NO U A E V U CM1 CYCLE 3 p a C s h t a M GUIDE DE L’ENSEIGNANT � Le mode d’emploi � La démarche � Les partis-pris � Le déroulement des séances � Tous les corrigés DIRECTEUR DE COLLECTION ROLAND CHARNAY Professeur de mathématiques a uvelle orth o no ap gr he C es www.orthographerecommandee.info et onforme à tc l BERNARD ANSELMO Professeur de mathématiques GEORGES COMBIER Professeur de mathématiques Avec la participation de MARIE-PAULE DUSSUC Professeure de mathématiques MATHIAS FRONT Professeur de mathématiques en INSPE DANY MADIER Professeure des écoles ALINE RAVOUX Professeure des écoles p te u b l i ca ti o n Responsable d’édition : Corinne Caraty Édition : Marie Bouvet-Landat, Camille Prada Maquette : Sophie Duclos Mise en page : Marse Schémas : Marse, Lionel Buchet Illustrations : Lymut, Vincent Brascaglia © Hatier, Paris, 2020 – ISBN : 978-2-401-06338-9 Sous réserve des exceptions légales, toute représentation ou reproduction intégrale ou partielle, faite, par quelque procédé que ce soit, sans le consentement de l’auteur ou de ses ayants droit, est illicite et constitue une contrefaçon sanctionnée par le Code de la Propriété Intellectuelle. Le CFC est le seul habilité à délivrer des autorisations de reproduction par reprographie, sous réserve en cas d’utilisation aux fins de vente, de location, de publicité ou de promotion de l’accord de l’auteur ou des ayants droit. 2 Sommaire du guide de l’enseignant CM1 ■ Présentation de Cap Maths CM1 La nouvelle édition de Cap Maths CM1 : les 4 grandes nouveautés .......................... 4 Le matériel de substitution ........................................................................................................................... 6 Les outils essentiels............................................................................................................................................ 7 Les outils complémentaires ......................................................................................................................... 8 Organiser ses séances de mathématiques ...................................................................................... 9 Différencier et consolider............................................................................................................................ 10 Évaluer......................................................................................................................................................................... 11 Principaux apprentissages.......................................................................................................................... 12 Nos choix pour la résolution de problèmes............................................................................... 14 Nos choix pour le calcul mental.......................................................................................................... 16 Nos choix pour les fractions .................................................................................................................. 18 Nos choix pour la numération décimale.......................................................................................20 Nos choix pour la multiplication et la division.........................................................................22 Nos choix pour les grandeurs et les mesures ......................................................................... 24 Nos choix pour l’espace et la géométrie...................................................................................... 26 Mode d’emploi du glisse-nombre ......................................................................................................... 28 Présentation du logiciel Géotortue ......................................................................................................30 Présentation du logiciel Apprenti Géomètre................................................................................34 Pour conclure ........................................................................................................................................................37 ■ Description et commentaire des activités Unité 1.........................................................................................................................................................................38 Unité 2......................................................................................................................................................................... 70 Unité 3......................................................................................................................................................................104 Unité 4......................................................................................................................................................................138 Unité 5...................................................................................................................................................................... 170 Unité 6..................................................................................................................................................................... 204 Unité 7..................................................................................................................................................................... 238 Unité 8......................................................................................................................................................................272 Unité 9..................................................................................................................................................................... 304 Unité 10.................................................................................................................................................................. 338 3 La nouvelle édition de CAP MATHS CM1 Cap Maths CM1 est marquée par des progressions renouvelées en profondeur, notamment pour l’apprentissage des fractions et des nombres décimaux qui commence plus tôt dans l’année, permettant une meilleure familiarisation des élèves avec ces nouveaux concepts. ◗ Cette nouvelle édition de Quatre autres nouveautés viennent enrichir et faciliter le travail des élèves et des enseignants. Une mallette de matériel CM Pourquoi ? Alléger le travail de préparation des activités Elle contient le matériel indispensable pour la mise en œuvre des activités de CM1 et CM2. Conçue pour une quinzaine d’élèves, elle peut suffire pour une classe entière. Matériel pour une utilisation individuelle ou par équipe Pour les nombres et la numération décimale Pour la mesure et la géométrie 7 tables de Pythagore et 7 lots de 81 cartes résultat 8 horloges graduées en heures et en minutes (minutes numérotées de cinq en cinq) 15 règles graduées en demis et quarts 15 règles graduées en tiers et sixièmes 15 règles graduées en dixièmes 15 règles graduées en dixièmes et centièmes 15 quadrillages (cases de 1 cm de côté) 20 surfaces unités 90 surfaces dixièmes 90 surfaces centièmes 90 surfaces millièmes 15 équerres 15 réquerres 15 guide-ânes 15 lots de 8 gabarits polygonaux Matériel pour une utilisation collective Pour les nombres et la numération décimale Pour la mesure et la géométrie 40 plaques de 100 cubes 20 barres de 10 cubes 50 cubes isolés 1 grande horloge graduée en heures et en minutes (heures numérotées et minutes numérotées de cinq en cinq) 1 grande horloge graduée en heures et en minutes (heures numérotées) 1 glisse-nombres 100 cartes chiffres de 0 à 9 pour le glisse-nombres 3 bandes (longueurs, masses, contenances) à adapter sur le glisse-nombres 1 grande équerre 1 grande réquerre 1 grand guide-âne 13 grands quadrilatères 7 posters recto verso (adaptés au feutre effaçable) Les enseignants ne disposant pas de la mallette pourront mener à bien les activités soit en fabriquant le matériel à partir des fiches à télécharger et à imprimer sur le site hatier-clic.fr , soit en utilisant du matériel déjà présent dans la classe. Pour le CM1, les solutions de remplacement pour chaque matériel sont indiquées p. 6. 4 Les 4 grandes nouveautés Dans le manuel, des ateliers de calcul mental et de résolution de problèmes (dans chaque unité) UNITÉ Ateliers 5 Pourquoi ? Renforcer la maitrise des essentiels en calcul mental Assurer le sens des opérations et la résolution de problèmes « à étapes » UNITÉ Je résous à mon rythme Ateliers 2 ou problèmes calcul mental La multiplication ou jeu 1 Trouver les cartes A 1 B Résous ces problèmes. N’oublie pas d’écrire la phrase réponse. 1 Le lundi, le cinéma « Charlot » propose 3 séances. À la séance de 14 h, il a accueilli 275 spectateurs. À celle de 17 h, il y a eu 83 spectateurs de moins qu’à la séance de 14 h. À celle de 20 h, il y a eu 85 spectateurs de plus qu’à la séance de 14 h. Au total, combien de spectateurs sont allés au cinéma « Charlot » le lundi ? 2 4 Une course cycliste se déroule sur un circuit de 16 km. Le coureur qui est en tête de la course a déjà fait 12 tours de circuit. Au total, il doit parcourir 240 km. Combien doit-il encore faire de tours de circuit ? 2 Dans un magasin d’informatique, la maman d’Hugo regarde un ordinateur qui est affiché à 749 €. Elle dit au marchand : Je n’ai pas assez d’argent pour l’acheter. Le marchand lui répond : Je peux faire une réduction de 50 €. La maman d’Hugo est contente : C’est bien, je l’achète et il me restera encore 25 €. Quelle somme d’argent la maman d’Hugo avait-elle avant l’achat ? ★ Pour aller à l’école, Camille parcourt 480 mètres à pieds. Louise parcourt 275 mètres de plus. Thomas, lui, doit parcourir une distance triple de celle de Camille. Combien de mètres Louise parcourt-elle de moins que Thomas ? • une table de Pythagore comme celle-ci • une boite contenant 18 jetons de 1 à 9 (chaque jeton est en double) • des cartes posées sur la table. ➞ mallette 3 ★ La population de la ville de Reims est de 183 000 habitants. Cette ville compte 159 000 habitants de moins que Nice et 28 000 habitants de plus que Dijon. Quelles sont les populations de Nice et de Dijon ? • une calculatrice Règle du jeu • Tirer 2 jetons au hasard, par exemple 4 et 6 . • Chercher les cartes qui portent les résultats de 4 × 6 et 6 × 4 et les placer, à leur place, sur la table de Pythagore. • Vérifier avec la calculatrice. Toute carte mal placée est remise dans les cartes non utilisées. • Remettre les jetons dans la boite et procéder à un nouveau tirage. • Continuer jusqu’à ce que toutes les cartes soient placées. Pour ces problèmes, réponds d’abord sans utiliser la calculatrice. Vérifie ensuite en utilisant la calculatrice. 1 ou Matériel Sur un circuit piéton, des bornes ont été placées pour indiquer aux marcheurs à quelle distance ils se trouvent du point de départ, en mètres. Manon passe d’abord devant la borne 150. Elle marche encore un peu et arrive devant la borne 500. Elle sait alors qu’elle se trouve à 750 m de l’arrivée. C Une chemise blanche coute 15 € 50 c de moins qu’une chemise bleue et 7 € de plus qu’une chemise rose. Monsieur Beau achète une chemise blanche, une chemise bleue et une chemise rose. Combien Monsieur Beau dépense-t-il pour l’achat de ces 3 chemises ? 3 Écris deux questions pour ce problème, puis réponds à ces questions. Ces ateliers sont destinés à un travail des élèves en autonomie. jeu 2 Les mini-tables Matériel • une mini-table de Pythagore vide dessinée sur une feuille • une boite contenant 18 jetons de 1 à 9 (chaque jeton est en double). Le cœur d’un bébé bat très vite, au rythme de 120 battements par minute. C’est 30 battements de plus par minute qu’un enfant de 9 ans et le double du nombre des battements d’un adulte sportif au repos. Quel est le nombre de battements de cœur en 1 heure pour : a. un bébé ? b. un enfant de 9 ans ? c. un adulte sportif au repos ? Règle du jeu • Tirer un jeton, écrire le nombre sur une case bleue (par ex. 4 ), en tirer un deuxième (par ex. 5 ), écrire le nombre sur une autre case bleue… jusqu’à avoir un nombre dans chaque case bleue. • Écrire les résultats dans les cases blanches. • Vérifier avec la calculatrice. quatre-vingt-sept • 87 36 • trente-six 072-088-Unite 5.indd 87 22/01/2020 17:58 Le Dico-Maths dédié au CM1 DICO DICO Les fractions égales 11 Pourquoi ? Fournir une trace écrite commune pour les principaux apprentissages 1 = 2 3 6 12 = 120 10 100 car dans 1 tiers d’unité il y a 2 sixièmes d’unité. car dans 1 dixième d’unité il y a 10 centièmes d’unité 1u car dans un demi il y a 5 dixièmes d’unité. 12 1u 17 u 3 1u DICO 5 u 10 14 3 u 3 3 u 3 2 u 3 La partie entière de 17 est 5. 3 Les fractions décimales 1 1 unité 123 centièmes 3 =1 3 1u 3 u 3 10 = 1 10 1u 10 u 10 3 centièmes 1 (un centième) représente une des parts obtenues quand on partage l’unité en 100 parts égales. 100 1 10 100 centièmes = 1 unité ou 100 = 1 = 10 centièmes = 1 dixième ou 100 10 100 1u 4 u 3 2 dixièmes 1 (un dixième) représente une des parts obtenues quand on partage l’unité en 10 parts égales. 10 10 dixièmes = 1 unité ou 10 = 1 10 Si le numérateur est supérieur au dénominateur, la fraction est supérieure à 1. 1 u ou 3 u 3 1 u 3 Une fraction décimale peut se décomposer en unités de numération. 123 centièmes = 100 centièmes + 20 centièmes + 3 centièmes 123 = = 1 unité + 2 dixièmes + 3 centièmes 100 Si le numérateur est inférieur au dénominateur, la fraction est inférieure à 1. Le Dico-Maths est utilisable librement ou sous le contrôle de l’enseignant 1 + 2 + 1 100 10 Si tu as oublié la valeur d’un chiffre, tu peux utiliser un tableau de numération. 1u 2 u 3 8 3 u 3 0 Si le numérateur est égal au dénominateur, la fraction est égale à 1. 2 < 1 (c’est 1 de moins que 1) 3 3 3 u 3 Une fraction décimale est une fraction qui a pour dénominateur 10, 100... 123 est une fraction décimale. Elle se lit « cent-vingt-trois centièmes ». 100 Comparer une fraction avec 1 4 > 1 (c’est 1 de plus que 1) 3 3 3 u 3 17 = 15 + 2 = (5 × 3 ) + 2 = 5 + 2 3 3 3 3 3 3 1 u 2 2 u 6 DICO 17 Partie entière de 3 Dans 17 tiers, il y a 5 fois 3 tiers et encore 2 tiers : 1 = 5 2 10 donc dans 12 dixièmes il y a 120 centièmes. 1 u 3 Partie entière d’une fraction 13 La partie entière d’une fraction est le nombre d’unités qu’elle contient. Pour savoir si deux fractions sont égales, il faut réfléchir à ce qu’elles représentent. centaines dizaines unités (100) (10) (1) ( 101 ) 1 ( 100 ) 1 2 3 2 u 3 dixièmes centièmes • NOMBRES NOMBRES • 9 DicoMath_p001-048_BAT2.indd 8 20/01/2020 11:23:12 DicoMath_p001-048_BAT2.indd 9 20/01/2020 11:23:13 Un guide réorganisé et allégé UNITÉ Toutes les ressources imprimables de l'unité : hatier-clic.fr/CM1capg01 Le DÉROULEMENT 1 ZOOM sur les APPRENTISSAGES LE CALCUL MENTAL Les 10 rituels de 15 minutes Problèmes guide p. 40 manuel p. 6 Nombres Lecture – écriture Champ additif n Total, complément, état initial Champ multiplicatif n Valeur totale des parts identiques, nombre de parts identiques, valeur d’une part n PROBLÈMES PROPOSÉS Calcul mental : automatismes Doubles et moitiés Nombres <10 000 n Problèmes Nombres simples Répertoire additif, calcul sur les dizaines et les centaines n Ateliers de calcul mental Sommes, différences, compléments Stratégies de résolution • Résoudre un problème en utilisant une stratégie adaptée. Procéder par une série d'essais raisonnés, en tenant compte des informations apportées par les essais précédents. • Résoudre un problème comportant 2 contraintes apprentissage 1 UNITÉ 1 guide p. 67 manuel p. 20 PROBLÈMES PROPOSÉS Les dés comptent / Le quinze vainc / Des montagnes de nombres propriétés Addition, soustraction : mémorisation, calcul réfléchi RÉVISER 10 ou 11 séances de 15 min • Langage verbal : en unités de numération, en lecture usuelle, plus petit et plus grand, inférieur et supérieur • Comparer et ranger des nombres apprentissage 2 APPRENDRE langage • Langage symbolique : écritures chiffrées, < > • Associer diverses expressions des nombres (chiffrées, verbales, en unités de numération) • Relations entre unités de numération • Comparer et ranger jusqu’à 9 999 des quantités données sous diverses formes Les RÉVISIONS et APPRENTISSAGES résultats et procédures • Valeur positionnelle des chiffres Nombres entiers • Langage imagé : groupements en milliers, centaines et dizaines 10 ou 11 séances de 45 min guide p. 44 manuel p. 8 Problèmes : stratégies de résolution Problèmes Gestion de données La tirelire ex. 1 à 4 Calculs Addition, soustraction – Unités de numération : relations entre ces unités – Valeur positionnelle des chiffres ; décompositions – Comparaison, rangement – Écriture en chiffres et en lettres guide p. 42 manuel p. 7 – Calcul réfléchi (addition, soustraction, multiplication) – Calculatrice guide p. 51 manuel p. 12 PROBLÈMES PROPOSÉS Calcul de sommes et de différences La méthode la plus rapide guide p. 58 manuel p. 16 ex. 7 Lecture de l’heure Grandeurs et mesures Durées propriétés ex. 1 à 3 – Polygones : description – Carrés, rectangles : construction PROBLÈMES PROPOSÉS propriétés Géométrie sur écran Je prépare mon bilan BILAN manuel p. 18 hatier-clic.fr/CM1capgecran01 manuel p. 19 Espace et géométrie Polygones, carrés, rectangles Je fais le bilan cahier p. 8 cahier p. 8 apprentissage 6 Ateliers : Je résous à mon rythme n Problèmes du domaine additif manuel p. 21 langage Langage verbal : heure, minute, seconde, horloge à affichage, horloge à aiguilles, expression d’un horaire en heures et minutes • Expression de l’horaire par ajout de minutes par rapport à l’heure passée ou par retrait par rapport à l’heure suivante Polygones, carrés, rectangles Quel est ce polygone ? GéoTortue (1) : Découverte du logiciel PROBLÈMES résultats et procédures • Repérage de la position des aiguilles guide p. 61 cahier p. 5 Angles droits – Reconnaissance et tracé langage Sur une horloge à aiguilles : • Unités de durée : heure, minute, seconde et leurs relations • Lire l’heure apprentissage 5 C’est quelle heure ? – Lire l'heure en heures, minutes et secondes sur une horloge à aiguilles guide p. 43 cahier p. 4 Espace et géométrie • Équivalence entre calcul d'une différence et calcul d'un complément Écarts et différences – Soustraction : propriété de conservation des écarts – Calcul réfléchi de différences guide p. 54 manuel p. 14 guide p. 42 manuel p. 7 La règle graduée • Conservation des écarts La course d’escargots ex. 5 et 6 – Règle graduée en cm et mm résultats et procédures • Utiliser les propriétés • Langage symbolique : pour calculer une somme +, –, = , parenthèses ou une différence par • Langage verbal : calcul réfléchi addition, somme, • Calculer une somme soustraction, ou une différence en différence, posant les opérations complément en colonnes • Commutativité et associativité pour l'addition • Calculer des écarts • Calculer des sommes et des différences apprentissages 3 et 4 – Addition, soustraction : calcul réfléchi et calcul posé – Appui sur les propriétés des opérations et sur la numération décimale Grandeurs et mesures propriétés guide p. 48 manuel p. 10 Les nombres jusqu’à 9 999 Les cubes – Unités de numération – Décompositions – Écriture en chiffres et en lettres – Ligne graduée Parenthèses, calcul mental et calculatrice Calculs PROBLÈMES PROPOSÉS – Résolution par essais et ajustements guide p. 41 manuel p. 7 Les nombres jusqu’à 999 Nombres et numération • Reconnaitre un polygone à partir d’une description, décrire un polygone • Construire un carré, un rectangle résultats et procédures • Identifier les caractéristiques d’un polygone • Propriété du triangle rectangle • Reporter une longueur avec une règle graduée La monnaie en euros • Langage verbal : polygone, côté, sommet, angle droit, carré, rectangle, longueur, largeur, côtés opposés • Tracer un angle droit • Langage symbolique : codage d’un angle droit • Construire un carré, un rectangle connaissant la longueur de leurs côtés Les maths dans la vie n langage • Propriétés du carré et du rectangle relatives aux côtés et aux angles droits manuel p. 22 Au début de chaque unité : – Un tableau de synthèse présente toutes les activités de calcul mental, révision et apprentissage. – Un zoom sur les nouveaux apprentissages présente les objectifs poursuivis. 38 39 UNITÉ Calculs de sommes et de différences 1 LaJeméthode plus larapide cherche Lala méthode plus rapide apprentissage 4 A B Trois additions a. 1 658 + 896 termes du calcul demandé. Par exemple, dans le calcul 299 + 1 300 + 1 001, on peut associer le 1 de 1 001 à 299 pour former la somme 300 + 1 300 + 1000, égale à la première mais plus facile à calculer. La calculatrice est interdite. Effectue chaque calcul avec la méthode de ton choix. Choisis la méthode la plus rapide possible. Pour les soustractions, vérifie ton résultat en calculant une autre opération. Trois soustractions a. 2 048 – 299 b. 299 + 1 300 + 1 001 b. 7 003 – 1 646 c. 985 + 115 c. 5 000 – 2 640 Réponses : a. 2 554 b. 2 600 c. 1 100 ◗ ADDITIONNER, SOUSTRAIRE 29-30-31 5 DICO Calcule la somme puis la différence de : ★ 4 milliers 7 dizaines 8 unités de numération ➞ Mallette •1 matériel et Calcule avec la méthode de ton choix : 589 + 501 PARa. ÉLÈVE b. 2 758 + 563 INCONTOURNABLE DÉROULÉ DICO c. le chiffre des dizaines de : 896 + 1 687 + 899 a. 753 − 210 d. 5 004 − 287 3 b.Fais Recherche de contrôler la question B un autre calcul pour tes résultats. 4 Exploitation effectuer complètement les calculs, 5 Sans Entrainement a. le chiffre des unités et le chiffre des dizaines de : 3 046 − 753. b. le chiffre des dizaines de : 3 046 − 318. b. 6 ■ 7 + 1 4 ■ ■ 0 6 c. ■ ■ ■ ■ 9 5 9 Individuel puis+ collectif 4 0 1 5 Individuel d. ■ 5 6 0 1 4 5 6 Collectif ■ ■ ■ 9 8 9 + 2 ■ 7 ■ 2 0 4 0 Individuel 6 0 ■ 5 + 1 ◗ DIFFICULTÉS ÉVENTUELLES – Pour effectuer les calculs Aide Mettre à disposition des tables d’addition et de soustraction, éventuellement une calculette pour vérifier les résultats obtenus. RECHERCHE c. le chiffre des centaines de : 3 046 − 329. 14 • Comment calculer des sommes ou des différences le plus rapidement possible ? quatorze 006-022-Unite 1.indd 14 UNITÉ – Soustraction posée en colonnes. – Calcul en ligne en utilisant une technique de soustraction posée en colonnes. – Calcul mental ou en ligne en utilisant une (ou des) décomposition(s) de nombre ou la propriété de conservations des écarts. avec les chiffres qui manquent. 1 Présentation de la situation 7 Complète Collectif avec la méthode de ton choix : 2 a.Calcule Recherche de la question A 2 865 − 321 c. 4 032 − 1 707 3 4 ★★ trouve : Préciser à nouveau l’enjeu avant de lancer les calculs. ◗ PROCÉDURES POSSIBLES 9 centaines 8 dizaines 3 unités c. 474 + 8 765 + 89 d. 5 897 + 2 003 6 B Calcule la somme puis la différence de : • manuel p. 14, questions A et ★ 2 milliers 1 centaine 5 unités Sans effectuer complètement calculs, et ou feuillelesde recherche • brouillon trouve : 1 millier 9 dizaines 6 unités a. le chiffrede des unités et le chiffre mathématiques • cahier des dizaines de : 2 485 + 638 + 87 COMPLÉTER DES ADDITIONS 31-32 ◗ ET pour en difficulté (vérification) • calculatrice b. le chiffre des centaines de :les 4 890élèves + 983 DES SOUSTRACTIONS POSÉES 2 INCONTOURNABLE Les procédures possibles mises en place par les élèves. ● POUR LA CLASSE INCONTOURNABLE MATÉRIEL 3 Recherche individuelle de la question B Je m’entraine ● pour 7 003 – 1 646 : le calcul posé peut être le plus rapide et le plus sûr, du fait qu’aucune décomposition simple des nombres n’apparait. ● pour 5 000 – 2 640 : toutes les méthodes sont envisageables, sans supériorité évidente de l’une sur l’autre. 23/01/2020 18:38 1 Présentation collective de la situation Présenter l’enjeu : choisir entre plusieurs méthodes (calcul mental, calcul en ligne, opération posée en colonnes) celle qui permet à chacun d’obtenir le résultat le plus rapidement possible. ● Préciser la tâche : Ce qui doit être explicité et verbalisé lors de la mise en commun. ● ➞ Vous devrez calculer les trois additions de la question A. Vous pouvez utiliser votre brouillon. Seul l’usage de la calculatrice est interdit. 2 Recherche individuelle puis collective de la question A ● Pendant la recherche, observer les procédures utilisées. ◗ PROCÉDURES POSSIBLES Les difficultés éventuelles des élèves et les aides qu’on peut leur apporter. – Addition posée en colonnes. – Calcul en ligne en utilisant la technique précédente, c'est-à-dire en ajoutant les unités avec les unités, les dizaines avec les dizaines... – Calcul mental ou en ligne en utilisant une (ou des) décomposition(s) de nombre pour ensuite associer des termes dont le calcul de la somme est plus aisé. ◗ DIFFICULTÉS ÉVENTUELLES – Pour effectuer les calculs Aide Mettre à disposition des tables d’addition et de soustraction, éventuellement une calculette pour vérifier les résultats obtenus. Faire un inventaire rapide des réponses et des méthodes utilisées pour chaque calcul et souligner en synthèse que, même avec des grands nombres, le calcul posé n’est pas toujours le plus rapide et qu’on peut effectuer l’opération parfois plus vite en décomposant et en recomposant des ● 4 Exploitation collective Recenser les réponses et les méthodes utilisées pour effectuer les calculs et les vérifier. ● Réponses : a. 1 749 b. 5 357 c. 2 360 EXPLICITATION, VERBALISATION ◗ S’appuyer sur les propositions des élèves, pour faire expliciter la technique de calcul posé qu’ils utilisent et constater qu’éventuellement certaines peuvent être différentes. Si nécessaire, reprendre les explications par groupes d’élèves ayant une même technique, en insistant sur les justifications des différentes étapes de leur calcul (avec un appui éventuel sur le matériel de numération). ◗ Rappeler qu’il est possible de vérifier le résultat d’une soustraction en effectuant la somme de son deuxième terme et de son résultat. ◗ Faire remarquer que, comme pour l’addition, le calcul posé n’est pas toujours le plus rapide, même avec de grands nombres. ◗ Pointer quelques points de vigilance en cas de calcul posé : – aligner verticalement les chiffres à partir des unités ; – respecter de l’ordre des calculs : rang des unités, puis celui des dizaines… ; – ne pas oublier les retenues (les noter si nécessaire). Le terme de « retenue » est abusif pour le cas de la technique de soustraction par emprunt. En effet, dans ce cas, on ne « retient » aucun chiffre à soustraire au rang suivant. TRACE ÉCRITE Faire noter dans le cahier quelques méthodes utilisées par les élèves pour calculer 5 000 – 2640. Garder éventuellement une trace collective de la (ou des) technique(s) de soustraction posée utilisée(s) par la classe. 55 Les traces écrites à fournir aux élèves soit en affichage collectif, soit en individuel. 5 Le matériel de substitution pour le CM1 ◗ Les fiches à télécharger sont regroupées à cette adresse : hatier-clic.fr/CM1capgsubst Matériel pour une utilisation individuelle ou par équipe Pour les nombres et la numération décimale Tables de Pythagore et lot de 81 cartes résultat Règle graduée en demis et quarts Règle graduée en tiers et sixièmes Règle graduée en dixièmes Règle graduée en dixièmes et centièmes ➝ fiches S1 et S2 à télécharger ➝ fiche S3 à télécharger Pour la mesure et la géométrie Horloge graduée en heures, minutes et secondes Équerre Réquerre Guide-âne ➝ fiche S4 à télécharger Photocopie sur du papier fort et montage avec une attache parisienne ➝ équerre du commerce ➝ réquerre du commerce (papèterie spécialisée ou vente en ligne) ➝ fiche S5 à télécharger Photocopie sur du papier calque ou feuilles de transparents Matériel pour une utilisation collective Pour les nombres et la numération décimale Matériel de numération Glisse-nombre + Cartes chiffres + 1 bande mesures Plaques millier, centaine, dizaine et unité ➝ fiches S6 et S7 à télécharger ➝ fiches S8 et S9 à télécharger Photocopie du glisse-nombres sur du papier fort Pour une utilisation optimale, prévoir 4 jeux de cartes chiffres ➝ fiche S10 à télécharger Pour la mesure et la géométrie 1 horloge graduée en heures, minutes et secondes (minutes et secondes numérotées de cinq en cinq) 1 horloge graduée en heures, minutes et secondes (sans numérotation des minutes et secondes) Grande équerre Grande réquerre Grand guide-âne Quadrillage 24 × 15 Réseau pointé 24 × 15 6 ➝ horloge à aiguilles avec trotteuse de la classe ou horloge interactive en ligne hatier-clic.fr/CM1capghorllign ➝ horloge à aiguilles avec trotteuse de la classe ou horloge interactive en ligne hatier-clic.fr/CM1capghorllign ➝ équerre de tableau ➝ règle-équerre pour tableau (marque Aleph par exemple) ou fiche S11 à télécharger ➝ fiche S12 à télécharger ➝ quadrillage du tableau ou fiche S13 à télécharger ➝ fiche S14 à télécharger Les outils essentiels Cap Maths CM1 POUR L’ENSEIGNANT Le Guide de l’enseignant CM1 Roland Charnay Bernard Anselmo Georges Combier Marie-Paule Dussuc CYCLE 3 Dany Madier NOUVE Cap AU Maths GUIDE DE L’ENSEIGNANT Le site Il rassemble tous les supports utiles à la mise en œuvre de certaines activités ainsi que des compléments sur les choix de Cap Maths pour chaque domaine. Indispensable pour l’enseignant, c’est le pivot de la méthode. ANT NSEIGN DE L’E GUIDE Le mode d’emploi La démarche Les partis-pris hatier-clic.fr • le descriptif des séances de géométrie sur écran L’explicitation détaillée de la conduite des séances en classe pour chacune des 10 unités : et les fichiers informatiques • calcul mental quotidien • révision des acquis précédents • nouveaux apprentissages • bilan de fin d’unité • ateliers de calcul mental • ateliers de résolution de problèmes • les maths dans la vie (banques de problèmes) • activités de géométrie sur écran À photocopier ou vidéoprojeter : • des fiches de travail pour certaines activités • des fiches de matériel • des exercices complémentaires (en géométrie et mesures) • les relevés de compétences pour chaque bilan de fin d’unité • les évaluations trimestrielles et les relevés de compétences associées POUR L’ÉLÈVE Le manuel Nombres, calculs et mesures CM1 CYCLE 3 Pour l’enseignant Le guide de l’enseignant Faciliter la mise en œuvre de la méthode ■ calcul mental ■ manipulation ■ trace écrite ■ entrainement ■ apprentissage ■ différenciation Inclus : le téléchargement de ressources imprimables ou modifiables • • • les fiches matériel les évaluations périodiques et les fiches de suivi associées à vidéoprojeter : la scène illustrée qui introduit l’unité Pour l’élève Le manuel Le cahier de géométrie ✚ le Dico-Maths Problèmes, nombres, calculs, grandeurs et mesures CM1 Roland Charnay Bernard Anselmo Georges Combier Marie-Paule Dussuc Dany Madier N O U VE Cap CYCLE 3 AU NOUVE AU Maths Bernard Anselmo Georges Combier CYCLE 3 Dany Madier AU N O U VE Cap Maths Au CM1, tu apprendras beaucoup de choses nouvelles. Le Dico-Maths et son index sont là pour t’aider à retrouver une méthode, une définition, le sens d’un mot. S O-MATH LE DIC Voici 2 exemples Tu ne sais plus comment lire un nombre décimal ? NOMBRES Pour la classe S BLÈME CALCULS PRO Va à l’index. À « Nombre décimal », tu trouves des numéros de rubriques (n° 15 à 21 ). Ces rubriques expliquent comment lire et écrire les nombres décimaux. GRANDE ET MESU URS RES NOMBRES Tu ne sais plus comment on reconnait un prisme droit ? Va à l’index. À « Prisme droit », tu trouves un numéro de rubrique (n° 89 ) qui te donne une définition du mot. Tables de pythagores et cartes résultats, surfaces et régles graduées (fractions), cubes emboitables, cartes jeux, horloges, glisse-nombres et glisse-mesures, règles, équerres, formes géométriques, posters... Le site www.capmaths-hatier.com 46645 5 33334664 ISBN978-2-401-06337-2 : 978-2-401-06337-2 ISBN 9 782401 063372 Danger le photocopillage tue le livre Le photocopillage, c’est l’usage abusif et collectif de la photocopie sans l’autorisation des auteurs et des éditeurs. Largement répandu dans les établissements d’enseignement, le photocopillage menace l’avenir du livre, car il met en danger son équilibre économique. Il prive les auteurs d’une juste rémunération. En dehors de l’usage privé du copiste, toute reproduction totale ou partielle de cet ouvrage est interdite. Graphisme : Grégoire Bourdin ■ Illustration : Lymut La mallette de matériel CM Danger le photocopillage tue le livre Le photocopillage, c’est l’usage abusif et collectif de la photocopie sans l’autorisation des auteurs et des éditeurs. Largement répandu dans les établissements d’enseignement, le photocopillage menace l’avenir du livre, car il met en danger son équilibre économique. Il prive les auteurs d’une juste rémunération. En dehors de l’usage privé du copiste, toute reproduction totale ou partielle de cet ouvrage est interdite. 21/01/2020 14:52 06337_couv_CapMaths_CM1_11mm.indd Toutes les pages CYCLE 3 Marie-Paule Dussuc LE DICO-MATHS Grandeurs et mesures, espace et géométrie CM1 Roland Charnay CM1 Maths Cap Le dico-maths 34 2788 9 ISBN 978-2-401-06404-1 9 782401 064041 CALCULS GRANDEURSS ESPACE ET ET MESURE GÉOMÉTRIE L’utilisation de ces 3 outils est précisée dans le guide. Graphisme : Editions Hatier • Illustration : Philippe Derrien AU Maths Cap Maths CM1 N O U VE Cap Le Cahier Géométrie et mesures 06404_COUV_Dico_maths_CM1-V2.indd 1-2 20/01/2020 15:14:08 Le manuel comporte : Le cahier comporte : • les situations d’apprentissage • les exercices de calcul mental, de révision, d’entrainement • les bilans de fin d’unités • les ateliers de calcul mental et de résolution de problèmes • les pages « Maths dans la vie » (banques de problèmes) • les exercices de révision, d’entrainement • les bilans de fin d’unités POUR LA CLASSE La Mallette de matériel Elle contient le matériel nécessaire à la mise en œuvre des situations de Cap Maths CM1 et CM2. Son contenu est détaillé page 4. 7 Les outils complémentaires pour le CM1 et CM2 Ces outils sont à la disposition de l’enseignant pour enrichir son choix d’activités. Il peut y puiser librement, aidé par les indications fournies dans le Guide. • RESSOURCES NUMÉRIQUES POUR LA CLASSE Manuel numérique enrichi pour : – La vidéoprojection – Les préparations au bilan (QCM) interactives – Les opérations posées pas à pas dans les pages d’apprentissage associées Pour animer Avec l’enseignant les apprentissages en collectif ou avec un groupe d’élèves et les bilans Pour entrainer, consolider et différencier dans les cinq domaines du programme Avec l’enseignant en collectif ou avec un groupe d’élèves • LES SOLIDES DE L’ÉCOLE DU CP AU CM2 Collec ti on Cap Maths CYCLES Pourquoi une pochette de patrons de solides ? L es patrons en papier cartonné contenus dans cette pochette sont destinés à faciliter la tâche des enseignants. Ils sont prédécoupés et pré-pliés, ce qui entraine un gain de temps appréciable dans leur montage pour équiper une classe. Les solides ont été conçus pour couvrir toute la scolarité élémentaire, du CP au CM2. Un même lot de solides peut ainsi servir à tous les niveaux de l’école et leur construction être prise en charge par l’équipe éducative. Quels sont les solides contenus dans la pochette ? Leurs formes et leurs dimensions ont été choisies de façon à pouvoir placer les élèves en situation de résolution de problèmes et ainsi favoriser la construction des compétences mentionnées dans les programmes de cycles 2 et 3. Cette pochette contient 4 séries identiques de patrons de solides. Chaque série se compose de 16 patrons, tous différents : 2 cubes mides • 4 prismes droits tronquée Graphisme : Grégoire Bourdin ■ Illustration : Daniel Blancou Pour gagner Avec l’enseignant du temps dans en collectif ou avec la préparation un groupe des apprentissages de 4 ou 6 élèves de Géométrie solides_capmathsCE1.2.indd 1 • 1 cylindre • • • 3 pavés droits 1 hexaèdre 1 cône. • • 3 pyra- 1 pyramide Les solides de l’école 2et 3 À CONSTRUIRE Ro la nd C h a r n ay G e o r ge s Co m b i e r M a r i e - P a u le D u ss u c D a ny M a d i e r Pour rigidifier davantage les solides et en prolonger la durée d’utilisation, nous conseillons de les vernir une fois montés. Comment utiliser ces solides ? Une série est prévue pour équiper un groupe de quatre élèves, dans un fonctionnement optimal. Cela permet à chaque élève de pouvoir manipuler, comparer, classer les solides, dénombrer les faces, les arêtes et les sommets, prendre en main un solide de façon à le voir sous différents points de vue, etc. 78 9120 4 ISBN : 978-2-401-02333-8 19/05/2016 17:14 4 séries identiques de 16 solides différents, prédécoupés et pré-pliés sur des planches cartonnées en couleur qui permettent à chaque élève de manipuler les solides une fois montés. • 100 ACTIVITÉS ET JEUX MATHÉMATIQUES CM1-CM2 Activités et jeux regroupés par domaines afin d’entrainer ou de consolider des connaissances travaillées dans chaque unité. • CD-ROM JEUX INTERACTIFS CE2-CM1-CM2 En individuel Activités interactives qui complètent et prolongent certaines situations de Cap Maths. • APPLI CALCUL MENTAL CM1-CM2 Pour travailler le calcul mental En individuel Activités pour tablettes et smartphones (Apple et Androïd) : entrainement au calcul rapide et calcul réfléchi (5 à 6 niveaux de jeu par classe). Disponibles sur App Store et Playstore. • GUIDE D’ACTIVITÉS Avec l’enseignant Pour profiter des possibilités offertes par une calculatrice 8 • ACTIVITÉS ET EXERCICES POUR LA CALCULATRICE et en individuel Pour s’informer, discuter… POUR LA CALCULATRICE CYCLE 3 Activités qui peuvent être conduites avec une calculatrice sur différents apprentissages du domaine Nombres et calculs. Des exercices sur fiches photocopiables sont également proposés. www.capmaths-hatier.com – Le forum de discussion – Les guides en téléchargement gratuit – L’agenda des conférences des auteurs Organiser ses séances de mathématiques L’organisation en 10 unités de travail ◗ Dans Cap Maths, les apprentissages sont organisés sur 10 unités. Chaque unité se déroule sur environ 3 semaines et demie, soit 14 jours de classe. L’horaire officiel (5 heures hebdomadaires) conduit donc à consacrer quotidiennement, pour 4 jours de classe, 1 h 15 min aux mathématiques. Pour chaque journée de classe, nous proposons une organisation en 2 temps : Un temps de 30 minutes Calcul mental quotidien : 15 min Révision, reprise d'exercices : 15 min 10 jours Un temps de 45 minutes Apprentissages ou Consolidation 12 jours Je résous à mon rythme ou Maths dans la vie Préparation du bilan 3 jours 1 jour Maths dans la vie (suite) Bilan 1 jour 1 jour Nombres de jours prévus sur les 14 jours de chaque unité Cette organisation peut, bien entendu, être aménagée en fonction des particularités de chaque classe. D’autres activités (ateliers de calcul mental, escape-game, ateliers de consolidation) sont proposées sur des temps libres de la classe, dans des coins « mathématiques » ou en « activités ludiques » à la maison. Dans une classe à plusieurs cours ◗ Pour aider les enseignants chargés de ces classes, nous proposons trois pistes. > Des temps d’autonomie peuvent être dégagés pendant les moments de révision, les phases d’entrainement, les ateliers « problèmes ». > Les moments de recherche individuelle ou en équipe peuvent permettre à l’enseignant de se rendre disponible, pour un moment, afin de travailler avec d’autres niveaux, mais il doit cependant pouvoir observer ce que font les élèves en vue de l’exploitation collective. > Les séances de consolidation (remédiation, approfondissement) peuvent être organisées en ateliers plus ou moins autonomes selon les besoins des élèves. 9 Objectifs : – Élaborer une stratégie pour résoudre un problème et la mener à son terme – Mettre en forme et communiquer la solution UNITÉ La résolution d’un problème en commençant par faire un essai sur une réponse hypothétique n’est souvent pas familière aux élèves qui pensent que tout calcul doit correspondre à la recherche d’une information « vraie ». Pourtant, cette stratégie est souvent utile pour « rentrer dans un problème » et, parfois, pour en élaborer la solution par une série d’essais successifs. Pour être efficace et conduire à la solution, cette stratégie suppose que les élèves ne se limitent pas à faire des essais aléatoires mais, au contraire, tiennent compte de l’information qui peut être tirée des essais précédents pour ajuster un nouvel essai. Cette stratégie par essais et ajustements comporte donc une part de raisonnement et de déductions. Différencier et consolider Problèmes : stratégies de résolution 1 apprentissage 1 LaJetirelire cherche La tirelire A Cette première question a pour but de permettre à chaque élève de s’approprier la situation et d’en assimiler toutes les contraintes. Elle devrait être conduite assez rapidement. Dans sa tirelire, Tom a uniquement des pièces de 2 € et des billets de 5 €. Le nombre de pièces est le double du nombre de billets. Au total, dans sa tirelire, Tom a 9 €. Combien a-t-il de pièces de 2 € et de billets de 5 € ? Recenser les différentes réponses. Pour chacune d’elles faire contrôler si elle est compatible avec les données. Faire expliciter quelques stratégies, notamment celle consistant à tester une réponse et à vérifier si elle respecte les contraintes. Je m’entraine POUR CLASSE NOMBRES QUI SE SUIVENT ● Valider la réponse (2 pièces de 2 € et 1 billet de 5 €) en ◗ DES LA ◗ LONGUEURS DE RUBANS enveloppe contenant 1 billet de 5 €en mettant bout •1 une Milo pense à deux nombres(A) qui se suivent. 5 Aya réalise des rubans vérifiant sa conformité au contenu de l'enveloppe A. Il les2additionne et ilde trouve des bandes rouges de 3 cm et pièces 213.€ ➞ fiche 1 àetbout Quels sont ces deux nombres ? des bandes bleues de 5 cm. ● Conclure sur deux points : • une enveloppe (B) contenant 6 billets de 5 € de qui 2 se€suivent. ➞ fiche 1 a. Peut-elle obtenir un ruban de 11 cm ? 2 et Aya12 pensepièces à trois nombres m Il faut s’assurer que la réponse trouvée vérifie bien toutes Elle les additionne et elle trouve 15. Si oui, avec combien de bandes de chaque Quels sont ces trois nombres ? hatier-clic.fr/CM1capg0101 sorte ? les données du problème. b. Peut-elle obtenir un ruban de 7 cm ? La tirelire Si oui, avec combien de bandes de chaque Je cherche m Au début, il est possible de faire des essais de réponses, PAR ÉQUIPE 3 Tom pense à trois nombres qui se suivent. sorte ? Il les additionne et il trouve 36. Peut-elle obtenir un ruban de 19 cm ? p.trois8,nombres questions A et B Sic. oui, • manuel même sait que Quels sont ces ? avec combien de bandes de chaque A Dans sa tirelire, Tomsia on uniquement descelles-ci pièces de 2sont € probablement fausses. B ● Dans sa tirelire, Romy n’a, elle aussi, que des pièces de 2 € et des billets de 5 €. Le nombre de pièces est aussi le double du nombre de billets. Au total, dans sa tirelire, Romy a 54 €. Combien a-t-elle de pièces de 2 € et de billets de 5 € ? INCONTOURNABLE INCONTOURNABLE INCONTOURNABLE MATÉRIEL INCONTOURNABLE ◗ Cap Maths propose plusieurs modes de différenciation pour prendre en compte les besoins de chacun. ● DÉROULÉ ◗ Accepter différentes Présentation de la situation ◗ Collectif (question A) Recherche (question B) Individuel puis par équipes stratégies et procédures de 2 sorte ? • brouillon, cahier de mathématiques 1 SOMME ET DIFFÉRENCE 4 Milo pense à deux nombres. 2 Il les additionne et il trouve 20. Il soustrait le plus petit du plus grand et il trouve 4. Quels sont ces deux nombres ? 3 Exploitation 8 • huit 4 et des billets de 5 €. Le nombre de pièces est le double du nombre de billets. 2 dans sa tirelire, Tom a 9 €. Au total, Combien a-t-il de pièces de 2 € et de billets de 5 € ? DES FIGURES AVEC DES ALLUMETTES 6 Pour construire ce carré et ce triangle, Tom a utilisé 7 allumettes. Avec 15 allumettes, Milo a aussi construit des carrés et des triangles. Il a construit au total 4 figures. Combien a-t-il construit de carrés ? Et combien de triangles ? B Collectif Individuel Entrainement 006-022-Unite 1.indd 8 Recherche individuelle, puis par équipes de 2 (question B) Dans sa tirelire, Romy n’a, elle aussi, que des pièces ● Présenter comme de 2 € et des billets dele 5 problème €. Le nombreBde pièces le problème A, en précisant : est aussi le double du nombre de billets. devez donc trouver ce qu'il y a dans l'enveloppe ➞ Vous Au total, dans sa tirelire, Romy a 54 €. de Romy, le nombre de pièces Combien a-t-elle de pièces de 2 € et de billetsde de25 € € et ? le nombre de billets de 5 €. Vous cherchez d'abord seuls, puis vous pourrez confronter vos réponses par deux. 23/01/2020 18:38 RECHERCHE Il s’agit de permettre à l’élève de s’engager dans un travail sans craindre de ne pas utiliser le mode de résolution supposé être attendu par l’enseignant. Observer les procédures des élèves, notamment si les contraintes sont ou non vérifiées. ● Comment trouver la composition d'un ensemble de pièces de 2 € et de billets de 5 € connaissant la valeur Exemples de procédures possibles totale et sachant que le nombre de pièces et le double du nombre de billets ? (extrait du guide de l’enseignant) : ◗ PROCÉDURES POSSIBLES Les procédures qui suivent peuvent être mises en œuvre sous plusieurs formes : dessins de pièces et billets, calculs additifs, calculs multiplicatifs et additifs. – Faire des essais aléatoires. – Faire des essais organisés avec déductions pour décider de l'essai suivant : par exemple, après un essai avec 8 pièces de 2 € et 4 billets de 5 € (total : 36 €) conclure : « il faut plus de pièces et de billets ». – Faire des essais systématiques : 2 pièces et 1 billet, puis 4 pièces et 2 billets, puis 6 pièces et 3 billets, etc. – Procéder par déduction (sans essais) : d'après la 1re question, on sait qu’un lot d'1 billet et 2 pièces vaut 9 €, comme 54 € = 9 € × 6, il faut 6 lots, donc 6 billets et 12 pièces. – Combiner les procédures précédentes : par exemple, l’essai avec 8 pièces de 2 € et 4 billets de 5 € ayant donné un total de 36 €, conclure qu'il manque 18 € qu’on essaie d’atteindre avec de nouvelles pièces et de nouveaux billets. 1 Présentation collective de la situation (question A) Demander de prendre connaissance du problème A. En faire formuler les données principales et les écrire au tableau : – la tirelire ne contient que des pièces de 2 € et des billets de 5 € ; – le nombre de pièces est le double du nombre de billets ; – la somme d’argent contenue dans la tirelire est de 9 €. ● Montrer, sans l'ouvrir, l'enveloppe A (la tirelire de Tom). Indiquer qu'elle représente la tirelire et son contenu. ● Demander aux élèves de trouver individuellement ce que contient l'enveloppe. ● 44 Le calcul malin Je cherche Tu dois effectuer les calculs sans poser d’opération en colonnes et sans utiliser de calculatrice. Tu peux utiliser le matériel de numération. Aménager certaines situations A Calcule ces deux produits et explique la méthode que tu as utilisée. a. 6 × 11 B a. 6 × 25 UNITÉ 1 b. 6 × 15 Même question pour ces trois produits. UNITÉ c. 12 × 15 b. 6 × 205 1 Bilan et consolidation Comment utiliser les pages Bilan ! MENTAL / NOMBRES ET CALCULS / GRANDEURS ET MESURES ! Manuel . 18-19 Pour CALCUL certaines activités, en fournissant aux élèves en difficulté Bilan ! Cahier . 8-9 ESPACE ET et GÉOMÉTRIE Bilan consolidation du matériel afin de les aider à élaborer leur réponse. Comment utiliser les pages Bilan ! p. 11. CALCUL MENTAL / NOMBRES ET CALCULS / GRANDEURS ET MESURES ! Manuel . 18-19 Bilan de compétences téléchargeable ◗ Calcul mental ! Cahier . 8-9 ESPACE ET GÉOMÉTRIE p p hatier-clic.fr/CM1capgbilancomp01 p p BILAN CONSOLIDATION a b c DICO INCONTOURNABLE 37-38 INCONTOURNABLE CONSOLIDATION BILAN ◗ 2 b. 65 × 8 c. 206 × 4 e. 485 × 6 f. 666 × 8 Calcule. a. 46 × 20 b. 46 × 50 c. 35 × 300 d. 206 × 400 e. 35 × 800 f. 206 × 60 ◗ ■ ■ 3 ■ 5 Connaissances à acquérir ➞ On peut résoudre certains problèmes en faisant des essais ◗ Résolution de problèmes par étapes et en vérifiant qu'ils respectent les contraintes de l'énoncé. Je prépare mon bilan ! Manuel p. 18 Q C M1 c 1 apprentissage ➞ b est à écarter car la somme totale n'est pas 36 €, a 3 Calcule ces produits. Choisis la méthode a. 45 × 60 c.➞ 45 ×Pour 66 être efficace, cette stratégie suppose qu’on tienne compte la plus rapide. b. 45 × 600 d. 45 × 606 et d également car le nombre de pièces n'est pas le double Manuel ×2 e. 506 × 7 Connaissancesa.à235acquérir mon bilan aux!essais des données du problèmeJeet prépare de ce qu’on a obtenu déjàp. 18 b. 235 × 200 f. 506 × 700 6 Calcule ce produit : 346 × 5. du nombre de billets. c. 43 × 5 g. 86 × 3 Utilise le résultat pour calculer : pour en faire un nouveau. ➞ On peut résoudre certains problèmes en× 50faisantd.réalisés des d. 43 × 50 h. 860 × 300 a. 346 346 × essais 505 Q C M1 c b. 346 × 55 e. 346 × 51 et en vérifiant qu'ils respectent les contraintes de l'énoncé. c. 346 × 555 f.➞ 346 Après × 501 la recherche, l’échange avec les autres permet d’expliquer Je b est à écarter car la somme totale n'est pas 36fais €, a le bilan ! Manuel p. 19 ➞ 64 • soixante-quatre les différentes ➞ Pour être efficace, cette stratégie suppose qu’on tienne compte méthodes, de les comparer, de trouver ensemble les et d également carqu’on le nombre de pièces n'est pas le double 2 Résoudre un problème (une stratégie par essais que celle a utilisée…. EXERCICE des données du problème et de ce qu’on a obtenu auxerreurs, essais de déjàvoir d’autres méthodes du nombre de billets. et ajustements étant possible) réalisés pour en faire un nouveau. 1re mosaïque : 18 carrés 2e mosaïque : 32 carrés ➞ Après la recherche, l’échange avec les autres permet d’expliquer Je fais le bilan ! Manuel p. 19 les différentes méthodes, de les comparer, de trouver ensemble les erreurs, de voir d’autres méthodes que celle qu’on a utilisée…. EXERCICE 2 Résoudre un problème (une stratégie par essais Autres ressources Je consolide mes et connaissances ajustements étant possible) ! Activités pour la calculatrice CE2-CM1-CM2 ! Activités et exercices pour la calculatrice 1re mosaïque : 18 carrés 2e mosaïque : 32 carrés ! Manuel p. 8-9 CM1-CM2 3. Deux problèmes à résoudre avec une calculatrice (Exercice 2) 50. Des nombres à la suite À choisir parmi les problèmes Utilise le résultat de Tom pour calculer : BILAN BILAN Proposer des exercices adaptés aux besoins et aux possibilités de chaque élève hatier-clic.fr/CM1capgbilancomp01 Pas de préparation de bilan proposée dans le manuel. Connaissances à acquérir ➞ Nombres dictés inférieurs à 10 000 Je fais le bilan ! Manuel p. 19 Calcul mental ➞ Doubles et moitiés de nombres simples EXERCICE 1 Doubles et moitiés, addition et soustraction UNITÉ compléments, différences) Multiplication : Calcul posé ➞ Tables d'addition (sommes, Pas de préparation de bilan proposée dans le manuel. Connaissances à acquérir de dizaines et de centaines 4 apprentissage 4 ➞ Addition, soustraction de dizaines, centaines et milliers ➞ Nombres dictés inférieurs à 10 000 a. 32 b. 70 c. 21 d. 25 e. 130 f. 1 000 g. 500 h. 800 Je fais le bilan ! Manuel p. 19 Je cherche en colonnes ➞ Doubles et moitiésMultiplication de nombres simples A Calcule. D Romy a commencé à calculer une 1 EXERCICE Doubles et moitiés, addition et soustraction multiplication différences) posée en colonnes. ! Activités et exercices pour la calculatrice 426 × 3 426 × 4 ➞ Tables d'addition (sommes, compléments, Ateliers de calcul de mental Autres ressources Indique pour chaque ligne le calcul qu’elle dizaines et de centaines B Utilise les résultats que tu as obtenus a réalisé. Termine ensuite le calcul CM1-CM2 ! Manuel p. 20 calculer : ➞ Addition, a.pour soustraction de dizaines, centaines et milliers 426 × 30 ! 100 a. 32 b. 70 c. 21 d. 25 Activités e. 130 f.et1jeux 000 mathématiques g. 500 h. 800 11. Tables d’addition 4 2 6 b. 426 × 300 c. 426 × 40 CM1-CM2 × 3 3 4 Tables d'addition et addition 14. Course à… C Utilise les résultats des questions A et B 1 7 0 4 33.Activités Calcul sur dizainespour et leslacentaines pour calculer : et soustraction de nombres ! et les exercices calculatrice ! Guide d'activités pour la calculatrice Ateliers de mental Autres 1 2 7 8 ressources 0 a. 426calcul × 34 b. 426 × 43 1 2 7 8simples 0 0 CM1-CM2 CE2-CM1-CM2 426 × 304 ! Manuel p.c.d.20 ! CD-Rom Jeux interactifs CE2-CM1-CM2 426 × 343 ! 100 Activités et jeux mathématiques 11. Tables d’addition 12. Tables d'addition et de multiplication 9. Calcul éclair (domaine additif) CM1-CM2 Tables d'addition et addition 14. Course à… Je m’entraine 4 Complète. 33. Calculb.sur les dizaines et les centaines 9 7 8 6 et soustraction dePARnombres a. UN NOMBRE ! Guide d'activités pour la calculatrice ◗ ÀMULTIPLIER ■ ■ × × UN CHIFFRE OU UN MULTIPLE ■ ■ 8 ■ 8 8 simples DE 10, DE 100 CE2-CM1-CM2 !c.CD-Rom Jeux interactifs CE2-CM1-CM2 3 ■ 5 apprentissage 1 1 Calcule. × 7 Résolution de problèmes par étapes 12. Tables d'addition et de multiplication a. 43 × 7 d. 307 × 9 9. Calcul éclair (domaine additif) 055-071-Unite 4.indd 64 15/01/2020 13:04 CONSOLIDATION CONSOLIDATION Tous les élèves doivent résoudre les exercices d’entrainement indiqués « incontournables ». Pour les autres exercices, l’enseignant peut Je consolide mes connaissances Autres ressources les proposer de façon individualisée en fonction des besoins et des non traités. ! Activités pour la calculatrice CE2-CM1-CM2 ! Activités et exercices pour la calculatrice ! Manuel . 8-9 CM1-CM2 3. Deux problèmes à résoudre possibilités de chaque élève. avec une calculatrice (Exercice 2) 50. Des nombres à la suite À choisir parmi les problèmes apprentissage 2 Les nombres jusqu’à 9 999 ◗ non traités. Il dispose aussi pour cela des ressources proposées dans le guide Connaissances à acquérir Je prépare mon bilan ! Manuel . 18 en consolidation. ➞ L’écriture en chiffres d’un nombre apporte beaucoup Q C M 2 a et 2c apprentissage d’informations. Chaque chiffre a une valeur qui dépend de son rang. ◗ Les nombres jusqu’à 9 999 Q C M p p BILAN 10 Exemple : Dans 3 708, Connaissances à acquérir 7 est le chiffre des centaines ; Je prépare mon bilan ! Manuel p. 18 un groupe de chiffres représente quantité : 37 est le nombre ➞ L’écriture en chiffres d’un nombre apporte beaucoup Q C M une 2 a et c de de centaines (37). d’informations. Chaque chiffre a une valeur qui dépend son rang. C M 3 bde etplusieurs d ➞ Un nombre peut se Q décomposer façons en utilisant les Exemple : Dans 3 708, unités de numération ou 7 est le chiffre des centaines ; QlesCnombres M 4 a 1 000, 100, 10 et 1. un groupe de chiffres représente une quantité : 37 estExemple le nombre : 5 068 est égal à : 5 b 5 milliers et 8 unités… de centaines (37). – 5 milliers et 68 unitésQouCà 6Mdizaines 3 b et d Q C M4 a Q C M5 b Les corrigés de la première impression du manuel sont disponibles sur hatier-clic.fr/CM1capgcorr01 Évaluer ◗ L’évaluation peut revêtir diverses formes. OBSERVER LES ACTIVITÉS QUOTIDIENNES Le guide Cap Maths précise, pour chaque situation, les procédures possibles et les difficultés éventuelles, ainsi que les aides envisageables. L’enseignant observe et analyse les productions écrites ou orales de ses élèves. Il dispose ainsi d’informations utiles au pilotage de son enseignement. FAIRE UN BILAN DE FIN D’UNITÉ Ce bilan est proposé dans le manuel et le cahier. Il se fait en 2 étapes : Q C M UNITÉ 2 Je prépare mon bilan RÉSOLUTION DE PROBLÈMES 1 2 MULTIPLICATION PAR 10, 100… 20, 200… Tom achète dix livres de contes à 2 € l’un et quatre livres sur les animaux à 7 € l’un. Elle paie avec cinq billets de 10 €. Combien le marchand doit-il lui rendre ? 5 Pour répondre à la question du problème, on doit d’abord calculer : a le nombre total de livres achetés par Tom b le prix total des dix livres de contes c combien on a d’euros avec les cinq billets d le prix total des quatre livres sur les a 45 000 b 4 500 c 450 d 450 000 CALCUL MENTAL 1 2 animaux FRACTIONS 4 4 : 3 a 4 est le numérateur b 4 indique que l’unité est partagée en 4 parts égales c 3 est le dénominateur En utilisant l’unité u, la longueur du segment s est : 1u s 1 u 2 b 3 u 4 1 u+ 1 u 2 4 d 4 u 3 c Écris ces fractions en utilisant des chiffres : a. trois demis c. six huitièmes b. sept quarts d. deux tiers avec l’unité u. • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • Voici un segment : 6 cm s Tu peux utiliser ton double décimètre pour effectuer les tracés demandés. a. Trace un segment b dont la longueur est égale au tiers de celle du segment s. b. Trace un segment c dont la longueur est égale aux quatre tiers du segment s. MULTIPLICATION PAR 10, 100… 20, 200… 8 Calcule sans poser d’opération. a. 100 × 13 b. 20 × 14 c. 50 × 20 d. 300 × 12 e. 40 × 80 f. 15 × 200 9 Calcule sans poser d’opération. B C c (10 × 6) + (4 × 6) d 10 × 4 × 6 • • • • • • 1 u =... u 3 MULTIPLICATION : CALCUL RÉFLÉCHI A Le nombre total de points sur ce dessin est égal à : a 14 × 6 b 14 × 5 c. 1 u + 1u les 2 résultats 8 1 1 u + u = ... u 4 4 b. 1 u + 1 u = ... u 2 2 a. 7 Émilie a acheté un canapé et deux fauteuils. Le canapé coute 800 € et chaque fauteuil coute 300 €. Elle paie 400 € au moment de l’achat. Combien lui reste-t-il à payer ? 4 Exprime la longueur de chaque segment les 2 résultats b 10 × 25 puis multiplier le résultat par 2 c 4 × 25 puis multiplier le résultat par 3 d 12 × 2 et 12 × 5 puis ajouter Dans la fraction a 3 a 10 × 25 et 2 × 25 puis ajouter a au tiers de celle de la bande bleue b au quart de celle de la bande bleue c à la moitié de celle de la bande bleue ou une fraction. e. 6 × 6 f. 4 × 7 g. 5 × ... = 45 h. 3 × … = 24 FRACTIONS Pour calculer mentalement 12 × 25, on peut calculer : 7 La longueur de la bande orange est égale : 3 c 100 000 d 52 000 MULTIPLICATION : CALCUL RÉFLÉCHI 2 6 Complète avec un nombre entier Calcule. a. 95 + 10 b. 300 + 90 c. 169 + 9 d. 96 – 8 RÉSOLUTION DE PROBLÈMES 6 a 1 000 b 10 000 Je fais le bilan UNITÉ Choisis la ou les bonnes réponses. • • • • • • 5 À l’aide de la bande unité de l’exercice 4, trace : a. un segment de longueur 1 u 4 3 u 2 b. un segment de longueur a. 6 × 10 b. 6 × 12 c. 6 × 101 d. 6 × 110 e. 6 × 15 f. 6 × 105 10 Utilise les résultats de l’ardoise pour calculer les produits, sans poser de multiplication en colonnes. a. 28 × 30 b. 28 × 8 28 × 3 = 84 c. 28 × 6 28 × 5 = 140 d. 28 × 35 28 × 7 = 196 e. 28 × 70 f. 28 × 65 Vérifie tes réponses à l’aide du corrigé. 34 • trente-quatre 023-038-Unite 2.indd 34 trente-cinq • 35 14/01/2020 13:21 1re étape : Les élèves préparent le bilan Les élèves répondent à un QCM, ce qui leur permet, avec l’enseignant, de repérer ce qu’ils ont compris ou mémorisé et ce qui fait encore difficulté. À partir de là, l’enseignant reformule ce qu’il faut avoir retenu et, si nécessaire, revient sur certains apprentissages. ÉVALUER EN FIN DE TRIMESTRE 023-038-Unite 2.indd 35 14/01/2020 13:21 2e étape : Les élèves font le bilan À partir de leurs réponses, l’enseignant peut remplir un relevé de compétences pour chaque élève (fourni sur le site hatier-clic.fr ) et envisager, si nécessaire, les consolidations à mettre en place. Cap Maths CM1 Évaluation de fin de trimestre 1 Unités 1 à 4 0 Nom : Date : CALCUL MENTAL Il s’agit de faire un bilan exhaustif des acquis des élèves et de relever des difficultés persistantes. À partir de là, l’enseignant peut renseigner les documents demandés par l’Institution et communiquer avec les parents sur la progression de leur enfant. Les supports, les commentaires et les synthèses de ces évaluations sont disponibles sur le site hatier-clic.fr (voir 2e de couverture). 3. Écris les fractions dictées par la maitresse ou le maitre. NOMBRES ET CALCULS 4. Complète ce tableau comme dans l'exemple. 5. Pour construire une maison, Monsieur Roc a déjà acheté 13 240 briques. Il reçoit quatre palettes qui contiennent mille briques chacune. Combien a-t-il de briques maintenant ? ................................................................................................. ................................................................................................ 11 UNITÉ 1 Les principaux apprentissages Problèmes Nombres • Résoudre par essais et raisonnement Nombres < 10 000 • Je résous à mon rythme UNITÉ 2 UNITÉ 3 UNITÉ 4 • Je résous à mon rythme Addition, soustraction • Différences égales • Calcul réfléchi et posé • Les maths dans la vie > La monnaie en euros • Résoudre des problèmes à étapes Grandeurs et mesures Figures planes • Lecture de l’heure en heures, minutes et secondes • Polygones : description Monnaie (voir Problèmes-Les maths dans la vie) Fractions Multiplication Aires • Approche verbale a • Notation b • Calcul réfléchi • Notion et comparaison Fractions • Je résous à mon rythme • Fractions simples et en dixièmes : ligne graduée • Tableaux et diagrammes Nombres entiers < 1 000 000 • Je résous à mon rythme • Classe des milliers • Les maths dans la vie > Des abeilles et du miel • Je résous à mon rythme • Carrés, rectangles : propriétés et construction Propriétés géométriques • Angle : définition, comparaison, reproduction • Angles aigus et obtus • Proportionnalité (1) • Les maths dans la vie > Avec une feuille de papier Espace et géométrie Durées • Les maths dans la vie > Histoire de chocolat • Résoudre des problèmes par déduction UNITÉ 5 • Unités de numération Calculs Addition, soustraction Aires • Double et moitié • Calcul approché Propriétés géométriques • Droites perpendiculaires : reconnaissance, tracé Multiplication Aires Figures planes • Calcul posé • Mesure • Figures complexes : analyse et reproduction Nombres décimaux (en dixièmes) Addition, soustraction Longueurs Propriétés géométriques • Écriture à virgule, unités de numération • Nombres décimaux en dixièmes • Ligne graduée • Les maths dans la vie > Sur une route des Alpes Multiplication • Multiples, en particulier de 2, 5 et 10 • Du décamètre au millimètre • Droites parallèles (droites d’écartement constant) : reconnaissance, tracé Pour chaque unité, des problèmes sont disponibles dans les rubriques « Je résous à mon rythme » et « Les maths dans la vie ». En géométrie, pour chaque unité, une activité de programmation de déplacements d’un personnage sur un écran est proposée, à l’exception de l’unité 8 où est proposée une activité sur la symétrie axiale réalisée avec un logiciel de géométrie dynamique. L’ensemble de ces activités est téléchargeable 12 hatier-clic.fr/CM1capgecran . de l’année Problèmes Nombres Multiplication, division UNITÉ 6 • Proportionnalité (2) • Je résous à mon rythme UNITÉ 7 • Situations de comparaison (combien de fois ... dans … ?) • Les maths dans la vie > Des assemblages de cubes • Graphiques • Je résous à mon rythme • Les maths dans la vie > Voyage au pays des volcans Calculs Grandeurs et mesures Longueurs Figures planes • Hectomètre et kilomètre • Cercle : diamètre et rayon (longueurs et segments), description, construction • Division euclidienne : nombre de parts et valeur de chaque part Nombres décimaux (en centièmes) • Écriture à virgule, unités de numération Espace et géométrie Multiplication, division Longueurs Solides • Multiplier, diviser un nombre décimal par 10 • Cube, pavé droit, pyramide, prisme droit : description, reconnaissance Nombres entiers < 1 000 000 000 • Report au compas • Périmètre de polygones • Cube : patron UNITÉ 8 • Classe des millions • Chercher la meilleure formule Nombres décimaux (en centièmes) • Je résous à mon rythme • Comparaison Division Durées • Division euclidienne : calcul réfléchi • Calcul d’horaires et de durées en heures • Figures symétriques et minutes par rapport à une droite : construction par pliage, avec calque, reconnaissance • Division euclidienne : calcul posé (diviseur < 10) • Les maths dans la vie > Économiser l’eau Propriétés géométriques • Symétrie axiale : propriétés Nombres décimaux (en centièmes) Multiplication, division • Les maths dans la vie > Camille voyage • Ligne graduée, encadrement, intercalation • Multiplier un nombre • Multiples et sous décimal par 100, 1 000 multiples du litre • Division euclidienne : calcul posé (diviseur > 10) • Chercher toutes les solutions Nombres décimaux (en centièmes) Addition, soustraction Masses • Je résous à mon rythme • Expression de quantités • Proportionnalité (3) UNITÉ 10 UNITÉ 9 • Je résous à mon rythme • Calcul réfléchi et posé (nombres décimaux) Contenances Figures planes • Comparaison • Construction à partir d’un programme, d’une description, d’un schéma • Multiples du gramme Repérage dans l’espace • Utilisation d’un plan, d’une carte : décrire un itinéraire, suivre un itinéraire À la fin de l’unité 10, un espace game est proposé. Les corrigés et énigmes photocopiables peuvent être téléchargés hatier-clic.fr/CM1capgescape . 13 Nos choix pour … ◗ Ils se caractérisent par 4 axes principaux. Élaborer une nouvelle connaissance et lui donner du sens, en partant d’une activité de résolution de problème Je cherche SITUATION POUR LA NOTION DE FRACTION ° Pour mesurer une bande qui n’a pas pour longueur un nombre entier d’unités, les élèves pensent à plier l’unité en deux ou en quatre. Ils utilisent un vocabulaire connu (moitié, demi, quart). À partir de là, l’enseignant propose l’écriture fractionnaire. Des bandes à mesurer La longueur de la bande blanche est égale à 1 u. Cette bande blanche est l’unité pour la recherche et pour les exercices. 1u A Sur ta fiche, choisis deux bandes : une bande parmi A, B, C et une autre parmi D, E, F. Mesure-les avec l’unité qui t’a été remise. Écris, sur une feuille, le nom de chaque bande et la mesure que tu as obtenue. Tes mesures doivent permettre aux autres élèves de ta classe de retrouver les deux bandes que tu as choisies. FICHE PHOTOCOPIABLE 21 A B C D E F Le déroulement est décrit dans le guide et s’articule autour de 4 phases principales : • présentation collective de la situation pour en assurer la bonne compréhension ; • temps de recherche individuelle ou en petites équipes au cours duquel sont observées les procédures des élèves ; • exploitation collective en 2 temps : – un temps pour l’inventaire des réponses, le débat sur leur validité, l’analyse des erreurs et une vérification expérimentale ; – un temps d’explicitation, de verbalisation débouchant sur une mise en forme des savoirs à mémoriser et d’une trace écrite collective ou individuelle ; • entrainement à l’aide d’exercices du fichier ou du cahier. > Pour l’exemple, voir Guide, Unité 2, Apprentissage 3, p. 81. Apprendre à chercher, en développant une attitude de chercheur et en mettant en place des stratégies adaptées SITUATION POUR APPRENDRE À DÉDUIRE Dans l’exemple ci-contre, les élèves doivent utiliser une suite de déductions pour répondre. Pour cela, ils doivent utiliser une démarche remontante (que faut-il connaitre pour pouvoir répondre ?) et une démarche descendante (que peut-on déduire des informations disponibles ?). Je cherche A Les cubes empilés Romy a réalisé des tours avec des cubes bleus et des cubes roses. Voici les trois tours qu’elle a réalisées et les hauteurs des tours A et B. Quelle est la hauteur de la tour C ? B Tom a réalisé quatre autres tours avec des cubes rouges, verts et jaunes. Quelle est la hauteur de la tour D ? D ? A 27 cm B 24 cm E 21 cm F 16 cm G 13 cm C ? Au CM1, l’accent est mis sur le développement de plusieurs stratégies : • la stratégie par essais raisonnés, en tirant parti des essais déjà effectués ; • la stratégie par planification et déductions successives, en particulier pour résoudre des problèmes « à étapes » ; • la stratégie par raisonnement pour déterminer une solution optimale, parmi plusieurs possibles ; • la stratégie par inventaire exhaustif de toutes les possibilités. Ces différentes stratégies ne sont ni naturelles, ni spontanées. Elles nécessitent donc un apprentissage organisé, indispensable pour rendre les élèves capables d’affronter une grande variété de problèmes. > Pour l’exemple, voir Guide, Unité 5, Apprentissage 1, p. 176. 14 La résolution de problèmes Les 10 pages « Je résous à mon rythme » (une page par unité dans le manuel) proposent un grand nombre de problèmes à résoudre en autonomie, individuellement ou en petites équipes. UNITÉ Ateliers 5 A 1 Je résous à mon rythme ou problèmes B Résous ces problèmes. N’oublie pas d’écrire la phrase réponse. 1 Le lundi, le cinéma « Charlot » propose 3 séances. À la séance de 14 h, il a accueilli 275 spectateurs. À celle de 17 h, il y a eu 83 spectateurs de moins qu’à la séance de 14 h. À celle de 20 h, il y a eu 85 spectateurs de plus qu’à la séance de 14 h. Au total, combien de spectateurs sont allés au cinéma « Charlot » le lundi ? 2 C Une chemise blanche coute 15 € 50 c de moins qu’une chemise bleue et 7 € de plus qu’une chemise rose. Monsieur Beau achète une chemise blanche, une chemise bleue et une chemise rose. Combien Monsieur Beau dépense-t-il pour l’achat de ces 3 chemises ? 3 Pour aller à l’école, Camille parcourt 480 mètres à pieds. Louise parcourt 275 mètres de plus. Thomas, lui, doit parcourir une distance triple de celle de Camille. Combien de mètres Louise parcourt-elle de moins que Thomas ? 4 La population de la ville de Reims est de 183 000 habitants. Cette ville compte 159 000 habitants de moins que Nice et 28 000 habitants de plus que Dijon. Quelles sont les populations de Nice et de Dijon ? Écris deux questions pour ce problème, puis réponds à ces questions. Sur un circuit piéton, des bornes ont été placées pour indiquer aux marcheurs à quelle distance ils se trouvent du point de départ, en mètres. Manon passe d’abord devant la borne 150. Elle marche encore un peu et arrive devant la borne 500. Elle sait alors qu’elle se trouve à 750 m de l’arrivée. Pour ces problèmes, réponds d’abord sans utiliser la calculatrice. Vérifie ensuite en utilisant la calculatrice. 1 Une course cycliste se déroule sur un circuit de 16 km. Le coureur qui est en tête de la course a déjà fait 12 tours de circuit. Au total, il doit parcourir 240 km. Combien doit-il encore faire de tours de circuit ? 2 Dans un magasin d’informatique, la maman d’Hugo regarde un ordinateur qui est affiché à 749 €. Elle dit au marchand : Je n’ai pas assez d’argent pour l’acheter. Le marchand lui répond : Je peux faire une réduction de 50 €. La maman d’Hugo est contente : C’est bien, je l’achète et il me restera encore 25 €. Quelle somme d’argent la maman d’Hugo avait-elle avant l’achat ? ★ 3 ★ Le cœur d’un bébé bat très vite, au rythme de 120 battements par minute. C’est 30 battements de plus par minute qu’un enfant de 9 ans et le double du nombre des battements d’un adulte sportif au repos. Quel est le nombre de battements de cœur en 1 heure pour : a. un bébé ? b. un enfant de 9 ans ? c. un adulte sportif au repos ? quatre-vingt-sept • 87 072-088-Unite 5.indd 87 22/01/2020 17:58 Ces problèmes ont été conçus en s’appuyant sur des typologies relatives aux champs additif (addition, soustraction) et multiplicatif (multiplication, division). Il s’agit soit de problèmes basiques (qui peuvent être résolus par une seule opération), soit de problèmes à étapes. Pour certains d’entre eux, les élèves doivent imaginer des questions possibles. CONSEILS POUR LA MISE EN ŒUVRE Les élèves résolvent individuellement ou en petites équipes, à leur rythme : • ils cherchent au brouillon ; • ils rédigent la solution trouvée dans leur cahier de mathématiques. Selon les réponses des élèves, la correction est individuelle, en atelier ou collective. Les pages « Maths dans la vie » proposent des problèmes relevant de différents domaines de connaissances. Ils sont situés dans un même contexte, proche de la vie des élèves. Les maths dans la vie Vidéo Fabrique ton volcan Entretenir régulièrement et enrichir le sens des 4 opérations Utiliser les maths dans la vie CONSEILS POUR LA MISE EN ŒUVRE hatier-clic.fr/CM1cap107 Voyage au pays des volcans Elle est du même type que pour les problèmes de la rubrique précédente. Une classe de CM1 de Saint-Étienne organise un voyage au parc Vulcania. Les 25 élèves de la classe vont y participer. Ils seront accompagnés par 4 adultes. Ils feront l’aller-retour dans la journée. Le trajet de 157 km comporte 136 km sur autoroute et dure 2 h 15 min. Le départ de Saint-Etienne est prévu à 7 h 30. Les élèves doivent être de retour à 19 h. Je n’ai pas le dessin pour les numéos d’ex 1 À l’aller, combien de kilomètres sont parcourus en dehors de l’autoroute ? 2 ★ À Saint-Étienne, un panneau indique que Thiers est à 107 km. Théo dit à Lili : « Lorsque nous passerons à Thiers, il nous restera environ un tiers du trajet à faire. » Théo a-t-il raison ? Explique pourquoi. 3 À quelle heure les élèves arriveront-ils au parc Vulcania ? 4 Avant quelle heure doivent-ils repartir du parc Vulcania ? 5 Quelle aura été la durée de leur séjour à Vulcania ? À leur retour, les élèves font des recherches sur les volcans. Ils s’intéressent aux volcans les plus célèbres qui sont situés en Italie (Vésuve, Etna, Stromboli), aux États-Unis (Kilauea et Mont Saint Helens), en Indonésie (Krakatoa), au Japon (Mont Fuji) et à la frontière entre le Chili et l’Argentine (Nevado Ojos del Salado). Ils ont trouvé les altitudes de ces volcans (exprimées en mètres) et réalisé ce diagramme 6 Range ces volcans du moins élevé au plus élevé. 7 Quels volcans ont une altitude de plus de 3 000 m ? 8 Quels volcans ont une altitude comprise entre 1 000 et 3 000 m ? 9 Ces phrases sont-elles vraies ? Explique tes réponses. a. La moitié de ces volcans a une altitude de plus 2 000 m. b. Les trois quarts de ces volcans ont une altitude de moins de 3 000 m. ★ 8 000 7 000 6 000 5 000 4 000 3 000 2 000 1 000 0 ve Vésu a Etn a s ea boli Fuji lado Kilau int Helen Krakato Mont l Sa Strom os de nt Sa Mo do Oj Neva Pour chaque thème envisagé, un lien vers une vidéo est proposé pour permettre aux élèves d’enrichir leurs connaissances sur ce thème. 10 Le peintre japonais ★ Hokusai (17601849) a réalisé une série d’œuvres inspirées par le mont Fuji. Celle qui est représentée ici a pour titre : Le Fuji par temps clair. Retrouve l’année de sa réalisation à partir des indications suivantes : • c’est un multiple de 10, • la somme de ses chiffres est égale à 12, • le chiffre des milliers est égal au tiers du chiffre des dizaines. 122 • cent-vingt-deux 107-122-Unite 7.indd 122 21/01/2020 12:34 15 Nos choix pour … ◗ Plusieurs études montrent que le calcul mental joue un rôle décisif dans la réussite des élèves en mathématiques. Ce schéma, qui articule les différentes formes du calcul mental et ses effets sur d’autres apprentissages, permet d’en comprendre les raisons : FORMES DU CALCUL MENTAL MÉMORISATION Résultats mémorisés Exemple : tables de multiplication RÉFLEXION Procédures mémorisées Résultats construits Exemple : multiplication par 10 ou par 100 (nombres entiers et décimaux). Exemples : 15 × 6 (10 × 6) + (5 × 6) = 60 + 30 = 90 15 × 2 × 3 = 30 × 3 = 90 IMPACT DU CALCUL MENTAL Calcul posé Résolution de problèmes Nouveaux apprentissages Ce calcul suppose des résultats mémorisés. Exemple : se ramener à des nombres plus petits pour déterminer une procédure de résolution. Exemple : étude de la proportionnalité, qui suppose de déterminer rapidement des rapports entre nombres. Dans Cap Maths, le calcul mental est travaillé dans 3 directions : Des séances d’apprentissage longues (45 min) pour mettre au point des procédures spécifiques ou organiser des résultats (tables) Je cherche SITUATION POUR LA CONSERVATION DES ÉCARTS (SOUSTRACTION) Le matériel utilisé permet aux élèves de contrôler leurs réponses et à l’enseignant d’illustrer la propriété que les élèves doivent maitriser. Celle-ci est ensuite utilisée dans des calculs que les élèves doivent chercher à comprendre. 77 mm 115 mm 100 mm 146 mm Pour répondre, tu ne dois pas utiliser d’instrument de mesure. La référence au matériel en début d’activité et son utilisation pour valider la réponse correcte permet aux élèves de comprendre la procédure enseignée qui est, au moment de la formalisation, exprimée dans 3 langages mis en relation : Langage « visuel » (manipulation) 115 mm 23 mm 115 mm A Quel est l’écart entre les distances parcourues par l’escargot de Romy et par celui de Tom ? B Dans la minute suivante, l’escargot de Romy et celui de Tom avancent tous les deux de 23 mm. Ceux d’Aya et de Milo reculent tous les deux de 37 mm. À ce moment de la course : a. quel est l’écart entre les distances parcourues par l’escargot de Romy de et celui de Tom ? b. quel est l’écart entre les distances parcourues par l’escargot d’Aya de et celui de Milo ? C Pour répondre à la question A, Romy et Tom ont calculé la différence 115 − 77 , en utilisant les méthodes ci-contre : a. Explique la suite des calculs de Romy et de Tom. b. Utilise les méthodes de Romy et de Tom pour calculer la différence 256 − 88 . MÉTHODE DE ROMY 115 – 77 110 – 72 108 – 70 58 – 20 38 MÉTHODE DE TOM 115 – 77 118 – 80 138 – 100 38 Langage verbal En ajoutant 23 mm aux 2 bandes, la différence des longueurs ne change pas. 77 mm 77 mm La course d’escargots Les enfants comparent les distances parcourues par leurs escargots après deux 2 minutes de course. 23 mm Langage symbolique 115 – 77 + 23 est égal à +23 138 – 100 = 38 = 38 > Pour l’exemple, voir Guide, Unité 1, Apprentissage 3, p. 51. 16 Le calcul mental UNITÉ 1 Jour 1 Jour 2 Jour 3 Mes rituels de calcul mental Entrainement individuel ® Un exercice par séance pour préparer, renforcer ou remplacer les exercices collectifs. problèmes a. Simon achète un bouquet qui contient 6 fleurs rouges, 6 fleurs bleues et 4 fleurs jaunes. Combien y a-t-il de fleurs dans le bouquet de Simon ? b. Léna veut un bouquet de 10 iris. La fleuriste a déjà mis 4 iris dans le bouquet. Combien doit-elle encore en mettre pour compléter le bouquet ? c. La fleuriste ajoute 6 fleurs dans un bouquet. Il y a maintenant 20 fleurs dans le bouquet. Combien y avait-il de fleurs dans le bouquet auparavant ? Jour 4 Écris en chiffres. a. quatre-cents b. trois-cent-huit c. deux-cent-quatre-vingts d. cinq-cent-soixante-dix e. cent-quatre-vingt-six 3 Jour 5 Écris en chiffres. a. quatre-mille b. deux-mille-trente c. mille-deux-cents d. six-mille-cent-six e. mille-quatre-vingts Jour 6 Quel est le double de : a. 4 c. 12 b. 8 d. 25 e. 30 f. 35 Jour 7 Quelle est la moitié de : a. 20 c. 80 b. 30 d. 90 e. 100 f. 120 Jour 8 Calcule. a. 5 + 4 b. 9 + 8 c. 7 + … = 10 d. 8 + … = 12 e. 1 + … = 10 f. 7 + … = 15 g. 12 – 5 h. 16 – 9 Jour 9 Calcule. a. 40 + 50 b. 70 + 50 c. 300 + 500 d. 200 + 700 e. 60 + … = 90 f. 30 + … = 100 g. 60 + … = 110 h. 90 + … = 120 Jour 10 Calcule. a. 90 – 40 b. 130 – 50 c. 160 – 90 d. 150 – 70 e. 900 – 300 f. 700 – 300 g. 1 000 – 500 h. 1 000 – 100 problèmes a. La fleuriste vend des bouquets de roses. Dans chaque bouquet, il y a 5 roses. Margot achète 4 bouquets. Combien a-t-elle de roses ? b. Des bouquets contiennent 3 roses rouges et 4 roses blanches. Chloé achète 5 bouquets. Combien a-t-elle de roses ? c. Avec 60 roses, combien peut-on faire de bouquets de 5 roses ? problèmes a. Aloïs achète 8 boites qui contiennent chacune 6 œufs. Combien d’œufs emporte-t-elle ? b. Hugo a besoin de 24 œufs. Combien doit-il acheter de boites de 12 œufs ? c. Louise a acheté 7 boites d’œufs, toutes pareilles. Elle emporte 70 œufs. Combien y a-t-il d’œufs dans chaque boite ? Des séances quotidiennes courtes (rituels de 15 min) pour renforcer et entretenir les acquis Ces rituels de calcul mental concernent : • la mémorisation de faits numériques (notamment les tables de multiplication) ou de procédures automatisées (multiplication par 10 d’un nombre entier ou décimal, par exemple) ; • la maitrise de procédures de calcul réfléchi (purement mental ou en ligne) ; • la résolution de « petits problèmes » avec des nombres simples, pour aider à la maitrise du sens des opérations. 6 • six 006-022-Unite 1.indd 6 14/01/2020 13:18 Pour chaque unité d’apprentissage, un ou plusieurs ateliers de calcul mental sont proposés, pour consolider des compétences essentielles, par exemple les tables de multiplication pour les ateliers ci-dessous. UNITÉ Ateliers 2 calcul mental CONSEILS POUR LA MISE EN ŒUVRE • Ces ateliers prennent souvent la forme de jeux, qui peuvent être pratiqués en classe dans un coin mathématique, en activité personnalisée ou à la maison. La multiplication jeu 1 Trouver les cartes Des ateliers de calcul mental ou ou Matériel • une table de Pythagore comme celle-ci • une boite contenant 18 jetons de 1 à 9 (chaque jeton est en double) • des cartes posées sur la table. ➞ MALLETTE • une calculatrice Règle du jeu • Tirer 2 jetons au hasard, par exemple 4 et 6 . • Chercher les cartes qui portent les résultats de 4 × 6 et 6 × 4 et les placer, à leur place, sur la table de Pythagore. • Vérifier avec la calculatrice. Toute carte mal placée est remise dans les cartes non utilisées. • Remettre les jetons dans la boite et procéder à un nouveau tirage. • Continuer jusqu’à ce que toutes les cartes soient placées. jeu 2 Les mini-tables Matériel • une mini-table de Pythagore vide dessinée sur une feuille • une boite contenant 18 jetons de 1 à 9 (chaque jeton est en double). Règle du jeu • Tirer un jeton, écrire le nombre sur une case bleue (par ex. 4 ), en tirer un deuxième (par ex. 5 ), écrire le nombre sur une autre case bleue… jusqu’à avoir un nombre dans chaque case bleue. • Écrire les résultats dans les cases blanches. • Vérifier avec la calculatrice. 36 • trente-six 023-038-Unite 2.indd 36 14/01/2020 13:21 17 Nos choix pour … ◗ Les principales connaissances et compétences relatives à la désignation des nombres en écriture fractionnaire (écriture des fractions en chiffres et en lettres, lecture) sont mises en place au CM1. Écriture en chiffres avec la barre de fraction La désignation verbale des fractions en lettres comprend : – des irrégularités pour les fractions de dénominateur ⩽ 4 – des régularités pour les autres (suffixe -ième) Dans l’écriture de la fraction : – le dénominateur indique le nombre de parts égales en lequel on partage l’unité ; – le numérateur indique le nombre de parts que l’on considère. 4 3 lu « quatre tiers » pensé « 4 fois un tiers » Écriture en lettres Lecture Représentation figurée (par exemple, par des longueurs) ◗ La capacité de l’élève à circuler entre ces différents modes d’expression des fractions (figuré, verbal et symbolique) permet de caractériser un premier niveau de maitrise des fractions simples. ◗ Dans Cap maths CM1, un temps substantiel est consacré à la rencontre des fractions dès les premières unités, de façon à permettre, dans la suite de l’année, l’étude particulière des fractions décimales puis l’introduction de l’écriture à virgule. Dans l’approche de Cap Maths, trois aspects importants peuvent être soulignés : Le travail conduit dans le cadre des longueurs sur le partage de l’unité et le nombre de parts considérées donnent du sens à la fraction Le mesurage effectif de longueurs non entières et la construction de segments de longueurs données en écritures fractionnaires s’inscrit dans la continuité du travail sur les longueurs effectué en cycle 2. Il s’effectue à l’aide d’une bande unité ou de règles graduées en fractions de l’unité. Je cherche Les règles graduées (1) Romy, Milo et Aya ont tracé des segments avec les règles A, B et C. L’unité de longueur u est dessinée sur les règles : c’est la bande jaune. 0 Pour cette recherche, utilise les règles. 1 unité RÈGLE A La longueur des segments ci-dessous peut-être exprimée à l’aide d’une fraction, avec l’unité u. Romy Milo Aya A Trouve qui a utilisé la règle A, qui a utilisé la règle B, qui a utilisé la règle C, Le mesurage de longueurs non entières à l’aide d’une B unité non conventionnelle oblige les élèves à construire des fractions de l’unité et à mobiliser le vocabulaire connu sur les fractions (demi, quart). Il amène à produire de premières écritures fractionnaires dont la signification est discutée, puis illustrée sur le matériel. puis exprime la longueur de chaque segment à l’aide d’une fraction, en utilisant l’unité jaune. Combien d’unités entières y a-t-il dans la longueur de chaque segment ? La construction de segments de longueurs données en écritures fractionnaires oblige à interpréter correctement l’expression symbolique (rôle du dénominateur et du numérateur) et conduit à mettre en relation fractions et unité. Ce travail permet de rencontrer très rapidement des fractions supérieures à l’unité et d’aborder la notion de partie entière d’une fraction. > Pour l’exemple, voir Guide, Unité 3, Apprentissage 2, p. 114. 18 Les fractions Le repérage par des fractions de la position d’un point sur la ligne graduée est associé à la distance qui sépare ce point de l’origine de la demi-droite. Je cherche Le repérage sur la ligne graduée amène : Les règles graduées (2) Romy, Milo et Aya ont décidé d’écrire des fractions sous les repères de leur règle. Romy en a déjà écrit quelques-unes. 0 1 – 4 2 – 4 3 – 4 FICHE PHOTOCOPIABLE 1 ou –44 unité A Quelles fractions vont-ils écrire en face des repères : E, F et G ? B Place sur une ou plusieurs règle(s) les lettres correspondant aux fractions indiquées : 5 c. la lettre J à 8 a. la lettre H à 5 5 5 7 b. la lettre I à d. la lettre K à 3 2 0 2 Romy Règle A 2 3 F unité 0 1 Règle B 2 Aya Règle C unité • à situer des fractions par rapport aux nombres entiers, à considérer celles qui leur sont égales, à encadrer les autres par deux entiers consécutifs ; 3 E 1 Milo Le repérage sur une demi-droite graduée contribue à donner à la fraction un statut de nombre UNITÉ 5 3 • à décomposer des fractions en une somme d’un entier et d’une fraction inférieure à 1 ; • à établir des égalités de fractions, en montrant qu’avec des fractionnements Sommes et différences de fractions différents de l’unité, on peut associer à un même repère des écritures fractionnaires différentes ; G apprentissage 2 Déplacements de tortues Je cherche Une tortue bleue et une tortue verte se déplacent le long de deux lignes graduées. A 0 1 2 1+ UNITÉ centaines 0 1 unités dixièmes 2 87 16 28 29 2 30 6 10 • à concevoir qu’un nombre peut être exprimé avec plusieurs écritures. 27 3 apprentissage 2 TRACE ÉCRITE INDIVIDUELLE 28 29 5 dizaines 27 28 + Sommes et différences de fractions 5 Réponses : a. Soustraction (méthode par emprunt) B 3 9 10 30 4 28 + 1+ Écrire ou faire coller 6 numération 6 dans le cahier le tableau de Les tortues partent maintenant à chaque fois complété par laparcolonne des dixièmes. du repère marqué par une flèche violette. repère marqué une flèche rouge. Une tortue bleue et une tortue verte se déplacent le long dedu deux lignes graduées. Écris le nombre en face d’une duquel se fraction Écris le nombre en face duquel se Illustrer son utilisation sur des décompositions B trouvera A trouvera chaque tortue : chaque tortue : 27 28 29 30 0 1 2 3 8 a. aprèsd’une avoir reculésomme sur sa ligne ou d’une a. aprèsou avoir sur reculé la sur sa ligne ded’une 11 pas décimale pose addition 28 + de 158 pas de graduation de graduation 10 6 ci-avant. 9 b. après avoir avancé sur sa ligne b. après avoir avancé de 11 pas soustraction comme 28 sur + sa ligne 1+ 10 Je cherche Déplacements de Les tortues deux tortues partent à chaque fois > Pour l’exemple, voir Guide, Unité 3, Apprentissage 3, p. 117. 10 de 158 pas de graduation de graduation 158 C Recopie 27 28 29 de 30 0 1 2 3 et complète le tableau 10 numération de Tom et explique comment il l’utilise pour répondrepour la tortue 8 4 5 . + bleue à la question B28 1+ Manuel p. 76-77 5 Entrainement 12 + individuel 1 2 8 6 6 10 Les deux tortues partent à chaque Les tortues partent maintenant à chaque fois fois du repère marqué par une flèche violette. du repère marqué par une flèche rouge. Je m’entraine Écris le nombre en face duquel se le nombre en face duquel se Il est impossible de soustraire directement 8 dixièmes à Écris 6 dixièmes. Se déplacer sur ligne graduée trouvera chaque tortueune : trouvera chaque tortue : er SE DÉPLACER 2 Une tortue rouge se déplace sur une ligne En décomposant 1 unité en 10 dixièmes au 1 terme, celui-ci devient ◗ SUR a. après avoir reculé sur sa ligne a. après avoir reculé sur sa ligne de 11 pas UNE LIGNE GRADUÉE graduée en quarts d’unité, à chaque fois de 158 pas de graduation de graduation 2 dizaines, 7 unités, 16 dixièmes. à partir du repère 9 + 3 . b. après avoir avancé sur sa ligne b. après avoir avancé sur sa ligne de 11 pas 1 La bleue se déplace sur sa ligne 4 de tortue 158 pas de graduation de graduation On a alors : 16 dixièmes – 8 dixièmes = 8 dixièmes, Écris en face de quel nombre elle graduée en dixièmes d’unité, à chaque fois 3 . se trouve : à partir du repère 9 + C Recopie et complète le tableau de 7 unités – 5 unités = 2 unités ; 2 dizaines – 1 dizaine = 1 dizaine. a. après avoir avancé de 4 d’unité 10 – 1 5 – 8 DICO INCONTOURNABLE 23 numération de Tom et explique comment il l’utilise pour répondre pour la tortue bleue à la question B. b. Addition Écris en face de quel nombre elle se trouve : 17 d’unité a. après avoir avancé de 10 b. après avoir avancé de centaines dizaines unités dixièmes Une fraction décimale se décompose en unités 6 28 + ◗ 8 6 2 10 158 de numération :+ + 1 5 8 10 4 44 + 4 4 4 1 873 10 = 1 centaine 8 dizaines 7 unités 3 dixièmes 6 dixièmes + 8 dixièmes = 14 dixièmes = 10 dixièmes + 4 dixièmes 10 EXERCICE 1 = 1 unité (de retenue) + 4 dixièmes Je m’entraine 1 DICO 23 Le travail sur les fractions décimales met en avant le lien avec le système écrit de numération décimale SE DÉPLACER SUR UNE LIGNE GRADUÉE INCONTOURNABLE 1 4 13 d’unité 4 c. après avoir reculé de 13 d’unité 4 b. après avoir reculé de 17 d’unité 10 1 1 1 Une tortue rouge se déplace sur une ligne 76 2• soixante-seize graduée en quarts d’unité, à chaque fois 3 . à partir du repère 9 + La tortue bleue se déplace sur sa ligne 4 en face de quel nombre elle 76 graduée en dixièmes d’unité, à chaque fois 072-088-Unite 5.inddÉcris 3 se trouve : à partir du repère 9 + . 4 a. après avoir avancé de d’unité 10 4 Écris en face de quel nombre elle se trouve : b. après avoir avancé de 13 d’unité 17 a. après avoir avancé de d’unité 4 10 13 d’unité c. après avoir reculé de b. après avoir reculé de 17 d’unité 4 10 24/01/2020 10:25 76 • soixante-seize EXPLICITATION, VERBALISATION Faire remarquer par les élèves que : ◗ Comme dans l’écriture des nombres entiers, on peut retrouver, dans l’écriture d’une fraction de dénominateur 10, sa décomposition en unités de numération. ◗ Pour cela, il nécessaire de se servir d’une nouvelle unité de numération obtenue en partageant l’unité en 10 parts égales : le dixième. ◗ Dans 128 : 10 centaines dizaines unités 1 12 2 dixièmes 128 8 8 – de droite à gauche, 8 désigne le chiffre des dixièmes, 2 celui des unités, 1 celui des dizaines – il y a, dans ce nombre, 12 unités et 8 dixièmes (ou 1 dizaine et 28 dixièmes). ◗ Et inversement 12 unités et 8 dixièmes (ou 1 dizaine et 28 dixièmes) est égal à ◗ En synthèse, rappeler : 128 . 10 – que les fractions n’ont pas toutes cette propriété, et qu’on appelle fractions décimales les fractions de dénominateur 10 qui la possèdent (de même que les fractions de dénominateur 100, 1 000… qui seront vues plus tard). – qu’avec les fractions décimales les calculs mêlant entiers et fractions sont facilités : on peut par exemple les poser en colonnes dans un tableau de numération en utilisant, entre autres, le fait que 1 unité = 10 dixièmes pour placer la retenue. 24/01/2020 10:25 5 • Les fractions décimales (par exemple, celles de dénominateur 10 ou 100) sont dans un tableau de numération. 6 76 ou + Réponses : a. 11 b. 7 + des fractions qui peuvent se décomposer 10 10 EXERCICE 2 en unités de numération (centaines, dizaines, Il s’agit de rappeler que les propriétés des fractions décimales ne s’appliquent pas aux fractions non unités, dixièmes, centièmes…). décimales et que les stratégies de résolution s’appuient sur la compréhension de la signification de l’écriture fractionnaire. • La décomposition des fractions décimales en unités de numération permet d’organiser Ajouter, soustraire des longueurs ◗ les calculs sur le modèle des nombres entiers et de préparer la compréhension de l’écriture ◗ à virgule. Réponses : a. 10 + 3 43 2 26 ou b. 13 c. 6 + ou 4 4 4 4 AJOUTER, SOUSTRAIRE DES LONGUEURS 3 4 ★ 6 Une bassine contient 2 L d’eau, on y verse ★★ 3 pots d’eau de 1 L puis on en retire 10 1 L et demi. Trouve la quantité d’eau restante dans la bassine. Romy a construit une bande de longueur 27 u. Aya en a construit une de longueur 10 1 u + 9 u. 10 a. Quel est l’écart de longueur entre les deux bandes ? b. Quelle est la longueur totale des deux bandes mises bout à bout ? Une sportive a effectué, lors d’une épreuve de triple saut, un premier bond long de 4 m et demi, un deuxième qui mesure 1 m de moins et un troisième qui fait 5 m de plus que le deuxième. 10 Quelle est la longueur totale de son triple saut ? CALCULER DES SOMMES ET DES DIFFÉRENCES ➜ Pour les exercices 7 à 9, donne les réponses sous la forme de la somme d’un entier et d’une fraction plus petite que 1. INCONTOURNABLE = 1 dizaine (de retenue) + 4 unités 3 dizaines + 1 dizaine = 4 dizaines UNITÉ C’est une reprise de la recherche. Pour répondre les élèves peuvent effectuer ou évoquer les déplacements sur une ligne gradée en dixièmes, raisonner sur les écritures (en 3 93 disant par exemple que 9 + c’est auxquels on ajoute 10 10 17 110 , ce qui donne , c’est-à-dire 11) ou poser les opérations 10 10 7 Écris les dix nombres qui suivent 45 en comptant de 7 dixièmes en 7 dixièmes. > Pour l’exemple, voir Guide, Unité 5, Apprentissage 2, p. 179. SOUSTRAIRE DES DURÉES, ◗ AJOUTER, DES CONTENANCES 5 ★ Chaque équipe d’un relai 4 × 100 m, est composée de 4 coureurs, qui parcourent chacun 100 m. Voici les temps de l’équipe verte : Premier coureur 13 secondes et 7 dixièmes de seconde Deuxième coureur 14 secondes Troisième coureur 12 secondes et 9 dixièmes de secondes Quatrième coureur 12 secondes et 2 dixièmes de secondes a. Quel écart de temps sépare le coureur le plus rapide du coureur le plus lent ? b. Quel est le temps réalisé par cette équipe sur 400 mètres ? INCONTOURNABLE 072-088-Unite 5.indd 76 INCONTOURNABLE 9 unités + 5 unités = 14 unités = 10 unités + 4 unités 8 Écris les dix nombres qui précèdent 18 en comptant en reculant de 8 dixièmes en 8 dixièmes. 9 Calcule : a. la somme des nombres inscrits sur les étiquettes de même couleur b. la différence entre ces nombres 2 dizaines 13 unités 40 + 2 10 2 dixièmes 7 unités et 3 dixièmes 27 + 1 10 Énigme 47 48 181 49 Une tortue bleue est située à : • 14 unités et 8 dixièmes d’unité du repère 47 ; • 165 dixièmes d’unité du repère 48 + 7 . 10 En face de quel repère se trouve la tortue ? hatier-clic.fr/CM1cap026 soixante-dix-sept • 77 072-088-Unite 5.indd 77 24/01/2020 10:25 19 Nos choix pour … ◗ Les principales connaissances et compétences sont relatives à la désignation des nombres entiers et décimaux (en chiffres et en lettres). Elles peuvent être résumées par le schéma suivant : Écriture en chiffres Pour les grands nombres entiers, le passage entre écriture chiffrée et désignation orale suppose la maitrise des différentes classes (unités, milliers, millions). Pour les nombres décimaux, ce passage suppose la connaissance de la valeur des chiffres ou groupes de chiffres situés à droite de la virgule. Écriture en lettres Lecture Les représentations figurées des nombres aident à comprendre la valeur des chiffres en fonction de leur rang dans l’écriture chiffrée et les relations entre unités de numération. Elles aident également à distinguer des notions telles que chiffres des dizaines ou des dixièmes et nombres de dizaines ou de dixièmes. Représentation figurée Les représentations figurées permettent de renforcer la signification de termes comme « milliers », « dixièmes »... ◗ La compréhension des systèmes d’écriture et de lecture des nombres sous-tend celle de la plupart des connaissances relatives à ces nombres (comparaison, calcul…). Elle s’étend en CM1 aux nombres entiers jusqu’au milliard et aux décimaux ayant, au plus, deux décimales. Trois aspects importants peuvent être soulignés dans l’approche proposée par Cap Maths : Le matériel de numération illustre les relations entre unités de numération. Il est organisé pour faciliter la compréhension du découpage de l’écriture des entiers en tranches de 3 chiffres à partir de la droite. L’accent est mis sur la compréhension du système d’écriture chiffrée des nombres entiers ou décimaux CapMaths CM1 CapMaths CM1 2 © Hatier 2017 - Reproduction autorisée pour une classe seulement. Guide p. 11 Matériel de numération (unité, dizaine, centaine, millier, dizaine de milliers) UNITÉ 1 - Apprentissage 2 Guide p. 11 Matériel de numération (centaine de milliers, million) Usage multiple UNITÉ 1 - Apprentissage 2 Usage multiple 1 La compréhension de l’écriture chiffrée des entiers, aussi bien que des décimaux, reposent sur deux principes : • la valeur d’un chiffre est déterminée par le rang qu’il occupe dans l’écriture chiffrée ; • il existe des relations « décimales » entre les unités de numération (unité, dizaine, centaine, dixième, centième) : ce sont des rapports 10, 100, 1000… 001-109-Materiel CM1.indd 2 20 20/04/2017 16:27 001-109-Materiel CM1.indd 3 20/04/2017 16:27 > Pour l’exemple, voir Fiches matériel 38 et 39. La numération décimale (nombres entiers et décimaux) En écriture décimale, les techniques de calcul posé en colonnes mises en place sur les entiers se prolongent aux décimaux SITUATION POUR INTRODUIRE L’ÉCRITURE À VIRGULE Les élèves doivent ajouter les longueurs de différentes bandes données sous la forme d’une fraction décimale, d’un entier ou d’une somme des deux. Ils peuvent pour cela : • poser des opérations dans un tableau de numération en utilisant la décomposition des nombres donnés en unités de numération ; • effectuer l’opération sans tableau de numération en essayant de coder les longueurs avec une écriture à virgule. L’écriture à virgule est présentée comme un codage de fractions décimales (dixièmes puis centièmes) Les bandes accolées Je cherche À l’aide d’une règle graduée en dixièmes, Romy a construit quatre bandes de couleurs et de longueurs différentes. 1u+ 9 u 10 Je vais mettre les 4 bandes bout à bout pour faire une longue bande. Je me demande combien elle va mesurer en unités u… 26 u 10 2u 7 u 10 Moi j’écris les longueurs de chaque bande avec des nombres à virgule Pour répondre, moi je fais une opération dans un tableau de numération. A B (par exemple j’écris 1,9 pour 1 u + 9 u). 10 Je pose ensuite l’opération. Quelle est la longueur de la longue bande que Romy veut réaliser ? Pose l’opération comme Tom. Comment Aya a-t-elle écrit les longueurs de chaque bande ? Écris comment elle a posé ensuite l’opération. C Milo a construit une bande qui mesure 28 u + 3 u et une autre qui mesure 157 u. 10 10 Trouve la longueur des deux bandes mises bout à bout en utilisant la méthode de ton choix. La compréhension de l’écriture à virgule repose sur la connaissance de la valeur des chiffres qui la composent : • la virgule est un indicateur (et non un séparateur) : elle signale le chiffre des unités, ce qui détermine le rang des autres chiffres ; • la signification fractionnaire de l’écriture à virgule est rappelée par une lecture signifiante du nombre, celle-ci est à privilégier. Exemple : 2,3 ➞ se lit 2 unités 3 dixièmes ou 23 dixièmes > Pour l’exemple, voir Guide, Unité 5, Apprentissage 3, p. 183. La mise en place de techniques de comparaison de nombres entiers ou décimaux repose sur la compréhension de leur écriture décimale. DICO 19 Comparer des nombres décimaux Pour comparer deux nombres décimaux, il faut : – regarder les chiffres en commençant par le rang le plus élevé. Si à ce rang un des deux nombres ne comporte pas de chiffre, on considère que le chiffre est 0 ; – s’arrêter dès que deux chiffres de même rang sont différents. Le nombre qui a le chiffre le plus important est le plus grand des deux nombres. Comparer 0,53 et 0,7 0,53 k 5 dixièmes 3 centièmes 0,7 k 7 dixièmes 0,53 contient moins de dixièmes que 0,7. Donc 0,53 est plus petit que 0,7. Tu peux donc écrire : 0,53 < 0,7. On dit aussi : 0,53 est inférieur à 0,7. La procédure de comparaison mise en avant pour les entiers est prolongée aux décimaux Parcourir les écritures chiffrées de nombres à partir de la gauche en comparant la valeur respective de chacun de leurs chiffres permet de les comparer. Exemples : 2 016 > 203 ➞ parce que 2 016 comporte des milliers alors que 203 n’en comporte pas. 20,16 < 20,3 ➞ parce que 20,16 et 20,3 comportent le même nombre de dizaines et d’unités, mais 20,16 comporte moins de dixièmes que 20,3 (et 6 centièmes, c’est moins que 1 dixième). > Pour l’exemple, voir Dico maths 19. 21 Nos choix pour … ◗ Le champ multiplicatif regroupe tous les apprentissages relatifs à la multiplication, à la division et à la proportionnalité. Le travail est centré sur le sens des opérations (problèmes élémentaires), la mémorisation de faits numériques, le développement de stratégies de calcul réfléchi (purement mental ou en ligne) et celui de techniques de calcul posé en colonnes. Le sens de la multiplication et celui de la division s’enrichissent progressivement Je cherche Au CM1, les élèves résolvent des problèmes en utilisant la multiplication, notamment dans des problèmes de comparaison où il s’agit de trouver une quantité un certain nombre de fois plus grande qu’une autre. Les tours de Dubaï La ville de Dubaï, aux Émirats arabes unis, possède plus de 460 gratte-ciels dont le plus haut du monde : la tour Burj Khalifa. En voici quelques-uns : Al Mass Tower environ 138 m Marina Pinaccle environ 276 m Princess Tower environ 414 m Burj Khalifa environ 828 m Tom, Milo, Aya et Romy pensent chacun à un de ces gratte-ciels. Il est deux fois plus haut que l’Al Mass Tower. Sa hauteur est le sixième de celle du Burj Khalifa. Sa hauteur est trois fois celle du Marina Pinaccle. Il est trois fois moins haut que le Burj Khalifa. A À quel gratte-ciel pense : B L’Al Mass Tower est moins haut que la Princess Tower. a. De combien de mètres est-il moins haut qu’elle ? b. Combien de fois est-il moins haut qu’elle ? C Tom dit que la hauteur de la tour Montparnasse à Paris est le quart de celle du Burj Khalifa. Romy lui répond : « Tu as presque raison mais à 3 m près. » Quelle peut être la hauteur de la tour Montparnasse ? a. Tom ? b. Milo ? c. Aya ? Les problèmes de partage ou de répartition équitable dans lesquels il faut trouver le nombre de parts ou la valeur de chaque part sont mis en lien avec la division. Ils sont résolus par addition, soustraction ou multiplication et commencent à l’être par l’opération division. d. Romy ? > Pour l’exemple, voir Guide, Unité 6, Apprentissage 2, p. 213. Le lien entre multiplication et division est enseigné en même temps que s’élaborent des stratégies de calcul réfléchi Je cherche Des quotients et des restes Tu dois trouver les réponses sans poser d’opération en colonnes et sans utiliser ta calculatrice. A Trouve le quotient et le reste de 87 divisé par 7. Vérifie ta réponse en faisant un calcul. B Trouve le quotient et le reste de chaque division. Vérifie tes réponses en faisant un autre calcul. a. 69 divisé par 3 b. 69 divisé par 30 c. 69 divisé par 9 C Avec 87 , faire 7 paquets identiques ? , Avec 87 faire des paquets de 7 ? 87, c’est combien de fois 7 ? Trouve le quotient et le reste de chaque division. Vérifie tes réponses en faisant un autre calcul. a. 245 divisé par 10 d. 100 divisé par 15 b. 100 divisé par 9 e. 52 divisé par 4 c. 75 divisé par 15 f. 150 divisé par 12 > Pour l’exemple, voir Guide, Unité 8, Apprentissage 3, p. 285. 