Chapitre 1 : Optique géométrique – Version enseignant

Version enseignant
Chapitre 1
Optique géométrique
Sommaire
I . Sources lumineuses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1 . Nature duale de la lumière . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2 . Différents modèles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3 . Différentes sources lumineuses. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1
1
3
II . Modèle de l’optique géométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1 . Rayon lumineux et approximation de l’optique géométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2 . Modèle de la source ponctuelle monochromatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3 . Propagation dans la matière . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
4
6
6
III . Loi de Snell-Descartes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1 . Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2 . Énoncé des lois . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
3 . Quelques phénomènes courants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
IV . Réflexion totale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1 . Condition de réflexion totale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2 . La fibre optique à saut d’indice. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
Mémo :
On utilise le kit optique géométrique au tableau pour illustrer les rayons.
Les phénomènes lumineux peuvent être étudiés à l’aide de la théorie de l’optique ondulatoire qui fait intervenir
la notion d’onde. L’optique géométrique propose une autre approche plus simplifiée.
I. Sources lumineuses
I.1. Nature duale de la lumière
Jusqu’au début du 19e siècle, deux théories a priori fondamentalement opposées existaient :
— la théorie corpusculaire, défendue par Newton notamment, et où la lumière est composée de corpuscules
modélisés par des rayons se propageant rectilignement :
— la théorie ondulatoire, initiée par Huygens, selon laquelle la lumière et caractérisée par une onde.
I.2. Différents modèles
I.2.a. Le modèle géométrique
Ce modèle repose sur le fait que, dans de nombreux cas, la lumière se propage en ligne droite suivant des «
rayons lumineux » qui indiquent la direction et le sens de propagation de l’énergie lumineuse. C’est ce que l’on va
étudier cette année. Ce modèle est une approximation du modèle ondulatoire et n’est donc pas toujours suffisant
pour décrire les phénomènes observés.
I.2.b. Le modèle ondulatoire (étudié en classe de PT)
Il s’agit d’un modèle très utilisé. Il permet en particulier de comprendre les phénomènes d’interférences et
de diffraction. Dans ce modèle, la lumière est une « onde » qui se propage dans l’espace et dans le temps. La
grandeur qui se propage et qui oscille de façon périodique est le champ électromagnétique. Dans le vide, la vitesse
de la lumière est une constante et vaut c = 2,997 924 58 × 108 m·s−1 (exactement) pour toutes les fréquences. Dans
la matière, la vitesse de propagation de la lumière est telle que v < c et v dépend de la fréquence.
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L’œil n’est capable de voir qu’une faible partie du spectre des ondes électromagnétiques (que l’on appelle justement lumière) compris approximativement entre 400 nm pour le violet/bleu et 800 nm pour le rouge/ infrarouge.
On distingue les lumières
— monochromatiques : une seule longueur d’onde dans le vide λ0 = fc . À chaque longueur d’onde
correspond une seule couleur ;
— polychromatiques constituées d’une superposition de composantes variant sinusoïdalement dans le temps
et l’espace. On peut décomposer la lumière en la faisant passer à travers un système dispersif, par exemple
un prisme ou un réseau. Le prisme (ou le réseau) dévie la lumière plus ou moins en fonction de la longueur
d’onde : le bleu est plus dévié que le rouge. La figure obtenue est appelée spectre.
Expérience de cours
Décomposition de la lumière blanche par un prisme.
Compétences
*** Capacité : Relier la longueur d’onde dans le vide et la couleur ***
Couleur
λ0
Violet
400 nm
Indigo
430 nm
Bleu
440 nm
Vert
550 nm
Jaune
590 nm
Orange
610 nm
Rouge
630 nm
Tab. 1 Correspondance couleur - longueur d’onde
Fig. 1 Spectre électromagnétique
À retenir
Dans le vide, les relations entre la célérité c de la lumière, sa longueur d’onde dans le vide λ0 , sa fréquence f
et sa période T sont :
λ0 =
c
,
f
λ0 = cT
et
f=
1
.
