Correction détaillée Gestion Maintenance Industrielle - Fiabilité RBD Weibull

ENSPD — Gestion de la Maintenance Industrielle
Correction d’exercices
Correction détaillée et expliquée
Gestion de la Maintenance Industrielle
Exercice 1 — Analyse d’une ligne de production (fiabilité, RBD)
Exercice 2 — Évaluation de la fiabilité par la loi de Weibull
ENSPD — Filière Génie Énergétique
|
Pr Idellette SOM
|
Année académique 2026/2027
Objet du document : reprise pédagogique, question par question, des deux exercices proposés en contrôle.
L’objectif n’est pas seulement de donner le résultat, mais d’expliquer pourquoi chaque méthode est mobilisée
et comment elle s’articule avec les notions du cours de fiabilité/maintenabilité/disponibilité.
Exercice 1 --- Analyse d'une ligne de production
Avertissement méthodologique
La page transmise donne uniquement le schéma bloc (RBD) de la ligne CHOCOCAM, sans tableau
numérique de fiabilité Ri , de taux de défaillance λi ou de MTTR pour les neuf postes. Aucune donnée
n’est donc inventée ici : ce corrigé construit intégralement la méthode et les expressions littérales, prêtes
à être numérisées dès que les données de chaque poste seront disponibles (probablement sur une page
antérieure du même document).
Lecture et reconstruction du schéma
Un RBD (Reliability Block Diagram) traduit en blocs la manière dont les défaillances des composants
entraînent la défaillance du système : deux blocs en série doivent tous les deux fonctionner pour que le
sous-système fonctionne (d’où un produit de fiabilités, la probabilité globale de succès ne pouvant être
supérieure à la plus faible des deux) ; deux blocs en parallèle forment un sous-système qui ne tombe
en panne que si tous ses blocs sont en panne simultanément (d’où un complément à 1 du produit des
probabilités d’échec).
D’après la disposition des blocs sur le schéma, la structure retenue est la suivante :
• une branche haute : poste 1 en série avec poste 2 ;
• une branche basse : poste 6 en série avec un groupe de trois postes redondants {7, 8, 9} ;
• ces deux branches constituent deux voies alternatives vers un même point de convergence, en amont
du poste 3 ;
• un tronc commun aval, en série : postes 3, 4, 5, jusqu’à la sortie de la ligne.
Remarque : si la lecture exacte du schéma diffère sur ce point précis, la structure de calcul ci-dessous
reste transposable telle quelle ; seuls les regroupements changent.
1.1 Fiabilité globale
a) Hypothèse de redondance passive (attente / standby)
En redondance passive, un seul chemin (par exemple la branche haute A) est sollicité à un instant
donné ; l’autre (branche B) est au repos, non contrainte, et ne prend le relais qu’à la défaillance du
premier, via un commutateur supposé parfait (détection et bascule instantanées, sans défaillance propre).
Le système composite survit à t si, soit la branche primaire survit jusqu’à t, soit elle tombe en panne à
un instant x < t et la branche de secours, non usée avant x, survit alors la durée restante t − x. Cette
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lecture probabiliste se traduit par un produit de convolution :
∫ t
passive
fA (x) RB (t − x) dx
RA∥B (t) = RA (t) +
0
Si l’on retient l’hypothèse usuelle de taux de défaillance constants λA et λB (loi exponentielle, hypothèse
de vieillissement nul souvent posée par défaut faute d’autre information), l’intégrale se résout explicitement :
passive
RA∥B
(t) =
λB e−λA t − λA e−λB t
λB − λ A
La fiabilité globale de la ligne s’obtient enfin en composant ce résultat, en série, avec le tronc commun :
passive
Rglobal (t) = RA∥B
(t) · R3 (t) · R4 (t) · R5 (t)
b) Hypothèse de redondance active (parallèle)
En redondance active, les deux branches fonctionnent simultanément dès t = 0 : chacune s’use à
son propre rythme, et le système ne tombe en panne que lorsque les deux sont hors service en même
temps. La fiabilité de chaque branche est d’abord calculée en série :
RA = R 1 · R2
RB = R6 · R789
puis combinée selon la règle du parallèle (complément à 1 du produit des probabilités de défaillance) :
active
RA∥B
= 1 − (1 − RA )(1 − RB )
[
]
Rglobal = 1 − (1 − RA )(1 − RB ) · R3 · R4 · R5
Remarque physique : contrairement au cas passif, ici les deux branches vieillissent ensemble ; la redondance
active offre en général une meilleure disponibilité instantanée (pas de délai de bascule) mais use les deux
chemins en parallèle, ce qui peut réduire la fiabilité à long terme par rapport au cas passif si le composant
de secours s’use au repos moins vite qu’en fonctionnement.
