Correction détaillée Gestion Maintenance Industrielle - Fiabilité RBD Weibull

ENSPD — Geson de la Maintenance Industrielle Correcon d’exercices
Correction détaillée et expliquée
Gestion de la Maintenance Industrielle
Exercice 1 — Analyse d’une ligne de producon (abilité, RBD)
Exercice 2 — Évaluaon de la abilité par la loi de Weibull
ENSPD — Filière Génie Énergéque | Pr Idellee SOM | Année académique 2026/2027
Objet du document : reprise pédagogique, queson par queson, des deux exercices proposés en contrôle.
L’objecf n’est pas seulement de donner le résultat, mais d’expliquer pourquoi chaque méthode est mobilisée
et comment elle s’arcule avec les noons du cours de abilité/maintenabilité/disponibilité.
Exercice 1 --- Analyse d'une ligne de production
Avertissement méthodologique
La page transmise donne uniquement le schéma bloc (RBD) de la ligne CHOCOCAM, sans tableau
numérique de abilité Ri, de taux de défaillance λiou de MTTR pour les neuf postes. Aucune donnée
n’est donc inventée ici : ce corrigé construit intégralement la méthode et les expressions liérales, prêtes
à être numérisées dès que les données de chaque poste seront disponibles (probablement sur une page
antérieure du même document).
Lecture et reconstruction du schéma
Un RBD (Reliability Block Diagram) traduit en blocs la manière dont les défaillances des composants
entraînent la défaillance du système : deux blocs en série doivent tous les deux fonconner pour que le
sous-système fonconne (d’où un produit de abilités, la probabilité globale de succès ne pouvant être
supérieure à la plus faible des deux) ; deux blocs en parallèle forment un sous-système qui ne tombe
en panne que si tous ses blocs sont en panne simultanément (d’où un complément à 1 du produit des
probabilités d’échec).
D’après la disposion des blocs sur le schéma, la structure retenue est la suivante :
• une branche haute : poste 1 en série avec poste 2;
• une branche basse : poste 6 en série avec un groupe de trois postes redondants {7,8,9};
• ces deux branches constuent deux voies alternaves vers un même point de convergence, en amont
du poste 3;
• un tronc commun aval, en série : postes 3, 4, 5, jusqu’à la sore de la ligne.
Remarque : si la lecture exacte du schéma dière sur ce point précis, la structure de calcul ci-dessous
reste transposable telle quelle ; seuls les regroupements changent.
1.1 Fiabilité globale
a) Hypothèse de redondance passive (attente / standby)
En redondance passive, un seul chemin (par exemple la branche haute A) est sollicité à un instant
donné; l’autre (branche B) est au repos, non contrainte, et ne prend le relais qu’à la défaillance du
premier, via un commutateur supposé parfait (détecon et bascule instantanées, sans défaillance propre).
Le système composite survit à tsi, soit la branche primaire survit jusqu’à t, soit elle tombe en panne à
un instant x < t et la branche de secours, non usée avant x, survit alors la durée restante t−x. Cee
1 2026/2027

ENSPD — Geson de la Maintenance Industrielle Correcon d’exercices
lecture probabiliste se traduit par un produit de convoluon :
Rpassive
A∥B(t) = RA(t) + t
0
fA(x)RB(t−x)dx
Si l’on reent l’hypothèse usuelle de taux de défaillance constants λAet λB(loi exponenelle, hypothèse
de vieillissement nul souvent posée par défaut faute d’autre informaon), l’intégrale se résout explicitement :
Rpassive
A∥B(t) = λBe−λAt−λAe−λBt
λB−λA
La abilité globale de la ligne s’obent enn en composant ce résultat, en série, avec le tronc commun :
Rglobal(t) = Rpassive
A∥B(t)·R3(t)·R4(t)·R5(t)
b) Hypothèse de redondance active (parallèle)
En redondance acve, les deux branches fonconnent simultanément dès t= 0 : chacune s’use à
son propre rythme, et le système ne tombe en panne que lorsque les deux sont hors service en même
temps. La abilité de chaque branche est d’abord calculée en série :
RA=R1·R2RB=R6·R789
puis combinée selon la règle du parallèle (complément à 1 du produit des probabilités de défaillance) :
Racve
A∥B= 1 −(1 −RA)(1 −RB)
Rglobal =1−(1 −RA)(1 −RB)·R3·R4·R5
Remarque physique : contrairement au cas passif, ici les deux branches vieillissent ensemble; la redondance
acve ore en général une meilleure disponibilité instantanée (pas de délai de bascule) mais use les deux
chemins en parallèle, ce qui peut réduire la abilité à long terme par rapport au cas passif si le composant
de secours s’use au repos moins vite qu’en fonconnement.
c) Au moins deux postes sur trois opérationnels (redondance partielle k/n)
Cee queson ane spéciquement le sous-bloc {7,8,9}: on n’exige plus qu’un seul des trois
fonconne (cas acf précédent, k= 1), mais qu’au moins deux des trois fonconnent (k= 2,n= 3).
C’est un compromis entre le tout-ou-rien du cas b) et une exigence de capacité minimale (typique d’un
poste de travail dont le débit doit rester susant).
Si les trois postes sont idenques, de abilité R, le raisonnement est combinatoire : il y a 3
2= 3
façons de choisir quels 2 postes sur 3 fonconnent (le troisième étant en panne), et 3
3= 1 façon que
les trois fonconnent. En sommant ces événements disjoints :
R2/3 =3
2R2(1 −R) + 3 3R3= 3R2(1 −R) + R3= 3R2−2R3
Si les trois postes ne sont pas idenques, on remplace cee expression par la somme des probabilités
des combinaisons où au moins deux composants sur trois sont bons (développement direct, terme à
terme, avec R7, R8, R9disncts). La branche basse devient alors :
RB=R6·R2/3
à réinjecter dans la structure globale de la queson a) ou b) selon l’hypothèse retenue pour la redondance
de branche.
2 2026/2027