T
I.2.c. Le modèle des photons
C’est le modèle le plus sophistiqué et le plus complet (il englobe les deux autres). Il fait appel à la physique
quantique. La lumière est constituée de photons qui se comportent, suivant les circonstances, comme une onde
ou comme une particule (ou corpuscule) de masse nulle qui se propage toujours à la vitesse c dans le vide (un
photon n’est jamais au « repos »). L’énergie transportée par un photon de fréquence f est donnée par la relation
de Planck-Einstein :
E =h×f
avec E l’énergie du photon (en J) qui est caractéristique de l’aspect corpusculaire de la lumière et f la fréquence
du photon (en Hz) qui est caractéristique de l’aspect ondulatoire de la lumière. h = 6,62×10−34 J·s est la constante
de Planck.
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I.3. Différentes sources lumineuses
Compétences
Sources lumineuses
Spectre
*** Capacité : Caractériser une source lumineuse par son spectre ***
Il existe plusieurs types de spectres (continu, à raies, monochromatique) en fonction de la nature de la source
lumineuse.
Spectre d’une source
Courbe représentant l’intensité lumineuse de la source en unité arbitraire en fonction de la longueur d’onde.
Le spectre d’une source est mesuré à l’aide d’un spectromètre à fibre. Si un prisme ou un réseau étaient utilisés,
la mesure des intensités relatives entre les différentes longueurs d’onde ne serait pas possible.
Le fond coloré est seulement là pour vous rappeler les couleurs correspondant aux différentes longueurs d’onde.
Il
s’agit
d’un
spectre continu
d’une
source polychromatique , semblable à celui
du Soleil.
Fig. 2 Spectre d’une lampe à incandescence
Il
s’agit
d’un
spectre de raie
d’une
source monochromatique .
Fig. 3 Spectre d’une diode LASER
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Il
s’agit
d’un
spectre de raie
d’une
source polychromatique . Le spectre de raies
d’émission est caractéristique du gaz présent dans
l’ampoule (ici du Mercure). L’existence des raies
est due à la quantification des niveaux d’énergie de
l’élément.
Les lampes fluocompactes contiennent de la vapeur
de mercure excitée par décharge. La surface interne
de l’ampoule est recouverte d’une couche fluorescente
qui absorbe la raie ultraviolette intense du mercure et
réemet des radiations réparties dans une bande dans
le visible.
Fig. 4 Spectres d’une lampe à vapeur de Mercure (trait épais) et d’un tube fluorescent (trait fin).
Les LED blanches sont le plus souvent la combinaison d’une diode émettant dans le bleu avec
un luminophore (substance qui émet de la lumière une fois excitée) jaune pour produire de
la lumière blanche par superposition du bleu et
du jaune..
Fig. 5 Spectre d’une LED
II. Modèle de l’optique géométrique
II.1. Rayon lumineux et approximation de l’optique géométrique
Animation
https://www.sciences.univ-nantes.fr/sites/genevieve_tulloue/Ondes/cuve_ondes/
diffraction.php
L’ombre portée sur l’écran est une homothétie de l’objet, quelque soit la distance de celui-ci à l’écran. Cette
expérience suggère que le faisceau lumineux issu de la source est constitué de rayons lumineux rectilignes.
Le rayon lumineux (RL) est une « ligne » qui indique le sens et la direction de l’écoulement de l’énergie
lumineuse. Le RL est une idée abstraite et n’est pas une entité physique réelle. Une bonne représentation d’un
RL est la lumière émise par un LASER, c’est-à-dire un faisceau lumineux diaphragmé, pour lequel le diamètre du
diaphragme tend vers 0. Un faisceau lumineux quelconque est constitué d’une infinité de RL.
Si on rétrécit trop l’ouverture d du diaphragme, le faisceau donne sur l’écran une tache circulaire (dans notre
cas) qui s’élargit à mesure que l’on diminue le diamètre de l’ouverture : c’est le phénomène de diffraction.
La diffraction apparait quelque soit la nature de l’onde, dès que l’on diminue l’extension spatiale de celle-ci.
Elle n’est visible que lorsque la dimension caractéristique de l’ouverture a < λ.
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Fig. 6 Origine des rayons lumineux.
Fig. 7 Diffraction par un trou
Si on se place à grande distance de l’objet diffractant, on parle de diffraction à l’infini alors le faisceau définit
un cône de diffraction dont le demi angle au sommet θ vérifie la relation :
sin θ =
λ
.
a
Compétences
Modèle de l’optique géométrique. Notion de rayon lumineux. Indice d’un milieu transparent.