22 Les élèves apprennent à passer du registre « partagé » au registre « combien de fois ... dans ... ? » et réciproquement. Le calcul réfléchi s’appuie sur une bonne maitrise des tables de multiplication, dont la mémorisation continue à être entrainée. La connaissance des tables doit permettre de répondre à des questions du type « combien de fois a dans b ? » ou « b divisé par a ? ». Les stratégies de calcul prennent appui sur des propriétés des opérations : • la commutativité de la multiplication : 35 fois 12, c’est aussi 12 fois 35 ; • l’associativité de la multiplication : 12 fois 35, c’est (3 fois 4) fois 35, c’est aussi 3 fois (4 fois 35) ; • la distributivité de la multiplication sur l’addition : 12 fois 35, c’est 10 fois 35 plus 2 fois 35 ; • la décomposition additive du dividende d’une division : 84 divisé par 4, c’est 80 divisé par 4 plus 4 divisé par 4. La multiplication et la division La maitrise de techniques de calcul posé nécessite à la fois la compréhension des étapes de calcul et un entrainement Je cherche Le partage des points Quatre joueurs se partagent équitablement les points qu’ils ont gagnés. Dessine la part de chaque joueur. cent cent cent dix dix dix dix dix dix dix dix 5 dizaines 7 unités Écris le nombre de centaines, dizaines et unités que chacun recevra, la valeur de sa part et ce qu’il restera après le partage. C cent un un mille mille 9 8 6 4 – 8 et des unités : il sera écrit avec 3 chiffres. 1 8 9 centaines divisées par 4, cela fait 2 centaines 2 c d u – au quotient car 2 x 4 = 8. Par soustraction, il reste 1 centaine qui représente un mille dix mille dix un un un un 2 milliers Le quotient aura donc des centaines, des dizaines un un Pour la multiplication : •2 la distributivité de la multiplication sur l’addition permet d’expliquer la présence de différentes lignes dans le calcul posé ; Trois joueurs se partagent équitablement • l’associativité explique le décalage (marqué par les points qu’ils ont gagnés. Quelle sera la part de chacun ? des 0) sur les lignes de calculs donnant des produits 3 par un multiple de 10, 100 ou 1 000 ... Cinq joueurs se partagent équitablement Pour laqu’ilsdivision les points ont gagnés. Écris le nombre de milliers, de centaines, de dizaines et d’unités que chacun choix estde chaque faitpart. d’utiliser la décomposition additive • Le recevra, puis la valeur 4 du Huit joueurs se partagent équitablement dividende en unités de numération pour 425 points. a. Quelle sera la part de chacun ? présenter laledivision posée comme étant une suite b. Que restera-t-il après partage ? 5 Sept joueurs se partagent équitablement de partages successifs en parts égales, où les restes 1 000 points. a. Quelle sera la part de chacun ? b. Que restera-t-il après le partage ? intermédiaires non partageables sont à chaque fois échangés contre des unités de rang inférieur. ★ c d u Je peux diviser 9 centaines par 4. un cent un Milo vient d’apprendre à calculer une division en posant une opération. Il a commencé à diviser 986 par 4. Observe sa méthode. C’est une manière de mettre en forme les partages que tu as faits dans les exercices précédents. On l’appelle la méthode de la potence. a. Recopie et termine sa division. b. Quel est le quotient et quel est le reste de la division de 986 par 4 ? un cent cent Quatre joueurs se partagent équitablement les points qu’ils ont gagnés. Quelle sera la part de chacun ? un un Six joueurs se partagent équitablement les points qu’ils ont gagnés. 5 centaines DES QUANTITÉS La compréhension des techniques s’appuie, d’une part ◗ PARTAGER ÉQUITABLEMENT la maitrise de la numération décimale positionnelle sur 1 et, d’autre part, sur la connaissance de certaines propriétés des opérations travaillées en calcul réfléchi. un INCONTOURNABLE cent cent B INCONTOURNABLE Pour les questions A et B, tu dois trouver les réponses sans poser d’opération et sans utiliser la calculatrice. Tu peux utiliser des jetons découpés et faire des échanges, si nécessaire. A Le calcul posé avec des entiers est stabilisé pour la multiplication (en colonnes) et abordé pour la division (avec potence) 7 dizaines 3 centaines 8 unités ★★ – 10 dizaines. Avec les 8 dizaines de 986, cela fait 18 dizaines à diviser par 4. Etc. ★★ > Pour l’exemple, voir Guide, Unité 8, Apprentissage 4, p. 288. Multiplier un nombre par 10 revient, pour son écriture en chiffres, à donner à chacun des chiffres qui le composent une valeur 10 fois plus grande. DICO 36 Multiplier et diviser un nombre par 10, 100... Lorsqu’on multiplie un nombre par 10, 100, 1 000…, chacun de ses chiffres prend une valeur 10 fois, 100 fois, 1 000 fois… plus grande. 207 × 10 = 2 070 milliers centaines dizaines 2 0 2 0 7 2,45 × 100 = 245 13,4 × 100 = 1 340 1 unités , dixièmes centièmes 7 0 4 2 5 4 2 1 4 3 0 4 3 5 La multiplication et la division par 10 sont étendues aux décimaux L’accent est mis sur les effets la multiplication ou de la division par 10, en lien avec le sens de ces opérations. L’utilisation d’un « glisse-nombre » illustre les changements de valeurs qui s’opèrent sur chaque chiffre. > Pour l’exemple, voir Dico maths 36. Lorsqu’on divise un nombre par 10, chacun de ses chiffres prend une valeur 10 fois plus petite. 4 500 : 10 = 450 2,8 : 10 = 0,28 milliers centaines dizaines 4 5 0 4 5 unités , dixièmes centièmes 0 0 2 0 8 2 8 23 Nos choix pour … ◗ Les principales connaissances et compétences relatives au domaine des Grandeurs et Mesures travaillées au CM1 s’organisent autour de quatre axes : la construction de la grandeur aire et de sa mesure, la compréhension de la notion de périmètre et sa distinction avec la notion d’aire, la connaissance des unités du système décimal de mesure (pour longueur, contenance et masse) et des relations entre ces unités, l’utilisation des différentes unités de durée et la construction de procédures permettant de résoudre des problèmes liés aux durées. Deux surfaces ont même aire si elles peuvent se superposer directement ou après certaines transformations licites (découpage et réorganisation d’une des surfaces ou des deux). La grandeur aire est construite avant sa mesure CapMaths CM1 CONSTRUIRE LA GRANDEUR AIRE 10 UNITÉ 2 - Apprentissage 5 Guide p. 58 Entrainement ° On veut décorer la 1 surface A avec le papier d’une surface à motifs. Attention, la surface A doit être entièrement décorée avec un seul motif. Pour utiliser une surface à motifs, on peut la découper, déplacer des morceaux, les assembler. Chacune des surfaces 1 et 6 permet-elle de décorer la surface A ? 2 Recherche Les papiers à motifs 3 4 A 5 6 20/04/2017 16:27 001-109-Materiel CM1.indd 11 • La grandeur est construite dans des problèmes de comparaison portant sur des surfaces résolus par superposition ou découpage et recollement, au moyen d’actions d’abord effectives, puis mentales. • La mesure de l’aire est ensuite introduite, les surfaces étant pavées par une surface dont l’aire est choisie comme unité. • La notion d’aire est introduite assez tôt dans l’année de CM1. Les longueurs et les aires sont des contextes privilégiés pour des activités mettant en jeu les nouveaux nombres que sont les fractions simples, puis décimales et les nombres à virgule. • Le calcul de l’aire d’une surface rectangulaire est étudié au CM2 en lien avec l’apprentissage d’unités conventionnelles de mesure d’aire. > Pour l’exemple, voir Guide, Unité 2, Apprentissage 5, p. 90. Le périmètre d’une surface est compris comme une longueur : celle de son contour CapMaths CM1 69 UNITÉ 7 - Apprentissage 5 Aire et périmètre sont des notions indépendantes. En particulier, deux surfaces peuvent avoir même aire et des périmètres différents, et inversement. © Hatier 2020 - Reproduction autorisée pour une classe seulement. Guide p. 256 Compas et périmètres grand périmètre ? N K N K M M O O G G Recherche C À vue d’œil, sans mesurer, saurais-tu dire si c’est le rectangle ou le carré qui a le plus B P P B A Réponse : ................................................... A ......................................................................... C ......................................................................... • Les élèves mesurent des périmètres de polygones, en ajoutant les longueurs de leurs côtés et expriment leur mesure dans une unité adaptée en utilisant si besoin les relations entre unités usuelles. ......................................................................... ......................................................................... • La notion de périmètre est travaillée dans un problème de comparaison. Les élèves doivent comparer des périmètres sans les mesurer. Pour cela, ils apprennent à utiliser le compas pour reporter des longueurs et construire des segments de même longueur que des lignes brisées fermées. C D D Avec ton compas D uniquement, construis sur les demi-droites ci-contre : a. un segment [KL] qui a la même longueur que le périmètre du rectangle. b. un segment [GH] qui a la même longueur que le périmètre du carré. Avais-tu vu juste ? .................................................................................................................. ...................................................................................................................................................... • Des situations spécifiques au CM1 et au CM2 amènent à distinguer périmètre et aire pour une même surface. E a. Mesure les côtés du rectangle et calcule son périmètre. Exprime-le en cm et mm. ...................................................................................................................................................... ...................................................................................................................................................... > Pour l’exemple, voir Guide, Unité 7, Apprentissage 5, p. 256. b. Mesure les côtés du carré et calcule son périmètre. Exprime-le en cm et mm. ...................................................................................................................................................... ...................................................................................................................................................... 001-106-Materiel CM2.indd 32 24 27/04/2017 17:30 Les grandeurs et les mesures Les relations entre unités de mesure sont les mêmes qu’entre unités de numération. DICO 47 Mesurer des longueurs Pour mesurer les longueurs, différents instruments sont utilisés : règle graduée, double-décimètre, mètre ruban, double-mètre, décamètre, double-décamètre. Leur nom évoque souvent leur longueur. Le compteur kilométrique d’une voiture mesure la distance parcourue en kilomètres. Les unités de longueur Les multiples du mètre kilomètre (km) hectomètre (hm) Les sous-multiples du mètre décamètre (dam) 1 000 m 100 m 10 m 1 millier de m 1 centaine de m 1 dizaine de m décimètre (dm) centimètre (cm) millimètre (mm) 1 m = 10 dm 1 m = 100 cm 1 m = 1 000 mm 1 m 10 1 m 100 1 m 1 000 L’unité légale est le mètre (m). 1 dixième de m 1 centième de m 1 millième de m La règle du tableau mesure 1 m. 1 km = 10 hm ; 1 hm = 10 dam ; 1 dm = 10 cm ; 1 cm = 10 mm. Les unités de mesure s’inscrivent dans un système décimal • Dans la continuité du cycle 2, les élèves renforcent leurs connaissances relatives aux différentes grandeurs : longueur, masse, contenance. Ils effectuent des mesurages avec des instruments adaptés et utilisent les unités conventionnelles (mètre, litre, gramme). Il est important que les élèves aient un ordre de grandeur pour ces unités, en se référant aux instruments de mesure pour les longueurs (double décimètre, mètre pliant…) ou en mémorisant des grandeurs dans leur environnement : « la hauteur de la porte fait 2 m, une brique de lait contient 1 L... » • L’objectif principal au CM1 est la compréhension du caractère décimal du système international d’unités. Il s’agit de comprendre la signification des préfixes utilisés pour dénommer les multiples et sous-multiples du mètre, gramme, litre : kilo ➝ millier ; hecto ➝ centaine ; déca ➝ dizaine ; déci ➝ dixième ; centi ➝ centième ; milli ➝ millième. Les élèves doivent savoir s’y référer pour réaliser des conversions. • Des situations de dénombrement de cubes identiques dans des assemblages en trois dimensions permettent d’aborder la notion de volume. > Pour l’exemple, voir Dico maths 47. Pour résoudre des problèmes portant sur les durées, les procédures sont personnelles. Elles s’appuient sur les relations connues entre unités Les problèmes élémentaires sont de deux types : calcul de la durée écoulée entre deux instants donnés et détermination d’un instant à partir de la connaissance d’un instant et d’une durée. UNITÉ Durées en heures et minutes 8 apprentissage 5 FRANCE Je cherche Horaires de train SUISSE Genève Milo habite Toulouse et veut se rendre à Paris en train pour y arriver le soir. Il consulte les horaires de train. Lyon Milan Grenoble TOULOUSE > PARIS TRAJET 1 Toulouse Matabiau Paris Montparnasse 13 : 41 19 : 00 TGV 8552 TRAJET 2 Toulouse Matabiau Bordeaux St-Jean 16 : 22 18 : 28 TER 4758 Bordeaux St-Jean Paris Montparnasse 18 : 48 21 : 45 TGV 8468 Toulouse Matabiau Paris Austerlitz 16 : 51 23 : 11 TER 3690 TRAJET 3 A Quelle est la durée du trajet 1 ? B Quelle est la durée du trajet 3 ? C Pour le trajet 2 : a. Quelle est la durée du voyage de Toulouse à Bordeaux ? b. Quelle est la durée du voyage de Bordeaux à Paris ? c. De combien de temps dispose-t-on pour changer de train à Bordeaux ? d. Quelle est la durée totale du voyage de Toulouse à Paris ? ◗ CALCULER DES DURÉES Turin Rome I TA L I E Réservation obligatoire Réservation obligatoire Réservation obligatoire D Milo souhaite que le trajet dure le moins longtemps possible. Quel trajet doit-il choisir ? À quelle heure va-t-il donc prendre le train à Toulouse ? E Aya dit qu’en prenant le train à 8 h 04, le trajet dure 5 heures 59 minutes. À quelle heure ce train arrive-t-il à Paris ? 2 Voici les horaires du trajet de Lyon à Rome en passant par Grenoble et Turin. TER 17615 TGV 9245 ITALO 9977 Je m’entraine 1 • C’est en résolvant des problèmes issus de la vie courante que les élèves construisent de nouvelles significations et des méthodes de calcul. Des schémas représentant le temps de manière linéaire permettent de visualiser la chronologie des événements et de donner du sens aux procédures utilisées qui doivent être expliquées collectivement en synthèse des activités. Exemple : pour calculer la durée écoulée entre 8 h 15 et 9 h 30, une procédure possible est : de 8 h 15 à 9 h ➞ il s’écoule 45 min, de 9 h à 9 h 30 ➞ il s’écoule 30 min, donc de 8 h 15 à 9 h 30 ➞ il s’écoule 45 min + 30 min, soit 45 min + 15 min + 15 min, soit 1 h 15 min. DICO 00 Voici les horaires du trajet de Toulouse à Paris en passant par Brive-la-Gaillarde a. Pour ce trajet, quelle 13 : 49 Train 4758 est la durée du voyage entre TOULOUSE MATABIAU Toulouse et Brive ? 16 : 02 BRIVE-LA-GAILLARDE b. Quelle est la durée du voyage entre Brive et Paris ? 16 : 17 Train 8468 BRIVE-LA-GAILLARDE c. Quelle est la durée totale 20 : 11 réservation obligatoire PARIS MONTPARNASSE du voyage de Toulouse à Paris ? 11 h 14 LYON PART DIEU 12 h 38 GRENOBLE GARE 12 h 52 GRENOBLE GARE 16 h 15 TORINO PORTA SUSA 17 h 12 TORINO PORTA SUSA 21 h 04 ROMA TIBURTINA a. Quelle est la durée du voyage de Lyon à Grenoble ? b. Quelle est la durée du voyage de Grenoble à Turin (Torino) ? c. Quelle est la durée du voyage de Turin à Rome ? d. Quelle est la durée du voyage de Lyon jusqu’à Rome (Roma) ? e. Dispose-t-on de plus d’une demi-heure pour changer de train à Grenoble ? à Turin ? f. Dispose-t-on de plus d’une demi-heure pour changer de train ? > Pour l’exemple, voir Guide, Unité 8, Apprentissage 5, p. 291. 134 • cent-trente-quatre 123-140-Unite 8.indd 134 21/01/2020 14:21 25 Nos choix pour … ◗ En début de cycle, dans le prolongement du travail engagé dans la deuxième moitié du cycle 2, la reconnaissance des objets géométrique, d’abord perceptive, est complétée en contrôlant leurs propriétés à l’aide des instruments. Dans la seconde moitié du cycle, un basculement très progressif s’opère vers une géométrie où la déduction prend le pas sur le recours aux instruments. Certaines notions s’enrichissent de nouveaux aspects et de nouvelles notions sont introduites SITUATION POUR CARACTÉRISER DES DROITES PARALLÈLES CapMaths CM1 • Présenter la situation et la tâche. ° Sur la fiche sont dessinés trois tronçons d’une voie de chemin de fer. Pour chaque tronçon, vous devez décider si les rails ont été posés correctement ou non. Pour certains tronçons, seule la mesure de l’écartement permet de décider. 48 L’enseignement en cours moyen vise une première maitrise des objets géométriques usuels et des relations élémentaires qui fondent la géométrie du collège. UNITÉ 6 - Apprentissage 6 Guide p. 190 Construction d’une voie ferrée Pour chaque tronçon, les shadoks ont-ils posé les rails correctement ? Expliquez votre réponse. Tronçon 1 La pose est correcte Recherche Recherche A Des shadoks ont construit plusieurs tronçons d’une voie ferrée. La pose est incorrecte Explication : ...................................................................................................................................................... Tronçon 2 La pose est correcte La pose est incorrecte Explication : ...................................................................................................................................................... Tronçon 3 La pose est correcte La pose est incorrecte Explication : ...................................................................................................................................................... 001-109-Materiel CM1.indd 49 20/04/2017 16:27 Des notions sont enrichies : • celle d’angle droit associée jusque-là aux « coins » du carré, à un « coin » de l’équerre, s’élargit à l’aspect « quart de plan » et « quart de tour » ; • celle de symétrie axiale où, à la notion de figure ayant un axe de symétrie, vient s’ajouter celles de deux figures symétriques par rapport à une droite. Plusieurs notions sont introduites en CM1 : • celle de droites perpendiculaires définies comme deux droites qui se coupent en formant un angle droit et qui de fait en forment quatre ; • celle de droites parallèles vues comme des droites d’écartement constant ; • celle d’angle qui se caractérise par l’ouverture de ses côtés ; • celle de prisme droit venant après l’étude en cycle 2 du cube, du pavé droit, de la pyramide. > Pour l’exemple, voir Guide, Unité 5, Apprentissage 6, p. 193 Les savoirs sont introduits dans des situations qui leur donnent du sens Les savoirs spatiaux et géométriques se construisent dans des situations où ils apparaissent comme les outils indispensables à la résolution du problème posé. SITUATION POUR INTRODUIRE L’ANGLE • Les élèves ont le dessin d’une petite tarte partagée en 3 parts égales. ° Vous devez partager la grande tarte très précisément en trois parts égales. Vous pouvez utiliser le petit morceau de calque que je vous ai distribué et votre règle graduée. morceau de calque • Les situations proposées sont construites de façon à permettre à l’élève, au-delà de la simple manipulation, de faire des essais, chercher, émettre des hypothèses, les tester, argumenter. • Dans les problèmes de construction, une production peut être jugée acceptable alors que l’élève n’a pas mobilisé les propriétés de la figure et une production peut être rejetée bien que le raisonnement soit correct, parce que les tracés sont imprécis. Discuter les procédures de construction est donc essentiel. > Pour l’exemple, voir Guide, Unité 2, Apprentissage 6, p. 93. 26 L’espace et la géométrie Il recouvre trois aspects : verbal (oral ou écrit), « visuel » (représentation d’un objet géométrique sous la forme d’un dessin, d’un schéma) et symbolique. SITUATION POUR CARACTÉRISER CERTAINS POLYÈDRES • Des polyèdres classés en quatre groupes sont remis à chaque équipe. Le premier groupe contient des pyramides, le 2e des cubes et des pavés droits, le 3e des prismes droits et le 4e des polyèdres ne pouvant pas être classés dans les trois premiers groupes. • Formuler la tâche : ° Quelles sont les propriétés des polyèdres qui ont permis de les placer ensemble dans chacun des groupes ? Vous écrirez pourquoi ces polyèdres ont été mis ensemble. Le langage géométrique prend différentes formes • L’essentiel du travail de formulation, d’argumentation et de formalisation demeure oral. Il s’appuie fréquemment sur la production d’écrits individuels ou de groupes, qui sont discutés et précisés. • L’utilisation de dessins et de schémas est fondamentale en géométrie pour représenter les objets abstraits que sont les figures géométriques (objets de la pensée). Ainsi une droite, qui par essence est infinie, est matérialisée par un trait rectiligne nécessairement limité. Un schéma à main levée peut s’avérer précieux pour se faire une idée d’une figure à partir d’un texte, avant de passer à sa réalisation avec les instruments. • Les notations symboliques, en nombre restreint, sont toujours accompagnées de leur désignation verbale : droite (AB), segment [EF], longueur MP. Seul le codage de l’angle droit est utilisé en CM1. > Pour l’exemple, voir Guide, Unité 7, Apprentissage 6, p. 260. Les élèves apprennent à programmer le déplacement d’un personnage à l’écran. SITUATION POUR INITIER À LA PROGRAMMATION Écris un programme pour construire cette figure faite d’un carré et de deux rectangles. 200 200 100 100 100 100 L’initiation à la programmation permet de consolider des compétences spatiales et d’enrichir des connaissances géométriques • Notre choix s’est porté sur le logiciel de programmation Géotortue, qui est proche de Scratch mais sans le superflu pour une utilisation dans le champ mathématique. • L’initiation à la programmation se fait en commandant la construction sur un écran de figures ou d’assemblages de figures géométriques élémentaires (carrés et rectangles notamment). Elle est l’occasion de consolider la maitrise de leurs propriétés. Les caractéristiques du logiciel permettent d’aborder un nouvel aspect de l’angle droit associé à un « quart de tour », ce que ne permet pas l’espace de travail « papier-crayon ». • La programmation du déplacement d’un personnage permet de consolider la capacité à se décentrer, pour se mettre à la place de celui qui se déplace. > Pour l’exemple, voir Unité 4, Géométrie sur écran hatier-clic.fr/CM1capgecran04 . 27 Utilisation du glisse-nombre ◗ Le « glisse-nombre » est un outil permettant d’illustrer le fait que lorsque l’on multiplie (ou divise) un nombre par 10, 100, 1 000… les chiffres qui composent le nombre prennent une valeur 10 fois, 100 fois, 1 000 fois… supérieure (ou 10 fois, 100 fois, 1 000 fois… inférieure) et donc se déplacent dans le tableau de numération de 1, 2, 3 rangs vers la gauche (ou vers la droite). Illustration de 2,16 × 1 000 : déplacement chiffre par chiffre Le glissement des chiffres vers la gauche peut se faire en 1 fois de 3 rangs (multiplication par 1 000) ou en 3 fois de 1 rang à chaque fois (multiplication par 10, puis par 10, puis par 10) 0 0 0 0 0 2, 1 6 0 CENTAINES DE MILLIERS DIZAINES DE MILLIERS MILLIERS CENTAINES CLASSE DES MILLIERS DIZAINES UNITÉS DIXIÈMES CENTIÈMES MILLIÈMES CLASSE DES UNITÉS SIMPLES 2 unités × 1 000 = 2 000 unités = 2 milliers 0 0 2 0 0 0, 1 6 0 CENTAINES DE MILLIERS DIZAINES DE MILLIERS MILLIERS CENTAINES CLASSE DES MILLIERS DIZAINES UNITÉS DIXIÈMES CENTIÈMES MILLIÈMES CLASSE DES UNITÉS SIMPLES 1 dixième × 1 000 = 1 000 dixièmes = 100 unités = 1 centaine 0 0 2 1 0 0, 0 6 0 CENTAINES DE MILLIERS DIZAINES DE MILLIERS MILLIERS CENTAINES CLASSE DES MILLIERS DIZAINES UNITÉS DIXIÈMES CENTIÈMES MILLIÈMES CLASSE DES UNITÉS SIMPLES 6 centièmes × 1 000 = 6 000 centièmes = 60 unités = 6 dizaines 0 0 2 1 6 0, 0 0 0 CENTAINES DE MILLIERS DIZAINES DE MILLIERS CLASSE DES MILLIERS 28 MILLIERS CENTAINES DIZAINES CLASSE DES UNITÉS SIMPLES UNITÉS DIXIÈMES CENTIÈMES MILLIÈMES Illustration de 2,16 × 1 000 : déplacement des chiffres groupés 0 0 0 0 0 2, 1 6 0 CENTAINES DE MILLIERS DIZAINES DE MILLIERS MILLIERS CENTAINES CLASSE DES MILLIERS DIZAINES UNITÉS DIXIÈMES CENTIÈMES MILLIÈMES CLASSE DES UNITÉS SIMPLES 216 centièmes × 1 000 = 216 000 centièmes = 2 160 unités 0 0 2 1 6 0, 0 0 0 CENTAINES DE MILLIERS DIZAINES DE MILLIERS MILLIERS CENTAINES CLASSE DES MILLIERS DIZAINES UNITÉS DIXIÈMES CENTIÈMES MILLIÈMES CLASSE DES UNITÉS SIMPLES ◗ Des « chapeaux mesures » peuvent s’adapter sur le glisse-nombre pour illustrer les relations entre unités conventionnelles et unités de numération. IIllustration avec le mètre et ses multiples CENTAINES DE MILLIERS DIZAINES DE MILLIERS CLASSE DES MILLIERS km hm dam m MILLIERS CENTAINES DIZAINES UNITÉS CLASSE DES UNITÉS SIMPLES , dm cm mm DIXIÈMES CENTIÈMES MILLIÈMES 29 Présentation du logiciel 1 Qu’est-ce que GéoTortue ? GéoTortue est un logiciel libre inspiré du langage LOGO pour enseigner les mathématiques et l’algorithmique. Il a été développé au sein de l’IREM de Paris-Nord (http://www-irem.univ-paris13.fr). Exemples : av 100 Le logiciel existe sous deux versions qui peuvent être téléchargées depuis le site GéoTortue (http://geotortue. free.fr) et installées sur tout ordinateur. La nouvelle version du logiciel (GéoTortue 4) apporte de nombreuses améliorations dont certaines pourront être très utiles dans le cadre d’une initiation à l’algorithmique. Sur le site GéoTortue1, on trouve une aide en ligne comprenant notamment : ● L’index des commandes avec leur description. ● Un tutoriel « Premiers pas » comprenant entre autres : – une présentation générale et rapide du logiciel ; – les commandes de base. ● Une présentation de l’interface où sont décrits : – le « Bac à sable » qui est la page de travail qui s’affiche au lancement du logiciel et qui peut être personnalisée ; – les menus avec la présentation des différents boutons. Au moment où ce document est rédigé, la documentation en ligne n’est pas encore actualisée, mais cette présentation intègre les nouveautés. Pour aller plus loin dans l’utilisation de GéoTortue dans la classe, on trouve sur le site de nombreuses activités, dont certaines développées pour le cycle 3 et qui sont directement accessibles à l’adresse http://www-irem. univ-paris13.fr/site_spip/spip.php?rubrique53 Dans la nouvelle version 4, ces activités sont accessibles en ligne directement depuis le logiciel. 2 100 px re 50 50 px ! Les commandes td et tg (« tourner à droite » et « tourner à gauche ») Elles doivent être suivies de la mesure en degrés de l’angle de rotation de la tortue. Exemples : av 50 ; td 30 ; av 50 30° Les principales commandes de GéoTortue Plusieurs commandes peuvent être écrites sur une même ligne. Il suffit de les séparer par un point-virgule. ! Les commandes av et re (« avancer » et « reculer ») Elles doivent être suivies du nombre de pas que doit faire la tortue. Un pas de tortue mesure un pixel, c’est-à-dire qu’il n’est pas plus grand qu’un petit point sur l’écran. Attention, il faut placer un espace entre la commande et le nombre de pas. av 50 ; tg 135 ; av 50 1 Cette présentation a été réalisée à partir de l’aide en ligne de GéoTortue : http://geotortue.free.fr 30 135° GÉOTORTUE ! La commande vg (« vide graphique ») Elle efface tous les tracés effectués par la tortue et la repositionne au centre de l’espace graphique. ! La commande gomme Elle efface le dernier tracé effectué et ramène la tortue à sa position précédente. En sélectionnant une deuxième fois la commande gomme, on peut annuler l’avant-dernier tracé, ainsi de suite. ! Les commandes ct et mt (« cacher la tortue » et « montrer la tortue ») La tortue peut disparaitre ou réapparaitre grâce aux commandes ct et mt. Ces commandes peuvent être utiles lorsqu’une partie du dessin est masquée par la tortue. Exemple : La tortue a-t-elle bien dessiné un triangle ? Cachons-la… av 50 ; td 90 ; av 50 ; td 135 ; av 65 ! Les commandes bc et lc (« baisser le crayon » et « lever le crayon ») La commande bc permet d’afficher la trace du déplacement de la tortue. La commande lc permet de déplacer la tortue sans qu’elle laisse de trace, ce qui peut s’avérer utile pour certaines constructions. Exemples : av 40 ; lc ; av 40 ; bc ; av 40 40 px 40 px ! La commande rep (« répète ») Certaines suites de commandes peuvent être répétitives. La commande rep (répète) permet de les écrire plus brièvement. ct Ce n’est pas le cas. Le plus long des côtés est trop court. Exemple : Pour tracer un carré de côté 100 unités, les commandes : av 100 ; td 90 ; av 100 ; td 90 ; av 100 ; td 90 ; av 100 peuvent être remplacées par : rep 4 (av 100 ; td 90). La tortue exécute 4 fois la suite de commandes entre les parenthèses. Attention, il faut placer un espace entre rep et le nombre, ainsi qu’un autre espace entre le nombre et la parenthèse ouvrante. 31 Présentation du logiciel GÉOTORTUE 3 L’espace de travail Nous conseillons de placer sur le bureau un raccourci du logiciel et des fichiers que les élèves auront à utiliser. Au lancement du logiciel GéoTortue, l’écran suivant appelé « Bac à sable » s’affiche : Le bac à sable est une interface simplifiée permettant aux débutants et aux plus jeunes de se familiariser avec GéoTortue. Au centre, figure l’espace graphique où s’effectuent les tracés et en dessous, la fenêtre de commande. De part et d’autre de l’espace graphique, il y a deux panneaux où sont disposés des boutons qui permettent de piloter la tortue à l’aide d’instructions prédéfinies. Lorsqu’on clique sur un de ces boutons, la tortue exécute l’ordre associé et cet ordre est recopié dans la fenêtre de commande. L’objectif à terme est que l’élève saisisse directement les instructions dans la fenêtre de commande. Il travaillera alors avec le « pupitre » accessible en cliquant sur le bouton repéré par l’icône la fenêtre. en haut à droite de Sur la gauche, une boussole peut aider certains élèves à s’orienter et à distinguer la gauche et la droite de la tortue. Avec le curseur situé au-dessus de la boussole, on peut amener la tortue de la boussole dans la même position que la tortue de l’espace graphique. Ensuite, en fonction de la direction que l’on veut donner à la tortue dans l’espace graphique, on lit sur la boussole s’il faut tourner vers la gauche ou la droite de la tortue et la mesure de l’angle à donner à la rotation. 32 Annuler le dernier tracé Dans la version 4, un clic sur la commande gomme annule le dernier tracé. Dans la version 3, il n’est pas possible d’annuler le dernier tracé. En cas d’erreur, il faut vider l’espace graphique (vg), puis dans la fenêtre de commande, revenir à la première ligne et appuyer successivement en bout de chaque ligne sur la touche entrée jusqu’à l’instruction à modifier, l’effacer (voir vider la fenêtre de commande ou effacer une ligne de commande) saisir la nouvelle instruction et taper sur la touche Entrée. Vider la fenêtre de commande ou effacer une ligne de commande Dans la version 4, un clic sur le bouton balai situé en bas à droite de la fenêtre vide la fenêtre de commande. Dans la version 3, il faut tout sélectionner ou seulement la ligne à effacer avec la souris, puis appuyer sur la touche Suppr du clavier. Le Bac à sable est paramétrable Pour personnaliser les panneaux, il suffit dans la barre de menus de sélectionner « Outils » et dans ce menu : « Configurer le bac à sable ». Il est alors possible de supprimer ou d’ajouter des boutons avec de nouvelles commandes. Pour certaines activités, le Bac à sable peut être configuré pour que l’élève n’ait à sa disposition que les boutons qui lui seront utiles. Trois possibilités pour afficher une version reconfigurée du Bac à sable : Imaginons que nous ayons reconfiguré le Bac à sable et que nous ayons sauvegardé cette configuration sous le nom « GeoTortue_CM1_U2 ». Pour l’ouvrir : ● Lancer le logiciel en cliquant sur son icône. En dessous de la barre de menus, cliquer sur le bouton « Ouvrir un fichier sauvegardé », deuxième bouton en partant de la gauche. Dans la fenêtre qui s’ouvre, dans la zone située dans la partie supérieure, sélectionner dans le menu déroulant le nom du dossier dans lequel le fichier a été placé, puis dans la zone placée en dessous le nom du fichier, par exemple « GeoTortue_CM1_U2 ». Cliquer sur « Ouvrir » en bas de la fenêtre. Le bac à sable configuré s’affiche. ● Sans lancer le logiciel, faire un clic droit sur le fichier « GeoTortue_CM1_U2 » et sélectionner « Ouvrir avec ». Sélectionner le logiciel GéoTortue. Le bac à sable configuré s’affiche. ● Si le logiciel Géotortue a été associé à l’extension de fichier « .trt », il suffit de cliquer sur le fichier « GeoTortue_CM1_U2 ». Voir dans l’aide en ligne de votre système : « Associer une application à une extension de fichiers ». 33 Présentation du logiciel 1 Qu’est-ce qu’Apprenti géomètre ? ! Ouverture d’un fichier Apprenti Géomètre est un logiciel de géométrie dynamique mis au point par le CREM (Centre de Recherche sur l´Enseignement des Mathématiques) de Belgique francophone. Il est téléchargeable gratuitement à l’adresse suivante : https://www.crem.be/logiciel/AG Deux possibilités : 1. Cliquer sur l’icône d’un fichier avec l’extension « .fag » présent sur le bureau de l’ordinateur ou enregistré sur le disque dur. 2. Après ouverture d’Apprenti géomètre, dans le menu déroulant « Fichier », cliquer sur « Ouvrir » et sélectionner un fichier avec l’extension « .fag » présent sur le bureau de l’ordinateur ou enregistré sur le disque dur. Pour travailler l’action de la symétrie axiale sur une figure sous son aspect global, nous avons fait le choix de recourir à Apprenti Géomètre. Le retournement de la figure, le fait que la figure symétrique est située à la même distance de l’axe que la figure, qu’elle a la même inclinaison que la figure par rapport à l’axe, sont des propriétés qui permettent d’anticiper et de contrôler la construction du symétrique d’une figure. L’aspect analytique de la symétrie axiale (effet sur un point, une droite, etc.) sera abordé en CM2. Nous n’utilisons de fait qu’une infime partie des potentialités d’Apprenti Géomètre qui offre plusieurs champs de travail pour l’enseignement des grandeurs, des mesures et de la géométrie, au primaire et au secondaire. Apprenti Géomètre comporte trois étages : l’un élémentaire, le « kit standard » qui constitue le « Menu A », les deux autres plus avancés constituent le « kit libre » qui se décline en « Menu B » et « Menu C ». Dans le kit standard, on trouve des familles de figures, des opérations à réaliser sur celles-ci et des mouvements simples. Le kit libre offre en plus des figures déformables, matière à une géométrie dynamique et un travail sur les isométries. Nous ne présentons ici que ce qui est utile à l’activité « Figures symétriques ». Le guide de l’utilisateur peut être consulté en ligne ou téléchargé au format pdf à partir du menu « Aide » de la barre de menus. 2 Présentation des menus et outils ! Ouverture d’Apprenti géomètre À l’ouverture du logiciel, l’utilisateur doit s’identifier soit en tant qu’élève soit en tant qu’enseignant. Un élève clique sur « Élève », écrit son nom et clique sur « OK ». 34 ! Menus déroulants qui seront utilisés Aide : si une aide contextuelle ne s’affiche pas à côté du curseur, cocher « Afficher l’aide ». Édition : seuls seront utilisés « Annuler » pour annuler la dernière action et « Supprimer » pour supprimer un objet. Après avoir sélectionné « Supprimer », il faut désigner l’objet qui doit être supprimé et faire un double-clic. Préférences : seul « Formes bifaces » sera utilisé. Quand « Formes bifaces » est coché le recto et le verso d’une figure sont de deux couleurs différentes, comme ci-dessus, ce qui permet de visualiser le fait que la figure a été ou non retournée. Transformations : seront utilisés « Définir » et « Appliquer ». Pour pouvoir construire le symétrique d’une figure par rapport à une droite, il faut d’abord définir quel sera l’axe de symétrie. Pour cela, sélectionner « Définir », une fenêtre s’ouvre, sélectionner « Symétrie axiale ». APPRENTI GÉOMÈTRE Ensuite, cliquer sur la droite qui sera l’axe de symétrie. ! Outils « Mouvements » Ce sont les seuls outils qui seront utilisés. Glisser : impulse un mouvement de translation à la figure, ou à l’axe dans la direction du déplacement de la souris. Pour construire le symétrique d’une figure par rapport à un axe précédemment défini, sélectionner « Appliquer » puis cliquer sur l’axe. Tourner : permet d’effectuer une rotation de la figure soit autour d’un point intérieur à la figure (son centre de gravité), soit autour d’un sommet, ou une rotation de l’axe autour d’un point. Cliquer ensuite sur la figure dont on veut construire le symétrique. Retourner : permet de retourner la figure recto-verso. L’outil « Zoomer » qui permet soit d’agrandir, soit de réduire la figure ne sera pas utilisé. Les outils « formes libres » qui permettent de réaliser des constructions ne seront pas utilisés. 35 Pour conclure, Cap Maths, c’est … AGIR, EXPRIMER, MÉMORISER Cap Maths est une méthode innovante établie sur la base de données mathématiques, didactiques et psychologiques. Elle est organisée autour de 3 axes essentiels : AGIR : chercher, expérimenter, manipuler La mise en place d’un nouveau savoir s’opère à partir d’un questionnement, d’un problème posé aux élèves dans un environnement le plus souvent matériel. Au cours de leur recherche, les élèves expérimentent des solutions, les remettent en cause, les font évoluer. Pour cela, ils peuvent manipuler les matériels mis à leur disposition. Cette phase de recherche est essentielle pour que le nouveau savoir prenne sens et soit mis en relation avec les connaissances dont l’élève dispose déjà. EXPRIMER : expliciter, abstraire Les savoirs mathématiques sont par essence abstraits, même si, à l’école primaire, ils trouvent leurs racines dans des problèmes portant sur des situations concrètes. Aider les élèves dans le processus d’abstraction est donc essentiel. Cette aide passe par la verbalisation : – par les élèves : formuler les procédures, les confronter à d’autres, argumenter, analyser des erreurs, prouver ; – par l’enseignant : reformuler, organiser, mettre en forme oralement et à l’écrit ce qui doit être retenu. Pour exister, les concepts mathématiques doivent être représentés. Les représentations utilisées avec les élèves sont de trois catégories, qui doivent être constamment mises en relation : • matérielles ou schématiques • verbales • symboliques 1 1 u+ u=1u 2 2 1 ou 2 × u = 1 u 2 2 ou encore u = 1 u 2 Avec 2 demi-unités, on obtient 1 unité MÉMORISER : s’entrainer, réviser, s’évaluer, consolider Pour être disponibles, les connaissances doivent être mémorisées. Un travail d’entrainement immédiat, de révision, de consolidation et de réinvestissement des connaissances sur le long terme est donc indispensable. Pour cela, l’enseignant doit pouvoir réguler et différencier certaines activités sur la base d’évaluations précises. Celles-ci, à dominante formative, sont de plusieurs sortes : observation et analyse au quotidien des productions des élèves, bilan préparé en fin d’unité, évaluation récapitulative à l’issue de chaque trimestre. CHERCHER C’est ainsi que Cap Maths permet de développer les six compétences majeures du programme autour desquelles s’organise l’enseignement des mathématiques. COMMUNIQUER MODÉLISER CALCULER REPRÉSENTER RAISONNER 37 UNITÉ Toutes les ressources imprimables de l'unité : hatier-clic.fr/CM1capg01 Le DÉROULEMENT 1 LE CALCUL MENTAL Les 10 rituels de 15 minutes Problèmes guide p. 40 manuel p. 6 Nombres Lecture – écriture Champ additif n Total, complément, état initial Champ multiplicatif n Valeur totale des parts identiques, nombre de parts identiques, valeur d’une part n Calcul mental : automatismes Doubles et moitiés Nombres <10 000 n Nombres simples Répertoire additif, calcul sur les dizaines et les centaines n Ateliers de calcul mental Sommes, différences, compléments guide p. 67 manuel p. 20 Les dés comptent / Le quinze vainc / Des montagnes de nombres Addition, soustraction : mémorisation, calcul réfléchi Les RÉVISIONS et APPRENTISSAGES RÉVISER APPRENDRE 10 ou 11 séances de 15 min 10 ou 11 séances de 45 min guide p. 44 manuel p. 8 Problèmes : stratégies de résolution Problèmes Gestion de données La tirelire – Résolution par essais et ajustements guide p. 41 manuel p. 7 guide p. 48 manuel p. 10 Les nombres jusqu’à 999 Nombres et numération Les nombres jusqu’à 9 999 Les cubes – Unités de numération – Décompositions – Écriture en chiffres et en lettres – Ligne graduée ex. 1 à 4 – Unités de numération : relations entre ces unités – Valeur positionnelle des chiffres ; décompositions – Comparaison, rangement – Écriture en chiffres et en lettres guide p. 42 manuel p. 7 guide p. 51 manuel p. 12 Parenthèses, calcul mental et calculatrice Calculs – Calcul réfléchi (addition, soustraction, multiplication) – Calculatrice Écarts et différences La course d’escargots ex. 5 et 6 – Soustraction : propriété de conservation des écarts – Calcul réfléchi de différences guide p. 54 manuel p. 14 Calcul de sommes et de différences La méthode la plus rapide – Addition, soustraction : calcul réfléchi et calcul posé – Appui sur les propriétés des opérations et sur la numération décimale guide p. 42 manuel p. 7 Grandeurs et mesures guide p. 58 manuel p. 16 La règle graduée ex. 7 – Règle graduée en cm et mm – Lire l'heure en heures, minutes et secondes sur une horloge à aiguilles guide p. 43 cahier p. 4 guide p. 61 cahier p. 5 Angles droits Espace et géométrie Lecture de l’heure C’est quelle heure ? – Reconnaissance et tracé ex. 1 à 3 Polygones, carrés, rectangles Quel est ce polygone ? – Polygones : description – Carrés, rectangles : construction Géométrie sur écran GéoTortue (1) : Découverte du logiciel Je prépare mon bilan BILAN PROBLÈMES 38 manuel p. 18 Je fais le bilan cahier p. 8 manuel p. 19 Ateliers : Je résous à mon rythme n Problèmes du domaine additif hatier-clic.fr/CM1capgecran01 manuel p. 21 cahier p. 8 Les maths dans la vie n La monnaie en euros manuel p. 22 ZOOM sur les APPRENTISSAGES PROBLÈMES PROPOSÉS Problèmes Stratégies de résolution • Résoudre un problème comportant 2 contraintes • Résoudre un problème en utilisant une stratégie adaptée. Procéder par une série d'essais raisonnés, en tenant compte des informations apportées par les essais précédents. apprentissage 1 UNITÉ 1 PROBLÈMES PROPOSÉS propriétés • Valeur positionnelle des chiffres Nombres entiers • Comparer et ranger jusqu’à 9 999 des quantités données sous diverses formes • Relations entre unités de numération • Calculer des écarts • Calculer des sommes et des différences apprentissages 3 et 4 Durées propriétés • Commutativité et associativité pour l'addition • Conservation des écarts • Équivalence entre calcul d'une différence et calcul d'un complément PROBLÈMES PROPOSÉS Grandeurs et mesures propriétés • Unités de durée : heure, minute, seconde et leurs relations • Lire l’heure PROBLÈMES PROPOSÉS • Reconnaitre un polygone à partir d’une description, décrire un polygone Polygones, carrés, rectangles • Construire un carré, un rectangle apprentissage 6 résultats et procédures • Langage symbolique : écritures chiffrées, < > • Langage verbal : en unités de numération, en lecture usuelle, plus petit et plus grand, inférieur et supérieur propriétés langage • Utiliser les propriétés • Langage symbolique : pour calculer une somme +, –, = , parenthèses ou une différence par • Langage verbal : calcul réfléchi addition, somme, • Calculer une somme soustraction, ou une différence en différence, posant les opérations complément en colonnes résultats et procédures Sur une horloge à aiguilles : • Repérage de la position des aiguilles • Expression de l’horaire par ajout de minutes par rapport à l’heure passée ou par retrait par rapport à l’heure suivante apprentissage 5 Espace et géométrie langage • Langage imagé : groupements en milliers, centaines et dizaines PROBLÈMES PROPOSÉS Addition, soustraction • Associer diverses expressions des nombres (chiffrées, verbales, en unités de numération) • Comparer et ranger des nombres apprentissage 2 Calculs résultats et procédures résultats et procédures • Propriétés du carré et du rectangle relatives aux côtés et aux angles droits • Identifier les caractéristiques d’un polygone • Propriété du triangle rectangle • Reporter une longueur avec une règle graduée • Tracer un angle droit • Construire un carré, un rectangle connaissant la longueur de leurs côtés langage Langage verbal : heure, minute, seconde, horloge à affichage, horloge à aiguilles, expression d’un horaire en heures et minutes langage • Langage verbal : polygone, côté, sommet, angle droit, carré, rectangle, longueur, largeur, côtés opposés • Langage symbolique : codage d’un angle droit 39 UNITÉ 1 Rituels de calcul mental Les questions du guide sont proposées oralement aux élèves qui répondent par écrit dans leur cahier. Des questions similaires, avec d’autres données, sont proposées dans le manuel (Mes rituels de calcul mental p. 6). Elles peuvent être utilisées en vue de préparer les moments collectifs ou en vue d’un entrainement supplémentaire. Problèmes Domaines additif et multiplicatif Formuler deux fois chaque énoncé. ● À l’issue de la résolution de chaque problème ou de l’ensemble des problèmes, exploiter les réponses des élèves : repérage des erreurs de calcul, formulation des procédures en montrant leur équivalence… ● Jour 1 Domaine additif (total, complément, état avant augmentation) a. Simon achète un bouquet qui contient 8 fleurs rouges, 7 fleurs bleues et 3 fleurs jaunes. Combien y a-t-il de fleurs dans le bouquet de Simon ? b. Léna veut un bouquet de 12 iris. La fleuriste a déjà mis 7 iris dans le bouquet. Combien doit-elle encore en mettre pour compléter le bouquet ? c. La fleuriste ajoute 15 fleurs dans un bouquet. Il y a maintenant 20 fleurs dans le bouquet. Combien y avait-il de fleurs dans le bouquet auparavant ? GUIDE : a. 18 fleurs b. 5 iris c. 5 fleurs MANUEL : a. 16 fleurs b. 6 iris c. 14 fleurs Jour 2 Domaine multiplicatif (valeur totale, nombre de parts) a. La fleuriste vend des bouquets de roses. Dans chaque bouquet, il y a 5 roses. Alice achète 6 bouquets. Combien a-t-elle de roses ? b. Des bouquets contiennent 4 roses rouges et 3 roses blanches. Chloé achète 6 bouquets. Combien a-t-elle de fleurs ? c. Avec 80 roses, combien peut-on faire de bouquets de 10 roses ? GUIDE : a. 30 roses b. 42 fleurs c. 8 bouquets MANUEL : a. 20 roses b. 35 fleurs c. 12 bouquets Jour 3 Domaine multiplicatif (valeur totale, nombre de parts, valeur de chaque part) a. Aloïs achète 7 boites qui contiennent chacune 6 œufs. Combien d'œufs emporte-t-elle ? b. Hugo a besoin de 36 œufs. Combien doit-il acheter de boites de 12 œufs ? c. Louise a acheté 8 boites d'œufs, toutes pareilles. Elle emporte 80 œufs. Combien y a-t-il d'œufs dans chaque boite ? GUIDE : a. 42 œufs b. 3 boites c. 10 œufs MANUEL : a. 48 œufs b. 2 boites c. 10 œufs Dictée de nombres Nombres < 10 000 Le contrôle peut être fait après chaque nombre dicté. En cas de difficultés, proposer des activités supplémentaires portant sur la lecture de nombres de 2 ou 3 chiffres. 40 Jour 4 Nombres dictés a. 207 b. 490 c. 90 f. 98 g. 809 h. 777 MANUEL : a. 400 b. 308 c. 280 Jour 5 Nombres dictés a. 3 200 b. 1 010 c. 3 020 f. 9 805 g. 1 270 h. 5 000 MANUEL : a. 4 000 Doubles et moitiés b. 2 030 d. 600 i. 909 d. 570 e. 186 d. 2 186 i. 9 009 c. 1 200 e. 780 j. 990 d. 6 106 e. 3 003 j. 9 090 e. 1 080 Nombres simples Une bonne connaissance des doubles et moitiés est souvent utile pour le calcul mental, où ils peuvent servir de points d’appui pour organiser un calcul. Certains élèves confondent les termes « double » et « moitié ». Un rappel peut s’avérer nécessaire : – Le double de 6, c’est 12 car 6 + 6 = 12 ou 6 × 2 = 12. Doubler, c’est prendre deux fois ou multiplier par 2. – La moitié de 6, c’est 3 car 3 + 3 = 6, 6 divisé par 2 égale 3. Diviser par 2, c'est la même chose que prendre la moitié. La recherche des moitiés est en général plus difficile : un temps un peu plus long peut être nécessaire pour trouver les réponses. Jour 6 a. 5 f. 60 Quel est le double de : b. 0 c. 15 g. 65 h. 50 d. 40 i. 200 e. 45 j. 500 a. 10 b. 0 c. 30 d. 80 e. 90 f. 120 g. 130 h. 100 i. 400 j. 1 000 MANUEL : a. 8 b. 16 c. 24 d. 50 e. 60 f. 70 GUIDE : Jour 7 a. 10 f. 30 Quelle est la moitié de : b. 50 c. 40 g. 140 h. 400 d. 70 i. 500 e. 100 j. 4 000 a. 5 b. 25 c. 20 d. 35 e. 50 f. 15 g. 70 h. 200 i. 250 j. 2 000 MANUEL : a. 10 b. 15 c. 40 d. 45 e. 50 f. 60 GUIDE : Répertoire additif Sommes, différences, compléments Au CM1, les élèves devraient être maintenant capables de répondre rapidement à ce type de questions. Pour ceux qui auraient des difficultés, des activités d’entrainement spécifiques doivent être proposées. Jour 8 Calculs dictés a. 5 + 3 b. 8 + 7 c. 5 + 9 d. 2 pour aller à 10 e. 7 pour aller à 13 f. 2 pour aller à 11 g. 9 pour aller à 17 h. 11 – 4 i. 14 – 6 j. 16 – 7 a. 8 b. 15 c. 14 d. 8 e. 6 f. 9 g. 8 h. 7 i. 8 j. 9 MANUEL : a. 9 b. 17 c. 3 d. 4 e. 9 f. 8 g. 7 h. 7 GUIDE : Pour ceux qui auraient encore des difficultés dans ce domaine, des activités individualisées peuvent être proposées, en s’appuyant éventuellement sur le matériel de numération. Calculs sur les dizaines et les centaines Sommes, différences, compléments Les calculs sur les dizaines et centaines entières s’appuient sur la connaissance du répertoire additif. En effet, 60 + 30 peut être interprété comme 6 dizaines + 3 dizaines. Pour chaque question, plusieurs procédures sont possibles, par exemple pour la question 90 pour aller à 120 : ● Appui sur les expressions en dizaines : interpréter 90 et 120 comme 9 dizaines et 12 dizaines, illustré par : Jour 9 Calculs dictés a. 60 + 30 b. 60 + 50 c. 500 + 40 d. 20 pour aller à 80 e. 70 pour aller à 100 f. 90 pour aller à 120 g. 50 pour aller à 120 h. 50 pour aller à 140 i. 500 pour aller à 800 j. 80 pour aller à 160 UNITÉ 1 a. 90 b. 110 c. 900 d. 60 e. 30 f. 30 g. 70 h. 90 i. 300 j. 80 MANUEL : a. 90 b. 120 c. 800 d. 900 e. 30 f. 70 g. 50 h. 30 GUIDE : Il faut ajouter 3 dizaines à 9 dizaines pour obtenir 12 dizaines (ou 1 centaine et 2 dizaines). ● Appui sur le passage par 100, ce qui peut être illustré : – à l’aide du matériel de numération : ajouter d’abord une dizaine pour former une centaine, puis encore deux dizaines ; – par des déplacements sur une ligne numérique : 90 100 120 +10 +20 +30 Au CM1, les élèves devraient être capables de traiter rapidement ce type de questions. r Jour 10 Calculs dictés a. 60 – 30 b. 60 – 50 c. 500 – 400 d. 100 – 90 e. 100 – 50 f. 800 – 200 g. 140 – 70 h. 1 000 – 700 i. 1 000 – 900 j. 1 000 – 200 a. 30 b. 10 c. 100 d. 10 e. 50 f. 600 g. 70 h. 300 i. 100 j. 800 MANUEL : a. 50 b. 80 c. 70 d. 80 e. 600 f. 400 g. 500 h. 900 GUIDE : Remarque : la série sur le manuel est un peu plus difficile, en particulier b., c., d. Voir aussi Ateliers de calcul mental (p. 20). Révisions Ces exercices de révision sont destinés à raviver des connaissances et des compétences travaillées au CE2 ou à entretenir celles qui sont travaillées dans cette unité. Ils sont à proposer aux élèves en fonction de leurs besoins particuliers identifiés lors des activités d'apprentissage ou au moment des bilans, en classe entière ou en ateliers différenciés et, éventuellement préparés à la maison. Ils sont conçus pour une durée quotidienne d'environ 15 min. Manuel p. 7 Numération décimale Je révise Nombres jusqu'à 999 UNITÉ 1 ® Ces exercices de reprise d’apprentissage sont à répartir sur l’unité. LES NOMBRES JUSQU’À 999 2 Les crayons de couleur sont vendus par boites de 10. Combien faut-il acheter de boites si on a besoin de : a. 80 crayons ? b. 58 crayons ? c. 275 crayons ? 1 Écris en chiffres. a. 10 dizaines b. 25 dizaines et 7 unités c. 3 centaines et 20 dizaines d. 32 dizaines et 80 unités 3 Écris les nombres : 90 ; 125 ; 275 ; 197 en chiffres et en lettres, et trouve les décompositions, comme dans l’exemple. En chiffres Décomposition pour l'écriture en chiffres En lettres Décomposition pour l'écriture en lettres 87 (8 × 10) + 7 quatre-vingt-sept (4 × 20) + 7 Exemple 4 Écris les nombres repérés par les lettres A, B et C. 0 900 A B C – Unités de numération – Écriture en chiffres, en lettres et décompositions associées – Ligne graduée Ainsi, pour 3 centaines et 20 dizaines par exemple, il est possible d’utiliser ces équivalences : – soit 20 dizaines = 2 centaines, donc 3 centaines et 20 dizaines = 5 centaines = 500 ; – soit 3 centaines = 300 et 20 dizaines = 200, donc 3 centaines et 20 dizaines = 500. Avec le tableau de numération : centaines 3 3+2 5 PARENTHÈSES, CALCUL MENTAL ET CALCULATRICE 5 Calcule mentalement. a. (60 − 10) × 5 1 ET 2 EXERCICES b. 60 − (10 × 5) c. (60 × 2) − (20 + 10) 6 Dans ce moule à calculs : 75 (25 12) , et place deux des signes de différentes façons pour obtenir tous les calculs possibles. Trouve les résultats mentalement. Vérifie avec la calculatrice. Lors de la correction, rappeler les équivalences à connaitre parfaitement : ● Réponses : LA RÈGLE GRADUÉE 7 1 2 dizaines 20 unités 0 0 a. 100 b. 257 c. 500 d. 400 a. 8 boites b. 6 boites c. 28 boites Sans utiliser d’instrument, trouve les longueurs des segments a, b, c, d et e. b 1 dizaine = 10 unités 1 centaine = 10 dizaines = 100 unités a d c Le recours au matériel de numération permet d'illustrer les procédures utilisables, traduites éventuellement dans le tableau de numération. ● e EXERCICE 3 Aider les élèves à comprendre ce qui est demandé dans chaque colonne, en particulier dans la dernière colonne, en utilisant le nombre donné en exemple (87). ● sept • 7 006-022-Unite 1.indd 7 23/01/2020 18:38 41 × × 4 Écris les nombres repérés par les lettres A, B et C. 0 900 A B C PARENTHÈSES, CALCUL MENTAL ET CALCULATRICE 5 Réponses : Décomposition pour l'écriture en chiffres 87 (8 × 10) + 7 90 9 × 10 125 (1 × 100) + (2 × 10) + 5 275 (2 × 100) + (7 × 10) + 5 En lettres Décomposition pour l'écriture en lettres quatre-vingt-sept (4 × 20) + 7 quatre-vint-dix (4 × 20) + 10 cent-vingt-cinq 100 + 20 + 5 deux-cent(2 × 100) + 60 + 15 soixante-quinze cent-quatre100 + (4 × 20) + 10 + 7 vingt-dix-sept 197 (1 × 100) + (9 × 10) + 7 Rappeler lors de la correction que l’espace entre deux Je graduations révise grandes correspond à une centaine et qu’en 1 mobilisant l’équivalence 1 centaine = 10 dizaines, on en déduit que l’espace entre deux petites graduations est d’une dizaine, c’est-à-dire 10 unités. ● ® Ces exercices de reprise d’apprentissage sont à répartir sur l’unité. LES NOMBRES JUSQU’À 999 2 Les crayons de couleur sont vendus par boites de 10. Combien faut-il acheter de boites si on a besoin de : a. 80 crayons ? b. 58 crayons ? c. 275 crayons ? 1 Écris en chiffres. a. 10 dizaines b. 25 dizaines et 7 unités c. 3 centaines et 20 dizaines d. 32 dizaines et 80 unités 3 Écris les nombres : 90 ; 125 ; 275 ; 197 en chiffres et en lettres, et trouve les décompositions,:comme l’exemple. B. 450 Réponses A.dans100 C. 990 En chiffres Décomposition pour l'écriture en chiffres En lettres Décomposition pour l'écriture en lettres 87 (8 × 10) + 7 quatre-vingt-sept (4 × 20) + 7 Parenthèses, calcul mental et calculatrice 4 Écris les nombres repérés par les lettres A, B et C. 0 900 A B C PARENTHÈSES, CALCUL MENTAL ET CALCULATRICE 5 Calcule mentalement. a. (60 − 10) × 5 b. 60 − (10 × 5) c. (60 × 2) − (20 + 10) 6 Dans ce moule à calculs : 75 (25 12) , et place deux des signes de différentes façons pour obtenir tous les calculs possibles. Trouve les résultats mentalement. Vérifie avec la calculatrice. LA RÈGLE GRADUÉE 7 Sans utiliser d’instrument, trouve les longueurs des segments a, b, c, d et e. – Calcul d'expressions avec parenthèses – Calcul en ligne et usage de la calculatrice 7 Sans utiliser d’instrument, trouve les longueurs des segments a, b, c, d et e. b a d c e sept • 7 Cet exercice permet de revenir sur le mesurage à l’aide d’un instrument gradué et de revoir l’utilisation du double décimètre, la signification des graduations sur l’instrument, les unités centimètre et millimètre et la relation entre ces deux unités. Les élèves ne peuvent utiliser le double décimètre que si l’enseignant les y invite. Mesure des segments a, b, c Recenser les réponses et, pour chaque segment, organiser une discussion au sujet des résultats trouvés s’ils sont différents. Les réponses erronées peuvent être nombreuses. Certains élèves peuvent remarquer perceptivement que les segments a et b sont de même longueur. ● Exemples de réponses que peuvent donner les élèves pour la mesure du segment b : « 2 cm » ; « 7 cm » ; « 2 pour aller à 7 cm » ; « 5 cm, on compte les centimètres » ; « on ne peut pas savoir car la règle est mal positionnée ». EXERCICE 5 d Lors de la correction, illustrer la suite des calculs par un arbre de calcul. Par exemple : pour (60 × 2) – (20 + 10) c e 006-022-Unite 1.indd 7 120 – 30 23/01/2020 18:38 90 Réponses : a. 250 b. 10 c. 90. EXERCICE 6 Indiquer aux élèves qu’ils doivent effectuer les calculs mentalement lorsque c’est possible ou, dans le cas contraire, en utilisant une calculatrice. À l’issue de la correction rappeler que si la calculatrice comporte des touches « parenthèses », le calcul peut être tapé tel qu’il est donné et que, dans le cas contraire, il faut faire les calculs de façon séparée en commençant par les calculs situés à l’intérieur des parenthèses. ● Réponses : 75 + (25 – 12) = 88 75 – (25 + 12) = 38 75 × (25 + 12) = 2 775 75 × (25 – 12) = 975 75 + (25 × 12) = 375 On ne peut pas obtenir de résultat pour 75 – (15 × 12). 23/01/2020 18:38 ● b sept • 7 – Utilisation des graduations d'une règle LA RÈGLE GRADUÉE a ● (25 12) , et place deux des signes de différentes façons pour obtenir tous les calculs possibles. Trouve les résultats mentalement. Vérifie avec la calculatrice. La règle graduée 006-022-Unite 1.indd 7 UNITÉ Calcul 6 Dans ce moule à calculs : 75 EXERCICE 7 EXERCICE 4 Exemple Calcule mentalement. a. (60 − 10) × 5 b. 60 − (10 × 5) c. (60 × 2) − (20 + 10) Mesure de longueurs EXPLICITATION, VERBALISATION Mesurer un segment avec le double décimètre ◗ La mesure de la longueur d’un segment correspond au nombre d’unités reportées sur ce segment. ◗ Sur le double-décimètre, l’intervalle entre deux graduations successives a pour longueur 1 centimètre. L’unité utilisée est donc le centimètre. L’unité « centimètre » est reportée sur la règle et chaque centimètre est partagé en dix. L’espace entre deux petites graduations est donc de 1 millimètre. ◗ Il faut placer convenablement le zéro de la règle graduée à une extrémité du segment pour effectuer une mesure par lecture directe sur la règle. Sinon, il faut effectuer le comptage des unités. Mesure des segments d et e Le comptage des millimètres est plus délicat pour le mesurage du segment e. Il s’agit, de plus, d’utiliser l’égalité 1 cm = 10 mm. Si nécessaire, faire une mise en commun pour revenir sur des erreurs significatives. ● Réponses : a. et b. 5 cm ou 50 mm c. 6 cm 4 mm ou 64 mm. d. 4 cm 4 mm ou 44 mm e. 4 cm ou 40 mm. Beaucoup d’élèves effectuent des mesurages de longueur avec imprécision, par méconnaissance de la signification des graduations sur les instruments de mesure et par méconnaissance de ce qu’est la mesure. Pour eux, il s’agit de lire un nombre qui est en face d’une extrémité de l’objet à mesurer. En consolidation, voir les activités 1 à 4 « La règle graduée » du CD-Rom CE2-CM1-CM2 42 Cahier p. 4 MATÉRIEL Angle droit EXERCICE 1 Reconnaissances et tracé pour la classe • équerre agrandie ➞ Mallette • page du cahier projetée ou agrandie Réponse : par équipe •Jeéquerre révise ➞ Mallette UNITÉ 1 ANGLES DROITS 1 Rappeler comment coder un angle droit : petit carré qui rappelle qu’un angle droit est un « coin » d’un carré. Un carré a ses 4 « coins » tous pareils qu’on appelle des angles droits. ● – Angle droit : reconnaissance perceptive et instrumentée – Utilisation d'une équerre Utilise ton équerre pour trouver le ou les angles droits. Code-les. 2 Utilise ton équerre pour trouver les angles droits. Code-les. 3 Vérifie que tous les angles de cette ligne brisée sont des angles droits. Prolonge la ligne brisée en traçant 5 angles droits. UNITÉ 1 EXERCICE 2 Inciter les élèves à commencer par repérer à vue les angles qu’ils pensent être droits avant de contrôler avec leur équerre. Indiquer que pour cela, il ne faut pas hésiter à faire pivoter la page pour amener une figure dans une orientation qui facilite le repérage. ● Réponse : EXERCICE 3 Les exercices proposés ont pour but de consolider des compétences travaillées en CE1 et CE2. 4 • quatre Cahier geom.indd 4 22/01/2020 10:30 Rappeler si besoin comment placer l’équerre pour tracer un angle droit quand un côté est déjà tracé. ● 43 Problèmes : stratégies de résolution Objectifs : – Élaborer une stratégie pour résoudre un problème et la mener à son terme – Mettre en forme et communiquer la solution UNITÉ La résolution d’un problème en commençant par faire un essai sur une réponse hypothétique n’est souvent pas familière aux élèves qui pensent que tout calcul doit correspondre à la recherche d’une information « vraie ». Pourtant, cette stratégie est souvent utile pour « rentrer dans un problème » et, parfois, pour en élaborer la solution par une série d’essais successifs. Pour être efficace et conduire à la solution, cette stratégie suppose que les élèves ne se limitent pas à faire des essais aléatoires mais, au contraire, tiennent compte de l’information qui peut être tirée des essais précédents pour ajuster un nouvel essai. Cette stratégie par essais et ajustements comporte donc une part de raisonnement et de déductions. apprentissage 1 LaJetirelire cherche La tirelire A Dans sa tirelire, Tom a uniquement des pièces de 2 € et des billets de 5 €. Le nombre de pièces est le double du nombre de billets. Au total, dans sa tirelire, Tom a 9 €. Combien a-t-il de pièces de 2 € et de billets de 5 € ? B Dans sa tirelire, Romy n’a, elle aussi, que des pièces de 2 € et des billets de 5 €. Le nombre de pièces est aussi le double du nombre de billets. Au total, dans sa tirelire, Romy a 54 €. Combien a-t-elle de pièces de 2 € et de billets de 5 € ? ◗ LONGUEURS DE RUBANS enveloppe contenant 1 billet de 5 €en mettant bout •1 une Milo pense à deux nombres(A) qui se suivent. 5 Aya réalise des rubans Il les2additionne et ilde trouve 13. à bout des bandes rouges de 3 cm fiche 1 et pièces 2 € ➞ Quels sont ces deux nombres ? et des bandes bleues de 5 cm. une enveloppe (B) contenant 6 billets de 5 € • de qui 2 se€suivent. ➞ fiche 1 2 et Aya12 pensepièces à trois nombres INCONTOURNABLE INCONTOURNABLE ◗ INCONTOURNABLE MATÉRIEL pour la classe DES NOMBRES QUI SE SUIVENT Elle les additionne et elle trouve 15. Quels sont ces trois nombres ? hatier-clic.fr/CM1capg0101 3 Tom pense à trois nombres qui se suivent. par équipe Il les additionne et il trouve 36. a. Peut-elle obtenir un ruban de 11 cm ? Si oui, avec combien de bandes de chaque sorte ? b. Peut-elle obtenir un ruban de 7 cm ? Si oui, avec combien de bandes de chaque sorte ? c. Peut-elle obtenir un ruban de 19 cm ? Si oui, avec combien de bandes de chaque sorte ? Quels sont ces ? p.trois8,nombres questions A et B • manuel cahier de mathématiques • brouillon, SOMME ET DIFFÉRENCE ◗ (question A) 2 Recherche (question B) il trouve 20. Il soustrait le plus petit du plus grand et il trouve 4. Quels sont ces deux nombres ? 3 Exploitation 8 • huit 4 Entrainement DES FIGURES (question B) 6 Pour construire ce carré et ce triangle, Tom a utilisé 7 allumettes. Avec 15 allumettes, Milo a aussi construit des carrés et des triangles. Il a construit au total 4 figures. Combien a-t-il construit de carrés ? Et combien de triangles ? Individuel puis par équipes de 2 Collectif Individuel 006-022-Unite 1.indd 8 ● Comment trouver la composition d'un ensemble de pièces de 2 € et de billets de 5 € connaissant la valeur totale et sachant que le nombre de pièces et le double du nombre de billets ? 1 Présentation collective de la situation (question A) Demander de prendre connaissance du problème A. En faire formuler les données principales et les écrire au tableau : – la tirelire ne contient que des pièces de 2 € et des billets de 5 € ; – le nombre de pièces est le double du nombre de billets ; – la somme d’argent contenue dans la tirelire est de 9 €. ● Montrer, sans l'ouvrir, l'enveloppe A (la tirelire de Tom). Indiquer qu'elle représente la tirelire et son contenu. ● Demander aux élèves de trouver individuellement ce que contient l'enveloppe. Présenter le problème B comme le problème A, en précisant : ➞ Vous devez donc trouver ce qu'il y a dans l'enveloppe de Romy, le nombre de pièces de 2 € et le nombre de billets de 5 €. Vous cherchez d'abord seuls, puis vous pourrez confronter vos réponses par deux. 23/01/2020 18:38 RECHERCHE 44 Recenser les différentes réponses. Pour chacune d’elles faire contrôler si elle est compatible avec les données. ● Faire expliciter quelques stratégies, notamment celle consistant à tester une réponse et à vérifier si elle respecte les contraintes. ● Valider la réponse (2 pièces de 2 € et 1 billet de 5 €) en vérifiant sa conformité au contenu de l'enveloppe A. ● Conclure sur deux points : m Il faut s’assurer que la réponse trouvée vérifie bien toutes les données du problème. m Au début, il est possible de faire des essais de réponses, même si on sait que celles-ci sont probablement fausses. 2 Recherche individuelle, puis par équipes de 2 DES ALLUMETTES 1 Il les Présentation de la situation ◗ AVEC Collectif additionne et 4 Milo pense à deux nombres. Cette première question a pour but de permettre à chaque élève de s’approprier la situation et d’en assimiler toutes les contraintes. Elle devrait être conduite assez rapidement. ● Je m’entraine ● apprentissage 1 Problèmes : stratégies de résolution 1 INCONTOURNABLE 1 DÉROULÉ UNITÉ Observer les procédures des élèves, notamment si les contraintes sont ou non vérifiées. ● ◗ PROCÉDURES POSSIBLES Les procédures qui suivent peuvent être mises en œuvre sous plusieurs formes : dessins de pièces et billets, calculs additifs, calculs multiplicatifs et additifs. – Faire des essais aléatoires. – Faire des essais organisés avec déductions pour décider de l'essai suivant : par exemple, après un essai avec 8 pièces de 2 € et 4 billets de 5 € (total : 36 €) conclure : « il faut plus de pièces et de billets ». – Faire des essais systématiques : 2 pièces et 1 billet, puis 4 pièces et 2 billets, puis 6 pièces et 3 billets, etc. – Procéder par déduction (sans essais) : d'après la 1re question, on sait qu’un lot d'1 billet et 2 pièces vaut 9 €, comme 54 € = 9 € × 6, il faut 6 lots, donc 6 billets et 12 pièces. – Combiner les procédures précédentes : par exemple, l’essai avec 8 pièces de 2 € et 4 billets de 5 € ayant donné un total de 36 €, conclure qu'il manque 18 € qu’on essaie d’atteindre avec de nouvelles pièces et de nouveaux billets. B Dans sa tirelire, Romy n’a, elle aussi, que des pièces de 2 € et des billets de 5 €. Le nombre de pièces est aussi le double du nombre de billets. Au total, dans sa tirelire, Romy a 54 €. Combien a-t-elle de pièces de 2 € et de billets de 5 € ? m’entrainequi se suivent DesJe nombres ◗ DES NOMBRES QUI SE SUIVENT INCONTOURNABLE – Pour démarrer la recherche (blocage ou calculs sans signification) ◗ LONGUEURS DE RUBANS UNITÉ 1 Milo pense à deux nombres qui se suivent. Aide Si cette situation perdure, faire une mise en commun INCONTOURNABLE intermédiaire sur les idées possibles avant de relancer la recherche. Fournir éventuellement de la monnaie fictive manipulable. INCONTOURNABLE ◗ DIFFICULTÉS ÉVENTUELLES Problèmes : stratégies de résolution 1 Il les additionne et il trouve 13. Quels sont ces deux nombres ? 5 Aya pense à trois nombres qui se suivent. Je2cherche La tirelire Elle les additionne et elle trouve 15. a. Peut-elle obtenir un ruban de 11 cm ? Si oui, avec combien de bandes de chaque Quels sont ces trois nombres ? Dans sa tirelire, Tom a uniquement des pièces de 2 € sorte ? et des billets de 5 €. Le nombre de pièces est le doubleb. Peut-elle obtenir un ruban de 7 cm ? du nombre de billets. Si oui, avec combien de bandes de chaque 3 Tom pense à trois nombres quia se suivent. Au total, dans sa tirelire, Tom 9 €. sorte ? IlCombien les additionne et pièces il trouvede36. a-t-il de 2 € et de billets de 5 € ?c. Peut-elle obtenir un ruban de 19 cm ? Quels sont ces trois nombres ? B Dans sa tirelire, Romy n’a, elle aussi, que des pièces Si oui, avec combien de bandes de chaque sorte ? de 2 € et des billets de 5 €. Le nombre de pièces est aussiET le double du nombre de billets. SOMME DIFFÉRENCE Au total, dans sa tirelire, Romy a 54 €. DES FIGURES 4 Milo pensea-t-elle à deuxde nombres. Combien pièces de 2 € et de billets de 5 € ? DES ALLUMETTES AVEC Il les additionne et 6 Pour construire ce carré il trouve 20. et ce triangle, Tom a utilisé Il soustrait le plus petit 7 allumettes. Avec 15 allumettes, Milo du plus grand et il trouve 4. a aussi construit des carrés et des triangles. Quels sont ces deux Il a construit au 4 figures. DES NOMBRES QUI SE SUIVENT LONGUEURS DEtotal RUBANS nombres ? Combien a-t-il construit de carrés ? Et combien de triangles 1 Milo pense à deux nombres qui se suivent. réalise des rubans en?mettant bout 5 Aya Il les additionne et il trouve 13. à bout des bandes rouges de 3 cm 8 • huitQuels sont ces deux nombres ? et des bandes bleues de 5 cm. – Pour calculer (erreurs de calcul) A INCONTOURNABLE Aide Signaler les erreurs et les faire corriger. – Pour organiser la suite des essais et des déductions Aide À traiter lors de l'exploitation collective. ◗ – Pour vérifier si les contraintes sont respectées EXERCICES 1 Aide À traiter lors de l'exploitation collective. – Pour conclure à partir des essais effectués ou du raisonnement utilisé 2 UNITÉ ◗ 3 1 Je m’entraine Une exploration mentale permet de parvenir rapidement à la ◗réponse. ◗ Des élèves peuvent remarquer qu’on peut s’approcher des nombres cherchés en divisant la somme indiquée par 2 (exercice 1)à trois ounombres par qui3se(exercices 2 et 3). 2 Aya pense suivent. INCONTOURNABLE 3 Exploitation collective INCONTOURNABLE INCONTOURNABLE Aide À traiter lors de l'exploitation collective. 006-022-Unite 1.indd 8 UNITÉ INCONTOURNABLE Recenser les différentes réponses et stratégies et les mettre en débat. ● Regrouper au tableau les feuilles de recherche qui correspondent à des stratégies comparables. ● Valider la bonne réponse en vérifiant sa conformité au contenu de l'enveloppe B. 23/01/2020 18:38 Elle les additionne et elle trouve 15. a. Peut-elle obtenir un ruban de 11 cm ? Tom pense à trois nombres qui se suivent. Il les additionne et il trouve 36. Quels sont ces trois nombres ? b. Peut-elle obtenir un ruban de 7 cm ? Si oui, avec combien de bandes de chaque sorte ? c. Peut-elle obtenir un ruban de 19 cm ? Si oui, avec combien de bandes de chaque sorte ? oui, avec combien de bandes de chaque Quels sont Réponses : ces1trois6nombres et 7 ? 2 4, 5 et 6Sisorte ?3 11, 12 et 13 ● 3 Somme et différence ◗ SOMME ET DIFFÉRENCE FIGURES ◗ DES AVEC DES ALLUMETTES 4 Milo pense à deux nombres. Il les additionne et il trouve 20. Il soustrait le plus petit du plus grand et il trouve 4. Quels sont ces deux nombres ? 6 Pour construire ce carré Problèmes : stratégies de résolution 1 EXPLICITATION, VERBALISATION Aya réalise des rubans en mettant bout à bout des bandes rouges de 3 cm et des bandes bleues de 5 cm. apprentissage 1 ◗ À partir de réponses erronées, faire d'abord porter la Je cherche La tirelire apprentissage 1 et ce triangle, Tom a utilisé 7 allumettes. Avec 15 allumettes, Milo a aussi construit des carrés et des triangles. Il a construit au total 4 figures. Combien a-t-il construit de carrés ? Et combien de triangles ? EXERCICE 4 synthèse sur le fait qu’il faut s'assurer que la réponse A Dans sa tirelire, Tom a uniquement des pièces de 2 € Lors d'une exploitation collective, on peut montrer l’intérêt trouvée vérifie bien toutes les données du problème. et des billets de 5 €. Le nombre de pièces est le double du nombre de billets. qu’il y a à essayer des nombres dont la différence est 4 et Au total, dans sa tirelire, Tom a 9 €. ◗ Reformuler les stratégies utilisées : Combien a-t-il de pièces de 2 € et de billets de 5 € ? à vérifier si leur somme est égale ou non à 20. – On peut faire des essais de réponses, même si on sait B Dans sa tirelire, Romy n’a, elle aussi, que des pièces de 2 € et des billets de 5 €. Le nombre de pièces qu'elles sont fausses, mais il faut ensuite réfléchir pour est aussi le double du nombre de billets. Réponse : 8 et 12 Au total, dans sa tirelire, Romy a 54 €. organiser la suite des essais ; Combien a-t-elle de pièces de 2 € et de billets de 5 € ? – On peut envisager toutes les possibilités avec 1 billet de 5 € et 2 pièces de 2 €, puis 2 billets de 5 €Je et m’entraine 4 pièces de Longueurs de rubans 2 €, etc. On est sûr ainsi de trouver la réponse de voir QUI SE SUIVENT ◗ DESetNOMBRES ◗ LONGUEURS DE RUBANS qu’elle est unique ; 1 Milo pense à deux nombres qui se suivent. 5 Aya réalise des rubans en mettant bout les additionne et il trouve 13. à bout des bandes rouges de 3 cm – On peut aussi partir du résultat de la questionIlQuels A et faire sont ces deux nombres ? et des bandes bleues de 5 cm. un raisonnement : 54 €, c’est 6 fois plus que 9 €, il y a donc 2 Aya pense à trois 6 fois plus de pièces et de billets que pour la question A. nombres qui se suivent. a. Peut-elle obtenir un ruban de 11 cm ? Elle les additionne et elle trouve 15. Si oui, avec combien de bandes de chaque Quels sont ces trois nombres ? sorte ? ◗ Souligner que l'utilisation de la multiplication permet b. Peut-elle obtenir un ruban de 7 cm ? Si oui, avec combien de bandes de chaque d'avancer plus rapidement dans la recherche que si on 3 Tom pense à trois nombres qui se suivent. sorte ? Il les additionne et il trouve 36. c. Peut-elle obtenir un ruban de 19 cm ? n'utilise que l'addition ou des dessins. Quels sont ces trois nombres ? 8 • huit 23/01/2020 18:38 INCONTOURNABLE INCONTOURNABLE INCONTOURNABLE INCONTOURNABLE 006-022-Unite 1.indd 8 Si oui, avec combien de bandes de chaque sorte ? Si les stratégies purement déductives ne sont ◗pas apparues, 4 Milo pense à deux nombres. elles ne sont pas envisagées lors de l'exploitation (une autre Il les additionne et il trouve 20. séquence est consacrée à un travail sur la déduction). Il soustrait le plus petit du plus grand et pas, il trouve 4. Si les stratégies par essais et ajustements n'apparaissent Quels sont ces deux nombres ? elles font l’objet d’un travail collectif. SOMME ET DIFFÉRENCE TRACE ÉCRITE 8 • huit Conserver au tableau un affichage de quelques stratégies efficaces auxquelles les élèves pourront se référer pour d'autres problèmes. Celles-ci peuvent également être photocopiées et collées dans le cahier de mathématiques de chaque élève. 006-022-Unite 1.indd 8 Manuel p. 8-9 4 Entrainement individuel Les exercices incontournables sont à proposer à tous les élèves et peuvent faire l'objet, si nécessaire, d'une exploitation collective ou par petits groupes. Pour les autres exercices, l'enseignant choisit ceux qu'il pense utile de proposer à tous ses élèves ou à certains de ses élèves. FIGURES ◗ DES AVEC DES ALLUMETTES 5 EXERCICE 6 Pour construire ce carré et ce triangle, Tom a utilisé 7 allumettes. Avec 15 allumettes, Milo a aussi construit des carrés et des triangles. Il a construit au total 4 figures. Combien a-t-il construit de carrés ? Et combien de triangles ? Le problème revient à chercher des multiples de 3 et de 5 dont la somme est donnée. Au cours de l’exploitation, on peut s’intéresser à la parité des nombres cherchés : les nombres 3 et 5 étant impairs et la longueur totale à atteindre étant toujours impaire, l’une des deux quantités de rubans doit être paire et l’autre impaire. Cette conclusion peut avoir été tirée par certains élèves à l’issue des premiers essais. La question de l'existence et de l’unicité des réponses peut faire l’objet d’une interrogation. Elle est réglée par une exploration systématique comme dans le tableau ci-après (cette exploration peut n’être que partielle au voisinage de chaque longueur à obtenir). Elle montre que la longueur 7 cm n'est pas réalisable). 23/01/2020 18:38 45 La tirelire € €. Le nombre de pièces est le double Bandes rouges 1 1 1 1 1 2 2 2 2 3 Bandes bleues 0 1 2 3 4 0 1 2 3 0 Longueur obtenue 3 8 13 18 23 6 11 16 21 9 Bandes rouges 3 3 4 4 4 5 5 6 6 7 Bandes bleues 1 LONGUEURS DE RUBANS 2 0 1 2 0 1 0 1 0 17 22 15 20 18 23 21 €. Le nombre de pièces €. € et de billets de 5 € ? ◗ 36. ? à bout des bandes rouges de 3 cm et des bandes bleues de 5 cm. Réponses : a. 2 bandes rouges et une bande bleue b. impossible a. Peut-elle obtenir un ruban de 11 cm ? Si oui, avec combien de bandes derouges chaque c. 3 bandes et 2 bandes bleues sorte ? b. Peut-elle obtenir un ruban de 7 cm ? Si oui, avec combien de bandes de chaque sorte ? c. Peut-elle obtenir un ruban de 19 cm ? Si oui, avec combien de bandes de chaque sorte ? Des figures avec des allumettes FIGURES ◗ DES AVEC DES ALLUMETTES 6 Pour construire ce carré et ce triangle, Tom a utilisé 7 allumettes. Avec 15 allumettes, Milo a aussi construit des carrés et des triangles. Il a construit au total 4 figures. Combien a-t-il construit de carrés ? Et combien de triangles ? 4. 7 Avec 40 allumettes, Milo a construit des carrés et des triangles. Il a construit au total 12 figures. Combien a-t-il construit de carrés ? Et combien de triangles ? ★ ◗ MASSES DE FRUITS INCONTOURNABLE 6 EXERCICES 8 Les notions de double et de triple peuvent être précisées aux élèves. La complexité de ces problèmes vient du fait que trois contraintes doivent être respectées (nombre de fruits, relation entre leurs masses, masse totale) et que certaines données sont à prélever dans un texte et d’autres sur une illustration. Ils peuvent être résolus par essais ajustés ou en utilisant des raisonnements comme ceux décris ci-après. Problème 8 : du point de vue de la masse, un abricot équivaut à 2 noix, c’est donc comme s’il y avait 3 noix sur la balance, d’où on peut déduire qu’une noix pèse 20 g. Le raisonnement peut être facilité par le recours à une représentation des masses, par exemple par un dessin ou par des bandes (ou segments) de longueurs différentes : abricot noix noix 60 g noix 60 g ◗ QUANTITÉS DE FRUITS noix 11 Aya et Romy ont cueilli de belles pommes. Si elles les mettaient toutes ensemble, elles auraient au total 80 pommes. Romy a cueilli 10 pommes de plus qu’Aya. Combien chacune des deux amies a-t-elle cueilli de pommes ? ★ 23/01/2020 23/01/2020 18:38 18:38 7 La masse d’un abricot est le double de la masse d’une noix. Romy pèse ensemble 1 abricot et 1 noix. 12 Milo et Tom ont ensemble 50 cerises. Si Tom en donne 5 à Milo, ils en auront autant l’un que l’autre. Combien chacun a-t-il de cerises ? ★ Le problème revient à chercher 2 nombres dont la somme Quand ils réunissent les noisettes qu’ils ont est égale à 4 (ou 12) et tels13qu’en le triple ramassées,additionnant Milo et Aya ont 60 noisettes. Mais le nombre de noisettes de Milo n’est que la moitié detrouve celui d’Aya. 15 (ou 40). de l’un et le quadruple de l’autre on Combien chacun a-t-il de noisettes ? La question de del’exhaustivité des solutions est travaillée Quelle est la masse chaque fruit ? ◗ DES BOITES POUR RANGER DES ŒUFS dans l’exercice 14 et sera reprise dans 14 Une fermière doitl’unité emballer 100 9. œufs.Elle peut 9 La masse d’un citron est le triple Elle dispose de deux sortes de boites : de la masse d’une prune. être initiée ici en1 citron fonction desuneélèves. – des boites qui contiennent dizaine Milo pèse ensemble et 2 prunes. des productions 1 abricot ★ ★★ ★ d’œufs ; – d’autres qui en contiennent une douzaine. Les boites doivent être pleines. Combien peut-elle utiliser de boites de chaque sorte ? Trouve toutes les possibilités. Aide Inciter certains élèves à dessiner et, pour d’autres, fournir g de petites tiges de même longueur représentant les allumettes. Énigme 7 4DEcarrés Réponses : 6 3 carrés et 1 triangle FRUITS et 8 triangles 10 La masse d’une poire est la moitié ◗ QUANTITÉS 1 noix 60 g Problème 9 : du point de vue de la masse, un citron équivaut à 3 prunes, c’est donc comme s’il y avait 5 prunes sur la balance, d’où, par division ou autre procédure, on peut déduire qu’une prune pèse 20 g. Là aussi, le raisonnement peut être facilité par un schéma. Quelle est la masse de chaque fruit ? 7 Avec 40 allumettes, Milo a construit de la masse d’une orange. ★★ ★ des carrés et des triangles. LaIl amasse d’unau kiwi est12 la figures. moitié construit total de la massea-t-il d’une poire. de carrés ? Combien construit Tom a pesé ensemble une ?orange, Et combien de triangles une poire et un kiwi. Masses de fruits INCONTOURNABLE ◗ MASSES DE FRUITS 8 La masse d’un abricot est le double de la masse d’une noix. Romy pèse ensemble 1 abricot et g1 noix. 11 Aya et Romy ont cueilli de belles pommes. Si elles les mettaient toutes ensemble, elles auraient au total 80 pommes. de droit plus qu’Aya. unRomy cube a cueilli 10 pommes un pavé Combien chacune des deux amies a-t-elle de pommes ? : des cubes et des Ayacueilli a construit 16 solides pavés droits. Tous les pavés droits qu’elle 12a construits Milo et Tom ensemble 50 cerises. ontont deux faces carrées. Pour Si Tom ces en donne 5 à Milo, en auront ★ fabriquer 16 solides, Aya ils a utilisé autant l’un queque l’autre. deautant faces carrées de faces rectangulaires. Combien chacunconstruit a-t-il de cerises ?? Combien a-t-elle de cubes citron prune prune 100 g Et combien de pavés droits ? Quelle est la masse de chaque fruit ? Quelle est la masse de chaque fruit ? 006-022-Unite 1.indd 9 9 ★ La masse d’un citron est le triple de la masse d’une prune. Milo pèse ensemble 1 citron et 2 prunes. g 13 Quand ils réunissent les noisettes qu’ils ont ★ hatier-clic.fr/CM1cap001 ramassées, Milo et Aya ont 60 noisettes. Mais le nombre de noisettes de Milo n’est neuf • 9 que la moitié de celui d’Aya. Combien chacun a-t-il de noisettes ? ◗ DES BOITES POUR RANGER DES ŒUFS 23/01/2020 18:38 14 Une fermière doit emballer 100 œufs. ★★ Elle dispose de deux sortes de boites : – des boites qui contiennent une dizaine d’œufs ; – d’autres qui en contiennent une douzaine. Les boites doivent être pleines. Combien peut-elle utiliser de boites de chaque sorte ? Trouve toutes les possibilités. Énigme Quelle est la masse de chaque fruit ? 10 La masse d’une poire est la moitié un cube g Quelle est la masse de chaque fruit ? 46 1 prune 1 prune prune 100 g Problème 10 : Un raisonnement voisin est également envisageable, mais plus difficile à imaginer. Il faut en effet considérer que, du point de vue de la masse, une poire équivaut à 2 kiwis et 1 orange à 2 poires, donc 4 kiwis… et que les 3 fruits équivalent donc ensemble à 7 kiwis. 8 noix : 20g et abricot : 40 g 9 prune : 20 g et citron : 60 g un pavé droit Aya a construit 16 solides : des cubes et des pavés droits. Tous les pavés droits qu’elle a construits ont deux faces carrées. Pour fabriquer ces 16 solides, Aya a utilisé autant de faces carrées que de faces rectangulaires. Combien a-t-elle construit de cubes ? Et combien de pavés droits ? hatier-clic.fr/CM1cap001 neuf • 9 006-022-Unite 1.indd 9 prune prune prune 100 g 1 citron Réponses : ★★ de la masse d’une orange. La masse d’un kiwi est la moitié de la masse d’une poire. Tom a pesé ensemble une orange, une poire et un kiwi. prune ★ 15. ? INCONTOURNABLE Longueur obtenue 14 bout 19 12 des rubans en mettant 5 Aya réalise ? 9 ✶ 10 ✶ ✶ EXERCICES 8 €. € et de billets de 5 € ? 23/01/2020 18:38 10 kiwi : 40 g, poire : 80 g et orange : 160 g EXERCICE 14 ✶ ✶ Quantités de fruits ◗ QUANTITÉS DE FRUITS 7 11 Aya et Romy ont cueilli de belles pommes. ★ Si elles les mettaient toutes ensemble, elles auraient au total 80 pommes. Romy a cueilli 10 pommes de plus qu’Aya. Combien chacune des deux amies a-t-elle cueilli de pommes ? ★ ◗ MASSES DE FRUITS INCONTOURNABLE 12 Milo et Tom ont ensemble 50 cerises. Si Tom en donne 5 à Milo, ils en auront autant l’un que l’autre. Combien chacun a-t-il de cerises ? ★ Avec 40 allumettes, Milo a construit des carrés et des triangles. Il a construit au total 12 figures. Combien a-t-il construit de carrés ? Et combien de triangles ? 8 La masse d’un abricot est le double de la masse d’une noix. Romy pèse ensemble 1 abricot et 1 noix. 13 Quand ils réunissent les noisettes qu’ils ont ramassées, Milo et Aya ont 60 noisettes. Mais le nombre de noisettes de Milo n’est que la moitié de celui d’Aya. Combien chacun a-t-il de noisettes ? ★ ◗ QUANTITÉS DE FRUITS ★ ★ Si Tom en donne 5 à Milo, ils en auront autant l’un que l’autre. Boites Combien chacun a-t-il 0 de cerises 1 ?2 3 de13 10 œufs Quand ils réunissent les noisettes qu’ils ont 4 5 6 7 8 9 10 5 5 4 3 2 1 0 0 ★ ramassées, Milo et Aya ont 60 noisettes. Boites Mais le nombre de noisettes de Milo n’est 6 que la moitié de celui8d’Aya. 7 de 12 œufs Combien chacun a-t-il de noisettes ? Quelle est la masse de chaque fruit ? DES BOITES POUR RANGER DES ŒUFS 14 11 ✶ EXERCICE citron et 2 prunes. Le11◗ nombre à deatteindre Aya et Romy ont cueilli belles pommes. étant assez grand, la question Si elles les mettaient toutes ensemble, de l’unicité lapommes. réponse se pose. Une organisation des elles auraient aude total 80 Romy a cueilli 10 pommes de plus qu’Aya. Combien chacune desde deux conclure amies a-t-elle essais permet sur ce point, par exemple sous cueilli de pommes ? la12forme suivante : Milo et Tom ont ensemble 50 cerises. Une fermière doit emballer 100 œufs. ★★ Elle dispose de deux sortes de boites : – des boites qui contiennent une dizaine d’œufs ; – d’autres qui en contiennent une douzaine. Les boites doivent être pleines. Combien peut-elle utiliser de boites de chaque sorte ? Trouve toutes les possibilités. 9 ★ La masse d’un citron est le triple de la masse d’une prune. Milo pèse ensemble 1 citron et 2 prunes. La difficulté peut provenir du fait que, le nombre total étant un nombre entier de dizaines, les élèves ne cherchent qu’à additionner de tels nombres et concluent à l’impossibilité. g un cube 90 100 ★★ Elle dispose de deux sortes de boites : – des boites qui contiennent une dizaine Énigme 10 La masse d’une poire est la moitié La masse d’un kiwi est la moitié de la masse d’une poire. Tom a pesé ensemble une orange, une poire et un kiwi. un pavé droit g un cube neuf 23/01/2020 18:38 006-022-Unite 1.indd 9 Réponse : Milo : 20 cerises et Tom : 30 cerises EXERCICE 13 ✶ 11 Aya et Romy ont cueilli de belles pommes. Si elles les mettaient toutes ensemble, elles auraient au total 80 pommes. Romy a cueilli 10 pommes de plus qu’Aya. Combien chacune des deux amies a-t-elle cueilli de pommes ? Aya Milo 12 Milo et Tom ont ensemble 50 cerises. Si Tom en donne 5 à Milo, ils en auront autant l’un que l’autre. Combien chacun a-t-il de cerises ? Une démarche déductive est envisageable en considérant que la part d'Aya représente 2 parts de Milo et qu’on peut donc considérer que 60 noisettes représentent 3 parts de QUANTITÉS DE FRUITS Milo,◗ l'appui sur un schéma pouvant y aider. 60 noisettes Réponse Milo : les20noisettes noisettes 13 Quand: ils réunissent qu’ils ont et Aya : 40 noisettes ramassées, Milo et Aya ont 60 noisettes. Mais le nombre de noisettes de Milo n’est que la moitié de celui d’Aya. Combien chacun a-t-il de noisettes ? Des boites pour ranger des œufs ◗ DES BOITES POUR RANGER DES ŒUFS un pavé droit Aya a construit 16 solides : des cubes et des pavés droits. Tous les pavés droits qu’elle a construits ont deux faces carrées. Pour fabriquer ces 16 solides, Aya a utilisé autant de faces carrées que de faces rectangulaires. Combien a-t-elle construit de cubes ? Et combien de pavés droits ? hatier-clic.fr/CM1cap001 ★ 92 ★★ de la masse d’une orange. Combien a-t-elle construit de cubes ? Et combien de pavés droits ? ★ 94 de chaque sorte ? Trouve toutes les possibilités. Une erreur consiste à répondre 25 et 20 ou 25 et 30, obteAya a construit 16 solides : des cubes et des pavés droits. Tous les pavés nus en divisant 50droits parqu’elle2 (résultat 25) et en interprétant a construits ont deux faces carrées. Pour fabriquer ces 16 solides, Aya a utilisé autant le faitdeque « en donner 5 à Milo » revient à diminuer de 5 faces carrées que de faces rectangulaires. celles de Milo ou à augmenter de 5 celles de Tom, sans vérifier que la somme n’est alors plus égale àQuelle 50.est la masse de chaque fruit ? •9 D’autres élèves peuvent aussi conclure que le problème est impossible à résoudre. ★ 96 d’œufs ; Réponse : 4 boites de 10 œufs et 5 boites de 12 œufs – d’autres qui en contiennent une douzaine. Les boites doivent ouêtre10pleines. boites de 10 œufs Combien peut-elle utiliser de boites Réponse : Aya :Énigme 35 pommes et Romy : 45 pommes Quelle est la masse de chaque fruit ? EXERCICE 12 ✶ UNITÉ Nombre ◗ DES BOITES POUR96RANGER94DES ŒUFS 92 90 100 98 14 Une fermière doit emballer 100 œufs. d'œufs hatier-clic.fr/CM1cap001 Pour résoudre l’énigme, il• 9faut considérer que : – un cube nécessite 6 faces carrées ; – un pavé nécessite 2 faces carrées et 4 faces rectangulaires. Il faut aussi considérer que pour avoir autant de faces rectangulaires que de faces carrées, il faut avoir nettement plus de pavés que de cubes. À partir de là, l’exploration peut être aléatoire ou systématisée, en commençant par le plus grand nombre possible de pavés comme dans le tableau ci-dessous (en observant l’évolution des nombres du tableau, on peut conclure qu’il n’est pas utile d’explorer d’autres possibilités). neuf 23/01/2020 18:38 Cubes 1 2 3 4 Pavés 15 14 13 12 Carrés 6 + 30 = 36 Rectangles 12 + 28 = 40 18 + 26 = 44 24 + 24 = 48 60 56 52 48 Réponse : 12 pavés et 4 cubes 14 Une fermière doit emballer 100 œufs. ★★ Elle dispose de deux sortes de boites : citron et 2 prunes. – des boites qui contiennent une dizaine d’œufs ; – d’autres qui en contiennent une douzaine. Les boites doivent être pleines. Combien peut-elle utiliser de boites de chaque sorte ? Trouve toutes les possibilités. Énigme un cube un pavé droit Aya a construit 16 solides : des cubes et des pavés droits. Tous les pavés droits qu’elle a construits ont deux faces carrées. Pour fabriquer ces 16 solides, Aya a utilisé autant de faces carrées que de faces rectangulaires. Combien a-t-elle construit de cubes ? Et combien de pavés droits ? hatier-clic.fr/CM1cap001 neuf • 9 23/01/2020 18:38 47 1 Les nombres jusqu’à 9 999 Objectifs : – Connaitre les relations entre unités, dizaines, centaines, milliers – Reconnaitre la valeur positionnelle des chiffres – Savoir lire des nombres inférieurs au million – Savoir comparer des nombres – Savoir décomposer des nombres en unités de numération. UNITÉ apprentissage 2 Les nombres inférieurs à 10 000 ont été étudiés au CE2. Avant de prolonger cette étude à des nombres plus grands (jusqu’au million en unité 4, puis au-delà en unité 7), il est essentiel de s’assurer que les élèves ont une bonne maitrise des nombres de ce domaine : écritures en chiffres, lecture et écritures en lettres, comparaison. Les nombres jusqu’à 9 999 1 LesJecubes cherche apprentissage 2 Les cubes Moi, j’ai reçu 21 centaines et 40 dizaines de petits cubes. Voici une photo de ce que j’ai reçu. Et moi, j’en ai eu 3 400. 2 Recherche individuelle, puis par équipes de 2 ● Et moi, j’en ai trois-mille-quatre-centsoixante-dix. Pendant la recherche, observer les procédures utilisées. ◗ PROCÉDURES POSSIBLES Tom Milo Romy – Expression de tous les nombres sous forme chiffrée. – Décomposition de tous les nombres en unités de numération (milliers, centaines, dizaines, unités) puis comparaison des décompositions. – Procédures mixtes, avec comparaison des nombres deux par deux. Aya Qui a reçu le plus de petits cubes ? Qui en a reçu le moins ? Explique comment tu as trouvé. Écris les noms des personnages de celui qui en a le moins à celui qui en a le plus. la classe Jepour m’entraine ◗ DIFFICULTÉS ÉVENTUELLES a. 1 centaine = ... dizaines parb. élève 1 millier = ... centaines INCONTOURNABLE de numération ➞ Mallette ou matériel de •◗ matériel UTILISER LES MILLIERS, CENTAINES, 1-2-3 DIZAINES ET UNITÉS 3 Dans 4 807 : substitution (voir p. 6) a. Quel est le chiffre des milliers ? hatier-clic.fr/CM1capg0102 Combien y a-t-il de milliers ? Complète.2 agrandie •1 fiche DICO INCONTOURNABLE MATÉRIEL A INCONTOURNABLE 1 DÉROULÉ UNITÉ – Pour exprimer les quantités ou nombres donnés sous une autre forme ou pour les ranger par ordre croissant b. Quel est le chiffre des dizaines ? Combien y a-t-il de dizaines ? Aide Mettre à disposition le matériel de numération et inciter à l’utiliser pour illustrer les nombres en jeu. c. 1 millier = ... dizaines d. 5 centaines = 50 ... e. 7 milliers = 70 ... f. 7 milliers = 700 ... g. 70 centaines = 700 … • manuel p. 10, question A 4 Milo a reçu les timbres dessinés ici. Les contiennent 10 ou 100 timbres. • les cubes de Tom ➞ fiche 2 plaques Combien Milo a-t-il reçu de timbres ? • brouillon ou feuille de recherche de mathématiques •2 cahier Dans 358 : circuit desdesnombres est le chiffre dizaines ? • lea. Quel ➞ fiche 3 Combien y a-t-il de dizaines ? b. Quel est le chiffre des centaines ? Combien y a-t-il de centaines ? 3 Exploitation collective 2 Recherche 10 • dix 3 Exploitation 006-022-Unite 1.indd 10 4 Entrainement Combien a-t-elle reçu de timbres ? Individuel puis par équipes de 2 Collectif Individuel 23/01/2020 18:38 RECHERCHE Comment comparer et ranger des quantités de petits cubes exprimées sous différentes formes (figuration ou décomposition en unités de numération, expression chiffrée, expression en lettres) ? 1 Présentation collective de la situation Montrer aux élèves un exemplaire de chaque représentation des unités de numération sous forme de quantités de petits cubes : ● ● Leur faire formuler que « les petits cubes existent à l’unité, qu’une barre comporte 10 petits cubes, une plaque comporte 10 barres de petits cubes et un gros cube comporte 10 plaques de petits cubes ». ● Préciser la tâche : ➞ Vous devez répondre par écrit aux questions posées. Ensuite, vous expliquerez à la classe la (ou les) méthode(s) que vous avez utilisée(s) 48 Recenser les réponses et faire exprimer les méthodes utilisées. ● 1 Présentation de la situation5 Aya aCollectif reçu 43 dizaines de timbres. Réponses : Tom : 3 361 Milo : 2 500 Romy : 3 400 Aya : 3 470 EXPLICITATION, VERBALISATION ◗ S’appuyer sur les procédures apparues, pour faire verba- liser les équivalences entre unités de numération : 1 millier = 10 centaines = 100 dizaines = 1 000 unités 1 centaine = 10 dizaines = 100 unités 1 dizaine = 10 unités. ◗ Faire remarquer qu’un nombre peut être décomposé de plusieurs façons : 3 400 = 3 milliers et 4 centaines = 34 centaines 3 400 = (3 × 1 000) + (4 × 100) = 34 × 100. ◗ Rappeler que la décomposition de l’écriture chiffrée d’un nombre par tranches de 3 chiffres à partir de l’unité facilite sa lecture. ◗ Faire constater que connaitre la valeur des chiffres dans l’écriture des nombres aide à les comparer. On peut pour cela s’intéresser d’abord aux chiffres de plus grande valeur (donc ceux de gauche) : EXEMPLE : comparer 2 500 ; 3 361 ; 3 400 ; 3 470 ; 868. – 868 est le plus petit des 5 nombres car il ne comporte pas de millier ; – 2 500 est le plus petit des nombres restants car il a 2 milliers alors que les autres en ont 3 (et que 500 est plus petit qu'un millier) ; – 3 361 est plus petit que 3 400 parce que, s’ils ont autant de milliers l’un que l’autre, 3 361 comporte 3 milliers et 3 centaines alors que 3 400 comporte 3 milliers et 4 centaines (et que 61 est plus petit qu'une centaine) ; – 3 400 est plus petit que 3 470 parce que, s’ils ont autant de milliers et de centaines l’un que l’autre, 3 400 comporte 3 milliers 4 centaines et 0 dizaine alors que 3 470 comporte 3 milliers 4 centaines et 7 dizaines. La procédure de comparaison des nombres que nous proposons diffère légèrement de celle souvent enseignée qui distingue deux cas selon que les nombres sont écrits ou non avec le même nombre de chiffres. La procédure décrite ici ne fait pas cette distinction. Il suffit d’imaginer que les nombres sont écrits les uns sous les autres (alignés à partir des unités), puis de procéder à une comparaison des chiffres de même rang en commençant par ceux de rang le plus élevé (les plus à gauche). Si pour un nombre il n’y a pas de chiffre à un rang donné, c’est comme si était écrit le chiffre 0. L’intérêt de cette procédure est qu’elle peut être prolongée sans difficulté au cas de la comparaison des nombres décimaux écrits avec une virgule. Pour tous les exercices, une aide peut être apportée aux élèves en leur proposant de recourir soit au contexte des cubes, soit au tableau de numération. On peut, par exemple, se servir du tableau de numération pour repérer que le chiffre des dizaines de 358 est 5 et illustrer, par des échanges sur le matériel, qu'il contient 35 dizaines. Centaines Dizaines Unités UNITÉ 1 3 5 8 35 8 TRACE ÉCRITE Faire recopier dans le cahier de mathématiques les décompositions de 3 400 et de 3 331. UNITÉ Faire noterLes la méthode comparer ces deux nombrespermettant jusqu’à de 9 999 1 apprentissage 2 nombres Garder une trace collective des unités de numération et de Je cherche Les cubes leurs équivalences. Moi, j’ai reçu 21 centaines et 40 dizaines de petits cubes. Voici une photo de ce que j’ai reçu. Et moi, j’en ai eu 3 400. Et moi, j’en ai trois-mille-quatre-centsoixante-dix. Manuel p. 10-11 4 Entrainement individuel Les exercices incontournables sont à proposer à tous les élèves et peuvent faire l'objet, si nécessaire, d'une exploitation collective ou par Tom petits groupes. Milo Romy Aya apprentissage Qui a reçu le plus de petits cubes ? Qui en2a l'enseignant reçu le moins ? PourA les autres exercices, choisit ceux qu'il Explique comment tu as trouvé. Écris les noms des personnages de celui qui en a le moinsélèves à celui qui enou a le plus. pense utile de proposer à tous ses à certains de Les cubes ses élèves. Moi, j’ai reçu 21 centaines et 40 dizaines de petits cubes. Et moi, j’en ai eu 3 400. Et moi, j’en ai trois-mille-quatre-centsoixante-dix. Je m’entraine INCONTOURNABLE UTILISER LES MILLIERS, CENTAINES, DIZAINES ET UNITÉS Milo DICO 1-2-3 ... dizaines 2 INCONTOURNABLE INCONTOURNABLE Tom 1 Complète. a. 1 centaine = ... dizaines b. 1 millier = ... centaines c. 1 millier = ... dizaines Romy= 50 ... d. 5 centaines e. 7 milliers = 70 ... f. 7 milliers = 700 ... g. 70 centaines = 700 … DICO 1-2-3 INCONTOURNABLE Utiliser les milliers, centaines, dizaines et unités ◗ Aya 3 4 Dans 4 807 : a. Quel est le chiffre des milliers ? Combien y a-t-il de milliers ? b. Quel est le chiffre des dizaines ? Combien y a-t-il de dizaines ? 5 23/01/2020 18:38 Écris le nombre que tu obtiens en ajoutant une dizaine à : a. 2 879 b. 3 890 c. 5 992 d. 6 999 ◗ DÉCOMPOSER LES NOMBRES Le responsable d’une papèterie a commandé 5 000 crayons. Les crayons sont emballés dans des boites qui contiennent chacune 100 crayons, puis les boites sont groupées par 10 dans des cartons. 9 a. Combien de cartons reçoit-il ? b. Lorsqu’il aura déballé tous les cartons, combien aura-t-il de boites ? INCONTOURNABLE 4 a. 14 centaines 7 unités b. 5 milliers 20 centaines c. 123 dizaines d. 3 milliers 45 dizaines e. 5 milliers 24 centaines 13 dizaines 30 unités Complète. a. (6 × 1 000) + (4 × 100) + (9 × 10) = ... b. (6 × 1 000) + (4 × 100) + 9 = ... c. 6 029 = (6 × ...) + (2 × ...) + ... d. 8 700 = (8 × ...) + (7 × ...) DICO 5-6 10 Sur cette ligne graduée, quels sont les nombres repérés par les lettres : A, B, C. Range-les du plus petit au plus grand. 9 000 C Réponses : 4 250 timbres 5 430 timbres EXERCICE 7 ✶ Le problème peut être résolu de plusieurs façons : – considérer que 1 boite contient 1 centaine de crayons et 1 carton contient 1 millier de crayons ; puis utiliser le fait que 5 000 = 5 milliers = 50 centaines ; – trouver la réponse en milliers, puis utiliser l’équivalence 1 millier = 10 centaines ; – utiliser la division ou la multiplication par 1 000 et par 100. Réponses : a. 5 cartons b. 50 boites 9 500 A 11 Complète avec < ou >. a. 5 634 ... 5 430 b. 8 689 ... 8 869 5 Réponses : a. 2 889 b. 3 900 c. 6 002 d. 7 009 DICO 8 Écris en chiffres chacun de ces nombres. 23/01/2020 18:38 ◗ COMPARER, RANGER LES NOMBRES b. 0 et 480 Cet exercice nécessite le repérage des dizaines en fonction du rang de chaque chiffre dans l'écriture d'un nombre et l’utilisation des équivalences entre unités de numération. 6 7 3 a. 4 et 4 EXERCICE 6 ✶ Milo a reçu les timbres dessinés ici. Les plaques contiennent 10 ou 100 timbres. Combien Milo a-t-il reçu de timbres ? Aya a reçu 43 dizaines de timbres. Combien a-t-elle reçu de timbres ? ★ b. 3 et 3 Ces exercices reprennent les questions de la recherche. 5 ★ 3 2 a. 5 et 35 EXERCICES 4 Aya a reçu 43 dizaines de timbres. Combien a-t-elle reçu de timbres ? Combien y a-t-il de milliers ? b. Quel est le chiffre des dizaines ? 006-022-Unite 1.indd Combien 10 y a-t-il de dizaines ? = 700 … d. dizaines g. dizaines Les questions du type « nombre de dizaines » sont formulées sous la forme « combien de dizaines ? » plus accessibles aux élèves. Milo a reçu les timbres dessinés ici. Les plaques contiennent 10 ou 100 timbres. Combien Milo a-t-il reçu de timbres ? Dans 4 807 : 4 Réponses : a. 10 b. 10 c. 100 e. centaines f. dizaines EXERCICES 2 10 •3 dixa. Quel est le chiffre des milliers ? = 50 ... La maitrise de ces équivalences est indispensable. Réponses : Dans 358 : a. Quel est le chiffre des dizaines ? Combien y a-t-il de dizaines ? b. Quel est le chiffre des centaines ? Combien y a-t-il de centaines ? INCONTOURNABLE Voici une photo de ce que j’ai reçu. EXERCICE 1 B 49 14 Complète les cases de ce circuit. d. 5 025 ... 7 655 e. 1 907 ... 1 915 ★ k signifie + 101 m signifie − 10 ... a. (6 5 634 5 430 d. + 5 025 b. × 1 ... 000) + (4 × 100) 9 = ... 7 655 b. 68 029 689 =...(6 8 869 1 907 c. × ...) + (2 ×e....) + ... ... 1 915 c. 81 700 068 = ... (8 987 5 953 ... 6 000 d. × ...) + (7 f. × ...) a. Combien de cartons reçoit-il ? b. Lorsqu’il aura déballé tous les cartons, combien aura-t-il de boites ? ◗ COMPARER, RANGER LES NOMBRES 4 9 2 489 758 DES SUITES DE NOMBRES ◗ COMPLÉTER 9 500 A 11 Complète avec < ou >. a. 5 634 ... 5 430 b. 8 689 ... 8 869 c. 1 068 ... 987 d. 5 025 ... 7 655 e. 1 907 ... 1 915 f. 5 953 ... 6 000 12 Écris ces nombres dans l’ordre croissant. ★ 5 030 13 Écris une suite dedix nombres : a. à partir de 2 590 B en avançant de 100 en 100 b. à partir de 3 080 en avançant de 110 en 110 1 000 2 560 2 489 758 ★ k signifie + 101 Énigme Oncle Picsou a oublié le code de son coffrefort. Il se souvient que c’est un nombre impair, compris entre 3 000 et 4 000 et que son chiffre des centaines est le quadruple de celui des dizaines. Quels codes oncle Picsou peut-il essayer pour ouvrir son coffre-fort ? 14 Complète les cases de ce circuit. ◗ COMPLÉTER DES SUITES DE NOMBRES m signifie − 10 hatier-clic.fr/CM1cap002 onze • 11 2200 006-022-Unite 1.indd 11 23/01/2020 18:38 Énigme EXERCICE 13 Oncle Picsou a oublié le code de son coffre- fort. Il se souvient que c’est un nombre Ce type d’exercice de repérer les chiffres sur impair, compris entre 3 000 et nécessite 4 000 et que a. à partir de 2 590 en avançant de 100 en 100 son chiffre des centaines est le quadruple b. à partir de 3 080 en avançant de 110 en 110lesquels de celuiildesfaut dizaines.agir et d’être vigilant sur les « passages de EXERCICES 8 9 ◗D 6 Écris le nombre que tu obtiens en ajoutant de centaines... ». ◗D 6 Écris le nombre que tu obtiens en ajoutant dizaines, une dizaine à : Ces exercices nécessitent de faire fonctionner les équiINCONTOURNABLE DICO 5-6 9 500 13 Écris une suite de dix nombres : ÉCOMPOSER LES NOMBRES a. 2 879 B b. 3 890 c. 5 992 d. 6 999 Quels codes oncle Picsou peut-il essayer pour ouvrirLES sonNOMBRES coffre-fort ?DICO ÉCOMPOSER 4 DICO 4 ★ une dizaine à : 8 Écris en chiffres chacun de ces nombres. INCONTOURNABLE ★ INCONTOURNABLE hatier-clic.fr/CM1cap002 8 Écris en chiffres chacun de ces nombres. a. 2 879 b. 3 890 c. 5 992 d. 6 999 a. 14 centaines unités passer par un Réponses : 7a. 2 590 – 2 690 •–112 790 – 2 890 – 2 990 – 3 090 – a. 14 centaines unités valences entre unités de numération ou7 de b. 5 milliers 20 centaines 7 Le responsable d’une papèterie a commandé b. 5 milliers 20 centaines 7 Le responsable d’une papèterie a commandé 3 190 – 3 290 –3 390 – 3 490 – 3 590 c. 123 dizaines 14 Complète les cases de ce circuit. 