11 : si le résultat de la somme alternée est divisible par 11 4 : si il est divisible par 2, deux fois consécutives Propriété : Si un nombre entier n (n ≥ 2) n'a pas de diviseur inférieur à √n, alors cet entier est un nombre premier. Exemples : √221 ≈ 14,9 √323 = 18 221 = 13 × 17 → pas premier 323 = 17 × 19 → pas premier Propriété : Tout nombre n ≥ 2 se décompose en produit de facteurs premiers. Exemples : 120 = 2 × 60 = 2 × 2 × 30 = 2 × 2 × 2 × 15 =2×2×2×3×5 = 23 × 3 × 5 320 = 2 × 160 = 2 × 2 × 80 = 2 × 2 × 2 × 40 = 24 × 20 = 25 × 10 = 26 × 5 II. PGCD Propriété : Il existe un diviseur commun à a et à b plus grand que tous les autres. Il est noté PGCD(a ; b), avec PGCD(a ; b) ; a ^ b. Remarque : PGCD(3 ; 2) = 1. On dit alors que 2 et 3 sont premiers entre eux. PGCD(1 ; 16) = 1 Propriété : Soient a et b deux nombres non nuls, PGCD(a ; b) = 1 ⟺a et b sont premiers entre eux. Exemple : PGCD(25 ; 32) = 1 25 = 52 32 = 25 Diviseurs de 25 : 1, 5, 25 Diviseurs de 32 : 1, 2, 4, 8, 16, 32 III. Congruences Définition : Soient a, b deux entiers positifs et n un entier strictement positif. On dit que a est congru à b modulo n. Si b est le reste dans la division euclidienne de a par n. On le note a ≡ b [n]. Exemples : 13 ≡ 3 [5] 17 ≡ 1 [2] 21 ≡ 4 [17] 7 ≡ 7 [10] 14 ≡ 0 [7] car 13 = 2 × 5 + 3 car 17 = 8 × 2 + 1 car 21 = 1 × 17 + 4 car 7 = 0 × 10 + 7 car 14 = 2 × 7 + 0 Remarque : Si a ≡ 0 [n], alors a est un multiple de n. 13 ≡ 3 [10] 23 ≡ 13 [10] ✗ 23 ≡ 3 [10] ✓ 13 ≡ 3 [10] 13 + 1 ≡ 3 + 1 [10] 14 ≡ 4 [10] Propriété : Soient a, b, a', b' des nombres entiers positifs et n un entier strictement positif. Si a ≡ b [n] et a' ≡ b' [n], alors a + a' ≡ b + b' [n]. Exemple : 20262026 ≡ 12026 [25] Propriété : Soient a, b deux entiers positifs, n un entier strictement positif et m un entier. Si a ≡ b [n], alors am ≡ bm [n]
