1
Bac Blanc Janvier 2023 Lycée Georges Duby
BACCALAUREAT BLANC Janvier 2023
Spécialité Mathématiques
Durée 4h
L’usage de la calculatrice avec mode examen actif est autorisé
Exercice 1 : (5 points)
Les cinq questions suivantes sont indépendantes. Pour chacune d’elles une seule réponse est correcte.
Indiquer distinctement sur la copie le numéro de la question et la réponse choisie.
Aucune justification n’est demandée. Une réponse fausse ou absente n’enlève pas de points.
L’espace est rapporté à un repère (𝑂; 𝚤⃗, 𝚥
⃗
, 𝑘
⃗
).
Question 1 :
On considère les points 𝐴(−1 ; 1 ; −4), 𝐵(−1 ; −3 ;0) et 𝐶(5 ;1 ; −2).
On note (𝑑) la droite passant par le point 𝐴 et parallèle à la droite (𝐵𝐶).
Une représentation paramétrique de la droite
(
𝑑
)
est :
réponse A
réponse B
réponse C
réponse D
𝑥
=
−
1
+
6
𝑡
𝑦
=
−
3
+
4
𝑡
𝑧
=
−
2
𝑡
,
𝑡
∈
ℝ
𝑥
=
−
1
+
4
𝑡
𝑦
=
1
−
2
𝑡
𝑧
=
−
4
−
2
𝑡
,
𝑡
∈
ℝ
𝑥
=
6
−
𝑡
𝑦
=
4
+
𝑡
𝑧
=
−
2
−
4
𝑡
,
𝑡
∈
ℝ
𝑥
=
−
1
−
3
𝑡
𝑦
=
1
−
2
𝑡
𝑧
=
−
4
+
𝑡
,
𝑡
∈
ℝ
Question 2 :
On considère la droite (𝑑) de représentation paramétrique 𝑥=3 − 𝑡
𝑦=2 + 𝑡
𝑧=1 + 2𝑡 , 𝑡∈ℝ et la droite (∆) de
représentation paramétrique 𝑥=1 + 𝑠
𝑦=−𝑠
𝑧=4 + 3𝑠 , 𝑠∈ℝ.
Les droites
(
𝑑
)
et
(
∆
)
sont :
réponse A
réponse B
réponse C
réponse D
sécantes strictement parallèles non-coplanaires confondues
Question 3 :
On considère le point 𝐴(1 ; −1 ; 4) et la droite (∆) de représentation paramétrique 𝑥=3 − 2𝑡
𝑦=2 − 𝑡
𝑧=1 + 𝑡 , 𝑡∈ℝ .
(𝑃) est le plan perpendiculaire à (∆) contenant le point 𝐴.
Le plan
(
𝑃
)
a pour équation cartésienne :
réponse A
réponse B
réponse C
réponse D
2
𝑥
−
𝑦
−
𝑧
+
1
=
0
2
𝑥
+
𝑦
−
𝑧
−
2
=
0
2
𝑥
+
𝑦
−
𝑧
+
3
=
0
−
2
𝑥
−
𝑦
+
𝑧
+
3
=
0
2
Bac Blanc Janvier 2023 Lycée Georges Duby
Question 4 :
On considère la droite (𝑑) de représentation paramétrique 𝑥=1 + 2𝑡
𝑦=2 − 𝑡
𝑧=−1 + 𝑡 , 𝑡∈ℝ et on note (𝑃) le plan
d’équation cartésienne 𝑥+𝑦−𝑧+1=0.
La position relative de la droite
(
𝑑
)
et du plan
(
𝑃
)
:
réponse A
réponse B
réponse C
réponse D
d
est sécante à
P
au
point
𝐼
(
1
;
2
;
−
1
)
.
d
est incluse
dans
P
d
est sécante à
P
au
point
𝐽
(
1
;
−
1
;
1
)
d
est strictement
parallèle à
P
Question 5 :
On considère le point 𝐴(1 ; 5 ; −6) et on note (𝑃) le plan d’équation cartésienne 𝑥−2𝑦+3𝑧−1=0.
Les coordonnées du projeté orthogonal du point
𝐴
sur le plan
(
𝑃
)
sont :
réponse A
réponse B
réponse C
réponse D
(
4
;
3
;
1
)
(
−
1
;
9
;
−
12
)
(
3
;
1
;
0
)
2
3
;
1
3
;
1
3
Exercice 2 : (5 points)
Un entraîneur de handball voudrait savoir si l’arrêt des tirs de son gardien de but est fortement dépendant de
l’efficacité de sa défense.
Pour cela, il réalise une étude statistique sur les actions de ses joueurs durant un match.
▪ Si la défense est intervenue efficacement lors d’un tir, la probabilité que le gardien arrête ce tir est égale à 0,6.
▪ Si la défense n’est pas intervenue efficacement lors d’un tir, la probabilité que le gardien n’arrête pas ce tir est
égale à 0,9.
On note : ♦ 𝐷 l’événement : « la défense est intervenue efficacement lors du tir »,
♦ 𝐺 l'événement : « le gardien arrête le tir ».
On notera 𝑝(𝐵) la probabilité d’un événement 𝐵 et 𝑝(𝐵) la probabilité conditionnelle de 𝐵 sachant 𝐴.