5 000 crayons. Les crayons sont emballés c. 123 dizaines 5 000 crayons. Les crayons sont emballés calcul utilisant les multiplications par 10, 100 ou 1 000. d. 3 milliers 45 dizaines dans des boites chacune k signifie + 101qui contiennent − 10 d. 5 025 ... 7 655 d. 3 milliers 45 dizaines m signifie dans des boites qui contiennent chacune ★ ★ 9 EXERCICE 14 ✶ Énigme Complète. a. (6 × 1 000) + (4 × 100) + (9 × 10) = ... b. (6 × 1 000) + (4 × 100) + 9 = ... c. 6 029 = (6 × ...) + (2 × ...) + ... d. 8 700 = (8 × ...) + (7 × ...) C A INCONTOURNABLE pour ouvrir son coffre-fort ? 9 000 9 500 hatier-clic.fr/CM1cap002 11 Complète avec < ou >. a. 5 634 ... 5 430 b. 8 689 ... 8 869 c. 1 068 ... 987 5 030 1 000 2 560 ★ k signifie + 101 Écris une suite de dix nombres : a. à partir de 2 590 en avançant de 100 en 100 b. à partir de 3 080 en avançant de 110 en 110 m 5signifie a. 634 ...−510 430 b. 8 689 ... 8 869 c. 1 068 ... 987 B 2 008 ★ 5 030 1 000 2 560 Énigme ◗ 2 489 758 Oncle Picsou a oublié le code de son coffreCOMPLÉTER DES SUITES DE NOMBRES fort. Il se souvient que c’est un nombre impair, compris entre 3 000 et 4 000 et que 13 Écris une suite de dix nombres : son chiffre des centaines est quadruple a. àlepartir de 2 590 en avançant de 100 en 100 de celui des dizaines. b. à partir de 3 080 en avançant de 110 en 110 Cet exercice demande d’identifier l’espace entre deux grandes graduations (100 unités) et d’utiliser l’équivalence 1 centaine = 10 dizaines, pour en déduire l’espace •entre 11 deux petites graduations (10 unités). Quels codes oncle Picsou peut-il essayer pour ouvrir son coffre-fort ? hatier-clic.fr/CM1cap002 onze 006-022-Unite 1.indd 11 Réponses : A. 9 100 B. 9 650 C. 8 900 8 900 < 9 100 < 9 650 EXERCICES 11 006-022-Unite 1.indd 11 23/01/2020 18:38 12 ✶ Ces exercices peuvent être résolus en raisonnant sur les écritures chiffrées, en évoquant éventuellement le placement des nombres sur une ligne graduée ou encore en se référant au contexte des petits cubes Réponses : 11 a. 5 634 > 5 430 b. 8 689 < 8 869 c. 1 068 > 987 d. 5 025 < 7 655 e. 1 907 < 1 915 f. 5 953 < 6 000 12 758 < 1 000 < 2 489 < 2 560 < 5 030 2 109 14 Complète les cases de ce circuit. d. 5 025 ... 7 655 e. 1 907 ... 1 915 f. 5 953 ... 6 000 12 Écris ces nombres dans l’ordre croissant. 758 10 EXERCICE 13 A 2200 2 489 ◗ COMPLÉTER DES SUITES DE NOMBRES C 14 Complète les cases de ce circuit. 11 Complète avec < ou >. 23/01/2020 18:38 12 Écris ces nombres dans l’ordre croissant. ★ Réponse : 9 500 9 000 B onze • 11 d. 5 025 ... 7 655 e. 1 907 ... 1 915 f. 5 953 ... 6 000 Ce type d’exercice nécessite également de repérer les chiffres sur lesquels agir, mais du fait qu’il faut remonter la suite à rebours, son niveau de difficulté est plus élevé. ◗ INCONTOURNABLE INCONTOURNABLE ◗ 50 23/01/2020 18:38 e. 5 milliers 24 centaines 13 dizaines 30 unités c. 6 029 = (6 × ...) + (2 × ...) + ... a. Combien de cartons reçoit-il ? d. 8 700 = (8 × ...) + (7 × a....) Combien de cartons reçoit-il ? b. Lorsqu’il aura déballé tous les cartons, b. Lorsqu’il aura déballé tous les cartons, Oncle Picsou a oublié le code de son coffrecombien aura-t-il de boites ? combien aura-t-il de boites ? fort. Il se souvient que c’est un nombre impair, comprisRANGER entre 3 LES 000 NOMBRES et 4 000 et que DICO COMPARER, DICO COMPARER, RANGER LES NOMBRES 5-6 son chiffre des centaines est le quadruple5-6 de celui des dizaines. 10 Sur cette ligne graduée, quels sont les nombres repérés par les lettres : 10 A, B,Sur C. cette ligne graduée, quels sont les nombres repérés par les lettres : A, B, C. Quels codes oncle Picsou peut-il essayer Range-les du plus petit au plus grand. Range-les du plus petit au plus grand. Comparer, ranger les nombres INCONTOURNABLE 758 par 10 dans Réponses : 8des cartons. a. 1 407 b. 7 000 c.301unités 230 d. 3 450 e.des7 cartons. 560 par 10 dans 9 a.2200 6 490 b. 6 409 9 c.Complète. (6 × 1 000) + (2 × 10) + 9 a. (6 × 1 000) + (4 × 100) + (9 × 10) = ... 2 489 d. (8 × 1 000) + (7 × 100) b. (6 × 1 000) + (4 × 100) + 9 = ... INCONTOURNABLE 1 000 b. 3 080 – 3 190 – 3 300 – 3 410 – 3 520 – 3 630 – 3 740 – 3 850 – 3 960 – 4 070 – 4 180 006-022-Unite 1.indd 11 e. 5 milliers 24 centaines 13 dizaines 100 crayons, puis les boites sont groupées 100 crayons, puis les boites sont groupées e. 1 907 ... 1 915 f. 5 953 ... 6 000 onze ★ INCONTOURNABLE A 1 000 2 560 9 000 C Complète. a. (6 × 1 000) + (4 × 100) + (9 × 10) = ... b. (6 × 1 000) + (4 × 100) + 9 = ... c. 6 029 = (6 × ...) + (2 × ...) + ... d. 8 700 = (8 × ...) + (7 × ...) 5 030 Compléter des suites de nombres Range-les du plus petit au plus grand. 8 Écris en chiffres chacun de ces nombres. a. 14 centaines 7 unités b. 5 milliers 20 centaines c. 123 dizaines d. 3 milliers 45 dizaines e. 5 milliers 24 centaines 13 dizaines 30 unités ★ m signifie − 10 2200 12 Écris ces nombres dans l’ordre croissant. DICO 5-6 INCONTOURNABLE d. 6 999 DICO k signifie + 101 10 Sur cette ligne graduée, quels sont les nombres repérés par les lettres : A, B, C. INCONTOURNABLE c. 5 992 INCONTOURNABLE ◗ DÉCOMPOSER LES NOMBRES INCONTOURNABLE Décomposer les nombres ★ ★ 1 998 m signifie 2 099 − 10 k signifie + 101 2 210 2 311 2 412 2 200 2 301 2 402 2200 Énigme Oncle Picsou a oublié le code de son coffrefort. Il se souvient que c’est un nombre impair, compris entre 3 000 et 4 000 et que son chiffre des centaines est le quadruple de celui des dizaines. Quels codes oncle Picsou peut-il essayer pour ouvrir son coffre-fort ? hatier-clic.fr/CM1cap002 • 11 Une recherche hasardeuse a peu de chances d’aboutir, mais peut déboucher sur une recherche plus organisée : – le chiffre des milliers ne peut être que 3 ; – le chiffre des unités ne peut être que 1, 3, 5, 7 ou 9 ; – de plus, comme le chiffre des centaines est le quadruple de celui des dizaines, le chiffre des centaines ne peut être que 8, 4 ou 0 (et celui des dizaines 2, 1 ou 0). onze 23/01/2020 18:38 Réponse : 3 001 ; 3 411 ; 3 821 ; 3 003 ; 3 413 ; 3 823 ; 3 005 ; 3 415 ; 3 825 ; 3 007 ; 3 417 ; 3 827 ; 3 009 ; 3 419 ; 3 829 Écarts et différences Objectifs : – Connaitre la propriété de conservation des écarts – Calculer des différences – Enrichir ses stratégies de calcul réfléchi UNITÉ apprentissage 31 apprentissage Au CE2, les élèves ont travaillé sur différents « sens de la soustraction » : recherche de compléments, d’écarts de distances, d'un état final dans une diminution, d’un état initial avant une augmentation, de la valeur d’une augmentation ou d’une diminution. La maitrise de ces différents « sens » est confortée au CM1 au travers de nombreux problèmes proposés tout au long de l’année. Il s’agit ici, tout en revenant sur l’utilisation de la soustraction pour calculer des écarts de distances puis des différences, de mettre en place une propriété importante de la soustraction, souvent appelée « conservation des écarts ou des différences » : on obtient une différence égale à une autre en ajoutant ou en retranchant le même nombre aux deux termes de cette dernière. En langage algébrique cela se traduit par : a – b = (a + c) – (b + c) = (a – d) – (b – d). Cette propriété peut ensuite être utilisée pour calculer mentalement des différences ou pour justifier les étapes d’une des techniques posées de la soustraction. Écarts et différences 1 apprentissage 3 LaJecourse cherche d’escargots La course d’escargots 77 mm 115 mm 100 mm 146 mm Pour répondre, tu ne dois pas utiliser d’instrument de mesure. A Quel est l’écart entre les distances parcourues par l’escargot de Romy et par celui de Tom ? B Dans la minute suivante, l’escargot de Romy et celui de Tom avancent tous les deux de 23 mm. Ceux d’Aya et de Milo reculent tous les deux de 37 mm. À ce moment de la course : a. quel est l’écart entre les distances parcourues par l’escargot de Romy de et celui de Tom ? b. quel est l’écart entre les distances parcourues par l’escargot d’Aya de et celui de Milo ? C Pour répondre à la question A, Romy et MÉTHODE DE ROMY MATÉRIEL Tom ont calculé la différence 115 − 77 en utilisant les méthodes ci-contre : a. Explique la suite des calculs de Romy et de Tom. b. Utilise les méthodes de Romy et de Tom pour calculer la différence 256 − 88 . 115 – 77 110 – 72 108 – 70 58 – 20 38 MÉTHODE DE TOM 115 – 77 118 – 80 138 – 100 38 , ➞ Vous devrez répondre d’abord à la question A. Attention, vous n’êtes pas autorisés à mesurer. Je m’entraine pour la classe 3 Écris 5 différences égales à 65 en utilisant au tableau •◗ bandes affichées ou lignes tracées des nombres plus petits que 100. 1 correspondant Quelles sont les différences égales aux chemins agrandis 10 fois parcourus à 3 028 – 765 . 4 Écris 5 différences égales à 65 en utilisant des nombres plus grands a. 3 030 − 767 c. 3 038 − 755 par chaque escargot (77 cm, 115 cm, 100 cm que et 100. 146 cm) b. 3 128 − 865 d. 4 028 − 1 765 • règle à mesurer du tableau ◗ CALCULER DES DIFFÉRENCES 29 CONSERVER DES ÉCARTS Elles doivent être égales à 7 450 – 2 865 . a. 7 453 − … d. … − 865 b. 7 550 − … e. … − 2 866 c. 8 450 − … f. … − 2 465 INCONTOURNABLE DICO 2 Complète par élèveces différences. 5 Calcule la différence entre : a. 25 et 30 d. 115 et 120 b. 47 et 10 e. 2 000 et 1 800 c. 100 et 50 f. 150 et 1 000 • manuel p. 12, questions A à C • brouillon ou feuille de recherche • cahier de mathématiques 12 • douze • calculatrice pour les élèves en difficulté (vérification) 1 Présentation de la situation 006-022-Unite 1.indd 12 2 Recherche de la question A 3 Recherche de la question B 4 Exploitation 5 Recherche de la question C 6 Entrainement Collectif Individuel puis collectif Individuel Collectif Individuel puis collectif Individuel 2 Recherche individuelle puis collective de la question A ● Pendant la recherche, observer les procédures utilisées. ◗ PROCÉDURES POSSIBLES – Calcul du complément de 77 à 115. – Calcul de la différence 115 – 77. 23/01/2020 18:38 RECHERCHE Comment calculer des écarts de distances ou des différences de deux nombres sans utiliser la calculatrice ? 1 Présentation collective de la situation Présenter la situation : les enfants organisent une course d’escargots. Il y a un escargot par enfant. Ils partent d’une même ligne de départ. On considère les distances entre la position d'arrivée et la position de départ de chaque escargot. ● Montrer les lignes affichées ou tracées au tableau correspondant aux chemins parcourus par les escargots en précisant qu’elles sont agrandies 10 fois par rapport à celles du manuel (1 cm au tableau correspond à 1 mm dans le manuel). ● Demander aux élèves ce que signifie l’expression « écart entre les distances parcourues par les escargots de Romy et de Tom ». Conclure que cela correspond à la longueur de la partie de la ligne Tom qui « dépasse » la ligne de Romy ou à ce qui « manque » à la ligne de Romy pour être aussi longue que la ligne de Tom. ● Préciser la tâche : ● Les enfants comparent les distances parcourues par leurs escargots après deux 2 minutes de course. INCONTOURNABLE 1 DÉROULÉ UNITÉ ◗ DIFFICULTÉS ÉVENTUELLES – Pour effectuer les calculs Aide Mettre à disposition des tables d’addition et de soustraction, éventuellement une calculette pour vérifier les résultats obtenus. Faire un inventaire rapide des réponses et des procédures (la validation peut être effectuée collectivement par mesurage avec la règle de tableau) puis rappeler en synthèse l’équivalence entre recherche d’un complément et calcul d’une différence. ● Réponse : 38 mm 3 Recherche individuelle de la question B Pendant la recherche, observer les procédures utilisées et proposer aux élèves qui répondent rapidement de chercher une autre méthode pour vérifier leur résultat. ● 51 UNITÉ 1 UNITÉ Écarts et différences TRACE ÉCRITE INDIVIDUELLE 1 ◗ PROCÉDURES POSSIBLES apprentissage 3 Faire recopier dans le cahier de mathématiques la propriété des écarts en l’illustrant sur un ou plusieurs exemples. – Utilisation en acte de la propriété de conservation des écarts en reprenant l’écart trouvé après 2 minutes de course. – Calcul des distances parcourues après 3 minutes de course puis calcul de l’écart. La course d’escargots Je cherche Les enfants comparent les distances parcourues par leurs escargots après deux 2 minutes de course. 77 mm 6 Entrainement individuel Manuel p. 12-13 115 mm 100 mm Les exercices incontournables sont à proposer à tous les UNITÉ 146 mm Écarts et différences élèves et peuventapprentissage faire l'objet, si nécessaire, d'une exploita◗ DIFFICULTÉS ÉVENTUELLES 1 3 pas utiliser d’instrument de mesure. Pour répondre, tu ne dois tion Acollective ou par petits groupes. Quel est l’écart entre les distances parcourues par l’escargot de Romy et par celui de Tom ? – Pour comprendre la notion de distance parcourue entre départ Je cherche La course d’escargots B Dans la minute suivante, l’escargot de Romy et l'enseignant celui de Tom avancent tous les deux de 23ceux mm. Pour les autres exercices, choisit qu'il et arrivée Ceux d’Aya et de Milo2 reculent tous les deux de 37 mm. Les enfants comparent les distances parcourues par leurs escargots après deux minutes de course. À ce moment de la course : pense a.utile de proposer à tous ses élèves ou à certains de Aide Illustrer les déplacements d’escargot sur les lignes quel est l’écart entre les distances parcourues par l’escargot de Romy de et celui de Tom ? 77 mm b. quel est l’écart entre les distances parcourues par l’escargot d’Aya de et celui de Milo ? représentées au tableau. ses élèves. 115 mm C Pour répondre à la question A, Romy et – 77 115 – 77 – Pour effectuer les calculs Tom ont calculé la différence 115 − 77 100 mm Pour tous exercices, inviter les 115 élèves à effectuer les, 110 – 72 118 – 80 en utilisantles les méthodes ci-contre : 108 – 70 138 – 100 146 Aide Mettre à disposition, des tables d’addition et de soustraction, a. mm Explique la suite des calculs de Romy 58 – 20 38 calculset dementalement ou en ligne. La calculatrice pourra Tom. éventuellement une calculette pour vérifier les résultats obtenus. Pour répondre, tu ne dois pas utiliser 38 b. Utilise les méthodes de Romy et de Tom d’instrument de mesure. pour calculer lales différence permettre de vérifier. 256 − 88 . A Quel est l’écart entre les distances parcourues par l’escargot de Romy et par celui de Tom ? MÉTHODE DE ROMY Je m’entraine Conserver des écarts ◗ C Pour répondre à la question A, Romy et Recenser les réponses et faire exprimer les méthodes utilisées. Tom ont calculé la différence 115 − 77 en utilisant les méthodes ci-contre : a. Explique la suite des calculs de Romy et de Tom. b. Utilise les méthodes de Romy et de Tom pour calculer la différence 256 − 88 . Réponses : a. 38 mm b. 46 mm EXPLICITATION, VERBALISATION 3 1MÉTHOD Quelles sont–les égales E MÉTHODE 115 77 différences 115 – 77 DE ROMY à 3 028110 – 765 – 72 . a. 3 030108 − 767 – 70 b. 3 128 58 − 865 – 20 38 2 118 – 80 c. 3 038 − 755 138 – 100 d. 4 028 − 1 765 38 Complète ces différences. Elles doivent être égales à 7 450 – 2 865 . a. 7 453 − … d. … − 865 b. 7 550 − … e. … − 2 866 c. 8 450 − … f. … − 2 465 ◗ S’appuyer sur les procédures apparues, pour verbaliJefaire m’entraine Écris 5 différences égales à 65 en utilisant des nombres plus petits que 100. 4, Écris 5 différences égales à 65 en utilisant des nombres plus grands que 100. DE TOM ◗ CALCULER DES DIFFÉRENCES INCONTOURNABLE ● Dans la minute suivante, l’escargot de Romy et celui de Tom avancent tous les deux de 23 mm. Ceux d’Aya et de Milo reculent tous les deux de 37 mm. À ce moment de la course : a. quel est l’écart entre les distances parcourues par l’escargot de Romy de et celui de Tom ? CONSERVER b. quel est l’écart entre les distances parcourues par l’escargot d’AyaDES de etÉCARTS celui de Milo ? INCONTOURNABLE B 4 Exploitation collective MÉTHODE DE TOM 5 DICO 29 Calcule la différence entre : a. 25 et 30 d. 115 et 120 b. 47 et 10 e. 2 000 et 1 800 c. 100 et 50 f. 150 et 1 000 INCONTOURNABLE UNITÉ ser la propriété de conservation des écarts. CONSERVER DES ÉCARTSet différences Écris 5 différences égales à 65 en utilisant Écarts 12 •3 douze des nombres plus petits que 100. 11◗ Quelles – Dans le contexte du problème : quand deux escargots apprentissage 3 sont les différences égales . à 3 028qui – 765les 4 Écris 5 différences égales à 65 en utilisant avancent ou reculent d’une même distance, l’écart des nombres plus grands que 100. a. 3 030 − 767 c. 3 038 − 755 Je cherche course d’escargots b. 3 128 − 865 La d. 4 028 − 1 765 sépare ne change pas. CALCULER DES DIFFÉRENCES Les enfants comparent les distances parcourues par leurs après deux 2 minutes de course. ◗escargots 29 – Dans le contexte des caculs : quand on ajoute (ou qu’on 2 Complète ces différences. 1 2 3 4 EXERCICES 77 mm 5 Calcule la différence entre : Elles doivent être égales à 7 450 – 2 865 . soustrait) un même nombres aux deux termes d’une difféa. 25 et 30 d. 115 et 120 a. 7 453 − … d. … − 865 115 mm b. 47 et 10 e. 2 000 et 1 800 e. … − 2 866 rence donnée, on obtient une différence égale b. 7 550 − … trois permettent de mettre en application c. 100 etexercices 50 f. 150 et 1 000 c. 8 450 − … f. … − 2 465100Ces mm 115 – 77 = 38 146 mm l’apprentissage qui précède. 12 • douze +23 est égale à + 23 006-022-Unite 1.indd 12 23/01/2020 18:38 INCONTOURNABLE DICO 138 – 100 est égale à – 37 146 – 100 Réponses : B c. non d. oui (ajout simultané de 1 000) = 46 –37 MÉTHODE DE ROMY b. 7 550 – 2 965 115 – 77 , c. 8 450 118 – 3– 80865 d. 5 450 – 865 138 – 100 e. 7 451 – 2 38866 f. 7 050 – 2 465 MÉTHODE DE TOM 65 – 0 ; 85 – 20 ; 86 – 21... 4 Beaucoup de réponses possibles, par exemple : 265 – 200 ; 585 – 520 ; 1 086 – 1 021... 3 Quelles sont les différences égales à 3 028 – 765 . a. 3 030 − 767 c. 3 038 − 755 b. 3 128 − 865 d. 4 028 − 1 765 Écris 5 différences égales à 65 en utilisant des nombres plus petits que 100. 4 Écris 5 différences égales à 65 en utilisant Calculer des différences Elles doivent être égales à 7 450 – 2 865 . a. 7 453 − … d. … − 865 b. 7 550 − … e. … − 2 866 c. 8 450 − … f. … − 2 465 des nombres plus grands que 100. INCONTOURNABLE Demander aux élèves de réfléchir à la question a. puis 12 • faire une mise en commun rapide qui aboutit à formuler que, pour obtenir une différence facile à calculer, Romy a soustrait, à chaque étape, un même nombre aux deux termes de la différence précédente et que Tom lui en a additionné un. ● Demander aux élèves de répondre à la question b. ● À l’issue du travail, faire exposer quelques méthodes correctes ou incorrectes pour demander à la classe de juger de leur validité et de leur efficacité. douze ◗ CALCULER DES DIFFÉRENCES 5 Calcule la différence entre : a. 25 et 30 d. 115 et 120 b. 47 et 10 e. 2 000 et 1 800 c. 100 et 50 f. 150 et 1 000 DICO 29 10 Un jardinier a planté un tilleul devant sa 6 Utilise la méthode de Romy ou la méthode de Tom pour calculer rapidement : a. 75 − 29 d. 120 − 96 b. 201 − 48 e. 208 − 88 c. 103 − 67 f. 510 − 285 006-022-Unite 1.indd 12 Réponse : b. 168 2 a. 7 453 – 2 868 115 – 77 110 – 72 108 – 70 58 – 20 38 3 Beaucoup de réponses possibles, par exemple : INCONTOURNABLE INCONTOURNABLE 1 5 Recherche individuelle puis collective2 Complète ces différences. ● 23/01/2020 18:38 Dans la minute suivante, l’escargot de Romy et celui de Tom avancent tous les deux de 23 mm. Ceux d’Aya et de Milo reculent tous les deux de 37 mm. À ce moment de la course : a. quel est l’écart entre les distances parcourues par l’escargot de Romy de et celui de Tom ? b. quel est l’écart entre les distances parcourues par l’escargot d’Aya de et celui de Milo ? répondre à la question A, Romy et 109 – 63 =C46Pour Tom ont calculé la différence 115 − 77 en utilisant les méthodes ci-contre : a. Explique la suite des calculs de Romy ◗ Faire remarquer que parmi ces quatre différences écrites, et de Tom. certaines sont plus faciles à calculer. b. Utilise les méthodes de Romy et de Tom pour calculer la différence 256 − 88 . ◗ Conclure en indiquant que, pour effectuer une soustraction, il est parfois intéressant d’utiliser la propriété des écarts, Je m’entraine pour la remplacer par une autre soustraction CONSERVER plus facile DES ÉCARTS ◗ à calculer et qui donne le même résultat. de la question C 1 a. Oui (ajout simultané de 2) Pour répondre, tu ne dois pas utiliser d’instrument de mesure. celui de Tom ? = A38Quel est l’écart entre les distances parcourues par l’escargot de Romy etb.parOui (ajout simultané de 100) 006-022-Unite 1.indd 12 7 ★ 23/01/2020 18:38 Pour calculer mentalement 72 − 29, Aya remplace ce calcul par 73 − 30. Explique sa méthode et utilise-la pour calculer mentalement : a. 93 − 49 c. 346 − 190 b. 107 − 38 d. 425 − 280 INCONTOURNABLE 4 800 4 900 5 000 5 100 5 200 5 300 5 400 2017 2019 2020 248 cm 283 cm 2018 319 cm En quelle année le tilleul a-t-il le plus poussé ? Explique ta réponse. ◗ RÉSOUDRE DES PROBLÈMES D’ÉCART 11 Salomé a 9 ans et son papa a 41 ans. ★ Elle a le même écart d’âge avec son papa que son cousin Mario avec son papa à lui. Le papa de Mario a 47 ans. Quel est l’âge de Mario ? Explique ta réponse 12 Un automobiliste arrive à un carrefour situé la route qui relie Belleville à Beaubourg. Il s’agit de vérifier que la notion desur différence est comprise. , ★ 5 153 Quel est Réponses : le nombre a. 5 le plus b. proche 37 c. 50 d. 5 e. 200 f. 850 de 5 153 ? 5 389 ou 4 919 ? Explique ta réponse. 9 Un chocolatier propose un jeu à ses clients. 52 Année Hauteur 239 cm ◗ COMPARER DES ÉCARTS 5 EXERCICE 8 maison. Pour observer la croissance de l’arbre, il note sa hauteur chaque 1er janvier. Ils doivent deviner le poids de l’œuf en chocolat exposé dans la vitrine. Celui qui donnera le poids le plus proche de celui de l’œuf l’emportera. Trois clients ont donné des réponses proches du poids réel. a. Quelle est la distance entre Belleville et Beaubourg ? b. L’automobiliste prend la direction de Beaubourg, parcourt 49 km et s’arrête pour piqueniquer. À quelle distance se trouve-t-il alors de Beaubourg ? Et de Belleville ? 13 Trouve le nombre qui est aussi proche ★★ de 1 936 que de 2 134. INCONTOURNABLE EXERCICES 6 7 10 Un jardinier a planté un tilleul devant sa 6 Utilise la méthode de Romy ou la méthode de Tom pour calculer rapidement : a. 75 − 29 d. 120 − 96 b. 201 − 48 e. 208 − 88 c. 103 − 67 f. 510 − 285 7 ★ Année ◗ RÉSOUDRE DES PROBLÈMES D’ÉCART INCONTOURNABLE ★ 8 INCONTOURNABLE nombre aux deux termes de la somme pour que le deuxième terme soit un nombre « rond » : 10 Un jardinier a planté un tilleul devant sa 6 Utilise la méthode de Romy a. 44 (ajout simultané de Pour 1) observer la croissance de ★ maison. ou la méthode de Tom pour calculer l’arbre, il note sa hauteur chaque 1 janvier. rapidement : b. 69 (ajout simultané de 2) a. 75 − 29 d. 120 − 96 Année 2017 2018 2019 2020 b. 201 − 48 e. 208(ajout − 88 c. 156 simultané de 239 10)cm 248 cm 283L’œuf Hauteur cm pèse 319 cm 723 g. c. 103 − 67 f. 510 − 285 va remporter l’œuf ? En quelle le plus d. 145 (ajout simultané de année 20) le tilleul a-t-ilQui Explique ta réponse. poussé ? Explique ta réponse. 7 Pour calculer mentalement 72 − 29, D’autres ajouts permettent d’aboutir aux mêmes Aya remplace ce calcul par 73 − 30. RÉSOUDRE DES PROBLÈMES D’ÉCART résultats. ◗ Explique sa méthode et utilise-la er 11 Salomé a 9 ans et son papa a 41 ans. 4 800 4 900 5 000 5 100 5 200 5 300 5 400 ★ ★ 5 153 a. Quelle est la distance entre Belleville et Beaubourg ? b. L’automobiliste prend la direction de Beaubourg, parcourt 49 km et s’arrête pour piqueniquer. À quelle distance se trouve-t-il alors de Beaubourg ? Et de Belleville ? , 9 Un chocolatier propose un jeu à ses clients. Ils doivent deviner le poids de l’œuf en chocolat exposé dans la vitrine. Celui qui donnera le poids le plus proche de celui de l’œuf l’emportera. Trois clients ont donné des réponses proches du poids réel. sur la route qui relie Belleville à Beaubourg. 6 Utilise la méthode de Romy b. 107 − 38 13 Trouve le nombre qui est aussi proche d. 425 − 280 INCONTOURNABLE ◗ COMPARER DES ÉCARTS Énigme 8 4 800 4 900 5 000 5 100 5 200 5 300 5 400 Aya a choisi deux nombres compris entre 10 et 60. – Le deuxième nombre ne comporte aucun 5 153 des chiffres du premier nombre. – Leur différence est égaleQuel à 25.est le nombre le plus proche , Aya a-t-elle de pu 5 153 ? 5?389 ou 4 919 ? Quels nombres choisir Donne 5 réponses possibles. Explique ta réponse. 10 Un jardinier a planté un tilleul devant sa ★ d. 120 − 96 e. 208 − 88 f. 510 − 285 − 29, − 30. c. 346 − 190 d. 425 − 280 maison. Pour observer la croissance de l’arbre, il note sa hauteur chaque 1er janvier. Année 2017 Hauteur 239 cm 2018 2019 2020 248 cm 283 cm 319 cm 006-022-Unite 1.indd 13 En quelle année le tilleul a-t-il le plus poussé ? Explique ta réponse. 13 Trouve le nombre qui est aussi proche Énigme EXERCICE 11 ✶ Aya a choisi deux nombres compris entre 10 et 60. – Le deuxième nombre ne comporte aucun des chiffres du premier nombre. – Leur différence est égale à 25. On peut raisonner à partir de la conservation de l’écart d’âge entre les deux pères et leurs enfants respectifs, mais il est plus simple de remarquer que l’écart d’âge entre les deux enfants est le même• 13que celui qui sépare les deux pères. Quels nombres Aya a-t-elle pu choisir ? Donne 5 réponses possibles. hatier-clic.fr/CM1cap003 treize EXERCICE 12 ✶ 10 Un jardinier a planté un tilleul devant sa maison. Pour observer la croissance de Un schéma représentant la route permet une visualisal’arbre, il note sa hauteur chaque 1 janvier. tion des données et de ce qui est cherché. S’il n’est pas En quelle année le tilleul a-t-il le plus construit spontanément, il peut être suggéré aux élèves : poussé ? Explique ta réponse. ★ er Année ★ Hauteur 239 cm Celui qui donnera le poids le plus proche de 23/01/2020 18:38 celui de l’œuf l’emportera. Trois clients ont donné des réponses proches du poids réel. 2020 248 cm 283 cm 319 cm Belleville ◗ RÉSOUDRE DES PROBLÈMES D’ÉCART carrefour 137 km ★ Elle a le même écart d’âge avec son papa que son cousin Mario avec son papa à lui. Le papa de Mario a 47 ans. Quel est l’âge de Mario ? Explique ta réponse Beaubourg 88 km 11 Salomé a 9 ans et son papa a 41 ans. 49 km Réponses : a. 225 km b. 39 km ; 186 km 12 Un automobiliste arrive à un carrefour situé ★ sur la route qui relie Belleville à Beaubourg. EXERCICE 13 ✶ ✶ pour piqueniquer. À quelle distance se trouve-t-il alors Réponse : 2 035 de Beaubourg ? Et de Belleville ? 13 Trouve le nombre qui est aussi proche ★★ de 1 936 que de 2 134. Énigme 9 Salomé a 9 ans et son papa a 41 ans. Elle a le même écart d’âge avec son papa que son cousin Mario avec son papa à lui. Le papa de Mario a 47 ans. Quel est l’âge de Mario ? Explique ta réponse Pour résoudre ces exercices, on peut commencer par ranger les données dans l’ordre croissant. Il reste à comparer deux L’œuf pèse 723 g. Qui va remporter l’œuf ? 12 Un automobiliste arrive à un– carrefour situé = 236 et 5 153 – 4 919 = 234 différences : 5 389 5 153 Explique ta réponse. sur la route qui relie Belleville à Beaubourg. dans l’exercice 8 ; 723 g – 697 g = 26 g et 797 g – 723 g = 74 g dans l’exercice 9. Réponses : est 8la distance 4 919entre Belleville a. Quelle et Beaubourg ? 9 Zoéla(697 b. L’automobiliste prend directiong) a la réponse la plus proche. 006-022-Unite 1.indd 13 de Beaubourg, parcourt 49 km et s’arrête pour piqueniquer. À quelle distance se trouve-t-il alors de Beaubourg ? Et de Belleville ? EXERCICE 10 ✶ 13 Trouve le nombre qui est aussi proche La comparaison de 1 936 que de 2 134. des données permet d’éliminer rapidement l’année 2017. Énigme Il reste comparer deux différences : Aya à a choisi deux nombres compris entre 10 et 60. – Le deuxième nombre ne = comporte 283 cm – 248 cm 35 aucun cm et 319 cm – 283 cm = 36 cm. des chiffres du premier nombre. ★★ 2019 treize ★ ou 4 919 ? 2018 La recherche peut s’effectuer par essais organisés en a. Quelle est la distance entre Belleville choisissant et Beaubourg ? un nombre compris entre 1 936 et 2 134 et en 9 Un chocolatier propose un jeu à ses clients. • 13 b. L’automobiliste prend la direction Ils doivent deviner le poids de l’œuf en cherchant égaliser l’écart qui le sépare de ces nombres. de Beaubourg,à parcourt 49 km et s’arrête chocolat exposé dans la vitrine. 5 100 5 200 5 300 5 400 5 153 2017 hatier-clic.fr/CM1cap003 ◗ RÉSOUDRE DES PROBLÈMES D’ÉCART 8 EXERCICES 11 1 ★★ de 1 936 que de 2 134. ★★ de 1 936 que de 2 134. L’œuf pèse 723 g. Qui va remporter l’œuf ? Explique ta réponse. UNITÉ 23/01/2020 18:38 ou la méthode de Tom pour calculer rapidement : a. 75 − 29 d. 120 − 96 b. 201 − 48 e. 208 − 88 103Belleville − 67 f. 510 − 285 a. Quelle est la distance c. entre et Beaubourg ? b. L’automobiliste prend direction 7 laPour calculer mentalement 72 − 29, de Beaubourg, parcourt 49 kmremplace et s’arrête Aya ce calcul par 73 − 30. pour piqueniquer. Explique sa méthode et utilise-la À quelle distance se trouve-t-il alors mentalement : pour calculer de Beaubourg ? Et de Belleville a. 93 −? 49 c. 346 − 190 Quel est le nombre le plus proche de 5 153 ? 5 389 ou 4 919 ? Explique ta réponse. sur la route qui relie Belleville à Beaubourg. Réponse : Mario a 15 ans. 12 Un automobiliste arrive à un carrefour situé INCONTOURNABLE INCONTOURNABLE 8 Elle a le même écart d’âge avec son papa que son cousin Mario avec son papa à lui. 006-022-Unite 1.indd 13 Le papa de Mario a 47 ans. Quel est l’âge de Mario ? Explique ta réponse Elle a le même écart d’âge avec son papa que son cousin Mario avec son papa à lui. Le papa de Mario a 47 ans. Quel est l’âge de Mario ? Explique ta réponse 12 Un automobiliste arrive à un carrefour situé Trois clients ont donné des réponses ◗ COMPARER DES ÉCARTS 2020 319 cm 11 Salomé a 9 ans et son papa a 41 ans. 7 La méthode d’Aya consiste à ajouter le proches mêmedu poids réel. Comparer des écarts 2018 En quelle année le tilleul a-t-il le plus poussé ? Explique ta réponse. a. 46 (ajout simultané de 1) 5 153 b. 153 (ajout simultané de 2 pouvant être suivi Quel est le nombre le plus proche de 5 153 ? 5 389 ou 4 919 ? d’un ajout simultané de 50), Explique ta réponse. c. 36 (ajout simultané de 3) 9 Un chocolatier propose un jeu à ses clients. d. 24 (ajout simultané de 4) Ils doivent deviner le poids de l’œuf en e. 120 (retrait simultané de 8) chocolat exposé dans la vitrine. Celui qui donnera le poids le plus proche de f. 225 (ajout simultané de 15) celui de l’œuf l’emportera. ★ 2019 248 cm 283 cm Résoudre des problèmes d’écarts Pour calculer mentalement 72 − 29, Aya remplace ce calcul par 73 − 30. Explique sa méthode et utilise-la pour calculer mentalement : a. 93 − 49 c. 346 − 190 b. 107 − 38 d. 425 − 280 800 4 900 5 000 5 100 5 200 5 300 5 400 6 Entre parenthèses, un ajout ou retrait 4possible. pour calculer mentalement : a. 93 − 49 c. 346 − 190 b. 107 − 38 d. 425 − 280 2017 Hauteur 239 cm La propriété des écarts est sollicitée pour effectuer des calculs mentalement, en remplaçant chaque calcul par un ◗ COMPARER DES ÉCARTS calcul plus simple. Réponses : maison. Pour observer la croissance de l’arbre, il note sa hauteur chaque 1er janvier. Aya a choisi deux nombres compris entre 10 et 60. – Le deuxième nombre ne comporte aucun des chiffres du premier nombre. – Leur différence est égale à 25. Quels nombres Aya a-t-elle pu choisir ? Donne 5 réponses possibles. hatier-clic.fr/CM1cap003 La difficulté vient du fait• 13qu’il ne faut pas utiliser deux fois le même chiffre. Ayant trouvé une différence, par exemple 48 – 23, il est possible d’en trouver d’autres en utilisant la conservation des écarts. treize 23/01/2020 18:38 Exemples de réponses : 37 – 12 42 – 17 46 – 21 51 – 26 56 – 31 39 – 14 43 – 18 47 – 22 53 – 28 57 – 32 40 – 15 45 – 20 48 – 23 54 – 29 59 – 34... – Leur différence est égale à 25. Réponse : pendant l’année Quels nombres Aya a-t-elle pu choisir ?2019 Donne 5 réponses possibles. hatier-clic.fr/CM1cap003 treize • 13 23/01/2020 18:38 53 UNITÉ 1 Calculs de sommes et de différences Objectifs : – Consolider les techniques et de calcul posé ou réfléchi – Utiliser les propriétés de l’addition et la soustraction – Utiliser les propriétés de le numération décimale (valeur positionnelle des chiffres, relation entre unités de numération). apprentissage 4 Au CE2, les élèves ont appris à calculer des sommes et des différences avec différentes méthodes : calcul posé ou réfléchi. Il s’agit donc ici de conforter ces apprentissages, en insistant sur l’explication et la justification des procédures utilisées. Si la plupart des élèves s’avèrent à l’aise avec ces calculs, les exercices d’entrainement peuvent être utilisés en aide individualisée avec les élèves qui rencontrent des difficultés diverses. L’objectif est alors de consolider la technique de chacun plutôt que d’imposer une nouvelle technique à certains élèves. Un temps suffisant est donc consacré au repérage de la technique (plus ou moins bien maitrisée) de chaque élève. Chacune de ces techniques peut être illustrée avec un matériel de numération (cubes, barres, plaques…). Si aucune technique n’est stabilisée pour certains élèves, on peut les engager vers la technique par emprunt ou par addition à trou. Les différentes techniques de la soustraction Exemple pour – 4 1 0 2 9 5 8 Technique 1 : Par emprunt aux chiffres du plus grand nombre Comme on ne peut pas soustraire 8 unités de 2 unités, on cherche à obtenir 10 unités supplémentaires. La solution la plus simple consiste à décomposer les 10 dizaines de 4 102 en 9 dizaines et 10 unités. On peut alors soustraire 8 unités de 12 unités et 5 dizaines de 9 dizaines. Pour soustraire les 9 centaines, on peut soit considérer qu’on les soustrait directement de 40 centaines, soit d’abord décomposer 4 milliers en 3 milliers et 10 centaines (comme indiqué dans l’opération). 3 10 9 4 1 0 12 – 9 5 8 3 1 4 4 Technique 2 : Ajout simultané de 10 unités au plus grand nombre et d’1 dizaine au plus petit nombre… – Comme on ne peut pas soustraire 8 unités de 2 unités, on cherche à obtenir 10 unités supplémentaires. Pour cela, on ajoute simultanément 10 unités au 1er terme et 1 dizaine au 2e terme (on obtient ainsi une différence égale à celle de départ puisqu’on a ajouté 10 à chaque terme). Par la suite, on est amené à ajouter simultanément 10 dizaines au 1er terme et 1 centaine au 2e terme (donc 100 aux 2 termes), puis enfin 10 centaines au 1er terme et 1 millier au 2e terme (donc 1 000 aux 2 termes). On utilise alors les connaissances établies dans l’apprentissage 3. Une autre justification peut être donnée de cette technique en aménageant la technique 1 (voir Cap Maths CE2). 4 11 10 12 9 5 8 +1 +1 +1 3 1 4 4 Technique 3 : Recherche du nombre à ajouter au plus petit nombre pour obtenir le plus grand (addition à trou) – 4 1 0 2 9 5 8 +1 +1 +1 3 1 4 4 54 + Sachant que calculer une différence équivaut à calculer un complément, on cherche ce qu’il faut ajouter à 958 pour obtenir 4 102, en commençant par les unités : pour obtenir le chiffre 2 de 4 102, on doit ajouter 4 à 8 (8 + 4 = 12), ce qui conduit à une retenue de 1 au rang des dizaines à mettre avec le 5. Il faut ensuite chercher ce qu’il faut ajouter à 6 dizaines (5 + 1) pour obtenir le 0 de 4 102 : il faut ajouter 4 (6 + 4 = 10), ce qui conduit à une retenue de 1 au rang des centaines, etc. UNITÉ Calculs de sommes et de différences 1 LaJeméthode plus larapide cherche Lala méthode plus rapide apprentissage 4 La calculatrice est interdite. Effectue chaque calcul avec la méthode de ton choix. Choisis la méthode la plus rapide possible. Pour les soustractions, vérifie ton résultat en calculant une autre opération. B Trois additions a. 1 658 + 896 Trois soustractions a. 2 048 – 299 b. 299 + 1 300 + 1 001 b. 7 003 – 1 646 c. 985 + 115 c. 5 000 – 2 640 Réponses : a. 2 554 b. 2 600 c. 1 100 3 Recherche individuelle de la question B Je m’entraine pour la classe ◗ ADDITIONNER, SOUSTRAIRE INCONTOURNABLE MATÉRIEL A termes du calcul demandé. Par exemple, dans le calcul 299 + 1 300 + 1 001, on peut associer le 1 de 1 001 à 299 pour former la somme 300 + 1 300 + 1000, égale à la première mais plus facile à calculer. ● 5 DICO 29-30-31 Calcule la somme puis la différence de : 4 milliers 7 dizaines 8 unités et 9 centaines 8 dizaines 3 unités de numération ➞ Mallette •1 matériel Calcule avec la méthode de ton choix : 589 + 501 para. élève b. 2 758 + 563 ★ c. 474 + 8 765 + 89 d. 5 897 + 2 003 INCONTOURNABLE DÉROULÉ INCONTOURNABLE avec les chiffres qui manquent. 1 Présentation de la situation 7 Complète Collectif avec la méthode de ton choix : 2 Calcule Recherche de la question A a. 2 865 − 321 c. 4 032 − 1 707 b. 753 − 210 d. 5 004 − 287 Fais un autre calcul pour contrôler tes résultats. 3 Recherche de la question B 4 Exploitation 4 effectuer complètement les calculs, 5 Sans Entrainement ★★ trouve : a. le chiffre des unités et le chiffre des dizaines de : 3 046 − 753. b. le chiffre des dizaines de : 3 046 − 318. c. le chiffre des centaines de : 3 046 − 329. a. 6 ■ 7 + 1 4 ■ ■ 0 6 c. ■ ■ ■ ■ 9 5 9 Individuel puis+ collectif 4 0 1 5 Individuel b. d. ■ 5 6 0 1 4 5 6 Collectif ■ ■ ■ + 9 8 9 + 2 ■ 7 ■ 2 0 4 0 Individuel 6 0 ■ 5 ◗ DIFFICULTÉS ÉVENTUELLES – Pour effectuer les calculs Aide Mettre à disposition des tables d’addition et de soustraction, éventuellement une calculette pour vérifier les résultats obtenus. RECHERCHE 14 • Comment calculer des sommes ou des différences le plus rapidement possible ? quatorze 006-022-Unite 1.indd 14 pour 7 003 – 1 646 : le calcul posé peut être le plus rapide et le plus sûr, du fait qu’aucune décomposition simple des nombres n’apparait. ● pour 5 000 – 2 640 : toutes les méthodes sont envisageables, sans supériorité évidente de l’une sur l’autre. ● 23/01/2020 18:38 1 Présentation collective de la situation Présenter l’enjeu : choisir entre plusieurs méthodes (calcul mental, calcul en ligne, opération posée en colonnes) celle qui permet à chacun d’obtenir le résultat le plus rapidement possible. ● Préciser la tâche : ● ➞ Vous devrez calculer les trois additions de la question A. Vous pouvez utiliser votre brouillon. Seul l’usage de la calculatrice est interdit. 2 Recherche individuelle puis collective de la question A ● Pendant la recherche, observer les procédures utilisées. ◗ PROCÉDURES POSSIBLES – Addition posée en colonnes. – Calcul en ligne en utilisant la technique précédente, c'est-à-dire en ajoutant les unités avec les unités, les dizaines avec les dizaines... – Calcul mental ou en ligne en utilisant une (ou des) décomposition(s) de nombre pour ensuite associer des termes dont le calcul de la somme est plus aisé. ◗ DIFFICULTÉS ÉVENTUELLES 1 – Soustraction posée en colonnes. – Calcul en ligne en utilisant une technique de soustraction posée en colonnes. – Calcul mental ou en ligne en utilisant une (ou des) décomposition(s) de nombre ou la propriété de conservations des écarts. DICO 3 UNITÉ ◗ PROCÉDURES POSSIBLES 6 B Calcule la somme puis la différence de : • manuel p. 14, questions A et ★ 2 milliers 1 centaine 5 unités 2 Sans effectuer complètement lesde calculs, et ou feuille recherche • brouillon trouve : 1 millier 9 dizaines 6 unités a. le chiffrede des unités et le chiffre mathématiques • cahier des dizaines de : 2 485 + 638 + 87 ADDITIONS 31-32 ◗ COMPLÉTER pour en difficultéDES(vérification) • calculatrice b. le chiffre des centaines de :les 4 890élèves + 983 ET DES SOUSTRACTIONS POSÉES c. le chiffre des dizaines de : 896 + 1 687 + 899 Préciser à nouveau l’enjeu avant de lancer les calculs. 4 Exploitation collective Recenser les réponses et les méthodes utilisées pour effectuer les calculs et les vérifier. ● Réponses : a. 1 749 b. 5 357 c. 2 360 EXPLICITATION, VERBALISATION ◗ S’appuyer sur les propositions des élèves, pour faire expliciter la technique de calcul posé qu’ils utilisent et constater qu’éventuellement certaines peuvent être différentes. Si nécessaire, reprendre les explications par groupes d’élèves ayant une même technique, en insistant sur les justifications des différentes étapes de leur calcul (avec un appui éventuel sur le matériel de numération). ◗ Rappeler qu’il est possible de vérifier le résultat d’une soustraction en effectuant la somme de son deuxième terme et de son résultat. ◗ Faire remarquer que, comme pour l’addition, le calcul posé n’est pas toujours le plus rapide, même avec de grands nombres. ◗ Pointer quelques points de vigilance en cas de calcul posé : – aligner verticalement les chiffres à partir des unités ; – respecter de l’ordre des calculs : rang des unités, puis celui des dizaines… ; – ne pas oublier les retenues (les noter si nécessaire). – Pour effectuer les calculs Aide Mettre à disposition des tables d’addition et de soustraction, éventuellement une calculette pour vérifier les résultats obtenus. Faire un inventaire rapide des réponses et des méthodes utilisées pour chaque calcul et souligner en synthèse que, même avec des grands nombres, le calcul posé n’est pas toujours le plus rapide et qu’on peut effectuer l’opération parfois plus vite en décomposant et en recomposant des ● Le terme de « retenue » est abusif pour le cas de la technique de soustraction par emprunt. En effet, dans ce cas, on ne « retient » aucun chiffre à soustraire au rang suivant. TRACE ÉCRITE Faire noter dans le cahier quelques méthodes utilisées par les élèves pour calculer 5 000 – 2640. Garder éventuellement une trace collective de la (ou des) technique(s) de soustraction posée utilisée(s) par la classe. 55 Pour les soustractions, vérifie ton résultat en calculant une autre opération. A B Trois additions a. 1 658 + 896 UNITÉ Trois soustractions a. 2 048 – 299 b. 299 + 1 300 + 1 001 b. 7 003 – 1 646 c. 985 + 115 c. 5 000 – 2 640 Calculs de sommes et de différences 1 Manuel p. 14-15 5 Entrainement apprentissage 4 individuel EXERCICES 5 ✶ 6 ✶ LesJeexercices sont à proposer à tous les Le calcul peut être fait directement sur les unités de numécherche incontournables La méthode la plus rapide Je m’entraine Effectue chaque calcul avec faire la méthode de ton choix.si nécessaire, d'une exploitaélèves et peuvent l'objet, ration ou laen traduisant chaque nombre par son écriture 5 Calcule somme puis la différence de : Choisis la méthode la plus rapide possible. ◗ ADDITIONNER, SOUSTRAIRE 4 milliers 7 dizaines 8 unités les soustractions, vérifie ton résultat en calculant une autre opération. tionPour collective ou par petits groupes. et 1 Calcule avec la méthode de ton choix : chiffrée usuelle. 9 centaines 8 dizaines 3 unités B Trois soustractions A Trois additions a. 589 + 501 c. 474 + 8 765 + 89 b. 2ceux 758 + 563qu'ild. 5 897 + 2 003 Pour les autres exercices, l'enseignant + 896 a. 1 658 a. 2 048 – 299 choisit 5 puis 6 3 201 et 1 009 Réponses 5 061 et 3 095 6 Calcule:la somme la différence de : 299 + 1 300 + 1 001 b. 7 003 – 1 646 2 milliers 1 centaine 5 unités pense b.c.utile de proposer à tous ses élèves ou 2à Sans certains de les calculs, effectuer complètement et 985 + 115 c. 5 000 – 2 640 trouve : 1 millier 9 dizaines 6 unités ses élèves. a. le chiffre des unités et le chiffre Compléter des additions et des soustractions posées La calculatrice est interdite. DICO 29-30-31 INCONTOURNABLE ★ ★ Calcule avec la méthode de ton choix : a. 589 + 501 c. 474 + 8 765 + 89 b. 2 758 + 563 d. 5 897 + 2 003 2 Sans effectuer complètement les calculs, trouve : 4 a. le chiffre des unités apprentissage et le chiffre des dizaines de : 2 485 + 638 + 87 b. le chiffre des centaines de : 4 890 + 983 c. le chiffre des dizaines de : 896 + 1 687 + 899 La calculatrice est interdite. B Calcule avec la méthode de ton choix : a. 2 865 − 321 c. 4 032 − 1 707 Trois b. 753soustractions − 210 d. 5 004 − 287 Fais autre calcul pour contrôler 048 – 299 a. 2un tes résultats. b. 7 003 – 1 646 6 ★ 31-32 7 a. 6 ■ 7 + 1 4 ■ ■ 0 6 14 ■ ■ ■ ■ c. • quatorze + 9 5 9 4 0 1 5 b. 1 4 5 6 ■ ■ ■ + 2 0 4 0 d. d. 1 4 5 6 ■ ■ ■ 2 0 4 0 + ■ ■ ■ ■ 9 5 9 4 0 1 5 ■ 5 6 0 9 8 9 + 2 ■ 7 ■ 6 0 ■ 5 8 Complète avec les chiffres qui manquent. a. b. 8 ■ 3 − 2 5 ■ ■ 0 6 − 7 EXERCICES 9 ■ 5 6 0 9 8 9 + 2 ■ 7 ■ 6 0 ■ 5 c. 1 4 5 6 ■ ■ ■ 8 4 7 − d. ■ ■ ■ ■ 4 5 8 2 5 1 8 − ■ ■ 0 ■ 6 ■ 3 7 3 2 23/01/2020 18:38 8 2 506 places Une salle de spectacle dispose de 4 298 places assises et 2 506 places debout. La semaine prochaine, une célèbre chanteuse se produira dans cette salle. 4 629 billets ont déjà été vendus pour ce spectacle. Combien de billets peuvent être encore mis en vente ? Ces exercices invitent à utiliser les relations entre addition et soustraction. En effet, la résolution des soustractions à 10 Tom déplace un pion sur une droite graduée. À partir du repère 395, trous est plus simple si on pense à les résoudre comme il recule de 68 graduations puis avance de 123 graduations. Sur quel repère arrive-t-il ? une addition à trous dont le résultat est « en haut » Calcule la somme puis la différence de : 14 5• quatorze 350 23/01/2020 18:38 360 370 380 390 400 410 4 298 places 420 430 440 450 Réponses : 395 7 a. b. c. d. 12 Voici un schéma du décollage d’un2 avion5 6 0 11 • La radio a été inventée en 1895. Il a fallu attendre 31 ans pour voir ★★ avec quelques distances indiquées à 6★ 5•apparaitre 7 la télévision.1 4 5 6 3 0 5 6 9 8 9 différents moments du vol : + ordinateur a été5inventé en41936 + 1 4•a.LeEn9premier + 8 + 9 5 9 + 2 4 7 6 quelle année la télévision a-t-elle été 8 0inventée 6 ? 2 0 4 0 4 0 1 5 6 0 2 5 b. Combien d’années se sont écoulées 8 a. entre l’inventionb.de la radio et celle de c. d. l’ordinateur ? 8 6 3 1 4 5 6 2 9 7 6 1 4 0 5 Énigme – 2 5 7 – 6 0 9 – a. Au moment 4 5 de8la rentrée des – roues, 6 7 3 l’avion 68 0Complète 6? avec les chiffres?8qui manquent. 4 7 2 5a atteint 1 une 8 altitude égale à la 7 3 2 moitié de son altitude de croisière. Altitude de croisière INCONTOURNABLE : c. 4 032 − 1 707 d. 5 004 − 287 7 DICO 31-32 Complète avec les chiffres qui manquent. Il s’agit d’une application immédiate de l’apprentissage qui précède. b. d. – un calcul est■envisageable pour les sommes a. et d. ; 1 mental 4 5 5 6 ■ ■ ■ + 9 8 – le calcul2 posé parait ■ 7 ■ efficace pour les sommes b. et c. + 2 plus 0 4 a. c. 6 ■ 7 + 1 4 ■ ■ 0 6 ■ ■ ■ ■ + 9 5 9 4 0 1 5 6 0 9 0 6 0 ■ 5 Réponses : a. 1 090 b. 3 321 c. 9 328 d. 7 900 Rentrée des roues EXERCICE 2 Insister auprès des élèves sur le fait qu’ils doivent répondre sans effectuer complètement le calcul. 87 m ? 650 m ? 145 m a. 8 ■ 3 b. 1 4 5 6 ■ ■ ■ − 2 5 ■ − La somme des écrits au dos 8 4 7 6 ■ 0nombres de chaque étiquette est égale à 73. La différence du nombre écrit au dos de l’étiquette verteDES et du nombre écrit au dos RÉSOUDRE PROBLÈMES de l’étiquette orange est égale à 51. c. Résoudre des problèmes ◗ INCONTOURNABLE − 318. − 329. Fermeture des volets INCONTOURNABLE DES ADDITIONS ◗ COMPLÉTER ET DES SOUSTRACTIONS POSÉES + 983 EXERCICE 1 − 753. c. 6 ■ 7 + 1 4 ■ ■ 0 6 ◗ RÉSOUDRE DES PROBLÈMES 006-022-Unite 1.indd 14 ★ 4 milliers 7 dizaines 8 unités et c. 474 + 8 765 + 89006-022-Unite 1.indd914centaines 8 dizaines 3 unités d. 5 897 + 2 003 6 Calcule la somme puis la différence de : ★ 2 milliers 1 centaine 5 unités et 1 millier 9 dizaines 6 unités + 638 + 87 a. + c. le chiffre des centaines de : 3 046 − 329. Complète avec les chiffres qui manquent. DICO 31-32 Complète avec les chiffres qui manquent. b. a. le chiffre des unités et le chiffre DICO c. 5 000 – 2 640 Sans effectuer complètement les calculs, ★★ trouve : a. le chiffre des unités et le chiffre des dizaines de : 3 046 − 753. b. le chiffre des dizaines de : 3 046 − 318. c. le chiffre des centaines de : 3 046 − 329. DICO 7 ★★ des dizaines de : 3 046 − 753. DES ADDITIONS ◗ COMPLÉTER ET DES SOUSTRACTIONS POSÉES b. le chiffre des dizaines de : 3 046 − 318. 4 29-30-31 Calcule la somme puis la différence de : 3 Calcule avec la méthode de ton choix : 4 milliers 7 dizaines 8 unités a. 2 865 − 321 c. 4 032 − 1 707 et b. 753 − 210 d. 5 004 − 287 9 centaines 8 dizaines 3 unités Fais un autre calcul pour contrôler tes résultats. Calcule la somme puis la différence de : 2 milliers 1 centaine 5 unités et 4 Sans effectuer complètement les calculs, 1 millier 9 dizaines 6 unitéstrouve : INCONTOURNABLE IINNCCOONNTTOOUURRNNAABBLLEE La méthode la plus rapide ★ INCONTOURNABLE 1 3 5 DICO 29-30-31 IINNCCOONNTTOOUURRNNAABBLLEE IINNCCOONNTTOOUURRNNAABBLLEE ◗ ADDITIONNER, SOUSTRAIRE INCONTOURNABLE Je m’entraine Additionner, soustraire DES ADDITIONS ◗ COMPLÉTER ET DES SOUSTRACTIONS POSÉES INCONTOURNABLE des dizaines de : 2 485 + 638 + 87 b. le chiffre des centaines de : 4 890 + 983 c. le chiffre des dizaines de : 896 + 1 687 + 899 ■ ■ ■ ■ ■ ■ 0 ■ d. −À combien − 4 5 8de mètres au-dessus 6 ■ 3 de2la5montagne est-il alors ? 7 3 2 1 8 b. Au moment de la fermeture des volets, son altitude est de 473 m. Quelle est la hauteur de la montagne à cet endroit ? Quel nombre est écrit au dos de chaque de spectacle dispose de 4 298 places assises 9 Une salle étiquette ? 2 506 places et 2 506 places debout. La semaine prochaine, une célèbre chanteuse se produira dans cette salle. hatier-clic.fr/CM1cap004 4 629 billets ont déjà été vendus pour ce spectacle. Combien de billets peuvent être encore mis en vente ? 4 298 places quinze • 15 23/01/2020 18:38 10 Tom déplace un pion sur une droite graduée. À partir du repère 395, 006-022-Unite 1.indd 15 Réponses : a. chiffre des unités : 0 chiffre des dizaines : 1 b. 8 c. 8 EXERCICE 3 – un calcul mental est envisageable pour les différences b. et d. ; – le calcul posé (ou en ligne pour a.) parait plus efficace pour les différences a. et c. 350 Insister auprès des élèves sur le fait qu’ils doivent répondre sans effectuer complètement le calcul. 370 380 390 11 • La radio a été inventée en 1895. ★ 400 • Il a fallu attendre 31 ans pour voir apparaitre la télévision. • Le premier ordinateur a été inventé en 1936 a. En quelle année la télévision a-t-elle été inventée ? b. Combien d’années se sont écoulées entre l’invention de la radio et celle de l’ordinateur ? Énigme ? ? La somme des nombres écrits au dos de chaque étiquette est égale à 73. La différence du nombre écrit au dos de l’étiquette verte et du nombre écrit au dos de l’étiquette orange est égale à 51. 410 420 430 440 450 12 Voici un schéma du décollage d’un avion ★★ avec quelques distances indiquées à différents moments du vol : Altitude de croisière Fermeture des volets Rentrée des roues ? 87 m ? 650 m 145 m a. Au moment de la rentrée des roues, l’avion a atteint une altitude égale à la moitié de son altitude de croisière. À combien de mètres au-dessus de la montagne est-il alors ? b. Au moment de la fermeture des volets, son altitude est de 473 m. Quelle est la hauteur de la montagne à cet endroit ? Quel nombre est écrit au dos de chaque étiquette ? hatier-clic.fr/CM1cap004 Réponses : a. chiffre des unités : 3 chiffre des dizaines : 9 b. 2 c. 7 quinze • 15 006-022-Unite 1.indd 15 56 360 395 Réponses : a. 2 544 b. 543 c. 2 325 d. 4 717 EXERCICE 4 ✶ ✶ 23/01/2020 18:38 il recule de 68 graduations puis avance de 123 graduations. Sur quel repère arrive-t-il ? 23/01/2020 18:38 ★ EXERCICES 9 10 Ces deux exercices proposés dans des contextes différents nécessitent d’enchainer deux étapes de calcul. Réponses : 9 2 175 10 450 EXERCICE 11 ✶ L’ordre de certains éléments étant indécis au départ, l’appui d’une « ligne du temps » peut aider à ordonner les informations. • Il a fallu attendre 31 ans pour voir apparaitre la télévision. • Le premier ordinateur a été inventé en 1936 a. En quelle année la télévision a-t-elle été inventée ? b. Combien d’années se sont écoulées entre l’invention de la radio et celle de l’ordinateur ? Énigme ? ? La somme des nombres écrits au dos de chaque étiquette est égale à 73. La différence du nombre écrit au dos de l’étiquette verte et du nombre écrit au dos de l’étiquette orange est égale à 51. ★★ avec quelques distances indiquées à différents moments du vol : Altitude de croisière Fermeture des volets Rentrée des roues ? 87 m ? 650 m 145 m a. Au moment de la rentrée des roues, l’avion a atteint une altitude égale à la moitié de son altitude de croisière. À combien de mètres au-dessus de la montagne est-il alors ? b. Au moment de la fermeture des volets, son altitude est de 473 m. Quelle est la hauteur de la montagne à cet endroit ? Quel nombre est écrit au dos de chaque étiquette ? hatier-clic.fr/CM1cap004 Les informations nécessaires à la résolution des questions posées nécessitent une prise d’informations sur l’illustration. Tous les calculs peuvent être effectués mentalement. 15 Les nombres peuvent être trouvés en procédant par•essais et ajustements, mais la taille des nombres devrait inciter à faire des choix raisonnés. Par exemple : – la somme étant impaire, l’un des nombres est pair et l’autre impair ; – la différence est égale à 51 et la somme égale à 73 : l’un des nombres est donc supérieur à 51 mais inférieur à 73. Réponses : a. 180 m b. 386 m Réponses : étiquette verte : 62 étiquette orange : 11 Réponses : a. 1 926 b. 41 ans EXERCICE 12 ✶ ✶ quinze 006-022-Unite 1.indd 15 23/01/2020 18:38 57 UNITÉ 1 Lecture de l’heure Objectifs : – Connaitre les unités usuelles de durée et les relations entre ces unités : jour, heure, minute, seconde – Lire l’heure en heures, minutes et secondes sur une horloge à affichage et sur une horloge à aiguilles UNITÉ apprentissage 5 Pour la lecture de l’heure sur une horloge à aiguilles, le niveau des élèves peut se révéler hétérogène et leurs connaissances acquises au cycle 2 doivent être consolidées. En effet, le repérage sur une pendule est complexe du fait de la superposition de deux cadrans gradués différemment (celui des heures et celui des minutes, qui est aussi celui des secondes). L’observation du fonctionnement d’une horloge à affichage et surtout d’une horloge à aiguilles permet de revenir sur les unités de durée et leurs relations. La situation de recherche amène à revoir et comprendre les différentes expressions orales des horaires, c’est-à-dire des repères à l’intérieur d’un jour, en lien avec leur affichage sur les deux types d’horloges. Lecture de l’heure 1 apprentissage 5 C’est quelleC’est heure Je cherche quelle?heure ? A Sur cette horloge à affichage que représente chacun des trois nombres ? B Sur le cadran de cette horloge à aiguilles, combien y a-t-il de grandes graduations ? de graduations en tout ? Que représentent les nombres autour du cadran ? Qu’indique chaque aiguille ? Réponses : A heures, minutes et secondes B 12 grandes graduations ; 60 graduations en tout. Les nombres autour du cadran représentent les heures. petite aiguille : heures ; grande aiguille : minutes ; trotteuse : secondes 22 : 17 : 30 EXPLICITATION, VERBALISATION C Quelles horloges consulte chaque personnage ? Il est exactement quinze heures trente-trois minutes et quarante-cinq secondes. A 14 : 45 : 00 MATÉRIEL E Il est midi et demi passé de dix secondes. B 7 : 40 : 00 F Il est trois heures moins le quart. C 12 : 30 : 10 G L’horloge à affichage Faire défiler les affichages sur l'horloge. ◗ Le nombre le plus à droite compte les secondes : les secondes sont numérotées de 00 à 59. ◗ Le nombre du milieu compte les minutes : les minutes sont numérotées de 00 à 59. ◗ Le nombre le plus à gauche compte les heures : les heures sont numérotées de 00 à 23. Il est huit heures moins vingt. D 15 : 33 : 45 H la classe Jepour m’entraine à aiguilles avec une trotteuse de la classe •◗ horloge LIRE L’HEURE EN HEURES, MINUTES ET SECONDES 55 + horloge en heures, minutes et secondes ➞ Mallette 1 C’est le matin. Écris l’heure exacte affichée par chaque horloge. à affichage en heures, • horloge b. c. minutes etd.secondes a. • ou horloge interactive projetée hatier-clic.fr/CM1capghorlign en ligne hatier-clic.fr/CM1capghorltel ou téléchargée DICO INCONTOURNABLE 1 16 • seize par élève • manuel p. 16, questions A à C • horloge ➞ Mallette 006-022-Unite 1.indd 16 DÉROULÉ UNITÉ 1 Observation et description des horloges (questions A et B) 2 Recherche de la question C et exploitation 3 Lecture orale de l’heure 4 Entrainement 23/01/2020 18:38 Collectif et individuel Individuel et collectif Collectif Individuel Dans cette activité, l’enseignant a à montrer des horaires et à faire des manipulations sur les deux types d'horloge. Une horloge interactive projetée peut permettre une réalisation plus aisée. RECHERCHE Comment lire l’heure sur une horloge à affichage et sur une horloge à aiguilles ? 1 Observation et description des horloges Présenter à la classe l’horloge à affichage (à l’heure exacte) et en état de fonctionnement. ● Montrer l’horloge à aiguilles à la même heure. ● Demander aux élèves de répondre aux questions A et B et recenser les réponses. ● 58 L’horloge à aiguilles Demander aux élèves d'observer le cadran de l'horloge collective ou de leur horloge individuelle. ◗ Il y a des graduations autour du cadran : – 12 grandes graduations marquées par des traits forts, ce sont les graduations des heures, souvent numérotées de 1 à 12. Le 12 correspond aussi au 0. – 60 graduations : ce sont celles des minutes, mais aussi des secondes. De 5 en 5, ces graduations se superposent à celles de heures. Sur certaines horloges, elles peuvent être numérotées de 5 en 5, de 5 à 60 (ou 00). ◗ Il y a 3 aiguilles : – La petite aiguille indique les heures ; – La grande aiguille indique les minutes ; – La grande aiguille plus fine s’appelle la trotteuse. Elle parcourt les graduations qui sont autour du cadran. On peut compter mentalement de un à soixante pendant que l’aiguille tourne. La trotteuse indique les secondes. Relations entre les unités Donner les explications en faisant les manipulations sur l’horloge à aiguilles et sur l’horloge à affichage. Minute et seconde ◗ Lorsque la trotteuse a fait un tour complet sur l’horloge à aiguilles : – elle parcourt les 60 graduations qui sont autour de l’horloge ; – la grande aiguille avance simultanément d’une minute. ◗ Lorsque le nombre de secondes sur l’horloge à affichage passe de 59 à 00, le nombre de minutes augmente de 1. ◗ Lorsqu’il s’écoule 60 secondes, il s’écoule en fait 1 minute. 1 minute = 60 secondes. Heure et minute ◗ Quand la grande aiguille va du 12 au 1, il s’est écoulé 5 minutes ; de même quand elle va du 1 au 2… ◗ Quand la grande aiguille fait un tour complet : – il s’est écoulé 60 minutes ; – la petite aiguille a avancé simultanément d’une grande graduation à une autre, soit d’une heure ; ◗ On peut aussi remarquer que lorsque le nombre de minutes sur l’horloge à affichage passe de 59 à 00, le nombre d’heures augmente de 1. ◗ Lorsqu’il s’écoule 60 minutes, il s’écoule en fait 1 heure. 1 heure = 60 minutes. Faire retrouver ces relations sur DICO 56 . 2 Recherche de la question C et explication collective ● Demander aux élèves de répondre à la question et de réfléchir à la façon dont chaque personnage lit les différents horaires. ◗ DIFFICULTÉS ÉVENTUELLES – Pour différencier les aiguilles Aide Les faire nommer et rappeler leur rôle. – Pour déduire le nombre d’heures à partir de la position de la petite aiguille Aide Faire décrire la position de la petite aiguille entre deux graduations d’heure pour en déduire l’heure passée ou à venir. – Pour comprendre et exprimer un horaire en référence à l’heure précédente ou à l’heure suivante : les élèves disent fréquemment 11 h 50 pour 10 h 50 ou 10 heures moins 5 pour 11 heures moins 5. Aide À traiter lors de l’exploitation collective. – Pour trouver le complément en minutes à l’heure suivante Aide Faire lire l’écart sur l’horloge à aiguilles (il manque 20 minutes pour atteindre 7 h) ou expliquer qu’il faut calculer le complément à 60 du nombre de minutes donné par un horaire du type 7 h 40 min. – Pour exprimer les horaires de l’après-midi Aide À traiter lors de l’exploitation collective. Recenser les réponses correspondant à chaque personnage. Faire discuter des explications données. Faire argumenter les choix faits, par exemple : – pour midi et demi passé de dix secondes « Midi » correspond à 12 heures. La demi-heure est la moitié d’une heure, soit 30 minutes. Sur l’horloge à aiguilles : la petite aiguille est entre le 12 et le 1 ; la grande aiguille a passé le 6 car il s’est écoulé 6 fois 5 minutes = 30 minutes depuis 12 heures ; la trotteuse est sur le 2 car il s’est écoulé 2 fois 5 secondes = 10 secondes depuis que la grande aiguille était sur le 6, c'est-à-dire la 30e graduation des minutes. Sur l’horloge à affichage, il est inscrit 12 : 30 : 10. – pour trois heures moins le quart Le « quart » correspond à 15 minutes. En effet lorsque la grande aiguille parcourt 15 minutes sur le cadran, elle parcourt le quart du cadran. « Moins le quart » signifie qu’il manque 15 minutes pour que ce soit 3 heures. Sur l’horloge à aiguilles : la grande aiguille est sur le 9 ; la petite aiguille est entre 2 et 3, mais plus près de 3. Une autre lecture de cet horaire pourrait être « deux heures quarante-cinq minutes ». La trotteuse est sur 0. L’horloge à affichage indique 14 : 45 : 00. Cela signifie que l’on est l’après-midi. ● 3 Lecture orale collective de l’heure EXPLICITATION, VERBALISATION Horaire du matin et de l’après-midi ◗ Quand l’horloge à aiguilles indique « une heure », il peut être : – soit une heure du matin, et l’horloge à affichage indique 1: 00 : 00 ; – soit une heure de l’après-midi ou treize heures, et l’horloge à affichage indique 13 : 00 : 00. ◗ Pour obtenir l’horaire de l’après-midi à partir de la lecture sur l’horloge à aiguilles, on ajoute 12 heures à l’horaire lu. ◗ En 1 jour, la petite aiguille de l’horloge fait 2 fois le tour du cadran. Le nombre des heures sur l’horloge à affichage va de 00 à 23. ◗ Lorsqu’il s’écoule 24 heures, il s’écoule 1 jour. 1 jour = 24 heures. Marquer 10 h 30 min sur l’horloge à aiguilles et sur l’horloge à affichage et lire : « Il est dix heures et demie ou dix heures trente minutes ». ● Demi-heure ◗ Quand la grande aiguille fait la moitié d’un tour, il s’est écoulé une demi-heure ; elle a avancé de 30 graduations. ◗ Une demi-heure = 30 minutes. Il y a 2 fois 30 minutes dans 60 minutes. Marquer sur l’horloge à aiguilles et sur l’horloge à affichage 10 h et quart et lire : « Il est dix heures et quart ou dix heures quinze minutes ». ● Quart d’heure ◗ Quand la grande aiguille fait la moitié de la moitié d’un tour, c’est-à-dire un quart de tour, il s’est écoulé un quart d’heure ; elle a avancé de 15 graduations. ◗ Un quart d’heure = 15 minutes. Il y a 4 fois 15 minutes dans 60 minutes. Afficher 8 h 35 min sur l’horloge à aiguilles et sur l’horloge à affichage. ● Nombre de minutes supérieur à 30 ◗ Il existe différentes expressions pour un même horaire, notamment quand le nombre de minutes est supérieur à 30. ◗ On peut se référer à l’heure passée : 8 heures 35 ou à l’heure suivante : 9 heures moins 25. ◗ Le complément en minutes à l’heure suivante est de 25 minutes, c’est le complément de 35 minutes à 60 minutes. Demander aux élèves de lire le DICO 55 . Manuel p. 16-17 5 Entrainement individuel Les exercices incontournables sont à proposer à tous les élèves et peuvent faire l'objet, si nécessaire, d'une exploitation collective ou par petits groupes. Pour les autres exercices, l'enseignant choisit ceux qu'il pense utile de proposer à tous ses élèves ou à certains de ses élèves. Réponses : Milo : D et G ; Aya : C et H ; Romy : A et F ; Dino : B et E 59 UNITÉ 1 UNITÉ Lecture de l’heure 1 apprentissage 5 C’est quelle heure ? Relier le placement des aiguilles à un horaire Sur cette horloge à affichage que représente chacun des trois nombres ? EXERCICE ORAL B Sur le cadran de cette horloge à aiguilles, combien y a-t-il EXERCICE ORAL de grandes graduations ? de graduations en tout ? Que représentent les nombres autour du cadran ? Qu’indique chaque aiguille ? Afficher un horaire sur l’horloge à aiguilles de la classe C Quelles horloges consulte chaque personnage ? en précisant s’il s’agit du matin ou de l’après-midi. ● Demander aux élèves d’écrire cet horaire exact en heures minutes et secondes sur leur ardoise. Les horaires proposés peuvent être : • Pour A 14le D 15 : 33 : 45 C 12 : 30 : 10 : 45matin : 00 : B 7 : 40 : 00 10 h E15 min 30 sF ; 6 h 00 min 10 s ; 6 hH 25 min 00 s ; G 6 h 25 min 40 s. • Pour l’après-midi ou le soir : 19 h 15 min 30 s ; 15 h 20 min 10 s ; 20 h 00 min 30 s ; 20 h 30 min 5 s. Il est trois heures moins le quart. Il est huit heures moins vingt. INCONTOURNABLE Il est midi et demi passé de dix secondes. Je m’entraine DICO 55 C’est le matin. Écris l’heure exacte affichée par chaque horloge. c. d. 16 2• seize C’est l’après-midi ou le soir. Écris l’heure exacte affichée par chaque horloge de l’exercice 1. 006-022-Unite 1.indd 16 23/01/2020 18:38 FACONS ◗ EXPRIMER L’HEURE DE1 DIFFERENTES 2 INCONTOURNABLE EXERCICES 3 DICO 55 Toute expression correcte de l’horaire est acceptée. c. 3 h 0 b.min 30 s a. 2 a. 19 h 10 min 30 s c. 15 h 0 min 30 s b. 2 h 30 min 0 s d. 9 h 15 min 20 s ★ 2 La grande aiguille a été enlevée, il reste la petite. Pour chaque horloge, écris la proposition correcte. La grande aiguille a été enlevée, il reste la petite. Pour chaque horloge, écris la proposition correcte. La grande aiguille a été enlevée, il reste la petite. Pour chaque horloge, écris la proposition correcte. b. a. c. • Il est 6 h 30 min. • Il est 18 h. • Il est 19 h 30 min. • • • 6 Une horloge à aiguilles indique 4 h 55 min. • Il est 6 h 30 min. • Il est 10 h 45 min. Vers quel nombre du cadran est pointée • Il est 18 h. • Il est 11 h. la grande aiguille ? • Il est 19 h 30 min. • Il est 11 h 15 min. • Il est 15 h. Il est 12 h 15 min. C’est l’après-midi ou le soir. Écris l’heure exacte affichée•par chaque horloge • Il est 3 h et quart. de l’exercice 1. 6 ◗ EXPRIMER L’HEURE DE DIFFERENTES FACONS b. c. • Il est 15 h. • Il est 12 h 15 min. • Il est 3 h et quart. b. 14 h 30 min 0 s d. 21 h 15 min 20 s RELIER LE PLACEMENT DES AIGUILLES À UN HORAIRE Une horloge à aiguilles indique 4 h 55 min. Vers quel nombre du cadran est pointée la grande aiguille ? DICO 55 7 ★ Une horloge à affichage indique 16 : 43 : 12 Énigme Décris comment sont placés les aiguilles sur une horloge à aiguilles indiquant Lalepetite mêmeaiguille horaire.et la grande aiguille 7 Une horloge à affichage indique ★ 3 Quelle heure est-il ? peuvent-elles être toutes les deux en Attention, il peut y avoir plusieurs réponses possibles. même temps en face d’un même nombre a. Il est 11 h 50. c. Il est 10 h 50. e. Il est 22 Décris h 50. comment sont placés les aiguilles du cadran ? b. Il est 11 h moins 10. d. Il est 23 h 50. f. Il est 11 hsur 10.une horloge à aiguilles indiquant Si oui, à quelle(s) heure(s) exactement ? le même horaire. • Il est 10 h 45 min. hatier-clic.fr/CM1cap005 006-022-Unite 1.indd 17 • Il est 114h. C’est le matin. Écris l’heure affichée par chaque horloge de deux manières différentes. dix-sept • 17 • Il est 11 h 15a.min. b. c. c. b. INCONTOURNABLE a. EXERCICE ORAL ★ c. ◗ Exprimer l’heure de différentes façons 5 ★ 55 a. ◗ RELIER LE PLACEMENT DES AIGUILLES À UN HORAIRE 5 4 C’est le matin. Écris l’heure affichée par chaque horloge de deux manières différentes. INCONTOURNABLE INCONTOURNABLE 1 a. 7 h 10 min 30 s DICO 5 EXERCICES ÉCRITS Quelle heure est-il ? Attention, il peut y avoir plusieurs réponses possibles. a. Il est 11 h 50. c. Il est 10 h 50. e. Il est 22 h 50. b. Il est 11 h moins 10. d. Il est 23 h 50. f. Il est 11 h 10. Réponses : 55 IINNCCOONNTTOOUURRNNAABBLLEE b. a. DICO IINNCCOONNTTOOUURRNNAABBLLEE 1 INCONTOURNABLE INCONTOURNABLE EXERCICES HEURES, MINUTES ET SECONDES ◗ LIRE L’HEURE ENÉCRITS INCONTOURNABLE Il est exactement quinze heures trente-trois minutes et quarante-cinq secondes. Afficher un horaire sur l’horloge à aiguilles de la classe et le faire lire. Exemple : 10 h 25 min 30 s. Faire remarquer le placement de chaque aiguille. ● Poser des questions sans afficher d’horaire en demandant aux élèves d’afficher l’horaire en plaçant les aiguilles sur leur horloge individuelle et de répondre sur leur ardoise, par exemple : • Il est 8 h 30 min : 2 1. – Vers quel nombre est pointée lade l’exercice grande aiguille ? – Où2 est la petite aiguille ? C’est l’après-midi ou le soir. Écris l’heure exacte affichée par chaque horloge de l’exercice 1. ◗ EXPRIMER L’HEURE DE DIFFERENTES FACONS • Il est 8 h 15 min et 30 s : Quelle heure est-il ? 3 il peut y avoir ? plusieurs réponses possibles. – Vers quel L’HEURE nombre est pointée laAttention, trotteuse DE DIFFERENTES FACONS a. Il est 11 h 50. c. Il est 10 h 50. e. Il est 22 h 50. ◗ EXPRIMER b. Il est 11 h moins 10. d. Il est 23 h 50. f. Il est 11 h 10. – Où3 est la grande aiguille ? Quelle heure est-il ? Attention, il peut y avoir plusieurs réponses possibles. – Où est la petite aiguille ? e. Il4est 22 h 50. a. Il est 11 h 50. c. Il est 10 h 50. b. Il est 11 h moins 10. d. Il est 23 h 50. f. Il est a. 11 h 10. b. c. ● Valider la réponse en affichant l’horaire sur l’horloge à 4 C’est le l’heure affichée horloge de deux manières différentes. aiguilles dematin.laÉcris classe ou par enchaque le faisant afficher par un élève. b. a. c. ● D’autres horaires peuvent être proposés : 8 h 5 min 10 s ; 8 h 5 min 30 s ; 5 h 30 min 30 ◗s RELIER ; 10 LEhPLACEMENT 40 minDES5AIGUILLES s. À UN HORAIRE ● IINNCCOONNTTOOUURRNNAABBLLEE ● INCONTOURNABLE Je cherche A Lire l’heure en heures, minutes et secondes 22 : 17 : 30 16 : 43 : 12 du cadran ? Afficher un horaire sur l’horloge à aiguilles de la classe EXERCICE 5 ✶ en précisant • Il est 15 h. qu’il s’agit • Ildu est 6matin h 30 min. (le nombre de minutes est • Il est 12 h 15 min. • Il est 18 h. Réponses : a. Il est 15 h. b. Il est 6 h 30 min. c. Il est 10 h 45 min. • Il est 3àh et quart.trotteuse • Il estsur 19 h 30le min.12). supérieur 30, 6 Une horloge à aiguilles indique 4 h 55 min. ● Demander Vers quel nombre cadran est pointée auxduélèves de dire cet horaire de deux manières EXERCICES 6 7 ✶ la grande aiguille ? Énigme différentes sous la forme « … h … min » et sous la forme 7 Une horloge à affichage indique Réponses : 6 La grande aiguille est pointée vers le 11. « … h moins 16 : 43 : 12… min » sans prendre en compte les secondes LE PLACEMENT DES AIGUILLES À UN HORAIRE ◗ RELIER Décris comment sont placés les aiguilles (la trotteuse est surindiquant le 12). Toute expression correcte de sur une horloge à aiguilles 7 La trotteuse est sur la 12e graduation des secondes, 5 La grande aiguille a été enlevée, il reste la petite. le même horaire. Pour chaque horloge, écris la proposition correcte. 2 C’est est l’après-midi ou le soir. Écris l’heure exacte affichée par chaque horloge l’horaire acceptée. soit entre les graduations 2 et 3 des heures. b. c. a. de l’exercice 1. INCONTOURNABLE ● 006-022-Unite 1.indd 17 La petite aiguille et la grande aiguille peuvent-elles être toutes les deux en même temps en face d’un même nombre du cadran ? Si oui, à quelle(s) heure(s) exactement ? INCONTOURNABLE ★ ★ hatier-clic.fr/CM1cap005 EXERCICES ÉCRITS ◗ EXPRIMER L’HEURE DE DIFFERENTES FACONS INCONTOURNABLE 006-022-Unite 1.indd 17 INCONTOURNABLE 23/01/2020 18:38 3 4 dix-sept • 17 DICO 55 23/01/2020 18:38 • Il est 15 h. • Il est 12 h 15 min. • Il est 3 h et quart. Quelle heure est-il ? Attention, il peut y avoir plusieurs réponses possibles. a. Il est 11 h 50. c. Il est 10 h 50. e. Il est 22 h 50. b. Il est 11 h moins 10. d. Il est 23 h 50. f. Il est 11 h 10. • Il est 6 h 30 min. • Il est 18 h. • Il est 19 h 30 min. 6 Une horloge à aiguilles indique 4 h 55 min. Vers quel nombre du cadran est pointée la grande aiguille ? C’est le matin. Écris l’heure affichée par chaque horloge de deux manières différentes. 7 Une horloge à affichage indique b. a. c. ★ 16 : 43 : 12 Décris comment sont placés les aiguilles sur une horloge à aiguilles indiquant le même horaire. La grande aiguille est entre la 43e et la 44e graduation des minutes, soit entre les graduations 8 et 9 des heures. La petite aiguille est entre le 4 et le 5, • Il est 10 h 45 min. plus près du 5. • Il est 11 h. • Il est 11 h 15 min. Énigme La petite aiguille et la grande aiguille peuvent-elles être toutes les deux en même temps en face d’un même nombre du cadran ? Si oui, à quelle(s) heure(s) exactement ? hatier-clic.fr/CM1cap005 ◗ 3 EXERCICES 5 Les deux aiguilles sont • sur la même graduation unique17 ment lorsqu’elles sont sur le 12. On pourrait penser que cela se produit à d’autres moments, par exemple lorsqu’il est 1 h 5 min ; mais comme il s’est écoulé 5 min après 1 h, la petite aiguille n’est déjà plus « pile en face » de la graduation numérotée « 1 ». dix-sept RELIER LE PLACEMENT DES AIGUILLES À UN HORAIRE ★ 4 La grande aiguille a été enlevée, il reste la petite. Pour chaque horloge, écris la proposition correcte. a. Réponses : b. 23/01/2020 18:38 006-022-Unite 1.indd 17 c. 3 Les réponses b., c. et e. conviennent. 4 a. 6 h 45 min / 7 h moins le quart b. 4 h 50• Ilmin / 5 h moins 10 est 6 h 30 min. • Il est 10 h 45 min. Il est 18/h. 2 h moins 25 • Il est 11 h. c. 1 h 35•• min Il est 19 h 30 min. • Il est 11 h 15 min. • Il est 15 h. • Il est 12 h 15 min. • Il est 3 h et quart. 6 Une horloge à aiguilles indique 4 h 55 min. Vers quel nombre du cadran est pointée la grande aiguille ? 7 Une horloge à affichage indique ★ 60 16 : 43 : 12 Décris comment sont placés les aiguilles sur une horloge à aiguilles indiquant le même horaire. Énigme La petite aiguille et la grande aiguille peuvent-elles être toutes les deux en même temps en face d’un même nombre du cadran ? Si oui, à quelle(s) heure(s) exactement ? hatier-clic.fr/CM1cap005 dix-sept • 17 Réponses : Deux horaires sont possibles : 0 h ou 24 h ou minuit, et 12 h ou midi. Polygones, carrés, rectangles : description et construction apprentissage 6 Objectifs : Cette situation permet de revoir et consolider des connaissances et compétences relatives aux polygones les plus usuels qui ont été travaillées au cycle 2 et que les élèves doivent maitriser : – connaitre et utiliser à bon escient certains termes de vocabulaire : polygone, côté, sommet, quadrilatère, côtés opposés, angle droit, carré, rectangle, triangle rectangle, longueur et largeur d’un rectangle… ; – connaitre et utiliser les propriétés d’un carré ou d’un rectangle relatives aux côtés : égalité de longueurs et angles droits. Le parallélisme des côtés sera étudié plus tard dans l’année. – Reconnaitre et décrire un polygone – Connaitre et utiliser les propriétés des côtés et des angles des carrés et rectangles – Connaitre et utiliser le vocabulaire associé Quel est ce polygone ? ● 4 UNITÉ 1 - Apprentissage 6 © Hatier 2020 - Reproduction autorisée pour une classe seulement. Guide p. 61 Des polygones A À quelle figure correspond chaque description ? c. Je suis un carré de 4 cm 5 mm de côté. ................................................................................................. d. Je suis un rectangle. Ma longueur mesure 5 cm 5 mm et ma largeur 4 cm 5 mm. ...................... Recherche Recherche a. Je suis un polygone à 5 côtés. ................................................................................................................... b. Je suis un quadrilatère et je n’ai qu’un angle droit. .............................................................................. UNITÉ 1 Préciser : ➞ Vous disposez de vos instruments de géométrie et vous pouvez utiliser le DICO 75 à 78 pour vous aider à retrouver la signification du vocabulaire et choisir les bons mots. CapMaths CM1 Observer comment procèdent les élèves, notamment s’ils s’organisent ou pas. ● A B C ◗ PROCÉDURES POSSIBLES Pour reconnaitre les figures : – reconnaissance perceptive ; – utilisation des instruments pour contrôler les propriétés perçues visuellement. Pour organiser la recherche : – pas de stratégie : reprise de la recherche des angles droits et de la mesure des longueurs à chaque question ; – conservation des informations prises sur les figures : codage des angles droits et écriture des mesures sur les figures. D F G E I H J B Rédige une description de la figure E qui permet de la reconnaitre parmi les autres figures. ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................ 001-109-Materiel CM1.indd 7 MATÉRIEL 1 20/04/2017 16:27 pour la classe hatier-clic.fr/CM1capg0103 • la fiche 4 agrandie ou projetée • figures des exercices 4 à 8 à photocopier sur papier calque ➞ fiche 5 • instruments pour tableau ◗ DIFFICULTÉS ÉVENTUELLES – Pour dépasser la perception Aide À traiter lors de l’exploitation collective. par élève • fiche 4, questions A et B • feuille de papier blanc pour la question C • feuille de brouillon • instruments de géométrie DÉROULÉ UNITÉ 1 Présentation de la première activité et recherche (question A) 2 Exploitation des réponses 3 Recherche de la question B et exploitation 4 Présentation de la deuxième activité et recherche (question C) 5 Exploitation et synthèse 6 Entrainement – Pour utiliser correctement les instruments Aide Assister les élèves dans le placement de l’équerre Collectif Individuel et collectif – Pour prendre en compte toutes les informations d’une définition, simultanément ou successivement et de la règle graduée. Aide À traiter lors de l’exploitation collective. Collectif et individuel Collectif Individuel Comment décrire un polygone ? Comment construire un carré ou un rectangle connaissant la longueur des côtés ? 1 Présentation de la première activité et recherche individuelle de la question A Distribuer la fiche 4 et projeter ou afficher la fiche agrandie. Demander aux élèves de prendre connaissance des questions A et B. ● Aide Inviter l’élève à consulter le Dico-Maths et lui montrer comment l’utiliser. Collectif et individuel RECHERCHE ● – Pour comprendre des termes de vocabulaire 2 Exploitation collective des réponses à la question A Recenser, discuter et valider les réponses pour chaque description de la question A. ● Préciser la signification des termes de vocabulaire figurant dans les descriptions ou utilisés par les élèves. ● Faire ressortir que la reconnaissance perceptive des figures peut être trompeuse, qu’elle doit être complétée par un contrôle avec les instruments. ● Faire présenter les stratégies de recherche utilisées et dégager celles qui sont efficaces. Par exemple pour la description b. : – prise en compte des critères l’un après l’autre. Dans un premier temps, écarter les figures qui ne sont pas des ● 61 quadrilatères, puis rechercher les angles droits dans les figures conservées ; – s’assurer qu’il n’y a que la figure A qui répond aux deux contraintes. ● Dégager l’intérêt de noter des informations sur la figure, pour ne pas avoir à prendre plusieurs fois les mêmes informations. ◗ DIFFICULTÉS ÉVENTUELLES – Pour débuter la construction Aide Suggérer de commencer par tracer une longueur ou une largeur. – Pour contrôler que la figure construite est bien un rectangle Aide Demander aux élèves ce qu’ils doivent vérifier : les 4 angles sont droits et les longueurs des côtés opposés sont égales. EXPLICITATION, VERBALISATION – Pour utiliser correctement les instruments ◗ Un polygone est une figure tracée seulement avec la règle. Aide Accompagner l'élève pour placer les instruments. ◗ Un quadrilatère est un polygone qui a 4 côtés et 4 sommets. Un rectangle, un carré sont des quadrilatères, mais il existe d’autres quadrilatères. ◗ Un triangle est un polygone qui a 3 côtés et 3 sommets. Un triangle rectangle est un triangle qui a un angle droit (Renvoi possible au DICO 76 pour légitimer l’expression triangle rectangle). Réponses : a. figure I b. figure A c. figure F d. figure C 3 Recherche individuelle et exploitation de la question B ● S’appuyer sur différentes descriptions rédigées par les élèves pour dégager qu’il ne suffit pas d’indiquer que la figure E est un triangle, il faut apporter des précisions (voir réponse). Réponses possibles : – C’est un triangle. Ses côtés mesurent 3 cm 5 mm, 4 cm 5 mm et 5 cm 7 mm (tolérance de 1 à 2 mm sur les mesures). – C’est un triangle qui a un angle droit. – C’est un triangle rectangle. 4 Présentation de la deuxième activité et recherche individuelle de la question C Distribuer une feuille de papier blanc à chaque élève. Écrire la question C au tableau : « Construire sur la feuille un rectangle de largeur 5 cm et de longueur 9 cm », sans donner d’autres précisions. ● Inviter les élèves à s’appliquer pour être précis. ● Repérer les procédures utilisées. ● ● ◗ PROCÉDURES POSSIBLES 4 Exploitation collective des productions Demander à quelques élèves qui ont procédé différemment de venir présenter au tableau comment ils ont fait. ● Discuter et valider les productions et procédures. ● Insister sur la nécessité du contrôle pour s’assurer que le polygone construit possède bien toutes les propriétés du rectangle. ● En géométrie, il est essentiel de faire porter la discussion sur les procédures et ne pas en rester à la validation des productions car des élèves peuvent « penser juste » et être maladroits dans l’utilisation des instruments alors que d’autres peuvent réaliser des productions acceptables en ayant recours à des tracés à vue sans mobiliser les propriétés des figures. EXPLICITATION, VERBALISATION Revenir sur les propriétés du carré et du rectangle utiles pour les reconnaitre ou pour les construire. Le carré Un carré a 4 angles droits. Ses côtés ont tous même longueur. Le rectangle ◗ Un rectangle a également 4 angles droits et ses côtés opposés ont même longueur 2 à 2. ◗ La longueur des côtés les plus longs est appelée la longueur du rectangle. La longueur des côtés les plus courts est appelée la largeur du rectangle. ◗ Le mot longueur est aussi utilisé pour désigner un des deux côtés les plus longs et le mot largeur pour désigner un des deux côtés les plus courts. Procédure 1 5 cm TRACE ÉCRITE INDIVIDUELLE 5 cm 9 cm Étape 1 Étape 2 Étape 3 Étape 4 Une fois la construction terminée, vérification que le dernier côté tracé mesure 9 cm et que les deux derniers angles sont droits. Procédure 2 Moins probable, à ne montrer que si elle a été utilisée. 5 cm 9 cm Étape 1 Étape 2 Étape 3 Étape 4 Une fois la construction terminée, vérification que le 4e angle est droit et que les deux derniers côtés tracés mesurent respectivement 9 cm et 5 cm. Dans les deux cas, les élèves peuvent commencer par tracer un segment de 5 cm. Remarque : des élèves peuvent tracer tout ou partie des angles droits à vue 62 Dessin d’un carré avec écrit en dessous ses propriétés Dessin d’un rectangle avec les deux longueurs tracées d’une couleur et les deux largeurs d’une autre couleur. Par exemple ● ● 2 cm 4 cm 5 mm – La longueur du rectangle est 4 cm 5 mm ou le rectangle a pour longueur 4 cm 5 mm. – La largeur du rectangle est 2 cm ou le rectangle a une longueur de 2 cm. – Un côté bleu est une longueur du rectangle. – Un côté rouge est une largeur du rectangle. Renvoyer les élèves au DICO 78 . 5 Entrainement individuel Cahier p. 5 à 7 Les exercices incontournables sont à proposer à tous les élèves et peuvent faire l'objet, si nécessaire, d'une exploitation collective ou par petits groupes. Pour les autres exercices, l'enseignant choisit ceux qu'il pense utile de proposer à tous ses élèves ou à certains de ses élèves. Polygones, carrés, rectangles : description et construction Construire Polygones, Polygones, carrés, carrés, rectangles rectangles :: description description et et construction construction UNITÉ 1 1 1CONSTRUIRE UNITÉ UNITÉ CONSTRUIRE 4 Termine la construction du carré. CONSTRUIRE Termine la construction côté est déjà tracé. du carré. 4 Un Termine la construction 4 Un côté est déjà tracé. du carré. Un côté est déjà tracé. 5 5 5 UNITÉ carrés, rectangles : 1 Polygones,décrire Reconnaitre, description et construction RECONNAITRE, DÉCRIRE Termine la construction du rectangle. Termine la construction Deux côtés sont tracés. du rectangle. Termine la construction Deux côtés sont tracés. du rectangle. Deux côtés sont tracés. UNITÉ apprentissage 6 1 DICO 76-77-78 ➜ Pour les exercices 1 à 3, utilise ces figures. 1 3 2 4 5 6 6 7 1 8 Construis triangle rectangle. Undroit côté de7 l’angle droit 7 cm et l’autre 4 cm 5 mm. triangle rectangle. Un côté de l’angle mesure cm et l’autre 4 cm 5mesure mm. 6 Construis unun 66• sixConstruis un triangle rectangle. Un côté de l’angle droit mesure 7 cm et l’autre 4 cm 5 mm. 6 • six 6 • six À quelle figure correspond chaque description ? a. Je suis un carré de 3 cm de côté : …………………………… Cahier geom.indd 6 22/01/2020 10:30 Cahier geom.indd 6 22/01/2020 10:30 Cahier geom.indd 6 22/01/2020 10:30 b. Je suis un triangle rectangle. Un côté de mon angle droit mesure 4 cm et l’autre côté de mon angle droit mesure 3 cm 5 mm : ……………....... 2 Complète. a. Quelle est en mm la largeur du rectangle 1 ? ....................................................... 7 7 b. Quelle est en mm la longueur du rectangle 5 ? ..................................................... 3 Construis un carré de côté 50 mm. Construis un carré de côté 50 mm. Décris les figures 3, 7 et 8 pour permettre de les reconnaitre parmi les autres. a. La figure 3 : ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… b. La figure 7 : ……………………………………………………………………………………………………………………………………… 7 Construis un carré de côté 50 mm. ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… c. La figure 8 : ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 8 8 cinq • 5 EXERCICE 1 Cahier geom.indd 5 Construis un rectangle. Sa longueur est 8 cm 5 mm et sa largeur 4 cm. Construis un rectangle. Sa longueur est 8 cm 5 mm et sa largeur 4 cm. 22/01/2020 10:30 La seule perception ne suffit pas pour différencier un carré d’un rectangle « presque carré » (figures 2 et 1), un carré d’un losange « presque carré », (figures 2 et 7), un triangle rectangle d’un triangle « presque rectangle » (figures 4 et 3). Réponses : a. 2 b. 4 EXERCICE 2 Énigme Énigme 4 EXERCICES 8 Réponses possibles : a. figure 3 : triangle qui a pour côtés 4 cm, 3 cm 5 mm et 5 cm 1 mm ou triangle qui n’a pas d’angle droit. b. figure 7 : quadrilatère qui a ses 4 côtés de même longueur (3 cm) et pas d’angle droit ou losange de côté 3 cm (en toute rigueur, il faudrait préciser non carré). c. figure 8 : rectangle de longueur 4 cm et de largeur 3 cm. La donnée de la seule longueur ne permet pas de le différencier du rectangle 5, en revanche la donnée de sa largeur suffit pour le différencier du rectangle 1. 7 8 L’unité de longueur est le côté de carreau. Pour chaque chaque rectangle que tu trouves, trouves, indique sa sa longueur longueur et et sa sa largeur. largeur. Pour rectangle que tu indique hatier-clic.fr/CM1capc006 L’unité de de longueur longueur est est le le côté côté de de carreau. carreau. L’unité Ces exercices sollicitent la connaissance des propriétés des figures considérées et la maitrise des instruments. ● Inviter les élèves à s’appliquer et à être précis. ● hatier-clic.fr/CM1capc006 hatier-clic.fr/CM1capc006 sept • 7 sept • 7 sept Cahier geom.indd 7 22/01/2020 10:30 Cahier geom.indd geom.indd 7 7 Cahier 22/01/2020 10:30 10:30 22/01/2020 Énigme Réponses : a. 25 mm b. 40 mm Sur une feuille quadrillée, construis le plus possible de rectangles qui contiennent exactement : a. 24 carreaux entiers b. 13 carreaux entiers c. 36 carreaux entiers Pour chaque rectangle que tu trouves, indique sa longueur et sa largeur. L’unité de longueur est le côté de carreau. hatier-clic.fr/CM1capc006 MATÉRIEL Les élèves peuvent recourir aux noms des figures en précisant leurs dimensions ou encore, sans les nommer, à leurs propriétés (longueurs des côtés et présence ou non d’angles droits). 6 a. carreaux entiers b. 13 c. 36 carreaux entiers qui contiennent exactement :: carreaux entiers qui24 contiennent exactement Pour et sa largeur. a. 24 chaque carreauxrectangle entiers que b.tu 13trouves, carreauxindique entiers sa longueur c. 36 carreaux entiers Accepter des mesures à 1 ou 2 mm près. EXERCICE 3 5 Sur une feuille quadrillée, construis le plus possible de rectangles qui exactement : Construis unquadrillée, rectangle. Salele longueur est 8 cm 5 mm et sa largeur 4 cm. Sur contiennent une feuille feuille quadrillée, construis plus possible possible de de rectangles Sur une construis plus rectangles Cahier geom.indd 7 pour la classe • quadrillage ➞ Mallette sept • 7 22/01/2020 10:30 par élève • feuille quadrillée Questions a : Les élèves peuvent commencer par faire des essais : tracé d’un rectangle et dénombrement des carreaux qu’il contient. Cette entrée dans le problème devrait permettre de s’apercevoir que le nombre de carreaux contenus dans le rectangle est égal au produit du nombre de carreaux sur la longueur et du nombre de carreaux sur la largeur. Le problème, dans un premier temps géométrique, devient alors un problème numérique : trouver par exemple les décompositions de 24 sous la forme d’un produit de 2 nombres entiers. Questions b et c : Le traitement devrait être numérique. Réponses : a. 24 carreaux : 1 × 24 ; 2 × 12 ; 3 × 8 ; 4 × 6 b. 13 carreaux : 1 × 13 c. 36 carreaux : 1 × 36 ; 2 × 18 ; 3 × 12 ; 4 × 9. La solution numérique 6 × 6 conduit à discuter et à accepter qu’un carré est un rectangle particulier qui a sa longueur égale à sa largeur. 63 UNITÉ 1 Bilan et consolidation CALCUL MENTAL / NOMBRES ET CALCULS / GRANDEURS ET MESURES ! Manuel p. 18-19 ESPACE ET GÉOMÉTRIE ! Cahier p. 8-9 Comment utiliser les pages Bilan ! p. 11. Bilan de compétences téléchargeable hatier-clic.fr/CM1capgbilancomp01 CONSOLIDATION BILAN ◗ Calcul mental Connaissances à acquérir ➞ Nombres dictés inférieurs à 10 000 ➞ Doubles et moitiés de nombres simples ➞ Tables d'addition (sommes, compléments, différences) ➞ Addition, soustraction de dizaines, centaines et milliers Ateliers de calcul mental ! Manuel p. 20 Tables d'addition et addition et soustraction de nombres simples Pas de préparation de bilan proposée dans le manuel. Je fais le bilan ! Manuel p. 19 EXERCICE 1 Doubles et moitiés, addition et soustraction de dizaines et de centaines a. 32 b. 70 c. 21 d. 25 e. 130 f. 1 000 g. 500 h. 800 Autres ressources ! Activités et exercices pour la calculatrice ! 100 Activités et jeux mathématiques CM1-CM2 33. Calcul sur les dizaines et les centaines ! CD-Rom Jeux interactifs CE2-CM1-CM2 9. Calcul éclair (domaine additif) CM1-CM2 11. Tables d’addition 14. Course à… ! Guide d'activités pour la calculatrice CE2-CM1-CM2 12. Tables d'addition et de multiplication CONSOLIDATION BILAN ◗ Résolution de problèmes par étapes Connaissances à acquérir ➞ On peut résoudre certains problèmes en faisant des essais et en vérifiant qu'ils respectent les contraintes de l'énoncé. ➞ Pour être efficace, cette stratégie suppose qu’on tienne compte des données du problème et de ce qu’on a obtenu aux essais déjà réalisés pour en faire un nouveau. ➞ Après la recherche, l’échange avec les autres permet d’expliquer les différentes méthodes, de les comparer, de trouver ensemble les erreurs, de voir d’autres méthodes que celle qu’on a utilisée…. apprentissage 1 Je prépare mon bilan Q C M1 c ➞ b est à écarter car la somme totale n'est pas 36 €, a et d également car le nombre de pièces n'est pas le double du nombre de billets. Je fais le bilan ! Manuel p. 19 EXERCICE 2 Résoudre un problème (une stratégie par essais et ajustements étant possible) 1re mosaïque : 18 carrés 2e mosaïque : 32 carrés Je consolide mes connaissances Autres ressources ! Manuel p. 8-9 ! Activités et exercices pour la calculatrice À choisir parmi les problèmes non traités. ! Manuel p. 18 CM1-CM2 50. Des nombres à la suite ! Activités pour la calculatrice CE2-CM1-CM2 3. Deux problèmes à résoudre avec une calculatrice (Exercice 2) B IL AN ◗ Les nombres jusqu’à 9 999 64 Connaissances à acquérir ➞ L’écriture en chiffres d’un nombre apporte beaucoup d’informations. Chaque chiffre a une valeur qui dépend de son rang. Exemple : Dans 3 708, 7 est le chiffre des centaines ; un groupe de chiffres représente une quantité : 37 est le nombre de centaines (37). ➞ Un nombre peut se décomposer de plusieurs façons en utilisant les unités de numération ou les nombres 1 000, 100, 10 et 1. Exemple : 5 068 est égal à : – 5 milliers et 68 unités ou à 5 milliers 6 dizaines et 8 unités… – (5 × 1 000) + 68 ou à (5 × 1 000) + (6 × 10) + 8… apprentissage 2 Je prépare mon bilan ! Manuel p. 18 Q C M 2 a et c Q C M 3 b et d Q C M4 a Q C M5 b Les corrigés de la première impression du manuel sont disponibles sur hatier-clic.fr/CM1capgcorr01 Je fais le bilan ! Manuel p. 19 EXERCICE 3 Utiliser les équivalences entre unités de numération a. 180 b. 300 c. 150 d. 82 BILAN ➞ On se sert des égalités : 1 millier = 10 centaines = 100 dizaines = 1 000 unités 1 centaine = 10 dizaines = 100 unités 1 dizaine = 10 unités ➞ Pour lire un nombre écrit avec 4 chiffres, il faut le découper en faisant une tranche de 3 chiffres à partir des unités. Exemple : 5 068 se lit « cinq-mille-soixante-huit ». ➞ Pour comparer des nombres écrits en chiffres, il faut d’abord s’intéresser aux chiffres de plus grande valeur, puis s’ils sont égaux aux chiffres de rang immédiatement inférieur. EXERCICE 4 Écrire des suites régulières de nombres a. de 2 994 à 3 003 b. 7 705 7 806 7 907 8 008 8 109 8 210 8 311 8 412 8 513 8 614 EXERCICE 5 Utiliser la valeur des groupements de chiffres 28 plaques de 100 timbres. EXERCICE 6 Lire des nombres sur une droite graduée et les ranger par ordre croissant A ! 9 310 B ! 8 800 C ! 9 050 8 800 < 9 050 < 9 310 UNITÉ Ateliers de calcul mental CONSOLIDATION ! Manuel p. 20 Tables d'addition et addition et soustraction de nombres simples Je consolide mes connaissances ! Manuel p. 12-13 À choisir parmi les exercices non traités Autres ressources ! Activités et exercices pour la calculatrice ! 100 Activités et jeux mathématiques CM1-CM2 1. Le bon nombre 2. Dis ou écris mon nombre 4. Suites de nombres avec la calculatrice 6. Trouve mon nombre ! CD-Rom Jeux interactifs CE2-CM1-CM2 1. Les timbres 2. Le nombre mystère – Nombres entiers CM1-CM2 1 à 9. Ensemble d’activités permettant de travailler différents aspects de la numération décimale 10. Comparer des nombres ! Activités pour la calculatrice CE2-CM1-CM2 7. Suites régulières de nombres 8. Des chiffres qui changent et des chiffres qui ne changent pas. 9. Un seul chiffre à la fois. BILAN ◗ Calculer des sommes, des différences Connaissances à acquérir ➞ Si on ajoute ou soustrait un même nombre aux 2 termes d’une différence, on obtient une autre différence égale à la première ➞ Avant d’effectuer un calcul, il faut décider d’une méthode de calcul. Même si les nombres sont grands, le calcul posé n’est pas toujours le plus rapide. ➞ Pour calculer une addition ou une soustraction en posant l’opération : – il faut bien disposer ses calculs : unités sous unités, dizaines sous dizaines… ; – il faut commencer par les chiffres de plus petite valeur ; – il ne faut pas oublier les retenues ; – il faut bien connaitre les résultats des tables d’addition. apprentissages 3 et 4 Je prépare mon bilan ! Manuel p. 18 Q C M 6 a, c et d Q C M7 c Q C M8 c Je fais le bilan ! Manuel p. 19 EXERCICE 7 Calculer une somme avec la méthode de son choix a. 600 b. 2 742 EXERCICE 8 Calculer une différence avec la méthode de son choix Les calculs de cet exercice permettent de contrôler la maitrise de la propriété de « conservation des écarts ». CONSOLIDATION a. 186 b. 1 113 EXERCICE 9 Résoudre un problème du champ additif à plusieurs étapes 131 voyageurs ! Manuel p. 20 Ateliers de calcul mental Je consolide mes connaissances Autres ressources ! Manuel p. 12 à 15 ! 100 Activités et jeux mathématiques Tables d'addition et addition et soustraction de nombres simples À choisir parmi les exercices non traités. CM1-CM2 48. Addi-grilles 65 1 CONSOLIDATION BILAN ◗ Lire l’heure apprentissage 5 Connaissances à acquérir ➞ Pour lire l’heure sur une horloge à aiguilles, il faut comprendre la signification des graduations du cadran et le rôle de chacune des aiguilles. ➞ Deux cercles gradués se superposent : – le cercle des heures qui comporte 12 graduations marquées par des traits forts, souvent numérotées de 1 à 12. Le 12 correspond aussi au 0. – le cercle des minutes (ou des secondes) qui comporte 60 graduations dont certaines (de 5 en 5) se superposent à celles des heures. ➞ Il y a 3 aiguilles : – la petite aiguille indique les heures ; – la grande aiguille indique les minutes ; – la grande aiguille plus fine, appelée la trotteuse car elle tourne plus rapidement, indique les secondes. Je prépare mon bilan ! Manuel p. 18 Q C M 9 a et e Je fais le bilan ! Manuel p. 19 EXERCICE 10 Lire l’heure en heures, minutes et secondes sur une horloge à aiguilles Toute expression correcte de l’horaire est acceptée. a. 10 h 10 min b. 16 h 50 min ou 5 h moins 10 min de l’après-midi c. 2 h 30 s d. 9 h 37 min 15 s Je consolide mes connaissances Autres ressources ! Manuel p. 16-17 ! 100 activités et et jeux mathématiques CM1-CM2 56. Loto des heures 57. Bataille des heures À choisir parmi les exercices non traités. ! Exercices complémentaires ! CD-Rom Jeux interactifs CE2-CM1-CM2 Heures et durées (jeux 1 à 3) matériel • Fiche 6 hatier-clic.fr/CM1capg0104 BILAN ◗ Polygones, carrés, rectangles apprentissage 6 Connaissances à acquérir ➞ Pour décrire ou construire une figure, il faut en connaitre les propriétés : – Un carré a 4 angles droits et ses côtés ont tous même longueur. – Un rectangle a 4 angles droits et ses côtés opposés ont même longueur 2 à 2. La longueur des côtés les plus longs est appelée la « longueur du rectangle ». La longueur des côtés les plus courts est appelée la « largeur du rectangle ». ➞ Le mot longueur désigne également un des deux côtés les plus longs du rectangle et le mot largeur un des deux côtés les plus courts du rectangle Je prépare mon bilan ! Cahier p. 8 Q C M 1 a, b et c Je fais le bilan ! Cahier p. 8-9 matériel • double décimètre, équerre, crayon EXERCICES 1 et 2 Reconnaitre un polygone à partir d’une description, décrire un rectangle, un losange pour les reconnaitre parmi d’autres polygones E 1 Figure D : Rectangle de longueur 4 cm 5 mm et de largeur 4 cm 2 (une des deux dimensions suffit). Figure F : Quadrilatère qui a ses 4 côtés de même longueur (3 cm). Ce n’est pas un carré ou il n’a pas d’angle droit. EXERCICES 3 et 4 Compléter un rectangle, construire un carré Calque des figures pour la validation > Fiche 7 hatier-clic.fr/CM1capg0105 Je consolide mes connaissances ! Ateliers ! Cahier p. 6-7 matériel CONSOLIDATION À choisir parmi les exercices non traités. ! Exercices complémentaires matériel • Fiche 8 hatier-clic.fr/CM1capg0106 • Calque des figures pour la validation ➞ À réaliser Préciser que la figure reproduite doit être superposable au modèle, mais qu’elle peut être placée et inclinée différemment sur la feuille. 66 • Fiche 9 hatier-clic.fr/CM1capg0106 Cet atelier qui est la reprise des questions A et B de la recherche s’adresse aux élèves qui ne maitrisent pas encore le vocabulaire et qui n’ont pas de stratégie bien établie pour inventorier les propriétés d’un polygone et donc pour le décrire. Autres ressources ! 100 activités et et jeux mathématiques CM1-CM2 71. Carrés sur quadrillage ! CD-Rom Jeux interactifs CE2-CM1-CM2 Reproduction de figures Jeux 1 et 2 liers 1 Ate ca tal UNITÉ lcul men L'addition Manuel p. 20 Ces jeux sont destinés à entrainer la mémorisation du répertoire additif et de calculs élémentaires qui sont des points d'appui essentiels pour les calculs additifs et soustractifs. UNITÉ jeu 1 Les dés comptent Ateliers 1 Ce jeu ne nécessite que 4 dés ordinaires et une feuille de papier par joueur. Les points de chaque dé ne sont utilisés qu’une fois. Les joueurs peuvent avoir l’obligation de former des nombres en additionnant ou soustrayant les points des 4 dés ou avoir la possibilité de n’opérer que sur une partie des dés (ce qui permet d’obtenir davantage de résultats). L’usage des parenthèses dans les calculs est autorisé. calcul mental L’ad ditio n ou jeu 1 Les dés comptent jeu 2 Le quinze vainc Matériel Matériel – 4 dés • une piste de 1 à 9 But du jeu Obtenir le plus de nombres différents . 1 Règle du jeu 3 UNITÉ 4 5 6 7 8 9 • des pions • Choisir une durée de jeu, par exemple une minute. • L’un des joueurs lance les 4 dés. • Additionner et soustraire les points des 4 dés pour obtenir le plus de nombres différents. Par exemple : 5 + 5 + 4 + 3 = 17 5 + 5 + 4 − 3 = 11 5 + 5−4−3 = 3 5 + 5 + 3−4 = 9 5 + 4−5−3 = 1 Le gagnant est celui qui a trouvé le plus de nombres différents. Joueur A Joueur B But du jeu Totaliser 15 en plaçant 3 pions. Règle du jeu • Chaque joueur, à tour de rôle, pose un de ses pions sur une case libre. • Si personne n’a gagné lorsque les 6 pions sont posés, chaque joueur peut, à tour de rôle, déplacer l’un de ses pions vers une case libre. Variante Cette activité permet de travailler la mémorisation du répertoire additif et le calcul rapide de sommes et de différences de nombres inférieurs à 25. 2 On peut n’utiliser que 2 ou 3 des 4 dés. jeu 3 Des montagnes de nombres jeu 2 Jeu du quinze vainc But du jeu 25 Compléter la montagne. Le nombre d’une case est la somme des nombres écrits dans les 2 cases en-dessous. 11 Une montagne à vérifier La montagne ci-contre est-elle correcte La règle est simple, mais peut nécessiter une phase d’accompagnement pour être parfaitement comprise. Le jeu nécessite d’anticiper ses propres actions mais aussi celles de son adversaire. Des montagnes à compléter 5 ? Trouver les nombres qui manquent. Invente des montagnes que tes camarade s pourront compléter. 2 14 6 3 8 3 75 30 110 25 Cette activité permet également de travailler la mémorisation du répertoire additif et le calcul rapide de sommes et de compléments de nombres jusqu’à 15. Progressivement, les élèves peuvent élaborer une stratégie en anticipant les décompositions de 15 avec 3 des 9 nombres de la piste. 5 2 7 3 8 4 60 15 20 20 • vingt 006-022-Unite 1.indd 20 23/01/2020 18:38 jeu 3 Des montagnes de nombres La première montagne est simple à compléter. Les deux suivantes sont plus complexes et nécessitent d’élaborer une stratégie. 40 19 9 2 75 21 10 7 3 45 30 11 10 8 6 20 4 205 95 110 45 25 16 9 15 50 30 60 20 40 En complément, on peut suggérer aux élèves de construire eux-mêmes des montagnes de nombres à compléter qui seront soumises à leurs camarades. On peut aussi proposer de construire une pyramide, d’enlever tous les nombres et de les écrire sur une ardoise. Les autres élèves devront alors les replacer dans les cases, comme dans cet exemple : 4 5 7 8 9 13 15 22 28 50 Cette activité permet également de travailler le calcul de sommes, de différences et de compléments sur des nombres un peu plus grands. Elle nécessite également la mise en place d'une stratégie déductive à partir de la reconnaissance des cases qui peuvent successivement être complétées. 