Examen Théorique

Examen Théorique
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(T1) Vrai ou Faux
Déterminez si chacune des affirmations suivantes est vraie ou fausse. Dans la Feuille de
réponses sommaires (Answersheets), cochez la réponse correcte (VRAI (TRUE) / FAUX
(FALSE) pour chaque instruction. Aucune justification n'est nécessaire pour cette question.
(T1.1) Dans une photographie du ciel clair sur une nuit de pleine lune avec une exposition
suffisamment longue, la couleur du ciel apparaîtrait bleue comme pendant la journée.
(T1 .2) Un astronome à Bhubaneswar marque la position du Soleil sur le ciel à 05:00 TU
tous les jours de l'année. Si l'axe de la Terre était perpendiculaire à son plan orbital, ces
positions traceraient un arc de grand cercle.
(T1.3) Si la période orbitale d'un certain corps mineur autour du Soleil dans le plan
écliptique est inférieure à la période orbitale d'Uranus, alors son orbite doit nécessairement
être entièrement à l'intérieur de l'orbite d'Uranus.
(T1.4) Le centre de masse du système solaire est à l'intérieur du Soleil en tout temps.
(T1.5) Un photon se déplace dans l'espace libre. À mesure que l'Univers se dilate, son
moment diminu.
(T2) Gaz sur Titan
Les particules de gaz dans une atmosphère planétaire ont une large distribution de vitesses. Si
la r.m.s. (racine carré moyenne) de la vitesse thermique des particules d'un gaz particulier
dépasse 1/6 de la vitesse d'échappement, alors la majeure partie de ce gaz s'échappera de la
planète. Quel est le poids atomique minimum (masse atomique relative), Amin, d'un gaz mono
atomique idéal pour qu'il reste dans l'atmosphère de Titan?
Données : masse de Titan T= 1,23 ×1023kg, rayon de Titan T= 2575 km, température
de surface de Titan T=93,7 K.
(T3) Univers primitif
Les modèles cosmologiques indiquent que la densité d'énergie de rayonnement r, dans l'Univers
est proportionnelle à (1 + z)4, et la densité d'énergie de matière, m, est proportionnelle à (1 + z)3,
où z est le décalage vers le rouge. Le paramètre de densité sans dimension, Ω, est donné comme
Ω=/c, où c est la densité critique d'énergie de l'Univers. Dans le présent Univers, les
paramètres de densité correspondant au rayonnement et à la matière sont respectivement r0=
104 et Ωm0= 0,3.
(T3.1) Calculer le décalage au rouge e, auquel les densités d'énergie de rayonnement et de
matière étaient égales.
(T3.2) En supposant que le rayonnement de l'Univers primitif a un spectre de corps noir
avec un pic de température de 2,732 K, estimer la température e, du rayonnement au
décalage au rouge e.
(T3.3) Estimer l'énergie typique des photons, ν (en eV), du rayonnement au décalage au
rouge e, telle qu'elle est reçue par l'observateur actuel.
(T4) Ombres
Un observateur de l'hémisphère nord a remarqué que la longueur par jour de l'ombre la plus courte
d'un bâton vertical de 1 000 m était de 1,732 m. Le même jour, la longueur de l'ombre la plus
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longue du même bâton vertical a été mesurée à 5,671 m.
Trouver la latitude, φ, de l'observateur et la déclinaison du Soleil, , ce jour-là. Supposons que le
Soleil soit une source ponctuelle et ignore la réfraction atmosphérique.
(T5) Transit de faisceaux GMRT
Le Télescope Radio Mètre de Giant (GMRT), l'un des plus grands radio télescope au monde en
mesure de longueurs d'onde, est situé dans l'ouest de l'Inde (latitude: : 196′ N, longitude:
743′ E).). GMRT se compose de 30 antennes paraboliques, chacune avec un diamètre de 45,0 m.
Un seul plateau de GMRT a été maintenu fixe avec son axe pointant à un angle zénithal de 3942′
le long du méridien nord de sorte qu'une source radio dirigée passerait le long du diamètre du
faisceau, lorsqu’elle traverse le méridien.
Quelle est la duréetransit pour laquelle cette source serait dans le FWHM (pleine largeur à mi-
maximum) du faisceau d'un seul plateau d’observation du GMRT à 200 MHz?
Indication: La taille FWHM du faisceau d'un plateau radio fonctionnant à une fréquence donnée
correspond à la résolution angulaire du plateau. Supposons l’éclairage uniforme.