Partie A
1. Représenter la situation par un arbre pondéré puis montrer que 𝑝(𝐺)=0,5𝑝(𝐷)+0,1.
2. Lors d’un match difficile, l’entraîneur estime que pour espérer gagner, le gardien doit arrêter au moins
un tir sur deux et demande à sa défense d’intervenir en conséquence.
Pour quelles valeurs de 𝑝(𝐷) l’entraîneur peut-il espérer gagner le match ?
Dans la suite de l'exercice, on prendra 𝒑(𝑫)=𝟎,𝟖 et 𝒑(𝑮)=𝟎,𝟓
3. Lors d’une action, le gardien arrête le tir.
Déterminer alors la probabilité que la défense soit intervenue lors de ce tir.
3
Bac Blanc Janvier 2023 Lycée Georges Duby
Partie B
L’entraîneur décide alors de noter son gardien sur chaque action identifiable au modèle précédent.
Il lui attribue :
♦ 15 points si le gardien arrête le tir et la défense n’est pas intervenue efficacement lors du tir ;
♦ 5 points si le gardien arrête le tir et la défense est intervenue efficacement lors du tir ;
♦ −5 points si le gardien n’arrête pas le tir et la défense est intervenue efficacement lors du tir ;
♦ 0 point sinon.
On note 𝑋 la variable aléatoire représentant la note du gardien.
1. Déterminer la loi de probabilité de 𝑋.
2. Quelle est la note moyenne du gardien ?
Partie C
On considère 30 actions indépendantes où le gardien a été sollicité par un tir et on note 𝑍 la variable
aléatoire définie par le nombre de tirs arrêtés par le gardien lors de ces 30 actions.
On rappelle que 𝑝(𝐺)=0,5.
1. Quelle est la loi de probabilité suivie par la variable aléatoire 𝑍 ; préciser ses paramètres.
2. Quelle est, à 10 près, la probabilité que le gardien arrête exactement 15 tirs ?
3. Déterminer 𝑃(𝑍<10) à 10 près. En donner une interprétation dans le cadre de l’exercice.
4. Quelle est, à 10 près, la probabilité que le gardien arrête au moins 20 tirs ?
Exercice 3 : (5 points)
Un biologiste s’intéresse à l’évolution de la population d’une espèce animale sur une île du Pacifique.
Au début de l’année 2020, cette population comptait 600 individus.
On considère que l’espèce sera menacée d’extinction sur cette île si sa population devient inférieure ou
égale à 20 individus.
Le biologiste modélise le nombre d’individus par la suite
n
u
définie par :
0
1
0,6
0,75 1 0,15
n n n
u
u u u
où pour tout entier naturel
n
,
n
u
désigne le nombre
d’individus, en milliers, au début de l’année
2020
n
.
1. Estimer, selon ce modèle, le nombre d’individus présents sur l’île au début de l’année 2021 puis au début
de l’année 2022.
Soit
f
la fonction définie sur l’intervalle
0;1
par :
0,75 1 0,15
f x x x
.
2. Montrer que la fonction
f
est croissante sur l’intervalle
0;1
et dresser son tableau de variations.
3. Résoudre dans l’intervalle
0;1
l’équation
f x x
.
On remarquera pour la suite de l’exercice que, pour tout entier naturel
n
,
1
n n
u f u
.
4. a. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel
n
, 1
0 1
n n
u u
.
b. En déduire que la suite
n
u
est convergente.
c. Déterminer la limite ℓ de la suite
n
u
.
4
Bac Blanc Janvier 2023 Lycée Georges Duby
5. Le biologiste a l’intuition que l’espèce sera tôt ou tard menacée d’extinction.
a. Justifier que, selon ce modèle, le biologiste a raison.
b. Le biologiste a programmé en langage Python la fonction menace() ci-dessous :
Donner la valeur numérique renvoyée lorsqu’on appelle la fonction menace().
Interpréter ce résultat dans le contexte de l’exercice.
Exercice 4 : (5 points)
PARTIE A - Étude d’une fonction auxiliaire
Soit
g
la fonction définie sur
par :
1 1
x
g x x e
.
1. Déterminer les limites de
g
en + ∞ et en −∞.
2. a. Calculer
'
g x
pour tout réel
x
et en déduire le sens de variation de
g
.
b. Dresser le tableau de variation de
g
.
3. Montrer que l’équation
0
g x
admet une solution unique dans
.
Donner un encadrement de à
2
10
près.
4. En déduire le signe de
g x
suivant les valeurs du réel
x
de
.
PARTIE B - Étude de la fonction 𝑓
Soit
f
la fonction définie sur
par :
1
x
x
f x
e
.
On note (𝒞) sa courbe représentative dans le plan muni d’un repère.
1. a. Déterminer la limite de
f
en − ∞.
b. Démontrer que la droite d’équation
0
y
est asymptote à la courbe (𝒞).
2. Montrer que pour tout réel
x
:
2
'
1
x
g x
f x
e
.
3. Étudier les variations de
f
sur
puis dresser le tableau de variation de
f
.
4. a. Montrer que
1
1
e
(on rappelle que 𝛼 est solution de l’équation
0
g x
).
b. En déduire que
1
f
.
5. a. Déterminer une équation de la tangente à (𝒞) au point d’abscisse 0.
b. Existe-t-il d’autres tangentes à (𝒞) passant par l’origine du repère ?
def menace() :
u = 0,6
n = 0
while u > 0,02 :
u = 0,75*u*(1-0,15*u)
n = n+1
return n
1
/
4
100%