67 1 1 Ateliers UNITÉ problèmes Je résous à mon rythme Ces problèmes sont des problèmes à une ou plusieurs étapes qui font appel au sens des opérations. Ils doivent être résolus rapidement, en recourant soit au calcul mental en ligne, soit au calcul posé, soit au calcul instrumenté (calculatrice) selon les cas. Les élèves sont incités à écrire leurs calculs et, le cas échéant, les étapes intermédiaires de la résolution. Ils doivent enfin formuler une phrase en réponse à la question posée. L'exploitation peut être individuelle, en atelier ou collective et porter sur la diversité des procédures, leur mise en relation et sur la mise en forme des solutions. Pour cette page, les problèmes relèvent du champ additif et leur résolution sollicite des connaissances établies au CE1 ou au CE2. Manuel p. 21 Ateliers UNITÉ 1 Je réso us à mon ryth me ou problèmes A 1 Résous ces problèmes. N’oublie pas d’écrire la phrase réponse. avec Un autobus arrive à l’arrêt Victor Hugo 35 passagers. À cet arrêt, 10 passagers descendent et 15 nouveaux passagers montent dans l’autobus ? Avec combien de passagers, l’autobus quitte-t-il l’arrêt Victor Hugo ? 2 Karima doit marcher pendant 20 minutes pour aller à l’école. elle À quelle heure doit-elle partir de chez pour arriver à 8 h 30 à l’école ? 3 Depuis hier la température a baissé de 12 °C. Aujourd’hui le thermomètre affiche 20 °C. Quelle température le thermomètre affichait-il hier ? 4 Maëva a 15 ans. Elle a 7 ans de plus que Léo mais 3 ans de moins que Camille. a. Quel est l’âge de Léo ? b. Quel est l’âge de Camille ? 5 Yanis a eu 21 ans en 2019. ? Quelle est son année de naissance 6 Sur ce ticket de caisse, le prix de la Napolitaine a été effacé. Retrouve -le. ★ pizza B 1 ★ , Écris des questions pour ce problème puis réponds à ces questions. en Une course de demi-fond se déroule faisant 2 tours d’une piste de 400 mètres. Après 2 minutes de course, Aya a parcouru 180 mètres. Milo. Elle a parcouru 15 mètres de plus que 3 1 ★ Pour ces problèmes, tu peux utiliser une calculatrice. À la fin de l’année 2016, la ville de Chamonix comptait 8 759 habitants. Au cours de cette même Chamonix année, la ville a enregistré 107 naissances et 70 décès. Quelle était la population ? de Chamonix au début de l’année 2016 5 rois de France se sont succédé 2 XIV. ★★ de Henri IV à Louis Voici les dates de leurs règnes. 1610 1643 Louis XVI Louis XV Louis XIV Louis XIII Henri IV 1589 1715 1774 1792 a. Quelle a été la durée du règne de Louis XIV ? s? b. Quel roi a régné le plus longtemp s? c. Quel roi a régné le moins longtemp IV. d. Henri III a été roi juste avant Henri ans. 15 pendant Il a régné ? débuté a-t-il règle son À quelle date e. Clovis a été le premier roi des Francs. Il s’est écoulé 1 311 ans entre le début du règne de Clovis et la fin du règne de Louis XVI. roi ? En quelle année Clovis est-il devenu vingt-et-un • 21 23/01/2020 18:38 006-022-Unite 1.indd 21 B A 1 Situation d'augmentation et de diminution Recherche de l'état final Réponse : 40 passagers 2 Situation d'augmentation dans le cadre des durées Recherche de l'état initial Réponse : 8 h 10 ★ 1 Questions éventuelles : – Quelle distance Aya doit-elle encore parcourir pour terminer un tour ? pour terminer la course ? Réponses : 220 m, 620 m – Quelle distance Milo a-t-il parcourue ? Réponse : 165 m 3 Situation de diminution – Quelle distance Milo doit-il encore parcourir pour terminer un tour ? pour terminer la course ? Recherche de l'état initial Réponses : 235 m, 635 m Réponse : 32° 4 Situation de comparaison C Recherche d'un des 2 états Réponses : a. Léo : 8 ans b. Camille : 18 ans ★ 5 Situation d'augmentation dans le cadre des durées Recherche de l'état initial Recherche de l'état initial Réponse : 1998 ★ 6 Situation de composition d'états Recherche d'un total et d'un des états Réponse : 12 € 68 1 Situation d'augmentation et de diminution Réponse : 8 722 habitants ★★ 2 Situations d'augmentation dans le cadre des durées et situations de comparaison Recherche d'une valeur d'augmentation (a.), d'un état initial (d. et e.) et comparaison de nombres (b. et c.) Réponses : a. 72 ans b. Louis XIV c. Louis XVI d. 1574 e. 481 UNITÉ 1 Les maths dans la vie La monnaie en euros Ces problèmes sont axés sur la monnaie d’usage courant (centimes et pièces et billets de 1 à 10 €). Quelques connaissances préalables sont nécessaires et peuvent faire l’objet d’une mise au point collective, notamment : – identification des différentes catégories de pièces et de billets (des exemplaires réels ou fictifs peuvent être utilisés ➞ fiche 1 hatier-clic.fr/CM1capg0101 ) ; – égalité 1 euro = 100 centimes, la plupart des problèmes nécessitant des conversions euros / centimes ; Les élèves n'ayant pas encore étudié les nombres décimaux, les sommes sont exprimées en euros et centimes. Manuel p. 22 Les maths dans la vie La monnaie en euros Finlande Suède Estonie Lettonie Danemark Irlande RoyaumePays-Bas Uni BelgiqueAllemagne Luxembourg France Lituanie Pologne Rép. tchèque Slovaquie Autriche Hongrie Roumanie Slovénie Italie Croatie Bulgarie Portugal Grèce Espagne Chypre Malte Pays dans l’Union européenne en 2019 Pays dans la zone euro en 2019 N’oublie pas que 1 euro = 100 centimes, 1 Combien de pays de l’Union européenne ne sont pas dans la zone euro ? 2 Léo veut échanger une pièce de 2 € contre des pièces de 50 c. Combien recevra-t-il de pièces ? 3 Quelle somme d’argent Tom possède-t-il ? 4 Quel enfant a le plus d’argent ? Combien a-t-il de plus que l’autre ? Quelles pièces Milo doit-il donner pour payer les chocolats ? 6 Pour un malabar et un croissant, Francesca a payé 1 € 20 c. Pour deux croissants, Camille a payé 1 € 80 c. Combien coute un malabar ? ★ 8 de 20 centimes et de 50 centimes. Au total Aki a 5 euros. Combien Aki a-t-il de pièces de chaque sorte ? 22 • neuf 2 objectif : – Connaitre et utiliser l'égalité 1 € = 100 c 006-022-Unite 1.indd 22 23/01/2020 18:38 Réponse : 4 pièces Trois stratégies sont possibles, appuyées éventuellement par le recours à des dessins des pièces : – essayer des nombres de pièces, en ajustant pour obtenir 8 € ; – procéder par essais systématiques (1 pièce de chaque sorte, 2 pièces de chaque sorte, 3 pièces de chaque sorte…) – remarquer que, pour un ensemble contenant une pièce de chaque sorte, on a 80 centimes et chercher combien on a de fois 80 dans 800. Une erreur peut être due au non-respect de la contrainte « autant de pièces de chaque sorte ». Contrairement aux deux autres, la 1re stratégie ne garantit pas l'unicité de la réponse. 4 objectifs : – Connaitre et utiliser l'égalité 1 € = 100 c – Utiliser l'addition ou la multiplication pour calculer une somme – Calculer une différence Réponses : 3 140 c ou 1 € 40 c 4 Romy : 1 € 56 c ou 156 c et Aya : 3 € 60 c ou 360 c Aya a 2 € 4 c ou 204 c de plus que Romy. 5 objectif : – Décomposer une somme d'argent à l'aide de pièces disponibles – Résoudre un problème à étapes – Résoudre des problèmes du domaine du domaine additif (complément) et du domaine multiplicatif (valeur d'une part) Réponse : 30 c La difficulté consiste à déterminer les étapes de la résolution : recherche du prix d’un croissant (90 c, moitié de 180 c), puis celui du malabar (30 c). ★★ 7 objectifs : – Résoudre un problème de recherche par essais ou par déduction – Résoudre des problèmes du domaine multiplicatif (total, nombre de parts) et du domaine additif (total, complément) Réponse : 10 pièces de chaque sorte Dans sa tirelire, Aki a 13 pièces ★★ de monnaie. Il n’a que des pièces Réponse : 8 pays (Bulgarie, Danemark, Hongrie, Pologne, République tchèque, Roumanie, Royaume-Uni et Suède) 6 objectifs : Dans la tirelire de José, il n’y a que des centimes et de 50 centimes. Il y a autant de pièces de chaque sorte. Au total José a 8 euros. Combien José a-t-il de pièces de chaque sorte ? ★★ pièces de 10 centimes, de 20 – Prendre l'information sur une carte ★ ce qui en abrégé s’écrit 1 € = 100 c. 5 7 Réponse : 3 pièces de 1 €, 3 pièces de 50 c, 2 pièces de 20 c et 1 pièce de 10 c hatier-clic.fr/CM1cap101 Avant le 1er janvier 2002, chaque pays de l’Union européenne avait sa monnaie : le franc en France, la lire en Italie, la peseta en Espagne, le Deutsche Mark en Allemagne, etc. Depuis cette date, plusieurs pays ont la même monnaie, l’euro (dont le symbole est €). 1 objectif : 3 Vidéo Pourquoi l’euro ? En différenciation, le même problème peut être proposé avec un total de 4 € ou de 12 €. ★★ 8 objectifs : – Résoudre un problème de recherche par essais ou par déduction – Résoudre des problèmes du domaine multiplicatif (total, nombre de parts) et du domaine additif (total, complément) Réponse : 8 pièces de 50 c et 5 pièces de 20 c Il faut d’abord convertir 5 euros en 500 centimes (on peut y inciter les élèves). Ensuite, les élèves peuvent procéder par essais plus ou moins organisés d’addition de 20 et de 50 ou de produits par 20 et 50, avec totalisation et ajustements, ou par un inventaire des possibilités pour les deux types de pièces en décomposant 13 en somme de 2 nombres. Une des difficultés sera sans doute liée au non-respect simultané des deux contraintes : total de 13 pièces et total de 500 centimes. Les élèves peuvent aussi ne pas être convaincus qu’il n’existe qu’une seule réponse, d'autant plus que la stratégie par essais ne la garantit pas, contrairement à la stratégie par inventaire. 69 UNITÉ 1 UNITÉ Toutes les ressources imprimables de l'unité : hatier-clic.fr/CM1capg02 Le DÉROULEMENT 2 LE CALCUL MENTAL Les 10 rituels de 15 minutes Problèmes guide p. 72 manuel p. 23 Nombres Lecture – écriture Champ additif n Complément (rendre la monnaie) n Comparaison Champ multiplicatif n Valeur totale de parts identiques, nombre de parts identiques, valeur d’une part n Mémorisation et réflexion Calcul réfléchi : addition, soustraction Nombres <10 000 n Ajout, retrait unités, dizaines, centaines, 9, 19 Tables de multiplication n Ateliers de calcul mental Produits, facteurs d’un produit guide p. 101 manuel p. 36 Trouver les cartes / Les mini-tables La multiplication Les RÉVISIONS et APPRENTISSAGES RÉVISER APPRENDRE Apprentissage et entrainement guide p. 73 manuel p. 24 Problèmes Gestion de données guide p. 76 manuel p. 26 Problèmes : champ additif – Total, double, comparaison ex. 1 et 2 guide p. 74 manuel p. 24 – Unités de numération – Décompositions – Écriture en chiffres et en lettres – Ligne graduée – Planification de la résolution guide p. 79 et 81 manuel p. 28 et 30 Nombres jusqu’à 9 999 Nombres et numération Problèmes : résolution par étapes La promenade en bateau-mouche Moitié, quart, tiers – Fractions simples La bande découpée Des bandes à mesurer ex. 3 à 8 – Fraction d’une longueur, d’une quantité, d’une durée (utilisation des expressions verbales) – Utilisation des écritures fractionnaires pour exprimer la mesure d’une longueur (avec une unité donnée) guide p. 74 manuel p. 25 Calcul de sommes et de différences ex. 9 et 10 Calculs guide p. 85 manuel p. 32 Multiplication : calcul réfléchi Le calcul malin – Distributivité, associativité – Calcul mental ou en ligne guide p. 74 manuel p. 25 Grandeurs et mesures guide p. 90 cahier p. 11 Lecture de l’heure – Heures, minutes et secondes – Suites d’horaires Des surfaces de même aire ex. 11 à 15 Les papiers à motifs – Notion d’aire guide p. 75 cahier p. 10 Espace et géométrie Construire des carrés, des rectangles, des triangles rectangles ex. 1 à 3 guide p. 93 cahier p. 13 Angles Des parts de tartes – Comparer et reporter des angles Géométrie sur écran GéoTortue (2) : Saisir des instructions BILAN PROBLÈMES 70 Je prépare mon bilan Je fais le bilan manuel p. 34 cahier p. 15 manuel p. 35 cahier p. 15 Ateliers : Je résous à mon rythme n hatier-clic.fr/CM1capgecran02 Problèmes du domaine multiplicatif manuel p. 37 Les maths dans la vie n Histoire de chocolat manuel p. 38 ZOOM sur les APPRENTISSAGES PROBLÈMES PROPOSÉS Problèmes • Déterminer des étapes pour la résolution • Planifier la résolution d'un problème : détermination des étapes et résolution apprentissage 1 PROBLÈMES PROPOSÉS Nombres Fractions simples • Exprimer des longueurs avec une unité (nécessite de fractionner l’unité) apprentissages 2 et 3 PROBLÈMES PROPOSÉS Calculs Multiplication Calcul réfléchi • Calculer des produits sans poser d'opération en colonnes apprentissage 4 PROBLÈMES PROPOSÉS Grandeurs et mesures Aires • Comparer des surfaces selon leur aire apprentissage 5 PROBLÈMES PROPOSÉS Espace et géométrie Angles • Comparer des angles • Reporter un angle propriétés • Le dénominateur exprime le partage d’unités en parts égales et le numérateur exprime le nombre de parts reportées propriétés • Pour la multiplication : associativité, distributivité sur l'addition, commutativité (les termes ne sont pas utilisés) propriétés • Deux surfaces ont même aire si elles sont superposables après découpage et recollement résultats et procédures • Un angle se caractérise par l’ouverture de ses deux côtés, pas par leurs longueurs UNITÉ • Mesurer des segments • Langage verbal : avec une unité donnée fraction, demi, quart, pour exprimer leur tiers, numérateur, mesure à l'aide d'une dénominateur fraction • Langage symbolique : • Reconnaitre des écriture fractionnaire égalités entre • Langage imagé : expressions bandes pliées en 2, 3 fractionnaires ou 4 parts égales résultats et procédures • Multiplier un nombre par 10, 100… 20, 200… • Calculer un produit en décomposant un des facteurs langage • Langage verbal : fois, multiplié par • Langage symbolique : arbres, parenthèses • Langage imagé : schémas rectangulaires résultats et procédures • Utiliser le découpage et le recollement (réels ou mentaux) pour comparer les aires de 2 surfaces • Des surfaces de formes différentes peuvent avoir la même aire propriétés langage résultats et procédures langage • Aire • Surfaces de même aire • Surface d'aire plus grande ou plus petite que celle d'une autre surface langage • Comparer deux • Angle, sommet, côté angles : perceptivement • Angles égaux et avec un calque • Angle droit, angle • Reporter un angle aigu, angle obtus à l’aide d’un calque apprentissage 6 71 2 UNITÉ 2 Rituels de calcul mental Les questions du guide sont proposées oralement aux élèves qui répondent par écrit dans leur cahier. Des questions similaires, avec d’autres données, sont proposées dans le manuel (Mes rituels de calcul mental p. 23). Elles peuvent être utilisées en vue de préparer les moments collectifs ou en vue d’un entrainement supplémentaire. Problèmes Domaines additif et multiplicatif Formuler deux fois chaque énoncé. ● À l’issue de la résolution de chaque problème ou de l’ensemble des problèmes, exploiter les réponses des élèves : repérage des erreurs de calcul, formulation des procédures en montrant leur équivalence… ● Jour 1 Domaine additif Complément a. Ludo achète un journal à 75 centimes. Il donne une pièce de 1 €. Combien le marchand doit-il lui rendre ? b. Sylvain achète un bonbon à 50 centimes. Il paie avec une pièce de 1 €. Combien le marchand doit-il lui rendre ? c. Zoé achète un stylo à 1 € 10 centimes. Elle paie avec une pièce de 2 €. Combien le marchand doit-il lui rendre ? GUIDE : a. 25 c b. 50 c c. 90 c MANUEL : a. 5 c b. 75 c c. 55 c Jour 2 Domaine additif Comparaison a. Dans la bibliothèque de Cécile, il y a 30 livres. Il y en a 6 de plus que dans celle de Lisa. Combien y a-t-il de livres dans la bibliothèque de Lisa ? b. Samuel a 30 livres dans sa bibliothèque. Vincent en a 45. Combien Vincent a-t-il de livres de plus que Samuel ? c. Le mardi, un libraire vend 80 livres. C’est 20 de moins que le lundi. Combien a-t-il vendu de livres le lundi ? GUIDE : a. 24 livres b. 15 livres c. 100 livres MANUEL : a. 20 livres b. 5 livres c. 80 livres Jour 3 Domaine multiplicatif Valeur totale, nombre de parts, valeur d’une part a. Une bande dessinée coute 5 €. Quel est le prix de 6 bandes dessinées ? b. Une autre bande dessinée coute 6 €. Yann a dépensé 18 €. Combien Yann a-t-il acheté de bandes dessinées ? c. Nora a acheté 7 mangas d’occasion qui valent tous le même prix. Elle a dépensé 28 €. Quel est le prix d’un manga ? GUIDE : a. 30 € b. 3 BD c. 4 € MANUEL : a. 30 € b. 4 romans c. 5 € Dictée de nombres Nombres < 10 000 Le contrôle peut être fait après chaque nombre dicté. En cas de difficultés, proposer des activités supplémentaires portant sur la lecture de nombres de 2 ou 3 chiffres. 72 Jour 4 Nombres dictés a. 1 000 b. 3 070 c. 1 050 f. 2 005 g. 2 550 h. 2 055 MANUEL : a. 6 060 b. 4 700 d. 2 500 i. 2 555 c. 1 093 Jour 5 Nombres dictés a. 4 700 b. 7 090 c. 7 009 f. 8 608 g. 1 011 h. 1 097 e. 2 050 j. 4 080 d. 2 220 d. 8 535 i. 7 000 e. 1 175 e. 5 065 j. 4 999 MANUEL : a. 1 700 b. 8 070 c. 1 015 d. 2 002 e. 1 192 Calcul réfléchi Addition, soustraction (centaines, dizaines, unités, 9, 11, 19…) Jour 6 Calculs dictés a. 88 + 1 b. 88 + 10 d. 207 + 1 e. 207 + 10 g. 389 + 1 h. 389 + 10 c. 88 + 100 f. 207 + 100 i. 389 + 100 a. 89 b. 98 c. 188 d. 208 e. 217 f. 307 g. 390 h. 399 i. 489 MANUEL : a. 176 b. 275 c. 185 d. 300 e. 399 f. 309 GUIDE : Jour 7 Calculs dictés a. 400 + 50 b. 700 + 8 e. 253 — 50 f. 253 —100 c. 300 + 500 g. 480 + 20 d. 253 – 3 h. 480 — 2 a. 450 b. 708 c. 800 d. 250 e. 203 f. 153 g. 500 h. 478 MANUEL : a. 270 b. 207 c. 900 d. 103 e. 160 f. 63 GUIDE : Jour 8 Calculs dictés a. 85 + 9 b. 31 + 19 e. 46 — 9 f. 43 — 19 c. 60 + 11 g. 50 — 11 d. 18 + 12 h. 40 — 12 GUIDE : a. 94 b. 50 c. 71 d. 30 e. 37 f. 24 g. 39 h. 28 MANUEL : a. 86 b. 60 c. 81 d. 70 e. 68 f. 22 g. 59 h. 46 Les séries des jours 6 et 7 devraient donner lieu à des réponses rapides. Les calculs de la série 8 nécessitent davantage de réflexion et le nombre de questions posées peut donc être réduit pour laisser du temps pour la recherche, puis pour l’exploitation des réponses, en mettant en évidence différentes procédures et, surtout, les propriétés sur lesquelles elles s’appuient. Par exemple : ● 85 + 9 peut être calculé par : – décomposition de 85 selon la numération décimale : 85 + 9 = 80 + 5 + 9 = 80 + 14 – décomposition de 9 en 10 – 1 : 85 + 9 = 85 + (10 – 1) = (85 + 10) – 1 – décomposition de 9 en 5 + 4, permettant un passage par la dizaine supérieure : 85 + 5 + 4 = 90 + 4 ● 43 – 19 peut être calculé par : – décomposition de 19 selon la numération décimale et soustraction successive des termes de 10 et 9 : 43 – 19 = 43 – (10 + 9) = (43 – 10) – 9 = 33 – 9 – décomposition de 19 en 20 – 1 et soustraction de 20, puis ajout de 1 (puisqu’on a soustrait 1 « de trop ») : 43 – 19 = 49 – (20 – 1) = (43 – 20) + 1 = 23 + 1 – ajout simultané de 1 aux deux termes de la différence (propriété étudiée en unité 1) : 43 – 19 = (43 + 1) – (19 + 1) = 44 – 20 – recherche de ce qu’il faut ajouter à 19 pour obtenir 43 (pour aller de 19 à 43). L’explicitation des calculs à l’aide de parenthèses est utilisée, mais sans formaliser des règles de déplacement de ces parenthèses. Il est préférable de justifier les calculs par des arguments du type : si pour soustraire 19, on commence par soustraire 20, on a soustrait 1 de trop qu’il faut donc rajouter. Ce raisonnement peut être illustré avec les cubes ou à l’aide d’une droite numérique. Tables de multiplication Produits, facteurs Au CM1, les élèves devraient être maintenant capables de répondre rapidement à ces types de questions. Pour ceux qui auraient des difficultés, des activités d’entrainement spécifiques doivent être proposées. Jour 9 Calculs dictés 8×5 b. 7 × 4 c. 9 × 5 d. 4 × 9 Quel nombre multiplié par 3 donne 15 ? Quel nombre multiplié par 7 donne 35 ? Combien de fois 5 dans 30 ? Combien de fois 4 dans 36 ? Combien de fois 3 dans 21 ? r e. 7 × 7 Dicter 8 × 5 sous la forme « 8 fois 5 ». La lecture des écritures multiplicatives n’est pas standardisée : 8 × 5 est parfois lu « 8 fois 5 » et parfois « 5 fois 8 ». Nous avons choisi la première de ces lectures, mais la seconde est également possible. La lecture « 8 multiplié par 5 » est, elle, standardisée. Elle peut également être utilisée, mais, plus complexe, elle rend plus difficile la mémorisation des tables. Dans tous les cas, il faut insister sur le fait que « 8 fois 5 » est égal à « 5 fois 8 ». a. 40 b. 28 c. 45 d. 36 e. 49 f. 5 g. 5 h. 6 i. 9 j. 7 MANUEL : a. 24 b. 24 c. 30 d. 45 e. 7 f. 7 g. 4 h. 8 GUIDE : Jour 10 Calculs dictés a. 9 × 4 b. 8 × 6 c. 6 × 6 d. 4 × 8 Quel nombre multiplié par 6 donne 42 ? Quel nombre multiplié par 7 donne 28 ? Combien de fois 5 dans 25 ? Combien de fois 8 dans 64 ? Combien de fois 8 dans 16 ? UNITÉ 2 e. 8 × 7 a. 36 b. 48 c. 36 d. 32 e. 56 f. 7 g. 4 h. 5 i. 8 j. 2 MANUEL : a. 63 b. 64 c. 36 d. 72 e. 9 f. 3 g. 3 h. 7 GUIDE : Voir aussi Ateliers de calcul mental (p. 36). Révisions Ces exercices de révision sont destinés à raviver des connaissances et des compétences travaillées au CE2, dans l’unité précédente ou à entretenir celles qui sont travaillées dans cette unité. Ils sont à proposer aux élèves en fonction de leurs besoins particuliers identifiés lors des activités d’apprentissage ou au moment des bilans, en classe entière ou en ateliers différenciés et, éventuellement préparés à la maison. Ils sont conçus pour une durée quotidienne d’environ 15 min. Manuel p. 24-25 Exercice 2 : résolution par schématisation et raisonnement 25 km UNITÉ Problèmes Essais, raisonnement Je révise 2 – Résolution par essais raisonnés PROBLÈMES 6 Range ces nombres du plus petit 1 Aya veut ranger ses 24 billes dans deux boites, une jaune et une bleue. Le nombre de billes dans la boite jaune doit être le double du nombre de billes dans la boite bleue. Combien doit-elle mettre de billes dans chaque boite ? au plus grand, puis écris-les en chiffres. a. trois-mille-quatre-vingt-seize b. six-mille-trois-cents c. mille-soixante-dix d. deux-mille e. six-mille-quatre-vingt-douze f. six-mille-six-cent-six 2 Romy a fait une randonnée à vélo de 25 km. Le matin, elle a parcouru 13 km de plus que l’après-midi. Combien de km a-t-elle parcourus le matin ? Combien en a-t-elle parcourus l’après-midi ? ➜ Pour les exercices 7 et 8, les craies sont vendues par étuis de 10 craies, par boites contenant 100 craies ou par cartons contenant 1 000 craies. carton NOMBRES JUSQU’À 9 999 3 Écris chaque nombre en chiffres et en lettres. a. 4 milliers et 3 dizaines b. 4 milliers et 13 dizaines c. 5 milliers, 3 centaines, 20 unités d. 24 centaines et 6 dizaines e. (45 × 100) + 8 f. (3 × 1 000) + (19 × 10) + 5 EXERCICES 1 2 étui boite La résolution de ces 2 problèmes nécessite seulement des compétences en calcul mental. ● Ils peuvent être résolus par essais et ajustements ou à l’aide d’un raisonnement, en s’appuyant sur une schématisation. ● 4 Complète avec les mots millier, centaine, dizaine, unité. Tu peux les écrire au pluriel. a. 6 084 = 60 ... + 84 ... b. 6 084 = 608 ... + 4 ... c. 6 084 = 6 ... + 8 ... + 4 ... d. 7 009 = 700 ... + 9 ... e. 7 009 = 699 ... + 19 ... f. 7 009 = 69 ... + 10 ... + 9 ... 5 matin ® Ces exercices de reprise d’apprentissage sont à répartir sur l’unité. Range ces nombres du plus petit au plus grand, puis écris-les en lettres. 3 974 4 023 2 080 3 790 24 • vingt-quatre 978 7 Combien y a-t-il de craies : a. dans 4 boites ? b. dans 3 cartons ? c. dans 5 boites et 3 étuis ? d. dans 5 cartons et 8 étuis ? e. dans 23 boites ? f. dans 12 boites et 2 étuis ? g. dans 20 boites et 20 étuis ? 8 Pour chacune des questions, trouve deux réponses différentes. Combien faut-il acheter de cartons, de boites et d’étuis pour avoir : a. 100 craies ? b. 130 craies ? c. 600 craies ? d. 340 craies ? e. 1 300 craies ? f. 2 480 craies ? 13 km après-midi après-midi après-midi Si on soustrait 13 km au parcours total (matin et aprèsmidi), on obtient 2 fois le parcours de l'après-midi. 25 km – 13 km = 12 km. Le parcours de l'après-midi est donc de 6 km. Ce raisonnement est plus difficile à comprendre que la résolution par essais et ajustements pour beaucoup d'élèves. Réponses : 1 16 billes dans la boite jaune, 8 billes dans la boite bleue 2 19 km le matin et 6 km l'après-midi 73 UNITÉet une bleue. Le nombre de Je révise 2 b. six-mille-trois-cents c. mille-soixante-dix ® Ces exercices de reprise d’apprentissage d. deux-mille sont à répartir sur l’unité. e. six-mille-quatre-vingt-douze f. six-mille-six-cent-six billes dans la boite jaune doit être le double du nombre de billes dans la boite bleue. Combien doit-elle mettre de billes dans chaque boite ? PROBLÈMES 2 Romy a fait une randonnée à vélo de 25 km. 1 Aya veut ranger ses 24 billes Le matin, elle a parcouru 13 km de plus que dans deux boites, une jaune l’après-midi. et une bleue. Le nombre de Combien de km a-t-elle parcourus billes dans la boite jaune doit être le double le matin ? Combien en a-t-elle parcourus du nombre de billes dans la boite bleue. l’après-midi ? Combien doit-elle mettre de billes dans chaque boite ? 6 Range ces nombres du plus petit au plus grand, puis écris-les en chiffres. ➜ Pour les exercices 7 et 8, les craies a. trois-mille-quatre-vingt-seize sont vendues par étuis de 10 craies, b. six-mille-trois-cents par boites contenant 100 craies ou c. mille-soixante-dix par cartons contenant 1 000 craies. d. deux-mille e. six-mille-quatre-vingt-douze f. six-mille-six-cent-six Nombres jusqu’à 9 999 NOMBRES JUSQU’À 9 999 2 Romy a fait une randonnée à vélo de 25 km. 3 Écris chaqueelle nombre en chiffres Le matin, a parcouru 13 km de plus que et l’après-midi. en lettres. a. Combien 4 milliers de et 3km dizaines a-t-elle parcourus b. le 4 matin milliers? et 13 dizaines Combien en a-t-elle parcourus c. l’après-midi 5 milliers, 3 centaines, 20 unités ? d. 24 centaines et 6 dizaines e. (45 × 100) + 8 NOMBRES f. (3 × 1 JUSQU’À 000) + (199×999 10) + 5 carton 5 – Décomposition en unités de numération – Comparaison et rangement – Écriture en chiffres et en lettres ➜ Pour les exercices 7 et 8, les craies sont vendues par étuis de 10 craies, boite ou parétui boites contenant 100 craies par cartons contenant 1 000 craies. 7 Écris chaque nombre chiffres 4 3 Complète avec les motsen millier, centaine, et en lettres. dizaine, unité. Tu peux les écrire au pluriel. 4 milliers et +3 84 dizaines a. a. 6 084 = 60 ... ... 4 milliers b. b. 6 084 = 608et...13 + 4dizaines ... 5 milliers, c. c. 6 084 = 6 ... 3+ centaines, 8 ... + 4 ... 20 unités 24 centaines d. d. 7 009 = 700 ... +et96...dizaines (45 ×= 100) + 8+ 19 ... e. e. 7 009 699 ... (3 × =1 69 000) × 10) f. f.7 009 ... + (19 10 ... + 9 +...5 Combien y a-t-il de craies : a. dans 4 boites ? carton b. dans 3 cartons ? c. dans 5 boites et 3 étuis ? d. dans 5 cartons et 8 étuis ? e. dans 23 boites ? f. dans 12étui boites et 2 étuis ? g. dans 20 boites et 20 étuis ? boite 7 Combien y a-t-il de craies : 8 Pour chacune des questions, trouve 4 Complète avec les mots millier, centaine, Range ces nombres du plus petit au plus dizaine, unité. Tu peux les écrire au pluriel. grand, puis écris-les en lettres. a. 6 084 = 60 ... + 84 ... b. 6 084 = 608 ... + 4 ... c. 6 084 = 6 ... + 83 ... + 4 ... 4 023 974 d. 7 009 = 700 ... + 9 ... e. 7 009 = 699 ... + 2 19080 ... 978 ® Ces exercices de reprise d’apprentissage f. 7 009 =sont 69à...répartir + 10sur...l’unité. + 9 ... 3 790 5 Range ces nombres du plus petit au plus grand, puis écris-les en lettres. Range ces nombres du plus petit 24 6• vingt-quatre au plus grand, puis écris-les en chiffres. a. trois-mille-quatre-vingt-seize 3 974 4 023 b. six-mille-trois-cents 023-038-Unite 2.indd 24 c. mille-soixante-dix 2 080 978 d. deux-mille 3 790 e. six-mille-quatre-vingt-douze a. dans 4 boites ? deux réponses différentes. b. dans 3 cartons ? Combien faut-il acheter de cartons, c. dans 5 boites et 3 étuis ? de boites et d’étuis pour avoir : d. dans 5 cartons et 8 étuis ? a. 100 craies ? e. dans 23 boites ? b. 130 craies ? f. dans 12 boites et 2 étuis ? c. 600 craies ? g. dans 20 boites et 20 étuis ? d. 340 craies ? e. 1 300 craies ? 8 Pour chacune des questions, trouve f. 2 480 craies ? deux réponses différentes. Combien faut-il acheter de cartons, de boites et d’étuis pour avoir : a. 100 craies ? b. 130 craies ? c. 600 craies ? d. 340 craies ? e. 1 300 craies ? f. 2 480 craies ? ➜ Pour les exercices 7 et 8, les craies sont vendues par étuis de 10 craies, boites contenant 100 craies ou 023-038-Unite 2.indd par 24 par cartons contenant 1 000 craies. carton 7 millier, centaine, . Tu peux les écrire au pluriel. + 84 ... + 4 ... + 8 ... + 4 ... + 9 ... + 19 ... + 10 ... + 9 ... 3 974 4 023 2 080 3 790 978 Pour l'exercice 8, lors de la correction, mettre en évidence qu'il y a, à chaque fois, de nombreuses réponses possibles correspondant à différentes décompositions des nombres en unités de umération. Par exemple pour 340 craies : 3 boites et 4 étuis ; 2 boites et 14 étuis ; 1 boite et 24 étuis ; 34 étuis. 23/01/2020 18:40 Lors de la correction, rappeler les équivalences à connaitre : 1 dizaine = 10 unités 1 centaine = 10 dizaines = 100 unités 1 millier = 10 centaines = 100 dizaines = 1 000 unités ● Dans l'exercice 3, les expressions du type (45 × 100) + 8, peuvent donner lieu à un calcul ou être interprétées comme 45 centaines et 8 unités. ● Le recours au matériel de numération permet d'illustrer les procédures utilisables, éventuellement en les traduisant dans le tableau de numération. boite étui +8 + (19 × 10) + 5 4 Combien y a-t-il de craies : a. dans 4 boites ? b. dans 3 cartons ? c. dans 5 boites et 3 étuis ? d. dans 5 cartons et 8 étuis ? e. dans 23 boites ? f. dans 12 boites et 2 étuis ? g. dans 20 boites et 20 étuis ? 8 Pour chacune des questions, trouve deux réponses différentes. Combien faut-il acheter de cartons, de boites et d’étuis pour avoir : a. 100 craies ? b. 130 craies ? c. 600 craies ? d. 340 craies ? e. 1 300 craies ? f. 2 480 craies ? Les erreurs, pour 24 centaines et 6 dizaines, peuvent être du type : – « 246 » : l’élève a écrit 24, puis 6 sans tenir compte des unités de numération ; – « 240060 » : l’élève a multiplié 24 par 100 et 6 par 10 et concaténé les 2 résultats au lieu de les additionner. Le matériel de numération doit permettre une prise de conscience des erreurs. 23/01/2020 18:40 Réponses : 3 a. 4 030 ! quatre-mille-trente b. 4 130 ! quatre-mille-cent-trente c. 5 320 ! cinq-mille-trois-cent-vingt d. 2 460 ! deux-mille-quatre-cent-soixante e. 4 508 ! quatre-mille-cinq-cent-huit f. 3 195 ! trois-mille-cent-quatre-vingt-quinze 4 a. 60 centaines + 84 unités b. 608 dizaines + 4 unités c. 6 milliers + 8 dizaines + 4 unités d. 700 dizaines + 9 unités e. 699 dizaines + 19 unités f. 69 centaines + 10 dizaines + 9 unités 8 Lors de la correction, mettre en évidence que, si des calculs sont possibles, les réponses peuvent aussi être obtenues directement en tenant compte de la valeur des chiffres ou groupes de chiffres (en recourant éventuellement au tableau de numération). Réponses : 24 • vingt-quatre ● EXERCICES 7 23/01/2020 18:40 f. six-mille-six-cent-six EXERCICES 3 6 mille-soixante-dix < deux-mille < trois-mille-quatrevingt-seize < six-mille-quatre-vingt-douze < six-milletrois-cents < six-mille-six-cent-six 1 070 < 2 000 < 3 096 < 6 092 < 6 300 < 6 606 Décomposition, rangement 7 a. 400 craies b. 3 000 craies c. 530 craies d. 5 080 craies e. 2 300 craies f. 1 220 craies g. 2 200 craies 8 Exemples : a. 1 boite ou 10 étuis b.1 boites et 3 étuis ou 13 étuis c. 6 boites ou 60 étuis d. 3 boites et 4 étuis ou 34 étuis e. 13 boites ou 1 carton et 3 boites f. 24 boites et 8 étuis ou 248 étuis Calcul de sommes et de différences Calcul réfléchi et calcul posé CALCUL DE SOMMES ET DE DIFFÉRENCES 9 Calcule avec la méthode de ton choix (la calculatrice est interdite). a. 702 − 198 b. 4 206 − 548 c. 1 258 − 259 d. 8 003 − 990 LECTURE DE L’HEURE 11 Écris l’heure affichée par chaque horloge en heures, minutes et secondes. 9b. C’est10 a. C’est l’après-midi. le matin. EXERCICES c. C’est le matin. d. C’est le soir. Lors de la correction, faire repérer aux élèves les calculs qui auraient pu être faits mentalement, comme par exemple : Exercice 9 a. 498 + 502 = 498 + 2 + 500 = 500 + 500 = 1 000. c. 3 025 + 475 + 1 500 = 3 500 + 1 500 = 5 000. Exercice 10 a. 702 – 198 = 704 – 200 = 504. d. 8 003 – 990 = 8 013 – 1 000 = 7 013. ● 12 Une horloge à aiguilles indique 4 h 25 min. Vers quel nombre du cadran est pointée la grande aiguille ? 13 Une horloge à aiguilles indique 9 h 15 min 30 s. a. Vers quel nombre du cadran est pointée la trotteuse ? b. Où se situe la grande aiguille ? 14 Complète en dessinant les aiguilles. Utilise ta fiche. a. Il est 22 heures. b. Il est 4 heures 20 minutes. c. Il est 10 heures moins 5 minutes. D’autres stratégies de calcul ont été exposées p. 72-73. d. Il est 3 heures e. Il est 19 heures f. Il est 2 heures 9 a. 145000 30 minutes:15 secondes. minutes. Réponses b. 6 56445 secondes. c. 5 000 d. 9 936 CALCUL DE SOMMES ET DE DIFFÉRENCES 15 Trouve la règle et complète les suites d’horaires. 9 • Calcule la méthode demin ton 40 choix Calcule avec de ton choix d. 7 013 1050 8 h 10avec min 30 s ➜ 8 h 10 s➜ 8 h 10 min s➜ …658 ➜ … la méthode 10 a. 504 b. 3 c. 999 (la3calculatrice • h 25 min ➜est 3 hinterdite). 25 min 30 s ➜ 3 h 26 min ➜ … ➜(la … calculatrice est interdite). a. 9498 + 502 702 • h 59 min 15 s ➜ 9 h 59 min 30 s ➜ 9 h 59 min 45 a. s➜ … −➜198 … b. 789 + 2 568 + 3 207 b. 4 206 − 548 c. 3 025 + 475 + 1 500 c. 1 258 − 259 d. 8 987 + 93 + 856 d. 8 003 − 990 Lecture de l'heure • 25 En heures, minutes et secondes vingt-cinq 23/01/2020 18:40 023-038-Unite 2.indd 25 LECTURE DE L’HEURE EXERCICES 5 6 Lors de la correction, mettre à nouveau en évidence que : – si la longueur de l’écriture peut être utilisée dans le cas des écritures chiffrées, ce n’est pas possible pour les écritures en lettres ; – pour les écritures en lettres, on peut soit passer par les écritures en chiffres, soit répondre directement en regardant ici seulement le nombre de milliers de chaque expression (il faudrait regarder le nombre de centaines si des expressions avaient le même nombre de milliers). – Calcul en ligne et calcul posé en colonnes 10 Calcule avec la méthode de ton choix (la calculatrice est interdite). a. 498 + 502 b. 789 + 2 568 + 3 207 c. 3 025 + 475 + 1 500 d. 8 987 + 93 + 856 – Lecture de l'heure sur une horloge à aiguilles – Suites régulières d'horaires 11 Écris l’heure affichée par chaque horloge en heures, minutes et secondes. a. C’est l’après-midi. b. C’est le matin. c. C’est le matin. d. C’est le soir. ● Réponses : 5 978 < 2 080 < 3 790 < 3 974 < 4 023 neuf-cent-soixante-dix-huit < deux-mille-quatre-vingts < trois-mille-sept-cent-quatre-vingt-dix < trois-milleneuf-cent-soixante-quatorze < quatre-mille-vingt-trois. 12 Une horloge à aiguilles indique 4 h 25 min. Vers quel nombre du cadran est pointée la grande aiguille ? 13 Une horloge à aiguilles indique 9 h 15 min 30 s. a. Vers quel nombre du cadran est pointée la trotteuse ? b. Où se situe la grande aiguille ? 14 Complète en dessinant les aiguilles. Utilise ta fiche. b. Il est 4 heures 20 minutes. c. Il est 10 heures moins 5 minutes. d. Il est 3 heures 30 minutes 15 secondes. e. Il est 19 heures 45 minutes. f. Il est 2 heures 45 secondes. 15 Trouve la règle et complète les suites d’horaires. • 8 h 10 min 30 s ➜ 8 h 10 min 40 s ➜ 8 h 10 min 50 s ➜ … ➜ … • 3 h 25 min ➜ 3 h 25 min 30 s ➜ 3 h 26 min ➜ … ➜ … • 9 h 59 min 15 s ➜ 9 h 59 min 30 s ➜ 9 h 59 min 45 s ➜ … ➜ … vingt-cinq • 25 023-038-Unite 2.indd 25 74 a. Il est 22 heures. 23/01/2020 18:40 MATÉRIEL d. 3 h 30 min 15 s • Horloge individuelle ➞ Mallette • Fiche 10 e. 19 h 45 min f. 2 h 45 s hatier-clic.fr/CM1capg0201 EXERCICES 11 12 13 14 15 Ils peuvent être précédés d’exercices oraux, les élèves disposant chacun d’une horloge en carton. Demander, par exemple, de placer correctement les aiguilles pour : 2 h et demie ; 5 h 20 ; 5 h moins 5 ; 6 h moins le quart ; 14 h 30 ; 14 h 45 ; 20 h 50 ; 9 h moins 10. Pour l’exercice 11, toute expression correcte de l’horaire est acceptée. Pour les exercices 12 et 13, des explications sont demandées au moment de la correction. Par exemple : pour l’exercice 12 : la grande aiguille est sur le 25 (numéro des minutes) ou le 5 (numéro des heures) car il s’est écoulé 5 fois 5 min depuis 4 h et la petite aiguille pointe un peu avant le milieu entre 4 et 5. Pour l’exercice 14, les réponses approximatives sont acceptées, mais on peut vérifier qu’en dehors des heures piles (ou presque), la petite aiguille ne pointe pas exactement en face d’un nombre. Pour a. b. c. et e., les élèves peuvent dessiner la trotteuse pointant sur le 12). 15 ➞ 8 h 11 min ➞ 8 h 11 min 10 s ➞ 3 h 26 min 30 s ➞ 3 h 27 min ➞ 10 h ➞ 10 h 15 s CahierJep.révise 10 UNITÉ UNITÉ révise 2 Je 2 Je révise Je révise 2 rectangles, Carrés, triangles rectangles UNITÉ 2 UNITÉ UNITÉ CONSTRUIRE DES DES CARRÉS, CARRÉS, DES DES RECTANGLES, RECTANGLES, DES DES TRIANGLES TRIANGLES RECTANGLES RECTANGLES CONSTRUIRE un rectangle. Un droit 8 CONSTRUIRE CARRÉS, DES RECTANGLES, DES TRIANGLES ConstruisDES un triangle triangle rectangle. Un côté côté de de l’angle l’angle droit mesure mesure RECTANGLES 8 cm cm 4 4 mm. mm. 11 Construis L’autre côté côté de de l’angle l’angle droit droit mesure mesure 4 4 cm cm 3 3 mm. mm. L’autre un triangle rectangle. Un côté de l’angle droit mesure RECTANGLES 8 cm 4 mm. 1 Construis CONSTRUIRE DES CARRÉS, DES RECTANGLES, DES TRIANGLES L’autre côté de l’angle droit mesure 4 cm 3 mm. 1 Construis un triangle rectangle. Un côté de l’angle droit mesure 8 cm 4 mm. L’autre côté de l’angle droit mesure 4 cm 3 mm. 2 2 2 Termine la la construction construction du du rectangle. rectangle. Un Un côté côté est est tracé. tracé. La La largeur largeur de de ce ce rectangle rectangle est est 3 3 cm. cm. Termine 2 Termine la construction du rectangle. Un côté est tracé. La largeur de ce rectangle est 3 cm. 3 3 3 Construis un un carré carré de de côté côté 5 5 cm cm 5 5 mm. mm. Construis 3 Construis un carré de côté 5 cm 5 mm. Construction – Propriétés du carré et du rectangle – Construction à la règle et à l'équerre Termine la construction du rectangle. Un côté est tracé. La largeur de ce rectangle est 3 cm. Pour cet exercice, les élèves peuvent d'abord afficher les horaires sur leur horloge en carton. Construis un carré de côté 5 cm 5 mm. MATÉRIEL L’exercice 15 peut être précédé d’un jeu oral, par exemple : – Faire écouter l’enregistrement de l’horloge parlante (service payant au 3669) ou bien dire les horaires qui défilent sur l’horloge à aiguilles de 10 s en 10 s. – Proposer de jouer à « l’horloge parlante » avec les règles d’un jeu du furet : les élèves disent un horaire chacun à leur tour, à partir d’un horaire de départ et un intervalle de durée. On s’arrête à un horaire fixé d’avance ou quand tous les élèves ont dit un horaire. 10 10 •• dix dix 10 • dix 10 • dix Cahier geom.indd 10 Cahier geom.indd 10 Cahier geom.indd 10 horaire de début 8h 8 h 30 min 16 h 15 min 13 h 30 min 30 s 11 h 50 min intervalle de durée 30 min 10 min 5s 10 s 30 s Exemple : pour 8 h 30 min avec un intervalle de 10 min : 8 h 30 min ➞ 8 h 40 min ➞ 8 h 50 min ➞ 9 h … Réponses : 14 a. 22 h 11 a. 14 h 24 min 30 s b. 7 h 0 min 20 s c. 10 h 12 min 35 s d. 19 h 50 min 0 s 12 La grande aiguille est sur le 25 (numéro des minutes) ou le 5 (numéro des heures) 13 a. La trotteuse est sur le 30 (numéro des minutes) ou le 6 (numéro des heures). b. La grande aiguille est un peu après le 15 (numéro des minutes) ou le 3 (numéro des heures) b. 4 h 20 min c. 10 h moins 5 min Cahier geom.indd 10 pour la classe • calque des figures pour la validation ➞ Fiche 11 22/01/2020 10:30 22/01/2020 10:30 hatier-clic.fr/CM1capg0201 22/01/2020 10:30 22/01/2020 10:30 • page du cahier projetée ou agrandie par élève • équerre, double-décimètre EXERCICES 1 2 3 Ils ont pour but de consolider la connaissance des propriétés et les techniques de tracé d’un carré, d’un rectangle, d’un triangle rectangle travaillées en unité 1. ● Informer les élèves que les constructions devront être précises et soignées. ● Les difficultés peuvent se situer à différents niveaux : choix du premier élément à tracer, détermination de l’ordre dans lequel mobiliser les propriétés des figures, utilisation des instruments. Plusieurs types d’aides sont possibles : – demander de travailler à deux pour décider d’une stratégie de construction, chaque élève réalisant ensuite individuellement la construction ; – procéder à l’échange des productions entre voisins pour contrôler les figures construites ; – venir individuellement en aide dans le choix et l’utilisation des instruments, en lien avec les propriétés des figures. Des exercices similaires ou les exercices complémentaires non utilisés de l’unité 1 peuvent être proposés en complément. 75 Problèmes : résolution par étapes Objectifs : – Prélever et organiser les informations nécessaires à la résolution d'un problème à partir de différents supports en fonction d’une question. – Organiser les étapes de la résolution UNITÉ Dans cet apprentissage, l’accent est mis sur le travail de planification qui permet de dégager les étapes de la résolution. Souvent ce travail nécessite une double démarche : remontante en partant de la question et en cherchant ce qu’il faudrait connaitre pour y répondre, descendante lorsqu’on cherche ce qui peut être immédiatement déduit de certaines données du problème. Un travail est également conduit, au niveau de la présentation d’une solution, sur la manière de rendre compte des étapes de la résolution. apprentissage 1 LaJepromenade en bateau-mouche cherche La promenade en bateau-mouche A Tarifs Haute saison (avril à septembre) • Adultes : 14 € • Un départ environ toutes les 30 min de 10 h 00 à 22 h 30. • Enfants (4 à 12 ans) : 6 € • Enfants (moins de 4 ans) : Basse saison (octobre à mars) gratuit • Un départ environ toutes les 40 min de 11 h 00 à 21 h 40. Départ supplémentaire à 10 h 15 le weekend. La durée de la croisière est d’environ 1 h 10. Combien Monsieur et Madame Matic ont-ils payé pour Andréa ? B Que peux-tu en déduire à propos de l’âge d’Andréa ? Je m’entraine pour la classe POUR COMMENCER 4 Un groupe composé de 3 jeunes du manuel agrandie ou projetée •◗ recherche de 15 ans et 5 enfants de 9 ans veut faire ➜ Pour résoudre les problèmes 1 à 5, utilise le document de la recherche. par élève INCONTOURNABLE INCONTOURNABLE MATÉRIEL Monsieur et Madame Matic organisent une promenade en bateau-mouche sur la Seine avec leurs trois enfants. Cécile a 16 ans, Théo a 10 ans et Zoé a 3 ans. Ils sont accompagnés de leur cousine Andréa, venue d’Italie. La caissière calcule le prix total à payer pour les parents, leurs trois enfants et leur cousine. Il est de 54 €. A une promenade. Le groupe est accompagné par 2 adultes. Combien devront-ils payer pour l’ensemble des personnes ? Louise achète p. une 26, place adulte et deux questions A et B •1 manuel places pour des enfants de 5 à 8 ans. Combien doit-ellecahier payer ? de mathématiques • brouillon, 5 Un groupe d’adultes accompagné 1 Tom Présentation de la situation achète deux places adultes. Inscrire au tableau les questions proposées par les élèves en invitant à dire si elles sont conformes à la consigne donnée, par exemple : m Quel est l’âge de Cécile ? Question acceptée, la réponse se trouve dans le texte. m Quel est le prix à payer pour Cécile ? Question acceptée, la réponse peut être déduite très vite du texte et du document, sans calcul. Cette question permet également de préciser que Cécile doit payer le tarif « adulte », car sont considérés comme enfants seulement ceux qui ont moins de 12 ans. m Combien y a-t-il de personnes dans le groupe ? Question également acceptée. m À quelle heure vont-ils partir en bateau-mouche ? Question refusée, on n'a pas d'information à ce sujet (en dehors des horaires de départ de la journée). ● Demander : ● Combien Monsieur et Madame pourL Andréa P R O M Matic E N Aont-ils D E payé SUR A S E?I N E Horaires et durées 2 de 5 enfants de 7 ans prend des billets. Le groupe paie 58 € au total. Combien y a-t-il d’adultes ? Collectif Il paie avec un billet de 50 €. la caissièredes lui rend-elle ? 2 Combien Recherche informations puis par ALLER PLUS LOIN ◗ POURIndividuel, utiles équipes 6 Une salle de cinémade peut2accueillir 350 spectateurs. À la séance du soir, 3 Romy achète trois places adultes et deux 70 places sont vides 3 places Exploitation propositions Collectif et, dans la salle, pour des enfants des de 9 ans. Elle paie il y a autant d’adultes que d’enfants. avec un billet de 50 € et un billet de 20 €. Combien y a-t-il d’enfants dans la salle ? Combien la caissière lui rend-elle ? 4 Résolution du problème Individuel Exploitation Collectif 26 •5vingt-six 6 Entrainement Individuel 023-038-Unite 2.indd 26 ➞ A-t-on des informations sur Andréa ? Conclure qu'on sait qu'elle vient d'Italie et que c'est la cousine des enfants, mais qu'on ignore son âge et donc le prix qu'elle doit payer (c'est justement la question du problème). ● 23/01/2020 18:40 RECHERCHE Comment utiliser les informations contenues dans un document et dans un texte pour résoudre un problème à étapes ? 2 Recherche des informations utiles, individuellement, puis par équipes de 2 ● Demander de prendre connaissance du problème. Faire formuler les types de données dont on dispose : – le document fournit des indications sur les prix à payer en fonction de l’âge de la personne ainsi que sur les horaires et durées des promenades ; – le texte fournit la composition du groupe et l’âge des personnes (sauf pour Andréa qui fait l'objet des questions du problème). ● Préciser : ● ➞ Pour le moment, on ne va pas chercher à répondre à la question. Vous devez seulement proposer des questions pour lesquelles on peut obtenir très vite une réponse, sans calculer, en utilisant les informations fournies par l’énoncé. Préciser la tâche : ➞ Pour le moment, il n’est pas demandé de répondre à la question, mais d’indiquer les informations qui sont nécessaires pour y répondre et qu’on peut obtenir soit directement, soit en faisant des calculs. Vous devez noter la liste de ces informations nécessaires pour pouvoir répondre à la question posée, mais sans dire par quel calcul on peut les obtenir (cela, vous le ferez tout à l’heure). 1 Présentation collective de la situation 76 apprentissage 1 Problèmes : résolution par étapes 2 DÉROULÉ 2 INCONTOURNABLE UNITÉ Après un temps individuel, inviter les élèves, par deux, à comparer ce qu’ils ont écrit et à compléter ou corriger les informations recensées, en indiquant d’une part si elles sont utiles pour répondre à la question et, d’autre part, si on pourra effectivement les obtenir, mais sans préciser comment. ● ◗ PROCÉDURES POSSIBLES – Partir de certaines informations et chercher ce qu'on peut en déduire. – Partir de la question et chercher ce qu'il faut connaitre pour pouvoir y répondre. ◗ Pour présenter la suite des étapes, on peut par exemple ◗ DIFFICULTÉS ÉVENTUELLES écrire : • Ce que chacun doit payer – les 2 parents et Cécile : 14 € ; – Théo: 6 € ; – Zoé : 0 €. • Le prix à payer par la famille (14 € × 3) + 6 € = 48 € UNITÉ • Le prix à payer pour Andréa 54 € – 48 € = 6 € Problèmes : résolution par étapes •2 L'âge d'Andréa : Elle a entre 4 et 12 ans. apprentissage 1 – Pour comprendre la consigne Aide Prendre une information du texte (par exemple sur les heures des départs ou sur un tarif) et demander si elle est utile pour répondre à la question. – Pour traduire par écrit ce qui est trouvé Aide Faire formuler oralement une proposition et suggérer une mise en forme écrite Je cherche La promenade en bateau-mouche Pour la présentation de la solution, nous ne proposons pas un Cette phase et la suivante sont destinées à mettre en évidence modèle qui serait unique. Diverses possibilités A Combien Monsieur et Madame Matic ont-ils payé pour Andréa P R O M E N A D E S U R L A S E?I N E existent : les deux stratégies : – laHoraires présentation classique « Solution / Opérations » qui est et durées Tarifs – descendante (que peut-on obtenir en partant des données ?), Haute saison (avril à septembre) • Adultes : 14 € adaptée ce lestype de pour d’autres • Un départpour environ toutes 30 min de 10 h problèmes, 00 à 22 h 30. • Enfantsmais (4 à 12 ans)moins :6€ mais avec le risque de se poser des questions inutiles pour le • Enfants (moins de 4 ans) : Basse saison (octobre à mars) (par exemple, ceux qui se résolvent par essais et ajustements) ; gratuit • Un départ environ toutes les 40 min de 11 h 00 à 21 h 40. problème. supplémentaire à 10 h 15 le weekend. – uneDépart structure mettant en évidence les étapes de La durée de la croisière arborescente est d’environ 1 h 10. – remontante (qu’est-ce qu’il faudrait connaitre pour répondre laMonsieur résolution et les données ou informations déjà établies sollicià la question ?). et Madame Matic organisent une promenade en bateau-mouche sur lapour Seine avec leurs trois enfants. Cécile a 16 ans, Théo tées résoudre le problème ; a 10 ans et Zoé a 3 ans. Pour ce type de problèmes, le plus souvent, UNITÉ il faut utiliser les Ils sont accompagnés de leur cousine Andréa, venue d’Italie. La caissière calcule le prix total à payer pour calculs, les parents, leursaccompagnée, trois enfants – la suite organisée des pour chaque Problèmes : résolution par étapes deux stratégies pour déterminer les étapes de la résolution. et leur cousine. Il est de 54 €. calcul, de l'information qu'il apporte… apprentissage 1 A Combien Monsieur et Madame Matic ont-ils payé pour Andréa ? 2 3 Exploitation collective des propositions Je cherche B Que peux-tu en déduire à propos de l’âge d’Andréa ? La promenade en bateau-mouche Manuel p. 26-27 6D E Entrainement individuel A Combien Monsieur et Madame payé pourL Andréa P R O M Matic E N Aont-ils SUR A S E?I N E Je m’entraine Recenser les informations proposées, les soumettre à la Horaires et durées Tarifs POUR COMMENCER 4 Un groupe composé de 3 jeunes ◗ discussion collective et écrire au tableau celles qui sont de 15 ans et 5 enfants de 9 ans veut faire Pour commencer ➜ Pour résoudre les problèmes 1 à 5, une promenade. Le groupe est accompagné utilise le document de la recherche. estimées utiles et possibles, par exemple : par 2 adultes. Combien devront-ils payer pour m Prix à payer pour chaque personne autre qu’Andréa ; 1 Louise achète une place adulte et deux l’ensemble des personnes ? places pour des enfants de 5 à 8 ans. et Madame Matic organisent une promenade en bateau-mouche m Prix à payer pour toutes les personnesMonsieur Combien doit-elle payer ? de la famille 5 Un groupe d’adultes accompagné sur la Seine avec leurs trois enfants. Cécile a 16 ans, Théo a 10 ans et Zoé a 3 ans. de 5 enfants de 7 ans prend des billets. Ils sont accompagnés de leur cousine Andréa, venue d’Italie. Le groupe paie 58 € au total. (en dehors d’Andréa). La caissière calcule le prix total à payer pour les parents, leurs trois enfants 2 Tom achète deux places adultes. Combien y a-t-il d’adultes ? ● INCONTOURNABLE INCONTOURNABLE Haute saison (avril à septembre) • Adultes : 14 € • Un départ environ toutes les 30 min de 10 h 00 à 22 h 30. • Enfants (4 à 12 ans) : 6 € • Enfants (moins de 4 ans) : Basse saison (octobre à mars) gratuit • Un départ environ toutes les 40 min de 11 h 00 à 21 h 40. Départ supplémentaire à 10 h 15 le weekend. La durée de la croisière est d’environ 1 h 10. et leur cousine. Il est de 54 €. A Il paie avec un billet de 50 €. Combien Combien Monsieur et Madame Matic ont-ils payé pour Andréala? caissière lui rend-elle ? ● Préciser la tâche : INCONTOURNABLE 4 Résolution individuelle du problème B Que peux-tu en déduire à propos de l’âge d’Andréa ? Je m’entraine – Pour le choix des calculs Aide À traiter lors de l'exploitation collective. – Pour l'exécution des calculs Aide Faire vérifier et corriger immédiatement. – Pour mettre en forme la solution Aide À traiter lors de l'exploitation collective. INCONTOURNABLE ◗ DIFFICULTÉS ÉVENTUELLES INCONTOURNABLE INCONTOURNABLE au ➞ Individuellement, vous devez répondre à la question ◗ POUR COMMENCER ➜ Pour résoudre les problèmes 1 à 5, brouillon, puis rédiger au propre votre solution en faisant bien utilise le document de la recherche. apparaitre les étapes et les calculs réalisés. Vous pouvez 1 Louise achète une place adulte et deux utiliser ce qui est noté au tableau. places pour des enfants de 5 à 8 ans. 3 une promenade. Le groupe est accompagné par 2 adultes. Combien devront-ils payer pour l’ensemble des personnes ? 023-038-Unite 2.indd 26 5 5 Exploitation collective En s'appuyant sur des travaux d'élèves, corrects ou non, la faire porter d’abord sur l’organisation des étapes et sur les calculs nécessaires pour obtenir les informations : – écarter les informations ou calculs inutiles ; – écarter les calculs sans signification ; – identifier les étapes indispensables à la résolution. ● 23/01/2020 18:40 Un groupe d’adultes accompagné de 5 enfants de 7 ans prend des billets. Le groupe paie 58 € au total. Combien y a-t-il d’adultes ? ◗ POUR ALLER PLUS LOIN 6 1 EXERCICES Romy achète trois places adultes et deux places pour des enfants de 9 ans. Elle paie avec un billet de 50 € et un billet de 20 €. Combien la caissière lui rend-elle ? 023-038-Unite 2.indd 26 350 spectateurs. À la séance du soir, 70 places sont vides et, dans la salle, il y a autant d’adultes que d’enfants. Combien y a-t-il d’enfants dans la salle ? 4 Un groupe composé de 3 jeunes Tom achète deux places adultes. Il paie avec un billet de 50 €. Combien la caissière lui rend-elle ? 26 • vingt-six Romy achète trois places adultes et deux places pour des enfants de 9 ans. Elle paie avec un billet de 50 € et un billet de 20 €. Combien la caissière lui rend-elle ? 26 • vingt-six de 15 ans et 5 enfants de 9 ans veut faire Combien doit-elle payer ? 2 3 ◗ POUR ALLER PLUS LOIN 6 Une salle de cinéma peut accueillir 2 Une salle de cinéma peut accueillir 350 spectateurs. À la séance du soir, 70 places sont vides et, dans la salle, il y a autant d’adultes que d’enfants. Combien y a-t-il d’enfants dans la salle ? Ils peuvent donner lieu à une seule ligne de calculs ou à deux lignes de calculs, par exemple pour l’exercice 2 : 14 € × 2 = 28 € puis 50 € – 28 € = 22 € ou 50 € – (14 € × 2) = 22 € 23/01/2020 18:40 Réponses : 1 26 € EXERCICES 3 2 22 € 4 5 Ils peuvent parfois donner lieu à une seule ligne de calculs, mais, le plus souvent, plusieurs lignes de calculs sont nécessaires. Réponses : 3 16 € 4 100 € 5 2 adultes EXPLICITATION, VERBALISATION ◗ Pour répondre, il faut procéder par étapes et trouver les questions auxquelles il faut répondre avant de répondre à celle qui est posée. Lorsqu'on les a trouvées, il faut effectuer les calculs. 77 UNITÉ 2 39 m par 2 adultes. Combien devront-ils payer pour l’ensemble des personnes ? 5 Les longueurs des côtés sont indiquées sur le schéma. Il doit placer un piquet à chaque coin et placer les autres en les espaçant de 3 m. Combien de piquets doit-il utiliser ? 9 Un TGV Sud-Est comporte 8 wagons et peut accueillir 360 passagers. La moitié des places sont vides et la moitié des passagers sont des enfants. Combien y a-t-il d’enfants parmi les passagers ? Un groupe d’adultes accompagné de 5 enfants de 7 ans prend des billets. Le groupe paie 58 € au total. Combien y a-t-il d’adultes ? Il est possible de faire tous les calculs avec les centimes, ◗ puisÉnigme de convertir le total en euros ou de raisonner sur des 6 Une salle de cinéma peut accueillir ➜ Pour résoudre les problèmes 10, 11 et 12, expressions complexes (5 fois 1 € 60 c, c’est 5 fois 1 € et 350 spectateurs. À la séance du soir, utilise ce tableau des tarifs de La Poste. 70 places sont vides et, dans la salle, il y a autant d’adultes que d’enfants. 5 fois 60 c…). € et un billet de 20 €. Combien y a-t-il d’enfants dans la salle ? Pour les exercices 10 et 11, la résolution nécessite trois 7 Mme 11 Romy Mme Leneuf Leneuf élève élève 15 15 poules poules pondeuses. pondeuses. Romy aa écrit écrit sept sept lettres lettres d’invitation d’invitation étapes, par exemple pour l’exercice 10 : Chaque pour son anniversaire. Elles pèsent 65 g Chaque poule poule pond pond un un œuf œuf par par jour jour pour son anniversaire. Elles pèsent 65 g et chacune. et chaque chaque œuf œuf pèse pèse environ environ 40 40 g. g. chacune. Elle Elle en en envoie envoie cinq cinq au au tarif tarif • C’est un nombre plus grand que 2 1 000. Quel prioritaire – prix des lettres de 15 g : 1 € 05 c × 2 = 2 € 10 c ; Quel est est le le poids poids approximatif approximatif de de tous tous prioritaire et et les les autres autres en en lettres lettres vertes. vertes. • La somme de ses chiffres est égale à 23. les Combien les œufs œufs récoltés récoltés en en une une semaine semaine ?? Combien cet cet envoi envoi lui lui coute-t-il coute-t-il ?? • Son chiffre– desprix centaines est le même 10 Tom envoie 2 lettres de 15 g chacune des 2 lettres de 150 g : 4 € 20 c × 2 = 8 € 40 c ; que son chiffre des unités. 8 Mme 12 Milo trois tarif Mme Berger Berger veut veut refaire refaire la la clôture clôture Milo aaetenvoyé envoyé troisdelettres lettres au tarif prioritaire. prioritaire. 2 lettres 150 gau chacune au tarif • Son chiffre des dizaines est plus petit que 5. de Leur n’est de son son parc parc àà brebis. brebis. Leur poids poids n’est pas pas le le même. même. prioritaire. – prix total : 2 € 10 c + 8 € 40 c = 10 € 50 c. Celui-ci IlIl aa payé au 9 45 Celui-ci est est rectangulaire. rectangulaire. IlIl aa une une longueur longueur payé au total totalcet 9€ € 45 c. c.lui coute-t-il ? Combien envoi de Que de 342 342 m m et et une une largeur largeur de de 256 256 m, m, avec avec Que peux-tu peux-tu savoir savoir sur sur le le poids poids Pour l’exercice• 2712, il est possible de procéder par essais, une ouverture de m large. de lettre ?? apprentissage 1 une de 2 2élève m de de15 large. de chaque 7 ouverture Mme Leneuf poules pondeuses. Romy lettre a écrit sept lettres d’invitation 11chaque Quelle est du grillage QuelleChaque est la la longueur longueur duun grillagepar jour poule pond pour son anniversaire. Elles pèsent 65 g nécessaire àà la réfection de œuf la ? 13 M. veut réaliser un enclos pour mais il est plus rapide de remarquer que, le prix total se nécessaire la œuf réfection la clôture clôture M. Canard Canard veut réaliser un enclos pour et chaque pèse de environ 40 g. ? chacune. Elle en envoie cinq au tarif ses ses pintades. pintades. Quel est le poids approximatif de tous prioritaire et les autres L’enclos aura forme :: en lettres vertes. L’enclos aura cette cette terminant par 5 c, on peut en déduire qu’une lettre a été les œufs récoltés en une semaine ? Combien cet forme envoi lui coute-t-il ? affranchie à 1 € 05 c et donc les 2 autres pour un total 8 Mme Berger veut refaire la clôture 12 Milo a envoyé trois lettres au tarif prioritaire. de son parc à brebis. Leur poids n’est pas le même. Celui-ci est rectangulaire. Il a une longueur Il a payé au total 9 € 45 c. de 8 € 40 c. Il faut alors chercher comment obtenir cette de 342 m et une largeur de 256 m, avec Que peux-tu savoir sur le poids une ouverture de 2 m de large. de chaque lettre ? somme en ajoutant deux valeurs identique ou non. Quelle est la longueur du grillage Les des côtés sont un indiquées sur nécessaire à la réfection de la et clôture Les longueurs des côtés sont indiquées sur 9 Un Sud-Est 8 peut 13 longueurs M. Canard veut réaliser enclos pour Un TGV TGV Sud-Est comporte comporte 8 wagons wagons et peut ? le ● La difficulté du problème 13 vient du fait qu’il s’agit d’un le schéma. schéma. accueillir ses pintades. accueillir 360 360 passagers. passagers. IlIl doit placer piquet àà chaque doit L’enclos placer un un piquet chaque coin La aura cette forme : coin La moitié moitié des des places places sont sont vides vides et et la la moitié moitié et autres en et placer placer les les autres en les les espaçant espaçant de de 3 3 m. m. des des passagers passagers sont sont des des enfants. enfants. problème d’intervalles : il faut trouver le nombre d’interCombien Combien de de piquets piquets doit-il doit-il utiliser utiliser ?? Combien Combien yy a-t-il a-t-il d’enfants d’enfants parmi parmi les les passagers passagers ?? valles pour chaque côté et en déduire le nombre de piquets. Énigme ● Les élèves peuvent résoudre le problème en faisant apprentissage 1 7 Mme Leneuf élève 15 poules pondeuses. 11 Romy a écrit sept lettres d’invitation ➜ ➜ Pour Pour résoudre résoudre les les problèmes problèmes 10, 10, 11 11 et et 12, 12, Chaque poule pond un œufsur par jour pour son anniversaire. Elles Les longueurs des côtés sont indiquées utilise tableau des tarifs La Poste. un schéma oupèsenten65 g utilisant des relations numériques, utilise ce tableau descomporte tarifs de de 8 Lawagons Poste. et peut 9 Unce TGV Sud-Est chacune. Elle en envoie cinq au tarif le schéma. et chaque œuf pèse environ 40 g. accueillir 360 passagers. est leà poids de tous prioritaire et les autres en lettres vertes. Il doit placer Quel un piquet chaqueapproximatif coin La moitié des places sont vides et la moitié les dimensions étant des multiples simples de 3 : sur le œufs en une ? Combien cet envoi lui coute-t-il ? et placer les les autres enrécoltés les espaçant de 3semaine m. des passagers sont des enfants. Combien de piquets doit-il utiliser ? Combien y a-t-il d’enfants parmi de trois 30lettres m,auiltarifyprioritaire. a 10 intervalles de 3 m, donc 9 piquets 8 Mme Berger veut refaire la clôture 12 côté Milo a envoyé les passagers ? de son parc à brebis. Leur poids n’est pas le même. sur le Celui-ci est rectangulaire. Il a une longueur Il a payé aucôté total 9 €et 45 c.un piquet à chaque extrémité, qui est aussi de 342Énigme m et une largeur de 256 m, avec Que peux-tu savoir sur le poids EXERCICES 6 7 8 9 •• C’est grand 1 C’est un un nombre nombre plus plus grand que que de 1 000. 000. une ouverture 2 m de large. de chaque lettre » ? ou sommet du polygone. Il faut prendre garde à un « coin • chiffres est àà 23. ➜ Pour résoudre les problèmes 10, 11 et 12, • La La somme somme de de ses sesQuelle chiffresest estlaégale égale 23. du grillage longueur • est utilise2 ce tableau des tarifs de La Poste. • Son Son chiffre chiffre des des centaines centaines est àle lelamême même nécessaire réfection de la clôture ? Tom de 13 ne M. Canard veut réaliser un enclos pour fois les piquets à chaque coin. Tom envoie envoie 2 lettres lettres de 15 15 gg chacune chacune ne comportent pas compter deux Bien10 que ces problèmes que deux étapes, que son chiffre des unités. que son chiffre des unités. et ses pintades. et 2 2 lettres lettres de de 150 150 gg chacune chacune au au tarif tarif • • Son Son chiffre chiffre des des dizaines dizaines est est plus plus petit petit que que 5. 5. prioritaire. L’enclos aura cette forme : prioritaire. la difficulté peut provenir de la compréhension de la situaCombien Réponses : 10 10 € 50 c 11 14 € 02 c Combien cet cet envoi envoi lui lui coute-t-il coute-t-il ?? tion. • 27 12 1 lettre de moins de 20 g et les 2 autres de 100 g Pour l’exercice 7, plusieurs démarches sont possibles : à 250 g ou 1 lettre de moins de 20 g, 1 de 20 g à 100 g et 1 de 250 • C’est un nombre plus grand que 1 000. g à 500 g. Une interprétation de l'énoncé peut conduire à n'accepter • La somme de ses chiffres 23. – calculer le nombre d’œufs par semaine (15 × est7égale = à105), • Son chiffre des centaines est le même 10 Tom envoie 2 lettres de 15 g chacune Les longueurs des côtés sont indiquées sur que la 2e réponse. 9chiffre Un TGV Sud-Est comporte 8 wagons et peut que son des unités. puis le etpoids œufs = 4360est200 g ou 2 lettres de des 150 g chacune au tarif (105 × 40 g accueillir le schéma. passagers. • Son chiffre des dizaines plus petit que 5. prioritaire. Il doit placer un piquet à13 chaque La moitié des places sont vides et la moitié 37coin piquets et placer les autres en les espaçant de 3 m. 4 kg 200Combien g) ; cet envoi lui coute-t-il ? des passagers sont des enfants. Combien de piquets doit-il utiliser ? Combien y a-t-il d’enfants parmi • 27 passagers – calculer le poids de 7 œufs (1 semaine) :les40 g × ?7 = 280 g puis le poids total des œufs (280 g × 15 = 4 200 g ou Énigme ➜ Pour résoudre les problèmes 10, 11 et 12, 4 kg 200 g)... utilise ce tableau des tarifs de La Poste. Pour l’exercice 8, l'illustration peut apporter une aide. Pour l’exercice 9, une des données est inutile jusqu’à 20 g (8 wagons). 1 € 05 c 88 c €. Pour aller plus loin ● POUR ALLER PLUS LOIN ★ ★ Poids Tarifs prioritaires 2019 jusqu’à 20 g 1 € 05 c Tarifs lettre verte 2019 88 c 20 g à 100 g 2 € 10 c 1 € 76 c 100 g à 250 g 4 € 20 c 3 € 52 c 250 g à 500 g 6 € 30 c 5 € 28 c 500 g à 3 kg 8 € 40 c 7 € 04 c 23/01/2020 18:40 Retrouve l’année où le 1er bateau-mouche a transporté des touristes sur la Seine. ★★ ★★ hatier-clic.fr/CM1cap007 vingt-sept ★ ★★ ★★ 23/01/2020 18:40 023-038-Unite 2.indd 27 30 30 m m 18 m m ★★ 18 24 24 m m 39 39 m m ★★ 30 m 18 m 24 m 39 m ★ Poids Poids Tarifs Tarifs prioritaires prioritaires 2019 2019 Tarifs Tarifs lettre lettre verte verte 2019 2019 1 1€ € 05 05 cc 2 2€ € 10 10 cc 88 88 cc 1 1€ € 76 76 cc 3 3€ € 52 52 cc jusqu’à jusqu’à 20 20 gg 20 20 gg àà 100 100 gg 100 100 gg àà 250 250 gg 4 4€ € 20 20 cc 6 6€ € 30 30 cc 8 8€ € 40 40 cc 250 250 gg àà 500 500 gg 500 500 gg àà 3 3 kg kg 023-038-Unite 023-038-Unite 2.indd 2.indd 27 27 er Poids Tarifs prioritaires 2019 Tarifs lettre verte 2019 jusqu’à 20 g 1 € 05 c 88 c 20 g à 100 g 2 € 10 c 1 € 76 c 100 g à 250 g 4 € 20 c 3 € 52 c 250 g à 500 g 6 € 30 c 5 € 28 c 500 g à 3 kg 8 € 40 c 7 € 04 c ★★ Retrouve Retrouve l’année l’année où où le le 11er bateau-mouche bateau-mouche a a transporté transporté des des touristes touristes sur sur la la Seine. Seine. 5 5€ € 28 28 cc 7 7€ € 04 04 cc ★★ hatier-clic.fr/CM1cap007 hatier-clic.fr/CM1cap007 30 m vingt-sept vingt-sept Retrouve l’année où le 1er bateau-mouche a transporté des touristes sur la Seine. 18 m 23/01/2020 23/01/2020 18:40 18:40 24 m 39 m hatier-clic.fr/CM1cap007 vingt-sept 023-038-Unite 2.indd 27 Réponses : 23/01/2020 18:40 6 140 enfants 8 1 194 m Poids Tarifs prioritaires 2019 20 g à 100 g 2 € 10 c g 7 4 kg 200 g 100 oug 4à 250200 g 4 € 20 c 9 90 enfants Tarifs lettre verte 2019 1 € 76 c 3 € 52 c 250 g à 500 g 6 € 30 c 5 € 28 c 500 g à 3 kg 8 € 40 c 7 € 04 c 10 Tom envoie 2 lettres de 15 g chacune 2 lettres de 150 g chacune au tarif EXERCICES 10 11 ✶ 12 ✶ ✶ 13 ✶ ✶ etprioritaire. Combien cet envoi lui coute-t-il ? Pour ces problèmes, une difficulté peut provenir de la lecture du tableau ; par exemple, dans « tarifs lettre verte », 3 € 52 c indique qu’on paie 3 € 52 c pour toute lettre pesant de 100 g (non compris) à 250 g (compris). Une élucidation de cette lecture sera sans doute nécessaire. ● 023-038-Unite 2.indd 27 Retrouve l’année où le 1er bateau-mouche a transporté des touristes sur la Seine. • C’est un nombre plus grand que 1 000. • La somme de ses chiffres est égale à 23. • Son chiffre des centaines est le même que son chiffre des unités. • Son chiffre des dizaines est plus petit que 5. hatier-clic.fr/CM1cap007 La résolution nécessite de procéder par raisonnement ou vingt-sept • 27 par essais : – Le chiffre des milliers ne peut être que 1 (aucune année postérieure à 2000 ne convient) ; – Le chiffres des dizaines peut être 0, 1, 2, 3 ou 4 ; – Le seul chiffre des dizaines possibles est 4 ; – Le chiffre des unités et des centaines est alors 9. 23/01/2020 18:40 Réponse : 1949 78 Moitié, quart, tiers Objectifs : – Comprendre et utiliser les termes moitié, quart, tiers – Approcher la notion de fraction, sous forme verbale UNITÉ apprentissage 2 Avant d’aborder les écritures fractionnaires, la signification des termes demi, quart et tiers est rappelée. Les élèves ont déjà rencontré ces termes, par exemple dans le domaine de la lecture de l’heure ou de l’expression de durées. Ces termes sont utilisés ici dans le cadre des longueurs, des quantités et des durées. Moitié, quart, tiers 2 La bande découpée Je cherche apprentissage 2 ◗ PROCÉDURES POSSIBLES Pour chercher la réponse : – Évocation des partages et comparaison mentale des longueurs obtenues. – Raisonnements sur la longueur des parts obtenues par partage : par exemple « quand on partage une bande en quarts, il y a plus de parts que quand on la partage en tiers, ces parts sont donc plus petites. » Pour le contrôle des réponses : – Pliage en quatre : pliage en deux puis pliage en deux de chaque moitié dépliée, ou pliage en deux puis pliage en deux du papier plié. – Pliage en trois, par essais et ajustements. La bande découpée A Avant de découper les bandes, trouve qui a colorié le morceau le plus long et qui a colorié le morceau le plus court. B Utilise 3 bandes de même longueur pour vérifier tes réponses. Je m’entraine par élève ◗ FRACTIONNER DES LONGUEURS INCONTOURNABLE MATÉRIEL Milo, Tom et Romy ont reçu chacun une bande de papier de même longueur. Milo a découpé un morceau qui représente le quart de sa bande et il l’a colorié en rouge. Tom a d’abord découpé un premier morceau qui représente la moitié de sa bande, puis il a découpé un deuxième morceau qui représente la moitié du premier morceau. Il a colorié ce deuxième morceau en bleu. Romy a découpé un morceau qui représente le tiers de sa bande et elle l’a colorié en vert. • manuel p. 28, question A 1 Utilise les bandes de ta fiche. papier de 21 cm de long et 2 cm de large • 3Tu bandes as besoin de 5de bandes. (découpées dans une feuille de papier uni, format A4) Fabrique, sans mesurer ni utiliser de crayon : des exercices 1 et 12bleue. • les ➞ fiche a. unebandes bande qui a une longueur égale à la moitié de la2longueur de la bande ◗ DIFFICULTÉS ÉVENTUELLES – Pour le pliage en quatre Aide Amorcer un pliage en deux et demander comment on peut continuer pour obtenir 4 morceaux de même longueur. b. une bande qui a une longueur égale au quart de la longueur de la bande bleue. hatier-clic.fr/CM1capg0202 c. une bande qui a une longueur égale aux trois quarts de la longueur de la bande bleue. d. une bande qui a une longueur égale au tiers de la longueur de la bande bleue. e. une bande qui a une longueur égale aux deux tiers de la longueur de la bande bleue. INCONTOURNABLE 2 DÉROULÉ UNITÉ – Pour le pliage en trois • instruments de géométrie et de mesure • feuille de brouillon 2 Utilise la bande découpée sur ta fiche. 1 Présentation de la situation Sans mesurer, trouve parmi les bandes suivantes celle dont la longueur est égale : a. à la moitié de la longueur de la bande jaune. b. au quart de la longueur de la bande jaune. c. au tiers de la longueur de la bande jaune. 2 Recherche 3 Exploitation 4 Entrainement A Collectif B Individuel Cou par équipes de 2 D Collectif E Individuel 28 • vingt-huit Comment comparer les longueurs de 3 morceaux de bande exprimées en tiers, quarts ou moitié de moitié d’une même bande ? 023-038-Unite 2.indd 28 Réponse : le plus long : Romy le plus court : Milo et Tom 3 Exploitation collective RECHERCHE 23/01/2020 18:40 1 Présentation collective de la situation Faire commenter l'énoncé par les élèves. ● Leur faire expliciter les termes moitié, quart et tiers en les reliant au partage équitable en deux, en quatre et en trois, sans faire pour l'instant de schéma au tableau. Faire dire par exemple, qu’une longueur est le quart d’une longueur donnée si, en la reportant quatre fois, on obtient cette longueur donnée. ● Préciser la tâche : ● ➞ Vous devez répondre à la question A sans avoir les bandes. Vous pouvez imaginer les pliages dans votre tête ou faire un schéma. Écrivez vos réponses au stylo sur votre feuille de brouillon. Ensuite, vous utiliserez les 3 bandes pour vérifier vos réponses. 2 Recherche individuelle ou par équipes de 2 Pendant le 1er moment de travail, demander à quelques élèves comment ils sont parvenus à leur conclusion (voir procédures possibles). ● Dans le 2e moment, remettre 3 bandes à chaque élève ou chaque équipe et, si nécessaire, accompagner les élèves pour la réalisation des pliages. ● Observer les procédures utilisées. ● Aide Montrer que, contrairement à ce que beaucoup d’élèves pensent, on ne peut pas procéder en commençant par un pliage en deux comme pour le pliage en quatre et qu'il faut donc procéder par essais et ajustements. Recenser les réponses et faire exposer les méthodes de partage par pliage en insistant particulièrement sur le partage en 3, pour lequel un tâtonnement est nécessaire. ● EXPLICITATION, VERBALISATION ◗ Rappeler la signification des termes moitié, quart et tiers et faire exprimer les méthodes de partage par pliage. ◗ Moitié : c’est le synonyme de demi. Le pliage en deux permet d'obtenir une longueur moitié d'une longueur donnée : ◗ Quart : c'est aussi la moitié de la moitié. Deux pliages successifs en deux permettent d'obtenir une longueur égale au quart d'une longueur donnée : ◗ Tiers : le pliage en trois permet d'obtenir une longueur égale au tiers d'une longueur donnée. Il faut le réaliser par essais et ajustements. ◗ Tirer de la comparaison entre des longueurs des bandes de Tom et de Milo puis de Romy que la moitié de la moitié est égale au quart et qu’un tiers est compris entre un quart et la moitié. TRACE ÉCRITE INDIVIDUELLE Faire coller dans le cahier des bandes pliées en deux, quatre et trois parts égales avec, en regard, les termes moitié, quart et tiers. 79 UNITÉ 2 maintenant. Les dernières billes sont pour Tom. Combien Tom a-t-il de billes ? la moitié de sa bande, puis il a découpé un deuxième morceau qui représente la moitié du premier morceau. Il a colorié ce deuxième morceau en bleu. Romy a découpé un morceau qui représente le tiers de sa bande et elle l’a colorié en vert. 4 Avant de découper les bandes, trouve qui a colorié le morceau le plus long et qui a colorié le morceau le plus court. Manuel p. 28-29 4 Entrainement B Utilise 3 bandes de même longueur pour vérifier tes réponses. individuel ◗◗ FRACTIONNER FRACTIONNER DES DES QUANTITÉS, QUANTITÉS, DES DES DISTANCES DISTANCES Je m’entraine I NICNOCNOTNOTUORUNRANBALBEL E Fractionner des longueurs I INNCCOONNTTOOUURRNNAABBLLEE I INNCCOONNTTOOUURRNNAABBLLEE ◗ FRACTIONNER DES LONGUEURS 1 2 3 3 Fabrique, sans mesurer ni utiliser de crayon : a. une bande qui a une longueur égale à la moitié de la longueur de la bande bleue. b. une bande qui a une longueur égale au quart de la longueur de la bande bleue. Aya Aya prend prend le le quart quart de de cette cette quantité quantité c. une bande qui a une longueur égale aux trois quarts de la longueur de la bande bleue. de billes. d. une bande qui a une longueur égale au tiers de la longueur de la bande bleue. de billes. Milo prend le tiers de ce Milo prend le tiers de ce qui qui reste. reste. e. une bande qui a une longueur égale aux deux tiers de la longueur de la bande bleue. Romy Romy prend prend les les deux deux tiers tiers de de ce ce qui qui reste reste maintenant. maintenant. Les dernières billes sont pour Les dernières billes sont pour Tom. Tom. Utilise la bande découpée sur ta fiche. Combien A Combien Tom Tom a-t-il a-t-il de de billes billes ?? 28 • vingt-huit EXERCICES 1 2 C D E c. Fractionner des durées ◗◗ 6 6 Utilise les bandes de ta fiche. Tu as besoin de 5 bandes. Sans mesurer, trouve parmi les bandes suivantes celle dont la longueur est égale : a. à la moitié de la longueur de la bande jaune. b. au quart de la longueur de la bande jaune. c. au tiers de la longueur de la bande jaune. Dans une classe, il y a 24 élèves. La moitié des élèves viennent à l’école à pied. Un tiers des élèves portent des lunettes. Les trois quarts des élèves mangent à la cantine. FRACTIONNER DES Combien d’élèves : FRACTIONNER DES DURÉES DURÉES a. viennent à l’école à pied ? Souviens-toi quedes 1h hlunettes = 60 60 min. min. b. portent ? Souviens-toi que 1 = Écris ces durées Écris c. cesmangent durées àen enlaminutes. minutes. cantine ? a. a. Un Un quart quart d’heure, d’heure, c’est c’est … … minutes. minutes. b. tiers d’heure, Alex… Lisa, partent b.5 Un UnDeux tiers cyclistes, d’heure, c’est c’est …etminutes. minutes. c. quarts d’heure, … en même pourc’est un trajet de 60 km. c.★Quatre Quatre quartstemps d’heure, c’est … minutes. minutes. Après avoir rouléc’est pendant deux heures, d. Deux demi-heures, … d. Deux demi-heures, c’est … minutes. minutes. Alexquarts a parcouru lesc’est deux…tiers du trajet e. Deux d’heure, minutes. e. Deux quarts c’est minutes. et Lisa en d’heure, a parcouru les…trois quarts. Quelle distance chacun a-t-il parcourue ? Quelle est est la la durée durée représentée représentée Quelle sur sur chaque chaque horloge horloge ?? Donne une une réponse réponse en en utilisant utilisant les les mots mots Donne heure, demi, heure, demi, quart quart et et tiers. tiers. ★ I NICNOCNOTNOTUORUNRANBALBEL E A 4 4 ★ ★ 77 ★ ★ a. a. Complète en utilisant les mots demi, quart ou tiers. a. 30 minutes, c’est … heure. b. 20 minutes, c’est … heure. c. 45 minutes, c’est … heure. d. 40 minutes, c’est … heure. e. 75 minutes, c’est … heure. Énigme Tom a une b. bande de papier rouge. b. Il a découpé le morceau ci-contre. La longueur de ce morceau correspond aux deux tiers de la longueur de la bande rouge. Dessine la bande rouge que Tom avait au départ. B Dans Dans une une classe, classe, ilil yy aa 24 24 élèves. élèves. La moitié moitié des La des élèves élèves viennent viennent àà l’école l’école àà pied. Un tiers des élèves pied. Un tiers des élèves portent portent des lunettes. lunettes. Les Les trois trois quarts quarts des des élèves élèves des mangent mangent àà la la cantine. cantine. Combien Combien d’élèves d’élèves :: a. viennent viennent àà l’école l’école àà pied pied ?? a. b. b. portent portent des des lunettes lunettes ?? c. mangent à la cantine c. mangent à la cantine ?? 8 ★ hatier-clic.fr/CM1cap008 c. c. vingt-neuf • 29 023-038-Unite 2.indd 29 23/01/2020 18:40 8 8 Complète Complète en en utilisant utilisant les les mots mots demi, demi, quart quart ou tiers. tiers. ★ ou ★ a. 30 minutes, c’est … heure. a. 30 minutes, c’est … heure. b. 20 20 minutes, minutes, c’est c’est … … heure. heure. 5 Alex et b. 5 Deux Deux cyclistes, cyclistes, Alex 18:40 et Lisa, Lisa, partent partent 23/01/2020 18:40 23/01/2020 même temps pour un trajet de 60 km. c. ★ en c. 45 45 minutes, minutes, c’est c’est … … heure. heure. ★ en même temps pour un trajet de 60 km. Après FRACTIONNER DES DURÉES d. 40 minutes, c’est … Après avoir avoir roulé roulé pendant pendant deux deux heures, heures, FRACTIONNER DES QUANTITÉS, d. 40 minutes, c’est … heure. heure. Alex Alex aa parcouru parcouru les les deux deux tiers tiers du du trajet trajet DES DISTANCES e. 75 75 minutes, minutes, c’est c’est … … heure. heure. e. et et Lisa Lisa en en aa parcouru parcouru les les trois trois quarts. quarts. 6 Souviens-toi que 1 h = 60 min. Quelle Quelle distance distance chacun chacun a-t-il a-t-il parcourue parcourue Écris ces durées en minutes. 3 ?? a. Un quart d’heure, c’est … minutes. FRACTIONNER DES DURÉES FRACTIONNER DES QUANTITÉS, b. Un tiers d’heure, c’est … minutes. DES DISTANCES c. Quatre quarts d’heure, c’est … minutes. 6 Souviens-toi que 1 h = 60 min. d. Deux demi-heures, c’est … minutes. Écris rouge. ces durées en minutes. 3 Tom a une bande de papier Tom a une bande de papier e. Deux quarts d’heure, c’est … minutes. a. Un rouge. quart d’heure, c’est … minutes. IlIl aa découpé découpé le le morceau morceau ci-contre. ci-contre. La aux deux b. Un correspond tiers d’heure, minutes. La longueur longueur de de ce ce morceau morceau correspond auxc’est deux… tiers tiers de la longueur de la bande rouge. 7 Quelle est la durée représentée c. Quatre de la longueur de la bande rouge.quarts d’heure, c’est … minutes. Dessine que avait ★ sur chaque horloge ? Dessine la la bande bande rouge rouge que Tom Tom avait au au départ. départ. d. Deux demi-heures, … minutes. Aya prendc’est le quart de cette quantité hatier-clic.fr/CM1cap008 Donne une réponse en utilisant les mots hatier-clic.fr/CM1cap008 e. Deux quarts ded’heure, billes. c’est … minutes. heure, demi, quart et tiers. vingt-neuf Milo prend le tiers de ce qui reste. vingt-neuf • • 29 29 a. b. Romy prend les deux tiers de ce qui reste 7 Quelle est la durée représentée maintenant. ★ sur chaque horloge ? Les dernières billes sont pour Tom. 23/01/2020 18:40 023-038-Unite 2.indd quantité 29 Aya prend le quart de cette 023-038-Unite 2.indd 29 23/01/2020 18:40 Donne une réponse en utilisant lesdemots Combien Tom a-t-il billes ? de billes. heure, demi, quart et tiers. Milo prend le tiers de ce qui reste. a. b. Romy prend les deux tiers de ce qui reste 4 Dans une classe, il y a 24 élèves. c. maintenant. ★ La moitié des élèves viennent à l’école Les dernières billes pour Tom. à pied. Un tiers des élèves portent FRACTIONNER DESsont DURÉES Combien Tom a-t-il de billes ? des lunettes. Les trois quarts des élèves mangent à la cantine. 6 Souviens-toi que 1 h = 60 min. Combien d’élèves : 4 Écris Dansces unedurées classe,en il yminutes. a 24 élèves. c. a. viennent à l’école à pied ? quartdes d’heure, … minutes. LaUn moitié élèvesc’est viennent à l’école ★ a. 8 Complète en utilisant les mots demi, quart b. portent des lunettes ? à pied. Un tiers des élèves portent b. Un tiers d’heure, c’est … minutes. ★ ou tiers. lunettes. Lesd’heure, trois quarts élèves c. mangent à la cantine ? c.des Quatre quarts c’estdes … minutes. a. 30 minutes, c’est … heure. mangent à la cantine. d. Deux demi-heures, c’est … minutes. b. 20 minutes, c’est … heure. 5 Deux cyclistes, Alex et Lisa, partent Combien d’élèves : e.a.Deux quarts d’heure, c’est?… minutes. c. 45 minutes, c’est … heure. viennent à l’école à pied ★ en même temps pour un trajet de 60 km. Après avoir roulé pendant deux heures, 8 Complète en utilisant les mots demi, quart d. 40 minutes, c’est … heure. b. portent des lunettes ? Alex a parcouru les deux tiers du trajet ★ ou tiers. 7 Quelle e. 75 minutes, c’est … heure. est la àdurée représentée c. mangent la cantine ? Lisa … enheure. a parcouru les trois quarts. a. 30 minutes,etc’est ★ sur chaque horloge ? distance b. 20 minutes,Quelle c’est … heure. chacun a-t-il parcourue ? Deux cyclistes, Alexenetutilisant Lisa, partent Donne une réponse les mots EXERCICES 6 7 ✶ 8 ✶ INCONTOURNABLE INCONTOURNABLE INCONTOURNABLE 023-038-Unite 023-038-Unite 2.indd 2.indd 28 28 INCONTOURNABLE Pour l’exercice 6, les élèves réinvestissent ce qu’ils connaissent Pour l’exercice 1, la nouveauté par rapport à la recherche ◗ des fractions d’heure, ◗revues en unité 1. L'exploitation porte sur l'utilisation d'expressions comme trois quarts ou porte sur les expressions du type quatre quarts. L'interprédeux tiers qui font l'objet d'une explicitation (trois fois un ◗ tation est du même type que pour les autres expressions : ◗ quart, deux fois un tiers). Énigme Énigme quatre fois un quart. Faire remarquer que quatre quarts ou Pour l’exercice 2, le contrôle des réponses peut être fait deux demis ramène à la durée de référence : deux fois un par report de deux, trois ou quatre longueurs D, A ou C demi ou quatre fois un quart, c'est une fois l’unité ! en déplaçant la bande jaune sur le manuel plutôt que par Pour les exercices 7 et 8, les procédures peuvent s'appuyer pliage de celle-ci. sur le dessin des horloges (à réaliser pour l’exercice 8) ou Réponses : 2 a. D b. A c. C. sur le calcul (en traduisant les durées représentées en minutes pour l’exercice 7). Fractionner des quantités, des ◗ distances ◗ INCONTOURNABLE INCONTOURNABLE FRACTIONNER DES QUANTITÉS, DES DISTANCES 3 Aya prend le quart de cette quantité de billes. Milo prend le tiers de ce qui reste. Romy prend les deux tiers de ce qui reste maintenant. Les dernières billes sont pour Tom. Combien Tom a-t-il de billes ? 4 Dans une classe, il y a 24 élèves. La moitié des élèves viennent à l’école à pied. Un tiers des élèves portent des lunettes. Les trois quarts des élèves mangent à la cantine. Combien d’élèves : a. viennent à l’école à pied ? b. portent des lunettes ? c. mangent à la cantine ? EXERCICES 3 ★ 4 Réponses : 5 en même temps un trajet de 60 km. ★ heure, demi, quartpour et tiers. Après avoir roulé pendant deux heures, a. b. Alex a parcouru les deux tiers du trajet et Lisa en a parcouru les trois quarts. Quelle distance chacun a-t-il parcourue ? c. 5 Énigme ★ 023-038-Unite 2.indd 29 Dessine la bande rouge que Tom avait au départ. hatier-clic.fr/CM1cap008 vingt-neuf hatier-clic.fr/CM1cap008 • 29 Plusieurs procédures sont possibles. 1. Dessiner une bande rouge de façon aléatoire, en prendre les deux vingt-neuf tiers• 29 et comparer le morceau obtenu au morceau dessiné, puis procéder par ajustement jusqu’à obtenir le même résultat que Tom (procédure qui a peu de chances d’aboutir rapidement). 2. Utiliser un raisonnement : en prenant une longueur égale à la moitié de celle du morceau on obtient le tiers de la longueur de la bande de départ. Il faut donc reporter ce tiers 3 fois pour obtenir la longueur de la bande entière. vingt-neuf 23/01/2020 18:40 023-038-Unite 2.indd 29 hatier-clic.fr/CM1cap008 23/01/2020 18:40 23/01/2020 18:40 023-038-Unite 2.indd 29 3 6 billes 4 a. 12 élèves b. 8 élèves c. 18 élèves 5 Alex : 40 km Lisa : 45 km 80 Énigme Dessine la bande rouge que Tom avait au départ. Dessine la bande rouge que Tom avait au départ. ★ b. 20 min c. 60 min d. 60 min e. 30 min 7 a. un quart d’heure b. trois quarts d’heure c. une demi-heure d. un tiers d’heure. 8 a. une demi-heure b. un tiers d'heure c. trois quarts d'heure d. deux tiers d'heure e. cinq quarts d’heure Tom a une bande de papier rouge. Il a découpé le morceau ci-contre. La longueur de ce morceau correspond aux deux tiers de la longueur de la bande rouge. Tom a une bande de papier rouge. Il a découpé le morceau ci-contre. La longueur de ce morceau correspond aux deux tiers de la longueur de la bande rouge. Les élèves ont déjà pris la moitié d’une quantité ou calculé 8 Complète en utilisant les mots demi, quart ou la moitié d’un nombre. Il s’agit maintenant d’en prendre ou tiers. 30 minutes, c’est … heure. d’en calculer le tiers ou le quart,a.b.mais aussi de se référer 20 minutes, c’est … heure. 5 Deux cyclistes, Alex et Lisa, partent en même temps pour und’expressions trajet de 60 km. c. 45 minutes,comme c’est … heure. deux tiers à la signification orales Après avoir roulé pendant deux heures, d. 40 minutes, c’est … heure. Alex quarts a parcouru les pour deux tiers du trajet ou trois prendre un certain nombre de fois la e. 75 minutes, c’est … heure. et Lisa en a parcouru les trois quarts. chacun a-t-il parcourue ? valeurQuelle d’undistance tiers ou d’un quart. Pour l’exercice 3, l'illustration permet de répondre par un Énigme partage effectif des billes, mais les réponses peuvent ausTom a une bande de papier rouge. Il a découpé le morceau ci-contre. si être obtenues par uncorrespond calculauxaprès La longueur de ce morceau deux tiers avoir trouvé le nombre de la longueur de la bande rouge. total de billes, par exemple par le calcul 6 × 6 = 36. Ainsi pour Romy, le tiers de 36 correspond au calcul 36 : 3• =29 12 et les deux tiers de 36 à 2 × 12 = 24. Pour l’exercice 4, le partage peut être évoqué mentalement, mais il est aussi possible de le réaliser effectivement sur une représentation des élèves, par exemple par des croix. Pour l’exercice 5, la difficulté supplémentaire peut provenir de la présence d'une donnée inutile (deux heures). Réponses : c. 45 minutes, c’est … heure. d. 40 minutes, c’est … heure. e. 75 minutes, c’est … heure. 6 a. 15 min un tiers trois tiers 3. Utiliser le même raisonnement pour calculer la longueur de la bande à dessiner à partir de la mesure de celle du morceau rouge (4 cm). Réponse : La bande rouge mesure 6 cm. Fractions simples Objectifs : – Utiliser les fractions pour rendre compte de mesures de longueurs (demi, quart…) – Connaitre la signification du numérateur et du dénominateur – Connaitre et utiliser les relations entre fractions et unité UNITÉ apprentissage 3 Lorsqu’une longueur ne peut pas être exprimée par un nombre entier d’unités, le geste le plus naturel consiste à plier en deux ou en quatre le représentant de l’unité pour obtenir une mesure plus précise. Dans cette séquence, les élèves vont donc être amenés à utiliser des expressions du type : 1 1 3 1 1 u, u, u, u + u... 2 4 4 2 4 L’unité a été choisie assez grande pour faciliter les pliages, et non conventionnelle pour éviter le recours à des expressions complexes du type 3 cm 5 mm qui permettraient de contourner le recours aux fractions. Fractions simples 2 Des bandes à mesurer apprentissage 3 La longueur de la bande blanche est égale à 1 u. MATÉRIEL A ● Sur ta fiche, choisis deux bandes : une bande parmi A, B, C et une autre parmi D, E, F. Mesure-les avec l’unité qui t’a été remise. Écris, sur une feuille, le nom de chaque bande et la mesure que tu as obtenue. Tes mesures doivent permettre aux autres élèves de ta classe de retrouver les deux bandes que tu as choisies. FICHE MATÉRIEL A B C D E F Jepour m’entraine la classe EXPRIMER 3 DES À L’AIDE DE FRACTIONS Mallette •◗ poster ➞LONGUEURS DICO 9 par élève ou équipe ded avec 2 l’unité u de la recherche. 1 Mesure les segments a, b, c et Écris les résultats avec des fractions. 1 u (8 cm) en 3 ou 4 • bande blanche de longueur b exemplaires et bandes A, B, C, D, E et F de 2 couleurs 2 Recherche de messages 3 Recherche des bandes choisies 4 Exploitation 5 Entrainement Collectif Par équipes de 2 Collectif d Collectif Individuel 2 Recherche des messages par équipes de 2 ◗ PROCÉDURES POSSIBLES – Report de l'unité un nombre entier de fois et réponse par un encadrement (entre 1 u et 2 u, par exemple). Cette procédure sera reconnue ensuite comme insuffisamment précise. – Partage de l'unité (par pliage) par exemple en 2 ou en 4 et report de l'unité et/ou de parts de l'unité, le résultat étant exprimé verbalement, par exemple pour la bande A : l’unité et la moitié de l’unité, l’unité et l’unité pliée en deux ; trois fois la moitié de l’unité ; une unité et demie… 30 • trente RECHERCHE À l’aide d’une bande-unité, quelles informations sur leur longueur fournir aux autres élèves pour leur permettre de reconnaitre deux bandes choisies parmi une collection de six ? 023-038-Unite 2.indd 30 2 ● Un temps suffisant doit être laissé aux élèves pour ce travail. Il est rappelé que, pour faciliter le mesurage, ils peuvent découper les bandes noires et grises sur la fiche. ● Observer les procédures utilisées. hatier-clic.fr/CM1capg0203 différentes) ➞ fiche 13 a c • demi-feuille A4 pour noter les résultats • pas d’instrument de mesure • manuel p. 30, question A 1 Présentation de la situation UNITÉ Insister sur trois points, pour clarifier le contrat : ➞ Chaque équipe doit choisir deux bandes en respectant la consigne : une bande choisie parmi A, B, C et une autre bande choisie parmi D, E, F. ➞ Vous devez mesurer ces deux bandes avec l’unité u et n'utiliser aucun autre instrument de mesure que la bandeunité qui vous été remise. ➞ Vous devez rédiger un message qui sera fourni ensuite à la classe avec, pour chaque bande choisie, une seule indication : sa longueur exprimée avec l’unité u. Ce message doit permettre aux autres élèves de trouver les deux bandes que vous avez choisies. Il ne faut bien sûr pas donner le nom des bandes. est l’unité pour la recherche et pour les exercices. 1u INCONTOURNABLE 2 DÉROULÉ UNITÉ 23/01/2020 18:40 ◗ DIFFICULTÉS ÉVENTUELLES – Pour imaginer qu'il faut partager l'unité 1 Présentation collective de la situation Aide À traiter lors de l'exploitation collective. – Pour exprimer le résultat de la mesure Distribuer la fiche 13 à chaque équipe. ● Faire découper soigneusement un exemplaire de la bandeunité blanche (d’autres pourront être découpées en cas de détérioration). ● Préciser son utilisation : ● Aide Faire verbaliser oralement et proposer une expression écrite qui respecte cette verbalisation. On n’attend pas, de la part des élèves, l’utilisation d’expressions fractionnaires sous forme usuelle. Mais comptetenu du travail réalisé dans l'apprentissage 2, certains auront recours à des partages de l'unité et à des expressions verbales utilisant les termes demi, moitié, quart… Dans cette recherche, l'utilisation de demis et de quarts suffit pour exprimer les longueurs en jeu. ➞ Cette bande blanche sert d’unité de longueur pour mesurer d’autres bandes ou d’autres segments. Elle mesure donc 1 unité : on note 1 u sa longueur (1 u est écrit au tableau, à côté d’une bande blanche affichée). ● Demander à un élève de venir au tableau tracer un segment de longueur 3 u, puis à un autre de tracer un segment de longueur 4 u. ● Rappeler le principe du mesurage par report de l'unité. ● Demander aux élèves de prendre connaissance de la recherche dans le manuel et la faire reformuler. 3 Recherche collective des bandes choisies Proposer à la classe successivement tous les messages, en commençant par ceux qui sont erronés ou ambigus et ne permettent pas de déterminer les bandes choisies par leurs auteurs. Déroulement possible pour chaque message : ● 81 Les deux écritures pour la longueur de la bande A traduisent des messages équivalents mais différents qui doivent tous deux être pris en compte. L’égalité montre qu’il est possible d’utiliser le fractionnement de l’unité pour mesurer des longueurs plus grandes que celle-ci et de l’exprimer à l’aide d’une fraction. Elle donne donc accès aux fractions supérieures à 1. TRACE ÉCRITE INDIVIDUELLE Faire coller les bandes de longueur une unité, une demi-unité, un quart de l’unité avec les écritures 1 u, UNITÉ 2 1 3apprentissage 3 u mises bout à bout avec l'écriture u et les mots 4 4 Je cherche etDes bandes à mesurer numérateur dénominateur. 3 2 u bandes et 1: u + les écritures A Sur ta fiche, choisis deux ◗ EXPRIMER DES LONGUEURS À L’AIDE DE FRACTIONS 1 – 4 indique qu’on a partagé l’unité en 4 parts égales : on l’appelle le dénominateur ; – 3 indique qu’on a reporté 3 fois une des parts : on l’appelle le numérateur. 3 u exprime donc que l’unité est partagée en 4 parts égales 4 et qu’on reporte 3 fois une de ces parts. ◗ À partir de là, écrire, avec les élèves, une expression de la longueur de chaque bande, en illustrant avec le matériel utilisé : 1 3 1 5 u ou u B. 1 u + u ou u 2 2 4 4 1 1 3 C. u D. 2 u E. u F. u 2 4 4 1 Illustration pour la bande A (échelle ) : 2 A. 1 u + c ENTRE EXPRESSIONS ◗ ÉGALITÉS FRACTIONNAIRES 30 2• trente Trace quatre segments de longueur : 1 c. 1 u + u 2 1 d. u + 1 u 2 4 a. 1 u 2 023-038-Unite 2.indd 30 b. 1 u 4 ◗ 1 EXERCICES 3 3 u. 23/01/2020 18:40 2 b. Écris cette longueur d’une autre manière en utilisant l’unité u. 8 a. Trace un segment de longueur 9 a. Trace un segment de longueur 5 u. 2 b. Écris cette longueur d’une autre manière en utilisant l’unité u. DICO 10 EXPRIMER DES FRACTIONS AVEC DES MOTS ET AVEC DES CHIFFRES 2 Écris ces fractions en utilisant des chiffres barre de fraction. Poureta. launl’exercice 1, des expressions différentes ont pu demi d. quatre quarts 10 a. Trace un segment de longueur 2 u + 1 u. b. trois quarts e. neuf demis être c.trouvées pour un même segment. La validité de 2 cinq demis f. neuf quarts b. La longueur de ce segment peut-elle aussi s’écrire : l'expérience, mais ces4 Écris expressions est contrôlée par ces fractions avec des mots. 1u+ 3 u ? • 7 u ? • 5 u ? 1 2 4des justifications 2 certains déjà •apporter a. 3 b.élèves c. 5 peuvent d. 2 e. 7 2 4 2 2 4 11 a. Trace les 3 segments suivants : « théoriques », du type « dans un demi, il y a deux quarts, 3 ET UTILISER LES RELATIONS ◗ EXPRIMER • longueur du segment A : 1 u + u ENTRE LA FRACTION ET L’UNITÉ 4 1 2 3 • longueur du segment B : u donc u est à faut-il u ». 8 5 Pour obtenir une égal unité, combien 2 • longueur du segment C : 1 u + u 4 : a. 2 de demi-unités ? 8 b. de quarts d’unité ? b. Cherche d’autres façons d’écrire Pourc.l’exercice 2, la tâche est différente : il s'agit de tracer de huitièmes d’unité ? la longueur de chaque segment. et 6non de mesurer. Mais les connaissances mobilisées sont 12 Écris la longueur de chaque segment Pour obtenir une demi-unité, combien faut-il : sous la forme d’une seule fraction. a. de quarts d’unité ? identiques. Tu peux construire les segments b. de huitièmes d’unité ? ★ ★ ★★ ★★ ★ pour t’aider, ou répondre directement. 1 2 1 1 avec u ou u… a. 1 ub.+ 1 u =u... u Réponses a. un nombre 7 Recopie et:complète 44 entier ou une fraction. 2 4 b. 1 u + 1 u + 1 u = ... u a. 1 u + 1 u = ... u 1 52 4 9 2 2 u… c. 21 u + u ou 1 u + u ou 1 1 1 b. u+ u+ u+ u = ... u4 4 4 4 4 4 4 Énigme 1 5 c. 1 u + 1 u + 1 u = ... u 2 2 2 d. 1 u + u ou Vraiu... 1 1 1 7 1 1 4 4 ou faux ? 2 u + 4 u + 8 u = 8 u d. u + u = ... u INCONTOURNABLE 1u+ 3 u 2 1 u 2 4 4 hatier-clic.fr/CM1cap009 trente-et-un • 31 023-038-Unite 2.indd 31 82 9 d INCONTOURNABLE 3 : 4 DICO Mesure les segments a, b, c et d avec l’unité u de la recherche. Écris les résultats avec des fractions. b a INCONTOURNABLE fraction, par exemple pour D Manuel p. 30-31 F INCONTOURNABLE ◗ Indiquer la signification des nombres figurant dans une A B E Je m’entraine Exprimer des longueurs à l’aide de fractions mesures précises : – Partager l'unité en 2 ou 4 parts égales. – Reporter l'unité ou des parts de l'unité sur toute la longueur de la bande à mesurer. Le pliage en deux permet d'obtenir une longueur moitié d'une longueur donnée. ◗ Rappeler les expressions verbales connues et leur utilisation dans ce contexte : trois quarts d’unité, une unité et un quart d'unité, trois demi-unités… ◗ Indiquer le codage symbolique des fractions : 1 1 3 pour un demi, pour un quart, pour trois quarts 2 4 4 FICHE MATÉRIEL C 4 Entrainement individuel INCONTOURNABLE EXPLICITATION, VERBALISATION ◗ Rappeler les procédés efficaces pour obtenir des 1 u. 2 une bande parmi A, B, C et une autre parmi D, E, F. Mesure-les avec l’unité qui t’a été remise. Écris, sur une feuille, le nom de chaque bande et la mesure que tu as obtenue. Tes mesures doivent permettre aux autres élèves de ta classe de retrouver les deux bandes que tu as choisies. INCONTOURNABLE Faire l’inventaire des procédés et des expressions utilisés et fournir aux élèves les écritures fractionnaires et leur signification, en relation avec les expressions verbales utilisées. Cette bande blanche est l’unité pour la recherche et pour les exercices. La longueur de la bande blanche est égale à 1 u. Faire coller la bande A 1comme dans l’illustration avec u 4 Exploitation collective ● 1 1 u, u. 2 4 Fractions Faire coller la bande F simples et en dessous trois bandes de longueur INCONTOURNABLE 1. Afficher ou reproduire le message d’une équipe au tableau : demander aux autres élèves de rechercher les deux bandes correspondantes et de noter les lettres sur leur ardoise ou leur cahier de brouillon (s’ils pensent les avoir trouvées). 2. Recenser les bandes trouvées par les autres élèves et noter les lettres correspondantes au tableau en face du message. 3. Faire expliquer par les élèves comment ils ont trouvé chaque bande à partir du message ou pourquoi ils n’ont pas pu la trouver. 4. Demander aux élèves émetteurs du message, de dire quelles bandes ils avaient choisies et engager un débat sur la pertinence des messages, en particulier pour savoir si les indications données permettaient ou non de trouver les bandes. 23/01/2020 18:40 INCONTOURNABLE ENTRE EXPRESSIONS ◗ ÉGALITÉS FRACTIONNAIRES a. Trace un segment de longueur 3 u. 2 b. Écris cette longueur d’une autre manière en utilisant l’unité u. 2 Trace quatre segments de longueur : a. 1 u c. 1 u + 1 u 2 a. Trace un segment de longueur2 5 u. b. 1 2u d. 1 u + 1 u b. Écris cette longueur d’une autre 4 2 4 manière en utilisant l’unité u. 4 ★ INCONTOURNABLE ◗ 1 EXPRIMER 10 a. Trace un segment de longueur 2 u + DES u. FRACTIONS ★ Écris ces fractions avec des mots. 1 5 2 7 a. 3 b. c. d. e. 2 4 2 2 4 11 ET UTILISER LES RELATIONS ◗ EXPRIMER ENTRE LA FRACTION ET L’UNITÉ✶ ★★ T ON UA RB NL EA B L E I N C OI N CT O N UR 3 4 EXERCICES 2 Trace quatre segments de longueur : ◗ 5 Pour faut-il : 1 obtenir une unité, combien a. c. 1 u + 1 u a. de udemi-unités ? 2 2 b. de quarts d’unité ? 1 u 1 u+ 1 u b. d. c. de huitièmes d’unité ? 2 4 DICO4 10 INCONTOURNABLE ★★ INCONTOURNABLE 10 INCONTOURNABLE DICO 1 3 5 4 9 9 c. d. e. f. Réponses : 3 a.en utilisantb.des chiffres 37 Écris cesetfractions Recopie complète avec un nombre 2 4 2 4 2 4 et la barre de fraction. fraction. entier ou une a. un demi 4 a. trois d. quatre quarts demis b. 10un quart c. cinq demis 1 1 b. trois quarts e. neuf demis a. u + u = ... u 2 demis 2 c. cinq f. neuf demis quarts d. deux e. ★sept quarts 4 b. 1 u + 1 u + 1 u + 1 u = ... u 4 4 avec 4des mots. Écris4 ces fractions 1 u5 = ... u 2 c. 31 u +b. 11 u + c. a. d. e. 7 24 2 2 22 2 4 1 1 d. u + u = ... u EXPRIMER 4 4 ET UTILISER LES RELATIONS ENTRE LA FRACTION ET L’UNITÉ 9 Exprimer et utiliser les relations 11 entre◗la fraction et l’unité INCONTOURNABLE ★ 5 Pour obtenir une unité, combien faut-il : a. de demi-unités ? b. de quarts d’unité ? c. de huitièmes d’unité ? 023-038-Unite 2.indd 31 6 INCONTOURNABLE ★ 7 Pour obtenir une demi-unité, combien faut-il : a. de quarts d’unité ? b. de huitièmes d’unité ? Recopie et complète avec un nombre entier ou une fraction. 1 u + 1 u = ... u 2 2 1 b. u + 1 u + 1 u + 1 u = ... u 4 4 4 4 c. 1 u + 1 u + 1 u = ... u 2 2 2 d. 1 u + 1 u = ... u 4 4 a. Énigme INCONTOURNABLE I NICNOCNOTNOTUORUNRANBALBEL E b. de huitièmes d’unité ? DES CHIFFRES AVEC DES MOTS ET AVEC a. 1 u + 1 u = ... u 1 u + 1 usuivants a. Trace les?3 segments + 1 u =2: 7 u 2 Vrai ou faux 2 4 8 8 3 u 1 • longueur du segment A : 1 ub.+ 1 u+ u + 1 u + 1 u = ... u 4 4 4 4 4 hatier-clic.fr/CM1cap009 3 • longueur du segment B : u 1 1 u + • u31 + 1 u = ... u 8 c. trente-et-un 2 u 2 2 • longueur du segment C : 1 u + 2 8 d. 1 u + 1 u = ... u b. Cherche d’autres façons d’écrire 4 423/01/2020 18:40 la longueur de chaque segment. ★★ 12 Écris la longueur de chaque segment Tu peux construire les segments pour t’aider, ou répondre directement. Énigme 6 ✶ 7 1 u+ 1 u+ 1 u= 7 u 2 4 8 8 trente-et-un • 31 23/01/2020 18:40 023-038-Unite 2.indd 31 Les relations peuvent être trouvées mentalement ou en faisant appel au matériel « bande unité » déjà utilisé. Pour chaque relation, l’affichage est proposé dans 3 registres et peut faire l'objet d'un affichage collectif : Registre imagé 1u 1u 2 1u 2 Registre verbal Registre symbolique 2 demi-unités, c’est 1 unité 1 1 u+ u=1u 2 2 1 ou 2 × u = 1 u 2 2 ou encore u = 1 u 2 Le terme « huitièmes » est l’occasion pour l’enseignant d’expliquer que c’est la part obtenue en partageant l’unité en 8 parts égales ou le quart en 2 parties égales. Réponses : 5 a. 2 demi-unités a. Trace un segment de longueur 2 b. Écris cette longueur d’une autre manière en utilisant l’unité u. u. 10 a. Trace un segment de longueur 2 u + 1 u. 2 b. La longueur de ce segment peut-elle aussi s’écrire : 3 7 5 •1u+ u ? • u ? • u ? 2 4 2 ★ ◗ 9 11 ★★ 2 b. de huitièmes d’unité ? b. La longueur de ce segment peut-elle aussi s’écrire : 7 Recopie et complète avec un nombre •1u+ 3 u ? • 7 u ? • 5 u ? entier fraction. 2 2 ou une 4 1 u + 1 u = ... u a. les a. Trace 3 segments suivants : 2 2 • longueur du segment A : 1 u + 3 u b. 1 u + 1 u + 1 u + 1 u4= ... u 4 4 4 4 • longueur du segment B : 3 u c. 1 u + 1 u + 1 u 8= ... u2 • longueur2 du segment 2 2C : 1 u + u 8 b. Cherche d. 1 ud’autres + 1 u =façons ... u d’écrire 4 de chaque 4 la longueur segment. EXERCICES 8 3 u 4 3 u 8 2 • longueur du segment C : 1 u + u 8 b. Cherche d’autres façons d’écrire la longueur de chaque segment. • longueur du segment A : 1 u + • longueur du segment B : 5 Pour obtenir une unité, combien faut-il : 5 u. a. de a. Trace undemi-unités segment de?longueur b. de quarts d’unité ? 2 b. Écris cette longueur d’une? autre c. de huitièmes d’unité manière en utilisant l’unité u. 6 Pour obtenir une demi-unité, combien faut-il : 1 10 a.★Trace un quarts segment de longueur 2u+ u. a. de d’unité ? ★ 11 a. Trace les 3 segments suivants : ★★ 12 Écris la longueur de chaque segment ★★ sous la forme d’une seule fraction. Tu peux construire les segments pour t’aider, ou répondre directement. 1 u = ... u 4 b. 1 u + 1 u + 1 u = ... u 2 4 a. 1 u + 9 10 ✶ 11 ✶ ✶ 12 ✶ ✶Énigme Vrai ou faux ? 