Cours d'Arithmétique : Division Euclidienne, Nombres Premiers, PGCD

Arithmétique
I. Rappel
Division euclidienne : dividende = diviseur × quotient + reste
724 = 17 × 42 + 10
(dividende : 724 diviseur : 17 quotient : 42 reste : 10)
724 = 17 × 41 + 27 → Non car 27 > 10
724 = 17 × 43 – 7 → Non car –7 < 10
Théorème :
Pour tout entier naturel a, et pour tout entier naturel positif b non nul, il existe un unique couple d'entiers
(q ; r), où q est le quotient et r le reste.
Exemples :
476 = 13 × 36 + 8
273 = 5 × 54 + 3
120 = 10 × 12 + 0
Remarque : Si r = 0, a est un multiple de b,ou b est un diviseur de a.
Définition :
Un nombre est dit premier s'il a exactement 2 diviseurs : 1 et lui-même.
Remarque :
• 2 est le premier nombre premier.
• 2 est le seul nombre premier pair.
Critères de divisibilité
 2 : si il se termine par 0, 2, 4, 6, 8
 3 : si la somme de tous les chiffres est divisible par 3
 5 : si il se termine par 0 ou 5
 10 : si il se termine par 0
 6 : si il est divisible par 2 et par 3
 11 : si le résultat de la somme alternée est divisible par 11
 4 : si il est divisible par 2, deux fois consécutives
Propriété :
Si un nombre entier n (n ≥ 2) n'a pas de diviseur inférieur à √n, alors cet entier est un nombre premier.
Exemples :

√221 ≈ 14,9 221 = 13 × 17 → pas premier
√323 = 18 323 = 17 × 19 → pas premier
Propriété :
Tout nombre n ≥ 2 se décompose en produit de facteurs premiers.
Exemples :
120 = 2 × 60
= 2 × 2 × 30
= 2 × 2 × 2 × 15
= 2 × 2 × 2 × 3 × 5
= 23 × 3 × 5
320 = 2 × 160
= 2 × 2 × 80
= 2 × 2 × 2 × 40
= 24 × 20
= 25 × 10
= 26 × 5
II. PGCD
Propriété :
Il existe un diviseur commun à a et à b plus grand que tous les autres.
Il est noté PGCD(a ; b), avec PGCD(a ; b) ; a ^ b.
Remarque : PGCD(3 ; 2) = 1. On dit alors que 2 et 3 sont premiers entre eux.
PGCD(1 ; 16) = 1
Propriété :
Soient a et b deux nombres non nuls, PGCD(a ; b) = 1 ⟺ a et b sont premiers entre eux.
Exemple : PGCD(25 ; 32) = 1
25 = 52 32 = 25
Diviseurs de 25 : 1, 5, 25
Diviseurs de 32 : 1, 2, 4, 8, 16, 32
III. Congruences
Définition :
Soient a, b deux entiers positifs et n un entier strictement positif.
On dit que a est congru à b modulo n.
Si b est le reste dans la division euclidienne de a par n.
On le note a ≡ b [n].

Exemples :
13 ≡ 3 [5] car 13 = 2 × 5 + 3
17 ≡ 1 [2] car 17 = 8 × 2 + 1
21 ≡ 4 [17] car 21 = 1 × 17 + 4
7 ≡ 7 [10] car 7 = 0 × 10 + 7
14 ≡ 0 [7] car 14 = 2 × 7 + 0
Remarque : Si a ≡ 0 [n], alors a est un multiple de n.
13 ≡ 3 [10]
23 ≡ 13 [10] ✗
23 ≡ 3 [10] ✓
13 ≡ 3 [10]
13 + 1 ≡ 3 + 1 [10]
14 ≡ 4 [10]
Propriété :
Soient a, b, a', b' des nombres entiers positifs et n un entier strictement positif.
Si a ≡ b [n] et a' ≡ b' [n], alors a + a' ≡ b + b' [n].
Exemple : 20262026 ≡ 12026 [25]
Propriété :
Soient a, b deux entiers positifs, n un entier strictement positif et m un entier.
Si a ≡ b [n], alors am ≡ bm [n]