ENSPD — Geson de la Maintenance Industrielle Correcon d’exercices
1.2 Disponibilité globale
La disponibilité dière conceptuellement de la abilité : la abilité R(t)est la probabilité de fonconner
sans interrupon depuis l’origine jusqu’à t, alors que la disponibilité Aest la probabilité d’être opéraonnel
à l’instant t, en tenant compte des réparaons. Pour un composant réparable en régime staonnaire :
Ai=MT BFi
MT BFi+MT T Ri
Les règles de composion restent structurellement analogues à celles de la abilité (sous l’hypothèse
standard de réparaons indépendantes et de régime staonnaire) :
Asérie =
i
AiAparallèle = 1 −
i
(1 −Ai)
et, pour le cas k/nidenque : A2/3 = 3A2−2A3, par le même raisonnement combinatoire qu’en 1.1c.
Le cas standby est plus délicat en disponibilité qu’en abilité : le calcul rigoureux relève de la théorie
du renouvellement (les instants de bascule et de réparaon s’enchaînent indéniment), mais en praque
on reent souvent, en première approximaon et en régime staonnaire, la même forme que pour le
parallèle acf : Apassive
A∥B≈1−(1 −AA)(1 −AB).
Sans les couples (MT BFi, MT T Ri)de chacun des neuf postes, aucune valeur numérique n’est
calculable : transmere ce tableau permera de clore intégralement les six cas demandés (1.1a, 1.1b,
1.1c, 1.2a, 1.2b et leur déclinaison).
3 2026/2027

ENSPD — Geson de la Maintenance Industrielle Correcon d’exercices
Exercice 2 --- Évaluation de la fiabilité par la loi de Weibull
Principe général
On dispose de 21 temps de bon fonconnement (TBF) observés sur des réducteurs à axes concourants.
L’objecf est d’ajuster un modèle probabiliste connu — la loi de Weibull à trois paramètres — sur
cet échanllon ni, an d’en déduire des indicateurs exploitables pour la maintenance (durée de vie
moyenne, taux de défaillance, seuil de abilité). La loi de Weibull à 3 paramètres a pour foncon de
réparon :
F(t) = 1 −exp−t−γ
ηβ, t ≥γ
où γest le paramètre de posion (durée de vie minimale garane, avant laquelle aucune panne n’est
possible), ηle paramètre d’échelle (durée caractérisque, aeinte lorsque F(η+γ) = 1−e−1≈63,2%,
indépendamment de β), et βle paramètre de forme, qui pilote l’allure du taux de défaillance.
2.1 Estimation de F(t)par les rangs moyens
Avec un échanllon ni, on ne connaît pas Fdirectement : on l’esme à parr du rang ide chaque
temps classé par ordre croissant. La formule des rangs moyens :
F(ti) = i
n+ 1
est préférée à l’esmateur naïf i/ncar ce dernier donnerait F(tn) = 1 pour la plus grande observaon,
valeur incompable avec le calcul de ln[ln(1/(1 −F))] ulisé plus bas (division par zéro). Avec n= 21,
on divise donc chaque rang par 22 :
iTBF (h) F(ti)iTBF (h) F(ti)iTBF (h) F(ti)
1 570 0,0455 8 800 0,3636 15 1050 0,6818
2 600 0,0909 9 830 0,4091 16 1100 0,7273
3 640 0,1364 10 870 0,4545 17 1150 0,7727
4 670 0,1818 11 900 0,5000 18 1220 0,8182
5 700 0,2273 12 930 0,5455 19 1280 0,8636
6 730 0,2727 13 960 0,5909 20 1380 0,9091
7 770 0,3182 14 1000 0,6364 21 1570 0,9545
2.2 Points sur papier de Weibull
Le papier de Weibull est construit pour linéariser F(t). En partant de la foncon de réparon à 2
paramètres (γ= 0) :
F(t) = 1 −e−(t/η)β=⇒1−F(t) = e−(t/η)β=⇒ln1
1−F(t)=t ηβ
En prenant une seconde fois le logarithme :
lnln1
1−F(t)=βln t−βln η
Ainsi, en posant Y=ln[ln(1/(1 −F))] et X=ln t, la relaon Y=βX −βln ηest une droite de pente
β: c’est exactement le principe du papier de Weibull (axes doublement transformés). Le graphique joint
(ex2_droite_weibull.png, panneau de gauche) montre le nuage (T BF, Y )obtenu à parr du tableau
précédent : il est neement incurvé (concave), ce qui signale que γ̸= 0 — d’où la nécessité de l’étape
2.3.
4 2026/2027