c) Au moins deux postes sur trois opérationnels (redondance partielle k/n)
Cette question affine spécifiquement le sous-bloc {7, 8, 9} : on n’exige plus qu’un seul des trois
fonctionne (cas actif précédent, k = 1), mais qu’au moins deux des trois fonctionnent (k = 2, n = 3).
C’est un compromis entre le tout-ou-rien du cas b) et une exigence de capacité minimale (typique d’un
poste de travail dont le débit doit rester suffisant).
()
Si les trois postes sont identiques, de fiabilité R, le raisonnement est combinatoire : il y a 32 = 3
()
façons de choisir quels 2 postes sur 3 fonctionnent (le troisième étant en panne), et 33 = 1 façon que
les trois fonctionnent. En sommant ces événements disjoints :
( )
( )
3
3
2
R2/3 =
R (1 − R) +
R3 = 3R2 (1 − R) + R3 = 3R2 − 2R3
2
3
Si les trois postes ne sont pas identiques, on remplace cette expression par la somme des probabilités
des combinaisons où au moins deux composants sur trois sont bons (développement direct, terme à
terme, avec R7 , R8 , R9 distincts). La branche basse devient alors :
RB = R6 · R2/3
à réinjecter dans la structure globale de la question a) ou b) selon l’hypothèse retenue pour la redondance
de branche.
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1.2 Disponibilité globale
La disponibilité diffère conceptuellement de la fiabilité : la fiabilité R(t) est la probabilité de fonctionner
sans interruption depuis l’origine jusqu’à t, alors que la disponibilité A est la probabilité d’être opérationnel
à l’instant t, en tenant compte des réparations. Pour un composant réparable en régime stationnaire :
Ai =
M T BFi
M T BFi + M T T Ri
Les règles de composition restent structurellement analogues à celles de la fiabilité (sous l’hypothèse
standard de réparations indépendantes et de régime stationnaire) :
∏
∏
Asérie =
Ai
Aparallèle = 1 −
(1 − Ai )
i
i
et, pour le cas k/n identique : A2/3 = 3A2 − 2A3 , par le même raisonnement combinatoire qu’en 1.1c.
Le cas standby est plus délicat en disponibilité qu’en fiabilité : le calcul rigoureux relève de la théorie
du renouvellement (les instants de bascule et de réparation s’enchaînent indéfiniment), mais en pratique
on retient souvent, en première approximation et en régime stationnaire, la même forme que pour le
parallèle actif : Apassive
A∥B ≈ 1 − (1 − AA )(1 − AB ).
Sans les couples (M T BFi , M T T Ri ) de chacun des neuf postes, aucune valeur numérique n’est
calculable : transmettre ce tableau permettra de clore intégralement les six cas demandés (1.1a, 1.1b,
1.1c, 1.2a, 1.2b et leur déclinaison).
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Exercice 2 --- Évaluation de la fiabilité par la loi de Weibull
Principe général
On dispose de 21 temps de bon fonctionnement (TBF) observés sur des réducteurs à axes concourants.
