Cours Physique : Mouvement d'un Projectile

Thierry CHAUVET Terminale S - Page 1/8 Sciences Physiques au Lycée
Cours
Physique - P11
Mouvement d'un projectile
1- Généralités
On appelle projectile tout corps lancé au voisinage de la Terre avec une vitesse initiale V0
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
⃗
faisant un angle avec l'horizontale.
En mécanique le mouvement d’un corps dépend de l’accélération (donc des forces) et des
conditions initiales (vitesse et position).
1-1- Définition du système
Le système étudié est le projectile dans le référentiel terrestre supposé galiléen. On y
associe le repère cartésien (O; i
⃗, j ⃗, k
ሬ
⃗
).
1-2- Bilan des forces extérieures
Le projectile M (système) se déplaçant dans le référentiel Terrestre peut être soumis à
diverses forces (poids P
ሬ
⃗
, poussée d'Archimède P
ሬ
ሬ
ሬ
⃗
, forces de frottement fluides f
ሬ
⃗
, etc.).
Toutefois, on ne tiendra compte ni de la poussée d'Archimède, ni de la force de
frottement fluide exercée sur le projectile.
On assimilera le projectile à un point matériel M.
z
x
V
0
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
⃗
P
ሬ
⃗
f
ሬ
⃗
P
ሬ
ሬ
ሬ
⃗
V
ሬ
ሬ
⃗
y
O

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La seule force qui agit est le poids P
ሬ
⃗
= m.g
ሬ
⃗
du corps: le solide est en "chute libre".
1-3- Utilisation de la seconde loi de Newton
On applique la seconde loi de Newton dans le référentiel terrestre où l’application du
théorème du centre d’inertie donne:
෍Fext
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
⃗
= P
ሬ
⃗
= m.g
ሬ
⃗
= m.a
ሬ
⃗
C'est-à-dire avec:
a
ሬ
⃗
= g
ሬ
⃗
Etant donné que le mouvement se fait dans une petite région l’accélération est constante,
et ne dépend ni de la masse de l’objet, ni de la manière dont il a été lancé: on dira que le
champ de pesanteur g
ሬ
⃗
est invariant.
1-4- Conditions initiales
Le projectile est lancé depuis le point O, choisi comme origine. Le plan d’étude choisi est le
plan (xOz) contenant le vecteur vitesse initiale V0
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
⃗
et le vecteur champ de pesanteur g
ሬ
⃗
.
OM
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
⃗
ቮx0= 0
y0= 0
z0= 0
V0
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
⃗
ቮVx0 = V0.cosa
Vy0 = 0
Vz0 = V0.sina
a
ሬ
⃗
= -g.k
ሬ
⃗
ቮax= 0
ay= 0
az= -g
z
x
V0
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
⃗
P
ሬ
⃗
V
ሬ
ሬ
⃗
g
ሬ
⃗
y
O

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2- Les équations du mouvement
Le mouvement s'effectuant dans le plan (xOy), les composantes des vecteurs suivant l'axe
Oy seront toujours nulles.
2-1- Equation horaire du vecteur vitesse
L'accélération a
ሬ
⃗
étant la dérivée de la vitesse v
ሬ
⃗
, on en déduit le vecteur vitesse v
ሬ
⃗
en
recherchant la primitive de l'accélération:
dv
ሬ
⃗
dt =a
ሬ
⃗
⟺v
ሬ
⃗
=නa
ሬ
⃗
.dt
Soit en passant par les composantes:
a
ሬ
⃗
ተ
ተ
dvx
dt = 0
dvy
dt = 0
dvz
dt = -g
⇔v
ሬ
⃗
ቮvx= V0.cosa
vy= 0
vz= -g.t + V0.sina
Les constantes d'intégration dépendant des
conditions initiales.
On constate que la composante vxde la vitesse v
ሬ
⃗
est indépendante du temps, tandis que la
composante vzest une fonction affine du temps.
D'où le graphique ci-contre représentant
l'évolution temporelle des composantes du
vecteur vitesse v
ሬ
⃗
.
2-2- Equation horaire du vecteur position
La vitesse v
ሬ
⃗
étant la dérivée de la position OM
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
⃗
, on en déduit le vecteur position OM
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
⃗
en
recherchant la primitive de la vitesse:
dOM
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
⃗
dt = v
ሬ
⃗
⟺OM
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
⃗
=නv
ሬ
⃗
.dt
v
x
v
y
t
O

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Soit en passant par les composantes:
v
ሬ
⃗
ተ
ተ
vx=dx
dt = V0.cosa
vy=dx
dt = 0
vz=dx
dt = -g.t + V0.sina
⇔OM
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
⃗
ተ
ተ
x = V0.cosa.t
y = 0
z = - 1
2.g.t2+ V0.sina.t
Les constantes d'intégration dépendant des conditions initiales.
On constate que la composante xde la position
OM
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
⃗
est une fonction linéaire du temps, tandis
que la composante zest une fonction parabolique
du temps.
D'où le graphique ci-contre représentant
l'évolution temporelle des composantes du
vecteur position OM
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
⃗
.
2-3- Equation de la trajectoire du projectile
L’équation de la trajectoire est une fonction de la forme z = f(x), puisque le mouvement a
lieu dans le plan (xOz).
Il est nécessaire d’éliminer le paramètre t, en utilisant l’équation horaire x(t) établie
précédemment:
x = V0.cosa.t ⇒t = x
V0.cosa
En injectant cette expression dans la seconde équation horaire, il vient:
z = - 1
2.g.t2+ V0.sina.t ⇒z(x)= - g
2.V0
2.cos2a.x2+ tana.x
Cette équation est celle d'une fonction parabolique.
x
z
t
O

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2-4- Expression de la flèche
La flèche correspond à l’altitude maximale atteinte (zS= H). Cette altitude correspond au
sommet S de la trajectoire.
Pour déterminer la valeur de la flèche zS, on peut remarquer qu'en ce point S:
– La composante verticale de la vitesse est nulle: vzS = 0.
– La tangente à la courbe est horizontale, donc: ቀdz
dxቁS=0.
Remarque: Au point S la vitesse vS
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
⃗
du projectile n'est pas nulle, seule sa composante
verticale vzs est nulle.
Première méthode: basée sur le raisonnement physique, elle est la plus rapide et sera
donc privilégiée.
La composante verticale vzs de la vitesse étant nulle, on aura:
vzs = -g.tS+ V0.sina= 0 ⇒tS=V0.sina
g
En injectant cette expression dans la seconde équation horaire, il vient:
zS= - 1
2.g.t2+ V0.sina.tS⇒H = zS= - V0
2.sin2a
2.g
z
x
V0
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
⃗
H
v
S
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
⃗
g
ሬ
⃗
O
z
S
x
S
S