ENSPD — Geson de la Maintenance Industrielle Correcon d’exercices
2.3 Détermination de γpar calcul (méthode des trois points)
Quand γ̸= 0, la relaon linéaire ne s’obent qu’en travaillant sur ln(t−γ)et non sur ln t. La méthode
des trois points exploite une propriété géométrique de la droite recherchée : si l’on choisit trois points
t1< t2< t3dont les ordonnées Ysont également espacées (Y2=Y1+Y3
2), alors, la relaon étant
linéaire en ln(t−γ), les abscisses corrigées ln(ti−γ)sont elles aussi également espacées, ce qui impose
une relaon de moyenne géométrique :
t2−γ=(t1−γ)(t3−γ)
En élevant au carré et en isolant γ:
γ=t1t3−t2
2
t1+t3−2t2
On reent t1= 570 h (premier point, Y1=−3,068) et t3= 1570 h (dernier point, Y3= 1,129), donc
Ycible
2=Y1+Y3
2=−0,970. Ce niveau d’ordonnée ne correspond à aucun point exact du tableau : on
l’obent par interpolaon entre les points encadrants t= 730 h (Y=−1,144) et t= 770 h (Y=
−0,960), ce qui donne t2≈767,8h. D’où :
γ=570 ×1570 −767,82
570 + 1570 −2×767,8≈505,3heures
Interprétaon : avant 505 heures de fonconnement, la probabilité de défaillance des réducteurs est
considérée comme nulle — ce qui est physiquement cohérent avec un mécanisme d’usure progressive
(aucune pièce neuve ne casse instantanément).
2.4 Translation des points, détermination de βet η
On recalcule à présent Xi=ln(ti−γ)pour chacun des 21 points, et l’on porte Yien foncon
de Xi. Le nuage obtenu (graphique joint, panneau de droite) est cee fois recligne, ce qui valide a
posteriori la valeur de γretenue. Une régression linéaire par moindres carrés sur Y=βX −βln η
donne directement la pente (β) et l’ordonnée à l’origine (dont on re η) :
β=1,477 η=495,3heures
avec un coecient de déterminaon r2= 0,999 (contre r2= 0,946 sans la correcon de γ) : l’alignement
quasi parfait conrme que le modèle à 3 paramètres est pernent.
Lecture physique de β= 1,477 :comme β > 1, le taux de défaillance croît avec le temps — c’est
un régime d’usure (fague mécanique des engrenages, jeu croissant), cohérent avec des réducteurs en
service connu sur une chaîne de convoyage. Un β < 1aurait signalé de la mortalité infanle (défauts
de fabricaon), un β≈1des pannes aléatoires sans lien avec l’âge (loi exponenelle).
2.5 Test d'acceptation de Kolmogorov--Smirnov
Ce test compare, point par point, la foncon de réparon empirique (celle des données brutes) à
la foncon de réparon théorique du modèle de Weibull ajusté, et reent l’écart le plus défavorable :
Dmax =max
i|Femp(ti)−Fthéo(ti)|, Fthéo(ti) = 1 −exp−ti−γ
ηβ
Le calcul sur les 21 points donne Dmax =0,051 (écart maximal observé au niveau du point t= 1380 h).
La valeur crique, pour un seuil α= 5 % et n= 21, s’obent par l’approximaon asymptoque usuelle :
Dcrit(α= 0,05) ≈1,36
√n=1,36 √21 ≈0,297
5 2026/2027