L’objectif est d’ajuster un modèle probabiliste continu — la loi de Weibull à trois paramètres — sur
cet échantillon fini, afin d’en déduire des indicateurs exploitables pour la maintenance (durée de vie
moyenne, taux de défaillance, seuil de fiabilité). La loi de Weibull à 3 paramètres a pour fonction de
répartition :
[ (
) ]
t−γ β
F (t) = 1 − exp −
,
t≥γ
η
où γ est le paramètre de position (durée de vie minimale garantie, avant laquelle aucune panne n’est
possible), η le paramètre d’échelle (durée caractéristique, atteinte lorsque F (η+γ) = 1−e−1 ≈ 63,2 %,
indépendamment de β), et β le paramètre de forme, qui pilote l’allure du taux de défaillance.
2.1 Estimation de F (t) par les rangs moyens
Avec un échantillon fini, on ne connaît pas F directement : on l’estime à partir du rang i de chaque
temps classé par ordre croissant. La formule des rangs moyens :
F (ti ) =
i
n+1
est préférée à l’estimateur naïf i/n car ce dernier donnerait F (tn ) = 1 pour la plus grande observation,
valeur incompatible avec le calcul de ln[ln(1/(1 − F ))] utilisé plus bas (division par zéro). Avec n = 21,
on divise donc chaque rang par 22 :
i
TBF (h)
F (ti )
i
TBF (h)
F (ti )
i
TBF (h)
F (ti )
1
2
3
4
5
6
7
570
600
640
670
700
730
770
0,0455
0,0909
0,1364
0,1818
0,2273
0,2727
0,3182
8
9
10
11
12
13
14
800
830
870
900
930
960
1000
0,3636
0,4091
0,4545
0,5000
0,5455
0,5909
0,6364
15
16
17
18
19
20
21
1050
1100
1150
1220
1280
1380
1570
0,6818
0,7273
0,7727
0,8182
0,8636
0,9091
0,9545
2.2 Points sur papier de Weibull
Le papier de Weibull est construit pour linéariser F (t). En partant de la fonction de répartition à 2
paramètres (γ = 0) :
(
) ( )β
1
t
−(t/η)β
−(t/η)β
F (t) = 1 − e
=⇒ 1 − F (t) = e
=⇒ ln
=
1 − F (t)
η
En prenant une seconde fois le logarithme :
[ (
)]
1
ln ln
= β ln t − β ln η
1 − F (t)
Ainsi, en posant Y = ln[ln(1/(1 − F ))] et X = ln t, la relation Y = βX − β ln η est une droite de pente
β : c’est exactement le principe du papier de Weibull (axes doublement transformés). Le graphique joint
(ex2_droite_weibull.png, panneau de gauche) montre le nuage (T BF, Y ) obtenu à partir du tableau
précédent : il est nettement incurvé (concave), ce qui signale que γ ̸= 0 — d’où la nécessité de l’étape
2.3.
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2.3 Détermination de γ par calcul (méthode des trois points)
Quand γ ̸= 0, la relation linéaire ne s’obtient qu’en travaillant sur ln(t−γ) et non sur ln t. La méthode
des trois points exploite une propriété géométrique de la droite recherchée : si l’on choisit trois points
3
t1 < t2 < t3 dont les ordonnées Y sont également espacées (Y2 = Y1 +Y
2 ), alors, la relation étant
linéaire en ln(t−γ), les abscisses corrigées ln(ti −γ) sont elles aussi également espacées, ce qui impose
une relation de moyenne géométrique :
√
t2 − γ = (t1 − γ)(t3 − γ)
En élevant au carré et en isolant γ :
γ=
t1 t3 − t22
t1 + t3 − 2t2
On retient t1 = 570 h (premier point, Y1 = −3,068) et t3 = 1570 h (dernier point, Y3 = 1,129), donc
3
Y2cible = Y1 +Y
= −0,970. Ce niveau d’ordonnée ne correspond à aucun point exact du tableau : on
2
l’obtient par interpolation entre les points encadrants t = 730 h (Y = −1,144) et t = 770 h (Y =
−0,960), ce qui donne t2 ≈ 767,8 h. D’où :
γ=
570 × 1570 − 767,82
≈ 505,3 heures
570 + 1570 − 2 × 767,8
Interprétation : avant 505 heures de fonctionnement, la probabilité de défaillance des réducteurs est
considérée comme nulle — ce qui est physiquement cohérent avec un mécanisme d’usure progressive
(aucune pièce neuve ne casse instantanément).