1 u+ 1 u+ 1 u= 7 u 2 4 8 8 Les connaissances utilisées sont les mêmes que celles mobilisées précédemment. Les réponses peuvent être 12 Écris la longueur de chaque segment • 31 sous la forme d’une seule fraction. Tu peuxpar construire les raisonnement segments obtenues un ou en appui sur le matériel. pour t’aider, ou répondre directement. Par exemple, pour les exercices 8 et 9, les élèves peuvent a. 1 u + 1 u = ... u 4 utiliserb. la bande unité pour tracer les segments puis pour 1 1u+ u + 1 u = ... u 4 trouver une2 autre expression de sa longueur. Ils peuvent également mobiliser un raisonnement du type : Énigme 3 Vrai ou faux ? 1 u + 1 u + 1 u1= 7 u u c'est comme 14 u 8+ 8u parce que trois demi-unités, c’est 2 2 2 deux demi-unités et une demi-unité, et deux demi-unités, • 31 c’est une unité. Il est indispensable de mettre en relation ce raisonnement avec une illustration par des manipulations de la bande unité. Pour l’exercice 10, les élèves peuvent à nouveau utiliser des arguments « théoriques » ou s’aider du matériel : avec la bande unité pliée en deux puis dépliée, on voit bien que 1 unité, c’est 2 demi-unités. La verbalisation de ces raisonnements, avec les mots demi, quart…, ainsi que la référence à la manipulation effective des parts d’unités constitue une aide à l’abstraction. Il s’agit là encore de mettre en relation (en résonnance) les registres symboliques (fractions écrites) ; verbaux (demi, quart…) et visuels (par l'action de partage et report de parts de la bande unité : hatier-clic.fr/CM1cap009 trente-et-un ★★ 023-038-Unite 2.indd 31 23/01/2020 18:40 hatier-clic.fr/CM1cap009 23/01/2020 18:40 023-038-Unite 2.indd 31 a. 1 u + 1 u = ... u 4 1 1 b. 1 u + u+ u = ... u 2 4 hatier-clic.fr/CM1cap009 EXERCICES 5 9 trente-et-un ★★ sous la forme d’une seule fraction. Vrai ou faux ? ÉGALITÉS EXPRESSIONS Écris ENTRE ces fractions avec des mots. FRACTIONNAIRES ★ a. 3 b. 1 c. 5 d. 2 e. 7 2 4 2 2 4 3 u. a. Trace un segment de longueur 2 EXPRIMER ET UTILISER LES RELATIONS b. Écris cette longueur d’une autre ENTRE LA FRACTION manière en utilisant l’unité u.ET L’UNITÉ 8 DICO AVEC DES2 MOTS ET AVEC DES CHIFFRES b. La longueur de ce segment peut-elle aussi s’écrire : 3 Écris ces fractions en utilisant des chiffres de fraction. • 1 u + 3 u ? • 7 u ? •et5laubarre ? a.2un demi 2 4 d. quatre quarts b. trois quarts e. neuf demis a. Trace les 3 segments suivants : demis c. cinq f. neuf quarts 3 • longueur du segment A : 1 u + u 4 ces fractions avec des mots. 4 Écris ÉGALITÉS EXPRESSIONS • longueur ENTRE du segment B: 3 u ★ 8 FRACTIONNAIRES a. 3 b. 1 c. 5 d. 2 e. 7 4 2 2 4 • longueur du segment C : 1 u + 22 u a. Trace un segment de longueur8 3 u. b. Cherche d’autres façons d’écrire2 EXPRIMER ET UTILISER LES RELATIONS b. longueur Écris cette d’uneENTRE autre LA FRACTION ET L’UNITÉ la delongueur chaque segment. manière en utilisant l’unité u. Écris la longueur de chaque segment 5 Pour obtenir une unité, combien faut-il : sous la forme d’une seule fraction. a. de 5demi-unités ? Tu peux construire lesde segments a. Trace un segment longueur u. d’unité ? b. de 2quarts pour t’aider, ou répondre directement. de huitièmes d’unité ? b. Écris cette longueur d’unec.autre 1 manière a. 1 u + enuutilisant = ... u l’unité u. 4 6 Pour obtenir une demi-unité, combien faut-il : 1 u + 1 u = ... u★ a. de quarts 1 d’unité ? b. Trace 1 u + un a. segment de longueur 2 u + u. 2 4 b. de huitièmes d’unité ? 2 b. La longueur de ce segment peut-elle aussi s’écrire : 7 Recopie et complète avec un nombre 5 u? • 1 u + 3 u ? • 7 u ? •entier ou une fraction. 2 4 2 8 Exercices classiques, sans difficultés particulières. Le recours ◗ 10 permet aux élèves de retrouver, si nécessaire, au 12 6 Pour obtenir une demi-unité, combien faut-il : les bonnes expressions. a. de quarts d’unité ? DES FRACTIONS ◗ EXPRIMER ★ INCONTOURNABLE Écris ces fractions en utilisant des chiffres et la barre de fraction. a. un demi d. quatre quarts b. trois quarts e. neuf demis c. cinq demis f. neuf quarts INCONTOURNABLE INCONTOURNABLE 3 INCONTOURNABLE DICO 10 EXPRIMER DES FRACTIONS AVEC DES MOTS ET AVEC DES CHIFFRES Écris ces fractions en utilisant des chiffres et la barre de fraction. a. un demi d. quatre quarts b. trois quarts e. neuf demis c. cinq demis f. neuf quarts Égalités ◗ 4 entre expressions fractionnaires Exprimer des fractions avec des mots et avec ◗ des chiffres 9 INCONTOURNABLE 8 INCONTOURNABLE Trace quatre segments de longueur : a. 1 u c. 1 u + 1 u 2 2 1 b. u d. 1 u + 1 u 4 2 4 INCONTOURNABLE 2 INCONTOURNABLE INCONTOURNABLE AVEC DES MOTS ET AVEC DES CHIFFRES 3 b. 4 quarts d’unité c. 8 huitièmes d’unité 6 a. 2 quarts d'unité b. 4 huitièmes d'unité 2 4 3 1 2 7 a. 1 u ou u b. 1 u ou u c. u d. u ou u 2 4 2 2 4 Registre imagé 1u 1u 1u Registre verbal 1 u 2 1 1 1 u u u 2 2 2 1 1 1 1 1 u u u u u 2 2 2 2 2 Registre symbolique 1 unité, 1 1 2 1u= u+ u= u c’est 2 2 2 2 demi-unités 1 1 1 1 2u= u+ u+ u+ u 2 unités, 2 2 2 2 c’est donc 4 = u 4 demi-unités 2 Donc : 2 unités plus Donc :1 5 1 demi-unité, 2 u + u = u 2 2 c’est 5 demi-unités 83 UNITÉ 2 INCONTOURNABLE 7 b. de huitièmes d’unité ? Tu peux construire les segments pour t’aider, ou répondre directement. Recopie et complète avec un nombre entier ou une fraction. a. 1 u + 1 u = ... u 4 1 1 b. 1 u + u+ u = ... u 2 4 1 1 u + u = ... u 2 2 b. 1 u + 1 u + 1 u + 1 u = ... u 4 4 4 4 c. 1 u + 1 u + 1 u = ... u 2 2 2 d. 1 u + 1 u = ... u 4 4 a. Pour que cette mise en relation fonctionne, il faut progressivement inciter les élèves à n’utiliser le registre de l’action que pour vérifier ce qui a été trouvé, en essayant de raisonner dans les deux autres registres. Il ne s’agit pas, à ce moment de la scolarité, de mettre en place des règles formelles concernant l’égalité des expressions fractionnaires, mais de travailler sur de telles égalités en référence à la signification de ces écritures en les exprimant dans le registre verbal. 3 1 6 Réponses : 8 b. u = 1 u + u = u 2 2 4 5 1 3 2 3 1 9 b. u = 1 u + u = u + u = u + u… 4 4 4 4 4 2 023-038-Unite 2.indd 31 10 b. 2 u + 1 3 5 u=1u+ u= u 2 2 2 7 1 1 u = 1 u + u + u… 4 2 4 2 1 1 1 segment b : u + u = u + u… 8 8 4 8 10 5 1 segment c : u = u = 1 u + u... 8 4 4 5 7 12 a. u b. u 4 4 11 b. segment a : 84 Énigme 1 u+ 1 u+ 1 u= 7 u Vrai ou faux ? 2 4 8 8 hatier-clic.fr/CM1cap009 Plusieurs procédures sont trente-et-un • 31 possibles. 1. Utiliser une bande unité découpée de façon aléatoire, 1 tracer un segment de longueur u, puis à la suite un 2 1 1 deuxième de longueur u et un troisième de longueur u 4 8 et mesurer la longueur du segment obtenu en huitièmes d’unité. 1 2. Utiliser un raisonnement : en considérant que u 4 2 1 2 4 correspond à u et que u correspond à u donc à u, 8 2 4 8 4 2 1 alors l’expression donnée est égale à u + u + u. 8 8 8 3. Procédure mixte. 23/01/2020 18:40 Réponse : Vrai Multiplication : calcul réfléchi Objectifs : – Multiplier un nombre par 10, 100… ou un de leurs multiples simples – Connaitre et utiliser des propriétés de la multiplication pour effectuer un calcul mentalement ou en ligne UNITÉ apprentissage 4 Les activités proposées dans cet apprentissage permettent de revoir des connaissances fondamentales étudiées depuis le CE1. La « règle des 0 » pour la multiplication par des nombres comme 10, 100, 20, 200… est reprise et justifiée en relation avec la numération décimale de position. Le calcul réfléchi de produits est réactivé en mettant en évidence les propriétés de la multiplication sous-jacentes (commutativité, associativité, distributivité sur l'addition, sans que ce vocabulaire soit utilisé). Ces propriétés sont essentielles pour assurer la compréhension de la technique de calcul posé de la multiplication, pour le calcul de divisions ou encore pour l'étude de la proportionnalité. Multiplication : calcul réfléchi 2 UNITÉ apprentissage 4 LeJecalcul cherche malin Le calcul malin A b. 6 × 15 Même question pour ces trois produits. a. 6 × 25 b. 6 × 205 c. 12 × 15 Je m’entraine pour la classe ◗ MULTIPLIER PAR 10, 100… ◗ UTILISER DES RÉSULTATS DICO 36 DICO 37 CONNUS 12 dizaines, • matériel de numération (12 centaines, 1 Calcule. 5 Calcule. 30 ➞ Mallette a. 8 unités) × 10 e. 10 × 56 a. 2 × 25 c. 10 × 25 b. 16 × 100 f. 56 × 100 quadrillée • une b. 4 × 25 d. 20 × 25 c. 20 ×feuille 10 g. 10 × 350 (grands carreaux, d. 20 × 100 h. 10 × 23 au moins 15 × 12 carreaux) INCONTOURNABLE INCONTOURNABLE MATÉRIEL – Utilisation de l'addition itérée, par exemple 11 + 11 + 11 + 11 + 11 + 11. – Décomposition additive d'un des facteurs, par exemple pour calculer 6 × 11 : • comme 6 = 3 + 3, 6 fois 11 égale 3 fois 11 plus 3 fois 11 ; • comme 11 = 10 + 1, 6 fois 11 égale 10 fois 6 plus 1 fois 6 ou 10 fois 6 plus 6. – Décomposition multiplicative d'un des facteurs, par exemple 6 × 15 calculé comme 3 fois 2 fois 15. Calcule ces deux produits et explique la méthode que tu as utilisée. a. 6 × 11 B a. 7 × … = 70 e. …. × 10 = 450 c. 50 × …. = 5 000 g. …. × 10 = 2 050 h. …. × 100 = 3 000 ◗ DIFFICULTÉS ÉVENTUELLES 6 Utilise les résultats de l’exercice 5 et par élève ou équipe de 2 2 Complète. – Pour imaginer un autre calcul que l'addition itérée ou la pose de l’opération dans sa tête les schémas pour calculer les produits suivants. 25 b. 80 × … = 800 f. …. × 10 = 1 000 (à la demande) a. 6 × 25 de numération 4 • matériel ➞ Mallette pard. élève 43 × …. = 4 300 Aide À traiter lors de l'exploitation collective. 2 p. 20, 32,200… questions A et B •◗ manuel MULTIPLIER PAR INCONTOURNABLE b. 14 × 25 25 – Pour mener à bien mentalement une procédure 10 4 Aide Inciter à traduire par écrit les détails du calcul. les résultats de l’exercice 5 1 a.Calcule. Présentation de la situation7 UtiliseCollectif 9 × 20 e. 300 × 6 3 b. 15 × 20 c. 43 × 200 d. 8 × 500 f. 200 × 5 g. 40 × 120 h. 20 × 250 2 Recherche (question A) 3 Exploitation (question A) 4 Complète. 4 a.Recherche (question 20 × … = 80 e. …. × 20 = 100B) b. 50 × … = 150 f. …. × 300 = 6 000 d. 40 × …. = 1 600 h. …. × 200 = 6 600 5 c.Exploitation (question 50 × …. = 2 500 g. …. × 60 = 1 200B) 6 Entrainement 32 • trente-deux – Pour comprendre qu'il faut ajouter 6 × 5 à 6 × 10 à partir de la décomposition de 15 en 10 + 5 (cas des élèves qui calculent (6 × 10) + 5) pour calculer les produits suivants. Tu peux t’aider d’un schéma. a. 12 × 25 c. 24 × 25 b. 22 × 25 d. 16 × 25 Individuel Collectif 8 Calcule sans poser de multiplication. Individuel a. 15 × 4 e. 15 × 11 b. 15 × 8 f. 15 × 9 c. 15Collectif × 16 g. 15 × 21 d. 15 × 32 h. 15 × 101 Individuel RECHERCHE 023-038-Unite 2.indd 32 Aide À traiter lors de l'exploitation collective. 3 Exploitation collective (question A) 23/01/2020 18:40 Comment calculer des produits, sans poser d'opérations en colonnes ni utiliser de calculatrice ? 1 Présentation collective de la situation Demander aux élèves de prendre connaissance de la recherche dans le manuel et la faire reformuler. ● Reformuler la tâche : ● ➞ Vous calculerez d'abord les produits de la question A et nous verrons ensemble les méthodes que vous avez utilisées. Vous pourrez ensuite utiliser ce que nous aurons appris ensemble pour calculer les produits de la question B. Le matériel de numération est à votre disposition, mais vous n'êtes pas obligés de l'utiliser. 2 Recherche individuelle (question A) Observer les procédures utilisées. ● Solliciter éventuellement les élèves pour trouver une autre procédure que celle qu'ils ont d'abord utilisée. ● 2 ◗ PROCÉDURES POSSIBLES Tu dois effectuer les calculs sans poser d’opération en colonnes et sans utiliser de calculatrice. Tu peux utiliser le matériel de numération. INCONTOURNABLE 2 DÉROULÉ UNITÉ ● Faire l’inventaire des résultats obtenus par les élèves puis, pour chaque calcul, faire formuler et traduire par écrit les procédures utilisées (cf. procédures possibles ci-dessus), la traduction écrite pouvant prendre plusieurs formes, par exemple pour 6 × 15 calculé comme « 6 fois 10 plus 6 fois 5 » : 6 × 15 = 6 × (10 + 5) = (6 × 10) + (6 × 5) = 90 10 + 5 ×6 ×6 60 + 30 = 90 Mettre en évidence les raisonnements erronés en s'appuyant sur une validation à l'aide du matériel de numération, par exemple pour les élèves qui, pour 6 × 15 ont calculé (6 × 10) + 5 au lieu (6 × 10) + (6 × 5) ! voir le 1er schéma ci-après (dans eXpliciTaTioN, verBalisaTioN). ● EXPLICITATION, VERBALISATION ◗ Souligner que la procédure par addition itérée est cor- recte, mais trop longue et source d'erreurs et qu'il faut donc chercher d'autres méthodes. ◗ Mettre en évidence les deux procédures principales et les formuler dans 3 registres (imagé, verbal et symbolique) : 85 – On peut décomposer un des facteurs sous forme d'une somme (souvent il est possible de s'appuyer sur la numération décimale), par exemple pour 6 × 15 : Registre imagé Registre verbal (appuyé sur l'image) Registre symbolique (traduction du verbal) 6 fois 15 c'est aussi 6 fois 10 plus 6 fois 5 (6 dizaines + 6 fois les 5 unités) 6 × 15 = 6 × (10 + 5) = (6 × 10) + (6 × 5) – On peut décomposer un des facteurs sous forme d'un produit, par exemple pour 6 × 15 : Registre imagé Registre verbal (appuyé sur l'image) Registre symbolique (traduction du verbal) 4 Recherche individuelle (question B) ● Même déroulement que pour la question A. ◗ PROCÉDURES POSSIBLES • Pour 6 × 25 et 6 × 205 – voir les procédures pour le calcul de 6 × 15 en question A • Pour 12 × 15 – Utilisation de la décomposition de 12 en 6 + 6 ou 2 × 6 et calculs correspondants (6 × 15 = 90 étant connu à partir de la question A) : 12 × 15 = (6 + 6) × 15 = (6 × 15) + (6 × 15) = 90 + 90 = 180 ou 12 × 15 = (2 × 6) × 15 = 2 × (6 × 15) = 2 × 90 = 180 – Utilisation de la décomposition de 12 en 10 + 2 et calcul correspondant : 12 × 15 = (10 + 2) × 15 = (10 × 15) + (2 × 15) = 150 + 30 = 180 – Utilisation d’autres décompositions additives ou multilicatives de 12 (ou de 15) et calculs correspondants. ◗ DIFFICULTÉS ÉVENTUELLES – Voir question A 5 Exploitation collective (question B) ● Même déroulement que pour la question A. EXPLICITATION, VERBALISATION 6 fois 15 c'est aussi 6 × 15 = (3 × 2) × 15 3 fois « 2 fois 15 » = 3 × (2 × 15) (3 fois les 2 groupes de 15) ◗ Rappeler la procédure de multiplication d’un nombre entier par 20 et par 200 6 × 200 c’est 6 fois « 2 fois 100 » donc 12 fois 100, donc 12 centaines, donc 1 200. Ce qui peut être illustré dans le tableau de numération et justifie la « règle des 0 ». milliers centaines dizaines unités 6 1 2 0 0 ◗ Mettre à nouveau en évidence les procédures principales et ◗ Rappeler la procédure de multiplication d'un nombre entier par 10 et par 100 6 × 10 c'est 6 fois 10, c'est aussi 6 dizaines, c'est donc 60. Dans la multiplication par 10, les 6 unités sont devenues 6 dizaines. Ce qui peut être illustré dans le tableau de numération et justifie la « règle des 0 ». milliers centaines dizaines unités 6 6 0 La règle des 0 se résume souvent à « ajouter » un ou plusieurs 0 à la droite du nombre. Il est nécessaire d’expliquer cette « mécanique » en montrant que, dans la multiplication d’une nombre par 10, 100… chacun des chiffres qui composent son écriture change de valeur (elle devient 10 fois ou 100 fois plus grande) et se décale de 1 ou 2 rangs dans le tableau de numération. TRACE ÉCRITE ● Faire recopier dans le cahier de mathématiques les deux procédures pour 6 × 15, dans les registres verbaux et symboliques. ● Garder une trace collective du même calcul dans les trois registres. 86 les formuler dans 3 registres : imagé, verbal et symbolique. ◗ Avec appui sur le matériel de numération. Exemple pour 6 × 205 : la procédure la plus simple consiste à décomposer 205 en 200 + 5 : Registre imagé Registre verbal (appuyé sur l'image) Registre symbolique (traduction du verbal) 6 fois 205 c'est aussi 6 fois 200 plus 6 fois 5 (6 fois 2 centaines plus 6 fois les 5 unités) 6 × 205 = 6 × (200 + 5) = (6 × 200) + (6 × 5) ◗ Avec appui sur une configuration rectangulaire. Exemple pour 12 × 15 : les deux types de procédures vues en question A sont envisageables. Elles peuvent être imagées et justifiées en utilisant un autre schéma, d'abord présenté sous forme complète, puis sous forme épurée. • À partir de la décomposition de 12 en 2 × 6 : Schéma complet 15 Les deux présentations proposées renvoient à deux significations différentes de la multiplication : la première à la réunion de plusieurs parts égales et la seconde à une configuration rectangulaire de lignes et colonnes régulières. Dans les deux cas on s’appuie aussi sur les propriétés de la numération pour accéder à la décomposition des nombres (Cf. le sens des opérations, hatier-clic.fr/CM1capgcompl03 ). UNITÉ ÉCRITE INDIVIDUELLE TRACE Multiplication : calcul réfléchi Faire les deux 2 recopier dans le cahier de mathématiques apprentissage 4 procédures pour 6 × 205 ou pour 12 × 15, dans les registres verbaux et symboliques. Je cherche Le calcul malin Tu dois effectuer les calculs sans poser d’opération en colonnes et sans utiliser de calculatrice. ● Garder une trace collective du même calcul dans les trois Tu peux utiliser le matériel de numération. registres. A Calcule ces deux produits et explique la méthode ● 6 que tu as utilisée. a. 6 × 11 B 6 Manuel p. 32-33 4 Entrainement individuel UNITÉ 2 2 Calcule. a. 8 × 10 b. 16 × 100 c. 20 × 10 d. 20 × 100 e. 10 × 56 f. 56 × 100 g. 10 × 350 h. 10 × 23 Complète. a. 7 × … = 70 b. 80 × … = 800 c. 50 × …. = 5 000 d. 43 × …. = 4 300 e. …. × 10 = 450 f. …. × 10 = 1 000 g. …. × 10 = 2 050 h. …. × 100 = 3 000 • À partir de la décomposition de 12 en 10 + 2 : INCONTOURNABLE 2 25 10 calculatrice. b. 14 et × 25 Tu dois effectuer les calculs sans poser d’opération en colonnes sans utiliser de MULTIPLIER PAR 20, 200… 4 Tu peux utiliser le matériel de numération. 2 Calcule.ces deux produits et explique la méthode7 Calcule a. 9tu× as 20 utilisée. e. 300 × 6 que b. 15 × 20 f. 200 × 5 a. 6 × 11 b. 6 × 15 c. 43 × 200 g. 40 × 120 d. 8 × question 500 h. trois 20 × produits. 250 Même pour ces DICO 36 1 a. 80 023-038-Unite 2.indd 32 a. 7 × … = 70 b. 80 × … = 800 c. 50 × …. = 5 000 d. 43 × …. = 4 300 e. …. × 10 = 450 f. …. × 10 = 1 000 g. …. × 10 = 2 050 h. …. × 100 = 3 000 suivants. a. 6 × 25 b. 14 × 25 Calcule. a. 9 × 20 b. 15 × 20 c. 43 × 200 d. 8 × 500 2 × 15 e. …. × 20 = 100 f. …. × 300 = 6 000 g. …. × 60 = 1 200 h. …. × 200 = 6 600 32 • trente-deux EXERCICES 3 7 23/01/2020 18:40 25 4 2 25 10 4 Utilise les résultats de l’exercice 5 pour calculer les produits suivants. Tu peux t’aider d’un schéma. a. 12 × 25 c. 24 × 25 b. 22 × 25 d. 16 × 25 8 Calcule sans poser de multiplication. a. 15 × 4 b. 15 × 8 c. 15 × 16 d. 15 × 32 e. 15 × 11 f. 15 × 9 g. 15 × 21 h. 15 × 101 4 023-038-Unite 2.indd 32 23/01/2020 18:40 Il s'agit là encore de vérifier des connaissances établies depuis le CE1 et de les réactiver si nécessaire, en référence à la numération décimale : 15 × 20 = 15 fois 2 dizaines = 30 dizaines = 300 (exercice 3). Réponses : 2 e. 300 × 6 f. 200 × 5 g. 40 × 120 h. 20 × 250 INCONTOURNABLE INCONTOURNABLE 3 a. 20 × … = 80 b. 50 × … = 150 c. 50 × …. = 2 500 d. 40 × …. = 1 600 10 × 15 37 CONNUS b. 1 600 5c. Calcule. 200 d. 2 000 a. 8 × 10 e. 10 × 56 25 e. 560 g.a.32 ×500 h. 230c. 10 × 25 b. 16 × 100 f. 56 × 100f. 5 600 b. 4 × 25 d. 20 × 25 c. 20 × 10 g. 10 × 350 d. 20 × 100 2 a. 10 h. 10 × b. 23 10 c. 100 d. 100 6 Utilise les résultats de l’exercice 5 et e. 45 f. 100 g. 205les schémas h. 30pour calculer les produits 2 Complète. 1 Calcule.: Réponses 4 Complète. 10 Utilise les résultats de l’exercice 5 pour calculer les produits suivants. DICO 32 • trente-deux ◗ MULTIPLIER PAR 20, 200… Schéma épuré 15 c. 10 × 25 d. 20 × 25 Utilise les résultats de l’exercice 5 et les schémas pour calculer les produits suivants. 25 apprentissage 4 a. 6 × 25 4 Multiplier par 20, 200… 2 37 Tu peux t’aider d’un schéma. Il s'agit de vérifier des connaissances établies depuis le a. 12 × 25 c. 24 × 25 B b. 22 × 25 d. 16 × 25 CE1 eta. de les b.réactiver si nécessaire, en référence à la 6 × 25 6 × 205 c. 12 × 15 4 Complète. 8 Calcule sans poser de multiplication. numération décimale : 56 × 100 = 56 centaines = 5 600 a. 20 × … = 80 e. …. × 20 = 100 a. 15 × 4 e. 15 × 11 b. 50 × … = 150 f. …. × 300 = 6 000 b. 15 × 8 f. 15 × 9 (exercice 1) ou 800 = 80 dizaines = 80 × 10 et 2 050 c’est c. 50 × …. = 2 500 g. …. × 60 = 1 200 Je m’entraine c. 15 × 16 g. 15 × 21 d. 40 × …. = 1 600 h. …. × 200 = 6 600 d. 15 × 32 h. 15 × 101 205 ◗dizaines donc 205 × 10 (exercice 2). MULTIPLIER PAR 10, 100… ◗ UTILISER DES RÉSULTATS Schéma complet 15 10 Calcule. a. 2 × 25 b. 4 × 25 Le calcul malin 1 EXERCICES A3 INCONTOURNABLE Ce qui peut être formulé verbalement et symboliquement par les calculs. – 12 fois 15, c'est 2 fois « 6 fois 15 », c'est 2 fois 90, donc 180 – 12 × 15 = (2 × 6) × 15 = 2 × (6 × 15) = 2 × 90 = 180 5 DICO 6 Multiplication : calcul réfléchi ◗ 6 × 15 36 INCONTOURNABLE 1 DES RÉSULTATS ◗ UTILISER CONNUS DICO INCONTOURNABLE INCONTOURNABLE ◗ MULTIPLIER PAR 10, 100… INCONTOURNABLE 6 × 15 Je m’entraine Multiplier par 10, 100… Je cherche 6 UNITÉ c. 12 × 15 b. 6 × 205 a. 6 × 25 Schéma épuré 15 6 b. 6 × 15 Même question pour ces trois produits. 3 a. 180 b. 300 c. 8 600 d. 4 000 e. 1 800 f. 1 000 g. 4 800 h. 5 000 4 a. 4 b. 3 c. 50 d. 40 e. 5 f. 20 g. 20 h. 33 Ce qui peut être formulé verbalement et symboliquement par les calculs. – 12 fois 15, c'est 10 fois 15 plus 2 fois 15, c'est 150 plus 30, donc 180 – 12 × 15 = (10 + 2) × 15 = (10 × 15) + (2 × 15) = 150 + 30 = 180 87 2 b. 6 × 15 × 15 c. 12 c. 12 × 15 EXERCICES 9 10 ✶ Utiliser ◗ des résultats connus DICO DICO 37 DES RÉSULTATS UTILISER DES RÉSULTATS ◗ UTILISER CONNUS CONNUS e. 10 × 56 e. 10 × 56 f. 56 × 100 f. 56 × 100 g. 10 × 350 g. 10 × 350 h. 10 × 23 h. 10 × 23 5 5 Calcule. Calcule. a. 2 × 25 a. 2 × 25 b. 4 × 25 b. 4 × 25 37 Dans l'exercice 9, Il faut comprendre que : – chaque résultat, sur fond bleu, peut être obtenu comme le double du précédent (puisque le 2e facteur du produit est doublé) ; – 19 étant égal à 16 + 2 + 1, 45 × 19 est égal à (45 × 16) + (45 × 2) + (45 × 1), ce qui correspond à la procédure qui s'appuie sur une décomposition additive d'un des facteurs (distributivité de la multiplication sur l'addition). Dans◗ MULTIPLIER l'exercice 10, les produits calculés sur fond bleu COMME LES ÉGYPTIENS Dans ce champ de panneaux solaires, 9 peuvent également être utilisés13 pour calculer dede nouveaux chaque panneau est composé plusieurs plaques solaires. Un de ces panneaux est entièrement visible sur la photo. produits. Sur l’ensemble du champ, 200 panneaux comme installés.remarquer Par exemple pour le calcul de 45 ×celui-ci 21,ontilétéfaut a. Pour calculer 45 × 19 à la manière des Égyptiens, complète égalités.ajouter les résultats de : que : 21 = 16 + 4d’abord + 1,cespuis 45 × 1 = … (45 × 16) × 2) et (45 × 1). 45 × 2; =(45 … c. 10 × 25 c. 10 × 25 d. 20 × 25 d. 20 × 25 6 les résultats de l’exercice 5 et 6 Utilise Utilise les résultats de l’exercice 5 et les schémas pour calculer les produits les schémas pour calculer les produits suivants. 25 suivants. 25 a. 6 × 25 4 a. 6 × 25 4 e. …. × 10 = 450 e. …. × 10 = 450 f. …. × 10 = 1 000 f. …. × 10 = 1 000 g. …. × 10 = 2 050 g. …. × 10 = 2 050 h. …. × 100 = 3 000 h. …. × 100 = 3 000 2 2 I N ICNOCNOTNOTUORUNRANBALBEL E b. 14 × 25 b. 14 × 25 e. 300 × 6 e. 300 × 6 f. 200 × 5 f. 200 × 5 g. 40 × 120 g. 40 × 120 h. 20 × 250 h. 20 × 250 77 25 25 10 10 4 4 Utilise les résultats de l’exercice 5 Utilise les résultats de l’exercice 5 pour calculer les produits suivants. pour calculer les produits suivants. Tu peux t’aider d’un schéma. Tu peux t’aider d’un schéma. a. 12 × 25 c. 24 × 25 a. 12 × 25 c. 24 × 25 b. 22 × 25 d. 16 × 25 b. 22 × 25 d. 16 × 25 Il y a environ 3 000 ans, les Égyptiens ont inventé une technique de multiplication. Pour effectuer une multiplication avec cette méthode, il suffit de savoir multiplier par 2 et additionner. 8 sans poser de multiplication. 8 Calcule Calcule sans poser de multiplication. e. …. × 20 = 100 e. …. × 20 = 100 f. …. × 300 = 6 000 f. …. × 300 = 6 000 g. …. × 60 = 1 200 g. …. × 60 = 1 200 h. …. × 200 = 6 600 h. …. × 200 = 6 600 a. 15 × 4 a. 15 × 4 b. 15 × 8 b. 15 × 8 c. 15 × 16 c. 15 × 16 d. 15 × 32 d. 15 × 32 e. 15 × 11 e. 15 × 11 f. 15 × 9 f. 15 × 9 g. 15 × 21 g. 15 × 21 h. 15 × 101 h. 15 × 101 EXERCICES 5 6 7 45 × 4 = … Cet ensemble d'exercices reprend les apprentissages mis en évidence dans la question B de la recherche, avec la suggestion de s'appuyer sur un schéma rectangulaire. Demander le détail des calculs écrits avec des parenthèses ou en plusieurs lignes, par exemple (dans l'exercice 7) : 12 × 25 = (10 + 2) × 25 = (10 × 25) + (2 × 25) = 250 + 50 = 300 ou 10 + 2 × 25 × 25 250 + 50 = 300 10 Utilise les résultats de l’exercice 9 ★ 9 5 a. 50 b. 100 c. 250 d. 500 6 a. 150 b. 350 7 a. 300 b. 550 c. 600 d. 400 ◗ RÉSOUDRE DES PROBLÈMES Les élèves peuvent utiliser les mêmes procédures, mais l'initiative leur est laissée de choisir les produits simples b. Vérifie que 19 = 16 + 2 + 1. Utilise cette décomposition de 19 pour sur lesquels ils peuvent s'appuyer et dont certains obtenirpeuvent le résultat de 45 × 19. les résultats de l’exercice 9 être issus de la recherche (questions A et B).10 Utilise pour calculer : a. 45les × 9 résul- c. 45 × 21 Pour les questions a. à d., on peut remarquer que b. 45 × 7 d. 45 × 35 tats sont doublés à chaque fois car un des◗facteurs est RÉSOUDRE DES PROBLÈMES doublé alors que l'autre reste inchangé. 11 Un dictionnaire coute 35 €. ★ ◗ MULTIPLIER COMME LES ÉGYPTIENS 9 Il y a environ 3 000 ans, les Égyptiens ont inventé une technique de multiplication. Pour effectuer une multiplication avec cette méthode, il suffit de savoir multiplier par 2 et additionner. Quel est le prix de : a. 2 dictionnaires ? b. 4 dictionnaires ? c. 20 dictionnaires ? d. 24 dictionnaires ? 12 Sur un circuit automobile, la distance ★ parcourue à chaque tour est de 20 km. La course se déroule en 18 tours. a. La voiture qui est en tête de la course 13 Dans ce champ de panneaux solaires, ★ de boucler son 10 tour. chaque panneau est composévient de plusieurs Quelle distance a-t-elle parcourue ? plaques solaires. Un de ces panneaux est b. Lorsqu’elle aura terminé son entièrement visible sur la photo. e tour, quelle distance lui restera-t-il Sur l’ensemble du champ, 20015panneaux à parcourir ? comme celui-ci ont été installés. e a. Pour calculer 45 × 19 à la manière des Égyptiens, complète d’abord ces égalités. 45 × 1 = … 45 × 2 = … 45 × 4 = … 45 × 8 = … 45 × 16 = … 45 × 32 = … ★ c. 45 × 21 d. 45 × 35 INCONTOURNABLE ◗ RÉSOUDRE DES PROBLÈMES 88 Énigme parcourue à chaque tour est de 20 km. La course se déroule en 18 tours. a. La voiture qui est en tête de la course vient de boucler son 10e tour. Quelle distance a-t-elle parcourue ? b. Lorsqu’elle aura terminé son 15e tour, quelle distance lui restera-t-il à parcourir ? a. Comment peut-on marquer 800 points en mettant autant de fléchettes dans chaque zone ? b. Comment peut-on marquer 13 Dans ce champ de panneaux solaires, ★ chaque panneau est composé de plusieurs plaques solaires. Un de ces panneaux est entièrement visible sur la photo. Sur l’ensemble du champ, 200 panneaux comme celui-ci ont été installés. 500 points en mettant autant de fléchettes dans la zone jaune que dans la zone bleue et le double de fléchettes dans la zone rouge ? hatier-clic.fr/CM1cap010 11 Un dictionnaire coute 35 €. Quel est le prix de : a. 2 dictionnaires ? b. 4 dictionnaires ? c. 20 dictionnaires ? d. 24 dictionnaires ? 12 Sur un circuit automobile, la distance 023-038-Unite 2.indd ont 33 Combien de plaques solaires été utilisées pour réaliser cette installation ? 14 Chaque jour, une ★★ girafe boit environ 35 litres d’eau et mange environ 80 kg de végétaux, principalement des feuilles d’acacia qu’elle attrape facilement puisqu’elle mesure souvent plus de 5 m de haut. a. En un mois de 30 jours, combien une girafe boit-elle de litres d’eau et combien de kilogrammes de végétaux mange-t-elle ? b. Avec 4 000 kg de végétaux, pendant combien de jours peut-on nourrir une girafe ? trente-trois • 33 23/01/2020 18:40 Combien de plaques solaires ont été utilisées pour réaliser cette installation ? 14 Chaque jour, une ★★ girafe boit environ 35 litres d’eau et mange environ 80 kg de végétaux, principalement des feuilles d’acacia qu’elle attrape facilement puisqu’elle mesure souvent plus de 5 m de haut. a. En un mois de 30 jours, combien une girafe boit-elle de litres d’eau et combien de kilogrammes de végétaux mange-t-elle ? b. Avec 4 000 kg de végétaux, pendant combien de jours peut-on nourrir une girafe ? Énigme EXERCICE 11 a. Comment peut-on marquer Les connaissances établies précédemment peuvent être b. mobilisées dans la mesure où certaines quantités peuvent être obtenues comme combinaison d’autres quantités (par exemple, 20 comme 2 × 10 ou 4 × 5 et 24 comme 20 + 4 ou comme 4 × 6). • 33 Des raisonnements identiques seront plus tard mobilisés dans le cadre de l’étude de la proportionnalité. 800 points en mettant autant de fléchettes dans chaque zone ? Comment peut-on marquer 500 points en mettant autant de fléchettes dans la zone jaune que dans la zone bleue et le double de fléchettes dans la zone rouge ? trente-trois 10 Utilise les résultats de l’exercice 9 pour calculer : a. 45 × 9 b. 45 × 7 Quel est le prix de : a. 2 dictionnaires ? b. 4 dictionnaires ? c. 20 dictionnaires ? d. 24 dictionnaires ? mange environ 80 kg de végétaux, principalement des feuilles d’acacia qu’elle attrape facilement puisqu’elle mesure souvent plus de 5 m de haut. a. En un mois de 30 jours, combien une girafe boit-elle de litres d’eau et combien de kilogrammes de végétaux mange-t-elle ? b. Avec 4 000 kg de végétaux, pendant combien de jours peut-on nourrir une girafe ? hatier-clic.fr/CM1cap010 b. Vérifie que 19 = 16 + 2 + 1. Utilise cette décomposition de 19 pour obtenir le résultat de 45 × 19. ★ 11 Un dictionnaire coute 35 €. 12 Sur un circuit automobile, la distance Il y a environ 3 000 ans, les Égyptiens ont inventé une technique de multiplication. Pour effectuer une multiplication avec cette méthode, il suffit de savoir multiplier par 2 et additionner. 45 × 1 = … 45 × 2 = … 45 × 4 = … 45 × 8 = … 45 × 16 = … 45 × 32 = … Multiplier comme les Égyptiens c. 45 × 21 d. 45 × 35 a. Pour calculer 45 × 19 à la manière des Égyptiens, complète d’abord ces égalités. 023-038-Unite 2.indd 33 EXERCICE 8 Réponses : a. 60 b. 120 c. 240 d. 480 e. 165 f. 135 g. 315 h. 1 515 pour calculer : a. 45 × 9 b. 45 × 7 Résoudre des problèmes C'est aussi l'occasion de travailler sur la connaissance des multiples simples de 25. ◗ MULTIPLIER COMME LES ÉGYPTIENS Réponses : ★ 45 × 8 = … Réponses : = … 9 a. 45 × 1 = 45 45 × 2 = 90 45 × 4 = 180 45 × 16 45 × 32 = …45 × 8 = 360 plaques solaires été 45 × 16 =Combien 720 de 45 × 32 = 1ont440 utilisées pour réaliser cette installation ? b. Vérifie queb. 1945 = 16 × + 219 + 1.= 720 + 90 + 45 = 855 Utilise cette décomposition de 19 pour 14 Chaque jour, une obtenir le résultat de 45 × 19. girafe boitd. environ ★★ 945 10 a. 405 b. 315 c. 1 575 35 litres d’eau et 23/01/2020 18:40 23/01/2020 18:40 INCONTOURNABLE 36 INCONTOURNABLE DICO DICO 36 I N ICNOCNOTNOTUORUNRANBALBEL E × 205 b. 6 b. 6 × 205 23/01/2020 18:40 Réponses : a. 70 e b. 140 e c. 700 e d. 840 e INCONTOURNABLE EXERCICES 12 ✶ 13 ✶ 11 Un dictionnaire coute 35 €. Quel est le prix de : a. 2 dictionnaires ? b. 4 dictionnaires ? c. 20 dictionnaires ? d. 24 dictionnaires ? 12 Sur un circuit automobile, la distance ★ parcourue à chaque tour est de 20 km. La course se déroule en 18 tours. a. La voiture quia. est enest tête de la course Dans l’exercice 12, la résolution de la question vient de boucler son 10 tour. Quelle distance a-t-elle parcourue ? simple, alors que celle de la question b. nécessite une b. Lorsqu’elle aura terminé son tour, quelle distance lui restera-t-il réflexion sous une des formes suivantes : à15parcourir ? – calcul de la longueur totale de la course, puis de la distance parcourue, puis de la distance restant à parcourir : 18 tours ➝ 360 km ; 15 tours ➝ 300 km ; reste : 60 km. – calcul du nombre de tours restant à parcourir (3), puis de la distance restant à parcourir, soit 60 km (car 20 × 3 = 60). Dans l’exercice 13, il faut d’abord déterminer le nombre de plaques sur un panneau qui comporte 6 rangées de 7 plaques (42 plaques), puis multiplier ce nombre par 200 (par exemple par 2, puis par 100). e e 023-038-Unite 2.indd 33 Réponses : 12 a. 200 km b. 60 km 13 8 400 plaques EXERCICE 14 ✶ ✶ Dans l’exercice 14, la résolution nécessite de sélectionner et de traiter les informations pertinentes. Pour la question b., on peut procéder par essais organisés ou remarquer par exemple que 4 000 kg, c’est 400 dizaines de kg et chercher combien de fois 8 est contenu dans 400. a. En un mois de 30 jours, combien une girafe boit-elle de litres d’eau et combien de kilogrammes de végétaux mange-t-elle ? b. Avec 4 000 kg de végétaux, pendant combien de jours peut-on nourrir une girafe ? Énigme a. Comment peut-on marquer 800 points en mettant autant de fléchettes dans chaque zone ? b. Comment peut-on marquer 500 points en mettant autant de fléchettes dans la zone jaune que dans la zone bleue et le double de fléchettes dans la zone rouge ? hatier-clic.fr/CM1cap010 Les réponses peuvent être • 33 obtenues par essais de nombres ou par un raisonnement. Par exemple : – Marquer 800 points avec autant de flèches dans chaque zone : Une fléchette par zone permet de marquer 80 points ; pour avoir 800 points, il faut donc 10 fléchettes par zone. – Marquer 500 points avec les conditions imposées : 1 fléchette dans chacune des zones jaune et bleue et 2 fléchettes dans la zone rouge permet de marquer 100 points ; pour avoir 500 points, il faut donc 5 fléchettes dans chacune des zones jaune et bleue et 10 fléchettes dans la zone rouge. trente-trois 23/01/2020 18:40 Réponse : a.10 fléchettes par zone. b. 5 fléchettes dans chacune des zones jaune et bleue et 10 fléchettes dans la zone rouge. Réponses : a. 1 050 L d'eau / 2 400 kg de végétaux b. 50 jours 89 UNITÉ 2 Des surfaces de même aire Objectifs : – Comprendre la notion d'aire d'une surface – Comparer des aires de surfaces par superposition, découpage et recollement – Reconnaitre des aires égales UNITÉ 2 - Apprentissage 5 © Hatier 2020 - Reproduction autorisée pour une classe seulement. Guide p. 90 Recherche Entrainement Les papiers à motifs 1 2 Fixer au tableau, avec de la pâte à fixer, les surfaces agrandies (la surface A et les 6 surfaces à motifs) : elles serviront de référence pour toute l’activité. ● Faire commenter par les élèves : il y a une surface blanche et des surfaces avec des motifs ; elles n'ont pas la même forme, ni la même taille… ● Présenter la situation, formuler et écrire au tableau la première question : ● CapMaths CM1 14 apprentissage 5 Le terme « surface » est employé pour indiquer une portion de plan (ici une portion de feuille de papier). Les élèves abordent le concept d’aire sous son aspect « grandeur », avant toute introduction de l’aspect numérique des mesures : deux surfaces ont même aire si elles peuvent se superposer directement ou après certaines transformations licites (découpage et réorganisation des morceaux d’une des surfaces ou des deux). L’acquisition de ce concept est assez délicate, l’aire devant être distinguée d’autres notions associées aux surfaces considérées, comme leur encombrement ou la longueur de certaines dimensions. Les papiers à motifs 3 ➞ On veut décorer la surface A avec le papier d’une surface à motifs. Attention, la surface A doit être entièrement décorée avec un seul motif. Il y a peut-être plusieurs possibilités. Pour utiliser une surface à motifs, on peut la découper, déplacer des morceaux, les assembler. Milo et Romy pensent que les surfaces 1 et 6 permettent chacune de recouvrir la surface A. Ont-ils raison ? Vous expliquerez sur votre feuille comment vous avez fait pour être surs que ces surfaces conviennent ou pas. 4 A 5 6 001-109-Materiel CM1.indd 11 MATÉRIEL 2 20/04/2017 16:27 pour la classe L’activité est réalisée sur des surfaces découpées afin de permettre la superposition et engager vers un processus de transformation des surfaces (découpage, recollement des morceaux). Matériellement, il est nécessaire de pouvoir distinguer les surfaces même après découpage, c’est la raison pour laquelle les six surfaces ont des motifs différents. Il est également important de garder une trace des surfaces initiales, c’est pourquoi un exemplaire des surfaces à motifs est conservé tout au long de la recherche. Il sera utilisé dans l’exercice 1 de l’entrainement. • la surface A et les 6 surfaces à motifs agrandies dans les mêmes proportions et découpées, en double exemplaire ➞ poster 6 de la Mallette ou fiche 14 hatier-clic.fr/CM1capg0204 • de la pâte à fixer • lots supplémentaires de surfaces à motifs, agrandies • quelques photocopies des pages 11 et 12 du cahier (pour l’entrainement) par équipe de 2 • fiche 14 en double exemplaire • une feuille pour répondre DÉROULÉ UNITÉ 1 Présentation de la situation 2 Première recherche 3 Exploitation 4 Deuxième recherche 5 Exploitation 6 Entrainement 2 Première recherche, par équipes de 2 Collectif Par équipes de 2 Collectif Par équipes de 2 Collectif Par équipes de 2 puis individuel RECHERCHE Comment reconnaitre des surfaces qui ont une aire égale ou supérieure à celle d'une surface donnée ? 1 Présentation collective de la situation Distribuer à chaque équipe deux exemplaires de la fiche 14. Demander de découper les surfaces des deux fiches et de mettre de côté un des exemplaires de la surface A et des 6 surfaces à motifs (les faire attacher avec un trombone ou placer dans une enveloppe). ● ● 90 Observer les procédures utilisées. Solliciter éventuellement les élèves pour trouver une autre procédure que celle qu'ils ont d'abord utilisée. ● Rappeler, si nécessaire, les contraintes du recouvrement : il doit être total, sans vide ni superposition des morceaux utilisés, il peut y avoir du papier en trop. ● ● ◗ PROCÉDURES POSSIBLES Pour la surface 6 : – réponse par simple perception ou par recouvrement effectif (sans découpage). Pour la surface 1 : – découpage et recollement des morceaux sans chevauchement. – La surface 5 peut, moyennant découpage et réorganisation, recouvrir exactement la surface A : la surface 5 et la surface A ont donc la même aire. – La surface 2 a une aire plus grande que celle de la surface A. – Les surfaces 3 et 4 ont une aire plus petite que celle de la surface A. ◗ DIFFICULTÉS ÉVENTUELLES – Pour imaginer un découpage possible Aide À traiter lors de l'exploitation collective. – Pour réaliser un découpage adéquat Aide Inciter à placer la surface 1 sur la surface A avant d'envisager un découpage et suggérer de tracer des traits avant de découper. – Pour assembler les morceaux découpés TRACE ÉCRITE INDIVIDUELLE Aide Rappeler que 2 morceaux ne doivent pas se chevaucher Faire noter dans le cahier de mathématiques : Deux surfaces ont la même aire si l’une peut se superposer exactement à l’autre, soit directement, soit après découpage et recollement des morceaux d'une des surfaces. et qu'il ne doit pas rester de vide entre les morceaux. 3 Exploitation collective Demander aux élèves de prendre connaissance du DICO 49 . Faire l’inventaire des réponses. ● Faire exprimer quelques procédures utilisées et les faire réaliser sur les surfaces agrandies, avec la pâte à fixer. ● À partir de résultats erronés, rappeler les contraintes. ● 6 Entrainement par équipes de 2 Cahier p. 11-12 puis individuel 2 1 Des surfaces de même aire apprentissage 5 Comparer des aires UNITÉ VERBALISATION CapEXPLICITATION, Maths CM1 © Hatier 2017 - Reproduction autorisée pour une classe seulement. UNITÉ - Apprentissage UNITÉ 2-2 Apprentissage 5 5 2 Quelles sont les surfaces qui ont la même aire ? Tu peux faire des tracés sur les figures. ............................................................................................................................................................... 4 A A Recherche UNITÉ 2 - Apprentissage 5 Guide p. 00 F E D 44 AA 6 4 55 10/04/2017 13:30 TRACE ÉCRITE INDIVIDUELLE 6 001-109-Materiel CM1.indd 11 Recherche 10/04/2017 13:30 Faire coller les 2 superpositions avec les phrases : – La surface 1 a la même aire que la surface A – La surface 6 a une aire plus grande que celle de la surface A. 001-109-Materiel CM1.indd 11 10/04/2017 13:30 5 001-109-Materiel CM1.indd 11 A G 2 1 Guide p. 00 10 UNITÉ 2 - Apprentissage 5 3 A A 5 CapMaths CM1 A © Hatier 2017 - Reproduction autorisée pour une classe seulement. 3 3 recouvrir la surface A et il y a La surface 6 permet de même trop de papier : on dit que la surface 6 a une aire plus grande que celle de la surface A.4 5 Entrainement 6 Les papiers à motifs 4 3 1 3 C B A 10 2 11 22 49 Range les surfaces de ta fiche de celle qui a la plus petite aire à celle qui a la plus grande aire. Entrainement CapMaths CM1 Lespapiers papiersààmotifs motifs Les 3 2 DICO 1 © Hatier 2017 - Reproduction autorisée pour classe seulement. © Hatier 2017 - Reproduction autorisée pour uneune classe seulement. Guide p. 00 Guide p. 00 1 Recherche 10 10 Recherche © Hatier 2017 - Reproduction autorisée pour une classe seulement. apMaths MathsCM1 CM1 CCap Les papiers àRecherche motifs Entrainement © Hatier 2017 - Reproduction autorisée pour une classe seulement. Guide p. 00 Recherche UNITÉ 2 - Apprentissage 5 2 Entrainement Entrainement COMPARER DES AIRES pour les exprimer. CapMaths CM1 1 permet de recouvrir exactement la surface A La surface 10 après découpage et recollement : on dit que la surface 1 Les papiers à motifs 1 a la même aire que la surface A. 5 001-109-Materiel CM1.indd 11 Entrainement Guide p. 00 10/04/2017 13:30 UNITÉ 2 - Apprentissage 5 ◗ Reformuler les résultats et introduire le mot « aire » Les papiers à motifs 6 10 H Explique tes réponses : .......................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... UNITÉ ............................................................................................................................................................... Des surfaces de même aire 2 3 ★ a. Quelles sont les surfaces qui ont la même aire que la surface A ? ………………………………….................... onze • 11 b. Quelle surface a la plus petite aire ? …………………………………........................ c. Quelles surfaces ont la plus grande aire ? …………………………………........................ Cahier geom.indd 11 22/01/2020 10:30 66 4 Deuxième recherche, par équipes de 2 001-109-Materiel CM1.indd 001-109-Materiel CM1.indd 11 11 ● A B 10/04/2017 13:30 10/04/2017 13:30 Écrire au tableau la deuxième question : C ➞ Peut-on recouvrir la surface A avec le papier de la surface 2 ? de la surface 3 ? de la surface 4 ? de la surface 5 ? Pour chaque surface, vous expliquerez pourquoi elle convient ou pas. Tu peux faire des tracés sur les figures. D ● Inciter les élèves à répondre en utilisant le terme « aire ». 5 Exploitation collective ● 4 Construis une surface qui a la même aire que la surface E, mais qui n’a pas la même forme. Même déroulement que pour la première recherche EXPLICITATION, VERBALISATION E ◗ Reformuler les réponses avec les élèves, en utilisant le terme « aire » : Énigme Est-il possible de trouver page 11 une surface qui a la même aire que cette surface ? hatier-clic.fr/CM1capc011 I 91 UNITÉ 2 EXERCICE 1 par équipes de 2 Les élèves travaillent sur les figures découpées de la recherche. Ils peuvent s’appuyer sur la perception, des superpositions directes et des tentatives de superposition après découpage et recollement effectif des surfaces. Aide Engager les élèves à utiliser les résultats de la recherche. Lors de la correction, s'intéresser aux arguments qui témoignent d'une représentation erronée du concept d'aire, du type : – les surfaces 1 et 5 n’ont pas la même aire car elles n’ont pas la même forme ; – la surface 4 a une aire plus grande que la surface 1 parce qu’elle est plus longue. Réponse : 3, 4, 1 et 5, 2, 6 EXERCICES 2 3 ✶ individuel Pour l'exercice 2, engager les élèves à faire les transformations mentalement ou en les matérialisant par des tracés faits sur le cahier. Pour les élèves pour qui une manipulation effective (découpages…) s’avère absolument nécessaire, donner une photocopie de la page du cahier. Lors de la correction, faire remarquer que les égalités d'aires peuvent être obtenues à l'aide des arguments suivants : – surfaces A et H : l’une s’obtient à partir de l’autre en déplaçant un demi-disque ou les deux sont constituées par un carré et deux demi-disques ; – surfaces B et F : elles sont superposables (ce sont les mêmes dans deux orientations différentes) ; – surfaces D et E : la surface E peut être obtenue par découpage de la surface D en deux demi-disques et déplacement d’un de ces demi-disques ; – surfaces C et G : le découpage et déplacement d’un demidisque dans la surface G permettent d’obtenir la surface C. 92 Pour l'exercice 3, la perception ne suffit pas pour comparer toutes les surfaces. Le recours au découpage et au recollement des morceaux est nécessaire. Ils peuvent être matérialisés par des tracés. Une manipulation effective peut se faire sur une photocopie de la page du cahier. Réponses : 2 Surfaces de même aire : A et H ; B et F ; D et E ; C et G. B et Caire ont la même aire que la surface A. 2 Des surfaces3 dea.même b. qui Surface ayant la plus petite aire : D ont la même aire que la surface A ? ………………………………….................... 3 a. Quelles sont les surfaces ★ c.petite Surfaces ayant la plus grande aire : A, B, C. b. Quelle surface a la plus aire ? …………………………………........................ UNITÉ c. Quelles surfaces ont la plus grande aire ? …………………………………........................ EXERCICE 4 individuel A si nécessaire, les B élèves à faire des essais sur Engager, leur cahier de brouillon, à reproduire et découper la figure C de référence pour trouver des idées de transformation. ● La construction peut être réalisée sur le cahier en s’aidant du papier quadrillé, en imaginant une transformation par découpage et recollement de la surface Dde départ. ● Tu peux faire des tracés sur les figures. Réponse (exemples) : 4 Construis une surface qui a la même aire que la surface E, mais qui n’a pas la même forme. E E E I Est-il possible de trouver page 11 une surface qui a la même aire que cette surface ? 12 •surface I est composée d’un demi-disque et d’un quart La de disque. Elle a la même aire que les surfaces B et F composées chacune de trois quarts de disques. douze Cahier geom.indd 12 Réponse : surfaces B et F 22/01/2020 10:30 Angles apprentissage 6 Objectifs : L’angle droit a été introduit dès le CE1 sans que la notion d’angle au sens général n’ait été définie. Associé à l’image d’un « coin » d’un carré ou d’un coin de l’équerre, il caractérise une position particulière de deux côtés ou de deux segments ayant une même extrémité. Dans la situation proposée aux élèves, l’impossibilité de résoudre les problèmes en faisant appel seulement aux longueurs justifie l’introduction d’un nouveau concept : l’angle. Le concept d’angle est associé à deux segments ayant une extrémité commune, ou à deux demi-droites de même origine, et se caractérise par leur ouverture, leurs longueurs n’intervenant pas. – Savoir qu’un angle se caractérise par l’ouverture de ses côtés – Comparer des angles – Reporter un angle Des parts de tarte CapM 17 M1 UNITÉ 2 - Ap prenti Guide ssage p. 93 6 La pa rt de erche © Hat ns la ier 202 0 - Rep Dess tarte de roduct ine la ssiné ion aut orisée © Hatier 2020 - Reproduction uneilclasse seulement. UNITÉ 2 - Apprentissage 6 En ba paautorisée pour rt de poure, manqu s de une clas Guide p. 62 la feuil Milo. e la pa se seu lement le un rt qu'A . côté ya a dé de la part coup ment. ée. est dé classe seule pour une isée jà autor tracé duction . Com - Repro Tu peux seulement utiliser des petits morceaux de papier calque et ta règle pour tracer, r 2020 plète © Hatie le de mais pas pour mesurer. Tu ne dois pas découper les parts. ssin. Rech 16 tarte de M ilo ltiple Usage mu es s de tart e Recherch Des part erche 6 C Voici quatre parts qui ont été découpées dans une même tarte. Elles ne sont pas toutes ne sont pas de la même taille. que. calplusieurs a. Y a-t-il une ou parts qui sont égales à la part 1 ? de papier Laquelle ou lesquelles ? ............................................................................................................................. morceaux de petits et le ta règ is parts. b. Quelle est la plus grande part ? ............................................................................................................. utiliser e en tro tart te Tu peux é cet a partag les ? éga A Romy les ts sont-el Les par issage rent 2 - App UNITÉ p. 93 Guide RECHERCHE Rech hs CM1 CapMat Recherche Encore des parts de tarte 15 La situation présentée ici est conçue pour être mise en œuvre sur deux séances. Les questions A à C gagneront à être traitées dans la même séance et la question D dans la deuxième séance. Des exercices d’entrainement à la comparaison d’angle peuvent être proposés dès la première séance. aths C D Da CapMaths CM1 Comment découper une tarte en 3 parts égales à partir de son centre ? Comment comparer deux parts de tartes ? 1 2 nt trois cteme te en exa cette tar partager par une croix. nant de iqué mainte e est ind de la tart Le centre les. parts éga B À toi 1 Présentation collective de la situation CapMaths CM1 15 3 © Hatier 2020 - Reproduction autorisée pour une classe seulement. + -Materie l CM1 .indd 15 20/04/2017 16:27 001-109-Materiel CM1.indd 14 20/04/2017 20/0 4/20 17 16:2 7 16:27 Projeter ou afficher l’agrandissement de la question A de la fiche 15. ● Demander si les parts de tarte représentées sur le dessin paraissent égales et recenser les réponses. ● Préciser ensuite la tâche. Tu peux utiliser ta règle et de petits morceaux de papier calque. A Romy a partagé cette tarte en trois parts. Recherche Usage multiple 001-109 Les parts sont-elles égales ? ● B À toi maintenant de partager cette tarte en exactement trois parts égales. Le centre de la tarte est indiqué par une croix. ndd 13 teriel CM1.i 001-109-Ma UNITÉ 2 - Apprentissage 6 Guide p. 93 Des parts de tartes 4 + MATÉRIEL 2 pour la classe • questions A à C agrandies ou projetées ➞ poster 7 de la Mallette ou fiches 15 et 16 hatier-clic.fr/CM1capg0205 • plusieurs feuilles A3 de calque • règle de tableau ➞ Vous devez maintenant décider de façon certaine si les trois parts sont égales ou pas. Pour cela, vous disposez de votre double décimètre et d’un petit morceau de papier calque, mais vous n’avez pas de ciseaux. 001-109-Materiel CM1.indd 13 • questions A à C ➞ fiches 15 et 16 • 6 morceaux de calque d’environ 5 cm × 7,5 cm (1/16 de feuille A4) par élève • question D ➞ fiche 17 Distribuer à chaque équipe la fiche 15 et un morceau de calque. ● Observer les procédures utilisées : ● ◗ PROCÉDURES POSSIBLES hatier-clic.fr/CM1capg0205 • 3 morceaux de calque 5 cm × 7,5 cm • double-décimètre, équerre, compas Prévoir des morceaux de calque supplémentaires pour les exercices d’entrainement 1 Présentation de la première situation 2 Recherche et exploitation de la question A 3 Recherche de la question B 4 Exploitation des propositions (question B) 5 Recherche de la question C Par équipes de 2, puis collectif Par équipes de 2 Collectif 7 Exploitation des productions 8 Entrainement Individuel (question D) – Décalque d’une part et superposition à chacune des autres parts. – Décalque de seulement les deux bords rectilignes d’une part et superposition de l’angle ainsi obtenu aux autres parts. – Comparaison des longueurs des cordes du cercle associées à chacun des 3 angles en utilisant un bord du calque ou le double décimètre. Collectif Par équipes de 2, puis collectif Individuel Collectif 6 Recherche de la question D 20/04/2017 16:27 2 Recherche de la question A, par équipes de 2 par équipe de 2 DÉROULÉ UNITÉ Demander à des équipes de présenter leur procédure et de l’exécuter au tableau sur la figure agrandie ou projetée. Le besoin d’homogénéiser le vocabulaire utilisé par les élèves conduit à appeler « côtés » les bords rectilignes des parts pour les différencier du bord circulaire. ● Mettre en débat les différentes procédures et les valider sans en privilégier aucune parmi celles qui permettent de réussir. ● 93 UNITÉ 2 CapMaths CM1 15 UNITÉ 2 - Apprentissage 6 © Hatier 2020 - Reproduction autorisée pour une classe seulement. Guide p. 93 Des parts de tartes Usage multiple Tu peux utiliser ta règle et de petits morceaux de papier calque. Recherche A Romy a partagé cette tarte en trois parts. Les parts sont-elles égales ? 3 Recherche de la question B, par équipes de 2 Remettre à chaque équipe un autre morceau de calque. ● Demander aux élèves de répondre à la question B après avoir précisé : ● B À toi maintenant de partager cette tarte en exactement trois parts égales. Le centre de la tarte est indiqué par une croix. + ➞ Vous disposez toujours de votre double décimètre et d’un petit morceau de papier calque. La tarte doit être partagée très précisément en trois parts égales. 001-109-Materiel CM1.indd 13 Dans la vie courante, la taille d’une part est associée à la quantité consommable qui est liée à son aire. Cette dernière est fonction du rayon du disque et du secteur angulaire découpé dans le disque. Les rayons des tartes des questions A et B étant différents, des élèves peuvent ne pas voir en quoi les parts découpées dans la tarte de la question A peuvent les aider à résoudre la question B. 20/04/2017 16:27 4 Exploitation collective des propositions Demander à des équipes de présenter leur procédure et de l’exécuter au tableau. ● Engager un débat à propos de chaque procédure utilisée et conclure : – la procédure 1 (partage à vue de la tarte et ajustement) permet difficilement de réussir ; – la procédure 2 (tracé de cordes ou report de longueurs égales) est à écarter car trop fastidieuse et ne permettant pas à coup sûr un partage en parts égales ; – les procédures 3 et 4 permettent de résoudre efficacement le problème. ● Si nécessaire, valider les procédures en décalquant une part de tarte et en superposant le calque aux deux autres parts. ● ● Ajouter : ➞ Les trois parts de tarte de la question B ne seront bien sûr pas égales aux trois parts de tarte de la question A ; il y aura plus à manger dans une part de la grande tarte ! Mais il est possible de s’aider des parts de tarte de la question A pour partager la tarte de la question B en trois parts égales. ◗ PROCÉDURES POSSIBLES Procédure 1 : Partage à vue de la tarte en trois parts sensiblement égales, vérification avec le calque et ajustement des parts. Procédure 2 : Tracé avec le double décimètre de 3 cordes de même longueur (ou seulement marquage de leurs extrémités sur le cercle) et ajustement de la longueur des cordes. EXPLICITATION, VERBALISATION ◗ En s’appuyant sur les procédures 3 ou 4 utilisées par les élèves, Procédure 2 Procédure 3 : Utilisation d'un angle de la tarte de la question A décalqué et reporté 3 fois sur la tarte à partager à partir de son centre. Procédure 3 Procédure 4 : Décalque des 3 angles de la tarte de la question A et report sur la tarte à partager à partir de son centre. introduire le mot « angle » comme désignant l’ouverture ou l’écartement entre deux côtés d’une part de tarte. ◗ Mettre en évidence qu’en passant d’une tarte à l’autre, les parts ont été agrandies, les longueurs des côtés ne sont pas les mêmes mais les deux bords droits d’une part de la petite tarte se superposent exactement à une partie des deux côtés d’une part de la grande tarte. L’ouverture est restée la même, l’angle est le même. 5 Recherche de la question C par équipes de 2 puis collective CapMaths CM1 16 UNITÉ 2 - Apprentissage 6 © Hatier 2020 - Reproduction autorisée pour une classe seulement. Guide p. 62 Encore des parts de tarte Distribuer à chaque équipe la fiche 16 et 3 morceaux de calque ● Demander aux élèves de prendre connaissance de la question posée. ● Sur la fiche projetée ou agrandie, vérifier que les rayons des arcs de cercle sont bien les mêmes. ● Faire ranger tous les instruments de façon à ce que ne restent sur la table de chaque équipe que trois morceaux de calque, la règle et un crayon à papier. ● Préciser la tâche : C Voici quatre parts qui ont été découpées dans une même tarte. Elles ne sont pas toutes ne sont pas de la même taille. a. Y a-t-il une ou plusieurs parts qui sont égales à la part 1 ? Laquelle ou lesquelles ? ............................................................................................................................. Recherche Tu peux seulement utiliser des petits morceaux de papier calque et ta règle pour tracer, mais pas pour mesurer. Tu ne dois pas découper les parts. ● b. Quelle est la plus grande part ? ............................................................................................................. 1 2 Procédure 4 3 4 La taille des morceaux de calque a été choisie de façon à ce que la tarte de la question A ne puisse pas être reproduite toute entière sur le calque. Le fait que ce ne soit pas possible aide à la prise de conscience que ce qui est utile c’est l’ouverture entre les deux côtés d’une part (procédures 3 et 4). ◗ DIFFICULTÉS ÉVENTUELLES – Pour envisager une procédure de construction Aide Inviter à tracer une première part et à essayer de placer côte à côte 2 autres identiques, sans indication de méthode. – Pour reproduire une part qui soit identique à une part déjà tracée Aide Inviter à se reporter aux méthodes utilisées dans la question A pour vérifier que les 3 parts étaient égales. – Pour reporter un secteur avec un morceau de papier calque Aide À traiter lors de l’exploitation collective. 94 001-109-Materiel CM1.indd 14 20/04/2017 16:27 ➞ Vous devez vous appliquer pour être le plus précis possible pour répondre correctement aux questions posées. Vous pouvez utiliser votre règle, mais uniquement pour tracer. ◗ PROCÉDURES POSSIBLES Pour la question a. – Comparaison à vue qui ne permet pas de conclure de façon fiable. – Décalque de l’angle de la part 1 et superposition à chacune des trois autres parts ; – Décalque de l’angle de chacune des parts 2, 3 et 4 et superposition à l’angle de la part 1. TRACE ÉCRITE INDIVIDUELLE Pour la question b. 3 12 – comparaison à vue – décalque et superposition des angles deux à deux – décalque des 3 angles des parts 1, 2 et 3 (1 = 4) sur un même calque comme le montre le schéma. La lecture de l’ordre des angles se fait alors sur le calque. Faire tracer dans le cahier deux segments ayant une même extrémité. ● Un angle est défini par deux segments ou par deux demidroites qu’on appelle les côtés de l’angle. L’extrémité commune aux deux côtés s’appelle le sommet de l’angle. côté sommet ◗ DIFFICULTÉS ÉVENTUELLES ANGLE côté – Pour envisager une procédure de comparaison ● Pour comparer deux angles, on décalque un angle et on essaie de le superposer à l’autre en faisant coïncider les deux sommets et un côté de chaque angle. L’angle rouge est plus grand que l’angle bleu Aide Demander comment on s’y est pris pour comparer les parts de tarte en utilisant des morceaux de calque dans la question A. – Pour se souvenir à quel angle correspond chaque calque utilisé Aide Inviter les élèves à noter sur le calque le numéro de la part correspondante. – Pour se souvenir des comparaisons successives Aide Inviter à noter les résultats des différentes comparaisons effectuées en utilisant par exemple les signes < , = , >. Réponses : a. la part 4 b. 3 est la plus grande part Recenser les réponses données à chaque question et recueillir les commentaires : c’était difficile de comparer les parts (ou les angles) à l’œil… ● Demander ensuite aux équipes comment elles ont procédé, exécuter les procédures sur la fiche projetée ou agrandie et les mettre en discussion. Les procédures correctes seront toutes acceptées, sans en privilégier aucune. Il est possible de renvoyer les élèves au DICO 59- 60 . ● Là encore, la taille des morceaux de calque ne permet pas la reproduction d’une part entière, mais seulement de l’angle. Des élèves peuvent faire coïncider un bord du morceau de calque avec un côté de l’angle à reproduire. Cette façon de procéder n’est efficace que si le « coin » du calque coïncide avec le sommet de l’angle ou encore si le sommet de l’angle est marqué sur le bord du calque. Un secteur angulaire est la figure formée par deux demi-droites de même origine, il s’agit d’un objet géométrique. Si deux secteurs angulaires sont superposables, on dit qu’ils ont même angle, au même titre qu’on dit de deux segments qui sont superposables qu’ils ont même longueur. L’angle est donc une grandeur, une propriété des secteurs angulaires, ce n’est pas un objet. La difficulté à faire de telles distinctions conduit, à l’école primaire, à assimiler angle et secteur angulaire. Dans la pratique, on dit donc que « deux angles sont égaux s’ils sont superposables » et on demande de « construire un angle égal à un angle donné ». 6 Recherche individuelle de la question D CapMaths CM1 17 UNITÉ 2 - Apprentissage 6 © Hatier 2020 - Reproduction autorisée pour une classe seulement. Guide p. 93 La part de tarte de Milo ◗ Après avoir remarqué que pour comparer les parts de tarte, il est inutile de décalquer le bord arrondi, reformuler les procédures avec les élèves, en utilisant le terme « angle ». ◗ Introduire le vocabulaire relatif aux angles (voir la trace écrite) ◗ Préciser, dessin à l’appui, qu’une demi-droite est une partie de droite limitée par un point qu’on appelle son origine et qu’on peut prolonger si on en a besoin ◗ Reprendre la procédure de comparaison de deux angles en la commentant : Pour comparer deux angles, on décalque un des angles et on le superpose à l’autre en faisant coïncider les sommets et un côté de chaque angle : – Si les deux autres côtés coïncident, les deux angles sont égaux – Si un angle « contient » l’autre, il est plus grand que l’autre. ● Distribuer la fiche 17 et un morceau de calque par élève. ● Demander aux élèves de prendre connaissance de la question. ● Sur la fiche agrandie ou projetée, montrer sur la tarte l’emplacement de la part de Milo ainsi qu’en bas de page le côté déjà tracé et le sommet de l’angle. ● Insister sur la contrainte de ne pas mesurer. ● Observer comment font les élèves pour reproduire l’angle. Dessine la part de Milo. En bas de la feuille un côté de la part est déjà tracé. Complète le dessin. 001-109-Materiel CM1.indd 15 Recherche Recherche EXPLICITATION, VERBALISATION D Dans la tarte dessinée, il manque la part qu'Aya a découpée. 20/04/2017 16:27 ◗ PROCÉDURES POSSIBLES – Tracé à vue du segment manquant. – Décalque de l’angle correspondant à la part de Milo et report en utilisant comme côté le segment déjà tracé. – Tracé d’un arc de cercle de même rayon que celui de la tarte et ayant pour centre le point marqué. Placement sur cet arc, avec le double décimètre, d’un point extrémité d’une corde de même longueur que celle correspondant à la part manquante, mesurée sur la tarte. 95 UNITÉ 2 F D E 2 ◗ DIFFICULTÉS ÉVENTUELLES – Pour envisager une procédure a. Quels angles sont plus grands qu’un angle droit ? …………………..........................………………................. Ils sont appelés des angles obtus. b. Quels angles sont plus petits qu’un angle droit ? …………………………………............................................. Ils sont appelés des angles aigus. 3 À vue d’œil, quels sont les angles qui sont égaux ? Aide Demander de tracer sur la tarte la part qui a été découpée UNITÉ ★ 2 et ensuite de rappeler comment nous nous y sommes pris dans la question C pour savoir si les parts étaient égales. Indique les noms de leurs sommets : ………………………………….....................…………………………………........... Angles Contrôle tes prévisions en utilisant du papier calque. 4 a. À vue d’œil, les trois angles colorés sont-ils égaux ? OUI NON b. Utilise du papier calque pour contrôler Cahier geom.indd 13 ta réponse – Pour utiliser les instruments Aide Si la difficulté réside dans l’utilisation Sont-ils égaux ? ○ de l’angle une fois décalqué pour le reporter parce que les côtés de l’angle ne vont pas jusqu’au bord du calque : inviter à les prolonger ; ○ du compas : indiquer comment prendre le rayon ou tenir le compas avec la souplesse nécessaire dans le geste pour tracer. OUI Le plus grand est le .......................... Le plus petit est le ............................ REPRODUIRE UN ANGLE EXERCICE Faire présenter et exécuter sur la figure agrandie ou projetée les procédures utilisées. ● Discuter les procédures et conclure que le décalque et le report de l’angle de la part de Milo est une procédure efficace. ● Revenir au besoin sur les difficultés rencontrées par les élèves dans l’exécution des gestes techniques. ● EXPLICITATION, VERBALISATION ◗ Reprendre la procédure qui permet de construire un angle égal à un angle donné en exécutant chaque étape au tableau : DICO 61 1. Reproduire l’angle sur un calque en prenant soin de tracer les côtés jusqu’au bord du calque ; 2. Tracer un segment sur la feuille de papier, 3. Placer le calque sur la feuille de papier en faisant coïncider : – le sommet de l’angle avec une extrémité du segment ; – et un côté de l’angle avec le segment. 4. Marquer sur la feuille de papier un repère dans le prolongement du second côté de l’angle. 5. Retirer le calque et tracer le second côté de l’angle. Cahier p. 13-14 UNITÉ 6 Entrainement individuel 12 Angles Comparer des angles COMPARER DES ANGLES 1 apprentissage 6 60 Sans mesurer, trouve parmi les parts dessinées celle qui a été découpée dans cette tarte. Entoure son numéro. Tu peux utiliser un morceau de papier calque. Si les parts 1 et 2 peuvent facilement être écartées perceptivement, la reproduction d’un angle sur calque est nécessaire pour savoir laquelle des parts 3 et 4 a été découpée dans la tarte. Réponse : 3 6 Construis un angle égal à celui-ci. EXERCICE 2 La perception devrait suffire pour différencier les angles plus grands que l’angle droit et ceux qui sont plus petits. ● En cas de doute, on pourra utiliser l’équerre pour décider. ● Un schéma de ce type pourra être fait pour préciser ce que sont un angle aigu et un angle obtus et introduire le Énigme vocabulaire. a. ● La moitié d’un angle obtus est-elle toujours un angle aigu ? …………………………………................. b. Le double d’un angle aigu est-il toujours un angle obtus ? …………………………………..................... hatier-clic.fr/CM1capc012 14 • quatorze Cahier geom.indd 14 22/01/2020 10:30 angle aigu angle obtus Réponses : a. angles obtus : B, D, E b. angles aigus : A, C, F EXERCICE 3 ✶ L’exercice ne fait plus référence à des parts de tarte. La stratégie la mieux adaptée consiste à comparer d’une part, les angles obtus et d’autre part, les angles aigus. ● ● Il est facile de voir que les trois surfaces colorées n’ont pas la même aire. Partant de là, les élèves peuvent conclure que les trois angles ne sont pas égaux. ● La comparaison avec un calque est indispensable pour conclure que les angles sont égaux, sans être pour autant convaincante car la surface est très prégnante. 4 ➞ Pour les exercices 2 et 3, utilise les figures ci-dessous. C B Réponse : b. les trois angles sont égaux. A F D E a. Quels angles sont plus grands qu’un angle droit ? …………………..........................………………................. Ils sont appelés des angles obtus. b. Quels angles sont plus petits qu’un angle droit ? …………………………………............................................. Ils sont appelés des angles aigus. 3 À vue d’œil, quels sont les angles qui sont égaux ? Indique les noms de leurs sommets : ………………………………….....................…………………………………........... Contrôle tes prévisions en utilisant du papier calque. treize • 13 Cahier geom.indd 13 61 ● 3 96 DICO EXERCICE 4 1 ★ 1 Termine la construction d’un angle égal à l’angle dessiné. Un côté de l’angle est tracé. Le sommet de l’angle est marqué par un point. Réponse : A = C, B = D DICO 2 2 22/01/2020 10:30 NON S’ils ne sont pas égaux, complète : 5 7 Exploitation collective des productions treize • 13 22/01/2020 10:30 b. Utilise du papier calque pour contrôler ta réponse Sont-ils égaux ? OUI NON S’ils ne sont pas égaux, complète : Le plus grand est le .......................... Le plus petit est le ............................ Énigme Reproduire un angle REPRODUIRE UN ANGLE 5 DICO 61 a. La moitié d’un angle obtus est-elle toujours un angle aigu ? …………………………………................. Termine la construction d’un angle égal à l’angle dessiné. Un côté de l’angle est tracé. Le sommet de l’angle est marqué par un point. b. Le double d’un angle aigu est-il toujours un angle obtus ? …………………………………..................... hatier-clic.fr/CM1capc012 MATÉRIEL 14 • quatorze Cahier geom.indd 14 6 22/01/2020 10:30 • quelques feuilles de papier • quelques morceaux de calque (1/4 ou 1/6 de feuille) • des ciseaux EXERCICE 5 Énigme Cet exercice est la reprise à l’identique de la question D de a. la recherche. La moitié d’un angle obtus est-elle toujours un angle aigu ? …………………………………................. b. Le double d’un angle aigu est-il toujours un angle obtus ? …………………………………..................... hatier-clic.fr/CM1capc012 14 • quatorze La difficulté réside dans le fait que c’est à l’élève de tracer un premier côté de l’angle sur lequel il va appuyer sa construction. Insister sur le fait que reproduire un angle, c’est construire un angle ayant la même ouverture, et que la longueur des côtés de l’angle construit est sans importance. Cahier geom.indd 14 • quelques feuilles de papier A4 • une feuille de papier calque A4 par élève Construis un angle égal à celui-ci. EXERCICE 6 pour la classe 22/01/2020 10:30 Avant que les élèves n’engagent la recherche : ● Découper un angle dans une feuille de papier ● Plier l’angle en ramenant un côté sur l’autre côté, montrer qu’on obtient ainsi deux angles qui sont superposables. Indiquer que ces deux angles sont les deux « moitiés » de l’angle de départ, que l’angle de départ est le « double » de chacun de ces angles. ● Les élèves procéderont par essais en découpant des angles ou en utilisant du papier calque. Une erreur peut consister à considérer que la réponse à la question b peut être déduite de celle apportée à la question a : « Puisque la moitié d’un angle obtus est un angle aigu, le double d’un angle aigu est un angle obtus ». Réponses : a. La moitié d’un angle obtus (saillant) est toujours un angle aigu (l’angle plat qui a pour moitié un angle droit est un cas limite). b. Le double d’un angle aigu n’est pas toujours un angle obtus (il suffit de considérer un angle plus petit que la moitié d’un angle droit). 97 UNITÉ 2 UNITÉ 2 Bilan et consolidation CALCUL MENTAL / NOMBRES ET CALCULS / ! Manuel p. 34-35 GRANDEURS ET MESURES / ESPACE ET GÉOMÉTRIE ! Cahier p. 15-16 Comment utiliser les pages Bilan ! p.11. Bilan de compétences téléchargeable hatier-clic.fr/CM1capgbilancomp02 CONSOLIDATION BILAN ◗ Calcul mental Connaissances à acquérir ➞ Nombres dictés inférieurs à 10 000 ➞ Addition, soustraction d’unités, de dizaines, de centaines ➞ Tables de multiplication (produits, facteurs) Pas de préparation de bilan proposée dans le manuel. Je fais le bilan ! Manuel p. 35 EXERCICE 1 Addition, soustraction d'unités, dizaines, centaines ; tables de multiplication. a. 105 b. 390 c. 178 d. 88 e. 36 f. 28 g. 9 h. 8 Ateliers de calcul mental Autres ressources ! Manuel p. 36 ! 100 Activités et jeux mathématiques ! CD-Rom Jeux interactifs CE2-CM1-CM2 CM1-CM2 31. Calcul sur les dizaines et les centaines 29. Le plus possible de produits 30. Quatre nombres dans un tableau La multiplication 11. As du calcul (domaine additif) – niveau 3 12. Calcul éclair (domaine multiplicatif) – niveaux 1 et 2 ! Activités et exercices pour la calculatrice CM1-CM2 12. Tables de multiplication ! Activités pour la calculatrice CE2-CM1-CM2 12. Tables d'addition et de multiplication CONSOLIDATION BILAN ◗ Résolution de problèmes par étapes Connaissances à acquérir ➞ Pour résoudre certains problèmes, il est possible d'aboutir à la solution en déterminant des étapes. Pour cela, il faut utiliser deux démarches : – partir des données et se demander quelles nouvelles informations elles permettent d’obtenir ; – partir de la question et se demander quelles informations sont nécessaires pour pouvoir y répondre. apprentissage 1 Je prépare mon bilan Q C M 1 b, c et d Je fais le bilan ! Manuel p. 35 EXERCICE 2 Résoudre un problème (avec une stratégie par étapes) 1 000 € Je consolide mes connaissances Autres ressources ! Manuel p. 26-27 ! 100 Activités et jeux mathématiques CM1-CM2 48. La sortie scolaire À choisir parmi les problèmes non traités. ! Manuel p. 34 ! Activités pour la calculatrice CE2-CM1-CM2 3. Deux problèmes à résoudre avec une calculatrice (Exercice 1) B IL AN ◗ Fractions Connaissances à acquérir ➞ Pour obtenir une longueur, une quantité, une durée… égale à la moitié, au quart ou au tiers d'une longueur, d'une quantité ou d'une durée…, il faut la partager en 2, 4 ou 3 parts égales et en prendre une partie. ➞ Lorsqu’on mesure une longueur en reportant l’unité, on ne « tombe pas toujours juste ». Il faut alors prendre des fractions de l’unité en la partageant en parts égales. La longueur s’exprime par une fraction d’unité ou par une somme formée d’unité(s) entière(s) et de fraction(s) de cette unité. ➞ Une fraction s’écrit avec un dénominateur « en bas » et un numérateur « en haut », séparés par un trait : Le dénominateur dit en combien de parts égales on partage l’unité. 98 apprentissages 2 et 3 3 4 Le numérateur dit combien on prend ou reporte de parts. Je prépare mon bilan ! Manuel p. 34 Q C M2 b Q C M 3 a et c Q C M 4 b et c Je fais le bilan ! Manuel p. 35 EXERCICE 3 Passer d’une écriture littérale à une écriture fractionnaire 3 7 6 2 a. b. c. d. 2 4 8 3 3 5 se lit « trois quarts » et et se lit « cinq tiers » : 4 3 ➞ Dans une unité, il y a 2 demis, 3 tiers, 4 quarts…, ce qui s’écrit : 2 3 4 u=1u u=1u u=1u 2 3 4 CONSOLIDATION BILAN ➞ EXERCICES 4 et 5 Exprimer une longueur sous forme fractionnaire ou construire un segment dont la longueur est exprimée sous forme fractionnaire 1 3 5 1 u B : u C : u ou 1 u + u 4 A: 2 4 4 4 5 Longueur des segments a. 1,5 cm b. 9 cm c. 4 cm EXERCICE 6 Exprimer une somme de mesures données avec des écritures fractionnaires sous la forme d’un entier ou d’une fraction 2 1 2 4 5 a. u ou u b. u ou 1 u c. u d. u 4 2 2 3 4 EXERCICE 7 Construire des segments dont la longueur est une fraction d’une longueur donnée Longueur des segments a. 2 cm b. 8 cm Je consolide mes connaissances ! Manuel p. 28-29 et p. 30-31 À choisir parmi les problèmes non traités. ! Atelier Atelier 1 : Demander de trouver le quart, les trois demis, les deux tiers de diverses longueurs ou quantités. Atelier 2 : Reprendre des activités de mesure de longueurs avec diverses unités BILAN Connaissances à acquérir ➞ Multiplier un nombre par 10, 100… revient à donner à chacun de ses chiffres une valeur 10 fois, 100 fois plus grande. C’est ce qui explique la « règle des 0 ». ➞ Pour multiplier un nombre par 20, 200… on peut d’abord le multiplier par 2, puis multiplier le résultat par 10, 100... ➞ Pour multiplier un nombre par un autre à l’aide d’un calcul réfléchi, l’une des deux procédures suivantes est souvent efficace (exemple pour 8 × 15) : – Décomposer un des nombres sous forme de somme ou de différence, ce qu'on peut illustrer par un schéma : 10 5 8 8 × 10 8×5 2 Autres ressources ! Activités pour la calculatrice CE2-CM1CM2 3. Deux problèmes à résoudre avec une calculatrice (Exercice 1) ◗ Multiplier par 10, 100… 20, 200… ◗ Multiplication : calcul réfléchi apprentissage 4 Je prépare mon bilan ! Manuel p. 34 Q C M5 b Q C M6 b Q C M 7 a et c Q C M 8 a et c Je fais le bilan ! Manuel p. 35 EXERCICE 8 Multiplier un nombre par 10, 20… a. 1 300 b. 280 c. 1 000 d. 3 600 e. 3 200 f. 3 000 EXERCICES 9 et 10 Calculer des produits en utilisant les propriétés de la multiplication 9 a. 60 b. 72 c. 606 d. 660 e. 90 f. 630 10 a. 840 b. 224 c. 168 d. 980 e. 1 960 f. 1 820 ➞ On peut écrire le calcul avec des parenthèses : 8 × 15 = 8 × (10 + 5) = (8 × 10) + (8 × 5) – Décomposer un des nombres sous forme de produit, ce qu'on peut illustrer par un schéma : 5 5 5 8 8×5 8×5 8×5 CONSOLIDATION ➞ On peut écrire le calcul avec des parenthèses : 8 × 15 = 8 × (5 × 3) = (8 × 5) × 3 Je consolide mes connaissances Autres ressources ! Manuel p. 32-33 ! 100 Activités et jeux mathématiques CM1- À choisir parmi les problèmes non traités. CM2 36. Multiplication à l'égyptienne 37. Des mots et des calculs ! CD-Rom Jeux interactifs CE2-CM1-CM2 16. As du calcul (domaine multiplicatif) – niveau 5 UNITÉ ! Activités et exercices pour la calculatrice CM1-CM2 17. Calcul réfléchi (multiplication) 24. Multiplier sans la touche × 25. Multiplier comme les Égyptiens ! Activités pour la calculatrice CE2-CM1-CM2 17. Multiplier sans la touche × 99 ◗ Comparer des aires apprentissage 5 Je prépare mon bilan ! Cahier p. 15 Q C M1 b Je fais le bilan ! Cahier p. 15 EXERCICE 1 Comparer des aires Les deux surfaces ont la même aire. On peut par exemple découper le rectangle en deux rectangles superposables et recouvrir le carré avec ces deux morceaux. BILAN Connaissances à acquérir ➞ Deux surfaces ont même aire si on peut recouvrir l’une par l’autre exactement. Cela peut se faire directement (les deux surfaces ont même forme) ou après transformation d’une surface (découpage et réorganisation des parties découpées). EXERCICE 2 Construire une surface de même aire qu’une surface donnée Plusieurs solutions sont possibles par exemple : ou Toute réponse correcte est acceptée. CONSOLIDATION Je consolide mes connaissances ! Exercices complémentaires Construire une surface de même aire qu’une surface donnée > Fiche18 ! Cahier p. 11-12 À choisir parmi les exercices non traités hatier-clic.fr/CM1capg0206 BILAN ◗ Angles apprentissage 6 Connaissances à acquérir ➞ Un angle est déterminé par deux segments ayant une même extrémité ou deux demi-droites ayant la même origine. Ce qui est important dans un angle, c’est l’ouverture, l’écartement de ses côtés et pas la longueur des côtés. ➞ Pour comparer deux angles, on reproduit un des deux angles sur un morceau de calque. On superpose ensuite l’angle reproduit sur le calque au deuxième angle en faisant coïncider les sommets et deux côtés. – Si les deux autres côtés coïncident aussi, les angles sont égaux ; – Sinon, le plus grand des angles est celui qui contient l’autre. Je prépare mon bilan ! Cahier p. 15 Q C M 2 a et d Perceptivement, les angles de sommets B et C peuvent être reconnus comme n’étant pas égaux. Il faut utiliser un morceau de calque pour vérifier que les angles de sommets A et D sont égaux. Je fais le bilan ! Cahier p. 16 MATÉRIEL • 5 morceaux de calque (environ 5 cm × 5 cm) • une règle EXERCICE 3 Comparer des angles L’angle de sommet A est égal à l’angle de sommet C. EXERCICES 4 et 5 Reproduire un angle CONSOLIDATION Je consolide mes connaissances ! Cahier p. 13-14 À choisir parmi les exercices non traités ! Ateliers Atelier 1 MATÉRIEL • Plusieurs morceaux de papier calque • Une fiche avec les angles ➞ À réaliser Sur une feuille, tracer trois ou quatre paires d’angles égaux dont certaines sont difficiles à identifier perceptivement. Demander d’apparier les angles. 100 Autres ressources Atelier 2 MATÉRIEL • Un morceau de papier calque • Une fiche avec les angles ➞ À réaliser Sur une feuille, à peu près au centre, tracer un angle et, sur le pourtour, tracer 4 segments de longueurs différentes et orientés différemment. Marquer une extrémité de chaque segment. Demander de tracer quatre angles égaux à l’angle donné ayant chacun pour côté un des segments tracés et pour sommet l’extrémité marquée. ! 100 Activités et jeux mathématiques CM1-CM2 91. Angle de tir 93. Cadrans d’horloges liers 2 Ate ca tal UNITÉ lcul men La multiplication Manuel p. 36 Les jeux proposés sont destinés à entrainer la mémorisation des tables de multiplication qui sont un enjeu essentiel pour la plupart des apprentissages numériques du cycle 3. MATÉRIEL UNITÉ La mult iplic ation Ateliers 2 • table de Pythagore vierge photocopiée en A3 ➞ fiche 19 • jetons de 1 à 9 en double et les 81 cartes-résultats ➞ Mallette ou fiche 20 calcul mental ou jeu 1 Trouver les cartes hatier-clic.fr/CM1capg0207 ou Matériel • une table de Pythagore comme celle du dessin • une boite contenant 18 jetons de 1à9 (chaque jeton est en double) • des cartes posées sur la table. ➞ MALLETTE • une calculatrice Règle du jeu • Tirer 2 jetons au hasard, par exemple 4 et 6 . • Chercher les cartes qui portent les résultats de 4 × 6 et 6 × 4 et les placer, à leur place, sur la table de Pythagore. • Vérifier avec la calculatrice. Toute carte mal placée est remise dans les cartes non utilisées. • Remettre les jetons dans la boite et procéder à un nouveau tirage. • Continuer jusqu’à ce que toutes les cartes soient placées. jeu 1 Trouver les cartes En fonction des besoins des élèves, on peut proposer la totalité des jetons ou une partie seulement, par exemple : – variante A : jetons de 1 à 5 pour les élèves qui n'ont pas mémorisé les premiers résultats ; – variante B : jetons de 1 à 5 dans une boite et de 1 à 9 dans une autre boite (avec tirage d'un jeton dans chaque boite) pour les tables complètes de 1 à 5 ; – variante C : jetons 3, 6 et 9 dans une boite et de 1 à 9 dans une autre boite (avec tirage d'un jeton dans chaque boite) pour les tables complètes de 3, de 6 et de 9. Les différentes variantes permettent d'attirer l'attention des élèves sur certaines propriétés de la multiplication qui sont visualisées dans la table de Pythagore et qui peuvent faire l'objet d'explicitations collectives. – La recherche des résultats de 4 × 6 et à 6 × 4 permet de mettre l'accent sur la commutativité de la multiplication, qui se traduit, par la symétrie des deux cases par rapport à une diagonale de la table ; – Pour placer le résultat de 4 × 7, on peut utiliser ceux de 4 × 4 et de 4 × 3 (4 fois 7, c'est 4 fois 4 plus 4 fois 3), ce qui met l'accent sur la distributivité de la multiplication par rapport à l'addition ; – De même, 5 fois 5, c'est 4 fois 5 plus 1 fois 5 ; – Dans la variante C, les élèves peuvent constater que les résultats de la table de 6 sont les doubles de ceux de la table de 3 : 6 × 7, c'est 2 fois 3 fois 7. Enfin, l'enseignant peut faire remarquer que le résultat écrit dans une case correspond au nombre de cases du rectangle dont la diagonale va de la case 1 × 1 à la case considérée. En effet pour 4 × 6 = 24, le rectangle grisé est formé de 4 lignes et de 6 colonnes, donc de 4 × 6 cases, pouvant conduire au calcul 6 + 6 + 6 + 6 (4 lignes de 6 cases) ou au calcul 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 (6 colonnes de 4 cases), ce qui renvoie au sens de la multiplication. UNITÉ 2 jeu 2 Les mini-tables Matériel • une mini-table de Pythagore vide dessinée sur une feuille • une boite contenant 18 jetons de 1à9 (chaque jeton est en double). Règle du jeu • Tirer un jeton (par ex. 4 ), écrire le nombre sur une case bleue, en tirer un deuxième (par ex. 5 ), écrire le nombre sur une autre case bleue… jusqu’à avoir un nombre dans chaque case bleue. • Écrire les résultats dans les cases blanches. • Vérifier avec la calculatrice. 36 • trente-six 023-038-Unite 2.indd 36 23/01/2020 18:40 × 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 jeu 2 Les mini tables On peut proposer la totalité des jetons ou une partie seulement. L'intérêt de cette activité réside dans le fait que les nombres figurant dans les en-têtes des mini-tables ne sont plus ordonnés comme dans la table de Pythagore et qu'il est donc plus difficile de s'appuyer sur un résultat déjà placé pour en trouver un autre, ce qui incite davantage encore à la mémorisation. Une activité complémentaire peut être envisagée en proposant des mini-tables partiellement remplies, mais où manquent tout ou partie des en-têtes (cf. exemple ci-contre). × 6 8 35 25 45 24 32 101 2 Ateliers UNITÉ problèmes Je résous à mon rythme Ces problèmes sont des problèmes à une ou plusieurs étapes qui font appel au sens des opérations. Ils doivent être résolus rapidement, en recourant soit au calcul mental en ligne, soit au calcul posé, soit au calcul instrumenté (calculatrice) selon les cas. Les élèves sont incités à écrire leurs calculs et, le cas échéant, les étapes intermédiaires de la résolution. Ils doivent enfin formuler une phrase en réponse à la question posée ou recopier le tableau à compléter dans certains cas. L'exploitation peut être individuelle, en atelier ou collective, et porter sur la diversité des procédures, leur mise en relation et sur la mise en forme des solutions. Pour cette page, les problèmes relèvent du champ multiplicatif et leur résolution sollicite des connaissances établies au CE1 ou au CE2. Manuel p. 37 UNITÉ 2 A 1 Ateliers Je réso us à mon ryth me problèmes Résous ces problèmes. N’oublie pas d’écrire la phrase réponse. cette a. Combien y a-t-il de carreaux sur plaque de carrelage ? b. Pour faire une utilise Aya n, décoratio un quart des carreaux. Combien de carreaux Aya a-t-elle utilisés ? a. Un cuisinier a acheté 9 boites d’œufs comme celle-ci. Pour faire une grande omelette, il faut 50 œufs. d’œufs pour faire l’omelette ? 2 B 1 ★ s, Écris une question pour ces problème puis réponds à la question. Un grand immeuble a 7 étages. À chaque étage, il y a 11 appartements. Au rez-dechaussée, il n’y a aucun appartement. Dans une feuille à petits carreaux comme celle-ci, Romy a découpé un rectangle de 8 carreaux en largeur et de 15 carreaux en longueur. 2 ★ C Pour résoudre ces problèmes, tu peux utiliser ta calculatrice. La responsable du club de football a acheté 6 ballons comme celui-ci. Elle a payé avec 5 billets de 20 €. Combien le commerçant 14 € lui a-t-il rendu ? 2 Le directeur de l’école a reçu 18 paquets de 25 cahiers chacun. Il doit donner 32 cahiers à chacune des 8 classes. ? Combien de cahiers lui restera-t-il 1 A-t-il assez Explique ta réponse. b. Un autre cuisinier veut faire une omelette de avec 64 œufs. Combien doit-il utiliser boites d’œufs du même type ? 3 ★ Pour nourrir son chat, Chloé lui donne 60 g de croquettes par jour. Elle a acheté ce sac de croquettes. Depuis qu’elle a acheté ce sac, elle a déjà nourri son chat pendant 4 jours. a. Combien de grammes de croquettes a-t-elle utilisés ? b. Avec les croquettes qui restent, pendant combien de jours peut-elle encore nourrir son chat ? c. Le dernier jour, restera-t-il des croquettes ? Si oui, combien de grammes ? ou ★ 3 Pour la bibliothèque de l’école, le directeur € chacun et un CD-Rom sur les dinosaures. Il a payé en tout 504 €. Quel est le prix du CD-Rom ? 4 Recopie et complète cette facture res à 26 ★★ a acheté 18 dictionnai avec tes ★★ les informations manquan PAPÈ TE RIE DU MARC HÉ Quantité 12 équerres 15 stylos … calculatrices Prix à l’unité À payer … 2€ 45 € … … 15 € 159 € TOTAL trente-sept • 37 23/01/2020 18:40 023-038-Unite 2.indd 37 C A 1 Multiplication liée à une disposition rectangulaire des objets et fraction d'une quantité Réponses : a. 64 carreaux b. 16 carreaux 2 Multiplication liée à la réunion de quantités identiques (question a.) Recherche du nombre de parts (question b.) Réponses : a. oui, reste 4 œufs b. 11 boites ★ 3 Multiplication liée à la réunion de quantités identiques (question a.) Complément (question b.) Recherche du nombre de parts et du reste (question c.) Réponses : a. 240 g b. il reste 160 g, donc 2 jours c. reste : 40 g B ★ ★ 1 et 2 Demander aux élèves de poser des questions auxquelles on puisse répondre avec les seules données fournies. Réponses possibles : 1 Combien y a-t-il d'appartements dans l'immeuble ? 77 appartements. 2 Combien Romy a-t-elle découpé de carreaux ? 120 carreaux. 102 1 Multiplication liée à la réunion de quantités identiques Complément Réponse : cout total : 84 € valeur des billets : 100 € argent rendu : 16 € ★ 2 Multiplication liée à la réunion de quantités identiques Reste Réponse : nombre de cahiers reçus : 450 nombre de cahiers donnés : 256 nombre de cahiers restants : 194 ★★ 3 Multiplication liée à la réunion de quantités identiques Différence Réponse : valeur des dictionnaires : 468 € valeur du CD-Rom : 36 € ★★ 4 Multiplication liée à la réunion de quantités identiques Valeur d'une part Complément Nombre de parts Réponse : prix des 12 équerres : 24 € prix d'un stylo : 3 € prix des calculatrices : 90 € nombre de calculatrices : 6 UNITÉ 2 Les maths dans la vie Histoire de chocolat Ces problèmes évoquent l'origine du chocolat, son histoire, sa production et l'utilisation qui en est faite pour réaliser des paquets de divers types. Manuel p. 38 Les maths dans la vie Vidéo Histoire de chocolat Tu aimes le chocolat ? hatier-clic.fr/CM1cap102 Le chocolat est fabriqué à partir d’un mélange de pâte de cacao et de sucre. Le cacao a été introduit en Europe vers 1520, après la conquête du Mexique. Il est arrivé en France vers 1615. Ce n’est qu’en 1819 que l’on a fabriqué les premières barres de chocolat, en Suisse. Le chocolat en poudre, lui, a commencé à être fabriqué en 1828 aux Pays-Bas. Le cacao est obtenu à partir des fèves contenues dans les fruits du cacaoyer, appelés cabosses. Un cacaoyer peut mesurer de 4 m à 10 m de haut. 1 1 2 objectifs : – Prendre des informations dans des textes – Résoudre des problèmes du champ additif (recherche d'une durée ou d'une date) 2 Le premier chocolat en poudre a été fabriqué 86 ans avant la création de la poudre de marque Banania. En quelle année la poudre de la marque Banania a-t-elle été créée ? 3 De combien de mètres le cacaoyer le plus grand dépasse-t-il le cacaoyer le plus petit ? 4 Une cabosse contient entre 25 et 75 fèves de cacao et un cacaoyer fournit environ 100 cabosses par an. Combien de fèves de cacao peut-on récolter avec un seul cacaoyer ? 5 Réponses : 1 95 ans 2 1914 Combien de temps s’est écoulé entre l’apparition du cacao en Europe et son arrivée en France ? ★ 3 objectifs : Un confiseur range ses chocolats dans des boites comme celle-ci. a. Le lundi il a rempli 12 boites. Combien de chocolats a-t-il rangés dans ces boites ? b. Le mardi, il doit ranger 200 chocolats. Combien de boites va-t-il utiliser ? 38 • trente-huit – Prendre des informations dans des textes – Résoudre des problèmes du champ additif dans une situation de comparaison de quantités, recherche de la valeur d’une comparaison 6 ★ 7 Chaque Français consomme environ 6 kg de chocolat par an. C’est la moitié de ce que consomme un Allemand, mais le double de ce que consomme un Espagnol. Un Belge consomme, lui, les deux tiers de ce que consomme un Français. a. En un an, quelle masse de chocolat consomme : - un Allemand ? - un Espagnol ? - un Belge ? b. En France, quelle est la consommation de chocolat d’un village de 420 habitants en un an ? Un confiseur a préparé des sachets chacun 8 chocolats blancs et 5 chocolats noirs. Il a utilisé 120 chocolats blancs. Combien a-t-il utilisé de chocolats noirs ? ★★ de chocolats en mettant dans 8 Un autre confiseur a préparé des sachets ★★ de chocolats en mettant aussi dans chaque paquet des chocolats blancs et des chocolats noirs. Dans chaque paquet le nombre de chocolats blancs est le double du nombre de chocolats noirs. Il a utilisé au total 180 chocolats et rempli 10 paquets. Combien a-t-il mis de chocolats de chaque sorte par paquet ? 023-038-Unite 2.indd 38 23/01/2020 18:40 Réponse : 6 m 4 objectifs : – Prendre des informations dans un texte – Résoudre des problèmes du champ multiplicatif dans une situation de réunion de quantités identiques, recherche de la valeur totale. – Répondre par un encadrement Réponse : Entre 2 500 fèves et 7 500 fèves ★ 5 objectifs : – Prendre des informations dans un texte et sur une illustration – Résoudre des problèmes du champ multiplicatif dans une situation de réunion de quantités identiques, recherche de la valeur totale (question a.) et recherche du nombre de parts (question b.) Réponses : a. 300 chocolats (25 × 12) b. 8 boites ★ 6 objectifs : – Prendre des informations dans un texte – Résoudre des problèmes relatifs aux fractions, prendre une fraction d'une quantité (question a.) – Résoudre des problèmes du champ multiplicatif dans une situation de réunion de quantités identiques, recherche de la valeur totale (question b.) Réponses : a. Allemand : 12 kg Espagnol : 3 kg Belge : 4 kg b. 2 520 kg ★★ 7 objectifs : – Prendre des informations dans un texte – Résoudre des problèmes du champ multiplicatif dans une situation de réunion de quantités identiques, recherche d’un nombre de parts puis d’une valeur totale. – Résoudre un problème à étapes Réponse : Il a préparé 15 paquets (120 : 8 = 15), donc il a utilisé 75 chocolats noirs (15 × 5 = 75). Le problème peut aussi être résolu par essais progressifs de nombre de paquets (par exemple 10 paquets ➝ 80 chocolats blancs et 50 chocolats noirs…) en cherchant à atteindre 120 chocolats blancs. ★★ 8 objectifs : – Prendre des informations dans un texte – Résoudre des problèmes du champ multiplicatif dans une situation de réunion de quantités identiques, recherche de la valeur de chaque part – Résoudre un problème de recherche Réponse : 12 chocolats blancs et 6 chocolats noirs Plusieurs démarches sont possibles, par exemple : – chercher, par essais, le nombre total de chocolats de chaque sorte (120 blancs et 60 noirs) puis en déduire le nombre de chocolats de chaque sorte par paquet ; – chercher le nombre de chocolats par paquet (18), puis, par essais, le nombre de chocolats de chaque sorte par paquet. 103 UNITÉ 2 UNITÉ Toutes les ressources imprimables de l'unité : hatier-clic.fr/CM1capg03 Le DÉROULEMENT 3 LE CALCUL MENTAL Mes rituels de calcul mental (15 minutes) Problèmes Champ additif n Fractions Lecture – écriture Comparaison (de plus, de moins) n Champ multiplicatif Valeur totale de parts identiques Fraction d'une quantité n Recherche du nombre de parts n Recherche de la valeur de chaque part n Mémorisation et réflexion Doubles, moitiés, quadruple, quarts Fractions en demis, quarts, tiers, huitièmes, sixièmes n n Tables de multiplication et multiplication par 10, 100, 20, 200… Demis, tiers et quarts n Ateliers de calcul mental Nombres simples Compléments à une dizaine supérieure, à 100, à 1 000 Addition de fractions n guide p. 106 manuel p. 39 Produits, facteurs d'un produit guide p. 135 manuel p. 52 Au plus près La multiplication (multiples simples de 10 ou de 100) Les RÉVISIONS et APPRENTISSAGES Problèmes Gestion de données RÉVISER APPRENDRE 10 ou 11 séances de 15 min 10 ou 11 séances de 45 min guide p. 107 manuel p. 40 guide p. 110 manuel p. 42 Problèmes : champs additif et multiplicatif – Décomposition sous forme de produit – Recherche du nombre de parts – Comparaison et total ex. 1 à 3 guide p. 107 manuel p. 40 Nombres et numération ex. 4 à 7 guide p. 108 manuel p. 40 Multiplication : calcul réfléchi – Décomposition de nombres en produits – Calculs de produits sans poser la multiplication Calculs Des nombres cibles – Utilisation des propriétés de linéarité guide p. 114 et 117 manuel p. 44 et 46 Fractions – En demis, quarts et tiers Proportionnalité (1) Avec quatre bandes ex. 8 et 9 Fractions et graduations Les règles graduées (1 et 2) – Expression de mesures de longueurs, partie entière – Placement de fractions sur une ligne graduée guide p. 120 manuel p. 48 Addition, soustraction : ordre de grandeur Estimations – Calcul approché de sommes et de différences – Décomposition de nombres avec l'addition, la soustraction et la multiplication – Utilisation de parenthèses ex. 10 à 12 guide p. 108 manuel p. 41 Grandeurs et mesures guide p. 123 cahier p. 18 Mesurer des longueurs – Additions de longueurs et conversions en dm, cm et mm ex. 13 à 16 guide p. 109 cahier p. 17 – Angles aigus, angles obtus – Égalité et rangement d’angles – Détermination d'un rapport entre les aires de deux surfaces guide p. 126 cahier p. 20 Comparer des angles Espace et géométrie Aires : doubles et moitiés Des aires doubles et moitiés Droites perpendiculaires Quatre angles droits recouvrent la feuille ex. 1 à 3 – Reconnaissance et tracé de droites perpendiculaires Géométrie sur écran hatier-clic.fr/CM1capgecran03 GéoTortue (3) : Programmer la construction d’un carré Je prépare mon bilan BILAN manuel p. 50 Je fais le bilan cahier p. 22 manuel p. 51 Ateliers : Je résous à mon rythme PROBLÈMES 104 n Problèmes du domaine multiplicatif et du domaine additif (calcul approché de sommes) manuel p. 53 cahier p. 22 Les maths dans la vie n Avec une feuille de papier manuel p. 54 ZOOM sur les APPRENTISSAGES PROBLÈMES PROPOSÉS • Trouver la longueur d'un nombre de bandes identiques Proportionnalité mises bout à bout connaissant la apprentissage 1 longueur de 4 bandes mises bout à bout Problèmes PROBLÈMES PROPOSÉS • Exprimer des longueurs à l'aide de fractions, une unité étant donnée Fractions • Placer des fractions sur une ligne graduée apprentissages 2 et 3 PROBLÈMES PROPOSÉS Addition, soustraction de nombres entiers : ordre de grandeur • Propriétés de linéarité additive et multiplicative • Estimer un prix total • Estimer des écarts prix propriétés • Possibilité de décomposer une fraction en utilisant sa partie entière • Reconnaitre une Grandeurs surface d’aire donnée et mesures parmi d’autres Opérations surfaces sur les aires • Construire une apprentissage 5 surface d’aire donnée PROBLÈMES PROPOSÉS • Partager une feuille en 4 angles égaux. Espace et géométrie • Tracer deux droites Angle droit, droites perpendiculaires : perpendiculaires – sans contraintes – la 2e droite passe par apprentissage 6 un point de la 1re droite • Utiliser un raisonnement s'appuyant sur les propriétés de linéarité langage • Double, moitié, triple • Moitié, quart, tiers résultats et procédures • Exprimer une longueur à l'aide d'une fraction ou d'un entier augmenté d'une fraction < 1. • Trouver la partie entière d'une fraction • Possibilité d'associer des points d'une ligne graduée à des nombres entiers ou des fractions • Décomposer une fraction en utilisant sa partie entière propriétés résultats et procédures • Utilisation des arrondis pour calculer mentalement une estimation d’une somme ou d’une différence • Arrondir un nombre à la dizaine ou à la centaine la plus proche. propriétés résultats et procédures apprentissage 4 PROBLÈMES PROPOSÉS résultats et procédures • … fois une longueur • Signification de l'écriture fractionnaire (dont les fractions en dixièmes) Nombres Calculs propriétés • Deux surfaces ont même aire si elles sont superposables après découpage et recollement de l'une d'entre elles • Une surface b a une aire double de celle d’une surface a si elle a même aire qu’une surface obtenue en accolant 2 surfaces identiques à la surface a. La surface a a alors une aire moitié de celle de b propriétés • Deux droites sont perpendiculaires si elles forment un angle droit • Si deux droites se coupent en formant un angle droit, elles en forment quatre langage • Fraction • Partie entière UNITÉ • Ligne graduée, repère, graduation • Associer un repère d'une ligne graduée à une fraction et inversement • Estimer une somme ou une différence • Utiliser le découpage et le recollement (réels ou mentaux) pour trouver ou vérifier un rapport d’aire entre deux surfaces langage • Estimation, arrondi • À la centaine près, à la dizaine près langage • Aire • Surfaces de même aire • Double, triple, moitié, demi, quart résultats et procédures langage • Reconnaitre deux droites perpendiculaires isolées ou dans une figure complexe • Langage verbal : droites perpendiculaires, droite perpendiculaire à, droite qui passe par, angle droit • Tracer une droite perpendiculaire à une autre passant par un point de cette droite • Langage symbolique : codage d’un angle droit 105 3 UNITÉ 3 Rituels de calcul mental Des questions similaires figurent dans le manuel (Mes rituels de calcul mental, p. 39). Elles viennent en complément et peuvent être utilisées soit en vue de préparer les moments collectifs, soit en vue d’un entrainement supplémentaire. Problèmes Domaines additif et multiplicatif Formuler deux fois chaque énoncé. À l’issue de la résolution de chaque problème ou de l’ensemble des problèmes, exploiter les réponses des élèves : repérage des erreurs de calcul, formulation des procédures en montrant leur équivalence… ● ● Jour 1 Domaine additif (comparaison) a. Lise a cueilli 15 fraises. Elle en a cueilli 20 de moins que Léo. Combien Léo a-t-il cueilli de fraises ? b. Ali et Max collectionnent les images. Ali a 100 images. Il en a 20 de plus que Max. Combien Max a-t-il de timbres ? c. Pour venir à l’école, je dois parcourir 350 mètres. Samia doit parcourir 450 mètres. Combien doit-elle parcourir de mètres de plus que moi ? GUIDE : a. 35 fraises b. 80 images c. 100 m MANUEL : a. 28 fraises b. 200 images c. 150 m Jour 2 Domaine multiplicatif (valeur totale, nombre de parts) a. La bibliothèque de Raoul a 6 étagères. Sur chaque étagère, il a rangé 10 livres. Combien y a-t-il de livres dans la bibliothèque de Raoul ? b. Dans la bibliothèque de l’école, il y a 12 étagères. Sur chaque étagère, il y a 10 livres. Combien y a-t-il de livres dans la bibliothèque de l’école ? c. Un libraire reçoit 130 livres. Il en met 10 sur chaque étagère. Combien d’étagères utilise-t-il pour les mettre tous ? GUIDE : a. 60 livres b. 120 livres c. 13 étagères MANUEL : a. 40 livres b. 100 livres c. 10 étagères Jour 3 Domaine multiplicatif (fraction d'une quantité) a. Alice lit un livre de 20 pages. Elle a déjà lu un quart des pages. Combien a-t-elle lu de pages ? b. Noé lit un livre de 60 pages. Il a déjà lu un tiers des pages. Combien a-t-il lu de pages ? c. Jade lit un livre de 18 pages. Elle a déjà lu deux tiers des pages. Combien a-t-elle lu de pages ? GUIDE : a. 5 pages b. 20 pages c. 12 pages MANUEL : a. 10 pages b. 10 pages c. 18 pages Doubles, moitiés, quadruples, quarts Nombres simples Rappeler la signification des termes quadruple (prendre le nombre quatre fois) et quart (le diviser par quatre). ● Lors de l’exploitation, faire remarquer que : – chercher le quadruple, c’est chercher le double du double ; – chercher le quart, c’est chercher la moitié de la moitié. ● 106 Jour 4 Nombres dictés a. Quel est le double de 5 ? de 25 ? de 75 ? b. Quel est le quadruple de 5 ? de 12 ? de 7 ? c. Quelle est la moitié de 40 ? de 36 ? de 100 ? d. Quel est le quart de 40 ? de 36 ? de 100 ? a. 10 ; 50 ; 150 b. 20 ; 48 ; 28 c. 20 ; 18 ; 50 d. 10 ; 9 ; 25 a. 12 ; 30 ; 70 b. 16 ; 60 ; 24 c. 7 ; 40 ; 30 d. 2 ; 7 ; 30 GUIDE : MANUEL : Jour 5 Nombres dictés a. Quel est le double de 13 ? de 18 ? de 45 ? b. Quelle est la moitié de 48 ? de 120 ? de 1 000 ? c. Quel est le quadruple de 13 ? de 18 ? de 45 ? d. Quel est le quart de 48 ? de 120 ? de 1 000 ? a. 26 ; 36 ; 90 b. 24 ; 60 ; 500 c. 52 ; 72 ; 180 d. 12 ; 30 ; 250 MANUEL : a. 28 ; 34 ; 110 b. 20 ; 16 ; 30 c. 40 ; 48 ; 20 d. 3 ; 10 ; 200 GUIDE : Dictée de fractions Fractions simples Il s’agit de familiariser les élèves avec les désignations orales et écrites des fractions. ● Jour 6 Fractions dictées a. un quart b. sept demis d. trois huitièmes e. deux sixièmes c. quatre tiers f. neuf quarts 1 7 4 3 2 9 b. c. d. e. f. 4 2 3 8 6 4 3 1 2 5 4 9 b. c. d. e. f. MANUEL : a. 4 2 3 8 6 2 GUIDE : a. Addition de fractions Fractions simples de même dénominateur Les élèves peuvent utiliser les connaissances établies en 1 1 1 unité 2, en particulier les égalités du type + + = 1. 3 3 3 La réduction des fractions n'est demandée que si le résultat est un nombre entier. ● Lire sous la forme (exemple a.) : un tiers de u plus un tiers de u plus un tiers de u ● Jour 7 Écris chaque longueur à l'aide d'un nombre entier ou d'une seule fraction. 