TD N°2 Mécanique des fluides et hydraulique – Réservoirs, Archimède, barrages

Année académique 2023 - 2024
Université Marien Ngouabi de Brazzaville
Ecole Nationale Supérieure Polytechnique - ENSP
Département des Masters & Ingénieurs (DMI)
TRAVAUX DIRIGÉS N◦2
ECUE : Mécanique des fluides et hydraulique
Thème : Statique des fluides - Hydrostatique,
Théorème d’Archimède, barrages poids
Date : Lundi 27 mai 2024 à 15h30
Durée : 02h30 Niveau : 1ère année Ingénieurs Electromécanique & Génie Civil - Semestre 2 Crédits : 3/4
Documents et calculatrice autorisées
Exercice 1** : Etude d’un réservoir fermé sous pression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 minutes
Un réservoir fermé et sous pression (figure 1) contient deux liquides non miscibles, de l’eau de masse volumique
ρ2jusqu’à la hauteur aet de l’huile de masse volumique ρ1de hauteur bau-dessus de l’eau. Les niveaux inconnus
des liquides dans les tubes 1et 2ouverts à l’atmosphère à la pression p0sont respectivement notés h1et h2.
Sur le réservoir, un manomètre mécanique installé à l’air libre affiche une pression p∗connue.
Les données relatives aux calculs numériques sont regroupées dans le tableau 1.
Tableau 1– Données pour les applications numériques
Grandeur ρ1ρ2a b p∗p0g
Valeur 750 1000 4,0 3,5 92,0 1,013 9,81
Unité kg.m−3kg.m−3m m kPa bar m.s−2
*
1 2
Figure 1– Etude d’un réservoir fermé sous pression.
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1. Etude de la pression statique
En considérant la loi de la statique des fluides sous forme locale donnée par :
−
−−→
grad(p) + −→ fv=−→ 0
où pest la pression en un point quelconque du fluide et −→ fvle vecteur-force volumique du fluide.
1.1. Etablir la loi d’évolution de la pression p1(z)en tout point zde l’huile.
1.2. Etablir la loi d’évolution de la pression p2(z)en tout point zde l’eau.
1.3. Exprimer la hauteur h1d’élévation d’huile dans le tube 1, en fonction de p∗,ρ1,g,aet b.
1.4. Exprimer la hauteur h2d’élévation d’eau dans le tube 2, en fonction de p∗,ρ2,g,a,bet d1.
1.5. Exprimer et calculer les hauteurs het h0, respectivement d’huile et d’eau due à la pression p∗dans le
réservoir.
1.6. Montrer que la variation de niveaux des liquides ∆hdans les tubes d’eau et d’huile est donnée par la
relation :
∆h= (1 −d1) (h+b)
1.7. Calculer en bar, la pression au fond du réservoir, notée pf.
2. Etude des forces de pression statique
a) Calculer la force totale Fexercée par l’eau et l’huile au fond du réservoir si sa section est S = 3 m2.
b) Justifier que le volume d’huile V1dans le réservoir est plus petit que le volume d’eau V2contenu dans
le même réservoir. Quantifier cette différence en pourcentage.
Exercice 2* : Théorème d’Archimède . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 minutes
Un cylindre creux de masse Mest fermé, en ses deux extrémités, par deux disques circulaires d’aire S(Figure 2).
Ce cylindre est placé verticalement dans un récipient contenant un liquide de masse volumique ρ.
Figure 2– Application du théorème d’Archimède - Cylindre et sphère dans un fluide.
Une sphère pleine, homogène et de volume Vest fixée sur ce cylindre. Dans l’ensemble de l’exercice, on négligera
la masse volumique de l’air devant celle du liquide et on supposera que M < ρSh,hétant la hauteur de la
partie du cylindre immergée dans l’eau. On étudie les deux configurations indiquées sur la Figure 2.
1. La sphère est attachée sous le cylindre. Quelle masse volumique ρ1doit-on donner à la sphère pour que le
cylindre flotte en étant immergé sur une hauteur h?
2. La sphère est, à présent, placée à l’intérieur du cylindre. Quelle masse volumique ρ2doit-on donner à la
sphère pour que le cylindre flotte en étant immergé sur la même hauteur h?
3. Comparer ρ1et ρ2.
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Exercice 3** : Evolution de la pression dans un fluide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 minutes
On envisage un océan supposé en équilibre isotherme. La masse volumique de l’eau varie avec la pression selon
la loi :
ρ=ρ0[1 + a(p−p0)]
où a= 1,0×10−10, homogène à l’inverse d’une pression.