*** Capacité : Définir le modèle de l’optique géométrique. Indiquer les limites du modèle de l’optique géométrique ***
À retenir
Approximation de l’optique géométrique
On peut ignorer le phénomène de diffraction, et donc définir un rayon lumineux que si θ ≪ 1 soit λ ≪ a .
C’est l’approximation de l’optique géométrique.
L’optique géométrique apparaît comme une approximation de l’optique ondulatoire pour de très faibles longueurs d’ondes. Les variations spatiales caractéristiques du milieu sont très supérieures à la longueur d’onde, l’onde
lumineuse se propage en ligne droite depuis la source jusqu’au récepteur.
À retenir
Dans le cadre de l’approximation géométrique, la propagation de l’énergie lumineuse est décrite par des rayons
lumineux vérifiant les propriétés suivantes :
• Propagation rectiligne ;
• Principe du retour inverse de la lumière : Le trajet suivi par la lumière est indépendant du sens
de propagation de la lumière ;
• Indépendance des rayons : les rayons peuvent se croiser sans intéragir entre eux.
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L’optique géométrique étudie la formation des images, en utilisant des constructions géométriques et
l’indépendance des rayons : on peut étudier la marche des rayons lumineux individuellement.
II.2. Modèle de la source ponctuelle monochromatique
Compétences
*** Capacité : Modèle de la source ponctuelle monochromatique. ***
Dans l’approximation de l’optique géométrique, la lumière se propage en ligne
droite. Par la suite, nous utiliserons le modèle de la source ponctuelle et
monochromatique :
— source ponctuelle (̸= étendue) : la source est un point de l’espace. Ce point
envoie des rayons dans toutes les directions ;
— source monochromatique (̸= polychromatique) : le spectre ne contient
qu’une radiation monochromatique.
Une source étendue peut être découpée en une somme de sources quasiponctuelles émettant indépendamment les unes des autres. Une source polychromatique peut être décomposée en sources quasi monochromatiques.
Si on éloigne la source à l’infini (en pratique à une distance très supérieure
aux dimensions du système optique), les rayons issus de la source constituent un
faisceau parallèle.
II.3. Propagation dans la matière
— Milieu transparent : laisse passer la lumière, c’est-à-dire qu’il n’absorbe pas d’énergie. Exemple : eau, air,
verre...
— Milieu isotrope : les propriétés du milieu sont indépendantes de la direction considérée à partir du point M
appartenant au milieu ;
— Milieu homogène : les propriétés du milieu sont indépendantes du point M ;
— Milieu linéaire : la propagation d’une onde sinusoïdale de pulsation , reste sinusoïdale de même pulsation.
Dans toute la suite, on considérera des milieux transparents, homogènes, isotropes et linéaires.
La grandeur caractéristique d’une onde lumineuse (EM) est la fréquence qui ne varie pas quelque
soit le milieu. Ces milieux ne se distinguent que par la vitesse de propagation de la lumière en leur sein.
Plus le milieu est «dur», plus cette vitesse sera diminuée. On caractérise cette difficulté à atteindre une vitesse
élevée par l’indice de réfraction n du milieu nombre sans dimension :
Compétences
Indice d’un milieu transparent.
Indice optique
n=
c
avec v la vitesse de l’onde dans le milieu. On a toujours n ≥ 1.
v
Valeurs courantes à connaître :
Milieu
Indice
Air
1,0003 ≃ 1
Eau
1,33
Verre
1,5
Conséquence : on sait que λ = v × T = nc × T donc
λ=
λ0
.
n
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Milieu
Vide
Air
Eau
Verre
Diamant
Vitesse de la lumière (m·s−1 )
299 792 458
299 702 547
225 407 863
166 551 366 à 199 861 164
123 881 181
Tab. 2 Vitesse de la lumière dans les milieux usuels.
Pour une même fréquence d’émission, la longueur d’onde du rayonnement n’est pas la même selon le milieu
que celui-ci traverse. On dit que le milieu est dispersif. La couleur varie donc en fonction du milieu.
Loi de Cauchy
L’indice optique dépend de la longueur d’onde λ selon la loi empirique de Cauchy :
n=A+
B
.
λ2
Remarque
Lorsqu’on indique nverre = 1.5, c’est une valeur approximative puisqu’on ne précise pas la longueur d’onde
pour laquelle cette valeur est déterminée.