1 1 1 1 1 1 3 1 a. u + u + u b. u + u + u c. u + u 3 3 3 2 2 2 4 4 5 1 2 1 4 2 d. u + u e. u + u f. u + u 4 4 3 3 3 3 3 6 3 u c. 1 u d. u (ou u) 2 4 2 6 E. 1 u f. 2 u ou u 3 2 4 MANUEL : a. 1 u b. 1 u c. 1 u d. u e. 2 u ou u 3 2 GUIDE : a. 1 u b. Compléments à une dizaine supérieure, à 100, à 1 000 Certains de ces compléments devraient pouvoir être donnés rapidement. D’autres peuvent nécessiter une construction, comme le complément de 350 à 1 000 : ● 350 400 1 000 50 600 50 + 600 = 650 Jour 8 Combien pour aller de : a. 77 à 80 ? b. 31 à 50 ? d. 48 à 100 ? e. 89 à 100 ? g. 850 à 1 000 ? h. 350 à 1 000 ? Lire : 3 × 8 sous la forme « 3 fois 8 » Jour 9 Calculs dictés a. 3 × 8 b. 9 × 8 c. 7 × 4 d. 6 × 9 e. 6 × 4 f. 7 × 7 g. Combien de fois 6 dans 48 ? h. Combien de fois 7 dans 42 ? GUIDE : a. 24 b. 72 c. 28 d. 54 e. 24 f. 49 g. 8 h. 6 MANUEL : a. 27 b. 48 c. 36 d. 81 e. 42 f. 64 g. 3 h. 6 c. 30 à 100 ? f. 500 à 1 000 ? GUIDE : a. 3 b. 19 c. 70 d. 52 e. 11 f. 500 g. 150 h. 650 MANUEL : a. 14 b. 44 c. 74 d. 45 e. 25 f. 200 g. 250 h. 850 r Tables de multiplication, multiplication par 10, 20… Produits, facteurs d'un produit Jour 10 Calculs dictés a. 6 × 10 b. 13 × 10 d. 20 × 3 e. 60 × 5 g. Combien de fois 10 dans 180 ? h. Combien de fois 50 dans 200 ? c. 8 × 100 f. 200 × 7 UNITÉ 3 a. 60 b. 130 c. 800 d. 60 e. 300 f. 1 400 g. 18 h. 4 MANUEL : a. 90 b. 180 c. 500 d. 80 e. 200 f. 1 000 g. 12 h. 5 GUIDE : Voir aussi Ateliers de calcul mental (p. 52) Révisions Ces exercices de révision sont destinés à raviver des connaissances et des compétences travaillées au CE2, dans l'unité précédente ou à entretenir celles qui sont travaillées dans cette unité. Ils sont à proposer aux élèves en fonction de leurs besoins particuliers identifiés lors des activités d'apprentissage ou au moment des bilans, en classe entière ou en ateliers différenciés et, éventuellement préparés à la maison. Ils sont conçus pour une durée quotidienne d'environ 15 min. Manuel p. 40-41 EXERCICE 2 Ce problème peut être résolu en faisant appel à des connaissances relatives à la numération décimale (combien de dizaines dans 1 240 ?), par recours à la multiplication (… × 10 = 1 240) ou à la division vue au CE2. UNITÉ Problèmes Domaines multiplicatif et additif Je révise 3 ® Ces exercices de reprise d’apprentissage sont à répartir sur l’unité. PROBLÈMES 1 2 3 Aya a 18 petites voitures. Elle veut toutes les ranger dans des boites en mettant le même nombre de voitures dans chaque boite. Combien doit-elle prendre de boites et combien de voitures va-t-elle mettre dans chaque boite ? Trouve toutes les possibilités. Un restaurateur a besoin de 1 240 œufs pour confectionner ses plats. Les œufs sont vendus par boites de 10. Combien de boites doit-il commander ? Lyam a fait une promenade à vélo. Le matin, il a parcouru 27 km. L’après-midi, il a parcouru 10 km de plus que le matin. Combien de kilomètres a-t-il parcourus au cours de la journée ? FRACTIONS ➜ Pour les exercices 4, 5 et 6, utilise cette unité de longueur. 1 EXERCICE 1u 4 a. Trace un segment en reportant quatre – Nombre de parts Complète. a. 1 de 1 500et g, c’est … g. égales valeur de 3 chaque b. 1 de 60 min,part c’est … min. 3 c. 2 de 1 500 g, c’est... g. – Comparaison 3 d. 2 combinaison de 60 min, c’est … min. et 3 3 d'états e. de 1 500 g, c’est ... g. 3 7 f. Réponse : 124 boites de 10 œufs Je révise UNITÉ 3 3 EXERCICE PROBLÈMES MULTIPLICATION : CALCUL RÉFLÉCHI 8 Trouve toutes les façons de faire des paquets identiques avec : a. 60 feuilles de papier b. 140 feuilles de papier c. 100 feuilles de papier 9 Calcule sans poser de multiplication 5 a. Trace un deuxième segment en mettant bout à bout une unité et une demi-unité. b. Écris avec une seule fraction la longueur du segment que tu as tracé. 6 a. Trace un troisième segment en mettant bout à bout une unité et trois quarts d’unité. b. Écris avec une seule fraction la Réponses : longueur du segment que tu as tracé. DES NOMBRES CIBLES ➜ Pour les exercices 10 à 12, la calculatrice n’est pas autorisée. 10 Trouve toutes les façons d’obtenir 24, en complétant : … × … 11 Trouve comment atteindre 60, en n’utilisant que les nombres 2, 5 et 10 et en complétant : (… + …) × … 12 Trouve comment atteindre 80, en n’utilisant que les nombres 2, 5, 10 et 20 et en complétant nombre de boites 1 : (… 2× …) – (… × …)3 nombre de voitures par boite 18 9 6 40 • quarante 039-054-Unite 3.indd 40 1 Aya a 18 petites voitures. Elle veut toutes les ranger dans des boites en mettant le même nombre de voitures dans chaque boite. Combien doit-elle prendre de boites et combien de voitures va-t-elle mettre dans chaque boite ? Trouve toutes les possibilités. 2 Un restaurateur a besoin de 1 240 œufs pour confectionner ses plats. Les œufs sont vendus par boites de 10. Réponse : 64 km ? Combien de boites doit-il commander f. 12 × 11 g. 12 × 12 h. 13 × 12 i. 14 × 12 j. 12 × 15 Différentes procédures permettent d’aboutir aux réponses : schémas, addition itérée, multiplication, mais les calculs doivent être organisés pour assurer l’exhaustivité des réponses. fois une demi-unité. b. Complète : La longueur du segment est … u. 7 Complète. a. 1 de 1 500 g, c’est … g. 3 b. 1 de 60 min, c’est … min. 3 2 c. de 1 500 g, c’est... g. 3 2 d. de 60 min, c’est … min. 3 3 e. de 1 500 g, c’est ... g. 3 3 f. de 60 min, c’est … min. 3 Ce problème nécessite de comprendre des expressions telles que « de plus », « de moins ». Les élèves doivent déterminer les 2 étapes de la résolution : recherche de la distance parcourue l'après-midi, puis distance totale. 3 de 60 min, c’est … min. 3 en colonnes. a. 11 × 5 b. 12 × 5 c. 5 × 14 d. 5 × 24 e. 5 × 25 ® Ces exercices de reprise d’apprentissage sont à répartir sur l’unité. 23/01/2020 18:40 6 3 9 2 La réponse « 1 boite de 18 voitures » peut être discutée au vu de l’énoncé. 18 1 3 Lyam a fait une promenade à vélo. Le matin, il a parcouru 27 km. L’après-midi, il a parcouru 10 km de plus que le matin. MULTIPLICATION : CALCUL RÉFLÉCHI 8 Trouve toutes les façons de faire FractionsJe révise Moitiés, quarts, tiers UNITÉ Combien de kilomètres a-t-il parcourus 3 au cours de la journée ? FRACTIONS ➜ Pour les exercices 4, 5 et 6, PROBLÈMES utilise cette unité de longueur. 1 Aya a 18 petites voitures. 1u Elle veut toutes les ranger boites en en mettant 4 a. dans Tracedes un segment reportant quatre même nombre de foisleune demi-unité. voitures dans chaque boite. b. Combien Complètedoit-elle : prendre de boites La et longueur du segment est … u. mettre combien de voitures va-t-elle dans chaque boite ? 5 a. Trouve Trace un deuxième segment en mettant toutes les possibilités. bout à bout une unité et une demi-unité. Écris avec une seule fraction la œufs 2 b. Un restaurateur a besoin de 1 240 longueur du segment que as tracé. pour confectionner ses tu plats. Les œufs sont vendus par boites de 10. 6 a. Combien Trace un troisième segment en mettant? de boites doit-il commander bout à bout une unité et trois quarts d’unité. Écris avec fraction la 3 b. Lyam a fait une une seule promenade à vélo. longueur du segment que 27 tu as tracé. Le matin, il a parcouru km. L’après-midi, il a parcouru 10 km de plus que le matin. Combien de kilomètres a-t-il parcourus au cours de la journée ? 40 • quarante FRACTIONS ➜ Pour les exercices 4, 5 et 6, utilise cette unité de longueur. 039-054-Unite 3.indd 40 1u 4 a. Trace un segment en reportant quatre fois une demi-unité. b. Complète : des paquets identiques avec : a. 60 feuilles de papier b. 140 feuilles de papier ® Ces exercices de reprise d’apprentissage c. 100 feuilles de papier sont à répartir sur l’unité. 9 Calcule sans poser de multiplication en colonnes. 7 a. Complète. 11 × 5 f. 12 × 11 b. a. 12 1× 5 de 1 500 g, c’estg.…12 g. × 12 c. 5 ×3 14 h. 13 × 12 d. b. 5 ×1 24 de 60 min, c’est i.… 14 min.× 12 e. 5 ×3 25 j. 12 × 15 2 c. de 1 500 g, c’est... g. 3 DES NOMBRES CIBLES 2 60 min, c’est d. lesdeexercices ➜ Pour 10 à … 12,min. la calculatrice n’est3pas autorisée. 3 de 1 500 g, c’est ... g. e. toutes 10 Trouve les façons d’obtenir 24, 3 en complétant : …×… f. 3 de 60 min, c’est … min. 11 Trouve3 comment atteindre 60, – Fractions et mesures de longueurs – Fractions d'une quantité en n’utilisant que les nombres 2, 5 et 10 MULTIPLICATION et en complétant: :CALCUL ×… (… + …)RÉFLÉCHI 8 Trouve toutes les façons de faire 12 Trouve comment atteindreavec 80, : des paquets identiques en a. n’utilisant quede lespapier nombres 2, 5, 10 et 60 feuilles 20 b. et 140 en complétant : (… × …) – (… × …) feuilles de papier c. 100 feuilles de papier 9 Calcule sans poser de multiplication en colonnes. a. 11 × 5 b. 12 × 5 c. 5 × 14 d. 5 × 24 e. 5 × 25 f. 12 × 11 g. 12 × 12 h. 13 × 12 i. 14 × 12 j. 12 × 15 23/01/2020 18:40 107 f. sont vendus par boites de 10. Combien de boites doit-il commander ? 3 EXERCICES 4 5 6 Lyam a fait une promenade à vélo. Le matin, il a parcouru 27 km. L’après-midi, il a parcouru 10 km de plus que le matin. Combien de kilomètres a-t-il parcourus au cours de la journée ? FRACTIONS ➜ Pour les exercices 4, 5 et 6, utilise cette unité de longueur. La deuxième partie de chaque question peut être traitée soit par report effectif de l’unité, soit par un raisonnement sur les fractions données : 1 1 1 1 1 Exercice 4 : 4 fois u = ( u + u) + ( u + u) = 2 u 2 2 2 2 2 car 2 demi-unités = une unité. 1 3 Exercice 5 : 1 u + u = u car 1 unité = 2 demi-unités ; 40 • 2 2 3 7 Exercice 6 : 1 u + u = u car 1 unité = 4 quarts d’unité. 4 4 1u 4 a. Trace un segment en reportant quatre fois une demi-unité. b. Complète : La longueur du segment est … u. 5 a. Trace un deuxième segment en mettant bout à bout une unité et une demi-unité. b. Écris avec une seule fraction la longueur du segment que tu as tracé. 6 a. Trace un troisième segment en mettant bout à bout une unité et trois quarts d’unité. b. Écris avec une seule fraction la longueur du segment que tu as tracé. 3 de 60 min, c’est … min. MULTIPLICATION : CALCUL RÉFLÉCHI 8 Trouve toutes les façons de faire des paquets identiques avec : a. 60 feuilles de papier b. 140 feuilles de papier c. 100 feuilles de papier Réponses : de multiplication a. 55 b. 60 c. 70 d. 120 e. 125 9 Calcule sans poser en colonnes. f.f. 12132 g. 144 h. 156 i. 168 j. 180 a. 11 × 5 × 11 b. 12 × 5 c. 5 × 14 d. 5 × 24 e. 5 × 25 g. 12 × 12 h. 13 × 12 i. 14 × 12 j. 12 × 15 Des nombres cibles Calcul réfléchi DES NOMBRES CIBLES ➜ Pour les exercices 10 à 12, la calculatrice n’est pas autorisée. – Décomposition de nombres et calculs avec parenthèses 10 Trouve toutes les façons d’obtenir 24, en complétant : … × … 11 Trouve comment atteindre 60, en n’utilisant que les nombres 2, 5 et 10 et en complétant : (… + …) × … 12 Trouve comment atteindre 80, en n’utilisant que les nombres 2, 5, 10 et 20 et en complétant : (… × …) – (… × …) quarante 039-054-Unite 3.indd 40 Réponses : b. 2 u 4 5 b. 3 u 2 6 b. 7 u 4 EXERCICE 7 Dans cet exercice, l’unité est une mesure de grandeur (1 500 g, 60 min…). En mobilisant le fait que trois tiers d’unité = 1 unité, les réponses aux questions e. et f. peuvent être données directement. On peut calculer les réponses aux autres questions en faisant référence à la signification des expressions fractionnaires comme partage de l'unité. EXERCICES 10 11 12 23/01/2020 18:40 Ce type d’exercice sera proposé à plusieurs reprises. L’objectif est de conduire les élèves à « voir » un nombre sous plusieurs formes et à se familiariser avec les relations entre nombres d’usage courant et avec l’usage des parenthèses. Réponses : Complète. 1 a. de 1 500 g, c’est … g. 3 b. 1 de 60 min, c’est … min. 3 c. 2 de 1 500 g, c’est... g. 3 d. 2 de 60 min, c’est … min. 3 3 e. de 1 500 g, c’est ... g. 3 3 f. de 60 min, c’est … min. 3 Réponses : a. 500 g b. 20 min c. 1 000 g d. 40 min e. 1 500 g f. 60 min . Multiplication 240 œufs 8 Trouve toutes les façons de faire des paquets identiques avec : a. 60 feuilles de papier b. 140 feuilles de papier c. 100 feuilles de papier ? 9 Calcule sans poser de multiplication en colonnes. a. 11 × 5 b. 12 × 5 c. 5 × 14 d. 5 × 24 e. 5 × 25 en reportant quatre en mettant la t en mettant DES NOMBRES CIBLES ➜ Pour les exercices 10 à 12, la calculatrice n’est pas autorisée. – Décomposition d'un nombre sous forme de produits – Calcul réfléchi de produits de 2 nombres (multiplication par 5, par 11, par 12…) 3×8 12 × 2 (2 + 10) × 5 12 (5 × 20) – (2 × 10) et autres solutions obtenues en inversant les facteurs des produits. • double décimètre MESURER DES LONGUEURS 10 Trouve toutes les façons8 d’obtenir 24, EXERCICE en complétant : … × … – Mesure de la longueur d'une ligne brisée – Addition de 2 longueurs – Conversions (mm, cm, dm) 13 Quelle est la longueur de cette ligne brisée ? Exprime-la dans l’unité appropriée. A Exercice du même type que l’exercice 1. On peut remarquer que le nombre de solutions ne dépend pas de la taille du nombre donné. 11 Trouve comment atteindre 60, en n’utilisant que les nombres 2, 5 et 10 et en complétant : (… + …) × … 12 Trouve comment atteindre 80, 14 Quelle est la longueur de chaque ligne brisée ? en n’utilisant que les nombres 2, 5, 10 et 20 et en complétant : (… × …) – (… × …) Réponses : a 4×6 24 × 1 matériel par élève b B c C D Nombre de feuilles par paquet Nombre de paquets Nombre de feuilles par paquet Nombre de paquets Nombre de feuilles par paquet 23/01/2020 18:40 Nombre de paquets la f. 12 × 11 g. 12 × 12 h. 13 × 12 i. 14 × 12 j. 12 × 15 2 × 12 8×3 Mesurer des longueurs Addition de longueurs et conversions Ces exercices permettent de revoir l’utilisation du double décimètre pour effectuer une mesure et d’utiliser les équivalences 1 dm = 10 cm et et 1 cm = 10 mm que les élèves peuvent retrouver par l’observation de leur double décimètre Calcul réfléchi MULTIPLICATION : CALCUL RÉFLÉCHI 6×4 11 (10 + 2) × 5 ® Ces exercices de reprise d’apprentissage sont à répartir sur l’unité. 7 10 1 × 24 1 2 3 4 5 6 10 12 15 20 30 60 60 30 20 15 12 10 6 5 4 3 2 1 1 2 5 7 10 14 20 28 70 140 140 70 28 20 14 10 7 5 2 1 1 2 4 5 10 20 25 50 100 100 50 25 20 10 5 4 2 1 EXERCICE 9 Entrainement aux procédures étudiées en unité 2 qui font appel aux propriétés de la multiplication (associativité, distributivité sur l’addition). Différentes procédures sont possibles pour chaque calcul. ● 108 E 15 Les lignes F à J sont chacune formées de deux segments mis bout à bout. Les longueurs de ces segments sont dans le tableau. Quelle est la longueur de chaque ligne ? Ligne F Ligne G Ligne H Ligne I Ligne J Longueur du 1er segment 5 cm 9 mm 6 cm 7 mm 5 dm 4 cm 46 cm 4 dm 5 cm Longueur du 2e segment 4 cm 1 mm 4 mm 32 cm 46 mm 6 cm 3 mm 16 Complète. a. 32 mm = … cm … mm b. 100 mm = 10 … c. 145 mm = … cm … mm d. 1 dm = 100 … e. 46 cm = … mm f. 10 dm = … cm g. 203 mm = … dm … mm h. 2 dm 4 cm = … cm quarante-et-un • 41 039-054-Unite 3.indd 41 23/01/2020 18:40 EXERCICE 13 Demander aux élèves de noter sur leur cahier de brouillon les mesures et les calculs nécessaires. Un contrôle des résultats peut s’effectuer à deux. ● Recenser les réponses. ● Réponse : ligne A : 56 cm 5 mm ou 565 mm ou 5 dm 6 cm 5 mm UNITÉ 3 EXERCICE 14 Je révise COMPARER DES ANGLES ➜ Pour les exercices 1 et 2, utilise les figures ci-dessous. Nomme les angles par leur sommet. M Si besoin, se mettre d’accord, pour chaque ligne, sur la longueur de chaque segment. Il y a toujours une imprécision dans les mesures, et on peut admettre une erreur de 1 à 2 mm. ● Insister sur le fait que si l’on utilise une expression complexe de la mesure en cm et mm, le nombre de mm doit être inférieur à 9. On utilise alors la relation 1 cm = 10 mm. Par exemple, certains trouveront que la ligne C mesure 7 cm 14 mm, mais 14 mm = 10 mm + 4 mm = 1 cm 4 mm. Cette conversion peut être obtenue par comptage et observation sur le double-décimètre. Donc la ligne C mesure 8 cm 4 mm. ● Le calcul des longueurs des lignes D et E est l’occasion de rappeler la relation 10 cm = 1 dm. – Angles aigus, angles obtus – Égalité, comparaison, rangement d'angles P ● Réponses : ligne B : 3 cm 2 mm + 4 cm 6 mm = 7 cm 8 mm = 78 mm ligne C : 2 cm 5 mm + 3 cm 5 mm + 2 cm 3 mm = 8 cm 3 mm = 83 mm ligne D : 3 cm 4 mm + 5 cm 9 mm + 2 cm 5 mm = 11 cm 8 mm = 1 dm 1 cm 8 mm = 118 mm ligne E : 9 cm 6 mm + 4 cm 4 mm = 14 cm = 1 dm 4 cm = 14 cm EXERCICE 15 Pour calculer la longueur d’une ligne brisées, les longueurs des segments qui la composent étant données, les élèves doivent réaliser les conversions nécessaires. Plusieurs méthodes sont possibles, par exemple pour la ligne F : 5 cm 9 mm + 4 cm 1 mm = 9 cm 10 mm = 9 cm + 1 cm = 10 cm = 1 dm ou 59 mm + 41 mm = 100 mm = 10 cm = 1 dm. Réponses : ligne F : 10 cm ou 1 dm ligne G : 7 cm 1 mm ou 71 mm ligne H : 8 dm 6 cm ou 86 cm ligne I : 50 cm 6 mm ou 5 dm 6 mm ou 506 mm ligne J : 5 dm 1 cm 3 mm ou 51 cm 3 mm ou 513 mm EXERCICE 16 Un temps collectif permet d’expliciter les procédures. Les élèves peuvent faire référence à l’image des graduations du double décimètre ou utiliser des procédures numériques se référant aux équivalences 1 dm = 10 cm et 1 cm = 10 mm. Réponses : a. 3 cm 2 mm b. 10 cm c. 14 cm 5 mm d. 100 mm e. 460 mm f. 100 cm g. 2 dm 3 mm h. 24 cm EXPLICITATION, VERBALISATION Les mesures de longueurs sont souvent exprimées en décimètres (dm), centimètres (cm), millimètres (mm) ou dm et cm ou cm et mm. Exemples : 21 cm 17 mm 7 cm 8 mm Dans la vie courante, le décimètre (dm) est peu utilisé. On doit connaitre les relations les plus utlisées entre ces unités : 1 cm = 10 mm ; 1 dm = 10 cm. Cahier p. 17 Angles Comparaison matériel par élève • règle, équerre, 5 à 6 morceaux de papier calque environ 7,5 cm × 5 cm (1/16 feuille A4) N R T S 1 Quels sont les angles aigus ? …………………………… Quels sont les angles obtus ? …………………………… 2 Range les angles du plus petit au plus grand. Utilise des morceaux de papier calque. ……… < ……… < ……… < ……… < ……… < ……… 3 Quels angles sont égaux dans chaque polygone ? Écris les noms de leurs sommets. Utilise des morceaux de papier calque. Triangle HKJ : ….........….........…...…..... Quadrilatère ABCD : ….........….........…...…..... D J H A C B K dix-sept • 17 EXERCICES 1 Cahier geom.indd 17 2 3 UNITÉ 22/01/2020 10:30 Tracer un polygone au tableau et nommer ses sommets, par exemple un quadrilatère ABCD. ● Demander de venir montrer l’angle de sommet A, celui de sommet B ● ● Préciser : ➞ L’angle de sommet A est l’angle formé par les deux côtés [AB] et [AC] du quadrilatère qui ont en commun le sommet A. L’angle de sommet B est l’angle formé par les deux côtés [AB] et [BC] du quadrilatère qui ont en commun le sommet B. ● Indiquer : ➞ Pour l’exercice 1, vous essayerez de répondre à vue d’œil, ensuite vous vérifierez avec votre équerre. Pour les exercices 2 et 3, vous disposez de morceaux de papier calque et de votre règle pour tracer, mais pas pour mesurer. Dans les 3 exercices, vous désignerez les angles par leurs sommets. Dans l’exercice 3, une aide peut consister à inviter les élèves à commencer par éliminer les angles qui perceptivement ne sont pas égaux avant d’utiliser un morceau de papier calque pour comparer les autres. ● Différentes procédures possibles : – Pour comparer perceptivement un angle à un angle droit (exercice 1), on peut tourner la page pour ramener un de ses côtés horizontal ou vertical ; – Avant d’utiliser un calque pour comparer des angles (exercices 2 et 3), on peut écarter visuellement des angles qui manifestement sont très différents (Ainsi, il ne fait aucun doute dans l’exercice 1 que les angles de sommets N, P, R et S sont plus petits qu’un angle droit, dans l’exercice 3 que l’angle de sommet J est différent des angles de sommets H et K, que l’angle de sommet A est obtus alors que les angles de sommets B, C, D sont aigus). – Pour s’organiser pour ranger des angles (exercice 2) : la comparaison se limite aux 4 angles aigus, l’angle de sommet T est droit et l’angle de sommet M est le seul angle obtus. ● Réponses : 1 Angles aigus : N, P, R, S Angles obtus : M 2 N<P<S<R<T<M 3 Triangle : H = K Quadrilatère : B = C = D Des exercices plus complexes sont proposés en exercices complé­ mentaires. Ils nécessitent d’analyser une figure et de reporter un angle pour en poursuivre la construction (voir p. 133). 109 3 Proportionnalité (1) Objectif : – Mobiliser des formes de raisonnement spécifiques et des procédures adaptées pour traiter des problèmes de proportionnalité, notamment les propriétés de linéarité (additive et multiplicative) UNITÉ Pour cette première approche de la proportionnalité, plusieurs choix ont été faits : – le contexte de la situation autorise une validation expérimentale des réponses ; – les nombres sont « simples » et permettent donc des calculs mentaux avec utilisation de rapports entre les nombres faciles à mettre en évidence (doubler, tripler, multiplier par dix) ; – les données conduisent au départ à un choix ouvert de procédures possibles (passage par la longueur d’une bande, propriétés de linéarité…) et se referment progressivement. Le passage par la longueur d’une bande, appelée parfois « règle de trois », devient plus difficile à utiliser dans le problème posé en question C. Les procédures visées sont, pour l’essentiel, liées aux propriétés de linéarité (aspects additif et multiplicatif). Avec quatreAvec bandes Je cherche quatre bandes A apprentissage 1 Proportionnalité (1) 3 Aya met bout à bout des bandes vertes, toutes de même longueur. En mettant bout à bout 4 bandes vertes, elle obtient une longueur de 8 cm. apprentissage 1 Je vais les mettre bout à bout. B Romy met bout à bout des bandes rouges, toutes de même longueur. En mettant bout à bout 4 bandes rouges, elle obtient une longueur de 6 cm. ● C Milo met bout à bout des bandes bleues, toutes de même longueur. En mettant bout à bout 4 bandes bleues, il obtient une longueur de 9 cm. en formulant : ➞ La longueur totale obtenue avec les quatre bandes non agrandies est 8 cm. Chaque bande verte a la même longueur. DICO 43-44 DE KANGOUROU ◗ LES SAUTS pour la classe ◗ LES TOURS DE PÉDALIER INCONTOURNABLE MATÉRIEL 8 cm (sur le manuel) Quelle longueur obtiendra-t-il en mettant bout à bout : a. 8 bandes bleues ? b. 12 bandes bleues ? c. 40 bandes bleues ? d. 48 bandes bleues ? Quelle longueur obtiendra-t-elle en mettant bout à bout : a. 8 bandes rouges ? b. 12 bandes rouges ? c. 40 bandes rouges ? d. 48 bandes rouges ? Je m’entraine 1 12 Un kangourou fait des réguliers.de 20 cm 2 Milo a remarqué que fait 2 de tours bandes : 4sauts vertes chacune, 4 lorsqu’il rouges • En 3 sauts, il avance de 12 mètres. de pédalier, son vélo parcourt 5 mètres. Quelle distance parcourt son vélofois 15 cm chacune, 4 bleues de 22,5 cm chacune (10 lorsqu’il fait : les dimensions du manuel) a. 4 tours de pédalier ? b. 6 tours de pédaliers ? de mesure (règle du par? exemple) • instrument c. tableau, 12 tours de pédalier De combien avance-t-il en faisant : 6 sauts ? de 2 para. équipe b. 15 sauts ? c. 12 sauts ? d. 300 sauts ? d. 20 tours de pédalier ? e. 28 tours de pédalier ? • feuille de recherche 42 • quarante-deux • copie du matériel collectif réduit pour certaines équipes : 4 bandes vertes de 2 cm chacune, 4 rouges de 1,5 cm chacune, 4 bleues de 2,25 cm chacune 039-054-Unite 3.indd 42 • manuel p. 42, questions A à C • brouillon, cahier de mathématiques • aucun matériel de mesure n'est disponible pour les élèves 1 Présentation de la situation 2 Recherche de la question A 3 Exploitation de la question A 4 Recherche de la question B 5 Exploitation de la question B 6 Recherche de la question C 7 Exploitation de la question C Attention : Ne pas indiquer la longueur de chaque bande. ● Un ensemble de 4 bandes peut également être distribué à quelques équipes pour lesquelles des difficultés sont pressenties. ● Demander de prendre connaissance de la question A du manuel et faire reformuler la tâche : ➞ Il faut trouver la longueur qu’on obtiendrait en mettant bout à bout 8 bandes vertes, puis 12, 40 et enfin 48 bandes vertes. Vous n’avez pas la possibilité de mesurer. 23/01/2020 18:40 par élève 8 Entrainement 1 Présentation collective de la situation Afficher au tableau, mises bout à bout, les 4 bandes vertes agrandies et faire mesurer la longueur totale par un élève (sans mesurer chaque bande). Préciser que les bandes du tableau sont agrandies et que 1 dm au tableau représente 1 cm du manuel. ● Écrire le résultat au tableau (par exemple sous la forme : Je ne sais pas quelle longueur tu vas obtenir. Quelle longueur obtiendra-t-elle en mettant bout à bout : a. 8 bandes vertes ? b. 12 bandes vertes ? c. 40 bandes vertes ? d. 48 bandes vertes ? INCONTOURNABLE 3 DÉROULÉ UNITÉ Collectif Individuel Collectif Par équipes de 2 Collectif Par équipes de 2 Collectif Individuel 2 Recherche individuelle de la question A ● Observer les procédures utilisées par les élèves et leur demander d'en garder une trace écrite, même si les réponses ont été trouvées mentalement. ◗ PROCÉDURES POSSIBLES – Calculer la longueur d'une bande verte, puis utiliser l'addition itérée ou la multiplication. – Utiliser un raisonnement additif ou multiplicatif en imaginant le report de la longueur de 4 bandes vertes (voir l’exploitation collective). ◗ DIFFICULTÉS ÉVENTUELLES RECHERCHE Connaissant la longueur de 4 bandes identiques mises bout à bout, comment obtenir la longueur d’autres quantités de bandes mises bout à bout ? – Pour comprendre qu'il faut distinguer « nombre de bandes » et « longueur des bandes » (exemple : réponse 12 cm pour 12 bandes) Aide À traiter lors de l'exploitation collective. – Pour respecter la proportionnalité (réponse-type : 12 cm) Aide À traiter lors de l'exploitation collective. 110 3 Exploitation collective pour la question A Recenser les réponses à chaque sous-question ; ● Faire expliciter des procédures erronées et correctes, en demandant de préciser les erreurs (choix de la procédure, erreur dans les calculs, erreur dans l’interprétation des calculs), d’expliquer les procédures correctes en s’aidant éventuellement de dessins ou de schémas ; ● La principale erreur (confusion entre nombre de bandes et longueur des bandes) est démentie par les arguments d'autres élèves (1 bande ne mesure pas 1 cm) et par la mesure d'une bande. ● Procéder à une vérification éventuelle à l’aide de bandes mises bout à bout, avec la possibilité de mesurer. ◗ PROCÉDURES POSSIBLES – Calculer la longueur d'une bande verte, en cm (1 cm et un demicm ou 1 cm 5 mm) ou en mm (15 mm), puis utiliser l'addition itérée ou la multiplication (mais plus difficile qu'en question A). – Utiliser un raisonnement additif ou multiplicatif en imaginant le report de la longueur de 4 bandes vertes (voir Exploitation collective). ● Les raisonnements des élèves sont souvent formulés dans un lan­ gage approximatif ou avec des formalisations non conventionnelles. Elles peuvent faire l’objet de reformulations collectives, mais doivent rester proches de ce qu’ont voulu exprimer les élèves. EXPLICITATION, VERBALISATION ◗ Reformuler les principales procédures valides utilisées en les caractérisant et en les illustrant par un schéma des bandes, par exemple ci-dessous pour 12 bandes. • Passage par la longueur d'une bande – une bande verte mesure 2 cm (division de 8 cm par 4) – les autres longueurs s'obtiennent par multiplication ou addition itérée 12 × 2 cm = 24 cm. ◗ DIFFICULTÉS ÉVENTUELLES Voir question A et en particulier difficultés dans les additions itérées et multiplication si utilisation de la longueur d’une bande. 5 Exploitation collective pour la question B Même déroulement que pour la question A. Demander aux élèves qui ont changé de procédure par rapport à la question A d'en expliquer les raisons (par exemple difficulté à diviser 6 par 4). nombre de bandes longueur en cm ➝ 4 6 ➝ 8 12 ➝ 12 18 ● ● L’utilisation d’un tableau ou d’une représentation du type ci­ dessus est envisageable, mais n’est pas ici un objectif essentiel. Cela n’est introduit que si certains élèves proposent une disposition qui en est proche. Ce sont en effet les raisonnements qui sont à privilégier, dans des formes proches de celles utilisées par les élèves. 2 cm • Sans passage par la longueur d'une bande : – par un raisonnement additif 4 bandes 4 bandes 4 bandes ➝ 12 bandes 8 cm + 8 cm + 8 cm = 24 cm 8 cm 8 cm EXPLICITATION, VERBALISATION ◗ Reformuler les principales procédures utilisées en les caractérisant et en les illustrant par un schéma des bandes. • Passage par la longueur d'une bande Elle n'est envisageable à ce moment de l'année que si les élèves convertissent 6 cm en 60 mm ou s’ils utilisent les demi-centimètres • Sans passage par la longueur d'une bande : cf. phase 3 8 cm – par un raisonnement multiplicatif 12 bandes c’est 3 fois 4 bandes La longueur est donc égale à 3 fois 8 cm, donc 3 × 8 cm = 24 cm – en utilisant un résultat déjà établi 12 bandes c’est 8 bandes et encore 4 bandes La longueur est donc égale à 16 cm + 8 cm = 24 cm. Réponses : a. 12 cm b. 18 cm c. 60 cm d. 72 cm 6 Recherche par équipes de 2 de la question C Reprendre le même déroulement que pour les questions A et B. ● 16 cm 8 cm On peut faire remarquer que la procédure par addition itérée de 2 cm ou de 8 cm devient fastidieuse et source d'erreurs de calculs pour un nombre élevé de bandes. Des élèves peuvent aussi remarquer que le nombre de cm est le double du nombre de bandes, ce qui fait référence au coefficient de proportionnalité. Si cette procédure apparait, elle est égale­ ment présentée comme valide. Réponses : a. 16 cm b. 24 cm c. 80 cm d. 96 cm 4 Recherche par équipes de 2 de la question B ● Reprendre le même déroulement que pour la question A (phases 2 et 3) ◗ PROCÉDURES POSSIBLES – Calculer la longueur d'une bande verte, puis utiliser l'addition itérée ou la multiplication (mais très difficile). – Utiliser un raisonnement additif ou multiplicatif en imaginant le report de la longueur de 4 bandes vertes (voir exploitation collective). ◗ DIFFICULTÉS ÉVENTUELLES Voir questions A et B L'erreur qui consiste à confondre « nombre de bandes » et « longueur des bandes » peut ressurgir du fait de la difficulté à trouver la longueur d'une bande. 111 UNITÉ 3 INCONTOURNABLE 7 Exploitation collective pour la question C INCONTOURNABLE EXERCICE 5 INCONTOURNABLE INCONTOURNABLE a. 8 bandes bleues ? b. 12 bandes bleues ? c. 40 bandes bleues ? d. 48 bandes bleues ? Avec quatre bandes 2 Je ne sais pas Je vais les mettre quelle longueur bout àDe bout. combien avance-t-il en faisant : tu vas obtenir. a. 6 sauts ? b. 15 sauts ? c. 12 sauts ? d. 300 sauts ? Combien de bonds le même lièvre doit-il faire pour parcourir : a. 5 mètres ? d. 40 mètres ? e. 150 mètres ? 039-054-Unite 3.inddb. 43 30 mètres ? c. 15 mètres ? f. 55 mètres ? EXERCICES 5 ✶ 6 ✶ c. 40 bandes bleues ? b. 60 m c. 48 m INCONTOURNABLE INCONTOURNABLE 3 23/01/2020 18:40 ◗ LES POTS DE CONFITURE INCONTOURNABLE EXERCICES 4 Une pile de 4 pots de confiture identiques 2 3 ◗ LE GÂTEAU AU YAOURT Milo : 54 cm 9 Quelle quantité de chaqueTom ingrédient : 50 cm ★★ faut-il prévoir pour faire un gâteau au yaourt pour : Aya : 27 cm hatier-clic.fr/CM1cap013 quarante-trois • 43 23/01/2020 18:40 a. 12 personnes ? b. 3 personnes ? c. 18 personnes ? d. 30 personnes ? e. 15 personnes ? f. 33 personnes ? quarante-trois 23/01/2020 18:40 039-054-Unite 3.indd 43 d. 1 200 m Chez « Mon bouquet », 6 roses coutent 9 €. Chez « Florilège », 6 roses coutent 12 €. Dans chaque magasin, combien coutent : a. 12 roses ? c. 15 roses ? b. 3 roses ? d. 30 roses ? ◗ LES MORCEAUX DE SUCRE Romy : 18 cm Aya : 27 cm ◗ LES ACHATS DE FLEURS ★ g d. 5 morceaux ? e. 25 morceaux ? Romy : 18 cm f. 105 morceaux ? hatier-clic.fr/CM1cap013 Réponses : 7 e. 15 personnes ? f. 33 personnes ? Tom : 50 cm Milo a remarqué que lorsqu’il fait 2 tours de pédalier, son vélo parcourt 5 mètres. Quelle distance parcourt son vélo lorsqu’il fait : a. 4 tours de pédalier ? b. 6 tours de pédaliers ? c. 12 tours de pédalier ? d. 20 tours de pédalier ? e. 28 tours de pédalier ? Combien de tours de pédalier doit faire Milo pour parcourir : a. 20 mètres ? b. 500 mètres ? b. 3 personnes ? Dix18 morceaux c. personnes ? de sucre pèsent 80 grammes. Combien pèsent : a. 20 morceaux ? b. 100 morceaux ? c. 110 morceaux ? Milo : 54 cm ◗ LES TOURS DE PÉDALIER : c. 12 sauts ? d. 300 sauts ? 8 ★ Énigme Les tours de pédalier 2 ★ Le calcul de la longueur d’un bond est bloqué dans la meAya, Tom, Milo et Romy ont construit des barres avec des cubes tous identiques, puis ils ontun nombre entier (y compris en sure où on n’obtient pas mesuré leurs barres. Un seul personnage s’est trompé en mesurant. convertissant les m en cm ou même mm). Les raisonneLequel ? Explique ta réponse. mesure aurait-il dû trouver ? mentsQuelle utilisables sont du Les dessins ne sont pas en vraie grandeur.type : Tu ne peux pas utiliser ton double décimètre. – nombre bonds moitié ➝ distance moitié ; – nombre bonds double ➝ distance double ; • 43 – somme de 2 nombres de bonds ➝ somme des distances correspondantes, par exemple le nombre de bonds nécessaires pour parcourir 55 m (exercice 6) est égal à la somme des nombres de bonds nécessaires pour parcourir 15 m et 40 m. Le passage par la relation entre 3 bonds et 5 m peut aussi être utilisé pour répondre à certaines questions. Dans tous les cas il est nécessaire d’utiliser des calculs intermédiaires et pas seulement les données initiales. 23/01/2020 18:40 d. 48 bandes Réponses : bleues a. 24? m au yaourt pour : 6 La donnée choisie (3 sauts, 12 m) et les nombres de sauts ou lesCdistances proposées Milo met bout à bout des bandes bleues, autorisent la mise en œuvre d’une toutes de même longueur. En mettant bout à boutde 4 bandes bleues, grande variété procédures, notamment celles qui ont il obtient une longueur de 9 cm. été étudiées dans la situation de recherche (question A) : utilisation desobtiendra-t-il propriétés de linéarité, passage par la longueur Quelle longueur en mettant bout à bout : 8 bandesLe bleues ? d’un a.b.saut. recours à une schématisation est possible. 12 bandes bleues ? DICO Énigme Où est l’erreur ? 039-054-Unite 3.indd 42 Quelle quantité de chaque ingrédient ★★ faut-il prévoir pour faire un gâteau ★ 42 • quarante-deux 43-44 Quelle sera la hauteur d’une pile de : a. 8 pots de confiture identiques aux précédents ? Où l’erreur ? b.est 2 pots de confiture Aya, Tom, Milo Romy ont construit des barres identiques auxetprécédents ? avec des cubes tous identiques, puis ils ont mesuré leurs barres. Un seul personnage s’est trompé en mesurant. LES SAUTS DE LIÈVRE Lequel ? Explique ta réponse. 5 Quelle En 6 bonds, unaurait-il lièvre parcourt 10 mètres. mesure dû trouver ? Quelle distance parcourt-il : grandeur. ★ Les dessins ne sont pas en vraie 3 bonds ? en 12décimètre. bonds ? Tua.neenpeux pas utiliser tond. double b. en 60 bonds ? e. en 15 bonds ? c. en 30 bonds ? f. en 42 bonds ? ◗ Milo a remarqué que lorsqu’il fait 2 tours de pédalier, son vélo parcourt 5 mètres. Quelle distance parcourt son vélo lorsqu’il fait : a. 4 tours de pédalier ? b. 6 tours de pédaliers ? c. 12 tours de pédalier ? d. 20 tours de pédalier ? e. 28 tours de pédalier ? EXERCICE 1 confiture identiques Les sauts de lièvre Manuel p. 42-43 ◗ LES TOURS DE PÉDALIER INCONTOURNABLE INCONTOURNABLE apprentissage 1 g d. 5 morceaux ? e. 25 morceaux ? f. 105 morceaux ? ◗ LE GÂTEAU AU YAOURT 9 4 a une hauteur 18 cm. Réponses : a.de 36 cm b. 9 cm DICO Un kangourou fait des sauts réguliers. En 3 sauts, il avance de 12 mètres. Dix morceaux de sucre pèsent 80 grammes. Combien pèsent : a. 20 morceaux ? b. 100 morceaux ? c. 110 morceaux ? ★ 43-44 1 Chez « Mon bouquet », 6 roses coutent 9 €. Chez « Florilège », 6 roses coutent 12 €. Dans chaque magasin, combien coutent : a. 12 roses ? c. 15 roses ? b. 3 roses ? d. 30 roses ? DE FLEURS ◗ LES ACHATS Là encore, le passage par la hauteur d'un pot de confiture 3 7 Chez « Mon bouquet », 6 roses coutent 9 €. Chez « Florilège », 6 roses €. mm), est possible (notamment en convertissant lescoutent cm12 en 6 Dans chaque magasin, combien coutent : faire pour parcourir : a. 12 roses ? c. 15 roses ? mais pas immédiate, ce qui incite aussi à utiliser les proa. 5 mètres ? d. 40 mètres ? b. 3 roses ? d. 30 roses ? DE?CONFITURE ◗ LES b. 30POTS mètres e. 150 mètres ? c. 15 mètres ? f. 55 mètres ? priétés de linéarité. a. 12MORCEAUX personnes ?DE SUCRE d. 30 personnes ? 4 Une pile de 4 pots de ◗ LES longueur obtiendra-t-il en mettant Quelle longueur obtiendra-t-elle Réponses : bout a. 18 cm b. 27 cm c.Quelle 90 cm: d. 108 cm bout à bout en mettant à bout : ◗ LES SAUTS DE KANGOUROU 8 ★ En 6 bonds, un lièvre parcourt 10 mètres. Quelle distance parcourt-il : a. en 3 bonds ? d. en 12 bonds ? b. en 60 bonds ? e. en 15 bonds ? Combien de tours doit faire? c. en 30 bonds ? de pédalier f. en 42 bonds Milo pour parcourir : a. 20 mètres ? b. 500 mètres ? Combien de bonds le même lièvre doit-il ★ Quelle longueur obtiendra-t-elle caractérisant en en mettant bout àet bout : les illustrant par un schéma des bandes. a. 8 bandes vertes ? • Passage b. 12 bandespar vertes la ? longueur d'une bande 40 bandes vertes ? Fairec.d. remarquer qu'elle est très difficile à utiliser et qu'il 48 bandes vertes ? vaut mieux utiliser les suivantes. C Milo met bout à bout des bandes bleues, B Romy met bout à bout des bandes rouges, de même longueur. toutes de même longueur. • Sans passage par la longueurtoutes d'une bande : En mettant bout à bout 4 bandes bleues, En mettant bout à bout 4 bandes rouges, il obtient une longueur de 9 cm. elle obtient une longueur de 6 cm. cf. phases 3 et 5 m’entraine Les Je sauts de kangourou ★ ◗ LES MORCEAUX DE SUCRE Une pile de 4 pots de confiture identiques a une hauteur de 18 cm. Quelle sera la hauteur d’une pile de : a. 8 pots de confiture identiques aux précédents ? b. 2 pots de confiture identiques aux précédents ? ◗ LES SAUTS DE LIÈVRE ◗ Reformuler les principales procédures utilisées en les 8 Entrainement individuel 4 Je ne sais pas quelle longueur tu vas obtenir. Je vais les mettre bout à bout. En mettant bout à bout 4 bandes vertes, EXPLICITATION, VERBALISATION elle obtient une longueur de 8 cm. ◗ LES ACHATS DE FLEURS 7 ◗ LES POTS DE CONFITURE Même déroulement que pour la question A. Proportionnalité (1) 3 ● Demander aux élèves qui ont changé de apprentissage procédure1 par rapport à la question B d'en expliquer les raisons (par Je cherche Avec quatre bandes exemple difficulté à diviser 9 par 4). A Aya met bout à bout des bandes vertes, a. 8 bandes rouges ? b. 12 bandes rouges ? c. 40 bandes rouges ? d. 48 bandes rouges ? Combien de tours de pédalier doit faire Milo pour parcourir : a. 20 mètres ? b. 500 mètres ? Les pots de confiture ● UNITÉ toutes de même longueur. 3 5 a. 5 m b. 100 m c. 50 m d. 20 m e. 25 m f. 70 m 6 a. 3 bonds b. 18 bonds c. 9 bonds d. 24 bonds e. 90 bonds f. 33 bonds Les achats de fleurs ★★ ★ g ★ INCONTOURNABLE ★ INCONTOURNABLE 8 Dix morceaux a une hauteur de 18 cm. Comme dans la question B de la recherche, le passage par de sucre pèsent Quelle sera la hauteur ◗ LES ACHATS DE FLEURS 80 grammes. 3 Combien de tours de pédalier doit faire d’une pile de : 7 Chez « Mon bouquet », 6 roses coutent 9 €. Combien pèsent : Milo pour parcourir : la distance parcourue en 1 tour de pédalier est possible a. 8 pots de confiture Chez « Florilège », 6 roses coutent 12 €. a. 20 morceaux ? d. 5a.morceaux ? 20 mètres ? b. 500 mètres ? identiques aux précédents ? Dans chaque magasin, combien coutent : b. 100 morceaux ? e. 25 morceaux ? mais plus b. 2 potsdifficile de confiture que dans le cas des sauts du kangourou, a. 12 roses ? c. 15 roses ? c. 110 morceaux ? f. 105 morceaux ? identiques aux précédents ? b. 3 roses ? d. 30 roses ? LES POTS DE CONFITURE ◗ ce qui incite à utiliser les propriétés de linéarité. LE GÂTEAU AU YAOURT ◗ 4 Une pile de 4 pots de LIÈVRE ◗ LES MORCEAUX DE SUCRE ◗ LES SAUTS3DEpeut L’exercice être plus difficile pourde chaque quelques élèves 9 Quelle quantité ingrédient confiture identiques 8 Dix morceaux faut-il prévoir pour faire un agâteau 5 En 6 bonds, un lièvre parcourt 10 mètres. une hauteur de 18 cm. 7 ✶ de sucre pèsent EXERCICE Quelle distance parcourt-il : car il mobilise la relation inverse.au yaourt pour : Quelle sera la hauteur 80 grammes. a. en 3 bonds ? d. en 12 bonds ? d’une pile de : Combien pèsent : b. en 60 bonds ? e. en 15 bonds ? a. 8 pots confiture le Une représentation avec des bandes peut aider à defaire a. 20 morceaux ? peut d. 5 morceaux ? c. en 30 bonds ? f. en 42 bonds ? Ce problème se résoudre individuellement ou par identiques aux précédents ? b. 100 morceaux ? e. 25 morceaux ? b. 2 pots de confiture lien 6avec les questions de la recherche, la difficulté consisc. 110 morceaux ? f. 105 morceaux ? Combien de bonds le même lièvre doit-il identiques aux précédents ? petites équipes. pour parcourir : tant àfaire qu'une bande représente la longueur a. comprendre 5 mètres ? d. 40 mètres ? LE GÂTEAUpeuvent AU YAOURT éventuellement passer par le prix d’une Les◗élèves b. 30 mètres ? e. 150 mètres ? LES SAUTS DE LIÈVRE 9 Quelle quantité de chaque ingrédient c. 15 mètres ? mètres ? parcourue quand lef. 55pédalier effectue un tour5◗d.(passage d'un a. 12 personnes ? 30 personnes ? rose (1 50 et un2gâteau faut-il prévoir En 6 bonds, un lièvre parcourt 10 mètres. € pourc faire €) ou utiliser un raisonnement du type b. 3 personnes ? e. 15 personnes ? parcourt-il : au yaourt pour : Quelle distance mouvement circulaire à un déplacement c. 18 personnes linéaire). ? f. 33 personnes a. en 3 bonds ?? d. en 12 bonds ? « double » ou « moitié ». ★ g ★ ★★ ★ Réponses : 2 a. 10 m b. 15 m Énigme 3 a. 8 tours Où est l’erreur ? 112 c. 30 m b. 200 tours Aya, Tom, Milo et Romy ont construit des barres avec des cubes tous identiques, puis ils ont mesuré leurs barres. Un seul personnage s’est trompé en mesurant. Lequel ? Explique ta réponse. Quelle mesure aurait-il dû trouver ? Les dessins ne sont pas en vraie grandeur. Tu ne peux pas utiliser ton double décimètre. b. en 60 bonds ? e. en 15 bonds ? f. en 42 bonds ? d. 50 mc. en 30 e.bonds 70 m? 6 Combien de bonds le même lièvre doit-il Romyfaire : 18 cm pour parcourir : ★ a. 5 mètres ? b. 30 Milomètres : 54 cm ? c. 15 mètres ? d. 40 mètres ? e. 150 mètres ? f. 55 mètres ? Tom : 50 cm Aya : 27 cm hatier-clic.fr/CM1cap013 Énigme Pour 15 roses, ils peuvent s’appuyer sur le fait que c’est 5 fois 3 roses ou 12 roses plus 3 roses. a. 12 personnes ? b. 3 personnes ? c. 18 personnes ? d. 30 personnes ? e. 15 personnes ? f. 33 personnes ? 6 ★ : Réponses : Mon bouquet : a. 18 € b. 4 € 50 c c. 22 € 50 c d. 45 € FLEURS ◗ LES ACHATS DEFlorilège : a. 24 € b. 6 € c. 30 € d. 60 € 7 Chez « Mon bouquet », 6 roses coutent 9 €. b. 500 mètres ? ★ Aya, Tom, Milo et Romy ont construit des barres avec des cubes tous identiques, puis ils ont mesuré leurs barres. Un seul personnage s’est trompé en mesurant. Lequel ? Explique ta réponse. Quelle mesure aurait-il dû trouver ? Les dessins ne sont pas en vraie grandeur. Tu ne peux pas utiliser ton double décimètre. Chez « Florilège », 6 roses coutent 12 €. Dans chaque magasin, combien coutent : a. 12 roses ? c. 15 roses ? b. 3 roses ? d. 30 roses ? ◗ LES MORCEAUX DE SUCRE ★ Dix morceaux de sucre pèsent 80 grammes. Combien pèsent : a. 20 morceaux ? b. 100 morceaux ? c. 110 morceaux ? d. 5 morceaux ? e. 25 morceaux ? f. 105 morceaux ? au yaourt pour : ★ Romy : 18 cm Milo : 54 cm Dix morceaux Tom : 50 cm de sucre pèsent g 80 grammes. Combien pèsent : Aya : 27 cm a. 20 morceaux ? d. 5 morceaux ? b. 100 morceaux ? e. 25 morceaux ? hatier-clic.fr/CM1cap013 c. 110 morceaux ? f. 105 morceaux ? ★ Réponses : a. 160 g b. 800 g c. 880 g d. 40 g e. 200 g f. 840 g Le gâteau au yaourt ◗ LE GÂTEAU AU YAOURT 9 quarante-trois • 43 Quelle quantité de chaque ingrédient ★★ faut-il prévoir pour faire un gâteau : d. 40 mètres ? e. 150 mètres ? f. 55 mètres ? Énigme Milo : 54 cm Tom : 50 cm Aya : 27 cm 23/01/2020 18:40 au yaourt pour : a. 12 personnes ? b. 3 personnes ? c. 18 personnes ? quarante-trois 039-054-Unite 3.indd 43 Ce problème peut se résoudre individuellement ou par petites équipes. Les nombres de morceaux de sucre ne sont pas tous des : d. 40 mètres ? e. 150 mètres ? multiples du nombre donné au départ (10). Mais, il est posf. 55 mètres ? a. 12 personnes ? d. 30 personnes ? sible LES de3 personnes prendre appui sur? 5 sucres. Pour 110 sucres, les b. ? e. 15 personnes DE?FLEURS ◗ c. 18ACHATS personnes f. 33 personnes ? élèves peuvent servir 7 Chez « Mon bouquet se », 6 roses coutent du 9 €. résultat obtenu pour 100 sucres : Chez « Florilège », 6 roses coutent 12 €. b. 500 mètres ? chaque magasin, combien coutent : dans l’énoncé pour 10 sucres. Énigme et de Dans l’information donnée a. 12 roses ? c. 15 roses ? b. 3 roses d. 30 roses ? Le calcul de? la masse d’un morceau de sucre n'est possible MORCEAUX DE SUCREles g en dg, cg ou mg. que◗siLESon convertit : d. en 12 bonds ? e. en 15 bonds ? f. en 42 bonds ? Romy : 18 cm Les associations sont les suivantes : • 43 8 cubes pour 18 cm, 24 cubes pour 54 cm, 20 cubes pour 50 cm, 12 cubes pour 27 cm. Un schéma agrandi peut être proposé aux élèves hatier-clic.fr/CM1capg0301 ➞ fiche 21 Il est très difficile de trouver la longueur d’un cube (2,25 cm), ce qui amène les élèves à trouver d’autres stratégies. Divers raisonnements sont possibles. Ils peuvent être conduits sur les nombres ou « concrétisés ». 1er type de raisonnement : À partir de la première information supposée juste, chercher la longueur de 4 cubes (9 cm) et en déduire toutes les autres en remarquant que tous les nombres de cubes sont multiples de 4. Vérifier qu’une seule ne convient pas. 2e type de raisonnement : Procéder de façon plus « locale » : – la barre de 24 cubes peut être mise en relation tout de suite avec celle de 8 cubes (3 fois) ; – la barre de 12 cubes, c’est celle de 8 cubes allongée de 4 cubes ; – la barre de 20 cubes, c’est celle de 12 cubes mise bout à bout avec celle de 8 cubes… D’autres raisonnements sont possibles. ● Des erreurs de raisonnement peuvent apparaitre qui consistent, par exemple, à ajouter ou enlever autant de cm que de cubes. D’ailleurs, la mesure erronée (50 cm pour 20 cubes) a été choisie afin de mettre en évidence ce type d’erreur classique : 20, c’est 24 – 4, d’où la réponse 50 (54 – 4), tout se passant comme si l’élève considérait que 1 cube correspond à 1 cm. ● ★★ faut-il prévoir pour faire un gâteau 8 d. 30 personnes ? e. 15 personnes ? f. 33 personnes ? hatier-clic.fr/CM1cap013 g ◗ LE GÂTEAU AU YAOURT 9 Quelle quantité de chaque 8 ✶ingrédient EXERCICE : d. en 12 bonds ? e. en 15 bonds ? f. en 42 bonds ? a. 12 personnes ? b. 3 personnes ? c. 18 personnes ? Énigme Où est l’erreur ? Les morceaux de sucre 8 Combien de bonds le même lièvre doit-il faire pour parcourir : a. 5 mètres ? d. 40 mètres ? b. 30 mètres ? e. 150 mètres ? c. 15 mètres ? f. 55 mètres ? d. 30 personnes ? e. 15 personnes ? f. 33 personnes ? EXERCICE 9 ✶ ✶ Romy : 18 cm Ce problème peut se résoudre individuellement ou par petites équipes. Dans cette situation, une schématisation est difficile à élaborer car plusieurs grandeurs interviennent simultanément, ainsi que des «• 43demi » dans les réponses. Les nombres de personnes proposées sont en relation simple avec celui de la recette (6 personnes), ce qui peut encourager le recours à des raisonnements basés sur la linéarité : la moitié du nombre de personnes, donc la moitié des quantités d’ingrédients… Milo : 54 cm Tom : 50 cm Aya : 27 cm hatier-clic.fr/CM1cap013 quarante-trois 23/01/2020 18:40 Réponse : Tom s’est trompé. Il aurait dû obtenir 45 cm. 23/01/2020 18:40 Réponses : personnes pots de yaourt pots de farine pots de sucre œufs cuillères d’huile a 12 6 10 4 8 2 b 3 1 et demi 2 et demi 1 2 1 demi c 18 9 15 6 12 3 d 30 15 25 10 20 5 e f 15 33 7 et demi 16 et demi 12 et demi 27 et demi 5 11 10 22 2 et demi 6 et demi 113 UNITÉ 3 Fractions et graduations (1) Objectifs : – Savoir mesurer une longueur à l’aide d’une règle graduée en fractions d’unité et l’exprimer sous la forme d’une fraction de cette unité – Savoir comment identifier la partie entière d’une mesure de longueur donnée sous forme fractionnaire – Savoir décomposer cette mesure en la somme de sa partie entière et d’une fraction d’unité < 1 UNITÉ Dans l’unité 2, la fraction a été présentée comme un outil permettant l’expression d’une longueur dans une unité donnée. Il s’agit à présent de faire évoluer progressivement ce statut pour lui en conférer un nouveau en la présentant comme un nombre permettant de repérer des points sur une ligne graduée. Ce passage délicat fait l’objet de deux situations d’apprentissages. Les supports utilisés dans cette première situation phare permettent d’établir un premier lien entre fraction et graduations et de rencontrer d’autres fractions que celles découvertes dans l’unité précédente et en particulier des dixièmes. C’est aussi l’occasion de consolider la décomposition de fractions en une somme d'un nombre entier d'unités et d’une fraction de cette unité inférieure à 1. Dans le contexte de mesure de longueurs, les élèves vont avoir à utiliser les règles graduées en fraction d'unité pour mesurer des segments. apprentissage 2 Les règles graduées (1) Les règles graduées (1) Je cherche Romy, Milo et Aya ont tracé des segments avec les règles A, B et C. L’unité de longueur u est dessinée sur les règles : c’est la bande jaune. 0 Pour cette recherche, utilise ces règles. 1 unité RÈGLE A La longueur des segments ci-dessous peut-être exprimée à l’aide d’une fraction, avec l’unité u. Romy Milo Aya A Trouve qui a utilisé la règle A, qui a utilisé la règle B, qui a utilisé la règle C, puis exprime la longueur de chaque segment à l’aide d’une fraction, en utilisant l’unité jaune. B Combien d’unités entières y a-t-il dans la longueur de chaque segment ? MATÉRIEL Je m’entraine DES LONGUEURS AVEC DES FRACTIONS pour la classe ◗ EXPRIMER DICO 9 Choisis la matériel règle de la recherche qui permet de mesurer exactement chaque segment a, b et c, 22 agrandie ou projetée • fiche 1 a apprentissage 2 Fractions et graduations (1) 3 INCONTOURNABLE 3 puis trouve la mesure de chacun d’eux. Écris les résultats avec des fractions. hatier-clic.fr/CM1capg0302 Leur indiquer qu’ils vont avoir à mener une activité similaire mais cette fois ci en mesurant à l’aide de règles un peu particulières. ● Projeter ou afficher la règle A et la règle B au tableau et demander aux élèves ce que ces règles ont de particulier. ● Leur faire formuler en l’illustrant éventuellement avec une bande unité matérialisée, que : – La longueur qui sépare les graduations 0 et 1 correspond à la longueur d’une bande unité, et qu’il en est de même pour les longueurs séparent les graduations 1 et 2 ou les graduations 2 et 3. – Ces longueurs sont graduées régulièrement à l’aide de traits qui les partagent en un certain nombre de parts de même longueur (il y a toujours le même pas de graduation). ● Préciser la tâche : ● b •c Une bande unité de même longueur que l’unité jaune (8 cm) agrandie ou projetée 2 ➞ Vous disposez de 3 règles comme celles-ci et vous pouvez les utiliser pour répondre à la question A. Vous écrirez vos résultats sur votre cahier de brouillon. Ensuite, vous expliquerez à la classe, la (ou les) méthode(s) que vous avez utilisée(s) pour les trouver. En utilisant les règles de la recherche, trace quatre segments de longueur : 11 4 4 b. u c. 1 u + u d. 2 u + u 4 6 6 10 9 para. élève u p. 44, questions A et B • manuel Aya a utilisé d’autres règles pour mesurer les segments d et e. Trouve la mesureA, de chaque Donne tes réponses avec des fractions. règles B et segment. C ➞ Mallette • les • les segments à mesurer et unités à découper ➞ fiche 23 • brouillon ou feuille de recherche 44 • • quarante-quatre cahier de mathématiques 3 ★ d 0 1 2 e 3 unité DÉROULÉ UNITÉ 1 Présentation de la situation 039-054-Unite 3.indd 44 2 Recherche de la question A 3 Exploitation de la question A 4 Recherche de la question B 5 Exploitation de la question B 6 Entrainement 0 1 2 3 unité Collectif Individuel ou par équipes de 2 Collectif Individuel puis par équipes de 2 Collectif Individuel Comment exprimer sous forme fractionnaire des longueurs mesurées à l’aide de règles graduées en différentes fractions d’une même unité ? 1 Présentation collective de la situation Rappeler aux élèves la situation de l’unité 2 dans laquelle ils ont mesuré des segments à l’aide de bande unité et exprimé leurs longueurs à l’aide d’écriture fractionnaire. 114 de la question A 23/01/2020 18:40 RECHERCHE ● 2 Recherche individuelle ou par équipes de 2 Pendant la recherche, observer les procédures utilisées par les élèves pour exprimer les mesures de longueurs sous forme fractionnaire. ● ◗ PROCÉDURES POSSIBLES Comptage, sur la règle, du nombre de parts dans lequel est partagée l’unité pour en déduire le dénominateur de la fraction solution, puis : • comptage un par un des parts de l’unité accolées qui constituent la longueur à mesurer, éventuellement en les numérotant, pour en déduire le numérateur de la fraction solution. • ou, pour les segments de Romy et de Milo, expression du résultat d’abord sous la forme de la somme d’un nombre entier d’unité(s) et d’une fraction de l’unité puis calcul de la fraction correspondante. • ou écriture, en face de chaque repère de la règle, des fractions correspondantes et lecture directe de la mesure du segment sur la règle correctement positionnée (peu probable à ce stade d'apprentissage). 5 Exploitation collective de la question B ◗ DIFFICULTÉS ÉVENTUELLES – Pour identifier le nombre de parts dans lequel est partagée l’unité Aide Mettre à disposition des bandes unités photocopiées sur lesquelles les élèves pourront effectuer des pliages ➞ fiche 23 – Pour exprimer le résultat de la mesure Aide Faire verbaliser oralement la mesure et proposer une expression écrite qui respecte cette verbalisation. 3 Exploitation collective de la question A Pour chaque segment recenser les réponses et les soumettre à la classe en faisant exprimer les méthodes utilisées pour trouver la règle adaptée (celle pour laquelle il y a correspondance entre extrémités du segment et repères de la règle) puis pour déterminer la longueur des segments. ● 7 Réponses : Romy Règle A : u 4 5 Aya Règle B : u 6 21 Milo Règle C : u 10 EXPLICITATION, VERBALISATION ◗ Mettre en avant le procédé de comptage qui a permis d’obtenir les mesures – Compter le nombre de parts égales dans lequel est partagée l’unité. – Compter le nombre de parts nécessaires pour constituer la longueur du segment à mesurer. ◗ Rappeler les expressions verbales correspondant aux nouvelles fractions rencontées (sixième, dixième) et souligner le cacaractère général de l'utilisation du suffixe « -ième » dans la lecture des fractions de dénominateur plus grand que 4. ◗ Rappeler le codage symbolique de ces fractions : ◗ 5 pour cinq sixièmes 6 21 pour vingt-et-un dixièmes 10 ● Recenser les réponses et les mettre en débat. Réponses : Romy : 1 u Milo : 2 u Aya : 0 u Une fois que la classe s’est accordée sur les résultats, lui demander quels compléments ajouter à chaque partie entière pour obtenir la mesure du segment complet. ● Réponses : Romy : 1 u + 3 4 Milo : 2 u + 1 5 u Aya : 0 u + u 10 6 EXPLICITATION, VERBALISATION ◗ Faire remarquer qu’une mesure de longeur : – contient un certain nombre d’unité entières : sa partie entière ; – qu’il faut parfois ajouter à cette partie une fraction de l’unité pour avoir la mesure de la longueur complète, par exemple, dans sept quarts d’unité, il y a une unité entière constituée de quatre quarts et trois autres quarts qui ne permettent pas de faire une unité de plus. ◗ De la même façon, mettre en lien les résulats obtenus aux questions A et B pour souligner que l’écriture fractionnaire d’une mesure peut être décomposée en la somme de sa partie entière et d’une fraction de même dénominateur inférieure à l’unité. 7 3 u=1u+ u 4 4 21 1 u=2u+ u 10 10 5 5 u=0u+ u 6 6 Les fractions de dénominateur 10 se décomposent plus « faciFractions graduations (1)étendu plus tard lement » que d’autres et fractions. Ce constat, apprentissage 2 aux fractions de dénominateur 100 (et 1 000 en CM2), permettra dans l’unité 5 deLes justifier particulier porté à l’étude des Je cherche règlesl’intérêt graduées (1) fractions Romy, Milo etdécimales. Aya ont tracé des segments avec les règles A, B et C. UNITÉ 3 Pour cette recherche, utilise ces règles. L’unité de longueur u est dessinée sur les règles : c’est la bande jaune. TRACE ÉCRITE INDIVIDUELLE Faire0 noter dans le cahier la1définition de la partie entière d’une mesure exprimée sous la forme d’une fraction. unité L’illustrer sur les exemples de la question B. A Faire noter les ci-dessous décompositions fractions données en La longueur des segments peut-être exprimée à des l’aide d’une fraction, avec l’unité u. Romy réponses à la question A en somme de leurs parties entières et Milo d’une fraction plus petite que l’unité. Cf. DICO 13 . Aya RÈGLE A Trouve qui a utilisé la règle A, qui a utilisé la règle B, qui a utilisé la règle C, puis exprime la longueur de chaque segment à l’aide d’une fraction, en utilisant l’unité jaune. Manuel p. 44-45 6 Entrainement B Combien d’unités entièresindividuel y a-t-il dans la longueur de chaque segment ? 4 Recherche individuelle de la question B Demander aux élèves de prendre connaissance de la question B. Leur faire rappeler qu’une unité entière correspond à la longueur de la bande unité jaune et leur laisser deux ou trois minutes pour répondre à la question au brouillon. Je m’entraine Exprimer des longueurs à l’aide de fractions ◗ EXPRIMER DES LONGUEURS AVEC DES FRACTIONS ◗ PROCÉDURES POSSIBLES – Par report mental ou effectif de l’unité jaune. – Par un raisonnement conduit à partir de l’écriture fractionnaire 21 10 10 1 trouvée à la question A ( u c’est u + u + u c’est donc 10 10 10 10 1 unité + 1 unité + moins d’une unité). – Ou par utilisation des nombres marqués sur la règle. ◗ DIFFICULTÉS ÉVENTUELLES – Pour déterminer la partie entière de la mesure des segments Aide Mettre à disposition des bandes unités que les élèves pourront éventuellement reporter sur les segments. INCONTOURNABLE ● 1 DICO 9 Choisis la règle de la recherche qui permet de mesurer exactement chaque segment a, b et c, puis trouve la mesure de chacun d’eux. Écris les résultats avec des fractions. a b c 2 En utilisant les règles de la recherche, trace quatre segments de longueur : 11 4 4 a. 9 u b. u c. 1 u + u d. 2 u + u 4 6 6 10 3 Aya a utilisé d’autres règles pour mesurer les segments d et e. Trouve la mesure de chaque segment. Donne tes réponses avec des fractions. ★ d 0 1 2 e 3 0 unité 1 2 3 unité 44 • quarante-quatre EXERCICES 1 2 3 ✶ 039-054-Unite 3.indd 44 23/01/2020 18:40 Ces exercices permettent d’entrainer le mesurage à la règle graduée, avec les fractionnements de l’unité rencontrés pendant la recherche pour les exercices 1 et 2, avec d’autres pour l’exercice 3. Réponses : 13 5 13 u b. u c. u 10 4 6 2 mesures des segments en cm a. 18 cm b. environ 14,7 cm c. environ 13,3 cm d. 19,2 cm 13 3 5 2 3 d. u ou 2 u + u e. u ou 1 u + u 5 5 3 3 1 a. 115 UNITÉ 3 b. 1 L + 1 L 6 L L 2 L 2 1 b. Trouve combien cette longueur contient d’unités entières. c. 11 L 10 INCONTOURNABLE a. 5 L 4 2 1 1 Exprimer des contenances ◗avec des fractions ◗ L 2 2 1 1 1 0 0 0 DES CONTENANCES ◗ EXPRIMER AVEC DES FRACTIONS 4 5 B ci-dessousC celui TrouveA parmi les verres qui contient une quantité de jus de fruits égale à : Trouve la quantité de jus de fruit qu’il y a dans chaque verre. Écris les résultats a. 5 L b. 1 L + 1 L c. 11 L à l’aide 4 de fractions avec 6 l’unité L. 10 a. b. c. EXERCICES 4 5 EXERCICES 8 0 DICO C 13 a. En utilisant les règles de la recherche, ◗ ◗ INCONTOURNABLE 5 EXPRIMER Trouve la quantité de jus de fruit qu’il y a DES CONTENANCES 16 INCONTOURNABLE L 2 INCONTOURNABLE L 8 B ◗ ◗ 2 1 1 1 1 0 0 0 0 C b. récipient A c.◗récipient C 7 1 8 3 9 5 a. L ou 2 L + L ◗b. L ou 1 L + L c. L 3 3 5 5 10 4 a. récipient B INCONTOURNABLE ◗ 6 Écris ces fractions avec des mots. EXPRIMER DES FRACTIONS AVEC DICO 10 DES11MOTS ET AVEC DES CHIFFRES a. c. 10 4 8 Écris ces fractions en utilisant la barre b. 3 d. 5 de fraction. 10 6 a. trois cinquièmes b. six dixièmes c. deux huitièmes d. cinq tiers e. dix-sept sixièmes f. huit demis 039-054-Unite 3.indd 45 7 INCONTOURNABLE Réponses : 7 039-054-Unite 3.indd 45 ◗ INCONTOURNABLE 3 6 a. 5 Réponses : 8 L 2 1 1 1 0 0 0 Partie entière d’une fraction INCONTOURNABLE L 2 2 1 1 0 0 B INCONTOURNABLE L PARTIE ENTIÈRE D’UNEB FRACTION CDICO A 13 8 5a. EnTrouve utilisant les règles recherche, la quantité dede juslade fruit qu’il y a 9 dans chaque verre. Écris les résultats trace un segment de longueur 16 u. à l’aide de fractions avec l’unité 6 L. a. b. longueur contient c. b. Trouve combien cette d’unités entières. L 3 L 2 L 1 2 a. En utilisant les règles de la 1 recherche, 1 16 trace un segment de longueur u. 0 0 0 10 b. Trouve combien cette longueur contient d’unités entières. EXPRIMER DES FRACTIONS AVEC DICO 10 DES MOTS ET AVEC DES CHIFFRES ◗ C b. INCONTOURNABLE 10 Trouve les égalités vraies. 6 Écris ces fractions en utilisant la barre c. L 2 L 1 1 0 0 AVEC DICO 10 a. 5deu fraction. = 2 u + 1 u c. 5 u = 4 u + 1 u 2a. trois cinquièmes 2 6 6 b. 5b.usix = 2dixièmes u + 1 u d. 12 u = 3 u 3c. deux huitièmes 3 4 d. cinq tiers entière de chaque fraction 11 Trouve la partie dix-sept sixièmes sous la forme : écris ces longueurs ★ puise. f. huit demis …u+ … u … 7 Écris ces fractions avec des mots. 13 a. u11 c. 2 u 10 4a. 3c. 4 8 11 b. u3 d. 27 u5 d. 4b. 10 10 6 9 DICO 13 c. deux huitièmes 23/01/2020 18:40 a. En utilisant les règles de tiers la recherche, d. cinq e. dix-sept sixièmes 16 trace un segment de longueur u. f. huit demis6 b. Trouve combien cette longueur contient d’unités entières. 7 Écris ces fractions avec des mots. 10 c. 8 a. En utilisant les règles de la recherche, 5 b. 3 d. 16 trace un segment de longueur u. 10 6 10 b. Trouve combien cette longueur contient d’unités entières. 10 Trouve les égalités vraies. a. 5 u = 2 u + 1 u c. 5 u = 4 u + 1 u 2 2 6 6 5 1 12 u = 3u b. u = 2 u + u d. 3 3 4 11 Trouve la partie entière de chaque fraction ★ puis écris ces longueurs sous la forme : 039-054-Unite 3.indd 45 …u+ … u … 13 u 4 b. 11 u 4 c. 2 u 3 d. 27 u 10 a. Énigme La fraction effacée Aya a mesuré un segment. Elle se souvient que la longueur de ce segment s’écrit avec … une fraction u et que la partie entière 6 de la fraction est 2 unités. Elle a oublié le numérateur. Quelle fraction a-t-elle pu écrire ? Trouve toutes les possibilités. quarante-cinq • 45 La fraction effacée 23/01/2020 18:40 039-054-Unite 3.indd 45 Aya a mesuré un segment. Elle se souvient que la longueur de ce segment s’écrit avec une fraction … u et que la partie entière 6 de la fraction est 2 unités. Elle a oublié le numérateur. Quelle fraction a-t-elle pu écrire ? Trouve toutes les possibilités. 10 8 d. 5 6 c. hatier-clic.fr/CM1cap014 quarante-cinq • 45 23/01/2020 18:40 116 Énigme La fraction effacée Aya a mesuré un segment. Elle se souvient que la longueur de ce segment s’écrit avec … une fraction u et que la partie entière 6 de la fraction est 2 unités. Elle a oublié le numérateur. Quelle fraction a-t-elle pu écrire ? Trouve toutes les possibilités. hatier-clic.fr/CM1cap014 • 45 Les élèves peuvent procéder par essais successifs en attribuant une valeur au numérateur de la fraction cherchée et en contrôlant que sa partie entière est 2. Ils peuvent aussi trouver la réponse en raisonnant à partir des écritures fractionnaires de 2 unités en se référant éventuellement à la règle graduée en sixièmes d’unité. quarante-cinq 23/01/2020 18:40 Réponse : hatier-clic.fr/CM1cap014 Énigme c. 2 u 3 27 d. u 10 quarante-cinq b. trois dixièmes c. Ldix2 huitièmes d. cinq sixièmes a. 114 L 2 INCONTOURNABLE 7 a. onze quarts 23/01/2020 18:40 a. 13 u 4 11 b. u 4 hatier-clic.fr/CM1cap014 6 2 5 17 8 b. c. d. e. f. 10 8 3 6 2 Trouve parmi les verres ci-dessous celui qui contient une quantité de jus de fruits égale à : a. 5 L b. 1 L + 1 L c. 11 L 4 6 10 b. Faux c. Faux d. Vrai b. 2 u c. 0 u d. 2 u 1 3 Décompositions ➝ a. 3 u + u b. 2 u + u 4 4 2 7 u c. 0 u + u d. 2 u + … …u+ u 3 10 … Énigme INCONTOURNABLE 4 10 a. Vrai 11 Parties entières ➝ a. 3 u 1 039-054-Unite 3.indd 45 c. 11 L 10 EXERCICES 10 11 ✶ Énigme Ces exercices, sans difficulté particulière, illustrent l’utilices fractions en utilisant la barre sation généralisée du suffixe « -ième » dans6 Écris la lecture • 45des de fraction. a. trois cinquièmes fractions (sauf pour les demis, tiers et quarts). EXPRIMER DES CONTENANCES PARTIE ENTIÈRE D’UNE FRACTION ◗ AVEC DES FRACTIONS ◗ b. six dixièmes 1L+ 1 L 6 b. 1 unité ◗ une fraction … u et que la partie entière 1 6 0 0 0 de la fraction est 2 unités. Elle a oublié le numérateur. Quelle fraction a-t-elle puEXPRIMER écrire ? DES FRACTIONS AVEC DICO 10 Trouve toutes les possibilités. DES MOTS ET AVEC DES CHIFFRES Écris ces fractions avec des mots. a. 11 c. 10 4 8 3 5 b. d. 10 6 EXERCICES 6 ◗ 9 a. Longueur du segment : 12,8 cm Les connaissances à mobiliser sont les mêmes que celles travaillées pendant la recherche. Les réponses peuvent être obtenues par un raisonnement et pour certaines par lecture directe sur la règle graduée adaptée. Énigme Exprimer des fractions avec des mots et avec des chiffres 7 Énigme INCONTOURNABLE EXPRIMER DES FRACTIONS AVEC DICO 10 DES MOTS ET AVEC CHIFFRES Trouve la quantité de DES jus de fruit qu’il y a dans chaque verre. Écris les résultats àÉcris l’aide defractions fractionsen avec l’unitélaL.barre ces utilisant a. b. c. de fraction. a. trois cinquièmes L 3 b. six dixièmes L 2 c. deux 2huitièmes L 1 d. cinq tiers 1 1 sixièmes e. dix-sept f. huit demis 0 0 0 INCONTOURNABLE INCONTOURNABLE 1 1 B ◗ Réponses : 5 6 2 2 0 0 A INCONTOURNABLE 2 Le tracé du segment permet de lire la réponse sur la règle graduée ou de valider une réponse obtenue à partir de l’écriture fractionnaire avec un raisonnement du type : six sixièmes d’unité font une unité, dans seize sixièmes on peut mettre deux fois six sixièmes et pas plus, donc 2 unités. Réponses : 8 a. Longueur approximative du segment : 21,3 cm b. 2 unités LL L L L Ces exercices permettent d’étendre l’expression fractionL naire d’une mesure découverte sur les longueurs à une autre grandeur du programme : la contenance. 3 2 9 10 Trouve les égalités vraies. PARTIE ENTIÈRE D’UNE FRACTION DICO trace un segment de longueur u. a. 5 u = 2 u + 1 u c. 5 u = 4 u + 113u dans chaque verre. Écris les résultats AVEC DES FRACTIONS 6 2 2 6 6 à l’aide de fractions avec l’unité L. 8 a. En utilisant les règles de la recherche, cette longueur contient 4b. Trouve Trouvecombien parmi les ci-dessous a. b.verres c. celui b. 5 u = 2 u + 1 u d. 12 u = 3 u d’unités entières.une quantité de jus de fruits qui contient 3 un segment 3 de longueur 4 16 u. trace égale L à 3: 6 fraction 11 Trouve la partie entière de chaque L 2 b. Trouve cette sous longueur contient écris combien ces longueurs la forme : ★ puis a. 5 L 2 b. 1 L + 1 L c. L11 1L 9 a. En utilisant les règles de6 la recherche, d’unités entières. 4 10 1 1 …u+ … u 16 trace un segment de longueur u. … 0 10 L DICO 0 L 02 L FRACTION 2 2 PARTIE 9 a. a. En 13 utilisant les règles de2la recherche, 13 b. TrouveENTIÈRE combienD’UNE cette longueur contient u c. u d’unités entières. 4 3 16 u. trace un segment de longueur EXPRIMER DES FRACTIONS AVEC 1 DICO 1 les 1 la recherche, 8 a. En utilisant règles de 10 b. 11 u d. 27 u10 DES MOTS ET AVEC DES CHIFFRES 16 b. Trouve combien cette longueur contient 4 10 trace unlessegment longueur u. 10 Trouve égalitésde vraies. 0 0 0 d’unités entières. 6 6 ces fractions en 5utilisant la barre 5Écris a. u=2 u + 1 ucette c.Blongueur u = 4 ucontient + C1 u Acombien b. Trouve 2de fraction. 2 6 6 d’unités entières. a. trois cinquièmes 10 Trouve les égalités vraies. 1 u d. 12 u = 3 u = 2dixièmes u+ 5b. 5Trouve la quantité de jus de fruit qu’il y a b.usix 5 1 5 1 3dans chaque3verre. Écris 4 les résultats a. u = 2 u + u c. u = 4 u + u c. deux huitièmes 2 2 6 6 11 la partie entière fraction àd.l’aide de les fractions avec L. 9 Trouve a. En utilisant règlesde dechaque lal’unité recherche, cinq tiers 5 1 12 La fraction effacée écris ces longueurs sous la forme : b. c. ★ puisa. b. u = 2 u + u d. u = 3u dix-sept sixièmes tracee.un segment de longueur 16 u. 3 4 se souvient Aya a3mesuré un segment. Elle f. huit demis … 10 L 3 …u+ u la longueur deentière ce segment s’écritfraction avec 11 que Trouve la partie de chaque b. Trouve combien cette contient … Llongueur 2 … ulongueurs puis écris ces sous la forme : ★ une L 1 fraction et que la partie entière 2 d’unités 7a. Écrisentières. ces fractions avec2des mots. 13 6 u c. 1 u … Elle a oublié de la fraction est…2uunités. + PARTIE u 4a. 11 1 3c. 10 DES CONTENANCES EXPRIMER ENTIÈRE D’UNE FRACTION DICO 13 … le numérateur. 10 Trouve 27 vraies. AVEC 4 égalités 0 0 DES 0 b. 11 ules d. u8 FRACTIONS Quelle fraction a-t-elle pu écrire ? 13 2 3 5 510 1 u a. celui u c.utilisant u 8possibilités. a. En les règles de la recherche, d. a. 54b.u = 2 u + 1 u 4 c.Trouve u =parmi 4 u + les verres ci-dessous Trouve toutes les 4 3 6 2 10 2 6 contient 6 quantité DICO qui une de jus de fruits EXPRIMER DES FRACTIONS AVEC trace un segment de longueur 16 u. 10 1 uAVEC 12 uàCHIFFRES b. 11 u d. 27 u hatier-clic.fr/CM1cap014 DES b. 5DES u =MOTS 2 u + ET d.égale =: 3 u 6 4 10 3 3 45 b. Trouve combien cette quarante-cinq • 45 longueur contient a. L b. 1 L + 1 L c. 11 L 11 6 Trouve la ces partie entièreen deutilisant chaque fraction d’unités entières. Écris fractions la barre 4 6 10 écris ces longueurs sous la forme : ★ puisde fraction. a. troiseffacée cinquièmes La fraction 039-054-Unite 3.indd 45 23/01/2020 18:40 …u+ … u L 2 L 2 L 2 b. six dixièmes 9 a. En utilisant les règles de la recherche, Aya a mesuré un segment. … Elle se souvient c. deux huitièmes que la longueur de ce segment trace un segment de longueur 16 u. 13 2 s’écrit avec d. cinq tiers a. u … c. u 1 1 1 La fraction effacée 10 une fraction et que la partie 4e. dix-septusixièmes 3 entière b. Trouve 6 Aya a mesuré un segment. Elle secombien souvientcette longueur contient f. huit demis 11 27 u u deb.la fraction est 2 unités.d. Elle a oublié 0 0 0 longueur de ce segment d’unités entières. que la s’écrit avec 4 10 A le numérateur. B C une fraction … u et que la partie entière Quelle fraction a-t-elle pu écrire 7 Écris ces fractions avec des?mots. 6 10 Trouve les égalités vraies. Trouve toutes les possibilités. dequ’il la fraction est 2 unités. Elle a oublié 11 10 5 Trouve la quantité de jus de fruit ya a. c. le numérateur. a. 5 u = 2 u + 1 u c. 5 u = 4 u + 1 u dans chaque verre. Écris les résultats 4 8 hatier-clic.fr/CM1cap014 6 6 fraction a-t-elle pu2 écrire ? 2 à l’aide5de fractions avec l’unitéQuelle L. 3 b. d. Trouve toutes les possibilités. •b.45 a. quarante-cinq c. b. 5 u = 2 u + 1 u d. 12 u = 3 u 10 6 3 3 4 La fraction effacée hatier-clic.fr/CM1cap014 L 3 11 Trouve la partie entière de chaque fraction L 2 Aya a mesuré un segment. Elle se souvient ces longueurs quarante-cinq • 45sous la forme : ★ puis écris L 1 2 avec23/01/2020 18:40 que la longueur de ce segment s’écrit INCONTOURNABLE Trouve parmi les verres ci-dessous celui qui contient une quantité de jus de fruits égale à : 5 b. 1 L + 1 L c. 11 L a. L 4 6 10 A a. En utilisant les règles de la recherche, trace un segment de longueur 16 u. 10 b. Trouve combien cette longueur contient d’unités entières. INCONTOURNABLE 4 INCONTOURNABLE 0 0 PARTIE ENTIÈRE D’UNE FRACTION EXPRIMER DES CONTENANCES AVEC DES FRACTIONS 9 12 13 14 15 16 17 u; u; u; u; u; u 6 6 6 6 6 6 Fractions et graduations (2) Objectifs : UNITÉ Fractions et graduations (2) 3 apprentissage 3 Les lignes graduées (2) Je cherche Les règles graduées (2) Romy, Milo et Aya ont décidé d’écrire des fractions sous les repères de leur règle. Romy en a déjà écrit quelques-unes. MATÉRIEL apprentissage 31 apprentissage Dans la situation d’apprentissage précédente les élèves ont utilisé les graduations de la règle pour déterminer la longueur de segments. Dans cette nouvelle situation il s’agit d’associer des fractions à chaque repère sur les règles graduées. La fraction d’abord associée à la longueur d’un segment est alors attachée à un point et cette évolution de représentation contribue à lui donner un statut de nombre décontextualisé qui, comme un nombre entier, pourra s’écrire sans être toujours accompagnée d’une unité de mesure et qui pourra avoir différentes écritures. – Comprendre que la fraction peut être utilisée pour repérer la position d’un point sur une ligne graduée – Comprendre que la fraction est un nombre et qu’on peut lui associer d’autres fractions égales – Savoir qu’une fraction peut être soit un nombre un entier, soit encadrée par deux entiers consécutifs – Savoir décomposer une fraction en la somme de sa partie entière et d’une fraction de même dénominateur inférieure à 1 A Quelles fractions vont-ils écrire en face des repères : E, F et G ? B Place sur une ou plusieurs règle(s) les lettres correspondant aux fractions indiquées : 5 c. la lettre J à 8 a. la lettre H à 5 5 5 b. la lettre I à d. la lettre K à 7 3 2 1 – 4 0 0 2 – 4 3 – 4 de la question A FICHE MATÉRIEL 1 unité 4 – 4 Milo 1 5 – 4 Romy 2 3 E Règle A 2 3 F unité 0 2 Recherche individuelle puis collective 1 Règle B 2 UNITÉ Pendant la recherche, observer les procédures utilisées. ◗ PROCÉDURES POSSIBLES Identification de l’unité et de son fractionnement, puis : • numérotage de chaque repère à partir de celui correspondant à zéro, sans oublier ceux qui sont cachés, jusqu’au repère indiqué. • ou recherche de l’écriture fractionnaire d’un entier proche du repère indiqué, puis numérotage des repères qui le précèdent ou le suivent. 3 Aya Règle C unité ● G la classe Jepour m’entraine du manuel p. 46 agrandie ou projetée • ASSOCIER DES FRACTIONS À DES REPERES SUR UNE LIGNE GRADUÉE ◗ activité DICO INCONTOURNABLE 3 23 par élève 1 ◗ DIFFICULTÉS ÉVENTUELLES À quelles fractions correspondent les repères A, B, C, D, E et F ? A B p. 46, questions A et B • manuel 24 pour1la recherche2 et fiche 25 pour • fiche 0 3 D l’entrainement C 0 hatier-clic.fr/CM1capg0303 1 3 1 ta fiche, place ces nombres et leurs repères : 1 SurPrésentation de la situation 2 ★ 2 2 Recherche de la question A 3 0 Recherche de1 la question B2 Exploitation 5 Entrainement 039-054-Unite 3.indd 46 Aide Mettre à disposition les règles graduées de la fiche 23 4 E 46 •4quarante-six – Pour retrouver les graduations cachées 4 2 3 2 hatier-clic.fr/CM1capg0304 F ou feuille de recherche • brouillon 0 1 2 • cahier de mathématiques DÉROULÉ UNITÉ 3 4 Faire un inventaire des réponses et des méthodes utilisées pour trouver les fractions demandées et éventuellement les exprimer sous la forme de la somme d’un entier et d’une fraction de même dénominateur plus petite que 1. ● S’appuyer sur les procédures apparues pour souligner en synthèse que les fractions facilitent le repérage sur la règle graduée. Faire remarquer que celles trouvées dans la recherche sont toujours comprises entre deux entiers consécutifs et qu’on peut lire sur les règles leur décomposition en une somme du plus petit de ces deux entiers et d’une fraction inférieure à 1. ● On peut voir par exemple que sur la règle graduée en 11 quarts, le repère correspondant à est situé 3 traits après 4 le repère correspondant à 2 et en déduire que onze quarts, c’est deux unités plus trois quarts. ● 5 3 7 2 7 Collectif 2 4 4 3 3 Individuel puis collectif 1u 3 4 Individuel Collectif Individuel 23/01/2020 18:40 RECHERCHE Comment associer les repères d’une règle graduée à des nombres en écriture fractionnaire ? 1 Présentation collective de la situation Inscrire la situation dans la continuité de la situation de recherche précédente en rappelant le travail effectué pour mesurer ou construire des segments de longueur donnée à l’aide de règles graduées en différentes fractions de l’unité. Faire prendre connaissance de la recherche proposée dans le manuel ● Préciser la tâche : ● ➞ Vous devrez d’abord répondre à la question A sur votre brouillon (ou votre feuille de recherche). Puis vous expliquerez à la classe comment vous avez fait pour trouver. Vous chercherez ensuite à répondre à la question B Réponses : a. 11 3 11 5 ou 2 + b. ou 1 + 4 4 6 6 c. 31 1 ou 3 + 10 10 3 Recherche individuelle de la question B Demander aux élèves de prendre connaissance de la question B et leur préciser qu’il y a parfois plusieurs choix de règles possibles et qu’il faut utiliser les repères déjà tracés. ● 117 3 EXPLICITATION, VERBALISATION ◗ PROCÉDURES POSSIBLES – Fractionner l’unité sur chaque règle dans le nombre de parts indiqué par le dénominateur et vérifier si le repère associé à la fraction indiquée correspond à un repère sur la règle considérée. 8 Par exemple pour , marquer le cinquième de l’unité de la règle C, 5 constater que ses extrémités correspondent à des repères sur la règle en dixièmes, et lire à avançant de cinquième en cinquième les correspondances en dixièmes. ◗ Faire remarquer que : – pour répérer un même point, plusieurs écritures fractionnaires sont possibles ; – les écritures fractionnaires désignent parfois des nombres entiers mais pas toujours. unité 0 unité 2 – 10 1 – 5 4 – 10 2 – 5 6 – 10 3 – 5 8 – 10 4 – 5 1 10 – 10 5 – 5 12 – 10 6 – 5 14 – 10 7 – 5 16 – 10 8 – 5 2 – Raisonner à partir de l’écriture fractionnaire donnée dans l’énoncé et dire par exemple que 5 cinquièmes d’unité constitue une unité, ou qu’en partageant un cinquième en deux, on partage ainsi l’unité en dix et donc que l’on obtient deux dixièmes et qu’il faut donc deux fois plus de dixièmes que de cinquièmes pour atteindre un même repère. – Rechercher la partie entière de la fraction pour trouver un entier proche du repère cherché, puis raisonner sur la partie restante. 7 Par exemple, pour placer sur la règle B, les 6 premiers demis 2 permettent d’atteindre le repère 3 (car il y a deux demis dans chaque unité), et le dernier demi permet d’atteindre le troisième repère après 3 (car il y a six sixièmes dans une unité et 3 sixièmes dans une demi-unité). ◗ DIFFICULTÉS ÉVENTUELLES – Pour fractionner l’unité Aide Mettre à disposition des bandes unités de la longueur de l’unité jaune et inviter les élèves à prendre appui sur les repères marqués sur les règles pour essayer de les fractionner dans le nombre de parts indiqué par le dénominateur de la fraction donnée – Pour trouver toutes les réponses possibles Aide À traiter pendant la phase collective de mise en commun =1 aussi des nombres car elles servent à mesurer, à repérer , on peut les comparer, les additionner… ◗ En synthèse souligner qu’une fraction est un nombre qui peut avoir plusieurs écritures. Ce nombre est – soit entier, par exemple – soit encadré par deux entiers successifs, il peut être alors écrit sous la formeetd’une somme du plus graduations (2)de petit de ces 3 entiersFractions apprentissage 3 deux et d’une fraction plus petite que 1, par exemple 5 2 Jeest cherche règles (2) s’écrire 1 + . compris Les entre 1 et graduées 2. Il peut aussi 3 Romy, Milo et Aya ont décidé d’écrire des 3 FICHE MATÉRIEL A Quelles fractions vont-ils écrire en face des repères : E, F et G ? TRACE ÉCRITE INDIVIDUELLE 5 4 6 10 =1= = = 5 4 6 10 5 10 4 = ou 1 + b. règle B 3 6 6 8 16 6 = ou 1 + c. règle C 5 10 10 7 14 2 21 3 = (ou 3 + ) = (ou 3 + ) d. règles A, B et C 2 4 4 6 6 35 5 (ou 3 + ) = 10 10 3 – 4 5 – 4 1 unité 4 – 4 Milo 1 Romy 2 indiquées : 5 a. la lettre H à 5 5 b. la lettre I à 3 8 5 d. la lettre K à 7 2 c. la lettre J à 3 E 0 1 3 Règle B 2 3 Aya Règle C unité Règle A 2 F unité G Manuel p. 46-47 5 Entrainement individuel Associer des fractions à des repères m’entraine sur Je une ligne graduée ◗ ASSOCIER DES FRACTIONS À DES REPERES SUR UNE LIGNE GRADUÉE 1 DICO 23 À quelles fractions correspondent les repères A, B, C, D, E et F ? A B 0 1 2 3 C 4 D 1 2 3 4 E 0 2 1 F 2 Sur ta fiche, place ces nombres et leurs repères : ★ 3 1 2 3 2 5 2 3 4 7 4 4 2 3 7 3 1u 0 1 2 3 4 46 • quarante-six EXERCICE 1 039-054-Unite 3.indd 46 23/01/2020 18:40 Il s’agit d’une application immédiate de l’apprentissage qui précède. La procédure qui consiste à partir d’un nombre entier proche du repère cherché est efficace sur le troisième axe gradué en dixièmes, où les repères sont placés assez loin de l’origine. 1 11 4 9 21 38 Réponses : A ! ; B ! ; C ! ; D ! ; E ! ; F ! 4 118 0 2 – 4 B Place sur une ou plusieurs règle(s) les Faire noter dans le cahier les exemples ci-dessus. lettres correspondant aux fractions 4 Exploitation collective Réponses : a. règles A, B et C 1 – 4 0 fractions sous les repères de leur règle. Romy en a déjà écrit quelques-unes. 0 Recenser les réponses et les soumettre à la classe. Faire expliciter les méthodes utilisées pour les trouver ou les vérifier. 6 3 = 1 = ... 6 3 UNITÉ des propositions. ● 2 4 = 1 +– 10 6 – 6 5 2 = 1 +– – 3 3 6 – 6 3 – 3 ◗ En déduire que, comme les entiers, les fractions sont INCONTOURNABLE 0 1 =1 2 – 6 1 – 3 4 3 3 10 10 EXERCICE 2 ✶ EXERCICE 5 L’exercice se résout sur la fiche 25 hatier-clic.fr/CM1capg0303 . Pour ce faire, les élèves doivent d’abord graduer la droite régulièrement, ils disposent d’une bande unité à découper qu’ils peuvent plier et utiliser pour fractionner chaque unité sur la ligne graduée. Mettre les règles graduées à disposition des élèves. Cet exercice permet de revisiter la notion de partie entière d’une fraction rencontrée dans l’apprentissage précédent. Réponses : 1 3 – – 2 4 0 EXERCICE 6 ✶ 1 7 – 4 5 – 2 2 3 INCONTOURNABLE 3 – 2 7 – 3 2 – 3 Réponses : a. DICO 12 12 2 5 5 10 1 2 3 5 4 Chaque nombre de la liste A est égal à un nombre de la liste B. Écris ces égalités. ★ Liste A 1 ; 30 ; 6 ; 12 ; 5 2 10 4 6 3 Liste B 3 ; 3 ; 2 ; 10 ; 3 2 6 6 ENCADRER UNE FRACTION PAR DEUX ◗ NOMBRES ENTIERS CONSÉCUTIFS Parmi les fractions 5 ; 9 ; 13 ; 8 ; 35 4 4 6 10 10 quelles sont celles qui sont comprises : a. entre 1 et 2 ? b. entre 2 et 3 ? c. entre 3 et 4 ? Tu peux t’aider en plaçant ces fractions sur une ligne graduée. 6 a. 3 < 2 6 6 DICO DÉCOMPOSER UNE FRACTION AVEC SA PARTIE ENTIÈRE 5 9 13 8 35 ; ; ; ; 4 4 6 10 10 quelles sont celles qui sont comprises : a. entre 1 et 2 ? b. entre 2 et 3 ? c. entre 3 et 4 ? Tu peux t’aider en plaçant ces fractions sur une ligne graduée. Parmi les fractions 7 DICO 14 7 10 Décomposer une fraction avec sa partie entière ◗ DÉCOMPOSER UNE FRACTION ◗ AVEC SA PARTIE ENTIÈRE 6 Encadre chaque fraction par deux INCONTOURNABLE 3 EXERCICE 5 10 7 62 < 4 b. 10 < < 11 2 6 1 2 3 0 47 3 < 5 d. 0 < < 1 c. 4 < 4 Chaque nombre de la liste A est égal à un nombre de la liste B. Écris ces égalités. ★ 10 4 Liste A 1 ; 30 ; 6 ; 12 ; 5 Liste B 3 ; 3 ; 2 ; 10 ; 3 INCONTOURNABLE 0 INCONTOURNABLE 2 B C Réponses : ◗ 35 10 DICO Trouve, parmi les fractions suivantes, celles que l’on peut associer aux repères A, B et C. 2 10 4 6 3 4 5 2 10 4 20 25 2 2 5 5 10 10 10 ENCADRER UNE FRACTION PAR DEUX A B C NOMBRES ENTIERS CONSÉCUTIFS INCONTOURNABLE INCONTOURNABLE ◗ FRACTIONS ÉGALES 3 c. Cet exercice prolonge le précédent en introduisant la notion d’encadrement et l’écriture de la double inégalité 3 Trouve, parmi les fractions suivantes, celles que l’on peut associer aux repères A, B et C. 4 5 2qui10lui 4est 20 associée. 25 4 ◗ FRACTIONS ÉGALES A Fractions égales 5 9 13 b. ; 4 4 6 14 Écris chaque fraction sous la forme d’un nombre entier ou d’une somme d’un nombre entier et d’une fraction 11 ; 1 ; 4 ; 9 ; 21 ; 38 . 4 4 3 3 10 10 Le nombre entier doit être le plus grand possible. 3 1 4 Exemple =1+ =2 2 2 2 Tu peux t’aider des lignes graduées de l’exercice 1. nombres entiers qui se suivent. 3 Écris chaque fraction sous la forme Exemple 1 < <2 4 d’un nombre entier ou d’une somme 8 Écris chaque fraction de l’exercice 6 d’un nombre entier et d’une fraction 7 62 47 3 ★ sous la forme d’une somme d’un nombre b. c. d. 11 ; 1 ; 4 ; 9 ; 21 ; 38 . a. 2 6 10 4 entier et d’une fraction. 4 4 3 3 10 10 Le nombre entier doit être le plus grand Le nombre entier doit être le plus grand possible. possible. FRACTIONS ÉGALES DICO 12 3 1 4 Exemple =1+ =2 2 2 2 3 Trouve, parmi les fractions suivantes, celles que l’on peut associer aux repères A, B et C. 5 Tu peux t’aider des lignes graduées Reproduis cette ligne graduée sur ton cahier. Place le repère qui correspond 4 à 5. 2 10 4 20 25 6 de l’exercice 1. 2 2 5 5 10 10 10 ★ INCONTOURNABLE Pour effectuer le placement les élèves peuvent : – fractionner chaque unité dans le nombre de parts indiqué ◗ par le dénominateur des fractions, en s’appuyant sur les Énigme graduations existantes 6 Encadre chaque fraction par deux ; EXERCICES 7 8 ✶ nombres entiers qui se suivent. 3 – lire les nombres repères et raisonner sur les écritures frac1< <2 4 8 Écris chaque fraction de l’exercice 6 Dans l’exercice 7, les résultats peuvent être lus sur les tionnaires enb. repérant qu’il faut deux0 dixièmes 7 62 47 par3exemple sous la forme d’une somme d’un nombre a. c. d. 4 2 6 10 4 entier et d’une fraction. droites graduées de 3 l’exercice 1. Dans l’exercice suivant, ils pour faire un cinquième ou que cinq dixièmes un demi. Le nombre entier doit être font le plus grand possible. peuvent être trouvés enla listeseB. Écris référant 4 Chaque nombre de la aussi liste A est égal à un nombre de ces égalités. au repérage de Énigme 2 4 4 10 20 5 25 • 47 1 ; 30 ; 6 ; 12 ; 5 Liste Asur Listeen B 3raisonnant ; 3 ; 2 ; 10 ; 3 B! = = C ! =5 Réponses : A ! = points la droite graduée ou directement à 2 10 4 6 3 2 6 6 5 10 2 5 10 2 6 10 partir des écritures fractionnaires. ★ Exemple A ★ B 1 0 C 2 3 hatier-clic.fr/CM1cap015 ★ 039-054-Unite 3.indd 47 ENCADRER UNE FRACTION PAR DEUX ◗ NOMBRES ENTIERS CONSÉCUTIFS 4 3 0 Les élèves ne disposent plus de lignes graduées mais ils • 47 ou peuvent en dessiner (ou les évoquer mentalement), raisonner directement à partir des écritures fractionnaires et dire, par exemple, que comme il y a 6 parts égales dans FRACTIONS ÉGALES une ◗unité partagée en sixièmes et deux dans une unité 3 Trouve, parmi les fractions suivantes, celles que l’on peut associer aux repères A, B et C. partagée en demis, il4 y a5 32 sixièmes dans chaque demi. 10 4 20 25 hatier-clic.fr/CM1cap015 quarante-sept 039-054-Unite 3.indd 47 23/01/2020 18:40 DICO INCONTOURNABLE 12 Réponses : A 0 4 1 3 = 2 61 2 2 5 30 =3 10 5 10 10 6 3C = 4 2 2 B 10 12 =2 63 1 30 6 12 5 ; ; ; ; 2 10 4 6 3 Liste B 5 ; 9 ; 13 ; 8 ; 35 4 4 6 10 10 quelles sont celles qui sont comprises : a. entre 1 et 2 ? b. entre 2 et 3 ? c. entre 3 et 4 ? Tu peux t’aider en plaçant ces fractions sur une ligne graduée. Parmi les fractions Encadre chaque fraction par deux nombres entiers qui se suivent. 3 Exemple 1 < <2 4 a. 7 2 b. 62 6 c. 47 10 Énigme d. 3 4 7 8 ★ 6 10 Énigme 0 DICO 14 4 entier et d’une fraction. Le nombre entier doit être le plus grand possible. 4 3 4 8 • 47 Pour répondre, on peut considérer que = et déterminer 3 6 qu’un sixième correspond donc à deux intervalles ou bien 4 1 que, si 16 intervalles représentent , alors est représenté 3 3 1 par 4 intervalles. Donc est représenté par 2 intervalles. 6 quarante-sept 039-054-Unite 3.indd 47 Écris chaque fraction de l’exercice 6 sous la forme d’une somme d’un nombre entier et d’une fraction. Le nombre entier doit être le plus grand possible. Réponse : 23/01/2020 18:40 5 correspond au 10e trait après le trait associé à 0. 6 5. 6 4 3 hatier-clic.fr/CM1cap015 quarante-sept • 47 039-054-Unite 3.indd 47 5. 6 hatier-clic.fr/CM1cap015 Écris chaque fraction sous la forme d’un nombre entier ou d’une somme d’un nombre entier et d’une fraction 11 ; 1 ; 4 ; 9 ; 21 ; 38 . 4 4 3 3 10 10 Le nombre entier doit être le plus grand possible. 3 =1+ 1 4 =2 Exemple 2 2 2 Tu peux t’aider des lignes graduées de l’exercice 1. Reproduis cette ligne graduée sur ton cahier. Place le repère qui correspond à 0 14 3 3 10 ; ;2; ;3 2 6 6 DÉCOMPOSER UNE FRACTION ◗ AVEC SA PARTIE ENTIÈRE INCONTOURNABLE INCONTOURNABLE 6 ★ 2 Chaque nombre de la liste A est égal à un nombre de la liste B. Écris ces égalités. Liste A DICO Exemple Reproduis cette ligne graduée sur ton cahier. Place le repère qui correspond à ENCADRER UNE FRACTION PAR DEUX ◗ NOMBRES ENTIERS CONSÉCUTIFS 5 ◗ DÉCOMPOSER UNE FRACTION Exemple 5 10 = 3 6 Encadrer une fraction par deux nombres entiers consécutifs ★ 23/01/2020 18:40 11 3 1 AVEC SA1PARTIE4ENTIÈRE 1 9 = 2 + ; 7 =Écris 0 +chaque; fraction=sous 1 +la forme; =3; Réponses : 7 5 Parmi les fractions 5 ; 9 ; 13 ; 8 ; 35 4 4 d’un nombre 4 entier3 ou d’une somme 3 3 4 44 6 10 10 quelles sont celles qui sont comprises : nombre entier et d’une fraction 21 1 38d’un 8 a. entre 1 et 2 ? 11 ; 1 ; 4 ; 9 ; 21 ; 38 . =2+ ; =3+ b. entre 2 et 3 ? 4 4 3 3 10 10 c. entre 3 et 4 ? 10 10 10Le nombre entier 10 doit être le plus grand Tu peux t’aider en plaçant ces fractions possible. sur une ligne graduée. 1 2 1 1 = 1 ++ 8 a. 3 + b. 10 + (ou32 10 ) 42 = 2 2 3 graduées 6 Encadre chaque fraction par deux 2 Tu6peux t’aider des lignes de l’exercice 1. ★ nombres entiers qui se suivent. 3 7 3 1< <2 4 d. 08 +Écris chaque fraction de l’exercice 6 c. 4 + 10 4 la forme d’une somme d’un nombre 7 62 47 3 sous ★ a. b. c. d. INCONTOURNABLE EXERCICE 4 ✶ quarante-sept . INCONTOURNABLE Reproduis cette ligne graduée sur ton cahier. Place le repère qui correspond à 23/01/2020 18:40 119 UNITÉ 3 Addition, soustraction : ordre de grandeur Objectifs : UNITÉ Addition, soustraction : ordre de grandeur 3 apprentissage 4 Estimations Je cherche Estimations ◗ PROCÉDURES POSSIBLES Romy hésite entre deux lots de livres. Elle veut acheter celui qui coute le moins cher. Avant de faire un calcul exact, elle fait une estimation du prix de chaque lot. – Estimation sans calcul. – Calcul exact de tête puis arrondi du résultat. – Arrondi des termes de la somme à la dizaine ou à la centaine puis calcul de la somme de ces arrondis. Pour répondre aux questions A, B et C, tu ne dois ni poser d’opération, ni utiliser la calculatrice. A Estime le prix total du lot n°1. Écris les calculs que tu as faits. B Estime le prix du lot n°2 à la centaine près. Quel lot Romy a-t-elle intérêt à choisir ? Écris les calculs que tu as faits. C a. Estime l’écart entre les prix des deux lots à la centaine près. ◗ DIFFICULTÉS ÉVENTUELLES MATÉRIEL DICO 8 1 450 4p. 55048, questions 780 2 860A et 5B015 5 490 • manuel a. Reproduis la ligne graduée et place approximativement ces nombres. ou feuille de recherche • 0brouillon1 000 2 000 3 000 4 000 5 000 6 000 • cahier de mathématiques b. 5 015 est plus proche de 5 000 que de 6 000. Son arrondi au millier près est donc 5 000. estdesinterdite • laQuelcalculatrice est l’arrondi de chacun autres nombres au millier près ? 1 1 286 Présentation de la situation 8 650 7 600 9 890 2 Collectif 1 035 c. au millier ? Individuel puisprèscollectif Individuel puis collectif Individuel puis collectif Individuel 6 806 Quel est l’arrondi de chacun de ces nombres : a. à la dizaine près ? b. à la centaine près ? 2 Recherche de la question A 48 •3quarante-huit Recherche de la question B 4 Recherche de la question C 039-054-Unite 3.indd 48 5 Entrainement Aide À traiter pendant la mise en commun des propositions. Faire un inventaire rapide des réponses puis des procédures utilisées et faire remarquer que celle qui consiste à essayer de chercher d’abord la valeur exacte n’est pas pertinente. Faire ensuite poser l’opération pour déterminer le résultat exact. Faire constater que les réponses proposées sont plus ou moins proches de ce résultat et conclure en synthèse qu’il faut s’accorder sur la valeur maximale d’écart autorisée. ● Je m’entraine ◗ ARRONDIR par élève DES NOMBRES – Pour choisir les arrondis Faire une estimation à la centaine près veut dire que ta réponse doit se terminer par 00 et que l’écart avec le prix réel doit être plus petit que 100. Écris les calculs que tu as faits en ligne. b. Estime l’écart entre les prix des bandes dessinées à la dizaine près. Écris les calculs que tu as faits en ligne. ★ apprentissage 4 Le calcul approché présente des difficultés spécifiques pour deux raisons principales : – il faut prendre des décisions sur les approximations choisies (qui sont particulières à chaque calcul et dépendent des autres nombres en présence) et donc choisir des arrondis convenables pour les termes des sommes ou des différences ; – il existe plusieurs résultats possibles qui peuvent être admis, ce qui constitue une différence importante avec le calcul exact et peut être source d’insécurité pour certains élèves. – Savoir arrondir un nombre – Approcher des sommes ou des différences – Enrichir ses stratégies de calcul réfléchi INCONTOURNABLE 3 DÉROULÉ UNITÉ 23/01/2020 18:40 Réponses : Valeur exacte 796 €. Les réponses entre 600 € et 900 € sont acceptées. EXPLICITATION, VERBALISATION ◗ S’appuyer sur la diversité des réponses proposées pour insister sur les points suivants : • Estimer une somme, c’est trouver un résulat proche du résultat ; • Estimer une somme à la dizaine près (ou à la centaine près) c’est donner un résulat approché : – qui s’écrit avec un nombre entier de dizaines (ou de centaines), il doit donc avoir une écriture qui se termine par 0 (ou par 00), – et dont l’écart avec le résultat exact est inférieur à 10 (ou à 100). RECHERCHE Comment estimer une somme ou une différence pour que l’écart entre la valeur estimée et le résultat exact soit inférieur à 100 (ou à 10) ? 1 Présentation collective de la situation Présenter la situation : Romy doit estimer le prix de deux lots. Interroger la signification du mot estimer : « trouver rapidement un résultat proche du résultat exact » ● Préciser la tâche : ● ➞ Vous devrez répondre rapidement (en 1 ou 2 minutes) d’abord à la question A en écrivant les calculs que vous faites, en ligne, sans poser d’opération, sur votre brouillon. Nous discuterons ensuite de vos résultats puis vous chercherez à répondre à la question B. Nous verrons ensuite les questions C. Attention vous n’êtes pas autorisés à utiliser de calculatrice ni à poser d’opération. 2 Recherche individuelle puis collective de la question A ● Pendant la recherche, observer les procédures utilisées. 120 3 Recherche individuelle puis collective de la question B Rappeler que les réponses doivent être données rapidement (en 2 ou 3 minutes) et que les calculs sont à écrire en ligne. ● ◗ PROCÉDURES POSSIBLES – Arrondi des termes de la somme à la dizaine ou à la centaine puis calcul de la somme de ces arrondis. – Arrondi des termes à des nombres proches (par exemple 26 arrondi à 50) choisis pour faciliter le calcul de la somme. – Calcul de sommes intermédiaires (comme 26 + 166) et arrondi du résultat. – Pour choisir les arrondis Aide On pourra proposer aux élèves d’arrondir certains termes à la valeur supérieure et d’autres à la valeur inférieure pour que les approximations se « compensent » dans le calcul de la somme. Recenser et noter au tableau les estimations proposées et les mettre en discussion : – Faire calculer la valeur exacte et vérifier si les contraintes ont été respectées (nombre se terminant par 00, écart avec le résultat exact inférieur à 100) – Faire exprimer les méthodes utilisées pour choisir ou effectuer chaque arrondi. ● Réponses : lot n° 1 : 700 € ou 800 € (valeur exacte 796 €) lot n° 2 : 900 € ou 1 000 € (valeur exacte 915 €). Romy a intérêt à choisir le lot 1. EXPLICITATION, VERBALISATION S’appuyer sur les méthodes effectivement apparues pour faire constater que, pour estimer une somme à une centaine (ou à une dizaine) près, il faut arrondir les termes de cette somme et faciliter son calcul approché : pour cela on peut arrondir chaque terme de la somme, soit à une centaine proche, soit à une dizaine proche en essayant de faire en sorte que les arrondis « se compensent » dans le calcul de la somme. EXPLICITATION, VERBALISATION ◗ S’appuyer sur les méthodes effectivement apparues pour faire constater qu’afin d’estimer une différence à une centaine (ou à une dizaine) près, il faut arrondir les termes de cette différence et faciliter son calcul approché. UNITÉ ◗ Faire remarquer quesoustraction pour cela, on: ordre peut arrondir chaque de grandeur 3 de laAddition, terme différence à une dizaine proche ou en à une apprentissage 4 centaine proche, en cherchant à maintenir l’écart qui Je cherche Estimations sépare ces deux termes. Romy hésite entre deux lots de livres. Elle veut acheter celui qui coute le moins cher. Avant de faire un calcul exact, elle fait une estimation du prix de chaque lot. TRACE ÉCRITE INDIVIDUELLE Faire recopier dans le cahier de mathématiques la définition de l’estimation d’une somme ou d’une différence à la dizaine ou à la centaine près (voir explicitation en phase 2) et l’illustrer répondre aux questions A, B et C, tu ne dois ni poser parPour deux de calcul approchés (une somme et une d’opération, niexemples utiliser la calculatrice. différence). A Estime le prix total du lot n°1. Écris les calculs que tu as faits. B Estime le prix du lot n°2 à la centaine près. Quel lot Romy a-t-elle intérêt à choisir ? Écris les calculs que tu as faits. Faire une estimation à la centaine près veut dire que ta réponse doit se terminer par 00 et que l’écart avec le prix réel doit être plus petit que 100. Manuel p. 48-49 C a. Estime l’écart entre lesindividuel 5 Entrainement prix des deux lots à la centaine près. Écris les calculs que tu as faits en ligne. b. Estime l’écart entre les prix des bandes dessinées Inviterà lales élèves à effectuer les calculs mentalement ou dizaine près. Écris les calculs que tu as faits en ligne. en ligne. La calculatrice pourra permettre de les vérifier. Je m’entraine Arrondir des nombres ◗ ARRONDIR DES NOMBRES INCONTOURNABLE ◗ DIFFICULTÉS ÉVENTUELLES 1 1 450 4 550 DICO 8 780 2 860 5 015 5 490 a. Reproduis la ligne graduée et place approximativement ces nombres. 0 1 000 2 000 3 000 4 000 5 000 6 000 b. 5 015 est plus proche de 5 000 que de 6 000. Son arrondi au millier près est donc 5 000. Quel est l’arrondi de chacun des autres nombres au millier près ? 4 Recherche individuelle puis collective 2 des questions Ca. et Cb. Demander aux élèves de prendre connaissance des deux questions et rappeler les modalités de la recherche. ● ◗ PROCÉDURES POSSIBLES Question Ca. – Utilisation des résultats de la question B et calcul de leur différence Question Cb. – Arrondi des termes de chaque terme de la différence à une dizaine proche puis calcul de la différence de ces arrondis. ◗ DIFFICULTÉS ÉVENTUELLES – Pour choisir comment arrondir 215 entre 210 et 220 Aide On pourra proposer aux élèves d’effectuer un choix d’arrondi, à valeur approchée inférieure ou supérieure, identique pour les deux termes pour « maintenir » l’écart qui les sépare. Recenser et noter au tableau les estimations proposées et les mettre en discussion : – Faire calculer la valeur exacte et vérifier si les contraintes ont été respectées (nombre se terminant par 00, écart avec le résultat exact inférieur à 100) – Faire exprimer les méthodes utilisées pour choisir ou effectuer chaque arrondi. ● ★ 286 8 650 7 600 9 890 6 806 Quel est l’arrondi de chacun de ces nombres : a. à la dizaine près ? b. à la centaine près ? 48 • quarante-huit EXERCICES 1 1 035 c. au millier près ? 2 ✶ 039-054-Unite 3.indd 48 23/01/2020 18:40 L’exercice 1 permet de faire le lien entre l’arrondi au plus proche et le placement approximatif sur une ligne graduée. L’exercice 2 permet d’aborder des cas particuliers : celui où le nombre et son arrondi coïncide et celui où le nombre est situé à égale distance de deux dizaines successives (dans ce cas, on choisit la dizaine supérieure). On précisera aux élèves que, dans les deux exercices, on demande l’arrondi à la dizaine, à la centaine ou au millier le plus proche. Réponses : 2 286 8 650 7 600 9 890 6 806 1 035 1 b. 1 450 ➝ 1 000 4 550 ➝ 5 000 780 ➝ 1 000 2 860 ➝ 3 000 5 015 ➝ 5 000 5 490 ➝ 5 000 arrondi à la dizaine près 290 8 650 7 600 9 890 6 810 1 040 arrondi à la centaine près 300 8 700 7 600 9 900 6 800 1 000 arrondi au millier près 0 9 000 8 000 10 000 7 000 1 000 Réponses : a. 100 € ou 200 € (valeur exacte : 119 €) b. 90 € ou 100 € (valeur exacte : 93 €) 121 UNITÉ 3 b. Vérifie ensuite tes réponses en posant les additions. INCONTOURNABLE 242 km 4 Estimer des sommes et des différences5 DICO Vérifier des calculs de sommes et de différences et la distance de Paris à Strasbourg ? ◗ REIMSDES CALCULS 347 km DE SOMMES ET DE DIFFÉRENCES VÉRIFIER PARIS 7 Voici une différence et une liste de nombres : 6 Voici une somme et une liste de nombres : ★ 30 BREST 145 km a. Sans poser d’opération, trouve dans chaque liste le nombre qui est le plus proche du résultat. 209 km ★ 3 048 + 598 + 1 986 • 37 + 387 + 206 + 775 1 000 / 1 200 / 1 300 / 1 400 RENNES STRASBOURG 242 km • 4 856 + 2 070 6 000 / 7 000 / 8 000 / 9 000 7 532 9 532 • 1 915 + 865 + 2 130 4 000 / 4 800 /5 000 / 5 200 153 km LE MANS 4 444 5 632 b. Vérifie ensuite tes réponses en posant les additions. 752 Un automobiliste se rend de Brest à Strasbourg. 5 532 5 840 a. À 100 km près, quelle est la longueur totale de son parcours ? Sans poser d’opération, trouve les b.du À 10 km près, quel est l’écart entre la distance de a. Brest à Paris a. Sans poser d’opération, trouve dans chaque liste le nombre qui est le plus proche résultat. nombres de la liste qui, à coup sûr, et la distance de Paris à Strasbourg ? • 1 268 − 985 200 / 300 / 1 000 ne sont pas égaux à cette somme. • 5 068 − 3 742 2 000 / 3 000 / 1 000 b. Pour vérifier, calcule la somme. VÉRIFIER DES CALCULS DE SOMMES ET DE DIFFÉRENCES b. Vérifie ensuite tes réponses en posant les soustractions. 3 4 ◗ 5 ★ 347 km REIMS ★ 242 km 209 km RENNES 153 km 145 km 752 STRASBOURG 5 532 3 4 3 048 + 598 + 1 986 ★★ 9 872 − 1 098 a. Sans poser d’opération, trouve les Réponses : de la liste qui, à coup sûr, nombres ne sont pas égaux à cette somme. b. Pour vérifier, calcule la somme. a. Sans poser d’opération, trouve les nombres de la liste qui, à coup sûr, ne sont pas égaux à cette différence. b. Pour vérifier, calcule la différence. 8 786 8 036 8 774 8 124 786 a. Sans poser d’opération, trouve les nombres de la liste qui, à coup sûr, ne sont pas égaux à cette différence. b. Pour vérifier, calcule la différence. Énigme 9 872 − 1 098 DES SOMMES ET DES différents. DIFFÉRENCES Nous sommes deux nombres Si on nous additionne, on trouve 100. ◗ ESTIMER 8 036 8 826 7 Voici une différence et une liste de nombres : 30 L’écart entre nous est égal à 24. Qui sommes-nous ? 8 124 786 3 a. Sans poser 8d’opération, trouve dans chaque liste le nombre qui est le plus proche du résultat. 7 784+ 206 +8 775 774 7861 000 / 1 200 / 1 300 / 1 hatier-clic.fr/CM1cap016 • 37 + 387 400 quarante-neuf • 49 • 4 856 + 2 070 6 000 / 7 000 / 8 000 / 9 000 a. Sans d’opération,4trouve • 1 915 + 865poser + 2 130 000 / les 4 800 /5 000 / 5 200 nombres de la liste qui, à coup sûr, b. Vérifie ensuite tes réponses en posant les additions. ne sont pas égaux à cette différence. 23/01/2020 18:40 039-054-Unite 3.indd 49 b. Pour vérifier, calcule la différence. 4 039-054-Unite 3.indd 49 Différence 1 268 – 985 5 068 – 3 742 EXERCICES 6 ✶ 7 ✶ ✶ 5 Pour résoudre ces exercices, lesREIMS élèves peuvent s’appuyer • 49 sur BREST l’ordre de grandeur duPARISrésultat ou sur le calcul de RENNES STRASBOURG certains de ces chiffres, notamment celui des unités. Un LE MANS calcul d’ordre de grandeur du résultat permet par exemple Un automobiliste se rend de Brest à Strasbourg. a. À l’exercice 100 km près, quelle 6 est d’exclure la longueur totale de son parcours ? dans 752, et celui du calcul du chiffre b. À 10 km près, quel est l’écart entre la distance de Brest à Paris la distance ded’exclure Paris à Strasbourg5? 