2.4 Translation des points, détermination de β et η
On recalcule à présent Xi = ln(ti − γ) pour chacun des 21 points, et l’on porte Yi en fonction
de Xi . Le nuage obtenu (graphique joint, panneau de droite) est cette fois rectiligne, ce qui valide a
posteriori la valeur de γ retenue. Une régression linéaire par moindres carrés sur Y = βX − β ln η
donne directement la pente (β) et l’ordonnée à l’origine (dont on tire η) :
β = 1,477
η = 495,3 heures
avec un coefficient de détermination r2 = 0,999 (contre r2 = 0,946 sans la correction de γ) : l’alignement
quasi parfait confirme que le modèle à 3 paramètres est pertinent.
Lecture physique de β = 1,477 : comme β > 1, le taux de défaillance croît avec le temps — c’est
un régime d’usure (fatigue mécanique des engrenages, jeu croissant), cohérent avec des réducteurs en
service continu sur une chaîne de convoyage. Un β < 1 aurait signalé de la mortalité infantile (défauts
de fabrication), un β ≈ 1 des pannes aléatoires sans lien avec l’âge (loi exponentielle).
2.5 Test d'acceptation de Kolmogorov--Smirnov
Ce test compare, point par point, la fonction de répartition empirique (celle des données brutes) à
la fonction de répartition théorique du modèle de Weibull ajusté, et retient l’écart le plus défavorable :
[ (
) ]
ti − γ β
Dmax = max |Femp (ti ) − Fthéo (ti )| ,
Fthéo (ti ) = 1 − exp −
i
η
Le calcul sur les 21 points donne Dmax = 0,051 (écart maximal observé au niveau du point t = 1380 h).
La valeur critique, pour un seuil α = 5 % et n = 21, s’obtient par l’approximation asymptotique usuelle :
1,36
1,36
Dcrit (α = 0,05) ≈ √ = √ ≈ 0,297
n
21
5
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(cette formule est une approximation asymptotique ; la table exacte de Kolmogorov pour n = 21 donne
une valeur très voisine, autour de 0,29, ce qui ne change pas la conclusion.)
Comme Dmax = 0,051 ≪ Dcrit ≈ 0,297, l’écart entre le modèle et les observations est largement
inférieur à ce que le hasard d’échantillonnage pourrait expliquer : le modèle de Weibull(γ = 505,3 ; β =
1,477 ; η = 495,3) est accepté au seuil de 5 %.
2.6 Durée de vie moyenne et écart-type
Pour une loi de Weibull à 3 paramètres, l’espérance et la variance s’expriment à l’aide de la fonction
∫ ∞ ( t )β −t/η...
Gamma d’Euler Γ (généralisation continue de la factorielle), car E[T ] = γ+ 0
e
se ramène,
η
après changement de variable, à des moments de la loi Gamma :
(
)
1
M T BF = γ + η Γ 1 +
= 505,3 + 495,3 × Γ(1,677) ≈ 953,3 heures
β
√ (
)
(
)
2
1 2
≈ 308,5 heures
σ =η Γ 1+
−Γ 1+
β
β
Remarque : la MTBF n’est égale à γ + η que dans le cas particulier β = 1 (loi exponentielle décalée) ; ici
Γ(1,677) ≈ 0,905 < 1, donc la MTBF est légèrement inférieure à γ + η = 1000,6 h.