(T6) Pulsations céphéidiques
L'étoile β-Doradus est une étoile variable Céphéide avec une période de pulsation de 9,84
jours. Nous faisons une hypothèse simplificatrice que l'étoile est la plus brillante quand elle
est la plus contractée (le rayon étant 1)) et elle est la plus faible quand elle est la plus
étendue (le rayon étant 2).). Pour simplifier, supposons que l'étoile conserve sa forme
sphérique et se comporte comme un corps noir parfait à chaque instant pendant tout le
cycle. L'amplitude bolométrique de l'étoile varie de 3,46 à 4,08. A partir des mesures Doppler,
nous savons que pendant la pulsation, la surface stellaire se dilate ou se contracte à une
vitesse radiale moyenne de 12,8 km s1. Au cours de la période de pulsation, le pic de
rayonnement thermique (intrinsèque) de l'étoile varie de 531,0 nm à 649,1 nm.
(T6.1) Trouver le rapport des rayons de l'étoile dans ses états les plus contractés et les plus
étendus (1/2).
(T6.2) Trouvez les rayons de l'étoile (en mètres) dans ses états les plus contractés et les
plus étendus(1  2).
(T6.3) Calculez le flux de l'étoile, 2, quand il est dans son état le plus étendu.
(T6.4) Trouvez la distance de l’étoile,étoile , en parsec.
(T7) Télescope optique
Dans un télescope réfractant idéal de f / 5, la distance focale de l'objectif est de 100 cm et
celle de l'oculaire est de 1 cm.
(T7.1) Quel est le grossissement angulaire, 0, du télescope? Quelle est la longueur du
télescope, 0 , c'est-à-dire la distance entre son objectif et son oculaire?
Une introduction d'une lentille concave (lentille de Barlow) entre la lentille de l’objectif et le
foyer principal est un moyen courant d'augmenter le grossissement sans augmentation
importante de la longueur du télescope. Une lentille Barlow de longueur focale 1 cm est
maintenant introduite entre l'objectif et l'oculaire pour doubler le grossissement.
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(T7.2) À quelle distance, B, du foyer principal doit-on conserver l'objectif Barlow afin
d'obtenir ce double agrandissement souhaité?
(T7.3) Quelle est l'augmentation, ΔL, de la longueur du télescope?
Un télescope est maintenant construit avec la même lentille d'objectif et un détecteur CCD
placé au foyer principal (sans aucune lentille Barlow ou oculaire). La taille de chaque pixel du
détecteur CCD est de 10 μm.
(T7.4) Quelle sera la distance en pixels entre les centroïdes des images des deux étoiles,
p,, sur le CCD, si elles sont 20'' à part sur le ciel?
(T8) Photométrie en bande U
Une étoile a une amplitude apparente U = 15,0 dans la bande U. Le filtre en bande U est
idéal, c'est-à-dire qu'il a une transmission parfaite (100%) à l'intérieur de la bande et est
complètement opaque (0% de transmission) à l'extérieur de la bande. Le filtre est centré à
360 nm et a une largeur de 80 nm. On suppose que l'étoile a également un spectre d'énergie
plat par rapport à la fréquence. La conversion entre magnitude, m, dans toute bande et
densité de flux, f, d'une étoile dans Jansky (1 Jy = 1 × 1026 W Hz1m2) est donnée par
 = 3631 ×100,4Jy
(T8.1) Approximativement combien de photons U-bandes, 0, de cette étoile incident normalement
sur une aire 1 m2 au sommet de l'atmosphère terrestre toutes les secondes?
Cette étoile est observée dans la bande U à l'aide d'un télescope au sol, dont le miroir
primaire a un diamètre de 2,0 m. L'extinction atmosphérique en bande U pendant
l'observation est de 50%. Vous pouvez supposer que la vue est limitée par la diffraction. La
luminosité moyenne de surface du ciel nocturne dans la bande U a été mesurée à 22,0 mag /
arcsec2.
(T8.2) Quel est le rapport, R, du nombre de photons reçus par seconde de l'étoile à celui
reçu du ciel, mesuré sur une ouverture circulaire de diamètre 2 ''?
(T8.3) En pratique, seulement 20% des photons en bande U tombant sur le miroir primaire
sont détectés. Combien de photons, t, de l'étoile sont détectés par seconde?
(T9) Mission de l’Orbiteur de Mars
La Mission de l’Orbiteur de Mars de l’Inde (MOM) a été lancée en utilisant le véhicule de
lancement par satellite polaire (PSLV) le 5 novembre 2013. La masse sèche de MOM (corps +
instruments) était 500 kilogrammes et il a transporté le combustible de masse 852
kilogrammes. Il a été initialement placé sur une orbite elliptique autour de la Terre avec le
périgée à une hauteur de 264,1 km et l'apogée à une hauteur de 23903,6 km, au-dessus de la
surface de la Terre. Après avoir relevé l'orbite six fois, la MOM a été transférée sur une orbite
d'injection trans-Mars (orbite de Hohmann).
