Aérodynamique à Basse Vitesse Cours 5 & 6

AÉRODYNAMIQUE À BASSE VITESSE
Cours 5 & 6
Birame Aldiouma SY
Ingénierie Aérospatiale
École Polytechnique de Thiès
Traduction française du cours original — contenu scientifique inchangé.

Chapitre 5 — Aérodynamique des Ailes
Plan du cours
• 1. Introduction et nomenclature
• 2. Effets des ailes finies
• 3. Théorie de la ligne portante de Prandtl
• 4. Distribution de portance et efficacité d'aile
• 5. Méthodes numériques
1. Introduction et nomenclature
Jusqu'à présent, nous avons maîtrisé l'aérodynamique des profils en deux dimensions (2D).
Cependant, les ailes réelles possèdent des extrémités — ce qui introduit une nouvelle
dimension et nous fait entrer dans la complexité de l'aérodynamique 3D.
Composants d'un avion : fuselage, aile gauche/droite, winglets (saumons), ailerons internes
et externes, volets intrados, becs de bord d'attaque, spoilers, turbofans, gouverne de direction
(rudder), gouvernes de profondeur (elevators), dérive verticale, empennage horizontal réglable,
cockpit, APU.
Axes de l'avion :
• Axe longitudinal (roulis / roll) : rotation autour de l'axe avant-arrière.
• Axe latéral (tangage / pitch) : rotation autour de l'axe aile à aile.
• Axe vertical (lacet / yaw) : rotation autour de l'axe vertical.
Surfaces de contrôle :
• Ailerons : contrôlent le roulis. Quand l'aileron droit descend → portance augmente à
droite → moment de roulis vers la gauche.
• Gouverne de profondeur (elevator) : contrôle le tangage. Lorsque l'elevator monte, une
force vers le bas est exercée sur l'empennage → moment cabreur.
• Gouverne de direction (rudder) : contrôle le lacet. Déflexion à gauche → moment de
lacet nez à gauche.
2. Effets des ailes finies
La pression est plus élevée sous l'aile et plus basse au-dessus. L'air contourne donc l'extrémité
de l'aile (de l'intrados vers l'extrados), formant des masses tourbillonnaires : les tourbillons
d'extrémité (wingtip vortices).
Tourbillons : inducteurs du souffle descendant

• Les tourbillons sont lâchés aux extrémités et se propagent en aval sous forme d'une
nappe tourbillonnaire.
• Cette nappe s'enroule pour former deux forts tourbillons d'extrémité.
• Ces tourbillons induisent une vitesse descendante au niveau de l'aile.
• Cette vitesse vers le bas est appelée souffle descendant (downwash).
Angle d'attaque effectif
Notations :
• V∞ : vitesse du flux libre
• w : vitesse du souffle descendant (downwash)
• Veff = V∞ + w : vitesse effective locale
L'angle d'attaque effectif est défini par :
α_eff(y) = α(y) − α_{l=0}(y) + w(y)/V_∞
avec, pour de petits angles induits :
α_i = arctan(−w/V_∞) ≈ −w/V_∞
Le souffle descendant w(y) varie le long de l'envergure.
Traînée induite : conséquence du downwash
• La portance est perpendiculaire à Veff.
• Veff est inclinée vers l'arrière par le souffle descendant.
• Le vecteur de portance locale est donc incliné vers l'arrière.
• La composante dans la direction de l'écoulement libre est la traînée induite.
Formules :
L'(y) = (1/2) ρ V²_eff c(y) c_l(α_eff) [portance locale par unité
d'envergure]
D'_i(y) = L'(y) sin(α_i(y)) ≈ −L'(y) w(y)/V_∞ [traînée induite
locale]
Traînée induite totale :
D_i = ∫_{−b/2}^{b/2} −L'(y) w(y)/V_∞ dy
C'est le prix à payer pour la portance sur une aile finie.
3. Théorie de la ligne portante de Prandtl
Prandtl modélise l'aile comme une ligne de tourbillons liés placée au quart de corde. L'intensité
Γ(y) varie le long de l'envergure. Une variation de circulation liée implique, par le théorème de
Helmholtz, le lâcher de tourbillons libres en aval, formant la nappe tourbillonnaire.
Loi de Biot-Savart