Fig. 8 Dispersion de la lumière blanche à travers une lentille.
III. Loi de Snell-Descartes
III.1. Définitions
La différence de propriété optique n’apparait que lors d’un changement de milieu si on considère toujours des
milieux transparents homogènes, isotropes et linéaires.
Définition
On appelle dioptre la surface de séparation entre deux milieux d’indices différents n1 et n2 . Si cette surface
est plane, on parle de dioptre plan et la direction perpendiculaire au plan du dioptre est appelée normale
N.
Lorsqu’un rayon provenant du milieu transparent n°1, arrive sur le dioptre, il donne naissance à deux ondes
lumineuses :
— L’onde transmise au sein du milieu transparent n°2,
— L’onde réfléchie qui revient dans le milieu transparent n°1 mais avec une direction autre que celle du rayon
incident.
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Angles orientés
En optique, les angles sont définis algébriquement à partir de la normale :
— les angles sont positifs pour une rotation dans le sens trigonométrique ;
— les angles sont négatifs pour une rotation dans le sens horaire.
III.2. Énoncé des lois
Compétences
Réflexion, réfraction. Lois de Snell-Descartes.
Considérons un rayon incident sur un dioptre plan au point I représenté ci-dessous.
À retenir
Loi de Snell-Descartes
Rayon incident
• 1ere loi de Descartes : le rayon incident et la
normale définissent le plan d’incidence, dans lequel se trouvent le rayon réfléchi et le rayon réfracté.
Rayon réfléchi
i1
−i1
Dioptre = surface
de séparation
• 2e loi de Descartes : l’angle que fait la direction
du rayon réfléchi avec la normale est l’opposé de
l’angle d’incidence r = −i1 .
Milieu transparent 1
Milieu transparent 2
I
• 3e loi de Descartes : s’il existe un rayon réfracté, celui-ci fait un angle i2 avec la normale,
tel que n1 sin i1 = n2 sin i2
i2
Normale au dioptre
Rayon réfracté
, , , Attention ! L’énoncé des lois de Snell-Descartes comprend les trois lois et un schéma complet introduisant
toutes les notations.
Animation
https://phyanim.sciences.univ-nantes.fr/optiqueGeo/dioptres/dioptre_plan.php
Lorsque le dioptre est une surface régulière, tous les rayons réfléchis sont parallèles : on parle de réflexion
spéculaire. Nous nous placerons dans ce cadre d’étude. Lorsque le dioptre est une surface irrégulière, on parle de
réflexion diffuse.
Application 1 : Quelques conséquences générales
1. Que se passe-t-il si le rayon incident arrive selon la normale ?
Un rayon arrivant selon la normale arrive avec un angle d’incidence i1 = 0.
D’après la loi de Snell-Descartes, n1 sin(i1 ) = n2 sin(i2 ), comme n2 ̸= 0, sin(i2 ) = 0, soit i2 = 0.
Un rayon incident arrivant selon la normale au dioptre n’est pas dévié.
2. Comparer les angles de réfraction et d’incidence selon les valeurs respectives des deux indices de réfraction.
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Fig. 9 Réflexion spéculaire et diffuse
— Si le rayon passe d’un milieu d’indice n1 à un milieu moins réfringent,
i.e. d’indice n2 < n1 .
n1
D’après la loi de Snell-Descartes sin(i2 ) =
sin(i1 ), donc sin(i2 ) >
n2
|{z}
>1
rayon incident
⊕
Milieu 1 (n1 )
i1
sin(i1 ).
h π πi
Or les angles i1 , i2 ∈ − ,
, intervalle sur lequel la fonction sinus
2 2
est croissante.
Milieu 2 (n2 < n1 )
Ainsi i2 > i1 : le rayon s’éloigne de la normale lorsqu’il passe dans un
milieu moins réfringent.
rayon incident
— Si le rayon passe d’un milieu d’indice n1 à un milieu plus réfringent,
i.e. d’indice n2 > n1 .
n1
D’après la loi de Snell-Descartes sin(i2 ) =
sin(i1 ), donc sin(i2 ) < Milieu 1 (n1 )
n2
|{z}
Dioptre
i2
Normale
⊕
i1
<1
Dioptre
sin(i1 ).
h π πi
, intervalle sur lequel la fonction sinus Milieu 2 (n2 > n1 )
Or les angles i1 , i2 ∈ − ,
2 2
est croissante.