La profondeur est notée z. Pour z= 0 ;p=p0et ρ=ρ0. On donne p0= 1,0×105Pa et ρ0= 1,0×103kg/m3.
1. Donner la loi de pression p(z).
2. Que devient cette loi pour les profondeurs faibles ?
3. Calculer les valeurs de la pression exacte et approchée pour z= 1 km.
Quelle est l’erreur relative commise en utilisant l’expression approchée de la question 2.?
Exercice 4* : Etude d’un barrage poids . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 minutes
On considère un bloc de béton de masse volumique ρbposé sur un plan horizontal (O, x, z)retenant une hauteur
d’eau notée h, de masse volumique ρ. On a affaire à ce que l’on appelle un « barrage poids »(Figure 3).
ρ h
H
L
eau
patm
i
k
j
o
z
x
Δ
Figure 3– Bloc de béton sur plan horizontal.
Le problème est supposé se situer dans un plan (O, x, z). La largeur du barrage dans la direction ysera noté
e. L’axe Oy, appelé ∆, est l’arrête inférieure extrême du barrage. La pression hydrostatique au niveau de la
face inférieure du barrage (OA)sera prise nulle puisque le barrage est posé sur le plan horizontal. En toute
rigueur, il faudrait considérer les divers fluides en présence (air et eau) et examiner les efforts de pression
exercés par chacun d’eux sur le barrage. On pourrait cependant montrer que l’effort final (force et moment)
est indépendant de la pression atmosphérique environnante. On peut dès lors travailler directement avec la
pression effective notée peff et définie par (p−patm). L’objectif est d’étudier le basculement éventuel du barrage
par rapport à l’axe ∆.
1. Montrer par un raisonnement simple qu’en tout point M(−L, z)du barrage en contact avec l’eau, la
pression effective vaut :
peff =ρg (h−z)(1)
Faire une représentation graphique de la pression effective et en déduire la mesure de la force totale Fe
exercée par la pression effective de l’eau.
2. Calculer la mesure du moment total des forces de poussée de l’eau par rapport à l’axe ∆, noté M1.
3. Le barrage étant une surface plane, on se place sur l’axe (O, z). Chercher le centre de poussée, c’est-à-dire
le point Pen lequel le moment des efforts de pression effective est nul.
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4. Calculer la mesure du moment total exercé par le poids du barrage par rapport à l’axe ∆, noté M2.
5. Calculer la mesure de l’effort total des forces de « sous-pression »sur la face inférieure OA, noté Fsp puis
la mesure du moment total M3exercé par ces forces sur OA par rapport à l’axe ∆.
6. Donner une condition sur le niveau d’eau h(par rapport aux autres grandeurs) pour qu’il n’ait jamais
basculement du barrage par rapport à l’axe ∆.
Exercice 5** : Etude statique d’un barrage en béton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 minutes
On considère un barrage en béton de forme trapéizoïdale, de masse volumique ρb= 2,5kg/dm3, de petite base
a= 5 m, de masse mb, de largeur (grande base) b= 20 m , de hauteur h = 30 m et d’extension L= 1 m
(suivant l’axe y, perpendiculaire au plan vertical xz) reposant sur un massif poreux . L’eau (la hauteur de la
colonne d’eau est égale à celle du barrage, à savoir h) de masse volumique ρe= 1000 kg/m3, exerce sur la paroi
verticale du barrage une action mécanique définie par une force surfacique représentée sur la Figure 4dans
un champ de pesanteur constant g= 9,81 m.s−2.
Figure 4– Section d’un barrage en béton.
1. Déterminer au point O, le torseur d’action mécanique de l’eau sur le barrage.
Donner la valeur numérique de la résultante générale −→ Fe. Déterminer la position de son axe central ∆.
2. Caculer la position du centre de gravité Gdu barrage suivant l’axe (O, −→ x).
3. Déterminer puis calculer le poids −→ Pbdu barrage en béton ainsi que le vecteur moment résultant −→ Mb.
4. Soit −→ R, la résultante générale du torseur d’action mécanique du sol sur le barrage.
Sachant que le barrage est en équilibre par rapport au sol, déterminer :
a) Le point d’intersection Ide l’axe central du torseur d’action mécanique du sol sur le barrage avec l’axe
(O, −→ x).
b) La valeur minimum du coefficient de frottement µsentre le sol et le barrage pour que le barrage ne
glisse pas sur le sol.
∗∗∗ Bon courage ! Soyez acteur de votre formation et de votre réussite ∗ ∗∗
Dr. Adolphe Kimbonguila, Maître-Assistant A CAMES, UMNG/ENSP Fin du TD N◦2 de MécaFlu & Hydraulique