840. desetunités Approximation 300 1 000 quarante-neuf • 49 Résultat exact 283 1 326 23/01/2020 18:40 EXERCICE 5 ✶ Pour estimer l’écart de distances, on peut estimer les longueurs de chacune d’elles puis calculer l’écart entre les deux estimations ou bien comparer deux à deux des portions de chaque trajet (par exemple 145 km et 153 km) pour évaluer les écarts entre elles, en plus ou en moins, et en faire ensuite la somme. La vérification peut être faite en calculant les valeurs exactes avec une calculatrice. Réponses : a. Estimation : 1 000 km ou 1 100 km (distance exacte : 1 096 km). b. Estimation : 110 km ou 120 km (distance exacte : 112 km) 347 km quarante-neuf ★ 209 km 145 km 23/01/2020 18:40 242 km 153 km Somme Approximation Résultat exact Énigme 37 + 387 + 206 + 775 1 400 1 405 Nous sommes deux nombres différents. Si on nous additionne, on trouve 100. 4 entre 856nous + 2est070 7 000 6 926 ? L’écart égal à 24. Qui sommes-nous 1 915 + 865 + 2 130 5 000 4 910 hatier-clic.fr/CM1cap016 122 7 784 hatier-clic.fr/CM1cap016 039-054-Unite 3.indd 49 4 8 826 DICO 4 444 5 840 Énigme 8 036réalisé dans la 8 826 travail 7 532 532 Il s’agit9 d’une application directe du 8 124 4 444 8 786 5 632 7 784 752 recherche. 8 774 786 5 532 phase de 5 840 3 9 872 − 1 098 a. Sans poser d’opération, trouve dans chaque liste le nombre qui est le plus proche du résultat. • 1 268 − 985 200 / 300 / 1 000 • 5 068 − 3 742 2 000 / 3 000 / 1 000 VÉRIFIER DES CALCULS DE SOMMES ET DE DIFFÉRENCES Nous sommes deux nombres différents. Si on nousb.additionne, on trouve 100. Vérifie ensuite tes réponses en posant les soustractions. L’écart entre nous 7 Voici une différence et une liste de nombres : est égal à 24. Qui sommes-nous ? Voici une somme et une liste de nombres : EXERCICES ★ 7 532 a. Sans poser d’opération, trouve les nombres de la liste qui, à coup sûr, ne sont pas égaux à cette somme. b. Pour vérifier, calcule la somme. LE MANS Un automobiliste se rend de Brest à Strasbourg. a. À 100 km près, quelle est la longueur totale de son parcours ? b. À 10 km près, quel est l’écart entre la distance de Brest à Paris et la distance de Paris à Strasbourg ? ◗ 5 632 ★★ ★★ 3 048 + 598 + 1 986 9 532 PARIS BREST Voici une somme et une liste de nombres : INCONTOURNABLE 6 6 STRASBOURG 153 km LE MANS a. Sans poser d’opération, trouve dans chaque liste le nombre qui est le plus proche du résultat. • 1 268 − 985 200 / 300 / 1 000 Un automobiliste se rend de Brest à Strasbourg. • 5 068 − 3 742 2 000 / 3 000 / 1 000 a. À 100 km près, quelle est la longueur totale de son parcours ? b. Vérifie ensuite tes réponses en posant les soustractions. b. À 10 km près, quel est l’écart entre la distance de Brest à Paris INCONTOURNABLE INCONTOURNABLE INCONTOURNABLE ◗ ESTIMER DES SOMMES ET DES DIFFÉRENCES 145 km 209 km RENNES DIFFÉRENCES ◗ VÉRIFIER DES: CALCULS 6 DEa.SOMMES Réponses 752 ET4DE444 5 840 7 Voici une différence et une liste de nombres : 6 Voici une somme et une liste de nombres : 7 532 9 532 ★★ ★ 9 872 − 1 098 3 048 + 598 + 1 986 b. La somme est égale à 5 632. 9 532 5 632 7 532 4 444 a. 786 5 532 7 5 840 8 826 8 786 8 036 8 124 7 784 7 8784036 8 7748 124 786 8 826 8 786 b. Lalesdifférencea.est à 8 774. Sans égale poser d’opération, trouve les a. Sans poser d’opération, trouve 752 nombres de la liste qui, à coup sûr, ne sont pas égaux à cette somme. b. Pour vérifier, calcule la somme. Énigme nombres de la liste qui, à coup sûr, ne sont pas égaux à cette différence. b. Pour vérifier, calcule la différence. Nous sommes deux nombres différents. Si on nous additionne, on trouve 100. L’écart entre nous est égal à 24. Qui sommes-nous ? hatier-clic.fr/CM1cap016 quarante-neuf • 49 L’énigme peut être résolue par essais, mais aussi en s’appuyant sur les ordres de grandeurs. L’écart étant de 24 (proche de 20), on est conduit à chercher des nombres proches de 40 et de 60. 039-054-Unite 3.indd 49 Réponse : 38 et 62 23/01/2020 18:40 Aires : doubles et moitiés Objectifs : apprentissage 5 Les élèves vont travailler sur les propriétés de la grandeur aire et concevoir ce qu’est une aire double, triple, moitié, quart avant d’aborder la mesure de l’aire en unité 4, où ils auront à trouver combien de fois une aire unité est contenue dans une aire donnée. Ils comprennent d’abord qu’une surface qui a une aire double de celle d’une surface de référence a même aire qu’une surface constituée par l’accolement de deux surfaces de référence. Ils ont ensuite à chercher un rapport entre l’aire d’une surface et celle d’un carré de référence, ce qui demande de repérer comment la surface peut être pavée avec le carré initial ou avec des morceaux de la surface de référence, par exemple des morceaux dont l’aire est la moitié, voire le quart de celle-ci. Ils réinvestissent la notion de fraction simple. – Comprendre la notion d’aire – Comparer des aires par découpage et recollement – Trouver des rapports (double, triple, moitié, quart) entre des aires – Construire une surface d’aire donnée Des aires doubles et moitiés e5 Apprentissag UNITÉ 3 123 Guide p. aces qui ont sont les surf sont B Quelles les surfaces pour une pour aire la qui ont pour CapMaths CM ent. 27 classe seulem moitié de .. ................ ........ é Z ? ........ l’aire du carr le de l’aire aire le doub du carré Z . ................ ? ................ UNITÉ 3 - Apprent issage 5 Guide p. 123 1 Carrés de 3 cm itiés ubles et mo Des aires do A Quelles autorisée ➞ Vous allez construire sur la feuille des surfaces d’un seul morceau dont l’aire est le double de celle de ce carré, c’est-à-dire dont l’aire est la même que celle d’une surface faite de deux carrés comme celui-ci. Vous travaillerez par équipe de 2. Vous pouvez découper des carrés en morceaux. En assemblant des carrés ou des morceaux de carrés et en les collant sur la feuille, vous construirez au moins 3 surfaces dont l’aire est le double de celle de ce carré. Les 3 surfaces doivent être de formes différentes. © Hatier 2020 - Reproduction autorisée pour de côté (à photocop une classe seulemen t. ier sur du papie r bleu) Recherche 26 - Reproduction © Hatier 2020 Recherchehe Recherc CM1 CapMaths A Z B 2 Recherche et exploitation collective C D Suivant les demandes des élèves, autoriser à couper les carrés en deux (voire trois ou quatre) morceaux et à coller les carrés ou les parties obtenues par découpage. ● F Rectangles de 2 cm sur 4 cm (à photocopier sur du papier bleu) H E I G 001-109-Materiel 20/04/2017 ◗ PROCÉDURES POSSIBLES 16:27 CM1.indd 19 20/04/2017 d 18 l CM1.ind 001-109-Materie MATÉRIEL 3 – Juxtaposer les deux carrés suivant un côté en les décalant ou pas. – Découper un des carrés ou les deux en deux ou plusieurs morceaux, réorganiser les morceaux en les accolant sans chevauchement. 16:27 pour la classe • fiche 26 agrandie ou projetée • carré bleu agrandi au même format ➞ fiche 27 hatier-clic.fr/CM1capg0304 ◗ DIFFICULTÉS ÉVENTUELLES par équipe de 2 • fiche 26, questions A et B • 8 à 10 carrés et 2 rectangles photocopiés sur papier bleu et découpés ➞ fiche 27 • feuille blanche, ciseaux, colle DÉROULÉ UNITÉ 1 Présentation de la première situation 2 Recherche de la première situation et exploitation collective 3 Présentation de la deuxième situation 4 Recherche de la deuxième situation et exploitation collective 5 Entrainement – Pour respecter les contraintes Aide Rappeler qu’il faut utiliser 2 carrés et obtenir une surface d’un seul morceau. Une proposition comme celle­ci ne convient pas. Collectif et individuel Par équipes de 2 et collectif Collectif Par équipes de 2 et collectif Individuel – Pour imaginer une surface Aide Proposer de trouver 2 surfaces rectangulaires. Procéder à un échange sur les méthodes utilisées et demander à des équipes de schématiser au tableau les surfaces obtenues. Exemples de productions : ● RECHERCHE Comment construire une surface d’aire double ou moitié de l’aire d’une surface donnée ? 1 Présentation de la première situation : construire une surface d’aire double Donner à chaque équipe une feuille blanche et 8 carrés bleus. Ils peuvent être découpés ou servir de gabarit. Expliquer en montrant un carré bleu : ● EXPLICITATION, VERBALISATION Aire double – Aire moitié Une surface a une aire double de celle d’une surface a si elle est obtenue par juxtaposition et éventuellement découpage et recollement de deux surfaces identiques à la surface a. 123 UNITÉ 3 La surface b a une aire double de celle de la surface a. La surface c a une aire double de celle de la surface a. On dit aussi que : La surface a a une aire moitié de celle de la surface b. La surface a a une aire moitié de celle de la surface c. a b c 3 Présentation de la deuxième situation : recherche de surfaces d’aire donnée Distribuer la fiche 26. ● Reformuler les questions A et B de la fiche : ● ➞ Certaines surfaces ont pour aire la moitié de l’aire du carré Z. À vous de les trouver (question A). Ensuite vous chercherez les surfaces qui ont une aire double de celle du carré Z (question B). Vous travaillerez toujours par deux. Pour vous aider, vous pouvez utiliser un ou plusieurs carrés de papier bleu, qui est identique au carré Z. Vous aurez ensuite à expliquer votre démarche. 4 Recherche et exploitation collective ◗ PROCÉDURES POSSIBLES Pour les surfaces d’aire moitié Commencer par écarter les surfaces qui perceptivement contiennent le carré Z puis – partager un carré Z en deux parties superposables par pliage et comparer la surface obtenue à une surface présente, – simuler l’accolement de deux surfaces identiques à une surface présente et comparer la surface obtenue au carré Z Pour les surfaces d’aire double Commencer par écarter les surfaces qui perceptivement peuvent être contenues dans le carré Z puis – utiliser deux carrés bleus, éventuellement en découper un ou deux pour essayer de paver la surface avec les morceaux obtenus, – simuler le découpage d’une surface et la réorganisation des morceaux obtenus pour obtenir 2 carrés identiques à Z. Demander à des équipes d’expliquer leur raisonnement sur la fiche agrandie ou projetée. Il est possible que certains élèves utilisent des arguments relatifs aux relations entre moitiés et unité et entre quarts et moitié. ● À ce moment-là expliquer que : – une surface obtenue par réorganisation de deux moitiés d’une surface a même aire que cette surface ; – une surface obtenue par réorganisation de deux quarts d’une surface a une aire moitié de celle de cette surface ; ● Revenir sur les erreurs. ● Réponses : a. A, F et H b. B (pavée par 2 carrés) ; C (pavée par 1 carré et 2 demi-carrés triangulaires) ; G (pavée par 4 demi-carrés triangulaires) EXPLICITATION, VERBALISATION Aire moitié ◗ La surface obtenue en partageant la surface a en 2 sur- faces identiques a une aire égale à la moitié de celle de la surface a. a b L’aire de la surface b est la moitié de l’aire de la surface a. L’aire de la surface a est le double de l’aire de la surface b. Et encore… ◗ Une surface a une aire triple (ou quadruple) de celle d’une surface a si elle est obtenue par juxtaposition et éventuellement découpage et recollement de 3 (ou 4) surfaces identiques à la surface a. Exemple : L’aire de la surface c est le triple de l’aire de la surface a. c ◗ La surface obtenue en partageant la surface a en 4 surfaces identiques a pour aire le quart de celle de la surface a. Exemple : L’aire de la surface d est le quart de l’aire de la surface a. d Cahier p. 18-19 5 Entrainement individuel UNITÉ ◗ DIFFICULTÉS ÉVENTUELLES – Pour comprendre la consigne Aide Engager les élèves à découper un ou deux carrés de papier en deux parties identiques et à utiliser les morceaux pour paver les surfaces. 1 Aires : doubles et moitiés 3 Retrouver des surfaces d’aire donnée apprentissage 5 RETROUVER DES SURFACES D’AIRE DONNÉE 1 Quelles sont les surfaces qui ont pour aire : a. la moitié de l’aire du rectangle bleu ? …………….………………………….. b. le quart de l’aire du rectangle bleu ? …………….………………………….. c. le double de l’aire du rectangle bleu ? …………….………………………….. Tu peux faire des tracés sur les figures. d. le triple de l’aire du rectangle bleu ? …………….………………………….. – Pour comprendre la notion d’aire, certains élèves s’intéressent au rapport des dimensions A B Aide Rappeler que l’aire est une propriété de la surface et que 2 surfaces ont même aire si par découpage de l’une et recollement des morceaux on obtient une surface superposable à l’autre. C D E – Pour garder la trace des raisonnements Aide Engager les élèves à faire des schémas sur les figures qui montrent les découpages et les pavages. G F H Recenser les réponses. Se mettre d’accord sur les solutions. ● I 18 • dix-huit Cahier geom.indd 18 124 22/01/2020 10:30 Cela peut aussi favoriser l’apparition d’une procédure de contrôle par comptage de carreaux identiques dessinés par les élèves à l’intérieur des surfaces construites. Si cette procédure apparait, elle sera à prendre en compte comme les autres sans pour autant être privilégiée. ● Autoriser encore, si nécessaire, certains élèves à utiliser un rectangle de papier construit en décalquant le rectangle dessiné. ● Réaliser un contrôle à deux entre voisins pour chaque exercice et organiser un bilan collectif autour d’une ou deux productions discutables reproduites sur l’exercice projeté. EXERCICE 1 Préciser que le rectangle bleu dont on parle dans l’énoncé est le rectangle A. Distribuer un rectangle de papier bleu à chaque élève (fiche 27). Faire remarquer qu’il est identique au rectangle A. C’est une activité similaire à celle de la question B de la recherche. Il s’agit de repérer comment chaque surface peut être pavée avec le rectangle bleu ou avec les morceaux qui en constituent la moitié ou le quart. Aide Encourager les élèves à : – vérifier les longueurs des côtés, par exemple pour vérifier que la surface F est faite de 2 rectangles bleus accolés ; – utiliser le rectangle de papier et les formes d’aire moitié ou quart de celle du rectangle, obtenues par découpage du rectangle ; – faire des schémas sur les figures mettant en évidence les découpages en rectangle ou parties du rectangle bleu de référence. Pour les élèves en difficulté, donner un deuxième rectangle de 2 papier. 3 Réponses possibles : 2 3 UNITÉ 3 CONSTRUIRE DES SURFACES D’AIRE DONNÉE Dessine deux surfaces qui ont la même aire que le rectangle L mais qui sont de formes différentes. Dessine deux surfaces différentes qui ont une aire moitié de celle du rectangle L. ★ 4 Dessine deux surfaces différentes qui ont une aire double de celle du rectangle L. ★ • • • • • • • 4 • • • • • • • • • L • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • Lors d’un temps collectif, pour certaines figures, recenser les réponses. Faire expliciter, sur l’exercice projeté certaines démarches. ● Réponses : a. C et G (superposable au rectangle A partagé en 2 parties identiques suivant une médiane ou une diagonale). I (obtenu par réorganisation de deux moitiés du carré C ou deux triangle E). Cette dernière peut être mise en évidence après la résolution de la question b. b. E (superposable au carré C partagé en 2 parties identiques, donc dont l’aire est la moitié de la moitié de celle du rectangle A). c. F (2 rectangles A accolés) ; D (1 rectangle A et 2 demi-rectangles G) d. B (2 rectangles A ; 1 demi-rectangle C et 1 demi-rectangle G) L’aire de H est une fois et demie celle de A (1 rectangle A et 1 carré C). Énigme Construis un triangle qui a une aire double de celle de ce carré. • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • hatier-clic.fr/CM1capc017 Construire des surfaces d’aire donnée CONSTRUIRE DES SURFACES D’AIRE DONNÉE 2 Dessine deux surfaces qui ont la même aire que le rectangle L mais qui sont de formes différentes. 3 Dessine deux surfaces différentes qui ont une aire moitié de celle du rectangle L. ★ 4 Dessine deux surfaces différentes qui ont une aire double de celle du rectangle L. ★ • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • L • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • EXERCICES 2 On peut, par exemple, construire cette surface triangulaire de la manière suivante : 1. assembler 2 carrés identiques ; 2. découper le rectangle ainsi créé en deux suivant une diagonale ; 3. réorganiser les deux parties obtenues pour former un triangle. dix-neuf • 19 Cahier geom.indd 19 22/01/2020 10:30 Réponses possibles : Énigme 3 ✶ 4 ✶ Construis un triangle qui a une aire double de celle de ce carré. • • • • • • • • • • • • • • Le travail se fait sur papier pointé, ce qui facilite les constructions. ● • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • hatier-clic.fr/CM1capc017 dix-neuf • 19 Cahier geom.indd 19 22/01/2020 10:30 125 Droites perpendiculaires Objectifs : apprentissage 6 Dans cette situation, les élèves découvrent un nouvel aspect de l’angle droit : quatre angles droits de même sommet recouvrent entièrement le plan et les côtés de ces 4 angles forment deux droites qu’on appelle « droites perpendiculaires ». Les élèves vont également apprendre à tracer deux droites perpendiculaires et à identifier des droites perpendiculaires dans des orientations différentes, d’abord perceptivement, puis en vérifiant avec l’équerre ou la réquerre, cette dernière étant d’un usage bien plus pratique que l’équerre pour vérifier que deux droites sont perpendiculaires ou tracer une droite perpendiculaire à une autre. – Concevoir l’angle droit comme étant un quart de plan – Savoir ce que sont deux droites perpendiculaires – Reconnaitre deux droites perpendiculaires – Tracer une droite perpendiculaire à une droite et passant par un point de cette droite Quatre angles droits recouvrent la feuille CapMat hs C 30 t. une classe seulemen de même sommet M1 UNITÉ 3 - App rentissag Guide e6 p. 126 © Hatier 2020 - Reproduction autorisée Quatre angles égaux A Tra ce une tracée. pour une classe seulement. Droites © Hatie r 2020 perpendi culaires droite qui passe par Utilise la le point règle et marqué l'équerre. et qui est - Repro duction autorisée pour une classe seule ment. perpen diculaire à la dro ite déjà e autorisée pour UNITÉ 3 - Apprentissage 6 Guide p. 126 Recherche Quatre angles - Reproduction Recherche 29 © Hatier 2020 issage 6 UNITÉ 3 - Apprent Guide p. 126 Recherche 28 Depuis le CE1, les élèves fréquentent l’angle droit qui est connu comme étant un coin d’un objet mathématique (le carré) ou d’un objet matériel (l’équerre). La présente situation a pour objectif de rattacher la notion d’angle droit à celle d’angle, en faisant apparaître l’angle droit comme un angle bien parti­ culier. La disposition des côtés de 4 angles droits assemblés et de même sommet conduit à introduire la notion de droites perpendiculaires. Cette situation est prévue sur deux séances, les 3 ou 4 premières phases faisant l’objet de la première séance. Recherch CapMaths CM1 1 CapMaths CM B Tra ce une droite qui tracée. passe par Utilise la le point réquerre. marqué et qui est perpen diculaire RECHERCHE à la dro ite déjà Comment partager une feuille de papier en quatre angles égaux ? Avant la séance 001-109-Ma teriel CM1.i ndd 18 16:27 20/04/2017 001-109-Materiel CM1.indd 21 001-109-Materiel CM1.indd 20 Remettre aux élèves plusieurs demi-feuilles A4 et les faire découper le plus près des bords, mais de façon à ce qu’elles n’aient plus de bords droits : ● 20/04/2017 16:27 20/04/2017 MATÉRIEL 3 16:27 pour la classe • 4 angles de même sommet ➞ fiche 28 agrandie au format A3 et découpée sans bords droits (voir activité) • 4 angles égaux ➞ fiche 29 agrandie au format A3 et découpée sans bords droits • fiche 30, questions A et B agrandies ou projetées hatier-clic.fr/CM1capg0305 • plusieurs feuilles A4, sans bords droits • feuille de calque (format A4) • équerre et réquerre agrandies ➞ Mallette • agrandissement de l’exercice 1 (cahier p. 20) ou projection au tableau • règle de tableau par équipe de 2 1 Présentation collective de la situation Projeter ou afficher l’agrandissement de la fiche 28. ● Commenter : ● • morceaux de calque d’environ 5 cm × 7,5 cm (1/16 de feuille A4) • demi-feuille A4 sans bord droit ➞ On voit 4 demi-droites qui ont la même origine. Ces 4 demidroites partagent la feuille en 4 angles qui ont tous le même sommet (montrer les parties de plan déterminées par les demi-droites). Visiblement, ces angles ne sont pas tous égaux. par élève • fiche 30, questions A et B • demi-feuille A4 sans bord droit • équerre et réquerre ➞ Mallette DÉROULÉ UNITÉ 1 Présentation de la première situation 2 Recherche et exploitation 3 Tracé de deux droites perpendiculaires 4 Tracé d’une droite perpendiculaire à une autre avec l’équerre 5 Tracé d’une droite perpendiculaire à une autre avec la réquerre 6 Entrainement 126 Remettre aux équipes une demi-feuille A4 sans bords droits et plusieurs morceaux de calque. Leur demander de marquer un point à peu près au centre de la feuille. ● Présenter le problème : ● Collectif Par équipes de 2 et collectif Individuel, puis collectif Individuel, puis collectif Individuel, puis collectif Individuel ➞ Vous allez chercher à partager la feuille en 4 angles qui doivent tous avoir pour sommet le point marqué. Mais attention, les 4 angles doivent être tous égaux. Vous disposez de petits morceaux de calque et de tous vos instruments de géométrie. Vous n’êtes pas autorisés à plier la feuille. Si le premier essai n’est pas concluant, vous pourrez faire d’autres essais sur d’autres feuilles, mais ne jetez pas vos différents essais. 2 Recherche par équipes de 2 et exploitation des productions ◗ PROCÉDURES POSSIBLES – Tracé de 3 angles droits ayant même sommet. L’équerre est utilisée trois fois. Vérification que le 4e angle est droit. Laisser un temps suffisant pour que les équipes envisagent une stratégie de résolution et approchent de la solution, sans nécessairement y parvenir. La recherche sera poursuivie collectivement. ● ◗ PROCÉDURES POSSIBLES – Tracé d’une droite et de part et d’autre de celle-ci, de 2 angles droits ayant même sommet et dont un côté est porté par la droite. L’équerre est utilisée deux fois. Vérification que les deux autres angles sont droits. – Tracer un angle sur la feuille et le reporter avec le calque jusqu’à voir 4 angles, comparer le 4e angle aux 3 premiers. Recommencer en ajustant la taille du premier angle. – Tracer une droite passant par le point marqué, la feuille est ainsi partagée en deux moitiés, puis chercher à partager chaque moitié en deux angles égaux en traçant une demi-droite ayant pour sommet le point marqué. Comparer les deux angles déterminés par la demi-droite et ajuster la position de la demidroite. – Utiliser l’équerre pour tracer 4 angles droits de même sommet ou, après avoir tracé une droite passant par le point, tracer deux angles droits de chaque côté de cette droite. – Tracé d’un angle droit et prolongement de ses deux côtés avec la règle. L’équerre n’est utilisée qu’une fois. Vérification que les trois autres angles sont droits. ◗ DIFFICULTÉS ÉVENTUELLES – Tracé d’une droite, puis d’un angle droit dont un côté est porté par la droite et prolongement à la règle du second côté de l’angle de l’autre côté de la droite. L’équerre n’est utilisée qu’une fois. Vérification que les trois autres angles sont droits. – Pour envisager une stratégie Aide Inviter à tracer un premier angle ayant pour sommet le point marqué en choisissant sa taille de façon à penser pouvoir en placer trois autres pareils sur la feuille. – Pour effectuer des tracés précis Aide Inviter à se coordonner : l’un tient la feuille de calque, l’autre place les repères et trace les côtés en veillant à bien placer la règle Des élèves peuvent faire des essais à main levée et percevoir ainsi que la solution s’obtient quand les angles sont droits. Ils passent ensuite à la construction avec les instruments. Afficher au tableau différentes productions où les 4 angles approchent un angle droit et, s’il y en a, une production où les élèves ont tracé quatre angles droits. Demander aux équipes de présenter leurs procédures, les montrer au tableau. ● Après débat, l’hypothèse émise que les 4 angles doivent être des angles droits est vérifiée. ● Projeter ou afficher au tableau la fiche 29. Demander aux élèves de commenter ce qu’ils voient : 4 angles droits de même sommet (le faire vérifier avec l’équerre), les côtés des angles n’ont pas même longueur… et « les côtés des angles sont alignés ». ● Vérifier avec une règle l’exactitude de cette dernière remarque et conclure : ● EXPLICITATION, VERBALISATION La comparaison des productions et procédures fait apparaitre la quatrième procédure comme étant la plus économique (une seule utilisation de l’équerre pour tracer), mais aussi la plus précise. ● Faire une synthèse sur les droites perpendiculaires. ● EXPLICITATION, VERBALISATION ◗ Deux droites qui se coupent en formant un angle droit forment quatre angles droits. ◗ Deux droites qui se coupent en formant un angle droit sont des droites perpendiculaires. a b ◗ On dit que : les droites a et b sont perpendiculaires. ou la droite a est perpendiculaire à la droite b. ou la droite b est perpendiculaire à la droite a. Ces trois phrases ont la même signification. Renvoyer les élèves au DICO 65 . ◗ Quatre angles droits de même sommet forment deux droites qu’on appelle des droites perpendiculaires. 3 Tracé individuel de deux droites perpendiculaires Remettre à chaque élève une demi-feuille A4 sans bord droit et indiquer : ● ➞ Sur cette feuille, vous allez tracer avec vos instruments de géométrie deux droites perpendiculaires. Vous allez essayer de le faire en traçant le moins d’angles droits possible. TRACE ÉCRITE INDIVIDUELLE Remettre une figure faite de deux droites perpendiculaires avec un angle droit codé et reprendre le texte de l’explicitation, verbalisation. Une difficulté consiste à considérer comme équivalentes les expressions « droites perpendiculaires » où le pluriel marque le fait que la perpendicularité est une relation entre deux droites et l’expression la « droite perpendiculaire à ... » où une des deux droites est privilégiée. 127 UNITÉ 3 4 Tracé individuel d’une droite perpendiculaire à une autre avec équerre et règle Distribuer à chaque élève la fiche 30, projeter ou afficher un agrandissement de la question A. ● Présenter la demande faite dans la question A. ● Montrer les angles droits codés et les autres. Montrer les segments perpendiculaires qui seront prioritairement utilisés. ● Segments perpendiculaires ➞ Une droite est tracée. Vous devez tracer une deuxième droite qui doit être perpendiculaire à la première, mais pas n’importe où. Le point marqué (le montrer) doit se trouver sur la droite que vous allez tracer. Pour tracer cette droite, vous ne pourrez utiliser que votre équerre et votre règle. CapMaths CM1 30 UNITÉ 3 - Apprentissage 6 © Hatier 2020 - Reproduction autorisée pour une classe seulement. Guide p. 126 Recherche tracée. Utilise la règle et l'équerre. Les élèves peuvent utiliser la 2e ou la 4e des procédures mentionnées précédemment. ● Procéder à une correction collective sur la figure agrandie ou projetée. Dégager les deux temps du tracé : – placement de l’équerre pour tracer l’angle droit : un côté de l’angle droit en appui sur la droite et le sommet de l’angle droit de l’équerre contre le point marqué en anticipant l’épaisseur de la mine de crayon ; – prolongement avec la règle du trait tracé de l’autre côté de la droite ou reprise de la première étape en traçant un angle droit de l’autre côté de la droite. ● Faire remarquer en s’appuyant sur des productions qu’en utilisant l’équerre puis la règle, on a plus de chance d’avoir le deuxième trait dans le prolongement du premier. B Trace une droite qui passe par le point marqué et qui est perpendiculaire à la droite déjà tracée. Utilise la réquerre. 001-109-Materiel CM1.indd 18 Segments perpendiculaires Demander ensuite aux élèves de traiter la question B de la fiche 30. Préciser que le seul instrument autorisé est la réquerre. Ils peuvent réfléchir à deux à l’utilisation de la réquerre, mais le tracé est ensuite effectué individuellement. ● Droites perpendiculaires A Trace une droite qui passe par le point marqué et qui est perpendiculaire à la droite déjà ● Segments perpendiculaires ◗ PROCÉDURES POSSIBLES – Utilisation d’un coin de la réquerre à la manière d’une équerre pour tracer un angle droit, puis d’un bord de la réquerre à la manière d’une règle pour prolonger le trait tracé (procédure non pertinante). – Utilisation pertinente de la réquerre : 20/04/2017 16:27 1. Placement de la réquerre en superposant un segment intérieur de la réquerre à la droite déjà tracée et en plaçant un bord de la réquerre contre le point marqué sur la droite. Cette question vise à réinvestir la technique valorisée en conclu­ sion de la recherche précédente. 5 Tracé individuel d’une droite perpendiculaire à une autre avec une réquerre CapMaths CM1 30 UNITÉ 3 - Apprentissage 6 © Hatier 2020 - Reproduction autorisée pour une classe seulement. Guide p. 126 Droites perpendiculaires Cette question ne sera pas traitée par les classes qui ne disposent pas de réquerres. ● Présenter la réquerre, dont le nom est le condensé de règle-équerre. Afficher la grande réquerre au tableau ou à défaut en projeter une. tracée. Utilise la règle et l'équerre. Recherche A Trace une droite qui passe par le point marqué et qui est perpendiculaire à la droite déjà 2. Tracé d’un trait le long de ce bord de la réquerre. ◗ DIFFICULTÉS ÉVENTUELLES – Pour envisager comment utiliser la réquerre B Trace une droite qui passe par le point marqué et qui est perpendiculaire à la droite déjà tracée. Utilise la réquerre. Aide À traiter lors de l’exploitation collective. Solliciter une équipe qui a correctement utilisé la réquerre pour venir effectuer le tracé sur la figure agrandie ou projetée. Expliciter les deux étapes : placement de la réquerre puis tracé de la droite. ● Faire remarquer qu’avec la réquerre, le tracé de la droite perpendiculaire se fait en une seule fois. ● 001-109-Materiel CM1.indd 18 20/04/2017 16:27 ➞ Cet instrument est à la fois une règle et une équerre. On peut y voir beaucoup d’angles droits. Tous ne sont pas codés. On y voit aussi des segments perpendiculaires. 128 Cahier p. 20-21 6 Entrainement individuel Tracer des droites perpendiculaires TRACER DES DROITES PERPENDICULAIRES UNITÉ 13 Droites perpendiculaires Reconnaitre des droites perpendiculaires 3 DICO 66 Trace la droite qui passe par le point A et qui est perpendiculaire à la droite d. Utilise ton équerre et ta règle. apprentissage 6 RECONNAITRE DES DROITES PERPENDICULAIRES 1 DICO 65 Quelles sont les figures formées de deux droites perpendiculaires ? Entoure les lettres. A d 4 A B C Trace la droite qui passe par le point B et qui est perpendiculaire à la droite f. Utilise ta réquerre. f B D 2 E F Repasse d’une même couleur les droites qui sont perpendiculaires. ★ Avant que Énigme les élèves ne réalisent les tracés, préciser la distinction à faire entre l’objet (le point qui est ici l’intersection de la droite et du petit trait) et le nom qu’on lui attribue (la lettre qu’on place à proximité de l’objet). Sans utiliser d’instrument, uniquement en pliant, fais apparaitre 2 droites perpendiculaires sur une feuille comme celle-ci, sans bords droits. hatier-clic.fr/CM1capc018 vingt-et-un • 21 Cahier geom.indd 21 20 • vingt EXERCICE 1 Cahier geom.indd 20 22/01/2020 10:30 Il permet de repérer les élèves qui se sont construit une conception erronée et qui considèrent que deux droites sont perpendiculaires seulement si l’une des deux droites est verticale ou horizontale ou si les deux droites sont verticale et horizontale. Cet exercice permet aussi de préciser ce qu’on désigne par droite : un trait rectiligne qu’on peut prolonger si besoin. ● Erreurs possibles : – droites reconnues comme perpendiculaires : A car une droite est verticale et C car le repérage perceptif, certes bien utile, n’est pas ensuite contrôlé avec l’équerre ou la réquerre ; – droites non reconnues comme perpendiculaires : F car les deux traits ne se coupent pas, B car les droites ne sont pas horizontale et verticale. ● En conclusion de l’exercice, dégager que : – il suffit de vérifier qu’un des angles formés par les deux droites est un angle droit pour conclure que les deux droites sont perpendiculaires ; – si un angle n’est pas droit, aucun des autres angles n’est droit. Les deux droites ne sont pas perpendiculaires. ● Réponses : B, E, F EXERCICE 2 ✶ Si les deux droites perpendiculaires verticale et horizontale sont assez faciles à reconnaitre, les deux droites en positions obliques le sont déjà plus difficilement et les deux droites qui ne se coupent pas, plus encore. Il n’est pas attendu des élèves qu’ils trouvent tous les couples de droites perpendiculaires. Réponse : Toutes les droites sont perpendiculaires deux à deux. 22/01/2020 10:30 EXERCICES 3 4 La différence entre les deux exercices porte sur la position de la droite donnée et sur les instruments mis à disposition. ● Apporter une aide individuelle pour placer correctement les instruments à disposition. ● TRACER DES DROITES PERPENDICULAIRES 3 DICO 66 Trace la droite qui passe par le point A et qui est perpendiculaire à la droite d. Utilise ton équerre et ta règle. A d 4 Pour les classes qui ne disposent pas de réquerres, l’exercice 4 pourra se faire avec une règle et une équerre. Dans les classes équipées, nous conseillons par la suite de privilégier l’utilisation de la réquerre, mais sans contraindre les élèves. Trace la droite qui passe par le point B et qui est perpendiculaire à la droite f. Utilise ta réquerre. f B Énigme Sans utiliser d’instrument, uniquement en pliant, fais apparaitre 2 droites perpendiculaires sur une feuille comme celle-ci, sans bords droits. hatier-clic.fr/CM1capc018 matériel par élève vingt-et-un • 21 • quelques feuilles de papier A4 sans bords droits Cahier geom.indd 21 22/01/2020 10:30 Énigme individuelle ou à deux. De la recherche faite précédemment, il résulte que deux droites perpendiculaires partagent la feuille en 4 angles égaux qui sont des angles droits. Le défi revient donc à trouver comment partager la feuille en 4 angles égaux et donc superposables. ● Les élèves peuvent effectuer un premier pli puis approcher par essais successifs la position du deuxième pli avant de trouver une procédure efficace : pliage en deux et encore en deux en ramenant le premier pli sur lui-même. ● En conclusion de l’énigme, indiquer qu’en l’absence d’équerre, il est possible de se dépanner en utilisant une feuille pliée en quatre, mais les pliages doivent être très soignés pour être précis. ● Renvoyer au dico DICO 63 . ● ● 129 UNITÉ 3 UNITÉ 3 Bilan et consolidation CALCUL MENTAL / NOMBRES ET CALCULS ! Manuel p. 50-51 GRANDEURS ET MESURES / ESPACE ET GÉOMÉTRIE ! Cahier p. 22-23 Comment utiliser les pages Bilan ! p. 11. Bilan de compétences téléchargeable hatier-clic.fr/CM1capgbilancomp03 ◗ Calcul mental BILAN Connaissances à acquérir ➞ Complément à la dizaine, centaine ou au millier supérieurs ➞ Tables de multiplication, multiplication par 20, 200… (produits, facteurs) CONSOLIDATION Ateliers de calcul mental ! Manuel p. 52 Multiplication par 10, 20, 200… Pas de préparation de bilan proposée dans le manuel. Je fais le bilan ! Manuel p. 51 EXERCICE 1 Complément à 100 ou 1 000, tables de multiplication, multiplication par 20, 200… a. 25 b. 200 c. 650 d. 72 e. 6 f. 200 g. 160 h. 20 Autres ressources ! 100 Activités et jeux mathématiques CM1-CM2 29. Le plus de produits possibles 30. Quatre nombres dans un tableau 35. Aller à 50, 60, 100… ! CD-Rom Jeux interactifs CE2-CM1-CM2 11. As du calcul (domaine additif) – niveau 3 12. Calcul éclair (domaine multiplicatif) – niveaux 1 et 2 ◗ Proportionnalité BILAN Connaissances à acquérir ➞ Pour résoudre des problèmes de proportionnalité, on peut utiliser un raisonnement comme celui-ci : – il y a le double, le triple de mangues… ou il y en a la moitié, on paie donc le double, le triple... ou la moitié du prix ; Dans certains cas, on peut utiliser un autre raisonnement, par exemple pour avoir le prix de 9 mangues : – le prix de 9 mangues est égal au prix de 6 mangues plus le prix de 3 mangues. apprentissage 1 Je prépare mon bilan ! Manuel p. 50 Q C M 1 b et c Je fais le bilan ! Manuel p. 51 EXERCICE 2 Résoudre un problème simple de proportionnalité a. 2 € b. 8 € c. 10 € d.40 € CONSOLIDATION Je consolide mes connaissances ! Manuel p. 42-43 À choisir parmi les problèmes non traités. B ILA N ◗ Des fractions pour mesurer 130 Connaissances à acquérir 5 17 se lit « cinq sixièmes » ou « dix-sept dixièmes ». ➞ Une fraction ou 6 10 ➞ La partie entière d’une mesure est le nombre d’unités entières qu’elle contient. 5 34 Exemple : la partie entière de u est 0 u, celle de u est 3 u. 6 10 apprentissage 2 Je prépare mon bilan Q C M 2 c et d Q C M3 d Q C M4 b ! Manuel p. 50 CONSOLIDATION ➞ L’écriture fractionnaire d’une mesure peut se décomposer en la somme de sa partie entière et d’une fraction plus petite que l’unité. 5 1 Exemple : u = 2 u + u. 2 2 ➞ Pour trouver la partie entière ou la décomposition d’une écriture fractionnaire on peut faire appel à sa signification : 5 2 Exemple : cinq demi-unités ( u), c’est deux demi-unités ( u) et encore 2 2 2 deux demi-unités ( u) et encore un demi-unité. Mais comme 2 demi2 unités font une unité, c’est donc une unité et une unité et une demi-unité 1 1 (1 u + 1 u + u), donc 2 unités plus une demi-unité (2 u + u). 2 2 Je consolide mes connaissances Autres ressources ! Manuel p. 44-45 ! Atelier À choisir parmi les problèmes non traités. matériel par groupe Je fais le bilan ! Manuel p. 51 Pour répondre, les élèves peuvent se référer aux règles utilisées pendant l’apprentissage 3, remises à disposition pour ceux qui en auraient besoin. EXERCICE 3 Trouver la partie entière d’une fraction a. 2 u b. 4 u c. 0 u d. 3 u EXERCICE 4 Décomposer une fraction en la somme de sa partie et d’une fraction inférieure à 1 1 1 a. 5 u + u b. 5 u c. 10 u + u d. 4 u 2 3 • une bande unité • des bandes de papiers pour construire des règles • une fiche avec des segments tracés, pouvant être mesurés avec des règles Atelier 1 : Fabriquer des règles graduées en demi, tiers, quarts par pliage et report d’une bande unité pliée. BILAN 3 Atelier 2 : Utiliser ces règles pour construire ou mesurer des segments dont la longueur est exprimée sous forme fractionnaire. ◗ Des fractions pour se repérer Connaissances à acquérir ➞ Sur une droite graduée, le nombre associé au repère exprime la longueur de ce repère à l’origine dans l’unité donnée. Ce nombre peut s’écrire sous la forme d’une fraction. ➞ Un même nombre a plusieurs écritures fractionnaires. Par exemple : 6 12 20 2= = = 3 6 10 5 15 25 = = 2 6 10 ➞ On peut utiliser la signification de l’écriture fractionnaire pour passer d’une écriture à une autre. 6 Exemple : il y a six sixièmes dans une unité ( = 1), il y en a 6 1 3 donc la moitié dans une demi-unité ( = ) et cinq fois plus 2 6 5 15 dans cinq demi-unités ( = ). 2 6 UNITÉ apprentissage 3 Je prépare mon bilan ! Manuel p. 50 Q C M5 d Q C M 6 a et d La réponse c permet de déceler les élèves qui décomposent la fraction, sans interroger sa signification, en étendant abusivement aux sixièmes une règle valide pour les fractions de dénominateur 10 : les chiffres qui constituent le numérateur « se retrouvent séparés » dans sa partie entière et au numérateur de la fraction inférieure à 1 qui 23 3 par exemple). complète la décomposition ( = 2 + 10 10 Q C M7 c Les réponses a ou b peuvent être proposées par des élèves qui considèrent la fraction comme un empilement de deux entiers séparés. La réponse d par ceux qui confondent numérateur et dénominateur. Je fais le bilan ! Manuel p. 51 EXERCICE 5 Placer et lire des nombres repères sur une demi-droite graduée 3 6 3 12 6 15 16 8 19 B➝ = C➝ = D➝ E➝ = F➝ A➝ 4 4 2 4 2 4 4 2 4 b. 0 1 2 3 4 5 1 – 4 7 – 4 5 ou 10 – – 2 4 8 – 2 EXERCICE 6 Encadrer une fraction par deux entiers consécutifs 10 15 5 34 a. 2 < < 3 b. 7 < < 8 c. 0 < < 1 d. 3 < < 4 4 2 6 10 131 CONSOLIDATION Je consolide mes connaissances Autres ressources ! Manuel p. 46-47 ! Ateliers À choisir parmi les problèmes non traités. matériel par groupe • lignes graduées en demis, tiers, quarts, cinquièmes, sixièmes ou dixièmes Atelier 1 : Demander de placer ou de lire des nombres repères en choisissant la ligne adaptée parmi un lot de lignes graduées en différentes fractions de la même unité. Atelier 2 : Demander de produire au moins deux autres écritures de nombres donnés en écriture fractionnaire ou sous la forme d’une somme d’un entier et d’une fraction inférieure à 1. ! Activités et exercices pour la calculatrice CM1-CM2 27. Dans l’intervalle ◗ Estimer un résultat apprentissage 4 BILAN Connaissances à acquérir ➞ Pour calculer une valeur approchée d’une somme ou d’une différence (avec une approximation donnée à la dizaine, à la centaine, au millier près…), il faut arrondir les termes de la somme ou de la différence de façon à pouvoir calculer mentalement. Je prépare mon bilan ! Manuel p. 50 Q C M8 b Q C M9 b Je fais le bilan ! Manuel p. 51 CONSOLIDATION EXERCICE 7 Calculer des valeurs approchées de sommes à la dizaine près, à la centaine près Lot 1 : 210 € (220 € est acceptable) Lot 2 : 700 € (800 € est acceptable) Je consolide mes connaissances Autres ressources ! Manuel p. 48-49 À choisir parmi les exercices non traités ! 100 activités et et jeux mathématiques CM1-CM2 13. As du calcul approché 29. Le plus de produits possibles 30. Quatre nombres dans un tableau 35. Aller à 50, 60, 100… ! CD-Rom Jeux interactifs CE2-CM1-CM2 11. As du calcul (domaine additif) – niveau 3 12. Calcul éclair (domaine multiplicatif) – niveaux 1 et 2 CONSOLIDATION BILAN ◗ Aires : doubles et moitiés 132 apprentissage 5 Connaissances à acquérir ➞ Une surface a une aire double de celle d’une surface donnée si on peut la recouvrir exactement par deux surfaces identiques à la surface donnée. Cela peut se faire directement en accolant les deux surfaces ou après transformation de ces surfaces (découpage et réorganisation des parties découpées). ➞ Une surface a une aire moitié de celle d’une surface donnée si on peut la recouvrir exactement d’une surface obtenue en partageant la surface donnée en deux surfaces identiques. Cela peut se faire directement ou après transformation d’une des deux surfaces obtenues par le partage. Je prépare mon bilan Q C M 1 a et d Je fais le bilan ! Cahier p. 22 EXERCICE 1 Reconnaitre des surfaces d’aire double d’une autre donnée Les surfaces C, D, E Je consolide mes connaissances Autres ressources ! Cahier p. 18-19 À choisir parmi les exercices non traités ! Exercices complémentaires matériel • Fiches 31- 32 hatier-clic.fr/CM1capg0306 • papier calque, ciseaux ! Cahier p. 22 ! 100 activités et et jeux mathématiques CM1-CM2 65. Aires quadruples quintuples ◗ Droites perpendiculaires apprentissage 6 BILAN Connaissances à acquérir ➞ Deux droites sont perpendiculaires si elles se coupent en formant un angle droit. – Les 4 angles formés par deux droites perpendiculaires sont des angles droits. – Pour contrôler que deux droites sont perpendiculaires, il suffit de vérifier l’existence d’un seul angle droit. ➞ Ces trois phrases ont la même signification : – Les droites d et g sont perpendiculaires. – La droite d est perpendiculaire à la droite g. – La droite g est perpendiculaire à la droite d. Je prépare mon bilan ! Cahier p. 22 Q C M 2 c et d Perceptivement, les figues a et b peuvent être éliminées. Il faut utiliser l’équerre ou la réquerre pour conclure que les droites des figures c et d sont perpendiculaires. Je fais le bilan ! Cahier p. 22-23 matériel • équerre et règle ou réquerre • crayons ou stylos de couleur EXERCICES 2 et 3 Reconnaitre des droites perpendiculaires 2 a. Non b. Non c. Oui d. Non Cet exercice permet de repérer certaines conceptions erronées (b. et d. reconnues comme perpendiculaires) ou encore une estimation à vue ou une utilisation imprécise des instruments (a.) g d 3 EXERCICE 4 Tracer une droite perpendiculaire à une droite donnée et qui passe par un point de la droite Je consolide mes connaissances Autres ressources ! Cahier p. 20-21 À choisir parmi les exercices non traités ! Ateliers Atelier 1 : Reconnaissance de droites perpendiculaires CONSOLIDATION matériel • règle et équerre ou réquerre • Fiche 33 hatier-clic.fr/CM1capg0307 Il s’agit de reconnaitre : – des droites perpendiculaires isolées en prolongeant au besoin les traits (exercice 1) ; – des droites perpendiculaires dans une figure complexe (exercice 2). Il faut soit effacer mentalement des droites pour étudier la position relative de deux autres droites, soit tourner CONSOLIDATION ◗ Angle : reporter un angle La révision a été axée sur la comparaison d’angles et l’identification d’angles égaux. Les exercices proposés ici visent à travailler le report d’angles pour compléter une figure. la page pour amener une droite en position horizontale, repérer une droite qui pourrait lui être perpendiculaire et vérifier avec l’équerre qu’un des angles formés par les deux droites est un angle droit. Atelier 2 : Tracé de droites perpendiculaires matériel • règle et équerre ou réquerre • la fiche où effectuer les tracés > À réaliser Sur une feuille, tracer deux à quatre droites dans des orientations différentes, marquer un point sur chaque droite. Demander de tracer la droite perpendiculaire à chaque droite qui passe par le point marqué sur la droite. révision Je consolide mes connaissances ! Exercices complémentaires matériel • fiche 34 hatier-clic.fr/CM1capg0308 • morceaux de papier calque environ 7,5 cm × 5 cm • règle graduée Chaque exercice peut être donné à chercher en deux temps : – analyse individuelle ou à deux de la figure (angles et longueur des segments) suivi d’une exploitation collective ; – réalisation individuelle de la poursuite de la figure. 133 UNITÉ 3 liers 3 Ate ca tal UNITÉ lcul men La multiplication Au plus près Cet atelier est destiné à entrainer les élèves à multiplier un nombre par des nombres comme 10, 20, 200… et à additionner ou soustraire des nombres dont l'écriture comporte des 0, ce qui est souvent utile en calcul mental et pour la technique posée de la multiplication. Manuel p. 52 UNITÉ Ateliers 3 calcul mental La mult iplic ation ou Au plus près Matériel • un tableau de nombres comme sur le dessin • 5 cartons retournés portant des nombres (100, 500, 1 000, 2 000, 5 000) • une feuille de papier avec 2 colonnes • un dé, un pion et une calculatrice But du jeu Atteindre un nombre donné ou s’en approcher le plus près possible. MATÉRIEL Déroulement • Un tableau de 9 nombres ➞ fiche 35 hatier-clic.fr/CM1capg0309 • 5 cartons avec les nombres 100, 500, 1 000, 2 000, 5 000 • Un ou deux dés ordinaires • Un pion • Une feuille partagée en 2 colonnes (une par joueur) • Une calculatrice, qui n'est utilisée que pour vérifier le résultat d'un calcul (tous les calculs sont d'abord effectués mentalement ou par écrit). • Tirer un carton portant un nombre : c’est le nombre cible. • Le premier joueur lance le dé et choisit une case du tableau pour y placer le pion. Il multiplie le nombre sous le pion avec le nombre affiché par le dé et écrit le résultat dans sa colonne. • L’autre joueur vérifie le résultat avec la calculatrice. Si le résultat est faux, il est barré. • Le deuxième joueur joue de la même manière. • Aux tours suivants, le joueur peut choisir d’additionner ou de soustraire le nombre obtenu au résultat indiqué dans sa colonne. • Si un joueur obtient exactement le nombre cible, il a gagné ! • Sinon, on s’arrête au bout de 5 tours, et le joueur le plus proche du nombre cible a gagné. UNITÉ 3 Exemple de début de partie. Le carton tiré porte le nombre 1 000 1 2 5 1 2 5 1 2 5 10 20 50 10 20 50 10 20 50 100 200 500 Aya lance le dé et elle place le pion sur 10. Elle calcule 10 × 5 et écrit 50 dans sa colonne. Aya 100 200 500 Milo lance le dé et il place le pion sur 5. Il calcule 5 × 4 et écrit 20 dans sa colonne. Milo 50 Aya Milo 50 20 Variante : Le déroulement est identique, mais le 100 200 500 Aya lance le dé et elle place le pion sur 20. Elle calcule 20 × 6, et ajoute 120 au dernier nombre de sa colonne. Aya Milo 50 170 20 jeu se fait avec deux dés. 52 • cinquante-deux Les cartons portant les nombres visés peuvent être enrichis par des nombres choisis par l'enseignant. Même si son énoncé peut paraitre long, la règle du jeu est très simple. Une partie jouée collectivement peut cependant être nécessaire pour la comprendre. 039-054-Unite 3.indd 52 23/01/2020 18:40 Cette activité a pour objectif d'obliger les élèves à calculer rapidement des sommes, des différences et des produits avec des multiples simples de 10, 100 et 1 000. Ces calculs sont essentiels pour ensuite pratiquer le calcul approché. Les stratégies sont plutôt élémentaires puisqu'il s'agit de tenter de s'approcher et de se maintenir aussi près que possible du nombre de cible ou encore, si possible, de l'atteindre. 135 3 Ateliers UNITÉ problèmes Je résous à mon rythme Les problèmes des séries A et B se situent dans le champ multiplicatif et font le plus souvent appel au sens de la division (recherche de la valeur d’un part ou du nombre de parts). Ceux de la série C se situent dans le champ additif et font appel à des estimations et des calculs exacts. Les élèves sont incités à écrire leurs calculs et, le cas échéant, les étapes intermédiaires de la résolution. Ils doivent enfin formuler une phrase en réponse à la question posée. L'exploitation peut être individuelle, en atelier ou collective, et porter sur la diversité des procédures, leur mise en relation et sur la mise en forme des formes des solutions. Manuel p. 53 Ateliers UNITÉ 3 Je réso us à mon ryth me problèmes Résous ces problèmes. N’oublie pas d’écrire la phrase réponse. Aya, Tom et Romy ont chacun 60 €. a. Aya veut acheter le plus possible de bandes dessinées à 10 € chacune. Combien peut-elle en acheter ? b. Tom veut acheter le plus possible de livres à 9 € chacun. Combien peut-il en acheter ? c. Romy veut acheter le plus possible de calculatrices à 13 € chacune. Combien peut-elle en acheter ? A 1 43 personnes veulent aller voir un match de foot. Elles possèdent des voitures qui peuvent transporter 5 personnes. Combien faut-il prévoir de voitures pour emmener tout le monde ? 2 B 1 ★ s, Écris une question pour ces problème puis réponds à la question. Un groupe de 52 personnes organise une sortie en minibus. Chaque minibus peut transporter 8 personnes. Un automobiliste achète des pneus neufs 80 €. pour sa voiture. Chaque pneu coute Il paie 320 €. 2 ★ C 1 en Paola a déplacé un pion sur une piste partant de la case « Départ » et en faisant est des sauts identiques. En 7 sauts, elle arrivée sur la case 56. à De combien de cases a-t-elle avancé chaque saut ? 3 4 2 ★ veut Dans une feuille comme celle-ci, Milo qui découper des rectangles ou des carrés contiennent tous exactement 36 carreaux. carrés ou s rectangle les tous Quels sont ? découper peut différents que Milo 5 Dans une feuille identique, Aya veut découper des rectangles ou des carrés qui contiennent 29 carreaux. Trouve toutes les possibilités. ou Pour ces problèmes, réponds d’abord en faisant une estimation. Vérifie ensuite en effectuant des calculs précis. Une automobiliste peut parcourir entre 800 km et 900 km avec un plein de carburant. Pour rejoindre son lieu de vacances, elle va faire 3 étapes : une de 219 km, une de 198 km et une de 285 km. Est-elle sure de réaliser tout son trajet sans refaire le plein ? s. Une salle peut accueillir 5 000 personne trois soirs Un spectacle de danse est proposé sur de suite. Les spectateurs se sont inscrits il n’est 3 sites Internet de réservation mais pas sûr que tous puissent être accueillis de venir chaque soir. On leur proposera alors un autre soir. sont Les réservations sur les 3 sites Internet données dans ce tableau. Lundi Mardi Mercredi danse.net 1 780 978 2 853 tickets.eu 2 075 1 446 743 sortir.net 1 790 1 783 1 025 être Les spectateurs pourront-ils toujours accueillis le soir qu’ils ont choisi ? cinquante-trois • 53 23/01/2020 18:40 039-054-Unite 3.indd 53 C A 1 Réunion de valeurs identiques, avec recherche du nombre de parts (quotient d’une division euclidienne) Réponses : a. 6 bandes dessinées b. 6 livres c. 4 calculatrices 2 Réunion de valeurs identiques, avec recherche du nombre de parts (quotient d’une division euclidienne augmenté de 1) Réponse : 9 voitures Ces problèmes permettent de répondre rapidement à l’aide d’approximations dont la précision peut être discutée en classe. 1 Combinaison de distances, avec recherche de la distance totale (estimation) Réponse : estimation de la distance totale : 200 km + 200 km + 300 km = 700 km. Donc le plein sera suffisant (vérification : 219 km + 198 km + 285 km = 702 km) 3 Réunion de valeurs identiques, avec recherche du ★ nombre de parts (quotient d’une division euclidienne) totale (estimation) Réponse : 8 cases. Réponses : Estimation pour le lundi : 1 800 + 2 100 + 1 800 = 5 700 Réponse : non Vérification : 1 780 + 2 075 + 1 790 = 5 645 Estimation pour le mardi : 1 000 + 1 500 + 1 800 = 4 300 Réponse : oui Vérification : 978 + 1 446 + 1 783 = 4 207 Estimation pour le mercredi : 2 900 + 700 + 1 000 = 4 600 Réponse : oui Vérification : 2 853 + 743 + 1 025 = 4 621 5 Objets en disposition rectangulaire (décomposition...) 4 Réponses : 4 2 × 18 ; 3 × 12 ; 4 × 9 ; 6 × 6 La solution 1 × 36 est écartée du fait des dimensions de la feuille. Les décompositions 2 × 18 et 18 × 2 sont reconnues comme égales et chacune peut être associée à deux rectangles, un en disposition « horizontale » et l'autre en disposition « verticale » 5 La seule possibilité serait 1 × 29, écartée du fait des dimensions de la feuille B ★ ★ 1 2 Demander aux élèves de poser des questions auxquelles on puisse répondre avec les seules données fournies. Réponse : 1 Combien faut-il prévoir de minibus ? Réponse : 7 minibus 2 Combien de pneus a-t-il achetés ? Réponse : 4 pneus 136 2 Combinaison de quantités, avec recherche de la quantité UNITÉ 3 Les maths dans la vie Avec une feuille de papier Dans cette série de problèmes, il s’agit d’effectuer des tracés, avec contraintes, de carrés ou de rectangles sur une feuille de papier au format A4 et d’envisager différentes possibilités. Les élèves disposent de leurs instruments de géométrie, mais peuvent toutefois résoudre certains problèmes par pliage. Les problèmes 4 et 6 peuvent faire l’objet d’un travail en binômes. Manuel p. 54 Les maths dans la vie Vidéo La fabrication du papier Avec une feuille de papier hatier-clic.fr/CM1cap103 Le papier est fabriqué à partir de bois mais aussi de textiles recyclés. Il est produit sous forme de bobines ou de feuilles de formats divers. Une grande partie du papier produit est utilisée comme support d’impression (livres, journaux, magazines, cartes, affiches... ), d’écriture ou de dessin. Tu vas réaliser des cartes de vœux, d’anniversaire, des marque-pages, des cartes à jouer ou des enveloppes en utilisant une feuille de papier. Pour résoudre ces problèmes, tu vas utiliser ton double décimètre, ton équerre, tes ciseaux et plusieurs feuilles de papier au format A4. Les dimensions d’une feuille sont 21 cm et 29 cm 7 mm. 1 Pour faire des cartes, on partage la feuille de papier en 2 rectangles identiques . a. Combien y a-t-il de façons différentes de le faire ? b. Quelles sont les dimensions des rectangles obtenus (arrondies au mm) ? 2 Pour faire des cartes plus petites ou des marque-pages on peut partager la feuille en 4 rectangles tous identiques. a. Combien y a-t-il de façons différentes de le faire ? Pour chaque partage, fais un schéma qui montre où sont les traits de partage. b. Quelles sont les dimensions des rectangles obtenus ? 1 objectifs : – Organiser une recherche ; mettre en œuvre un raisonnement. Réponses : a. 2 façons : il suffit de joindre les milieux de deux côtés opposés du rectangle. b. 10 cm 5 mm par 29 cm 7 mm ; 21 cm par 14 cm 8 mm (ou 14 cm 9 mm). 3 La difficulté consiste à trouver la moitié de 29 cm 7 mm. 4 Pour faire des marqueplaces, on découpe des rectangles dont les dimensions sont 4 cm et 8 cm. Dans la feuille de papier, on veut tracer le plus possible de ces rectangles. a. Quel est le plus grand nombre de rectangles qu’on peut tracer ? b. Fais un schéma qui montre comment il faut les disposer dans la feuille. ★ 5 6 ★ Pour faire une enveloppe, on a besoin d’une feuille carrée. On veut découper le plus grand carré possible dans une feuille de papier. Quelle est la longueur de ses côtés ? Comment obtenir ce carré en pliant la feuille ? Suis la notice pour créer l’enveloppe rectangulaire à partir de la feuille carrée. Pour faire des cartes à jouer on peut partager la feuille en 16 rectangles tous identiques a. Fais un schéma qui montre où peuvent être les traits de partage. b. Quelles sont les dimensions des rectangles obtenus ? 54 • cinquante-quatre 2 objectifs : 039-054-Unite 3.indd 54 – Organiser une recherche ; mettre en œuvre un raisonnement. Les élèves peuvent réinvestir ce qui a été fait précédemment. Réponse : a. 3 façons : 1. Tracer les segments qui joignent les milieux des côtés opposés de la feuille. 2. Partager sa longueur en 4 segments de même longueur. 3. Partager sa largeur en 4 segments de même longueur. 1 2 3 23/01/2020 18:40 ★ 4 objectifs : – Organiser une recherche ; mettre en œuvre un raisonnement, faire des essais. Réponse : 17 rectangles Les élèves peuvent commencer par disposer des rectangles selon leurs largeurs sur la longueur de la feuille (figure 1) ou sur la largeur de la feuille (figure 2) et poursuivre en disposant des rectangles pour occuper au maximum l’espace restant. b. 14 cm 8 mm (ou 14 cm 9 mm) par 10 cm 5 mm ; 21 cm par 7 cm 4 mm (ou 7 cm 5 mm) ; 29 cm 7 mm par 5 cm 2 mm (ou 5 cm 3 mm). figure 1 3 objectifs : – Organiser une recherche ; mettre en œuvre un raisonnement Réponse : a. 1 2 3 Il y a plusieurs façons de partager la feuille en 16 rectangles identiques, en utilisant ce qui a été fait précédemment : 1. Partager sa longueur et sa largeur en 4 segments de même longueur. 2. Partager sa largeur en 2 segments de même longueur et sa longueur en 8 segments de même longueur ou inversement. 3. Partager sa longueur ou sa largeur en 16 segments de même longueur. Seul le partage 1 correspond à des proportions réalistes entre longueur et largeur d’une carte à jouer. b. 5 cm 2 mm (ou 5 cm 3 mm) par 7 cm 4 mm (ou 7 cm 5 mm) figure 2 5 objectifs : – Mobiliser les propriétés d’égalités de longueur des côtés du carré. Réponse : Le côté du plus grand carré possible mesure 21 cm. La procédure consiste à amener par pliage la largeur de la feuille rectangulaire sur sa longueur. Le pli constitue une diagonale du carré. 1 2 ★ 6 objectifs : – Lire et interpréter une notice, exécuter des consignes données sous la forme de dessins codés. L’interprétation des dessins pourra être faite collectivement : les traits pointillés correspondent soit à un pli, soit à la partie de la feuille qui doit être pliée, les flèches indiquent quelle partie doit être rabattue sur quelle autre. L’interprétation du dessin de l’étape 4 doit faire l’objet d’une attention toute particulière. 137 UNITÉ 3 UNITÉ Toutes les ressources imprimables de l'unité : hatier-clic.fr/CM1capg04 Le DÉROULEMENT 4 LE CALCUL MENTAL Mes rituels de calcul mental (15 minutes) Problèmes Proportionnalité n Fractions Lecture – écriture Utilisation des propriétés de linéarité n Fractions d'une quantité Mémorisation et réflexion Addition et soustraction de dizaines ou de centaines à un nombre Fractions en dixièmes n Addition de fractions et d'entiers Fractions en dixièmes n Utilisation des propriétés de linéarité n n guide p. 140 manuel p. 55 Fractions en demis, tiers, quarts, dixièmes n Nombres < 1 000 Tables de multiplication et multiplication par 10, 100, 20, 200… n Ateliers de calcul mental Nombres < 1 000 Calcul approché de sommes et de différences Produits, facteurs d'un produit guide p. 167 manuel p. 68 Le jeu de l'oie des fractions Les RÉVISIONS et APPRENTISSAGES RÉVISER APPRENDRE 10 ou 11 séances de 15 min 10 ou 11 séances de 45 min guide p. 142 manuel p. 56 Problèmes Gestion de données guide p. 145 manuel p. 58 Problèmes : proportionnalité – Utilisation des propriétés de linéarité Tableaux et diagrammes ex. 1 et 2 guide p. 142 manuel p. 56 Nombres et numération – Organiser et représenter des données guide p. 148 et 151 manuel p. 60 et p. 62 Fractions – Repérage sur une ligne graduée Les températures ex. 3 et 4 Les nombres jusqu'à 999 999 Des milliers d'habitants – Unités de numération, désignation en chiffres et en lettres Rangement et lignes graduées Les nombres mystérieux – Association de nombres et de repères sur une ligne graduée – Rangement et encadrement, notion d'arrondi guide p. 142 manuel p. 56-57 Calcul approché de sommes et de différences – Estimations à la centaine près, à la dizaine près Calculs ex. 5 Des nombres cibles guide p. 154 manuel p. 64 Multiplication : calcul posé Multiplication en colonnes – Calcul de produits à l'aide d'une opération posée en colonnes – Décomposition avec l’addition, la soustraction, la multiplication ex. 6 guide p. 143 manuel p. 57 Horaires et durées en heures, minutes et secondes ex. 7 à 13 Grandeurs et mesures guide p. 157 cahier p. 25 Mesure d’aires Mesurer des aires – Mesure d'une aire, une unité d'aire étant donnée guide p. 144 cahier p. 24 guide p. 160 cahier p. 27 Cercle Espace et géométrie – Reconnaissance, description, construction ex. 1 à 3 La même figure – Analyser une figure, élaborer une stratégie de construction Géométrie sur écran hatier-clic.fr/CM1capgecran04 GéoTortue (4) : Programmer la construction d’un rectangle Je prépare mon bilan BILAN PROBLÈMES Reproduction de figures manuel p. 66 Je fais le bilan cahier p. 29 manuel p. 67 Ateliers : Je résous à mon rythme n Problèmes du domaine multiplicatif et du domaine additif manuel p. 69 Les maths dans la vie n Des abeilles et du miel Une évaluation trimestrielle est prévue en fin d'unité. Les documents sont téléchargeables 138 cahier p. 29-30 manuel p. 70 hatier-clic.fr/CM1capgevaltrim01 ZOOM sur les APPRENTISSAGES PROBLÈMES PROPOSÉS Problèmes • Compléter un tableau Tableaux et un diagramme, et diagrammes les mettre en relation propriétés • La longueur des barres d'un diagramme est proportionnelle à la grandeur représentée apprentissage 1 PROBLÈMES PROPOSÉS • Exprimer des populations Nombres (en unités entiers de numération, en lettres) Nombres < million • Placer des nombres apprentissages 2 et 3 sur des lignes graduées PROBLÈMES PROPOSÉS propriétés Multiplication posée • Expliquer les étapes du calcul d'une multiplication posée • Lecture dans un tableau à double entrée langage • Tableau, ligne, colonne • Diagramme, barre • Lecture et tracé d'un diagramme à barres résultats et procédures langage • Valeur des chiffres en fonction de leur rang • Relations entre unités de numération • Noms des unités de numération, classe • Principes d'une graduation régulière • Comparaison, rangement de nombres • Lecture des nombres < million • Arrondi et placement approximatif sur une ligne graduée • Graduation, pas, nombre repère propriétés • Associativité de la multiplication Calculs résultats et procédures • Distributivité de la multiplication sur l'addition résultats et procédures • Calcul d'une multiplication en colonnes • Arrondi langage • Retenue apprentissage 4 PROBLÈMES PROPOSÉS Grandeurs et mesures Aires • Comparer, mesurer des aires apprentissage 5 PROBLÈMES PROPOSÉS Espace et géométrie Figures complexes apprentissage 6 • Reproduire une figure complexe propriétés résultats et procédures • Mesure comme nombre • Mesure par pavage de reports de l'unité • Transformation • La mesure dépend d'une surface de l'unité choisie en surface d'aire connue par découpages et recollements propriétés • Une figure complexe est un assemblage de lignes ou de figures connues résultats et procédures • Faire apparaitre des figures simples dans une figure complexe langage • Unité d'aire • Mesure d'aire langage • Langage attaché aux figures et à leurs propriétés • Repérer et utiliser les propriétés des figures • Décider d’un ordre de tracé • Contrôler ses actions 139 UNITÉ 4 UNITÉ 4 Rituels de calcul mental Ces questions sont proposées oralement aux élèves qui répondent par écrit dans leur cahier ou sur l'ardoise. Les questions figurant dans le manuel (Mes rituels de calcul mental p. 55) viennent en complément et peuvent être utilisées soit en vue de préparer les moments collectifs, soit en vue d’un entrainement supplémentaire. Des ateliers sont également proposés dans le manuel. Problèmes b. Sophie a ramassé 10 coquillages. Milo n'a ramassé que trois dixièmes de cette quantité. Combien a-t-il ramassé de coquillages ? c. Nadia a ramassé 50 coquillages. Alice n'a ramassé que quatre dixièmes de cette quantité. Combien a-t-elle ramassé de coquillages ? Utilisation des propriétés de linéarité, fraction d'une quantité Reproduire l'illustration au tableau et formuler deux fois chaque énoncé. ● À l’issue de la résolution de chaque problème ou de l’ensemble des problèmes, exploiter les réponses des élèves : repérage des erreurs de calcul, formulation des procédures en montrant leur équivalence… ● Pour les problèmes de proportionnalité, les réponses correctes sont notées et conservées sous la forme : … bandes ➝ … cm ● Jour 1 Proportionnalité En mettant bout à bout 3 bandes identiques, on obtient une longueur de 6 cm. 6 cm a. On met 6 bandes comme celles-ci bout à bout. Quelle sera la longueur totale ? b. On met 15 bandes comme celles-ci bout à bout. Quelle sera la longueur totale ? c. On met 30 bandes comme celles-ci bout à bout. Quelle sera la longueur totale ? GUIDE : a. 12 cm b. 30 cm c. 60 cm MANUEL : a. 12 cm b. 30 cm Ces problèmes sont relatifs à des situations de proportionnalité voisines de celles qui ont été traitées en unité 3. Ils peuvent être résolus en identifiant des relations simples entre les données. Le choix des données permet les raisonnements suivants : a. « 2 fois plus de bandes, donc 2 fois plus long » ; b. « 5 fois plus de bandes, donc 5 fois plus long » ; c. « 10 fois plus de bandes, donc 10 fois plus long ». Il est aussi possible de passer par la longueur d'une bande (2 cm). Jour 2 Proportionnalité En mettant bout à bout 3 bandes identiques, on obtient une longueur de 7 cm. 7 cm Combien faut-il mettre de bandes bout à bout pour obtenir : a. 14 cm ? b. 35 cm ? c. 70 cm ? GUIDE : a. 6 bandes b. 15 bandes c. 30 bandes MANUEL : a. 4 bandes b. 8 bandes c. 20 bandes Le choix de données ici favorise les raisonnements du type : « 2 fois plus long, donc 2 fois plus de bandes » (a.). Jour 3 Problèmes de fraction d'une quantité a. Théo a ramassé 20 coquillages. Leila n'a ramassé que le dixième de cette quantité. Combien a-t-elle ramassé de coquillages ? 140 GUIDE : a. 2 coquillages b. 3 coquillages c. 20 coquillages MANUEL : a. 3 galets b. 2 galets c. 30 galets Addition, soustraction de dizaines ou de centaines Ajout, retrait d’une dizaine ou d’une centaine entière à un nombre Lors de la correction, faire remarquer qu’ajouter ou soustraire, par exemple 20, revient à ajouter ou soustraire 2 dizaines, ce qui rend la tâche plus facile. ● Jour 4 Calculs dictés a. 78 + 20 b. 157 + 20 e. 75 – 20 f. 120 – 40 c. 450 + 50 g. 607 – 600 d. 195 + 10 h. 320 – 30 GUIDE :: a. 98 b. 177 c. 500 d. 205 e. 55 f. 80 g. 7 h. 290 MANUEL : a. 65 b. 195 c. 400 d. 405 e. 25 f. 70 g. 35 h. 180 Jour 5 Calculs dictés a. 235 + 50 b. 377 + 200 e. 255 – 40 f. 730 – 30 c. 180 + 60 g. 210 – 50 d. 275 + 30 h. 735 – 500 GUIDE : a. 285 b. 577 c. 240 d. 305 e. 215 f. 700 g. 160 h. 235 MANUEL : a. 248 b. 735 c. 310 d. 215 e. 155 f. 320 g. 270 h. 445 Fractions Écriture de fractions en chiffres (en dixièmes) Il s’agit de familiariser les élèves avec les désignations orales et écrites des fractions. ● Jour 6 Fractions dictées a. sept dixièmes b. dix-huit dixièmes c. trente-cinq dixièmes d. soixante-trois dixièmes e. quarante dixièmes f. cent-quatre dixièmes 7 18 35 63 40 104 b. c. d. e. f. 10 10 10 10 10 10 3 17 23 30 100 b. c. d. e. MANUEL : a. 10 10 10 10 10 GUIDE : a. Bien que ce ne soit pas attendu, on pourra rebondir sur des propositions d’élèves qui veulent mettre en évidence que 40 30 100 = 4, = 3, = 10. 10 10 10 d. 167 + 402 + 34 e. 81 – 38 f. 395 – 96 g. 178 – 29 h. 401 – 293 Addition de fractions et d'entiers Addition d’un nombre entier et d’une fraction Préciser aux élèves qu'il faut écrire le résultat à l'aide d'un nombre entier à chaque fois que c'est possible, ou d'une seule fraction. Ils devront utiliser les relations entre 2 3 1 et les fractions (deux demis), (trois tiers)... 2 3 Jour 7 Calculs dictés a. un plus un tiers b. un plus deux tiers c. un quart plus trois quarts d. cinq dixièmes plus cinq dixièmes e. un plus deux dixièmes f. vingt-cinq dixièmes plus cinq dixièmes GUIDE : a. 4 10 et 4 10 sont correctes, mais on incite les élèves à fournir des réponses en nombres entiers. 3 5 11 MANUEL : a. b. c. 2 d. e. 2 2 2 10 Calcul approché de sommes et de différences Choix d'une bonne approximation d'une somme ou d'une différence Dicter les calculs et écrire au tableau les nombres parmi lesquels il faut choisir. Si nécessaire, écrire également les calculs au tableau. ● r 500 600 450 650 60 300 170 200 GUIDE : a. 500 b. 700 c. 500 d. 600 e. 40 f. 300 g. 150 h. 100 MANUEL : a. 800 b. 900 c. 450 (400 est aussi accepté) d. 40 e. 100 f. 40 ● Pour c. et d. par exemple, les réponses 400 500 400 600 50 250 160 150 Tables de multiplication, multiplication par 10, 20… Tables de multiplication : produits, recherche d'un facteur Multiplication par un multiple de 10 : produits, recherche d'un facteur 4 5 12 b. c. 1 d. 1 e. f. 3 3 3 10 Jour 8 Calculs dictés a. 305 + 187 b. 488 + 219 c. 58 + 143 + 298 550 40 200 150 100 600 700 500 Lire 7 × 6 sous la forme « 7 fois 6 ». Jour 9 Calculs dictés a. 7 × 9 b. 4 × 9 c. 8 × 6 d. 7 × 8 e. 9 × 4 f. Combien de fois 6 dans 24 ? g. Combien de fois 9 dans 45 ? h. Combien de fois 9 dans 54 ? UNITÉ 4 GUIDE : a. 63 b. 36 c. 48 d. 56 e. 36 f. 4 g. 5 h. 6 MANUEL : a. 42 b. 56 c. 54 d. 49 e. 3 f. 6 g. 6 Jour 10 Calculs dictés a. 9 × 20 b. 9 × 50 c. 3 × 400 d. 8 × 70 e. Combien de fois 50 dans 250 ? f. Combien de fois 3 dans 210 ? g. Combien de fois 20 dans 140 ? h. Combien de fois 50 dans 3 500 ? GUIDE : a. 180 b. 450 c. 1 200 d. 560 e. 5 f. 70 g. 7 h. 70 MANUEL : a. 160 b. 320 c. 1 200 d. 360 e. 5 f. 5 g. 5 Voir aussi Ateliers de calcul mental (p. 68) 141 Révisions Ces exercices de révision sont destinés à raviver des connaissances et des compétences travaillées dans les unités précédentes ou à entretenir celles qui sont travaillées dans cette unité. Ils sont à proposer aux élèves en fonction de leurs besoins particuliers identifiés lors des activités d'apprentissage ou au moment des bilans, en classe entière ou en ateliers différenciés et, éventuellement préparés à la maison. Ils sont conçus pour une durée quoidienne d'environ 15 min. Manuel p. 56-57 EXERCICES 3 Problèmes Proportionnalité Je révise UNITÉ 4 ® Ces exercices de reprise d’apprentissage sont à répartir sur l’unité. PROBLÈMES 1 2 Selon la boutique, les tablettes de chocolat sont vendues par lots de 2 tablettes ou de 3 tablettes. Milo doit acheter 12 tablettes de chocolat. Aya a constaté qu’en plaçant bout à bout ses pieds 5 fois, elle obtenait une distance de 90 cm. – Utilisation des propriétés de linéarité Quelles distances obtient-elle en plaçant ses pieds bout à bout : a. 10 fois ? c. 40 fois ? b. 15 fois ? d. 45 fois ? Dans quel magasin paiera-t-il le moins cher ? Combien économisera-t-il ? Les élèves doivent repérer que la ligne est graduée en dixièmes et qu’il est possible de la graduer en cinquièmes (un cinquième = deux dixièmes) et en demis (un demi = cinq dixièmes). Dans l’exercice 4, le placement des fractions supérieures à 1 peut se faire après avoir cherché leurs décompositions en la somme de leur partie entière et d’une fraction inférieure à 1. Réponses : UNITÉ 44 FRACTIONS 0 1 EXERCICE 1 A 3 B 2 C Le choix des nombres ne permet pas (ou difficilement) le passage par le prix d’une tablette. Les élèves doivent donc repérer que 12 tablettes, c’est 6 fois 2 tablettes ou 4 fois 3 tablettes et que le prix à payer est 6 fois (ou 4 fois) le cout de 2 (ou 3) tablettes. Un schéma sommaire des tablettes peut être suggéré pour aider à conduire ce raisonnement. 1 4 a. Recopie la ligne graduée. Place ces fractions : 21 ; 8 ; 13 ; 3 ; 7 . 10 5 10 2 10 b. Écris ces fractions sous la forme de la somme d’un nombre entier et d’une fraction inférieure à 1. a. Je révise Un chauffeur de car a noté les distances qu’il a parcourues pendant la semaine. a. Quelle est approximativement, à la centaine de kilomètres près, la distance totale parcourue par le chauffeur de car ? b. Le jeudi, il a parcouru plus de kilomètres que le vendredi. Combien de plus ? Donne la réponse à la dizaine de kilomètres près. c. Le lundi, il a parcouru plus de kilomètres que le vendredi. Combien de plus ? Donne la réponse à la dizaine de kilomètres près. Réponse : Le moins cher : La maison du Chocolat (Délices Chocolat : 30 € ; La maison du Chocolat : 28 €) Gain : 2 € 56 • cinquante-six EXERCICE 2 055-071-Unite 4.indd 56 24/01/2020 10:24 Dans tous les cas, il est possible de passer par la longueur d’un pied. Pour a., b. et c., il est également possible d’utiliser les mêmes types de raisonnement que dans l'exercice 1 : – pour 10 pieds : on peut prendre 2 fois la longueur de 5 pieds ; – pour 15 pieds : on peut soit prendre 3 fois la longueur de 5 pieds, soit chercher la longueur de 10 pieds (question a.) et ajouter ensuite la longueur de 5 pieds ; – pour 40 pieds : on peut prendre 8 fois la longueur de 5 pieds ou 4 fois la longueur de 10 pieds. Pour d., il est possible de multiplier par 9 la distance donnée pour 5 pieds ou d'additionner les distances pour 40 fois UNITÉ Je révise c.) et pour 5 fois (donnée de l'énoncé). Il est aussi 4(question possible de chercher d’abord la longueur d’un pied (ici 18 cm), puis de multiplier cette longueur par 45. ® Ces exercices de reprise d’apprentissage sont à répartir sur l’unité. 1 2 Selon la boutique, les tablettes de chocolat sont vendues par lots de 2 tablettes ou de 3 tablettes. Milo doit acheter 12 tablettes de chocolat. Aya a constaté qu’en plaçant bout à bout ses pieds 5 fois, elle obtenait une distance de 90 cm. Réponses : a.180 cm b. 270 cm c. 720 cm d. 810 cm Fractions Quelles distances obtient-elle en plaçant ses pieds bout à bout : a. 10 fois ? c. 40 fois ? b. 15 fois ? d. 45 fois ? Repérage sur une ligne graduée Dans quel magasin paiera-t-il le moins cher ? Combien économisera-t-il ? FRACTIONS 0 1 A B 2 C 3 Écris les fractions qui correspondent aux repères A, B, et C. 4 21 8 13 3 7 ; ; ; ; . a. Recopie la ligne graduée. Place ces fractions : 10 5 10 2 10 b. Écris ces fractions sous la forme de la somme d’un nombre entier et d’une fraction inférieure à 1. CALCUL APPROCHÉ DE SOMMES ET DE DIFFÉRENCES Tu ne dois ni poser d’opération, ni utiliser la calculatrice. 5 142 Un chauffeur de car a noté les distances qu’il a parcourues pendant la semaine. a. Quelle est approximativement, à la centaine de kilomètres près, la distance totale parcourue par le chauffeur de car ? b. Le jeudi, il a parcouru plus de kilomètres que le vendredi. Combien de plus ? Donne la réponse à la dizaine de kilomètres près. c. Le lundi, il a parcouru plus de kilomètres que le vendredi. Combien de plus ? Donne la réponse à la dizaine de kilomètres près. 56 • cinquante-six 3 10 0 – Relation entre fractions et repères sur une ligne graduée (demis, cinquièmes, dixièmes) B! 2 5 1 = 10 2 C! 11 10 ® Ces exercices de reprise d’apprentissage sont à répartir sur l’unité. 1 2 Aya a constaté qu’en plaçant bout à bout ses pieds 5 fois, elle obtenait une distance de 90 cm. Selon la boutique, les tablettes de chocolat sont vendues par lots de 2 tablettes ou de 3 tablettes. Milo doit acheter 12 tablettes de chocolat. 7 – 10 CALCUL APPROCHÉ DE SOMMES ET DE DIFFÉRENCES Tu ne dois ni poser d’opération, ni utiliser la calculatrice. PROBLÈMES A! 3 PROBLÈMES Écris les fractions qui correspondent aux repères A, B, et C. 5 4 13 – 10 3 8 –– 2 5 21 – 10 Quelles distances obtient-elle en plaçant ses pieds bout à bout : ? ?3 21 1 8 3a. 10 fois 6 c.d. 4045 fois 1 5 fois ?1 + fois ? quel =magasin 2 +paiera-t-il le moins cher=? 1 + b. 15ou = 1 + ou 1 + b. Dans Combien économisera-t-il ? 10 10 5 5 10 2 2 10 FRACTIONS 13 3 7 7 =1+ =0+ 10 10 10 10 0 1 A 3 B 2 C Écris les fractions qui correspondent aux repères A, B, et C. Calcul approché de sommes et de différences 4 a. Recopie la ligne graduée. Place ces fractions : 21 ; 8 ; 13 ; 3 ; 7 . 10 5 10 2 10 b. Écris ces fractions sous la forme de la somme d’un nombre entier et d’une fraction inférieure à 1. – Estimation de sommes et de différences à la centaine et à la dizaine près CALCUL APPROCHÉ DE SOMMES ET DE DIFFÉRENCES Tu ne dois ni poser d’opération, ni utiliser la calculatrice. 5 Un chauffeur de car a noté les distances qu’il a parcourues pendant la semaine. a. Quelle est approximativement, à la centaine de kilomètres près, la distance totale parcourue par le chauffeur de car ? b. Le jeudi, il a parcouru plus de kilomètres que le vendredi. Combien de plus ? Donne la réponse à la dizaine de kilomètres près. c. Le lundi, il a parcouru plus de kilomètres que le vendredi. Combien de plus ? Donne la réponse à la dizaine de kilomètres près. 56 • cinquante-six EXERCICE 5 055-071-Unite 4.indd 56 24/01/2020 10:24 La validation de la meilleure approximation peut être faite par le calcul exact des résultats, à l’aide d’une calculatrice. Réponses : a. approximation : 2 100 km (2 000 km peut être accepté) ; réponse exacte : 2 072 km b. approximation : 120 km (ou 130 km) ; réponse exacte : 123 km c. approximation : 630 km (ou 640 km) ; réponse exacte : 636 km Des nombres cibles Calcul réfléchi DES NOMBRES CIBLES La calculatrice n’est pas autorisée. 6 8 28 30 75 4 5 Nombres cibles 7 10 12 15 Cartes nombres Avec les opérations , trouve au moins une façon d’atteindre chacun des nombres cibles. Pour chaque nombre cible, tu ne peux utiliser qu’une seule fois chaque carte nombre. HORAIRES ET DURÉES EN HEURES, MINUTES ET SECONDES 7 – Décomposition de nombres avec des nombres et des opérations données Complète les suites des affichages de l’horloge. a. 08 : 19 : 55 ➞ 08 : 19 : 56 ➞ 08 : 19 : 57 ➞ ... ➞ ... ➞ ... ➞ ... b. 14 : 37 : 57 ➞ 14 : 37 : 58 ➞ 14 : 37 : 59 ➞ ... ➞ ... ➞ ... ➞ ... EXERCICE c. 11 : 59 : 56 ➞ 11 : 59 :6 57 ➞ 11 : 59 : 58 ➞ ... ➞ ... ➞ ... ➞ ... d. 23 : 59 : 56 ➞ 23 : 59 : 57 ➞ 23 : 59 : 58 ➞ ... ➞ ... ➞ ... ➞ ... Voir commentaire de l’unité 3, page 108 du guide. 8 Complète les suites d’horaires. a. 9 h 30 min 15 s ➞ 9 h 30 min 30 s ➞ 9 h 30 min 45 s ➞ ... ➞ ... ➞ ... b. 13 h 35 min ➞ 13 h 45 min ➞ 13 h 55 min ➞ ... ➞ ... ➞ ... c. 23 h 59 min 15 s ➞ 23 h 59 min 30 s ➞ 23 h 59 min 45 s ➞ ... ➞ ... ➞ ... 9 Réponds à ces questions. a. C’est l’après-midi. Quelle heure sera-t-il dans une demi-heure ? 10 À quelle heure l’émission se termine-t-elle ? b. C’est le matin. Dans combien de temps sera-t-il 9 heures ? 11 Le cours de guitare de Romy commence à 17 h 50 et se termine à 19 h 15. Combien de temps dure-t-il ? 12 Le mercredi après-midi, Aya enchaine (4 × 5) – 12 15 + 12 + 5 – 4 5 × (10 – 4) (7 × 10) + 5 Réponses possibles : 8 ! 12 – 4 28 ! 4 × 7 30 ! 10 × (7 – 4) 75 ! 5 × 15 Durées en heures, minutes et secondes Horaires et durées MATÉRIEL Ces exercices permettent de revenir sur des problèmes liés aux durées et de mettre en œuvre les relations entre heure et minute et entre minute et seconde. pour la classe • horloge ➞ Mallette ou une horloge analogique • horloge à affichage digital par équipe • horloge ➞ Mallette EXERCICE ORAL Reprise du jeu du furet avec les horaires proposés. Pour les règles du jeu du furet, voir révision de l’unité 2, p. 75, exercice 15. Horaire de début intervalle de durée 22 h 50 1 min 8 h 35 10 min 17 h 30 min 45 s 1s 18 h 55 min 30 s 30 s Discuter si besoin des procédures pour obtenir l’horaire de fin connaissant l’horaire de début et la durée. Par exemple, pour connaitre l’horaire correspondant à 10 min après 8 h 55 min, on peut compléter à l’heure entière. Il manque 5 min pour aller à 9 h, il faut encore ajouter 5 min, il sera donc 9 h 5 min. DES NOMBRES CIBLES La calculatrice n’est pas autorisée. 6 8 28 30 75 4 5 Nombres cibles 7 10 12 15 Cartes nombres EXERCICES ÉCRITS Avec les opérations , trouve au moins une façon d’atteindre chacun des nombres cibles. Pour chaque nombre cible, tu ne peux utiliser qu’une seule fois chaque carte nombre. HORAIRES ET DURÉES EN HEURES, MINUTES ET SECONDES 7 – Calcul d'une durée entre 2 instants ou d'un instant à partir d'un autre instant et d'une durée Complète les suites des affichages de l’horloge. a. 08 : 19 : 55 ➞ 08 : 19 : 56 ➞ 08 : 19 : 57 ➞ ... ➞ ... ➞ ... ➞ ... b. 14 : 37 : 57 ➞ 14 : 37 : 58 ➞ 14 : 37 : 59 ➞ ... ➞ ... ➞ ... ➞ ... c. 11 : 59 : 56 ➞ 11 : 59 : 57 ➞ 11 : 59 : 58 ➞ ... ➞ ... ➞ ... ➞ ... d. 23 : 59 : 56 ➞ 23 : 59 : 57 ➞ 23 : 59 : 58 ➞ ... ➞ ... ➞ ... ➞ ... 8 Complète les suites d’horaires. a. 9 h 30 min 15 s ➞ 9 h 30 min 30 s ➞ 9 h 30 min 45 s ➞ ... ➞ ... ➞ ... b. 13 h 35 min ➞ 13 h 45 min ➞ 13 h 55 min ➞ ... ➞ ... ➞ ... c. 23 h 59 min 15 s ➞ 23 h 59 min 30 s ➞ 23 h 59 min 45 s ➞ ... ➞ ... ➞ ... 10 9 Réponds à ces questions. a. C’est l’après-midi. Quelle heure sera-t-il dans une demi-heure ? 11 Le cours de guitare de Romy commence à 17 h 50 et se termine à 19 h 15. Combien de temps dure-t-il ? 12 Le mercredi après-midi, Aya enchaine c. Il est 10 h 15. Dans combien de temps sera-t-il 11 heures ? d. Il est midi et demi. Quelle heure sera-t-il dans 50 minutes ? e. Il est 5 heures moins le quart. Dans combien de temps sera-t-il 5 heures ? f. Il est 11 heures moins 20. Quelle heure sera-t-il dans un quart d’heure ? une séance d’échauffement et une séance de foot. L’échauffement dure 25 min et la séance de foot trois quarts d’heure. Pendant combien de temps Aya fait-elle du sport le mercredi après-midi ? 13 Milo fait le montage d’un petit film en mettant bout à bout une première séquence de 2 min 32 s, une deuxième de 1 min 17 s et une troisième de 3 min 25 s. Quelle est la durée du film ? cinquante-sept • 57 EXERCICES 7 055-071-Unite 4.indd 57 8 EXERCICE 9 Cet exercice propose deux tâches : ● Trouver le complément en minutes à l’heure suivante. Pour cela, les élèves peuvent : – visualiser la position des aiguilles pour l’horaire du début et imaginer ce que la grande aiguille a à parcourir sur l’horloge ; – réaliser concrètement cette manipulation sur leur horloge individuelle ; – calculer le complément à 60 du nombre de minutes. ● Obtenir l’horaire de fin connaissant l’horaire de début et la durée. Pour cela, les élèves peuvent : – visualiser la position des aiguilles pour l’horaire du début et imaginer la rotation de la grande aiguille ; – prendre appui sur un horaire rond (en heures entières) ; – appuyer leur raisonnement sur un schéma linéaire par exemple, pour le d. : 12 h 30 13 h 30 min 13 h 20 ? = 20 min 50 min Aide Autoriser les élèves en difficulté à utiliser leur horloge individuelle. Réponses : a. 14 h 40 ou 3 h moins 20 de l'après-midi b. 20 min c. 45 min ou 3 quarts d’heure d. 13 h 20 ou 1 h 20 de l’après-midi e. un quart d’heure ou 15 min f. 10 h 55 ou 11 h moins cinq EXERCICES 10 11 À quelle heure l’émission se termine-t-elle ? b. C’est le matin. Dans combien de temps sera-t-il 9 heures ? Réponses : 7 a. 08 : 19 : 58 ➞ 08 : 19 : 59 ➞ 08 : 20 : 00 ➞ 08 : 20 : 01 b. 14 : 38 : 00 ➞ 14 : 38 : 01 ➞ 14 : 38 : 02 ➞ 14 : 38 : 03 c. 11 : 59 : 59 ➞ 12 : 00 : 00 ➞ 12 : 00 : 01 ➞ 12 : 00 : 02 d. 23 : 59 : 59 ➞ 00 : 00 : 00 ➞ 00 : 00 : 01 ➞ 00 : 00 : 02 8 a. 9 h 31 min 0 s ➞ 9 h 31 min 15 s ➞ 9 h 31 min 30 s b. 14 h 5 min ➞ 14 h 15 min ➞ 14 h 25 min c. 0 h 0 min 0 s ➞ 0 h 0 min 15 s ➞ 0 h 0 min 30 s 24/01/2020 10:24 Pour l’exercice 7 : Pour les élèves qui ont des difficultés à écrire cette suite d’horaires de seconde en seconde, faire observer le défilement des horaires sur l’horloge digitale ou sur une horloge interactive projetée et réexpliquer la règle de changement des nombres de secondes, minutes, et heures. Les élèves doivent calculer un horaire de fin connaissant un horaire de début et une durée (exercice 10) ainsi qu’une durée connaissant les horaires de début et de fin (exercice 11). Réponses : 10 18 h 50 11 1 h 25 min EXERCICES 12 13 Exercice 13 : Il faut calculer une durée comme cumul de durées en minutes et secondes. Une procédure possible passe par les ajouts séparés des nombres de minutes et de secondes. La réponse à la question, donnée en min et s, demande d’utiliser la relation 1 min = 60 s. Réponses : 12 70 min ou 1 h 10 min 13 7 min 14 s ou 434 s 143 UNITÉ 4 Cahier p. 24 UNITÉ Cercle Reconnaissance, description, construction 4 Je révise CERCLE – Reconnaissance d’un cercle à partir d’une description – Description d’un cercle – Analyse et reproduction d'une figure complexe ➜ Pour les exercices 1 à 3, utilise la figure ci-dessous. 1 Indique la couleur du cercle qui correspond à chaque description. a. Le centre du cercle est le point D. Le rayon du cercle est 2 cm 5 mm. Il s’agit du cercle …………………………….. b. Le cercle passe par le point D et son rayon est 3 cm. D × Il s’agit du cercle …………………………….. c. F et D sont des points sur le cercle. E× ×F Il s’agit du cercle …………………………….. ×G d. Le point E est le centre du cercle et son diamètre est 3 cm Il s’agit du cercle …………………………….. 2 Écris deux descriptions du cercle vert. a. Sans utiliser de mesure : ................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... b. En utilisant une mesure : ................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... 3 Aya a commencé à reproduire la figure de l’exercice 1. Termine la construction. E× ×F 24 • vingt-quatre • double décimètre, compas 22/01/2020 10:30 Ces exercices visent à réactiver certaines connaissances travaillées en cycle 2. EXERCICE 1 Cet exercice permet de différencier « rayon » et « diamètre », de rappeler que, si le centre est indispensable pour tracer le cercle, ce n’est pas un point du cercle, de mentionner que les expressions « le cercle passe par le point F », « F est un point du cercle » ou « le point F est sur le cercle » ont la même signification. ● Rappeler au besoin qu’un point est représenté par une croix, qu’il est le centre de la croix et la lettre placée à proximité est le nom qu’on lui attribue. 144 EXERCICE 2 Cet exercice permet de revenir sur la caractérisation d’un cercle par son centre et un point, ou son centre et son rayon, ou encore son centre et son diamètre. ● Réponses : a. Cercle de centre D qui passe par le point E ou le point E est sur le cercle b. Cercle de centre D et rayon 3 cm ou cercle de centre D et de diamètre 6 cm Plusieurs procédures sont possibles : – prendre le rayon d’un cercle avec le compas sur la figure à reproduire ; – mesurer le rayon avec la règle graduée et prendre l’écartement de compas correspondant sur la règle. Pour certains cercles, la mesure peut être remplacée par l’utilisation des informations contenues dans les exercices 1 et 2. ● L’ordre de tracé des cercles est sans importance. ● ×G matériel par élève ● Réponses : a. rouge b. violet c. bleu d. orange EXERCICE 3 D × Cahier geom.indd 24 Les cercles orange et violet ont tous les deux pour centre le point E, le cercle orange a pour diamètre 3 cm alors que le cercle violet a pour rayon 3 cm. ● Le terme « rayon » est utilisé ici avec le sens de longueur, d’écartement à donner aux branches du compas. Il en est de même pour le terme « diamètre » qui est employé au sens de longueur double du rayon. La signification de rayon au sens de segment dont une extrémité est le centre du cercle et l’autre un point du cercle et la signification de diamètre au sens de segment qui a ses extrémités sur le cercle et dont le centre du cercle est le milieu seront réactivées en unité 6. La fiche d’exercices complémentaires permet si besoin de consolider les connaissances travaillées ici (voir p. 165). Tableaux et diagrammes Objectif : – Lire, utiliser et construire des représentations sous forme de tableaux et de diagrammes en bâtons UNITÉ apprentissage 1 Au CM1, une première initiation à la représentation d’informations par un diagramme en bâtons est proposée. Cet apprentissage sera repris et prolongé au CM2, puis au collège. La situation est donc choisie assez simple, dans un domaine familier pour les élèves (celui des températures). L’échelle choisie (1 cm pour 2°) rend les calculs très simples. Les procédures mobilisées sont, pour l’essentiel, liées aux propriétés de linéarité de la proportionnalité (aspect additif et aspect multiplicatif). Tableaux et diagrammes 4 apprentissage 1 LesJetempératures cherche Les températures ne figurent que sur une des deux représentations, la tâche va consister à les reporter sur celle où elles ne figurent pas. ● Préciser : Une station météo a relevé les températures maximales et minimales durant les 10 premiers jours du mois de décembre à l’aéroport de Lyon-Saint-Exupéry. Certaines températures sont données dans le tableau et d’autres sont indiquées sur un diagramme. Jours Sam. 1 Dim. 2 Lun. 3 Mar. 4 Mer. 5 Jeu. 6 Ven. 7 Sam. 8 Dim. 9 Lun. 10 A MATÉRIEL B Température Température minimale maximale 5° 9° 6° 11° 10° 16° Température minimale Température maximale 2 Recherche de la question A par équipes de 2 15 9° 5° 9° 6° 15° 12° 12° 9° Sur ta fiche, complète le tableau à l’aide des renseignements fournis par le diagramme. Sur ta fiche, complète le diagramme pour les journées des 7, 8, 9 et 10 décembre. ➞ Vous allez d'abord répondre à la question A et donc compléter le tableau pour les jours 4, 5 et 6. Température en degrés 20 Remettre aux équipes la fiche 36 sur laquelle sont reproduits le tableau et le diagramme du manuel. ● Observer les procédures utilisées. ● 10 5 Jours 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ◗ PROCÉDURES POSSIBLES – Utiliser les lignes de rappel horizontales pour lire directement la température en restituant mentalement ou réellement les températures non indiquées. – Mesurer les bandes et utiliser le fait que 5 mm représente 1° (peu probable). 10 Je m’entraine pour la classe ◗ LIRE DES INFORMATIONS DANS UN TABLEAU ET SUR UN DIAGRAMME INCONTOURNABLE 4 DICO 46 • tableau et diagramme de la p. 58 agrandis ou projetés 1 Utilise le diagramme de la recherche pour répondre aux questions suivantes. fiche ➞ Vérifie ensuite36 avec les données du tableau. Du 1er au 10 décembre : a.hatier-clic.fr/CM1capg0401 pour quel jour la température minimale a-t-elle été égale à 10° ? b. pour quels jours la température maximale a-t-elle été supérieure à 10° ? c. pour quels jours la température minimale a-t-elle été comprise entre 5° et 10° ? d. pour quels jours l’écart entre la température minimale et la température maximale a-t-il été le plus élevé ? pare. équipe de cet écart a-t-il été le moins élevé ? pour quels jours ◗ DIFFICULTÉS ÉVENTUELLES • quadrillage ➞ Mallette – Pour lire l'information donnée par une ligne de rappel ou trouver les températures non indiquées 2 • manuel p. 58, questions A et B • double décimètre et équerre • tableau et graphique du manuel ➞ fiche 36 • pour l'exercice 3, papier quadrillé de maille 1 cm ➞ fiche 37 ou papier quadrillé 5 × 5 cm 58 • cinquante-huit 055-071-Unite 4.indd 58 DÉROULÉ UNITÉ 1 Présentation de la situation 2 Recherche de la question A 3 Exploitation de la question A 4 Recherche de la question B 5 Exploitation de la question B 6 Entrainement Aide À traiter lors de l'exploitation collective. 24/01/2020 10:24 Collectif Par équipes de 2 Collectif Par équipes de 2 Collectif Individuel RECHERCHE Comment utiliser les informations fournies par un tableau ou un diagramme pour les reporter sur l'autre outil de représentation ? 1 Présentation collective de la situation Demander aux élèves de prendre connaissance des documents dans le manuel. ● Préciser avec les élèves la signification du terme « diagramme » à partir du dessin : chaque barre figure une température, elle est plus ou moins haute selon la valeur de la température, la graduation à gauche permet de repérer les températures et aide à les lire. ● Engager une discussion : certaines informations figurent à la fois dans le tableau et sur le diagramme, d'autres ● – Pour comprendre que 1 cm ne correspond pas à 1° Aide À traiter lors de l'exploitation collective. 3 Exploitation collective de la question A Recenser les réponses. Faire formuler les procédures et les raisonnements utilisés pour répondre, et engager un débat sur les erreurs de procédures. ● ● EXPLICITATION, VERBALISATION ◗ Sur un diagramme, la hauteur des barres est en relation avec la température : – si les barres ont même longueur, les températures sont identiques ; – si la hauteur de la barre est située entre deux hauteurs connues (données par les lignes de rappel horizontales), on peut avoir un encadrement de la température et même une approximation plus précise. ◗ En utilisant les repères en degrés ou en mesurant la hauteur des barres, on peut avoir les températures exactes : – Utiliser le fait que l'axe des températures est gradué de 1° en 1° ; – Utiliser le fait que 5 cm correspond à 10° ou 2 cm 5 mm à 5° ; – Utiliser le fait que 1° est représenté par 5 mm (peu probable). 145 UNITÉ 4 Réponses : jour 4 : 9° et 15° jour 5 : 3° et 13° jour 6 : 7° et 14° 4 Recherche par équipes de 2 de la question B INCONTOURNABLE Compléter un tableau et un diagramme ◗ COMPLÉTER UN TABLEAU ET UN DIAGRAMME DICO 2 Le tableau de Tom Reprendre le même déroulement que pour la question A (phase 2) ● ◗ PROCÉDURES POSSIBLES DIFFICULTÉS ÉVENTUELLES ◗ UNITÉ Tableaux et diagrammes 4phase 2. Cf. Je cherche apprentissage 1 Les températures ◗ 2 EXERCICE 3 CONSTRUIRE UN DIAGRAMME ★ Nombre de mangas vendus Sam. 1 Température Température minimale maximale 5° 9° 6° 11° 10° 16° 20 Juin Juillet 30 mm Aout 15 mm J F M A M J J A Jeudi 30 25 DICO 46 Le tableau de Tom Janvier 20 mm Le diagramme d’Aya Hauteur (en mm) Février 35 mm Mars Avril Mai Juin Juillet 30 mm Aout 15 mm Combien Romy a-t-elle J F M Romy A M Milo J J Tom A de chocolats ? hatier-clic.fr/CM1cap019 cinquante-neuf • 59 DICO 46 Voici le tableau que la libraire a complété avec le nombre de mangas qu’elle a vendus chaque jour. 055-071-Unite 4.indd 59 Nombre de mangas vendus Lundi Mardi Mercredi Jeudi 20 15 30 25 24/01/2020 10:24 a. Reproduis et complète ce diagramme pour les mangas vendus le mardi, le mercredi et le jeudi. Pour 10 mangas vendus, la barre mesure 4 cm de long. Température en degrés 20 Lundi Température minimale Température maximale Mardi Mercredi Jeudi 9° 15° b. Le vendredi, elle a vendu 35 mangas. Quelle sera la longueur de la barre ? c. Le samedi, il faut une barre de 20 cm de long pour représenter les mangas vendus. Combien de mangas a-t-elle vendus samedi ? d. La librairie n’est pas ouverte le dimanche. Combien de mangas a-t-elle vendus au cours de la semaine ? 10 Sur ta fiche, complète le diagramme pour les journées 6 Entrainement individuel des 7, 8, 9 et 10 décembre. 0 1 Manuel p. 58-59 Jours 2 3 4 5 6 7 LireJe des informations dans un tableau m’entraine et sur un diagramme ◗ LIRE DES INFORMATIONS DANS UN TABLEAU ET SUR UN DIAGRAMME INCONTOURNABLE Mercredi 15 ◗ CONSTRUIRE UN DIAGRAMME 5 8 9 10 4 Relève la température le matin à 9 h ★★ tous les jours pendant une semaine et représente les températures sur un diagramme. EXERCICE 3 ✶ DICO 055-071-Unite 4.indd 59 46 Utilise le diagramme de la recherche pour répondre aux questions suivantes. Vérifie ensuite avec les données du tableau. Du 1er au 10 décembre : a. pour quel jour la température minimale a-t-elle été égale à 10° ? b. pour quels jours la température maximale a-t-elle été supérieure à 10° ? c. pour quels jours la température minimale a-t-elle été comprise entre 5° et 10° ? d. pour quels jours l’écart entre la température minimale et la température maximale a-t-il été le plus élevé ? e. pour quels jours cet écart a-t-il été le moins élevé ? 58 • cinquante-huit EXERCICE 1 24/01/2020 10:24 La correction porte sur l’utilisation du tableau ou du diagramme pour répondre aux questions. Souvent, le diagramme permet de répondre plus rapidement du fait de la visualisation des données. Pour la question d., un calcul est nécessaire. Réponses : a. lundi 3 b. tous les jours sauf samedi 1 et lundi 10 c. dimanche 2, mardi 4, jeudi 6, vendredi 7, dimanche 9, lundi 10 (les samedi 1, lundi 3 et samedi 8 peuvent être acceptés) d. mercredi 5 (10°) e. Dimanche 9 et lundi 10 (3°) 146 Mardi 20 Construire un diagramme par le diagramme. 055-071-Unite 4.indd 58 Mai Réponses : a. mars : 40 mm ; avril : 50 mm ; mai40 : 25 mm ; juin : 45 mm Énigme b. juillet : barre de 3 cm, aout : barre de 1 cm 5 mm diagramme c. le plus pluvieux : avril,Cele moinsreprésente pluvieux : aout 20 le nombre de chocolats d. février, mai, juillet (janvier et mars que possèdent Romy, peuvent être Milo et Tom. Ensemble, acceptés). ils ont 60 chocolats. Réponses : 5° jour 7 12° : 4 cm 5 mm et 7 cm 5 mm 9° jour 8 12° : 2 cm 5 mm et 6 cm 6° 9° jour 9 : 4 cm 5 mm et 6 cm A Sur ta fiche, complète le tableau à l’aide jourdes10 : 3 cm et 4 cm 5 mm renseignements fournis 1 Lundi (en mm)sera pourlales mois dedejanvier à aout. Quelle longueur la barre ? Tom a notées dans tableau et Aya c. Leles samedi, il faut uneunbarre de 20 cm leslong a représentées à l’aideles d’un diagramme. de pour représenter mangas vendus. a. Sur ta de fiche, complète le tableau Tom ? Combien mangas a-t-elle vendus de samedi à l’aide des renseignements fournis par d. La librairie n’est pas ouverte le dimanche. le diagramme. Combien de mangas a-t-elle vendus b. Complète le diagramme pour les mois au cours de la semaine ? de juillet et aout. c. Quel mois a été le plus pluvieux ? 4 Relève la température le matin à 9 h Quel mois a été le moins pluvieux ? ★★ tous les jours pendant une semaine d. Pour quels mois la hauteur de pluie a-t-elle et représente les températures été comprise entre 20 mm et 40 mm ? sur un diagramme. 15 B Avril 46 Jeudi Mar. 4 Reprendre les éléments de la phase 3. Mer. 5 Jeu. 6 Ven. 7 Sam. 8 Dim. 9 Lun. 10 Mars DICO Mercredi 3 Dim. 2 EXPLICITATION, VERBALISATION Lun. 3 Hauteur (en mm) 40 Mardi Même déroulement que pour la question A. Jours Février 35 mm Lundi Certaines températures sont données dans le tableau et d’autres sont indiquées sur un diagramme. ● Le diagramme d’Aya Janvier 20 mm Le problème posé est voisin de celui de la recherche dans a. Reproduis et complète ce diagramme pour les mangas une situation un peu plus difficile puisque les lignes de rapvendus le mardi, le mercredi et le jeudi. 10 mangas vendus, la barre mesure 4 cm de long. pel nePour sont pas données. En revanche, la relation hauteurs de pluie/hauteurs de barres (1 mm représenté par 1 mm) UN TABLEAU ET UN DIAGRAMME en mesurant la hauteur des facilite les réponses obtenues ◗ COMPLÉTER 2 Pluviométrie barres. Tom Aya ont elle relevé les hauteurs de pluie b. Leetvendredi, a vendu 35 mangas. ★ Une station météo a relevé les températures maximales et minimales durant 5 Exploitation collective pour la question B les 10 premiers jours du mois de décembre à l’aéroport de Lyon-Saint-Exupéry. 46 Voici le tableau que la libraire a complété avec le nombre de mangas qu’elle a vendus chaque jour. INCONTOURNABLE – utiliser la graduation de l’axe des températures pour celles qui sont multiples de 5 ; – utiliser le fait que certaines températures sont égales à des températures déjà représentées ; – numéroter complètement (mentalement ou effectivement) l'axe des températures pour repérer directement la hauteur de la barre en utilisant la ligne de rappel. – prendre en compte l'échelle (5 cm pour 10° ou 1 cm pour 2° ou 5 mm pour 1°) et procéder à un calcul en utilisant les propriétés de linéarité vues en unité 3. Remarque : il n’est pas attendu que les élèves tracent des barres mais simplement des segments. Pluviométrie Tom et Aya ont relevé les hauteurs de pluie (en mm) pour les mois de janvier à aout. Tom les a notées dans un tableau et Aya les a représentées à l’aide d’un diagramme. a. Sur ta fiche, complète le tableau de Tom à l’aide des renseignements fournis par le diagramme. b. Complète le diagramme pour les mois de juillet et aout. c. Quel mois a été le plus pluvieux ? Quel mois a été le moins pluvieux ? d. Pour quels mois la hauteur de pluie a-t-elle été comprise entre 20 mm et 40 mm ? Énigme Ce diagramme représente le nombre de chocolats que possèdent Romy, Milo et Tom. Ensemble, ils ont 60 chocolats. Combien Romy a-t-elle de chocolats ? Romy Milo Tom hatier-clic.fr/CM1cap019 cinquante-neuf • 59 24/01/2020 10:24 a. Les nombres donnés sont de difficultés différentes. ● 15 mangas : les élèves peuvent utiliser le fait que 15 = 10 + 5 et conclure qu’il faut une barre de 4 cm + 2 cm ou déduire de l’information de l’énoncé que 5 mangas sont représentés par 2 cm et utiliser le fait que 15 = 5 + 5 + 5 ou que 15 = 3 × 5 pour trouver la longueur de la barre : 2 cm + 2 cm + 2 cm ou 3 × 2 cm. ● 30 mangas : ils peuvent utiliser le même raisonnement que pour 20 mangas ou considérer que 30 mangas c’est le double de 15 mangas et que la barre doit donc avoir une longueur double de celle dessinée pour 15 mangas. ● 25 mangas : ils peuvent utiliser plusieurs décompositions : 25 = 15 + 10 ou 25 = 20 + 5 ou 25 = 5 × 5 ou encore 25 c’est la moitié de 50… de juillet et aout. c. Quel mois a été le plus pluvieux ? Quel mois a été le moins pluvieux ? d. Pour quels mois la hauteur de pluie a-t-elle été comprise entre 20 mm et 40 mm ? Juillet 30 mm Aout 15 mm J F M A M J J A ◗ ✶ jour. b. Elle est de même nature que la question 3a., mais lequetracé 4 ✶chaque Voici le tableau la libraire a complété avec EXERCICE le nombre de mangas qu’elle a vendus de la barre n’est pas demandé. L’activité peut être conduite au niveau de la classe sur c. À l’inverse des questions précédentes, ila. Reproduis faut trouver et complète ce diagramme pour les mangas plusieurs jours (un ou deux mois par exemple). L'échelle vendus le mardi, le mercredi et le jeudi. Pour 10 mangas la barre mesure 4 cm de long. que dans 20 il y a 5 fois le nombre 4, donc que 20 cmvendus, corpeut être soit choisie collectivement, par exemple 5 mm respond à 50 mangas. Les élèves peuvent aussi exploiter la pour 1 degré avec la possibilité d'utiliser du papier quadernière réponse de la question a. et considérer que 20 cm drillé 5 mm × 5 mm. est le double de 10 cm, donc que 20 cm représente deux Le vendredi, elle a vendu 35 mangas. fois plus de mangas que ce qui est donné b.Quelle pour lelongueur jeudi sera la de la barre ? c. Le samedi, il faut une barre de 20 cm (soit 2 fois 25 mangas). Les élèves peuvent aussi utiliser de long pour représenterla les mangas vendus. Énigme Combien de mangas a-t-elle vendus samedi ? relation 2 cm pour 5 mangas et donc une barre de 10 fois d. La librairie n’est pas ouverte le dimanche. Ce diagramme représente Combien de mangas a-t-elle vendus le nombre de chocolats au cours de la semaine ? que possèdent Romy, 2 cm représente 10 fois 5 mangas. Milo et Tom. Ensemble, 4 Relève la température le matin à 9 h ils ont 60 chocolats. d. La réponse à cette question dépend detous la réponse les jours pendant une semaine et représente les températures sur un diagramme. apportée à la question c. Les erreurs éventuelles devront donc être appréciées en conséquence. Il faut additionner • 59 Ici, il faut d’abord comprendre que le nombre donné pour la semaine : 20 + 15 + 30 + 25 + 35 + 50 = 175. (60 chocolats) est représenté par 12 carreaux coloriés. Un carreau représente donc 5 chocolats, ce qui permet L’utilisation du fait que, pour 5 mangas, la longueur est de 2 cm ensuite de calculer le nombre demandé. permet de traiter facilement tous les nombres car ils sont tous multiples de 5. Plusieurs stratégies sont possibles pour chercher à quel nombre correspond un carreau coloré : Aide Pour faciliter les tracés, du papier quadrillé avec des mailles – procéder par essais et ajustements de nombres ; hatier-clic.fr/CM1capg0401 ou du papier de 1 cm ➞ fiche 37 – chercher ce que représente un carreau (5 chocolats). quadrillé 5 mm × 5 mm peuvent être fournis aux élèves. CONSTRUIRE UN DIAGRAMME ★ Nombre de mangas vendus DICO 46 Lundi Mardi Mercredi Jeudi 20 15 30 25 Lundi Mardi Mercredi Jeudi ★★ Combien Romy a-t-elle de chocolats ? Romy Milo Tom hatier-clic.fr/CM1cap019 cinquante-neuf 055-071-Unite 4.indd 59 Réponses : a. mardi : 6 cm ; mercredi : 12 cm ; jeudi : 10 cm b. 14 cm c. 50 mangas d. 175 mangas 24/01/2020 10:24 Réponse : 20 chocolats 147 UNITÉ 4 Les nombres jusqu’à 999 999 Objectifs : – Connaitre les relations entre unités, dizaines, centaines, milliers, dizaines de milliers, centaines de milliers – Reconnaitre la valeur positionnelle des chiffres – Distinguer unités simples et unités de mille – Savoir lire et écrire des nombres inférieurs au million – Savoir décomposer des nombres en unités de numération UNITÉ L’étude des nombres est étendue jusqu’au million (en fin d’année, des nombres plus grands seront envisagés). Une bonne compréhension du système d’écriture des nombres entiers en chiffres conditionne celle de l’écriture à virgule des nombres décimaux. Cette compréhension est notamment marquée par la signification que l’élève est capable de donner, par exemple, au terme centaine ou dizaine dans l’écriture d’un nombre. Exemple : Dans 638 425, le terme centaine indique : • Le rang occupé par le chiffre 4 : – rang auquel correspond la valeur donnée à ce chiffre : 4 groupements de 100 ou 4 × 100 ou 400 ; – on parle alors de « chiffre des centaines » avec la décomposition associée : 638 425 = (6 × 100 000) + (3 × 10 000) + (8 × 1 000) + (4 × 100) + (2 × 10) + 5. • La valeur donnée à 6 384 : – 6 384 indique combien le nombre 638 425 contient de centaines ; – on parle alors de « nombre de centaines » avec la décomposition associée : 638 425 = (6 384 × 100) + 25. apprentissage 2 Des milliersDes d’habitants Je cherche milliers d’habitants L’Ain est un département français de taille moyenne. Il compte au total 638 425 habitants. La population de chacune des dix plus grandes villes de ce département est indiquée sur cette carte. A 41 365 12 652 Divonneles-Bains Gex Oyonnax BOURG-EN-BRESSE La population de Divonne-les-Bains peut être représentée par tous ces petits cubes. AIN St-GenisPouilly Bellegardesur-Valserine Ambérieu-en-Bugey FerneyVoltaire 9 637 11 892 11 666 Miribel Belley 14 081 9 133 Données : recensement de 2016 Indique comment représenter les populations de Miribel et de Bourg-en-Bresse avec le matériel présenté à la classe. Tu ne peux pas utiliser plus de 9 exemplaires de chaque matériel pour chaque ville. B Pour représenter la ville d’Ambérieu-enBugey, tu ne disposes que de plaques centaines et de petits cubes à l’unité, mais autant que tu veux. Combien de plaques centaines et de petits cubes à l’unité te faut-il pour utiliser le moins de matériel possible ? C Quelles sont les villes dont la population dépasse une dizaine de milliers d’habitants ? D En lettres, la population de Bourg-enBresse s’écrit : « quarante-et-un-milletrois-cent-soixante-cinq habitants ». Écris en lettres la population d’Oyonnax et la population totale du département de l’Ain. Je m’entraine pour la classe UTILISER LES UNITÉS DE NUMÉRATION ◗ DICO 2-3 de numération : cubes de la malette et affiche •1 matériel 2 Écris, en chiffres, le nombre obtenu : Complète. a. 1 tableau centaine de milliers = ... milliers38 et 39 a. en ajoutant 1 unité à 98 999 au ➞ fiches b. 1 centaine de milliers = ... dizaines de milliers hatier-clic.fr/CM1capg0402 c. 1 dizaine de milliers = ... milliers d. 1 dizaine de milliers = ... centaines e. 3 centaines de milliers = 300 ... f. 60 dizaines de milliers = 600 ... 