Ainsi i2 < i1 : le rayon se rapproche de la normale lorsqu’il passe dans
un milieu plus réfringent.
rayon réfracté
i2
Normale
rayon réfracté
Application 2 : Réfractions sur l’eau
Un rayon lumineux dans l’air tombe sur la surface de l’eau d’indice 1,33.
1. Déterminer l’angle de réfraction pour un angle d’incidence de 30°.
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rayon incident
n1 = 1, 00 , i1 = 30◦ et n2 = 1,33
Loi de Snell-Descartes : n1 sin(i1 )
Å
ã
n1
i2 = arcsin
sin(i1 ) = 22,1◦
n2
Air (n1 = 1, 00)
=
n2 sin(i2 ),
⊕
i1
soit
Dioptre
Eau (n2 = 1, 33)
i2
Normale
rayon réfracté
2. Déterminer l’angle d’incidence pour un angle de réfraction de 30°.
Même schéma et mêmes notations que précédemment.
Å
ã
n2
i1 = arcsin
sin(i2 ) = 41,7◦
n1
III.3. Quelques phénomènes courants
III.3.a. Les mirages
Fig. 10 Mirages froid et chaud : les observations sont dues à l’inhomogénéité du milieu traversé par la lumière.
La densité de l’air diminue quand la température augmente, ce qui provoque une diminution de l’indice optique.
Le milieu n’étant pas homogène, les rayons lumineux ne sont pas rectilignes, mais nos cerveaux interprètent la
lumière arrivant dans les yeux comme venant en ligne droite, ce qui donne l’impression de voir quelque chose à
un endroit où ça n’est pas : c’est le mirage.
D’après https://intra-science.anaisequey.com/
III.3.b. L’arc-en-ciel
Animation
Vidéo de Science Étonnante sur la physique de l’arc-en-ciel
https://www.youtube.com/watch?v=IYoT9kigF-w
L’indice optique des milieux transparents dépend de la fréquence de la lumière : on dit que le milieu est
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dispersif.
D’après la loi de Snell-Descartes, l’angle de réfraction, qui dépend de l’indice optique du milieu et de l’angle
d’incidence dépend également de la fréquence de la lumière. Alors, les différentes radiations monochromatiques ne
sont pas déviées avec le même angle, ce qui disperse la lumière : on voit séparément chaque radiation monochromatique.
C’est ce phénomène qui vous a permis d’observer les spectres avec des prismes au lycée et qui est à l’origine
des arcs-en-ciel.
IV. Réflexion totale
IV.1. Condition de réflexion totale
Compétences
*** Capacité : Établir la condition de réflexion totale ***
Animation
https://phyanim.sciences.univ-nantes.fr/optiqueGeo/dioptres/dioptre_plan.php
Deux cas se distinguent :
— Si n2 > n1 , alors le rayon réfracté existe toujours quelque soit l’angle d’incidence. Le milieu 2 est plus
réfringent, c’est-à-dire qu’il rapproche le rayon de la normale (il ne peut pas revenir dans le milieu 1)
— Si n2 < n1 alors le milieu 2 est moins réfringent, il écarte le rayon réfracté de la normale.
— Pour que le rayon réfracté existe, il faut que sin i2 ≤ 1 soit | nn21 sin i1 | ≤ 1 d’où
Å
ã
n2
i1 ≤ arcsin
.
n1
— Si cette condition n’est pas respectée, alors il n’y a pas de rayon réfracté : on parle de réflexion totale.
Fig. 11 Réflexion totale schéma et expérience.
6 Méthode Établir les conditions de réflexion totale 5
1. Vérifier que le rayon lumineux se propage d’un milieu plus réfringent à un milieu moins réfringent
(deuxième milieu d’indice plus faible que le premier).
π
2. Calculer l’angle d’incidence limite qui permet d’avoir un angle de réfraction égal à , en utilisant la loi
2
de Snell-Descartes de la réfraction.