Un élément ds d'un filament tourbillonnaire de circulation Γ induit la vitesse élémentaire :
dw■ = Γ ds■ × r■ / (4π |r■|³)
Après intégration sur un segment fini (angles α et β aux extrémités) :
w = Γ/(4πh) (cos α + cos β)
Pour un demi-filament semi-infini (α = π/2, β → 0) :
w = Γ/(4πh)
Souffle descendant induit par la nappe tourbillonnaire
Entre y et y+dy sur l'envergure, la circulation diminue de ∆Γ = −(dΓ/dy)dy. Ce filament
tourbillonnaire lâché induit en y■ la vitesse :
dw = (dΓ/dy) / [4π(y − y■)] dy
La vitesse totale de downwash en y■ est :
w(y■) = (1/4π) ∫_{−b/2}^{b/2} (dΓ/dy) dy/(y − y■)
Équation de la ligne portante de Prandtl
En combinant la loi de Kutta-Joukowski et la relation précédente :
L'(y) = ρ V_∞ Γ(y) = (1/2) ρ V²_∞ c(y) c_l(y)
Pour un profil mince, c_l ≈ a■(α − α_{l=0} − α_i), avec a■ ≈ 2π. L'équation intégrale est :
Γ(y■) = (1/2) V_∞ c(y■) a■ [α(y■) − α_{l=0}(y■)] + (a■ c(y■))/(8π)
∫_{−b/2}^{b/2} (dΓ/dy) dy/(y − y■)
Interprétation : l'angle d'attaque effectif est égal à la différence entre l'angle géométrique et l'angle
induit.
Équation monoplane (résolution par série de Fourier)
Changement de variable :
y = −(b/2) cos θ → dy = (b/2) sin θ dθ
On développe Γ en série de Fourier :
Γ(θ) = 2bV_∞ Σ_{n=1}^{N} A_n sin(nθ)
Ce qui donne :
dΓ/dy = 4V_∞ Σ_{n=1}^{N} n A_n cos(nθ) / sin θ
Après intégration (identité de Glauert) :
(1/4πV_∞) ∫ (dΓ/dy) dy/(y−y■) = −Σ n A_n sin(nθ■)/sin θ■
Équation monoplane :
[α(θ■) − α_{l=0}(θ■)] sin θ■ = Σ A_n [n + (4b/(a■ c(θ■))) sin θ■]
sin(nθ■), θ■ ∈ [0, π]
Résolution du système linéaire

On tronque la série à N termes et on choisit N points de contrôle θ_k = kπ/(N+1), k = 1, …, N.
On obtient un système linéaire N×N en A■, …, A_N, dont la résolution donne les coefficients
en fonction de α, α_{l=0} et c aux points de contrôle.
Des coefficients A_n aux grandeurs physiques
• Distribution de circulation : Γ(θ) = 2sV_∞ Σ A_n sin(nθ)
• Portance locale : L'(y) = ρ V_∞ Γ(y)
• Angle induit local : α_i(θ■) = (1/2 sin θ■) Σ n A_n sin(nθ■)
• Vitesse de downwash : w(θ■) = V_∞ α_i(θ■)
• Traînée induite locale : D'_i(y) = α_i L'(y)
Portance totale
En intégrant L' sur l'envergure (orthogonalité des fonctions sinus) :
L = π/4 · b² ρ V²_∞ A■
Le coefficient de portance de l'aile devient :
C_L = (π/2) AR · A■ [dépend uniquement du mode A■]
avec le rapport d'allongement :
AR = b²/S
Traînée induite totale
De même (orthogonalité) :
D_i = (π/8) ρ V²_∞ b² Σ n A²_n
Coefficient de traînée induite :
C_Di = (π/4) AR Σ n A²_n
Modes de chargement de Fourier
Le mode A■ sin θ correspond à la distribution elliptique (mode primaire, portance maximale au
centre, nulle aux extrémités). Les modes impairs A■, A■ sont symétriques ; les modes pairs
A■, A■ sont asymétriques (pertinents pour le roulis). Pour une aile symétrique sans déflexion
d'aileron, les modes pairs s'annulent : A_{2p} = 0.
4. Distribution de portance et efficacité d'aile
Facteur d'efficacité d'Oswald et facteur de traînée induite
C_Di = C²_L / (π AR · e) avec e = A²■ / Σ n A²_n ∈ [0, 1[
δ = Σ_{n≥2} n (A_n/A■)² ≥ 0 [facteur de traînée induite]