Examen final : Topologie & Calcul différentiel

UNIVERSITÉ CHEIKH ANTA DIOP DE DAKAR
Faculté des Sciences et Techniques
Département de Mathématiques et Informatique
Année académique
2023/2024
EXAMEN FINAL
Diplôme: Licence 3
UE352,EC3521-3522
Semestre: 2 Enseignant: Pr.M. BALDÉ
UE:Topologie-Calcul
différentiel
Crédit:6 EC: Espace de Banach-calcul différentiel Durée: 4H
Session: Rattrapage Épreuve de calcul différentiel
Exercice 1 ( 6.5 points)
1. Donner la définition d’un espace de Baire. (1pt)
2. Justifier que Rmuni de la distance usuelle est un espace de Baire. (1pt)
3. Montrer que tout espace fermé de Rest un espace de Baire. (1pt)
4. Soit Fun fermé non vide de Ret x∈F. On munit Fde sa topologie induite.
(a) Montrer que si xn’est pas un point isolé de Falors F\ {x}est un ouvert dense de F. (1pt)
(b) Montrer que si Fest dénombrable alors Fadmet au moins un point isolé. (1pt)
5. En déduire que Rest non dénombrable. (1.5 pts)
Exercice 2 ( 6.5 points)
Soient p, q ∈N∗et f:R2→Rl’application définie par :
f(x, y) = xpyq
x2−xy +y2si (x, y)̸= 0, f(0,0) = 0.
1. Montrer que pour tout (x, y)̸= (0,0),|f(x, y)|⩽2|xpyq|
x2+y2.(1.5 pts)
2. Montrer que si p+q > 2, alors l’application fest continue en (0,0).(2 pts)
3. Montrer que si p+q > 3alors l’application fest de classe C1au point (0,0).(3 pts)
Exercice 3 ( 7 points)
Soit kun réel strictement positif et F:Cn→Cnune application de classe C1. On suppose que pour tout
x∈Cnet pour tout h∈Cn,on a :
∥DxF(h)∥⩾k∥h∥.
1. Pour tout x ∈Cnfixé, montrer que les valeurs propres de la différentielle en xsont non nulles. (1.5 pts)
2. En déduire que la differentielle DxFest une application inversible en tout point x∈Cn.(1 pt)
3. Montrer que F(Cn)est une partie ouverte. (1.5 pts)
4. On suppose que Fest injective et que F(Cn)est un fermé.
(a) Montrer que Fest bijective. (1.5 pts)
(b) Montrer que la bijection recipropre F−1est de classe C1sur Cn.(1.5 pts)
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