3. Il y a réflexion totale si l’angle d’incidence est supérieur à l’angle d’incidence limite.
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À retenir
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Conditions de réflexion totale
Pour avoir réflexion totale, le rayon réfracté ne doit pas exister. Pour cela, il faut :
• que le rayon lumineux se propage d’un milieu plus réfringent à un milieu moins réfringent (deuxième
milieu d’indice plus faible que le premier) ;
ET
• que l’angle d’incidence soit supérieur à l’angle d’incidence limite obtenu pour un angle de réfraction égal
π
à .
2
Application 3 : Réflexion totale sur un dioptre air-eau
Dans le cas du dioptre air-eau, déterminer les conditions pour avoir réflexion totale.
On donne : nair = 1,00 et neau = 1,33.
Pour qu’il se produise le phénomène de réflexion totale, il faut vérifier deux conditions :
— le deuxième milieu doit être moins réfringent, ainsi il y a réflexion totale dans le cas du dioptre air-eau si le rayon
lumineux passe de l’eau vers l’air.
π
— l’angle d’incidence i1 doit être supérieur à l’angle d’incidence limite i1,lim pour lequel l’angle de réfraction est égal à
2
D’après la loi de Snell-Descartes
π
neau sin(i1,lim ) = nair sin
| {z2 }
=1
Å
nair
Soit i1,lim = arcsin
neau
ã
= 48,8◦
Il se produit le phénomène de réflexion totale lors du changement de milieu eau−→air avec un angle d’incidence
supérieur à 48,8°.
Application 4 : Fibre optique
La fibre optique guide l’information portée par le rayon lumineux. Il y a réflexion totale au sein de la fibre.
IV.2. La fibre optique à saut d’indice
Compétences
La fibre à saut d’indice.
*** Établir les expressions du cône d’acceptance et de la dispersion intermodale d’une fibre à saut d’indice.***
Une fibre à saut d’indice est composée :
— d’un coeur cylindrique, transparent, de rayon r1 et d’indice n1 ,
— d’une gaine coaxiale également transparente, de rayon r2 et d’indice n2 , entourant le coeur,
— d’une enveloppe de protection mécanique et optique.
L’objectif de la fibre est de guider les rayons lumineux de sa face d’entrée vers sa face de sortie, en minimisant les
pertes. Notons n0 ∼ 1 l’indice de l’air. On schématise la fibre par la Fig. 12.
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Fig. 12 Schéma de principe de la fibre à saut d’indice.
La fibre à saut d’indice doit permettre de guider les rayons lumineux de sa face d’entrée vers sa face de
sortie en minimisant les pertes. Il faut donc :
— pour qu’un rayon soit effectivement guidé dans la fibre, il faut que sa direction à l’entrée soit comprise
dans un cône appelé cône d’acceptance ;
— un rayon guidé doit subir une réflexion totale sur le dioptre séparant le coeur de la gaine afin de
minimiser les pertes ;
— tous les rayons lumineux appartenant au côned’acceptance ne parcourent pas le même trajet au sein
du coeur de la gaine ce qui implique une dispersion intermodale.
Animation
À utiliser tout au long de cette section !
https://phyanim.sciences.univ-nantes.fr/optiqueGeo/dioptres/fibre_optique.php
IV.2.a. Cône d’acceptance
Soit un rayon lumineux arrivant sur la face d’entrée de la fibre au point O avec un angle θ0 avec la normale.
En O, comme n1 > n0 , le rayon lumineux arrive d’un milieu moins réfringent (l’air) sur un milieu plus réfringent
(le coeur) : il existe donc un rayon réfracté quelque soit l’angle θ0 . Le rayon réfracté fait un angle θ1 avec la normale
au dioptre et cet angle vérifie la loi de Descartes
n0 sin i0 = n1 sin i1 .
De O à I1 : le milieu étant homogène, le rayon se propage de manière rectiligne entre O et I1 , et en I1 :
— en I1 , le rayon arrive en faisant un angle i1 < 0 avec la normale au dioptre tel que :
i1 | + θ 1 +
π
π
= π ⇒ |i1 | = − θ1 ;
2
2
— pour éviter une perte d’énergie, on désire obtenir une réflexion totale (aucun rayon lumineux réfracté dans
la gaine), ce qui n’est possible que si n2 < n1 . Dans ce cas, la loi de Descartes pour la réfraction impose :
n2
n1
sin |i1 | > 1 ⇒ sin |i1 | >
.