2.7 TBF associé à une fiabilité de 0,85
On cherche t tel que R(t) = 0,85, c’est-à-dire F (t) = 0,15. En inversant R(t) = exp[−((t−γ)/η)β ] :
tR = γ + η (− ln R)1/β
t0,85 = 505,3 + 495,3 × (− ln 0,85)1/1,477 = 505,3 + 495,3 × (0,1625)0,677 ≈ 650,0 heures
Lecture graphique équivalente : sur le graphique de droite (droite corrigée), on repère l’ordonnée Y =
ln[ln(1/(1 − 0,15))] ≈ −1,82 correspondant à F = 0,15, on lit l’abscisse X = ln(t − γ) interceptée
par la droite ajustée, puis t = γ + eX . Le résultat graphique doit coïncider avec le calcul analytique, aux
imprécisions de lecture près.
Comparaison à la MTBF et conclusion : t0,85 = 650 h est nettement inférieur à la MTBF (953 h), soit
un écart de 32 %. Réciproquement, à l’instant de la MTBF, la fiabilité réelle n’est plus que de :
[ (
]
)
953,3 − 505,3 1,477
R(953,3) = exp −
≈ 0,422 (42,2 %)
495,3
Cet écart important — typique d’une loi à β > 1 — montre qu’il serait dangereux de planifier la
maintenance sur la seule durée de vie moyenne : en attendant la MTBF, on aurait déjà perdu près de
58 % de fiabilité, alors qu’à 650 h seulement 15 % du parc a en moyenne cédé.
2.8 Intervalle de programmation des opérations de maintenance préventive
Le constat précédent conduit logiquement à caler l’intervalle de maintenance préventive systématique,
non pas sur la MTBF, mais sur un seuil de fiabilité cible jugé acceptable par l’exploitant. En retenant le
seuil R = 0,85 déjà calculé (cohérent avec l’énoncé, qui relie explicitement les questions 2.7 et 2.8) :
Tpréventif ≈ 650 heures
Ce choix garantit qu’à chaque échéance de maintenance, au plus 15 % du parc de réducteurs aura, en
moyenne, dépassé sa limite de bon fonctionnement. Un seuil plus exigeant (par exemple R = 0,90)
resserrerait cet intervalle et réduirait le risque de panne non planifiée, au prix d’interventions plus
fréquentes : un arbitrage économique coût de maintenance contre coût de panne, non demandé ici,
permettrait d’affiner ce compromis.
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2.9 Équations et courbes de R(t), F (t), f (t), λ(t)
Les quatre fonctions caractéristiques de la fiabilité sont liées entre elles par construction : f (t) est
la densité de probabilité de défaillance (dérivée de F ), et λ(t) = f (t)/R(t) est le taux de défaillance
instantané (probabilité de tomber en panne dans l’instant suivant, sachant que l’on a survécu jusqu’à t).
Avec γ = 505,3 h, β = 1,477, η = 495,3 h :
[ (
) ]
t−γ β
R(t) = exp −
η
[ (
) ]
t−γ β
F (t) = 1 − exp −
η
[ (
(
)
) ]
β t − γ β−1
t−γ β
f (t) =
exp −
η
η
η
λ(t) =
β
η
(
t−γ
η
)β−1
Les quatre courbes sont tracées ci-dessous (ex2_courbes_RFfL.png), sur une plage allant de γ jusqu’à un
peu plus de deux fois η au-delà de γ. La ligne verticale pointillée repère t = M T BF = 953 h. On y
observe nettement λ(t) strictement croissante (car β − 1 = 0,477 > 0), signature graphique du régime
d’usure déjà identifié en 2.4.
Figure 1 — Nuage de points avant correction (gauche, courbe) et après translation par γ (droite, alignement).
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Figure 2 — Fonctions R(t), F (t), f (t), λ(t) du modèle de Weibull ajusté.
Document de correction — transmettre les données manquantes de l’exercice 1 (fiabilités ou couples MTBF/MTTR
par poste) pour en obtenir la clôture numérique complète.
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