Synthèse des fractions : Cours de mathématiques

Mme Charlier C. Cours de mathématiques Les fractions : 1
Synthèse : les fractions
I. Une fraction, c’est quoi ?
On appelle une fraction, une part d’une unité que l’on a coupée
en parts égales.
Exemple :
Montrons l’exemple avec un gâteau qui
représente l’unité. Tout d’abord, on découpe le
gâteau en 6 parts égales.
Mon frère, ma sœur et moi prenons chacun 1
part, ce qui fait 3 parts sur les 6 parts
disponibles au départ. On peut écrire que nous
avons pris 3
6 du gâteau.
On a donc partagé l’unité ( ici, le gâteau) en 6 parts égales et on
a retiré trois de ces parts. C’est ce que l’on appelle une fraction.
II. Comment appelle-t-on chaque terme de la fraction et
qu’indiquent-t-ils ?
Fraction = 𝑛𝑢𝑚é𝑟𝑎𝑡𝑒𝑢𝑟
𝑑é𝑛𝑜𝑚𝑖𝑛𝑎𝑡𝑒𝑢𝑟
• Le dénominateur indique en combien de parts égales tu divises
l’unité.
• Le numérateur indique le nombre de parts que l'on prend de
l’unité ou que l'on veut représenter.

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III. Égalité de fractions
Certaines fractions peuvent être égales à l’unité ou peuvent
être égales à une partie de l’unité.
Exemples :
Une unité peut être partagée de différentes manières. Je
peux couper une barre de chocolat en 2 parts égales, en 4
parts égales, en 8 parts égales etc..
Les dessins ci-dessous représentent la même barre de
chocolat partagée de différentes manières. Ma barre de
chocolat correspond à l’unité.
Barre de chocolat partagée en 4 parts égales
Si on partage la barre en 4 parts
égales et que l’on mange 4 parts
on aura mangé 4
4 de l’unité car la
barre est partagée en 4. On aura
donc mangé toute la barre.
Barre de chocolat partagée en 2 parts égales
Si on partage la même barre en 2
parts égales et que l’on mange 2
parts, on aura mangé 2
2 de l’unité
car la barre est partagée en 2 . On
aura donc aussi mangé toute la barre. Par conséquent, les parts
sont plus grosses que dans l’exemple précédent.

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Barre de chocolat partagée en 8 parts égales
Si on partage cette même
barre en 8 parts égales et que
l’on mange 8 parts, on aura
mangé 8
8 de l’unité car la barre est partagée en 8. On aura donc aussi
mangé toute la barre. Par conséquent, les parts sont plus petites que
dans les exemples précédents.
On peut donc conclure que l’unité peut s’écrire différemment selon la
manière dont elle est partagée : 2
2 ; 4 4 ; 8 8 ; 10 10 etc...
Étant donné que l’on mange à chaque fois toute la barre de chocolat,
on peut donc conclure que 2
2 = 4 4 = 8 8.
De façon similaire, on pourrait dire que 1
2 = 2 4 = 4 8
IV. Simplification de fractions
Une fraction irréductible est une fraction qui ne peut plus être
simplifiée. Pour rendre irréductible une fraction, il suffit de
diviser le numérateur et le dénominateur par leur plus grand
diviseur commun ( = PGCD).
Exemple : 12
18 = 12 ∶6 18∶ 6 =2 3
 6 est le pgcd de 12 et 18. Il s’agit du plus grand diviseur
commun de 12 et 18.
Div 12 = { 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 12 }
Div 18 = { 1 ; 2 ; 3 ; 6 ; 9 ; 18 }

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V. Détermination du dénominateur commun
Le dénominateur qu’on utilise pour réduire des fractions au
même dénominateur est le plus petit commun multiple (PPCM)
des dénominateurs.
1) Dans certains cas, le PPCM de deux nombres est
très simple à déterminer.
a) Si l’un des deux nombres est multiple de
l’autre, alors leur PPCM est le plus grand des
deux nombres.
Exemple : le PPCM de 9 et 18 est 18 car 18 est
un multiple de 9.
b) Si les deux nombres sont premiers entre eux,
alors leur PPCM est le produit de ces deux
nombres.
Exemple : Le PPCM de 8 et 9 est 72 car 8 et 9
sont premiers entre eux. En effet, 8 et 9 ont
comme seul diviseur commun 1.
Div 8 = { 1 ; 2 ; 4 ; 8 }
Div 9 = { 1 ; 3 ; 9 }
2) Dans les autres cas, pour déterminer le PPCM de deux
nombres, il suffit de comparer leur table de
multiplication.
Exemple : Le PPCM de 6 et 8 est 24
6N = { 0 ; 6 ; 12 ; 18 ; 24 ; 30 ; 36 ; ...}
8N = { 0 ; 8 ; 16 ; 24 ; 32 ; 40 ; 48 ...}

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VI. Comparaison de fractions
1) Si deux fractions ont le même dénominateur, la plus petite
est celle qui a le plus petit numérateur.
Exemple : 2
5 < 3 5 car 2 < 3
2) Si deux fractions ont le même numérateur, la plus petite est
celle qui a le plus grand dénominateur.
Exemple : 3
5 < 3 4 car 5 > 4
3) Si deux fractions ont des dénominateurs différents, il faut
chercher des fractions égales ayant le même dénominateur,
puis comparer.
Exemple 2
3 < 6 7 car 14 21 < 18 21
VII. Addition et soustraction de deux fractions
1) Pour additionner ou soustraire deux fractions de même
dénominateur, il suffit
- d’additionner ( ou soustraire) les numérateurs en conservant le
dénominateur et
- de simplifier, si possible, la fraction ainsi obtenue.
Exemples : 15
30 + 5 30 = 15+5 30 = 20 30 = 2 3 ; 15 30 - 5 30 = 15−5 30 = 10 30 = 1 3
2) Pour additionner ou soustraire deux fractions de dénominateurs
différents, il suffit
- de réduire les fractions au même dénominateur.
- d’additionner ( ou soustraire ) les nouveaux numérateurs tout en
conservant le dénominateur et
- de simplifier, si possible, la fraction obtenue.
Exemples : 6
3 + 4 5 = 30 15 + 12 15 = 42 15 = 14 5 ; 5 3 - 4 5 = 25 15 - 12 15 = 13 15