n2
n1
Les angles |i1 |, θ1 et θ0 sont reliés :
sin |i1 | = sin
π
2
p
− θ1 = cos θ1 = 1 − sin2 θ1 =
1−
n20
sin2 θ0 .
n21
On applique la condition de réflexion totale :
1−
n20
n2
sin2 θ0 > 22 ⇒ sin θ0 <
2
n1
n1
n21
n20
13/15
Å
1−
n22
n21
ã
=
p
n21 − n22
.
n0
D. Dumont
Chapitre 1 : Optique géométrique
Version enseignant
En conclusion, on obtient une réflexion totale en I1 et plus généralement en tout point Ii si et seulement si
p
n21 − n22
θ0 < θ0,max = arcsin
.
n0
(1)
Tout rayon lumineux appartenant au cône d’acceptance, c’est à dire faisant un angle θ0 avec la normale
à la face d’entrée tel que −θ0,max < θ0 < θ0,max , subira alors des réflexions successives totales sur le dioptre
coeur/gaine. θ0,max est appelé angle d’acceptance.
Ordres de grandeur : Soit n1 = 1,500 et n2 = 1,485. Alors θ0,max = 12◦ .
IV.2.b. Dispersion intermodale
Les fibres à saut d’indice classique sont dites multimodales : elles permettent la propagation de plusieurs
rayons empruntant des trajets différents appelés modes selon l’angle d’incidence à l’entrée de la fibre. Plus l’angle
d’incidence à l’entrée est grand et plus le trajet suivi par le rayon dans la fibre est grand et plus il mettra de temps
à parcourir la fibre.
Ainsi, tous les rayons composant le rayon en entrée de la fibre n’atteindront pas la sortie au même instant :
on parle de dispersion entre les modes ou dispersion intermodale.
Cette dispersion intermodale peut se calculer en introduisant le retard intermodal définit par la durée du retard
à l’arrivée entre le rayon le plus lent (voir Fig. 13) et le rayon le plus rapide (celui d’incidence nulle en entrée).
La dispersion intermodale d’une fibre à saut d’indice est définie par la différence de durée de parcours de la
fibre entre le rayon le plus lent et le rayon le plus rapide :
δt = tmax − tmin .
Fig. 13 Visualisation des modes les plus lent (en noir) et rapide (mode axial).
Le temps de trajet le plus court est obtenu pour un rayon axial qui parcourt une longueur L correspondant à
la longueur totale de la fibre à la vitesse v1 = nc1 :
tmin =
L
n1 L
=
.
v1
c
Le temps de trajet le plus long est obtenu pour le rayon d’angle d’incidence en entrée égale à l’angle d’acceptance
θ0,max qui parcourt une longueur ℓ à la vitesse v1 = nc1 :
tmax =
ℓ
.
v1
Pour calculer la longueur ℓ, considérons la longueur ℓ1 du trajet parcouru par le rayon entre O et I1 , ℓ1 =
OH1
n2
OI1 = sin
|i1 | . Or on est dans le cas limite de la réflexion totale pour laquelle sin |i1 | = n1 , d’où :
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D. Dumont
Chapitre 1 : Optique géométrique
Version enseignant
ℓ1 =
n1 OH1
.
n2
En répétant le calcul lors de chaque réflexion, on obtient ℓ = nn12L . D’où tmax que l’on trouve bien supérieur à
tmin puisque n1 > n2 :
tmax =
n21 L
.
n2 c
On obtient alors :
n2 L n1 L
n1 L
δt = tmax − tmin = 1 −
=
n2 c
c
c
Å
n1
−1
n2
ã
(2)
Cette expression ne dépend que des indices de la gaine et du coeur et de la longueur de la fibre. Elle sera
d’autant plus faible que les indices optiques du coeur et de la gaine sont proches.
Ordres de grandeur : Soit n1 = 1,500 et n2 = 1,485. Alors pour une longueur de fibre optique L = 10 km,
on obtient δt = 0,505 µs.
Remarque
En plus de la dispersion intermodale, s’ajoute la dispersion chromatique quand le rayon est polychromatique.
Ces deux dispersions posent problème pour la transmission d’impulsions car celles-ci s’étaleront / se déformeront dans le temps. Les fibres à gradient d’indice sont moins sujettes à la dispersion intermodale. Des
fibres optiques monomodes sont également très utilisées pour les transmissions à longue distance.
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D. Dumont