La première orbite de ce genre a été réalisée en allumant les moteurs pendant un temps très
court près du périgée. Les moteurs ont été allumés pour changer l'orbite sans changer le plan
de l'orbite et sans changer son périgée. Ceci donna une impulsion nette de 1,73 ×
105kg m s1 au satellite. Ignorer le changement de masse dû à la combustion du carburant.
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(T9.1) Quelle est la hauteur du nouvel apogée, , a au dessus de la surface de la Terre,
après cette combustion du moteur?
(T9.2) Trouver l'excentricité (e) de la nouvelle orbite après l’allumage et la nouvelle période
orbitale (P) de la MOM en heures.
(T10) Télescope à lentille gravitationnelle
La théorie générale de la relativité d'Einstein prédit la déviation de la lumière autour des
corps massifs. Pour simplifier, nous supposons que la déviation de la lumière se produit à un
seul point pour chaque rayon lumineux, comme le montre la figure. L'angle de déviation, b,
est donné par
b=2sch
Où sch est le rayon de Schwarzschild associé à ce corps gravitationnel. Nous appelons r, la
distance entre le rayon lumineux et l'axe x parallèle passant par le centre du corps, en tant
que «paramètre d'impact».
Un corps massif agit ainsi un peu comme une lentille de focalisation. Les rayons lumineux
provenant d'une distance infinie au-delà d'un corps massif, et ayant le même paramètre
d'impact r, convergent en un point le long de l'axe, à une distance 
 du centre du corps
massif. Un observateur à ce moment bénéficiera d'une amplification énorme en raison de
cette focalisation gravitationnelle. Le corps massif dans ce cas est utilisé comme un Télescope
à Lentilles Gravitationnelles pour l'amplification des signaux éloignés.
(T10.1) Considérez la possibilité de notre Soleil comme un télescope à lentille
gravitationnelle. Calculez la distance la plus courte, 
min , du centre du Soleil (en U.A.)
à laquelle les rayons lumineux peuvent être focalisés.
(T10.2) Considérons un petit détecteur circulaire de rayon a, maintenu à une distance 
min
centrée sur l'axe des x et perpendiculaire à celle-ci. Notez que seuls les rayons
lumineux qui passent à l'intérieur d'un certain anneau (anneau) de largeur h (où
  ) autour du Soleil rencontreraient le détecteur. Le facteur d'amplification au
niveau du détecteur est défini comme le rapport de l'intensité de la lumière
incidente sur le détecteur en présence du Soleil et de l'intensité en l'absence du
Soleil.
Exprimer le facteur d'amplification, m,, au détecteur en termes de  et a.
(T10.3) Considérons une distribution sphérique de masse, comme la matière noire dans un amas de
galaxies, à travers laquelle les rayons lumineux peuvent passer tout en subissant la déviation
gravitationnelle. Supposons, pour simplifier, que pour le facteur de choc gravitationnel r,
seule la masse () comprise dans le rayon r est pertinente.
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Quelle devrait être la distribution de masse, (), telle que la lentille gravitationnelle se
comporte comme une lentille optique convexe idéale?
(T11) Ondes gravitationnelles
Le premier signal des ondes gravitationnelles a été observé par deux détecteurs LIGO avancés
à Hanford et Livingston, aux USA en septembre 2015. L'une de ces mesures (contrainte vs
temps en secondes) est montrée dans la figure ci-jointe. Dans ce problème, nous
interpréterons ce signal en termes d'une petite masse m d'essai en orbite autour d'une
grande masse M (c'est-à-dire,   ), en considérant plusieurs modèles pour la nature de la
masse centrale.
La masse d'essai perd de l'énergie due à l'émission d'ondes gravitationnelles. En conséquence,
l'orbite continue à se rétrécir, jusqu'à ce que la masse d'essai atteigne la surface de l'objet, ou
dans le cas d'un trou noir, orbite circulaire stable - ISCO - qui est donnée par ISCO = 3sch ,
où sch est le rayon de Schwarzschild du trou noir. C’est « l’époque de la fusion ». A ce point
l'amplitude de l'onde gravitationnelle est maximale, de même que sa fréquence, qui est
toujours deux fois la fréquence orbitale. Dans ce problème nous ne nous concentrerons que
sur les ondes gravitationnelles avant la fusion, lorsque les lois de Kepler sont supposées être
valides. Après la fusion, la forme des ondes gravitationnelles va changer radicalement.
(T11.1) Considérons les ondes gravitationnelles observées représentées dans la figure ci-dessus.
Estimer la période de temps, 0, et donc calculer la fréquence, 
0, des ondes gravitationnelles
juste avant l'époque de la fusion.
(T11.2) Pour toute étoile de séquence principale (MS), le rayon de l'étoile, MS , et sa masse,
MS , sont liés par une loi de puissance donnée comme,
MS
MS 
où 
=
0.8
pour <MS
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