1 Présentation collective de la situation Faire commenter collectivement la carte et les informations données : situer les villes concernées, préciser (sans les lire) que les nombres écrits en chiffres expriment les populations de ces villes. ● Indiquer aux élèves que la séance sera consacrée à comprendre et étudier ces nombres de plus de 4 chiffres. ● Montrer aux élèves le matériel disponible mallette et fiches 38 et 39 : des petits cubes (indiquer qu’un petit cube représente un habitant), des petites tours (une dizaine d’habitants), des petites plaques (une centaine d’habitants), 1 gros cube (1 millier d’habitants), des grandes tours (une dizaine de milliers d’habitants), 1 grande plaque (une centaine de milliers d’habitants). Faire observer que chaque sorte d’assemblage comporte 10 assemblages immédiatement plus petits. ● Préciser la tâche : ● 9 465 22 559 9 742 MATÉRIEL apprentissage 2 Les nombres jusqu’à 999 999 4 INCONTOURNABLE 4 ➞ Vous répondrez d’abord à la question A. Si vous ne disposez pas du matériel, indiquez par écrit de quel matériel vous avez besoin pour représenter les populations concernées. Si vous disposez du matériel, découpez ce dont vous avez besoin. b. en ajoutant 1 dizaine à 98 999 c. en ajoutant 1 centaine à 98 999 d. en ajoutant 1 millier à 98 999 e. en ajoutant 1 dizaine de milliers à 98 999 f. en ajoutant 1 centaine de milliers à 98 999 • carte de la p. 60 agrandie ou projetée par élève 60 • soixante • manuel p. 60, questions A à D • matériel de numération (pour quelques élèves) ➞ fiches 38 et 39 • brouillon ou feuille de recherche • cahier de mathématiques 055-071-Unite 4.indd 60 DÉROULÉ UNITÉ 1 Présentation de la situation 2 Recherche de la question A 3 Exploitation de la question A 4 Recherche de la question B 5 Exploitation de la question C 6 Recherche de la question D 7 Entrainement 24/01/2020 10:24 Collectif Individuel ou par équipes de 2 Collectif Individuel ou par équipes de 2 puis collectif Individuel puis collectif Individuel puis collectif Individuel RECHERCHE Comment représenter des nombres compris entre 9 000 et 100 000 à l’aide du matériel de numération et les exprimer en lettres ? 148 2 Recherche individuelle ou par équipes de 2 de la question A Pendant la recherche, observer les procédures utilisées par les élèves. ● ◗ PROCÉDURES POSSIBLES – Décomposition directe des nombres en unités de numération : centaines de milliers, dizaines de milliers, milliers, centaines, dizaines, unités) pour en obtenir moins de neuf de chaque sorte. – Décomposition de nombres en un certain nombre d’unités de numération puis groupements et échanges pour en obtenir moins de neuf de chaque sorte. Par exemple, décomposer 41 365 en 41 milliers 3 centaines 4 dizaines et 5 unités, et ensuite grouper par 10, 40 des 41 milliers pour les échanger contre 4 dizaines de milliers. précisant que le matériel n’est plus disponible et que la réponse doit être indiquée par écrit. ◗ DIFFICULTÉS ÉVENTUELLES – Pour identifier les unités de numération et procéder à d’éventuels groupements et échanges ◗ PROCÉDURES POSSIBLES Aide Mettre à disposition le matériel de numération. – Décomposition par lecture directe dans l’écriture des nombres de la valeur des groupements de chiffres en centaines, et unités. – Décomposition des nombres en unités de numération puis appui sur les équivalences entre unités de numération pour procéder à des échanges et obtenir la décomposition recherchée (comme illustré dans le tableau de numération ci-dessous). Cette question ne devrait pas susciter de difficulté importante dans la mesure où il s’agit de prolonger, aux nombres de 5 et 6 chiffres, des connaissances établies depuis le CP sur des nombres plus petits. La nouveauté réside principalement dans la dénomination des classes (milliers et unités simples, chacune étant décomposée en unités, dizaines et centaines) en lien avec le découpage des écritures chiffrées en tranches de 3 chiffres à partir de la droite. L’organisation du matériel de numération en facilite la compréhension : cubes petits et grands pour les unités (simples et milliers), barres petites et grandes pour les dizaines (simples et milliers), plaques petites et grandes pour les centaines (simples et milliers). 3 Exploitation collective de la question A Classe des milliers centaines dizaines unités 1 4 14 ◗ DIFFICULTÉS ÉVENTUELLES – Pour procéder aux éventuels échanges entre unités de numération Pour chaque ville recenser les réponses et les soumettre à la classe. ● Réponses : Voir tableau de numération ci-après. Aide Inciter les élèves à verbaliser les équivalences entre ces différentes unités. UNITÉ 4 Organiser une mise en commun à l’issue du travail des élèves avec inventaire des réponses, formulation des procédures utilisées et discussion sur leur validité. ● En synthèse reprendre les méthodes apparues et préciser que 140 centaines d’habitants et 81 habitants correspond au calcul (140 × 100) + 81. ● EXPLICITATION, VERBALISATION Faire formuler par les élèves que : – pour représenter les nombres il est nécessaire de s’appuyer sur la valeur de chaque chiffre ; – les groupements au-delà de mille se nomment dizaine de milliers (ou dizaine de mille) et centaine de milliers (ou centaines de mille). Leur faire verbaliser les équivalences entre unités de numération : • 1 centaine de milliers = 10 dizaines de milliers = 100 milliers = 1 000 centaines = 10 000 dizaines = 100 000 unités • 1 dizaine de milliers = 10 milliers = 100 centaines = 1 000 dizaines = 10 000 unités • 1 millier = 10 centaines = 100 dizaines = 1 000 unités • 1 centaine = 10 dizaines = 100 unités • 1 dizaine = 10 unités En synthèse, pointer que : – L’espace qui sépare les 3 chiffres de droite de ceux qui sont à leur gauche permet de repérer facilement les unités simples (unités, dizaines, centaines) et les unités de mille (milliers, dizaines de milliers, centaines de milliers) : on parle de classe des unités simples (ou classe des unités) et de classe des milliers (ou classe des mille) ; – On peut organiser ces classes dans un tableau de numération : Classe des milliers centaines dizaines unités Classe des unités simples centaines dizaines unités 0 8 1 0 8 1 140 8 1 140 81 Classe des unités simples centaines dizaines unités La capacité de « lire » dans une écriture chiffrée, non seulement la valeur de chaque chiffre mais également la valeur de groupements de chiffres, est un acquis important pour la compréhension de notre système de numération. Réponse : 140 centaines et 81 unités 5 Reche rche individuelle puis collective de la question C Demander à chaque élève de répondre rapidement par écrit. Recenser les propositions de réponses et faire apparaitre lors de la discussion que la procédure la plus simple consiste à décomposer chaque nombre en dizaines de milliers (comme on l’a fait en centaines à la question précédente). ● Conclure que toutes les villes pour lesquelles le nombre de dizaines de milliers est 1 ou plus grand que 1 répondent à la question. ● ● Réponse : Ambérieu-en-Bugey, Bellegarde-sur-Valserine, Bourg-en-Bresse, Gex, Oyonnax, Saint-Genis-Pouilly 6 Recherche individuelle puis collective de la question D 4 1 9 3 7 6 4 5 2 4 Recherche individuelle ou par équipes de 2 de la question B Montrer aux élèves le matériel dont on dispose : petites plaques (centaines d’habitants) et petits cubes (habitants). ● Demander aux élèves de répondre à la question B, en ● Demander à chaque élève de répondre rapidement par écrit. ● Lors de la synthèse mettre en évidence que la lecture et la traduction en lettres de ces nombres reposent sur le principe du découpage en classes : ● classe des milliers classe des unités simples 22 559 vingt-deux-mille - cinq-cent-cinquante-neuf Réponse : Oyonnax : vingt-deux-mille-cinq-cent-cinquante-neuf Ain : six-cent-trente-huit-mille-quatre-cent-vingt-cinq 149 carte. A apprentissage 2 St-GenisPouilly BOURG-EN-BRESSE La population de Divonne-les-Bains peut être représentée par tous ces petits cubes. Bellegardesur-Valserine AIN Des milliers d’habitants 9 637 11 892 Ambérieu-en-Bugey 11 666 Miribel Belley 41 365 9 465 22 559 9 742 12 652 14 081 9 133 Divonneles-Bains TRACE ÉCRITE INDIVIDUELLE Gex Oyonnax St-GenisPouilly EXERCICE 7 ✶ Données : recensement de 2016 FerneyVoltaire B Pour représenter la ville d’Ambérieu-enBugey, tu ne disposes que de plaques centaines et de petits cubes à l’unité, mais autant que tu veux. Combien de plaques centaines et de petits cubes à l’unité te faut-il pour utiliser le moins de matériel possible ? Faire coller dans le cahier le tableau de numération présenAIN tant les différentes classes d’unités. Indique comment représenter Illustrer son utilisation sur des décompositions de nombres les populations de Miribel Bourg-en-Bresse avec le matériel tirés etprésenté dede la recherche. C Quelles sont les villes dont la population à la classe. une nombres dizaine de milliers neun peux exemple pas utiliser plus de Donner d’écriture d’un3dépasse deRegroupe ces en lettres. les étiquettes qui B Tu Pour représenter la ville d’Ambérieu-end’habitants ? BOURG-EN-BRESSE Bellegardesur-Valserine Ambérieu-en-Bugey 9 637 11 892 11 666 Miribel Belley 9 742 14 081 Cet exercice nécessite, soit de passer par le calcul utilisant les multiplications par 10, 100 ou 1 000…, soit de passer par les unités de numération et de faire fonctionner les 7 Complète. a. (7 × 10 000) + (8 × 1 000) + (9 × 100) =entre … équivalences ces unités. b. (6 × 10 000) + (14 × 100) + 9 = ... 9 133 INCONTOURNABLE Données : recensement de 2016 9Bugey, exemplaires de chaque tu ne disposes quematériel de plaques pour chaque centaines et ville. de petits cubes à l’unité, D ★ correspondent au même nombre. En lettres, la population de Bourg-enB 300 dizaines A 30 centaines Bresse s’écrit : « quarante-et-un-milletrois-cent-soixante-cinq habitants ». Écris C 30 dizaines D 3 000 centaines en lettres la population d’Oyonnax et la population du département de l’Ain. E 3totale milliers c. (250 × 1 000) + (250 × 100) = ... d. 600 029 = (... × 1 000) + (... × 10) + ... e. 35 807 = (... × 1 000) + ... f. 408 150 = (... × 1 000) + (... × 10) Réponses : a. 78 900 b. 61 409 c. 275 000 d. (600 × 1 000) + (2 × 10) + 9 e. (35 × 1 000) + 807 DES NOMBRES C Quelles sont les villes dont la population ◗ ÉCRIRE G 300 milliers f. (408 × 1 000) + (15 × 10). EN CHIFFRES ET EN LETTRES F 30 dizaines de milliers dépasse une dizaine de milliers 7 Complète. Je m’entraine Utiliser les unités de numération 3 Regroupe les étiquettes qui d’habitants ? + (8 × e 1 000) × 100) = … ★ a. (7 × 10 000) Pour et +f,(9 d’autres réponses sont possibles, H 30 000 Écris en chiffres chacun b. de (6 ces nombres. I 300 centaines correspondent au même8nombre. × 10 000) + (14 × 100) + 9 = ... LES DE NUMÉRATION D En lettres, la UNITÉS population de Bourg-en◗ UTILISER a. 3 dizaines de milliers, 2c.centaines, par e : (30 × 1 000) + 5 807. (250 × 1 000) + exemple (250 × 100) = pour ... B 300 dizaines A 30 centaines Bresse s’écrit : « quarante-et-un-millemais autant que tu veux. Combien de plaques centaines et de petits cubes à l’unité te faut-il pour utiliser le moins de matériel possible ? Manuel p. 60-61 7 Entrainement individuel DICO DICO 2-3 8 dizaines d. 600 029 = (... × 1 000) + (... × 10) + ... b. 4 milliers, 10 centainese. 35 807 = (... × 1 000) + ... Cde30 dizaines a. enil ajoutant 1 unité à 98 999 6 dizaines de milliers, 12 y a près de 18 centaines tunnels et D 3 000c.centaines f. milliers, 408 150 = (... × 1 000) + (... × 10) b. enprès ajoutant 1 centaines dizaine à 98 43 dizaines de 267 de 999 ponts ou viaducs. c. enÉcris ajoutant 1 centaine 98 999E: 3 milliers d. 13 milliers, 24 centaines en chiffres et enà lettres DICO ÉCRIRE DES NOMBRES d. ena.ajoutant 1 millier à 98 999 13milliers milliers, 13 centaines, 13 dizaines, le nombre de tunnels G e. 1 300 EN CHIFFRES ET EN LETTRES 30 dizaines de milliers e. enb.ajoutant 1 dizaine deFou milliers à 98 999 13 unités le nombre de ponts viaducs f. en ajoutant 1 centaine de milliers f. 245 centaines, 245 unités DICO H 30 000 8 Écris en chiffres chacun de ces nombres. I 300 centaines à 98 999 2-3 a. 3 dizaines de milliers, 2 centaines, 8 dizaines Écris, en chiffres, le nombre obtenu : 9 Écris en lettres. 60 2• soixante b. 4 milliers, 10 centaines 4 Sur le réseau de chemin de fer français, a. en ajoutant 1 unité à 98 999 a. 40 025 c. 300 950 c. 6 dizaines de milliers, 12 milliers, il y a près de 18 centaines de tunnels et b. en ajoutant 1 dizaine à 98 999 b. 102 080 d. 370 095 43 dizaines près de 267 centaines de ponts ou viaducs. c. en ajoutant 1 centaine à 98 999 d. 13 milliers, 24 centaines Écris en chiffres en lettres : 055-071-Unite 4.indd 60 24/01/2020et 10:24 d. en ajoutant 1 millier à 98 999 e. 13 milliers, 13 centaines, 13 dizaines, a. le nombre de tunnels 10 Écris en chiffres. e. en ajoutant 1 dizaine de milliers à 98 999 13 unités b. le nombre de ponts ou viaducs a. douze-mille-quatre-vingts f. en ajoutant 1 centaine de milliers 5 Dans 300 750 : f. 245 centaines, 245 unités b. cent-mille-trois-cents à 98 999 ★ a. Quel est le chiffre des dizaines c. soixante-dix-mille-soixante-dix 7 Complète. de milliers ? d. dix-sept-mille-dix 3 Regroupe les étiquettes qui milliers × 10 000)y a-t-il + (8 ×de1 dizaines 000) + (9de × 100) = …? ★ a. (7Combien e. quatre-vingt-mille-cent-quatre 9 Écris en lettres. correspondent au même nombre. b. (6b.×Quel 10 000) (14 × 100) + 9 = ...? f. cent-vingt-quatre-mille-quatre est le+ chiffre des milliers a. 40 025 c. 300 950 c. (250 × 1 000) + (250 × 100) = ... Combien y a-t-il de milliers ? b. 102 080 d. 370 095 B 300 dizaines A 30 centaines d. 600 029 = (... × 1 000) + (... × 10) + ... 24/01/2020 10:24 e. 35 807 = (... × 1 000) + ... DICO C 30 dizaines DÉCOMPOSER D 3 000 centaines 10 Écris en chiffres. f. 408 150 = (... × 1DES 000)NOMBRES + (... × 10) 4 a. douze-mille-quatre-vingts E 3 milliers Dans 300 750 : 6 En t’appuyant sur la 5décomposition b. cent-mille-trois-cents DICO ÉCRIRE DES NOMBRES le chiffre des dizaines G 300 milliers du nombre, indique combien de 1est boites ★ a. Quel c. soixante-dix-mille-soixante-dix En utilisant uniquement les touches EN CHIFFRES ET EN LETTRES F 30 dizaines de milliers de milliers ?pour de chaque type on doit commander d.et dix-sept-mille-dix Combien y a-t-il de dizaines de milliers ? avoir 23 407 Kapla. e. quatre-vingt-mille-cent-quatre de ta calculatrice, trouve comment H 30 000 8 Écris en chiffres chacun de ces nombres. I 300 centaines f. cent-vingt-quatre-mille-quatre b. Quel est le chiffre des milliers ? : afficher a. 3 dizaines de milliers, 2 centaines, Combien y a-t-il de milliers ? 8 dizaines 2 033 100 202 1 099 99 999 de Boite de b. 4 milliers, 10Boite centaines 4 Sur le réseau de chemin de fer français, 100 Kapla 1 000 Kapla DÉCOMPOSER DES NOMBRES DICO c. 6 dizaines de milliers, 12 milliers, il y a près de 18 centaines de tunnels et 4 hatier-clic.fr/CM1cap020 43 dizaines près de 267 centaines de ponts ou viaducs. d. 13 milliers, 24 centaines Écris en chiffres et en lettres : 6 En t’appuyant sur la décomposition soixante-et-un • 61 e. 13 milliers, 13 centaines, 13dudizaines, a. le nombre de tunnels nombre, indique combien de boites En utilisant uniquement les touches 13 unités b. le nombre de ponts ou viaducs de chaque type on doit commander pour et f. 245 centaines, 245 unités avoir 23 407 Kapla. de ta calculatrice, trouve comment 2 4Écris, le chemin nombrede obtenu : Surenlechiffres, réseau de fer français, trois-cent-soixante-cinq habitants ». Écris Complète. en1lettres la population a. centaine de milliers =d’Oyonnax ... millierset la population du département de l’Ain. b. 1 centainetotale de milliers = ... dizaines de milliers c. 1 dizaine de milliers = ... milliers d. 1 dizaine de milliers = ... centaines e. 3 centaines de milliers = 300 ... f. 60 dizaines de milliers = 600 ... INCONTOURNABLE Écrire◗ des nombres en chiffres et en lettres INCONTOURNABLE INCONTOURNABLE = ... milliers = ... centaines = 300 ... = 600 ... 1 INCONTOURNABLE INCONTOURNABLE = ... milliers = ... dizaines INCONTOURNABLE INCONTOURNABLE 1 ◗ INCONTOURNABLE Énigme INCONTOURNABLE ◗ EXERCICES 1 ◗ 8 EXERCICE Énigme INCONTOURNABLE 2 Le matériel ou le tableau de numération peuvent être utilisés pour illustrer les relations entre unités de numération lettres. et l'effet de l'ajout d'une d'elles9 àÉcris unen nombre donné. 3 Regroupe les étiquettes qui a. 40 025 c. 300 950 Boite de 24/01/2020 10:24 Boite de 1 000 Kapla correspondent 100 au Kapla même nombre. d. 370 095 B 300 dizaines A 30 centaines hatier-clic.fr/CM1cap020 soixante-et-un Pour e. et f., les élèves peuvent aussi répondre 10 Écris en chiffres. C 30 dizaines D 3 000 centaines f. 408 150 = (... × 1 000) + (... × 10) 7 a. Complète. douze-mille-quatre-vingts 000 et 600 000. Regroupe les étiquettes 53 Dans 300 750 : 300qui a. cent-mille-trois-cents (7 × 10 000) + (8 × 1 000) +E(93×milliers 100) = … ★ b. Réponses : a. 30 280 b. 5 000 c. 72 430 correspondent au même nombre. Quel est le chiffre des dizaines ★ a. b. soixante-dix-mille-soixante-dix (6 × 10 000) + (14 × 100) + 9 = ... c. DES NOMBRES ◗ ÉCRIRE G 300 milliers de milliers ? 2 a. 99 000 b. 99 009 c. 99 099 d. 99 999 400 e. 14 443 f. 24 745. c. (250 × 1 000) + (250 × 100) = ... d. dix-sept-mille-dix EN CHIFFRES ETd. EN15 LETTRES B F 300 dizaines 30 dizaines de milliers A 30 centaines Combien y a-t-il de dizaines de milliers ? d. 600 029 = (... × 1 000) + (... × 10) + ... e. quatre-vingt-mille-cent-quatre e. 108 999 f. 198 999 e. cent-vingt-quatre-mille-quatre 35 807 = (... × 1 000) f. b. H + ... 8 Écris en chiffres chacun de ces nombres. C Quel est le chiffre des milliers ? 055-071-Unite 4.indd 61 24/01/2020 10:24 DICO 1 30 000 f. 408 150 = (... × 1 000) + (... × 10) 30 dizaines D 3 000 Combien y a-t-il de milliers ? centaines EXERCICES ◗ E 3 milliers DICO DÉCOMPOSER DES NOMBRES 4 G 300 milliers F 30 dizaines de milliers 6 3 4 En t’appuyant sur la décomposition I 300 centaines EXERCICES 9 1 INCONTOURNABLE d. 13 milliers, 24 centaines sur le tranches de 3 chiffres à partir de la e. 13découpage milliers, 13 centaines, 13en dizaines, 13 unités f. 245en centaines, unités la place du mot mille. droite, lien245avec En utilisant uniquement les touches et de ta calculatrice, trouve comment afficher : dizaines de milliers, 12 milliers, il y a près de 18 centaines de tunnels et 3 A de–ponts Réponses B –ouEviaducs. / H – I / D2c.43033 –6dizaines F –100 G 202 (C est1 099 isolé).99 999 près de:267 centaines d. 13 milliers, 24 centaines Écris en chiffres et en lettres : 4tunnels e. 13 milliers, 13 centaines, 13 dizaines, a. le nombre de a. 1 800 (mille-huit-cents) 13 unités b. le nombre de ponts ou viaducs b. 26 700 (vingt-six-mille-sept-cents) f. 245 centaines, 245 unitéssoixante-et-un • 61 Réponses : INCONTOURNABLE Boite de 100 Kapla Boite de 1 000 Kapla hatier-clic.fr/CM1cap020 INCONTOURNABLE EXERCICE 5 ✶ 055-071-Unite 4.indd 61 9 Écris en lettres. a. 40 025 b. 102 080 5 Dans 300 750 :24/01/2020 10:24 c. 300 950 a. Quel est le chiffre des dizaines d. 370 095 de milliers ? Combien y a-t-il de dizaines de milliers ? 10 Écris en chiffres. b. Quel est le chiffre des milliers ? a. douze-mille-quatre-vingts Combien y a-t-il de milliers ? b. cent-mille-trois-cents c. soixante-dix-mille-soixante-dix DÉCOMPOSER DES NOMBRES DICO 4 d. dix-sept-mille-dix e. quatre-vingt-mille-cent-quatre 6 En t’appuyant sur la décomposition f. cent-vingt-quatre-mille-quatre du nombre, indique combien de boites de chaque type on doit commander pour avoir 23 407 Kapla. ★ Les élèves peuvent prendre appui sur le tableau de numération 5etDans éventuellement recourir au matériel de numération. 300 750 : ★ a. Quel est le chiffre des dizaines Réponses : ? a. 0 et 30 b. 0 et 300 de milliers Décomposer des nombres 6 DICO 4 7 En la décomposition 3 t’appuyant Regroupe sur les étiquettes qui du nombre, indique au combien boites correspondent même de nombre. de chaque type on doit commander pour B 300 dizaines centaines avoirA2330 407 Kapla. C 30 dizaines de E Boite 3 milliers 100 Kapla Boite de 1 000 Kapla DES NOMBRES ◗ ÉCRIRE EN CHIFFRES ET EN LETTRES 055-071-Unite 4.indd 61 I 300 centaines 055-071-Unite 4.indd 61 DICO hatier-clic.fr/CM1cap0201 G 300 milliers EXERCICE 6 Énigme Complète. a. (7 × 10 000) + (8 × 1 000) + (9Boite × 100) =… de et × 100) = ... c. (250 × 1 000) + (250 de ta d. calculatrice, trouve comment 600 029 = (... × 1 000) + (... × 10) + ... afficher : 807 = (... × 1 000) + ... e. 35 f. 408 150 = (... × 1 000) + (... × 10) 2 033 100 202 1 099 99 999 D 3 000 centaines F 30 dizaines de milliers H 30 000 ★ En utilisant b. (6 × uniquement 10 000) + (14les× touches 100) + 100 9 =Kapla ... INCONTOURNABLE INCONTOURNABLE ◗ DÉCOMPOSER DES NOMBRES 8 soixante-et-un • 61 Écris en chiffres chacun de ces nombres. a. 3 dizaines de milliers, 2 centaines, 8 dizaines 24/01/2020 10:24 b. 4 milliers, 10 centaines c. 6 dizaines de milliers, 12 milliers, 43 dizaines d. 13 milliers, 24 centaines e. 13 milliers, 13 centaines, 13 dizaines, 13 unités f. 245 centaines, 245 unités 4 Sur le réseau de chemin de fer français, La lecture fournit une première décomposiil y a du près denombre 18 centaines deen tunnels et près de 267 centaines de ponts ou viaducs. en chiffres et en lettresà: la centaine supérieure. tion qu’ilÉcris faut arrondir a. le nombre de tunnels INCONTOURNABLE de ponts ou viaducs Réponse b.: le nombre 23 boites de 1 000 et 5 boites de 100 150 9 Écris en lettres. a. 40 025 b. 102 080 10 Écris en chiffres. 5 ★ Dans 300 750 : a. Quel est le chiffre des dizaines 9 Écris en lettres. a. 40 025 b. 102 080 c. 300 950 d. 370 095 a. douze-mille-quatre-vingts b. cent-mille-trois-cents c. soixante-dix-mille-soixante-dix Boite de 1 000 Kapla 9 a. quarante-mille-vingt-cinq b.c. 300 cent-deux-mille-quatre-vingts 950 095 c.d. 370 trois-cent-mille-neuf-cent-cinquante d. trois-cent-soixante-dix-mille-quatre-vingt-quinze 10 Écris en chiffres. a. douze-mille-quatre-vingts 10 a. 12 080 b. 100 300 c. 70 070 b. cent-mille-trois-cents c. soixante-dix-mille-soixante-dix d. 17 010 e. 80 104 f. 124 004 d. dix-sept-mille-dix e. quatre-vingt-mille-cent-quatre f. cent-vingt-quatre-mille-quatre ◗ INCONTOURNABLE Combien y a-t-il de dizaines de milliers ? b. Quel est le chiffre des milliers ? Combien y a-t-il de milliers ? 10 a. 3 dizaines de milliers, 2 centaines, 8 dizaines DES NOMBRES b. 4 milliers, 10 centaines 4 Sur le réseau de chemin de fer français, ◗ ÉCRIRE EN CHIFFRES ET EN LETTRES c. 6 dizaines de milliers, 12 milliers, il y a près de 18 centaines de tunnels et On peut s’aider du tableau de numération et prendre appui Énigme 43 dizaines près de 267 centaines de ponts ou viaducs. DICO Hdu30nombre, 8 Écris en chacunÉcris de ces ennombres. chiffres et en de lettres : 000 indique I demandent 300 centaines combien de boites d’utiliser Ces exercices lachiffres valeur des unités a. 3 dizaines de milliers, 2a.centaines, le nombre de tunnels de chaque type on doit commander pour 8 dizaines b. le nombre de ponts ou viaducs avoir 23 407et Kapla. numération les relations qu’elles entretiennent. b. 4 milliers, 10 centaines 4 Sur le réseau de chemin de fer français, INCONTOURNABLE ★ INCONTOURNABLE INCONTOURNABLE b. 102 080 On peut soit faire fonctionner les équivalences entre unités de numération, soit passer par un calcul utilisant les 7 Complète. 2 033 100 202 par 1 099 999 multiplications 10, 99100, 1 000. On obtient ensuite la a. (7 × 10 000) + (8 × 1 000) + (9 × 100) = … b. (6 × 10 000) + (14 × 100) + 9 = ... réponse en se référant à la valeur des chiffres ou en addic. (250 × 1 000) + (250 × 100) = ... d. 600 029 = (... × 1 000) + (... × 10) + ... • 61 tionnant obtenus. e. 35 807 les = (... ×résultats 1 000) + ... afficher : 1 a. 100 b. 10 c. 10 d. 100 e. milliers f. milliers Réponses : INCONTOURNABLE INCONTOURNABLE INCONTOURNABLE 055-071-Unite 4.indd 61 Énigme En utilisant uniquement les touches et de ta calculatrice, trouve comment afficher : 2 033 100 202 1 099 99 999 hatier-clic.fr/CM1cap020 • 61 La tâche consiste à ajouter ou soustraire des nombres écrits avec des 0 et des 1 pour obtenir un nombre donné. Plusieurs solutions sont chaque fois possibles. Un exemple est donné ci-dessous pour chaque nombre. soixante-et-un 24/01/2020 10:24 Réponses possibles : 2 033 = 1 011 + 1 011 + 11 100 202 = 10 101 + 101 1 099 = 1 000 + 100 – 1 99 999 = 100 000 – 1 Rangement et lignes graduées Objectifs : UNITÉ apprentissage 31 apprentissage Le repérage sur une ligne graduée régulièrement a été abordé dans l’unité précédente avec les fractions. Il est repris ici avec des entiers pour questionner le rangement de grands nombres et insister sur trois notions : – la notion de régularité marquée par la proportionnalité entre les écarts séparant deux nombres et les distances séparant les repères qui leur correspondent, notamment la distance au repère 0 ; – l’importance du choix du pas de graduation, souvent déterminé par les nombres déjà placés ; – la notion de proximité (et donc d’arrondi) pour placer un nombre dont la position exacte ne peut pas être déterminée. – Savoir placer des nombres de façon exacte ou approchée sur une ligne graduée – Savoir ranger des nombres – Savoir arrondir un nombre – Savoir encadrer un nombre entre 2 dizaines, 2 centaines, 2 milliers consécutifs… Rangement et lignes graduées 4 apprentissage 3 LesJenombres mystérieux cherche Les nombres mystérieux Tom, Aya et Romy doivent ranger quatre nombres dans l’ordre croissant. Ils peuvent utiliser les 3 lignes graduées présentées. Moi je vais placer les quatre nombres approximativement sur la troisième ligne graduée. Moi j’ai rangé les quatre nombres sans me servir des lignes graduées. J’ai rangé les quatre nombres en utilisant les deux premières lignes graduées. qu’on peut s’imaginer les repères régulièrement espacés qui précèdent le premier repère donné jusqu’au repère correspondant à 0 à l’origine de la ligne. ● Préciser la tâche : ➞ Vous devrez d’abord répondre à la question A sur votre brouillon (ou votre feuille de recherche) et écrire les 4 nombres mystérieux. Puis vous expliquerez à la classe comment vous avez fait pour les trouver. Première ligne 11 000 11 100 A B Deuxième ligne 9 970 9 980 C 2 Recherche individuelle ou par équipes de 2 D de la question A Troisième ligne 10 000 E FG 11 000 H I J K L A a. Quels nombres Tom a-t-il placés en face des repères A et B ? b. Quels nombres a-t-il placés en face des repères C et D ? B Comment Aya a-t-elle rangé ces 4 nombres dans l’ordre croissant ? ● MATÉRIEL Jepour m’entraine la classe ASSOCIER DES À DES SUR UNE LIGNE duNOMBRES manuel p.REPÈRES 62 agrandie ouGRADUÉE projetée •◗ activité DICO 25 1 a. élève Recopie cette ligne graduée et écris les nombres en face des repères bleus. par b. Place au bon endroit les nombres : 58 65 72 77. p. 62,A questions A à C • manuel 50 • brouillon ou feuille de recherche • cahier de mathématiques 62 • soixante-deux 1 Présentation de la situation 2 Recherche de la question A 055-071-Unite 4.indd 62 3 Recherche de la question B 4 Recherche de la question C 5 Entrainement 70 Pendant la recherche, observer les procédures utilisées. ◗ PROCÉDURES POSSIBLES C En face de quelle flèche verte Romy va-t-elle placer chaque nombre ? INCONTOURNABLE 4 DÉROULÉ UNITÉ B C Collectif Individuel ou par équipes de 2 puis collectif Individuel ou par équipes de 2 puis collectif Individuel ou par équipes de 2 puis collectif Individuel 24/01/2020 10:24 RECHERCHE Comment ranger des nombres repérant des points sur différentes lignes régulièrement graduées puis les placer approximativement sur une même ligne graduée ? • Recherche du pas de graduation : – Par essais de nombres et vérifications, par comptage pas à pas du premier nombre repère donné jusqu’au second (sur la première ligne le comptage peut se faire de 2 en 2, de 10 en 10 ou de 20 en 20, sur la seconde il se fait de 5 en 5). – Calcul de l’écart séparant les deux nombres repères donnés puis calcul de la longueur du pas par division par le nombre de pas ou essais multiplicatifs. • Puis, identification des autres nombres repères par comptage pas à pas à partir d’un nombre repère donné. ◗ DIFFICULTÉS ÉVENTUELLES – Pour chercher le pas Aide À traiter lors de la phase collective de mise en commun des propositions. – Pour effectuer les calculs ou écrire les nombres en chiffres Aide Mettre à disposition la calculatrice et le tableau de numération. EXPLICITATION, VERBALISATION ◗ Faire rappeller que nombre associé à un repère corres- pond à la longueur entre ce repère et le repère associé à 0. ◗ Faire remarquer que : 1 Présentation collective de la situation ● Demander aux élèves de prendre connaissance de l’activité et rappeler l’enjeu de la situation : « Retrouver les 4 nombres mystérieux, trouver comment les ranger du plus petit au plus grand, puis les placer sur une même ligne graduée ». ● Indiquer qu’il n’apparait sur le manuel, pour des raisons de place, qu’une partie de chaque ligne graduée, mais – pour lire un nombre repère sur une ligne graduée régulièrement, il est nécessaire de connaitre l’écart qui sépare les nombres associés à deux repères consécutifs : le pas de graduation. – qu’en avançant régulièrement de repère en repère sur la ligne graduée, on ajoute à chaque fois ce pas au nombre repère associé. Réponses : a. A ! 11 040 B ! 11 142 b. C ! 9 985 D ! 10 005 151 UNITÉ 4 3 Recherche individuelle ou par équipes de 2 de la question B ◗ DIFFICULTÉS ÉVENTUELLES – Pour déterminer le pas de graduation Demander aux élèves de prendre connaissance de la question B, de ranger par écrit les 4 nombres dans l’ordre croissant et d’écrire comment Aya a pu faire pour ranger les nombres sans utiliser de ligne graduée. Aide Inciter les élèves à proposer des valeurs et à les tester en avançant pas à pas d’un repère donné à un autre. Si nécessaire mettre à disposition une calculatrice. ● – Pour arrondir les nombres à la centaine près Aide Faire verbaliser des décompositions de nombres en s’appuyant sur le tableau ou le matériel de numération. ◗ PROCÉDURES POSSIBLES POUR AYA – Comparaison de la longueur de l’écriture des nombres (nombre de chiffres) puis comparaison des nombres ayant le même nombre de chiffres en comparant par exemple leur nombre de milliers puis, s’ils sont identiques, leur nombre de centaines… – Utilisation de la méthode de comparaison vue en unité 1 : comparaison chiffre par chiffre en s’intéressant d’abord aux chiffres de plus grande valeur. – Procédure mixte. Recenser les propositions et les soumettre à la classe pour qu’elle discute de leur validité ● Réponses : 9 985 ➝ repère F 10 005 ➝ repère G 11 040 ➝ repère I 11 142 ➝ repère J EXPLICITATION, VERBALISATION ◗ Faire verbaliser que, pour placer approximativement un nombre sur une ligne graduée de pas donné (par exemple lignes graduées 10, 000…), il fautetl’encadrer à la longueur de ce 4100, 1Rangement 3 pas près (et que pour cela on peut d'abord apprentissage l’arrondir (par exemple, à la dizaine, à la centaine, au milier près…) Je cherche Les nombres mystérieux Tom, Aya et Romy doivent ranger quatre nombres dans l’ordre croissant. ◗ EnIls synthèse, faire remarquer que pour ranger des nombres, peuvent utiliser les 3 lignes graduées présentées. on peut : – les ordonner selon la valeur des chiffres dans leurs écritures – les placer de façon exacte (quand c’est possible) ou approchée Première ligne sur une demi-droite graduée regulièrement. UNITÉ ◗ DIFFICULTÉS ÉVENTUELLES – Pour trouver une méthode de comparaison Aide Inviter à prendre appui sur les unités de numération en faisant verbaliser des décompositions possibles et en les illustrant si nécessaire à l’aide du matériel de numération. – Pour exprimer la méthode de comparaison Aide Proposer d'expliquer sur un exemple. – Pour lire ou décomposer les nombres donnés en unités de numération Aide Mettre à disposition le tableau ou le matériel de numération. Recenser les propositions de rangements et les soumettre à la classe pour qu’elle s’accorde sur un résultat. Interroger ensuite les méthodes de comparaison proposées. ● En synthèse, mettre en avant, en l’illustrant à l’aide du tableau de numération, la méthode vue en unité 1 p. 48. Toujours valide, elle consiste à comparer les nombres chiffres par chiffres en commençant par ceux de plus grande valeur (donc par la gauche). ● Moi je vais placer les quatre nombres approximativement sur la troisième ligne graduée. Moi j’ai rangé les quatre nombres sans me servir des lignes graduées. J’ai rangé les quatre nombres en utilisant les deux premières lignes graduées. 11 000 11 100 A B TRACE ÉCRITE INDIVIDUELLE Deuxième ligne Faire9 970noter ou9 980 coller dans le cahier les éléments soulignés C en synthèse et les illustrer sur l’exemple Dtiré de la recherche Troisième ligne précédente. 10 000 11 000 E A FG H I J K L a. Quels nombres Tom a-t-il placés en face des repères A et B ? b. Quels nombres a-t-il placés en face des repères C et D ? Manuel p. 62-63 5 Entrainement individuel B Comment Aya a-t-elle rangé ces 4 nombres dans l’ordre croissant ? C En face de quelle flèche verte Romy va-t-elle placer chaque nombre ? Associer des nombres à des repères m’entraine sur Je une ligne graduée ◗ ASSOCIER DES NOMBRES À DES REPÈRES SUR UNE LIGNE GRADUÉE INCONTOURNABLE Réponses : 9 985 < 10 005 < 11 040 < 11 142 1 DICO 25 a. Recopie cette ligne graduée et écris les nombres en face des repères bleus. b. Place au bon endroit les nombres : 58 65 72 77. 50 70 A B C 4 Recherche individuelle ou par équipes de 2 ◗ PROCÉDURES POSSIBLES – Prendre appui sur le rangement précédent pour situer dans quel intervalle placer chacun des 4 nombres (avant 10 000, après 11 000, entre les deux). – Chercher le pas de graduation (ici 100) et associer un nombre aux repères qui encadrent les points indiqués par une flèche. – Trouver un arrondi ou un encadrement (ici à la centaine près) de chacun des 4 nombres et les associer au repère fléché correspondant. 62 2• soixante-deux a. Recopie cette ligne graduée et écris les nombres en face des repères bleus. b. Place au bon endroit les nombres : 9 300 055-071-Unite 4.indd 62 9 000 INCONTOURNABLE 9 900 10 100 ◗ COMPARER, RANGER DES NOMBRES 2 Complète avec < ou >. a. 52 634 ... 56 700 b. 210 568 ... 108 650 10 600 11 500. B 11 000 A 1 EXERCICES 3 C 24/01/2020 10:24 DICO 5-6 c. 4 987 ... 40 001 e. 175 075 ... 207 655 ... 78 855 f. 268 903 ... 000 Le pas correspondant àd. 78un585carreau est facile à266déterminer Écris ces nombres1 dans dans4 l’exercice (ill’ordre estcroissant. de 1) et5 plus difficile trouver dans Écris ces nombres dansàl’ordre décroissant. B soixante-mille 25 020 2 960 le 2 (il est de100 100). 000 A dix-mille-cent C deux-cent-mille-dix 25 017 Réponses : 1 6a.806A ➝ 5613 000 B ➝ 75 C ➝ 79 D cent-mille-vingt b. E quatre-vingt-mille 50◗ ENCADRER DES A NOMBRES INCONTOURNABLE Indiquer aux élèves qu’un nombre est placé approximativement lorsqu’il qu’il n’est pas exactement en face d’un repère mais qu’il est situé entre deux repères successifs associés à deux nombres proches du nombre que l’on veut repérer (un plus petit et un plus grand). ● Pendant la recherche observer les procédures des élèves : ● INCONTOURNABLE de la question C b. 69 700 6 69 800 69 900 70 DICO 7 70 000 70 100 70 200 B 70 300 70 400 C 70 500 Indique les nombres repères entre lesquels placer les nombres suivants. a. 69 990 b. 70 120 c. 69 808 58 7 ple 9Exem 000 65 2 a. A ➝ 9 600 Encadre chacun de ces nombres par deux milliers consécutifs, c’est-à-dire qui se suivent. 4 000 < 4 530 < 5 000 A d. 758 a. 6 908 b. 14 510 e. 20 060 c. 1 026 f. 125 753 9 300 72 d. 70 007 77 B➝ 800 C ➝chacun 11 des 900 8 10 Encadre maintenant nombres de l’exercice 7 : a. par deux dizaines consécutives b. par deux centaines consécutives 11 dizaines 000 de milliers c. parBdeux consécutives 9 900 10 100Énigme 10 600 0 A C 11 500 B Tom a placé deux nombres en face des repères A et B. Dino les a effacés. Tom se souvient que la somme de ces deux nombres est égale à 24 000. Retrouve-les. hatier-clic.fr/CM1cap021 152 soixante-trois • 63 055-071-Unite 4.indd 63 24/01/2020 10:24 INCONTOURNABLE 2 a. Recopie cette ligne graduée et écris les nombres en face des repères bleus. b. Place au bon endroit les nombres : 9 300 9 900 10 100 10 600 11 500. 9 000 B 11 000 A C Comparer, ranger des nombres INCONTOURNABLE ◗ COMPARER, RANGER DES NOMBRES 5-6 3 Complète avec < ou >. a. 52 634 ... 56 700 b. 210 568 ... 108 650 4 Écris ces nombres dans l’ordre croissant. 25 020 25 017 c. 4 987 ... 40 001 d. 78 585 ... 78 855 INCONTOURNABLE 69 800 69 900 Cet exercice vise à mettre en lien le placement approximatif de nombres sur une ligne graduée et leur encadrement à la longueur du pas près. e. 175 075 ... 207 655 f. 268 903 ... 266 000 Écris ces nombres dans l’ordre décroissant. B soixante-mille Réponses : a. entre 69 900 et 70 000 b. entre 70 100 et 70 200 c. entre 69 800 et 69 900 d. entre 70 000 et 70 100 A dix-mille-cent C deux-cent-mille-dix 13 000 6 806 ◗ ENCADRER DES NOMBRES 69 700 5 2 960 100 000 6 3 EXERCICE EXERCICE 6 DICO D cent-mille-vingt EXERCICES 7 E quatre-vingt-mille DICO 7 70 000 70 100 70 200 70 300 70 400 Indique les nombres repères entre lesquels placer les nombres suivants. a. 69 990 b. 70 120 c. 69 808 8 Ces exercices prolongent le précédent en introduisant la notion d’encadrement et l’écriture de la double inégalité qui lui est associée. 70 500 d. 70 007 INCONTOURNABLE Les élèves peuvent s’aider d’un tableau de numération pour Encadre maintenant chacun des nombres 7 Encadre chacun de ces nombres par cette ligne graduée et écris les nombres en face des repères bleus. déterminer laconsécutifs, valeur c’est-à-dire des chiffres8 dans l’écriture des nombres.2 a.b. Recopie de l’exercice 7: deux milliers Place au bon Réponses endroit les nombres: : 9 300 9 900 10 100 10 600 11 500. a. par deux dizaines consécutives qui se suivent. b. par deux centaines consécutives 4 000 < 4 530 <de 5 000 Il conviendra distinguer les erreurs qui sont dues à des 9 000 A B 11 000 C 7 Encadrement par 2 milliers : c. par deux dizaines de milliers a. 6 908 d. 758 consécutives de celles qui sont b. 14 510poure.comparer 20 060 difficultés les nombres a. 6 000 < 6 908 < 7 000 b. 14 000 < 14 512 < 15 000 c. 1 026 f. 125 753 c. 1 000 < 1 026 < 2 000 d. 0 < 758 < 1 000 liées à une mauvaise connaissance des symboles < et > . Énigme COMPARER, RANGER DES NOMBRES Exemple ◗ DICO e. 29 000 < 29 069 < 30 000 f. 125 000 < 125 753 < 126 000 Complète avec < ou >. 8 Encadrement par a. 52 634 ... 56 700 c. 4 987 ... 40 0012 dizainese.:175 075 ... 207 655 b. 210 568 ... 108 650 ... 78 855 f. 268 903 ... 266 000 a. 6 900d. 78< 585 6 908 < 6 910 b. 14 510 < 14 512 < 14 520 c.l’ordre 1 020 < 1 0265 < Écris 1 030 d. 750 < 758 < 760 4 Écris ces nombres dans croissant. ces nombres dans l’ordre décroissant. B soixante-mille e. 29 060 25 020 2 960 < 29 069 < 29 070 EXERCICES 4 5 100 000 A soixante-trois • 63 f. 125 750 < 125 753dix-mille-cent < 125 760 C deux-cent-mille-dix 25 017 13 000 6 806 Encadrement par 2 centaines : Ces exercices se différencient par le fait que les nombres D cent-mille-vingt E quatre-vingt-mille a. 6 900 < 6 908 < 7 000 b. 14 500 < 14 512 < 14 600 sont donnés sous forme d’écritures en chiffres ou d’écri- ENCADRER DES NOMBRES ◗ c. 1 000 < 1 026 < 1 100 d. 700 < 758 < 800 2 a. Recopie cette ligne graduée et écris les nombres en face des repères bleus. tures en lettres et lespar le : fait ranger dans6 69 700 69 800 e.69 29 b. Place au bon endroit nombres 9 300 que 9 900 l’on 10 100 doit 10 600 les 11 500. 900 000 70 000 70 100 70 300 f. 70125 400 700 70 500 < 125 753 < 125 800 < 29 069 70< 200 29 100 9 000 A B 11 000 C l’ordre croissant dans un cas et décroissant dans l’autre. Indique les nombres repères entre lesquels placer les nombres suivants. Encadrement par 2 dizaines de milliers b. 70 120 c. 69 808 d. 70 007 : Dans le cas où ils ne sont pas donnés en chiffres, le pas- a. 69 990 a. 0 < 6 908 < 10 000 b. 10 000 < 14 512 < 20 000 Encadre maintenant chacun des nombres chacun de ces nombres par sage◗par une traduction chiffrée est possible, mais d’autres7 Encadre c. 0c’est-à-dire < 1 026 < 108 000 d. 70: < 758 < 10 000 COMPARER, RANGER DES NOMBRES de l’exercice deux milliers consécutifs, a.< par30 deux000 dizaines consécutives qui se suivent. e. 20 000 < 29 069 f. 120 000 < 125 753 < 130 000 méthodes peuvent 3 Complète avec < ou >. être aussi mises en œuvre. b. par deux centaines consécutives 4 000 < 4 530 < 5 000 INCONTOURNABLE 0 A 210 568 B > 108 650 Réponses : a. 52 634 < 56 700 b. c. 4 987 < 40 001 d. 78 585 < 78 855 Tom a placé deux nombres en face des repères A et B. Dino les a effacés. se souvient que la somme de deux nombres égale 000 à 24 000. e. 175Tom 075 < 207 655 f.ces268 903 >est266 Retrouve-les. 5-6 3 hatier-clic.fr/CM1cap021 055-071-Unite 4.indd 63 24/01/2020 10:24 INCONTOURNABLE DICO INCONTOURNABLE 7 DICO INCONTOURNABLE 5-6 a. 52 634 ... 56 700 c. 4 987 ... 40 001 Exemple e. 175 075 ... 207 655 a. 6 908 b. 210 568 ... 108 650 78 585 ... 78 855 f. 268 903 ... 266 000 510 Réponses : 4 2 960 < 6 d.806 < 13 000 < 25 017 < 25 020 < 100 000 b.c. 114026 4 Écris ces nombres dans l’ordre croissant. 5 Écris ces nombres dans l’ordre 5 deux-cent-mille-dix > cent-mille-vingt > quatre-vingtdécroissant. B soixante-mille 25 020 2 960 > soixante-mille dix-mille-cent 100mille 000 A>dix-mille-cent 25 017 INCONTOURNABLE 69 700 6 69 800 69 900 DICO 7 Exemple B hatier-clic.fr/CM1cap021 70 000 Encadre chacun de ces nombres par deux milliers consécutifs, c’est-à-dire qui se suivent. 4 000 < 4 530 < 5 000 a. 6 908 d. 758 b. 14 510 e. 20 060 c. 1 026 f. 125 753 A Retrouve-les. E quatre-vingt-mille 70 100 70 200 70 300 Indique les nombres repères entre lesquels placer les nombres suivants. a. 69 990 b. 70 120 c. 69 808 7 Énigme 0 Tom a placé deux nombres en face des repères A et B. Dino les a effacés. Tom se souvient que la somme de ces deux nombres est égale à 24 000. D cent-mille-vingt Encadrer des nombres ◗ ENCADRER DES NOMBRES c. par deux dizaines de milliers consécutives C deux-cent-mille-dix 13 000 6 806 d. 758 e. 20 060 f. 125 753 8 70 400 70 500 d. 70 007 soixante-trois 055-071-Unite 4.indd 63 Encadre maintenant chacun des nombres de l’exercice 7 : a. par deux dizaines consécutives b. par deux centaines consécutives c. par deux dizaines de milliers consécutives Énigme 0 A • 63 La distance entre les repères consécutifs ou les distances de ces repères par rapport à 0 permettent de déterminer des rapports entre les nombres. On peut ainsi déduire que le nombre associé à B est le double de celui associé à A. On peut alors procéder par essais : choisir un nombre et lui ajouter son double jusqu’à atteindre 24 000. B 24/01/2020 10:24 Réponse : A = 8 000 B = 16 000 Tom a placé deux nombres en face des repères A et B. Dino les a effacés. Tom se souvient que la somme de ces deux nombres est égale à 24 000. Retrouve-les. hatier-clic.fr/CM1cap021 soixante-trois • 63 055-071-Unite 4.indd 63 24/01/2020 10:24 153 UNITÉ 4 Multiplication : calcul posé Objectifs : UNITÉ Multiplication : calcul posé 4 apprentissage 4 Multiplication en colonnes Je cherche Multiplication en colonnes A D Calcule. 426 × 3 B 426 × 4 Utilise les résultats que tu as obtenus pour calculer : a. 426 × 30 b. 426 × 300 c. 426 × 40 4 2 6 3 3 4 1 7 0 4 a 1 2 7 8 0 b 2 7 8 0 0 c × ■ ■ 8 8 × MATÉRIEL pour calculer : a. 426 × 34 b. 426 × 43 c. 426 × 304 d. 426 × 343 1 Je m’entraine 4 par élève ◗ DIFFICULTÉS ÉVENTUELLES • DE 10, DE 100 • brouillon ou feuille de recherche 1 Calcule. • cahier a. 43 × 7 de mathématiques d. 307 × 9 65 × 8 e. 485 × 6 calculatrice • lab.c. 206 ×4 f.est 666 interdite ×8 37-38 b. 9 7 ■ ■ ■ 8 c. × 8 6 3 ■ 5 7 ■ ■ 3 ■ 5 1 Présentation de la situation 2 Calcule. Collectif Individuel puis collectif c. 35 × 300 f. 206 × 60 3 Recherche de la question B Individuel puis collectif Utilise le résultat de Tom pour calculer : 3 Calcule ces produits. Choisis la méthode a. 45 × 60 c. 45 × 66 4 la Recherche de la question C Individuel puis collectif plus rapide. b. 45 × 600 d. 45 × 606 a. 235 × 2 e. 506 × 7 5 b.Recherche def. la D6 Calcule Individuel puis 235 × 200 506question × 700 ce produit : 346 × 5.collectif c. 43 × 5 g. 86 × 3 Utilise le résultat pour calculer : 43 × 50 h. 860 × 300 a. 346 × 50 d. 346 × 505 6 d.Entrainement Individuel 46 × 20 206 × 400 2 a.b.Recherche dee.d.la A 46 × 50 35 ×question 800 b. 346 × 55 c. 346 × 555 Aide À traiter pendant la mise en commun des propositions. Faire un inventaire rapide des réponses puis s’appuyer sur les procédures effectivement apparues pour construire la synthèse. Elle sera différente selon le degré de maitrise par les élèves de la technique de la multiplication : – en cas de bonne réussite, elle peut se limiter à une explication des différentes étapes : par exemple, pour 426 × 3, on calcule d’abord 3 fois 6 unités (18 unités, donc 1 dizaine en retenue), etc. et éventuellement être mise en parallèle avec une procédure où on commencerait à calculer successivement 400 × 3, 20 × 3 et 6 × 3 avant d’additionner les 3 résultats. – si ce n’est pas le cas, expliquer le calcul de la multiplication en le mettant en relation avec le calcul par addition itérée (voir synthèse ci-dessous). ● Complète. a. MULTIPLIER PAR UN NOMBRE ◗ manuel À UN CHIFFRE UN MULTIPLE pOU64, questions A à D × DICO – Pour poser la multiplication Romy a commencé à calculer une multiplication posée en colonnes. Indique pour chaque ligne le calcul qu’elle a réalisé. Termine ensuite le calcul C Utilise les résultats des questions A et B INCONTOURNABLE apprentissage 4 La technique usuelle de calcul d’une multiplication posée en colonnes a été mise au point et entrainée au CE2. Il s’agit ici de la remettre en place si nécessaire, et surtout de revenir sur sa compréhension. Les propriétés de la multiplication qui permettent de comprendre et de justifier le calcul posé sont les mêmes que celles qui sont mobilisées en calcul réfléchi et qui ont été mises en évidence en unité 2. – Savoir poser une multiplication – Comprendre la technique utilisée en référence aux propriétés de la multiplication (associativité et distributivité par rapport à l’addition) et de la numération décimale INCONTOURNABLE 4 DÉROULÉ UNITÉ Étapes de la multiplication par un nombre à un chiffre 1 e. 346 × 51 f. 346 × 501 1 426 m c d u 426 + 426 × 3 + 426 1278 1278 1. On calcule d’abord 3 fois 6 unités, on obtient 18 unités ou 1 dizaine et 8 unités : on écrit 8 au rang des unités et on garde 1 dizaine en retenue (écrite ici dans la boite à retenues) ; 2. On calcule ensuite 3 fois 2 dizaines, on obtient 6 dizaines auxquelles il faut ajouter la dizaine en retenue : on écrit donc 7 au rang des dizaines ; 3. On calcule enfin 3 fois 4 centaines, on obtient 12 centaines ou 1 millier et 2 centaines : on écrit 2 au rang des centaines et 1 au rang des milliers. Conclusion : – Dans la multiplication comme dans l’addition, on commence par les unités, donc par 3 fois 6 unités : 18 unités, soit 8 unités et 1 dizaine. – Dans l’addition, on place la retenue dans la colonne des dizaines ; dans la multiplication, on la place dans la boite à retenues. RECHERCHE 64 • soixante-quatre Quelle signification donner à chacune des étapes d’une multiplication posée ? 055-071-Unite 4.indd 64 24/01/2020 10:24 1 Présentation collective de la situation Présenter la situation : il s’agit de revoir une technique de multiplication posée (déjà rencontrée en CE2) et d’en comprendre le fonctionnement. ● Préciser la tâche : ● ➞ Vous allez d’abord revoir la multiplication par un nombre à un chiffre (question A), puis la multiplication par un nombre dont l’écriture se termine par 0 (question B). Vous en déduirez les résultats d’autres multiplications sans les poser (question C). Vous expliquerez enfin à quoi correspondent les différentes étapes d’une multiplication posée (question D). 2 Recherche individuelle puis collective de la question A Observer ce que font les élèves de façon à vérifier si la maitrise de la multiplication par un nombre à un chiffre est assurée ou non. ● ◗ PROCÉDURES POSSIBLES – Addition itérée. – Multiplication posée. – Calcul réfléchi avec résultats intermédiaires écrits en ligne. 154 ● Conserver au tableau les deux résultats. Réponses : 426 × 3 = 1 278 426 × 4 = 1 704 3 Recherche individuelle puis collective de la question B Traiter rapidement cette question dans la mesure où il s’agit d’utiliser des connaissances travaillées précédemment en unité 2. ● 4 apprentissage 4 UNITÉ Je cherche 4 Recherche individuelle puis collective de la question C Là aussi, la résolution peut être assez rapide dans la mesure où les procédures mises en évidence pour le calcul réfléchi sont utilisables. Préciser aux élèves qu’ils peuvent écrire leurs calculs. ● ◗ PROCÉDURES POSSIBLES – Combinaison des résultats déjà obtenus sans référence à la multiplication posée : par exemple 426 × 34 peut être obtenu comme somme de 426 × 30 et de 426 × 4. – Multiplication posée avec utilisation des résultats déjà obtenus pour les calculs intermédiaires. – Multiplication posée sans référence aux résultats déjà obtenus. Recenser les résultats et faire formuler les procédures utilisées sans en privilégier une en particulier. D Indique pour chaque ligne le calcul qu’elle a réalisé. Termine ensuite a 1 7 le0calcul 4 B Utilise les résultats des que questions tu as obtenus C A et B pour calculer : 30 a. 426 × 34 300 b. 426 × 43 40 c. 426 × 304 d. 426 × 343 Utilise les résultats des questions A et B pour calculer : a. 426 × 34 b. 426 × 43 c. 426 × 304 d.ULTIPLIER 426 × 343PAR UN NOMBRE M DICO À UN CHIFFRE OU UN MULTIPLE 37-38 DE 10, DE 100 1 C a. 14 484 b. 18 318 c. 129 504 d. 146 118 2 1 2 Complète.1 a. a. 43 × 7 d. 307 × 9 c. 206 × 4100 DE 10, DE f. 666 × 8 37-38 × × 5 1 7 0 4 a 7 8 0 b 2 7 8 a. plus 46 ×rapide. 20 d. 206 × 400 la b. 235 46 ××50 35 ××800 a. 2 e. 506 7 c. 235 35 ××300 206 × 700 60 b. 200 f. 506 c. 43 × 5 g. 86 × 3 d. 43 × 50 h. 860 × 300 3 Calcule ces produits. Choisis la méthode la plus rapide. a. 235 × 2 e. 506 × 7 b. 235 × 200 f. 506 × 700 64 • soixante-quatre c. 43 × 5 g. 86 × 3 d. 43 × 50 h. 860 × 300 2 0 c. 9 7 ■ ■ ■ 8 ■ ■ 8 8 3 ■ 5 × 7 ■ ■ 3 ■b. × c 8 6 × × 8 6 ■ ■ 8 8 3 ■ 5 7 ■ ■ 3 ■ Utilise le résultat de Tom pour calculer : a. 45 × 60 c. 45 × 66 b. 45 × 600 d. 45 × 606 6 Calcule ce produit : 346 × 5. Utilise le résultat pour calculer : Utilise le résultat de Tom pour calculer : a. 346 × 50 d. 346 × 505 a. 45 × 60 c. 45 × 66 b. 346 × 55 e. 346 × 51 b. 45 × 600 d. 45 × 606 c. 346 × 555 f. 346 × 501 6 Calcule ce produit : 346 × 5. Utilise le résultat pour calculer : a. 346 × 50 d. 346 × 505 b. 346 × 55 e. 346 × 51 c. 346 × 555 f. 346 × 501 055-071-Unite 4.indd 64 64 • soixante-quatre 0 b. ■ 5 Calcule.ces produits. Choisis la méthode 32 Calcule EXERCICES 1 c 2 9 7 Complète. a. DICO d. 307 × 9 d. 206 × e. 485 × 400 6 e. f. 35 666××800 8 f. 206 × 60 b 1 c. Calcule. Calcule. a. 43 × 7 a. b. 46 65 × × 20 8 b. 46 ××50 c. 206 4 c. 35 × 300 0 6 ■ ■ 8 4 PAR UN NOMBRE ◗ MÀb.ULTIPLIER 65 × 8 e. 485 × 6 UN CHIFFRE OU UN MULTIPLE 8 2 × Je m’entraine Multiplier par un nombre à 4un chiffre ou un◗multiple de 10, de 100 Je1 m’entraine Calcule. 7 4 1 2 7 8 0 0 Manuel 3 p. 3 464-65 6 Entrainement individuel ● Réponses : Romy a commencé à calculer une apprentissage 4 multiplication posée en colonnes. Indique pour chaque ligne le calcul qu’elle a réalisé. Termine ensuite le calcul Faire recopier dans leobtenus cahier deenmathématiques, un exemple Utilise les résultats que tu as JeB cherche Multiplication colonnes pour calculer : de Amultiplication posée avec explications des calculs intera. 426 × 30 D Romy a commencé à calculer Calcule. 4 2une6 b. 426 × 300 multiplication posée en colonnes. médiaires comme celle présentée dans la recherche. 426 × 4 c.426 426× ×3 40 × 3 3 4 INCONTOURNABLE 426 × 40 = 17 040 Multiplication: en colonnes Multiplication calcul posé Calcule. TRACE 426 ÉCRITE INDIVIDUELLE ×3 426 × 4 I N C IONNCTOONUTRONUARBNLAEB L E Réponses : 426 × 30 = 12 780 426 × 300 = 127 800 A INCONTOURNABLE Conserver au tableau les différents résultats avec ceux obtenus dans la question A. Ce répertoire de résultats pourra être utilisé pour la question suivante : ● 4 de la question D ● Recenser les réponses des élèves et les faire discuter. Réponses : 426 334 1704 12780 127800 142284 × 1 m c retenues de 426 × 4 retenue de 426 × 3 retenue de 426 × 3 d u EXPLICITATION, VERBALISATION 24/01/2020 10:24 Ces exercices reprennent les points travaillés dans les questions A et B de la recherche. Réponses : a. 426 × 4 b. 426 × 30 = 426 × 3 × 10 c. 426 × 300 = 426 × 3 × 100 2 1 1 1 a. 301 b. 520 c. 824 d. 2 763 e. 2 910 f. 5 328 2 a. 920 b. 2 300 c. 10 500 d. 82 400 e. 28 000 f. 12 360 3 a. 470 b. 47 000 c. 215 d. 2 150 e. 3 542 f. 354 200 g. 258 h. 258 000 EXERCICE 4 Une bonne connaissance des tables est indispensable pour répondre. Réponses : a. b. × 97 4 388 EXERCICES 5 6 ✶ ◗ Faire formuler les liens entre les calculs effectués pour 426 × 334 et les résultats déjà obtenus aux questions précédentes. En déduire que : « calculer 334 fois 426, c’est calculer, d’abord 4 fois 426, puis encore 30 fois 426, et encore 300 fois 426 ». ◗ Faire remarquer en synthèse que pour calculer une mutiplication : – il faut décider si la multiplication doit être posée ou non ; – on peut écrire d’abord les produits intermédiaires à calculer qu’il faudra ensuite additionner. ◗ L’utilisation de la boite à retenues constitue une aide précieuse : elle permet de noter à la fois le chiffre retenu et sa valeur. Les chiffres utilisés sont barrés après avoir été utilisés. La colonne des unités de la boite à retenues n’est jamais utilisée. ◗ Aux différentes étapes (ici calcul de 426 × 30 et 426 × 300) : – on écrit d’abord les 0 qui correspondent à la multiplication par 10 et par 100 ; – on multiplie ensuite toujours le nombre à multiplier par un nombre inférieur à 10, ici 426 × 3 ce qui explique que dans la boite à retenue 6 × 3 donne 1 comme retenue aux dizaines, que ce soit pour le calcul de la 2e étape ou de la 3e étape. 4 24/01/2020 10:24 3 055-071-Unite 4.indd 64 5 Recherche individuelle puis collective UNITÉ × 86 8 688 c. × 305 7 2135 Il s’agit de mobiliser les propriétés de la multiplication pour calculer de nouveaux produits à partir du résultat du premier. Réponses : 5 a. 2 700 b. 27 000 c. 2 970 d. 27 270 6 346 × 5 = 1 730 a. 17 300 b. 19 030 c. 192 030 d. 174 730 e. 17 646 f. 173 346 155 EXERCICES 12 13 ✶ 14 ✶ Multiplier par un nombre à plusieurs chiffres ◗ DICO 37-38 13 Le circuit des 24 heures du Mans est long PAR UN NOMBRE ◗7 MULTIPLIER ÀCalcule PLUSIEURS CHIFFRES ces produits. Choisis la méthode une voiture réalisé 386dutours circuit. 13 Le circuit desa24 heures Mansduest long la plus rapide. a. 306 ces × 24produits. Choisis d. 780 × 45 7 Calcule la méthode 20 ×rapide. 111 e. 708 × 45 lab.plus 5 218 ×5 807××45 45 a.c.306 × 24 d.f. 780 b. 20 × 111 e. 708 × 45 c. 5 218 × 5 f. 807 × 45 8 Quel est le chiffre des unités du résultat de : a. 38 × 17 ? c. 308 × 38 ? b. 38 ? d. du 308résultat × 49 ?de : 8 Quel est×le25chiffre des unités a. 38 × 17 ? c. 308 × 38 ? b. 38 × 25 ? d. 308 × 9 Quel est le chiffre des dizaines 49 ? du résultat de : a. 38est × le 17chiffre ? c. 308 × 38 ? Quel des dizaines b.résultat 38 × 25de ? : d. 308 × 49 ? du a. 38 × 17 ? c. 308 × 38 ? 10 b.Tom en effectuant 38 s’est × 25trompé ? d. 308 ×ces 49 ? multiplications. Trouve erreurs corrige-les. 10 Tom s’estles trompé enet effectuant ces a. 8 4 7 b. 6 5 4 multiplications. × les erreurs × 3 et 2 corrige-les. 2 0 3 Trouve 1 86 48 74 b. 1 69 56 42 a. × 2 4 2 31 20 × 1 2 20 08 30 2 15 68 89 44 1 14 90 64 22 2 4 2 1 0 1 2 0 8 0 11 Complète. 2 5 8 9 4 1 4 0 4 2 ★★ a. 4 ■ b. 3 ■ 7 11 Complète. ■ ■ ■ 7 × × ★★ ■ 4■■2 2 3■■5 76 a. b. ■ 2 ■■■■ × × ■ ■■0 70 ■■6 ■■ 2■ 1 21 ■6 56 66 ■ ■ 0 0 ■ 2 ■ ■ ■ 6 ■ ■ 1 1 6 6 6 12 Une puce avance sur une droite graduée, par des bonds réguliers, de 57 en 57. Elle puce part du repère 12 Une avance surcorrespondant une droite graduée, à 200 elle effectue par deset bonds réguliers,68debonds. 57 en 57. En part face du de repère quel repère arrivera-t-elle ? Elle correspondant à 200 et elle effectue 68 bonds. En face de quel repère arrivera-t-elle ? 9 ★ de 14 km. Pendant la durée de la course, a.14 Quelle a été la distance parcourue de km. Pendant la durée de la course, parvoiture cette voiture une a réalisé? 386 tours du circuit. a.b.Quelle a étéqu’en la distance parcourue Est-il vrai moyenne la voiture par cette voiture ? 225 km par heure ? a parcouru plus de b. Est-il vrai qu’en moyenne la voiture 14 a parcouru En France,plus de 225 km par heure ? MULTIPLIER PAR UN NOMBRE ★★ la consommation de pain À PLUSIEURS CHIFFRES ★ ◗ 14 ★★ DICO 37-38 augmente En France, avec l’âge. laUn consommation de pain adulte de plus ans mange en 7de 55 Calcule ces produits. Choisis la méthode augmente avec l’âge. INCONTOURNABLE DICO 37-38 moyenne 120 g de pain par rapide. jour, soit la plus 50 adulte g de plus qu’undeadolescent 11 Un de plus 55a. ans 306 mange ×(entre 24 en d. 780 × 45 et 19 ans)120 et trois plus moyenne g defois pain parqu’un soit b. 20 ×jour, 111enfant e. 708 × 45 (entre 10 ans). 50 g de3 et plus qu’un adolescent c. 5 218(entre × 5 11 f. 807 × 45 et 19Source ans) :et trois fois plusenquête qu’unCCAF enfant observatoire du pain 2016 (entre 3 et 10 ans). a. Quelle est la consommation Source : observatoire du pain enquête Quel est CCAF le chiffre quotidienne de pain 8d’un adolescent ?2016 des unités du résultat de : a. 38 × 17 ? c. 308 × 38 ? enfant a.d’un Quelle est ?la consommation b. 38 × 25 ? d. 308 × 49 ? quotidienne delapain d’un adolescent ? b. Quelle est consommation mensuelle d’un enfant de pain d’un? adulte de plus de 55 ans ? adolescent ? d’un ?mensuelle 9 enfant Quel est le chiffre des dizaines b.d’un Quelle est la consommation Tupain peuxd’un prendre 1 mois =du30 jours résultat de adulte de plus de 55 ansde? : a. 38 ?×annuelle 17 ? c. 308 × 38 ? d’un adolescent d’un enfant c. Quelle est la ?consommation b. ×5525ans ? ? d. 308 × 49 ? Tu 1 mois 3038 jours depeux painprendre d’un adulte de =plus de adolescent ? d’un enfant annuelle ? c.d’un Quelle est la consommation 10=plus Tom trompé Tupain peuxd’un prendre 1 an 12 mois de adulte de des’est 55 ans ? en effectuant ces multiplications. d’un adolescent ? d’un enfant ? Trouve les erreurs et corrige-les. Tu peux prendre 1 an = 12 mois a. 8 4 7 b. 6 5 4 × × 3 2 2 0 3 125 × 125 = 15 11 × 11 = 121 1 625 6 8 4 1 9 6 2 2 4 2 1 0 1 2 0 8 0 En multipliant un nombre par lui-même, 8 9 4 1 4 0 4 2 125 × 125 =2155 625 11 × 11 = 121 il arrive parfois que le chiffre des unités soit le même un dans le résultat que dans En multipliant nombre lui-même, 11 par Complète. nombre. Il arrive aussi quedes celaunités illearrive parfois que le chiffre ★★ ■ a. b. 3 ■ 7 se produise des soit le même avec dans le le chiffre résultat quedizaines dans 4 ■ ■ ■ 7 × × le chiffreIl des unités. leetnombre. arrive aussi que cela ■ ■ ■ 2 2 5 6 Trouve d’autres nombres pour lesquels se produise avec le chiffre des dizaines ■ ■ ■ ■ ■ 0 0 2 faire mêmes constats. etonlepeut chiffre desces unités. ■ 6 ■ ■ 1 1 6 6 6 Trouve d’autres nombres pour lesquels INCONTOURNABLE INCONTOURNABLE INCONTOURNABLE INCONTOURNABLE INCONTOURNABLE MULTIPLIER PAR UN NOMBRE À PLUSIEURS CHIFFRES Énigme Énigme hatier-clic.fr/CM1cap022 on peut faire ces mêmes constats. 200 210 220 230 200 210 220 230 EXERCICE 7 12 Une puce avance sur une droite graduée, hatier-clic.fr/CM1cap022 par des bonds réguliers, de 57 en 57. Elle part du repère correspondant soixante-cinq • 65 68 bonds. à 200 et elle effectue En face de quel repère arrivera-t-elle ? soixante-cinq • 65 055-071-Unite 4.indd 65 24/01/2020 10:24 Les résultats peuvent être obtenus par différentes procédures sans nécessairement toujours poser l’opération. 055-071-Unite 4.indd 65 24/01/2020 10:24 200 210 220 230 Réponses : a. 7 344 b. 2 220 c. 26 090 d. 35 100 e. 31 860 f. 36 315 055-071-Unite 4.indd 65 EXERCICES 8 9 Les résultats peuvent être obtenus sans poser l’opération pour l’exercice 8 ni la poser complètement pour l’exercice 9. Réponses : 8 a. 6 b. 0 c. 4 d. 2 9 a. 4 b. 5 c. 0 d. 9 EXERCICE 10 ✶ Multiplication a. : Oubli des retenues dans les deux produits intermédiaires. Multiplication b. : Multiplication par 20 au lieu de 200 et oubli d’une retenue dans le 2e produit intermédiaire. Réponses : a. 847 32 1694 25410 27104 × b. 654 203 1962 130800 132762 × EXERCICE 11 ✶ ✶ Une bonne connaissance des tables est indispensable pour pouvoir conduire un raisonnement qui permet d’éliminer rapidement les chiffres impossibles. Réponses : a. 156 46 × 57 322 2300 2622 b. 307 38 2456 9210 11666 × Dans les problèmes 13 et 14, la notion de vitesse ou de consommation moyenne peut être expliquée en reformulant les questions : « si la voiture avait roulé très régulièrement… » ; « si un adolescent avait mangé tous Le circuit des 24 heures du Mans est long les13 jours même de pain… » de 14 km. la Pendant la durée dequantité la course, ★ une voiture a réalisé 386 tours du circuit. a. Quelle a été la distance parcourue Réponses : ?12 4 076 par cette voiture b. Est-il vrai qu’en moyenne la voiture a parcouru plus de 225 km par heure ? 13 a. 5 404 km 14 ★★ b. C’est vrai, en roulant à la vitesse régulière de 225 km par heure pendant 24 h, la voiture aurait Un adulte de plus deparcouru 55 ans mange 5 en 400 km En France, la consommation de pain augmente avec l’âge. moyenne 120 g de pain par jour, soit 50 g de plus qu’un adolescent (entre 11 et 19 ans) et trois fois plus qu’un enfant (entre 3 et 10 ans). 14 a. adolescent 70 g ; enfant 40 g b. adulte 3 600 g (3 kg 600 g) ; adolescent 2 100 g (2 kg 100 g) ; enfant 1 200 g (1 kg 200 g) c. adulte 43 200 g (43 kg 200 g) ; adolescent 25 200 g (25 kg 200 g) ; enfant 14 400 g (14 kg 400 g) Source : observatoire du pain enquête CCAF 2016 a. Quelle est la consommation quotidienne de pain d’un adolescent ? d’un enfant ? b. Quelle est la consommation mensuelle de pain d’un adulte de plus de 55 ans ? d’un adolescent ? d’un enfant ? Tu peux prendre 1 mois = 30 jours c. Quelle est la consommation annuelle de pain d’un adulte de plus de 55 ans ? d’un adolescent ? d’un enfant ? Tu peux prendre 1 an = 12 mois Énigme 11 × 11 = 121 125 × 125 = 15 625 En multipliant un nombre par lui-même, il arrive parfois que le chiffre des unités soit le même dans le résultat que dans le nombre. Il arrive aussi que cela se produise avec le chiffre des dizaines et le chiffre des unités. Trouve d’autres nombres pour lesquels on peut faire ces mêmes constats. hatier-clic.fr/CM1cap022 Plusieurs procédures sont possibles : – soit essayer des nombres • 65 au hasard ; – soit faire une recherche organisée. Pour la recherche, on peut : – commencer par les nombres inférieurs à 10 ce qui donne : 0×0=0 1×1=1 5 × 5 = 25 6 × 6 = 36 ; – en déduire que les nombres cherchés ont forcément 0, 1, 5 ou 6 pour chiffre des unités (pour le dernier chiffre identique, tous les nombres qui ont cette caractéristique conviennent) ; – pour 2 derniers chiffres identiques, les élèves procèderont alors probablement par essais de produits, de façon plus ou moins systématique pour aboutir à la conclusion que les facteurs du produit doivent se terminer par 00, par 01, par 25 ou par 76, par exemple : 400 × 400 = 160 000 201 × 201 = 40 401 25 × 25 = 625 76 × 76 = 5 776 325 × 325 = 105 625 476 × 476 = 226 576… soixante-cinq 24/01/2020 10:24 Réponses : – Chiffre des unités identique : nombres se terminant par 0, 1, 5 ou 6. – Chiffres des dizaines et des unités identiques : nombres se terminant par 00, 01, 25 ou 76. Pour d’autres exemples de nombres « curieux », on peut consulter le site de Gérard Villemin qui offre une mine d’exemples décortiqués : http://villemin.gerard.free.fr/ Mesure d’aires Objectifs : apprentissage 5 L’aire est une grandeur dite mesurable, c’est-à-dire possédant : – une propriété d’additivité : l’aire de la surface obtenue par accolement de deux surfaces initiales est égale à la somme des aires de ces surfaces ; – une propriété de multiplication par un opérateur : dans l’unité précédente, les élèves ont compris comment reconnaitre et même construire une surface d’aire double, triple, ou moitié d’une surface donnée. Comme à toute grandeur mesurable, on peut associer à une aire sa mesure, une unité d’aire étant donnée. Le nombre qui indique combien de fois l’unité est contenue dans l’aire d’une surface est la mesure de cette aire. – Mesurer l’aire d’une surface à partir d’un pavage simple – Exprimer une aire en nombre d'unités, une unité d’aire étant donnée – Construire des surfaces d’aire donnée Mesurer des aires Le problème posé doit permettre de réinvestir les procédures de comparaison d’aire, vues en unité 2, et d’estimation d’aire en prenant une surface de référence, vues en unité 3. CapMaths CM1 40 UNITÉ 4 - Apprentissage 5 © Hatier 2020 - Reproduction autorisée pour une classe seulement. Guide p. 157 Mesurer des aires A Quelles surfaces ont la même aire ? B C D H E F Recherche A I 2 Recherche et exploitation individuelle puis collective G UNITÉ 4 J Réponds et explique pourquoi. ................................................................................................................................................................................ ● ................................................................................................................................................................................ Observer les procédures. ................................................................................................................................................................................ ◗ PROCÉDURES POSSIBLES B Exprime l’aire de chacune des surfaces avec l'aire du carré U comme unité. U V L O – Découper et réorganiser des surfaces : par exemple, la surface F peut être reconnue comme ayant même aire qu’une F surface formée de 4 carrés alignés. – Utiliser un carré du quadrillage comme surface de référence et paver la surface par ce carré : par exemple, la surface C est pavée par 2 carrés et 4 demi-carrés, soit 4 carrés et la surface I est pavée par 1 carré et 6 demi-carrés, soit aussi 4 carrés. K N M K : ......................... L : ....................... M : ......................... O : ......................... U : ....................... V : ......................... N : ......................... C Exprime l’aire de chacune des surfaces avec l'aire du rectangle V comme unité. K : ......................... L : ....................... M : ......................... O : ......................... U : ....................... V : ......................... N : ......................... 001-109-Materiel CM1.indd 28 MATÉRIEL 4 20/04/2017 16:27 pour la classe • fiche 40 agrandie ou projetée • pour l'entrainement, p. 26 du cahier projeté hatier-clic.fr/CM1capg0403 par équipe de 2 • fiche 40, questions A à C 1 Présentation de la première situation 2 Recherche et exploitation 3 Présentation des situations suivantes 4 Recherche et exploitation 5 Entrainement Lors d’un bilan collectif, recenser les réponses et les procédures, en les faisant décrire et schématiser sur la fiche projetée. ● Réponses : A, C, F, G, H, I ont même aire (4 carrés). B, D, E, J ont même aire (5 carrés). • feutre effaçable DÉROULÉ UNITÉ ● Récapituler les procédures employées dans la recherche. Collectif EXPLICITATION, VERBALISATION Individuel et collectif Collectif ◗ Il faut faire le choix d’une surface de référence, par Individuel et collectif Individuel RECHERCHE Comment mesurer l’aire d’une surface, une unité d’aire étant donnée ? 1 Présentation collective de la première situation : comparer des aires (question A) Donner à chaque élève la fiche 40. Demander aux élèves de résoudre la question A. ● ➞ Comme dans des séances précédentes, il s’agit de trouver les surfaces qui ont la même aire. Cette fois, les surfaces sont dessinées sur un quadrillage. Vous expliquerez pourquoi, à votre avis, certaines de ces surfaces ont la même aire. Comparaison d’aires sur quadrillage exemple un carré du quadrillage. ◗ Pour comparer des aires de surfaces dessinées sur quadrillage, il suffit de compter de combien de carrés la surface est constituée. Si deux surfaces sont constituées par le même nombre de carrés, elles ont même aire. Mesure d’aires sur quadrillage ◗ Pour mesurer l’aire d’une surface dessinée sur un quadrillage, en prenant l’aire d’un carré du quadrillage comme unité, il y a trois méthodes : 1. Il peut suffire de compter ou de calculer le nombre de carrés qui H recouvrent exactement la surface. Exemple : L’aire de la surface H est 4 unités. 2. On peut dénombrer les carrés en effectuant des recollements de demiC carrés. Exemple : La surface C est pavée par 2 carrés et 4 demi-carrés. L’aire de cette surface est donc 4 unités. 157 3. On peut construire une surface ayant même aire que la surface initiale, sur le quadrillage, et que l’on peut paver par des carrés entiers. Exemple : La surface C a même aire que la surface H, elle a donc pour aire 4 unités. EXPLICITATION, VERBALISATION 3 Présentation collective des autres situations : mesurer des aires (questions B et C) ● La mesure d’une aire dépend de l’unité choisie. H Unité d’aire aire de U aire de V Cahier p. 25-26 5 Entrainement individuel UNITÉ 1 Mesure d’aires 4 Mesurer et comparer des aires apprentissage 5 DICO MESURER ET COMPARER DES AIRES Faire lire la consigne de la question B. La reformuler : 1 50 Exprime l’aire de chaque surface avec l’unité donnée. ➞ L’unité d’aire est celle du carré U (petit carré noir). Comme nous l’avons fait à la question précédente, il s’agit de trouver pour chaque surface combien de fois l’aire du carré U est contenue dans l’aire de la surface. On dit que l’aire de la surface U est 1 unité. ● Mesure de l’aire de L 12 6 B A 1 unité C E D F G Faire lire la consigne de la question C. 2 ➞ Vous résoudrez ensuite le même problème en prenant l’aire de la surface V comme unité. A B C D E F G …………….. …………….. …………….. …………….. …………….. …………….. …………….. Quelles sont les surfaces de même aire ? Pour répondre, tu peux utiliser l’unité donnée. ★ 1 unité H J I K 4 Recherche et exploitation collective ● L M N Observer les procédures pour la question B. Les surfaces de même aire sont : .......................................................................................................... Explication : ........................................................................................................................................... ◗ PROCÉDURES POSSIBLES Suivant les surfaces, les procédures peuvent être diverses : – surfaces K, L et V : la détermination de ces aires ne pose pas de problèmes, ces surfaces étant pavées par des carrés entiers ; – surfaces O et M : les procédures 2 ou 3 mentionnées en synthèse précédente peuvent être utilisées ; – surface N : une procédure possible de transformation de cette surface est décrite 1u dans le schéma ci-contre : La surface N a même aire qu’une surface formée de 4 carrés ; son aire est donc 4 unités. Lors d’un bilan collectif, recenser les réponses et les procédures, en les faisant décrire et schématiser sur la fiche projetée. ● Réponses : V ➝ 2 u ; K ➝ 10 u ; L ➝ 12 u ; M ➝ 14 u ; N ➝ 4 u ; O➝2u;U➝1u ● Observer les procédures pour la question C. ◗ PROCÉDURES POSSIBLES Les raisonnements peuvent s’appuyer : – sur un pavage par le rectangle V, ce qui est aisé pour les surfaces K et L ; – sur une procédure liée à la transformation de tout ou partie d’une surface pour obtenir une surface que l’on peut paver par le rectangle V ; – sur les mesures trouvées précédemment et le fait que les mesures de l’aire de V avec l’unité u est de 2. Par exemple, la mesure de la surface O avec l’unité u est de 2, donc avec l’unité v elle est de 1. Réponses : K ➝ 5 v ; L ➝ 6 v ; M ➝ 7 v ; N ➝ 2 v ; O ➝ 1 v ; 1 U➝ v;V➝1v 2 158 ............................................................................................................................................................... vingt-cinq • 25 EXERCICE 1 Cahier geom.indd 25 22/01/2020 10:30 Pour les surfaces de A à E, l’aire peut être obtenue par comptage des carrés et demi-carrés en précisant que, avec deux demi-carrés, on forme un carré. ● Pour les surfaces F et G, les procédures sont plus complexes. Par exemple, pour mesurer l’aire de la surface F, il y a deux raisonnements possibles : – on peut découper mentalement et déplacer le triangle situé dans le carré de droite et le replacer pour compléter le carré de gauche, l’aire de la surface F est donc de 1 unité ; – on peut voir que la surface F est la moitié d’une surface rectangulaire constituée de 2 carrés, donc son aire est la moitié de 2 unités, soit 1 unité. Ces deux raisonnements peuvent être produits pour déterminer l'aire de la figure G. ● Réponses : A ➝ 20 u ; B ➝ 7 u ; C ➝ 8 u ; D ➝ 16 u ; E ➝ 12 u ; F➝1u;G➝2u EXERCICE 2 ✶ Cette fois-ci le réseau est triangulaire, mais la procédure de mesure de l’aire par comptage de surfaces unités reste valide. Elle permet de déterminer facilement les surfaces de même aire. Réponses : H et I ont même aire (6 u). J et L ont même aire (5 u). M, K et N ont même aire (4 u). Construire Mesure d’airesdes surfaces d'aire donnée UNITÉ 4 CONSTRUIRE DES SURFACES D’AIRE DONNÉE 3 Dessine deux surfaces rectangulaires différentes qui ont chacune pour aire 24 unités. 4 Dessine une surface carrée qui a pour aire 16 unités. 5 Dessine une surface qui a pour aire 17 unités et une autre qui a pour aire 23 unités. 6 Dessine deux surfaces qui ne sont pas carrées et qui ont chacune pour aire 1 unité. 1 unité EXERCICES 3 4 5 6 Il s’agit deÉnigme construire des surfaces dont l’aire est donnée. ● Engager les élèves à utiliser convenablement l’espace du quadrillage pour pouvoir y construire toutes les surfaces demandées. ● Il est possible de faire vérifier les aires des surfaces dessinées entre voisins. Lors d’un bilan collectif, choisir quelques cas litigieux, faire dessiner les surfaces proposées et les soumettre à la discussion sur le document projeté. Peux-tu construire sur ce quadrillage une surface triangulaire qui a pour aire : a. 8 unités ? b. 9 unités ? hatier-clic.fr/CM1capc023 26 • vingt-six 22/01/2020 10:30 Cahier geom.indd 26 Réponses : 4 Mesure d’aires UNITÉ – couper des carrés du quadrillage selon une de leur diagonale pour faire apparaitre des demi-carrés et, en procédant de proche en proche, construire par exemple le triangle rectangle isocèle reproduis au paragraphe suivant ; – utiliser la réponse à l’exercice 4 et prendre la moitié d’un carré de côté 4 en suivant la diagonale. b. Surface triangulaire d’aire 9 unités Pour construire une surface d’aire 9 unités, les élèves peuvent : – découper un carré de 3 sur 3 (ou un rectangle de 9 sur 1) selon leur diagonale et en réorganiser les deux parties obtenues pour former un triangle : UNITÉ 4 3 Les rectangles peuvent avoir comme dimensions (en côtés de carreaux) : (1, 24) ; (2, 12) ; (3, 8) ; (4, 6). CONSTRUIRE DES SURFACES D’AIRE DONNÉE 3 Dessine deux surfaces rectangulaires différentes qui ont chacune pour aire 24 unités. 4 Un carré de côté 4. 4 Dessine une surface carrée qui a pour aire 16 unités. 5 Dessine une surface qui a pour aire 17 unités et une autre qui a pour aire 23 unités. 6 Dessine deux surfaces qui ne sont pas carrées et qui ont chacune pour aire 1 unité. 5 Toute surface ayant l’aire demandée est acceptée. 6 Exemples de surfaces possibles : 1 unité – partager en deux, selon sa diagonale, une surface rectangulaire qui a pour aire 18 unités : 1u Le travail mettant en œuvre la réalisation effective d’un pavage et l’utilisation des unités conventionnelles sera abordé au CM2. Les côtés de l'angle droit peuvent avoir comme dimensions (en côtés de carreaux) (3 ; 8), (2 ; 9), (1 ; 18). Énigme Peux-tu construire sur ce quadrillage une surface triangulaire qui a pour aire : a. 8 unités ? b. 9 unités ? hatier-clic.fr/CM1capc023 26 • vingt-six a. Surface triangulaire d’aire 8 unités Pour construire cette surface, les élèves peuvent : Cahier geom.indd 26 22/01/2020 10:30 159 Reproduction de figures Objectifs : La même figure ● CapMaths CM1 41 apprentissage 6 Il s’agit dans cette situation de mettre en évidence les différentes étapes de la reproduction d’une figure complexe ainsi que l’influence de l’orientation de la figure sur son analyse. Cette situation ne vise pas la construction de nouvelles connaissances notionnelles mais le développement ou le renforcement de compétences, notamment : – analyser une figure complexe ; – reconnaitre une figure élémentaire dans une figure complexe ; – construire des figures élémentaires ; – exercer des contrôles en cours et en fin de construction. – Analyser une figure complexe – Élaborer et mettre en œuvre une stratégie de construction – Exercer des contrôles à différents stades de la reproduction UNITÉ 4- Apprentissage 6 © Hatier 2020 - Reproduction autorisée pour une classe seulement. Guide p. 160 La même figure Recherche Recherche Figure A Figure B Donner la consigne : ➞ Vous allez devoir reproduire, sur une feuille de papier blanc, avec vos instruments de géométrie, la figure que je vous ai distribuée. La figure reproduite doit être identique au modèle, c’est-à-dire qu’on doit pouvoir superposer exactement un calque du modèle sur la reproduction. La position de la figure reproduite sur la feuille est sans importance. Avec votre voisin, vous allez observer et prendre sur le modèle toutes les informations utiles à sa reproduction. Vous pouvez utiliser tous vos instruments de géométrie. Vous pourrez noter ces informations sur la feuille où est dessinée la figure à reproduire. Ensuite, vous déciderez ensemble d’une façon de faire. Puis chacun reproduira seul la figure. Bien sûr, vous n’êtes pas autorisés à placer votre feuille sur la figure à reproduire. Les figures A et B sont identiques mais orientées 001-109-Materiel CM1.indd 19 MATÉRIEL 4 20/04/2017 16:27 pour la classe • les figures A et B projetées ou agrandies ➞ poster 2 de la Mallette • plusieurs calques des figures A et B pour la validation par élève • la figure A pour la moitié des élèves, la figure B pour l’autre moitié ➞ fiche 41 • une feuille de papier blanc A4 • instruments de géométrie 1 Présentation de la situation 2 Analyse et reproduction de la figure A ou B 3 Exploitation des reproductions des figures A et B 4 Entrainement Collectif Par équipes de 2 et individuel Collectif Individuel RECHERCHE Comment faire pour reproduire une figure complexe ? 1 Présentation collective de la situation ● Deux voisins de table forment une équipe, ils ont la même figure. Distribuer la figure A à la moitié des équipes et la figure B à l’autre moitié en veillant à les donner avec le nom de la figure à l’horizontale. Réserver la figure A aux élèves les plus à l’aise. 160 différemment. Sur les deux figures, c’est le carré, placé en position stan- dard avec ses côtés horizontaux et verticaux, qui sera prioritairement reconnu. Si les élèves s’appuient sur ce carré pour reproduire les figures, la figure A est plus difficile à reproduire que la figure B car elle nécessite de repérer et de mobiliser des alignements. 2 Analyse par équipes de 2 et reproduction individuelle de la figure A ou B hatier-clic.fr/CM1capg0404 DÉROULÉ UNITÉ ● Observer comment les élèves prennent les informations sur la figure et la reproduisent. Repérer les difficultés, les erreurs. ● Quand deux voisins ont terminé, leur demander de comparer et discuter leurs productions puis leur remettre un calque de la figure pour valider leurs constructions. ● Pour les reproductions qui ne conviennent pas, proposer soit de recommencer, soit de rectifier certains tracés, mais pas par transparence ! ◗ PROCÉDURES POSSIBLES Pour analyser la figure – Analyse de la figure consistant à la voir comme un assemblage de sous-figures familières ou de segments. Pour construire la figure Pour les deux figures : – commencer par la reproduction du carré qui est en position standard (le grand pour la figure A, le petit pour la figure B) ; – poursuivre en utilisant les positions relatives des sous-figures, le repérage de points alignés ou d'angles droits… Pour la figure B, il est possible d’utiliser le fait que la diagonale du petit carré est un côté du grand carré. ◗ DIFFICULTÉS ÉVENTUELLES – Pour étudier la figure et engager la construction Aide Inviter à retrouver dans la figure une ou des figures bien connues, à utiliser les instruments pour repérer des angles droits, des égalités de longueurs… – Pour engager la construction Aide Demander ce qui parait facile à reproduire (ce peut être une sous-figure, un segment). – Pour poursuivre la construction Aide Renvoyer à la figure pour identifier de nouvelles propriétés, comment un élément déjà reproduit est placé par rapport à d’autres qui restent à construire. – Pour contrôler la figure construite Aide Demander en cours ou au terme de la construction si l’allure générale est la même, de vérifier avec les instruments qu’on retrouve les mêmes angles droits sur le modèle et la reproduction, que les segments ont bien même longueur, de repérer éventuellement ce qui est différent. En cas de non-correspondance entre le modèle et la reproduction ou face à l’impossibilité de pouvoir poursuivre la construction, dans la pratique l'élève interroge d’abord l’exactitude des tracés. Puis, si ceci ne suffit pas, il est conduit à repenser l’ordre des tracés, voire à revenir sur l’analyse de la figure. 3 Exploitation collective des reproductions EXPLICITATION, VERBALISATION Pour reproduire une figure, il faut : 1. Étudier la figure : – repérer des figures simples qui la composent (ici des carrés) ; – repérer des éléments particuliers (par exemple un côté du grand carré est une diagonale du petit carré) et propriétés (angles droits, égalités de longueurs, l'alignement d'un sommet du plus petit des carrés avec deux sommets du plus grand) ; – utiliser les instruments pour contrôler les propriétés repérées perceptivement. Pour découvrir les caractéristiques et propriétés d’une figure, il peut être utile de : – faire pivoter la feuille ou tourner la tête pour la voir différemment ; – d’ajouter des tracés à la figure (par exemple pour découvrir ou contrôler des alignements). 2. Décider d’un ordre de tracé pour effectuer la construction à partir des propriétés repérées sur la figure. 3. Construire la figure. Pour cela, il faut choisir les instruments adaptés aux propriétés de la figure. Il peut être utile de tracer des traits qui ne figurent pas sur la figure à reproduire. 4. Contrôler les tracés effectués en cours de construction et à la fin. des figures A et B Cahier p. 27-28 4 Entrainement individuel UNITÉ figures 4 Reproduction Reproduire unedefigure apprentissage 6 REPRODUIRE UNE FIGURE 1 Reproduis cette figure. 2 Reproduis cette figure. 3 Reproduis cette figure. UNITÉ Reproduction de figures 4 vingt-sept • 27 Cahier geom.indd 27 22/01/2020 10:30 pour la classe MATÉRIEL Commencer par exploiter des reproductions de la figure A et enchainer avec des reproductions de la figure B. L’exploitation est conduite de la même façon. ● Afficher un agrandissement ou projeter la figure. ● Solliciter une équipe qui a vu la figure comme un assemblage de segments, puis une équipe qui a vu la figure comme faite de deux carrés ou d’un carré et de segments. ● Demander aux équipes les difficultés qu’elles ont rencontrées, puis comment elles ont procédé pour reproduire la figure en les amenant à citer les propriétés de la figure qu’elles ont utilisées pour la reproduire. Faire contrôler ces propriétés avec les instruments sur le modèle. ● Mettre en discussion les différentes procédures, rejeter celles qui mobilisent des tracés réalisés à vue, même si le résultat peut paraitre satisfaisant. ● Si des équipes ont commencé par construire le carré qui n'est pas en position standard, leur demander comment elles ont construit le deuxième carré. Si elles n'y sont pas parvenu ou si aucune équipe n'a procédé dans cet ordre, explorer collectivement comment c'est possible : – il faut repérer et contrôler avec la règle qu'un sommet du plus petit carré est aligné avec deux sommets opposés du grand ; – pour construire le deuxième carré, il faut effectuer des tracés qui ne figurent pas sur la figure à reproduire. À la fin de la construction, les tracés supplémentaires peuvent être effacés ou conservés. ● L’énonciation des propriétés repérées sur chacune des figures doit conduire à conclure que les figures A et B sont une seule et même figure mais orientée différemment et que la façon dont la figure est orientée privilégie certaines caractéristiques et propriétés de la figure au détriment d’autres. ● • des calques des figures pour la validation Énigme ➝ FICHE MATÉRIEL PAR ÉLÈVE • instruments de géométrie • gomme • petit morceau de papier calque (5 cm × 5 cm) si la demande en est faite • Découpe les 4 triangles en suivant leur contour. En assemblant ces quatre triangles, essaie de construire : a. un quadrilatère c. un hexagone (polygone à 6 côtés) b. un triangle d. un pentagone (polygone à 5 côtés) Utilise les triangles comme gabarits pour dessiner les figures que tu trouves. Deux triangles doivent toujours être assemblés en faisant coïncider deux côtés de même longueur. hatier-clic.fr/CM1capc024 28 vingt-huit Cahier geom.indd 28 22/01/2020 10:30 161 UNITÉ 4 EXERCICE 1 S’il est facile d’identifier les deux carrés, la difficulté réside dans la détermination de l’ordre dans lequel effectuer les tracés : – si on commence par reproduire le plus petit des carrés qui a ses côtés horizontaux et verticaux, cela nécessite ensuite d’utiliser les angles que font entre eux les côtés des deux carrés ; – si on commence par le plus grand des carrés, il suffit ensuite de placer les sommets du second sur les côtés du premier. EXERCICE 2 Dans cet exercice, le changement de regard sur la figure en tournant la page est essentiel pour repérer les angles droits. ● Si on ne voit pas que le quadrilatère est fait de deux triangles rectangles accolés par un côté, la reproduction est plus complexe et nécessite de recourir aux angles que forment les côtés du quadrilatère. ● EXERCICE 3 La figure se compose de deux triangles rectangles et d’une troisième figure beaucoup moins élémentaire. 4 Reproduction de figures L’observation de la figure amène à la voir comme contenue dans un carré. ● Le plus simple est de tracer le carré qui englobe les sousfigures et de placer les sommets de celles-ci sur les côtés du carré. Pour cela, les élèves doivent absolument se sentir autorisés à faire des tracés sur la figure modèle pour voir les propriétés. ● UNITÉ 3 La recherche peut se faire sous forme d’un défi lancé sur plusieurs jours, en incitant chacun à trouver le plus possible de solutions. ● Avant la recherche, faire procéder au découpage des triangles rectangles dans la fiche 42 et remettre 4 triangles à chaque élève. ● Lors de la présentation de l’énigme : – montrer un assemblage correct de deux triangles et quelques autres incorrects : assemblage par 2 côtés qui n’ont pas même longueur, par 2 côtés de même longueur mais décalés, triangles en contact uniquement par deux sommets, chevauchement des triangles. – préciser que quand un polygone est trouvé, il doit être tracé sur la feuille en se servant des triangles comme gabarits de traçage. ● Les élèves peuvent procéder par essais puis éventuellement essayer d’anticiper les effets de l’assemblage de deux triangles sur le nombre de côtés du polygone cherché. ● Dans le cas où un même polygone serait proposé dans deux positions différentes ou l’un étant retourné par rapport à l’autre, suggérer de décalquer un des deux polygones et faire pivoter le calque ou le retourner pour superposer les deux polygones. ● Selon la classe, selon les élèves, il est possible de restreindre la recherche aux questions a. à c., a. et b. ● Reproduis cette figure. D’autres reproductions sont proposées en exercices complémentaires, fiches 45 et 46 hatier-clic.fr/CM1capg0408 . Énigme Réponses : À l’exception de la question b pour laquelle on n’obtient qu’un seul triangle mais avec deux assemblages possibles, pour les autres il y a plusieurs solutions. En voici quelques exemples : a. 4 côtés b. 3 côtés c. 6 côtés ➝ FICHE MATÉRIEL Découpe les 4 triangles en suivant leur contour. En assemblant ces quatre triangles, essaie de construire : a. un quadrilatère c. un hexagone (polygone à 6 côtés) b. un triangle d. un pentagone (polygone à 5 côtés) Utilise les triangles comme gabarits pour dessiner les figures que tu trouves. Deux triangles doivent toujours être assemblés en faisant coïncider deux côtés de même longueur. hatier-clic.fr/CM1capc024 Cahier geom.indd 28 MATÉRIEL 28 • vingt-huit pour la classe 22/01/2020 10:30 • 4 triangles agrandis sur du papier un peu fort et pâte à fixer ➞ fiche 42 hatier-clic.fr/CM1capg0405 • des quarts de feuille A4 de papier calque (pour remettre si besoin aux élèves) par élève • 4 triangles rectangles identiques découpés • une feuille de papier blanc 162 d. 5 côtés UNITÉ 4 Bilan et consolidation Une évaluation trimestrielle est prévue en fin d'unité. Les documents sont téléchargeables CALCUL MENTAL / NOMBRES ET CALCULS / ! Manuel p. 66-67 GRANDEURS ET MESURES / ESPACE ET GÉOMÉTRIE ! Cahier p. 29-30 hatier-clic.fr/CM1capgevaltrim01 Comment utiliser les pages Bilan ! p. 11. Bilan de compétences téléchargeable hatier-clic.fr/CM1capgbilancomp04 ◗ Tableaux et diagrammes Connaissances à acquérir ➞ Pour lire ou représenter des informations sur un diagramme, il faut connaitre l’échelle choisie. Elle permet de déterminer la longueur de chaque barre du diagramme. apprentissage 1 Je prépare mon bilan ! Manuel p. 66 Q C M1 a Je fais le bilan ! Manuel p. 67 BILAN EXERCICE 1 Compléter un tableau à partir des informations données par un diagramme et inversement matériel • Fiche 43 hatier-clic.fr/CM1capg0406 CONSOLIDATION a. romans : 20 élèves, contes : 25 élèves, magazines : 5 élèves b. BD : 12 interlignes 4 Je consolide mes connaissances Proposer de compléter des tableaux ou des diagrammes en bâtons à partir de données issues de la vie des élèves (sports pratiqués, animaux de compagnie…). Les diagrammes en barre peuvent être remplacés par des barres de cubes emboitables, chaque cube représentant un nombre donné d'éléments. ➞ Mallette ◗ Les nombres jusqu’à 999 999 BIL A N UNITÉ Connaissances à acquérir ➞ L’écriture en chiffres d’un nombre apporte beaucoup d’informations (exemple pour 302 580) : – chaque chiffre a une valeur qui dépend de son rang : 2 est le chiffre des milliers ; – un groupe de chiffres représente une quantité : 302 représente 302 milliers. ➞ Un nombre peut se décomposer de plusieurs façons en utilisant les unités de numération. Exemple : 200 705 est égal à : – 2 centaines de milliers, 7 centaines et 5 unités ; – 200 milliers et 705 unités ; – (200 × 1 000) + (7 × 100) + 5… ➞ Pour passer d’une décomposition à une autre, on se sert des égalités comme : 1 dizaine de milliers = 10 milliers = 100 centaines = 1 000 dizaines = 10 000 unités. ➞ Pour lire un nombre écrit avec 4, 5 ou 6 chiffres : il faut le découper en faisant une tranche de 3 chiffres à partir des unités. 200 705 se lit deux-cent-mille-sept-cent-cinq. apprentissage 2 Je prépare mon bilan ! Manuel p. 66 Q C M 2 a et d La réponse c permet de déceler les élèves qui confondent le chiffre et le nombre de dizaines de milliers. Q C M 3 a, c et f La proposition a a peut-être été omise par des élèves qui ne regardent que l’ordre des chiffres sans s’intéresser aux unités de numération mentionnées. Je fais le bilan ! Manuel p. 67 EXERCICE 2 Utiliser les équivalences entre unités de numération a. 70 b. 100 c. 250 000 d. 11 EXERCICE 3 Utiliser la valeur des groupements de chiffres a. 24 425 b. 40 090 c. 200 890 d. 299 990 EXERCICE 4 Trouver des nombres supérieurs à 3 centaines de milliers Marseille – Nice – Lyon EXERCICE 5 Écrire en lettres des nombres donnés en chiffres Marseille : huit-cent-soixante-deux-mille-deux-cent-onze Lyon : cinq-cent-quinze-mille-six-cent-quatre-vingt-quinze Avignon : quatre-vingt-douze-mille-trois-cent-soixante-dix-huit 163 CONSOLIDATION Je consolide mes connaissances Autres ressources ! Manuel p. 60-61 ! 100 activités et jeux mathématiques CM1- À choisir parmi les problèmes non traités. ! Activités et exercices pour la calculatrice CM2 8. Le chiffre qui change 9. Questions-réponses 10. Le nombre mystère CM1-CM2 1 à 9. Ensemble d’activités permettant de travailler différents aspects de la numération décimale ! Activités pour la calculatrice CE2-CM1-CM2 ! CD-Rom Jeux interactifs CE2-CM1-CM2 1. Les timbres. 2. Le nombre mystère (nombres entiers) 7. Suites régulières de nombres 8. Des chiffres qui changent et des chiffres qui ne changent pas 9. Un seul chiffre à la fois ◗ Rangement et lignes graduées apprentissage 3 BILAN Connaissances à acquérir ➞ Pour comparer des nombres, on peut : – regarder leur écriture chiffrée et d’abord s’intéresser aux chiffres de plus grande valeur, puis s’ils sont égaux aux chiffres de rang immédiatement inférieur ; – les placer sur une ligne régulièrement graduée. ➞ Pour placer exactement ou trouver des nombres sur une ligne régulièrement graduée, on peut utiliser le pas de la graduation (distance entre deux repères consécutifs). ➞ Pour placer approximativement un nombre sur une ligne régulièrement graduée, on peut : – l’encadrer entre 2 nombres associés à des repères consécutifs ; – chercher de quel nombre repère il est le plus proche. Je prépare mon bilan ! Manuel p. 66 Q C M 4 a et d La proposition b (2 000) permet de déceler les élèves qui ont répondu en donnant le nombre le plus proche de 2 400. Q C M5 c Les propositions b et d permettent de déceler les élèves qui ne prennent en compte que l’encadrement par des nombres déjà placés, sans se soucier de leur plus ou moins grande proximité avec 25 409. Q C M 6 b et c Je fais le bilan ! Manuel p. 67 CONSOLIDATION EXERCICE 6 Repérer des nombres sur une ligne régulièrement graduée a. A ! 40 000 B ! 60 000 b. A ! 40 100 B ! 59 980 C ! 65 017 EXERCICE 7 Comparer des nombres a. < b. < c. > d. > Je consolide mes connaissances Autres ressources ! Manuel p. 62-63 ! 100 Activités et jeux mathématiques CM1- À choisir parmi les problèmes non traités. ! CD-Rom Jeux interactifs CE2-CM1-CM2 CM2 7. Des nombres sur une ligne 3. Sur une ligne graduée – Nombres entiers ! Activités et exercices pour la calculatrice CM1-CM2 10. Comparer des nombres CONSOLIDATION BILAN ◗ Multiplication en colonnes 164 apprentissage 4 Connaissances à acquérir ➞ Pour calculer une multiplication posée comme 426 × 34, il faut : – décomposer le 2e facteur en somme 34 = 4 + 30 ou 34 = 4 + (3 × 10) ; – effectuer chaque produit simple, sans oublier les retenues ; – additionner les résultats obtenus. ➞ Pour cela, il faut bien connaitre les tables de multiplication. Je prépare mon bilan Q C M7 c Je fais le bilan ! Manuel p. 67 EXERCICE 8 Trouver des erreurs dans une multiplication posée (et les corriger.) 436 × 605 2180 2 61 6 0 0 263780 Je consolide mes connaissances Autres ressources ! Manuel p. 64-65 À choisir parmi les exercices non traités ! 100 activités et jeux mathématiques CM1CM2 47. Le plus grand produit ! Manuel p. 66 ! CD-Rom Jeux interactifs CE2-CM1-CM2 26. Des calculs posés avec la calculatrice (exercice 2) CONSOLIDATION BILAN ◗ Mesurer des aires apprentissage 5 Connaissances à acquérir ➞ Pour comparer des aires de surfaces dessinées sur quadrillage, on peut : – soit transformer une des surfaces par découpage et recollement pour obtenir une surface que l’on peut superposer à la deuxième ; – soit comparer les mesures des deux surfaces exprimées dans une unité d’aire donnée. ➞ Pour mesurer les aires de surfaces dessinées sur un quadrillage, avec l’aire d’un carré du quadrillage comme unité, on peut : – soit compter le nombre de carrés qui recouvrent exactement la surface, en effectuant si besoin des recollements de demi-carrés ; – soit construire, sur le quadrillage, une surface ayant même aire que la surface initiale et que l’on peut paver par des carrés entiers. Je prépare mon bilan ! Cahier p. 29 Q C M 1a Q C M 2 a et c Je fais le bilan ! Cahier p. 29 EXERCICE 1 Mesurer l’aire d’une surface, construire une surface d’aire donnée a. F : 20 u ; G : 4 u b. Toute surface non rectangulaire ayant l’aire demandée est acceptée. Je consolide mes connaissances ! Exercices complémentaires ! Cahier p. 25-26 À choisir parmi les exercices non traités matériel Autres ressources ! 100 activités et jeux mathématiques CM1- • Fiche 44 CM2 68. Même aire ou même périmètre ? hatier-clic.fr/CM1capg0407 UNITÉ 4 CONSOLIDATION BILAN ◗ Reproduire des figures apprentissage 6 Connaissances à acquérir ➞ Pour reproduire une figure, il faut : 1. Commencer par regarder comment la figure est faite : figures simples ou segments qui la composent, angles droits, égalités de longueurs, alignement, etc. 2. Ne pas hésiter à tourner la feuille pour voir des propriétés qui se voient moins bien dans la position où la figure est donnée. 3. Ne pas hésiter à prolonger ou ajouter des traits sur la figure pour voir des alignements, faire apparaitre des figures simples. 4. Contrôler avec les instruments ce qu’on croit voir. 5. Choisir l’ordre dans lequel on va faire les tracés et choisir les instruments pour le faire. 6. Contrôler l’exactitude de la figure tracée. Je prépare mon bilan ! Cahier p. 29 Q C M 3 a, b, c et d La figure est reprise de la recherche. Je fais le bilan ! Cahier p. 30 EXERCICE 2 Reproduire une figure complexe matériel Je consolide mes connaissances ! Exercices complémentaires ! Cahier p. 27-28 À choisir parmi les exercices non traités matériel • instruments de géométrie • calque pour la validation • Fiches 45 et 46 hatier-clic.fr/CM1capg0408 Autres ressources ! 100 activités et jeux mathématiques CM1-CM2 72. Reproduction de figures (1) 80. Reproduction de figures (4) ! CD-Rom Jeux interactifs CE2-CM1-CM2 Reproduction de figures (jeu 4) ◗ Cercle CONSOLIDATION Je consolide mes connaissances ! Exercices complémentaires Les exercices proposés ici visent à consolider les connaissances sur le cercle et le vocabulaire qui y est attaché que les élèves devraient maitriser au sortir du cycle 2. révision matériel • fiche 47 hatier-clic.fr/CM1capg0409 • compas, double décimètre Autres ressources ! 100 activités et jeux mathématiques CM1-CM2 73. Cercles sur papier pointé Les exercices sont similaires à ceux proposés en révision 165 liers 4 Ate ca tal UNITÉ lcul men Fractions Jeu de l’oie des fractions Ce jeu permet de travailler la reconnaissance des fractions simples égales à 1 ou à 2 ainsi que les égalités entre fractions simples (connaissances travaillées en unités 2 et 3). Manuel p. 68 UNITÉ Ateliers 4 calcul mental Frac tion s ou Jeu de l’oie et des fractions Matériel • un dé, un pion par joueur • un tableau de vérification MATÉRIEL ➝ FICHE MATÉRIEL Règle du jeu • Une piste de jeu (manuel p. 68 ou fiche 48) • Un dé et un pion par joueur • Une grille de vérification ➞ fiche 49 Chaque joueur, à tour de rôle, lance le dé et avance son pion du nombre de points obtenus. • Lorsque le pion arrive sur une case égale à 1 ou 2, le joueur passe son tour. • Lorsque le pion arrive sur une case qui n’est ni égale à 1, ni égale à 2 : − si le joueur trouve une carte portant une fraction égale à celle de sa case, il peut s’y rendre directement ; c’est alors au joueur suivant de jouer ; − s’il n’en trouve pas, il recule d’une case si la fraction écrite est inférieure à 1, il avance d’une case si elle est supérieure à 1 ; c’est au joueur suivant de jouer. • Si un joueur se trompe, il doit reculer de 5 cases. hatier-clic.fr/CM1capg0410 UNITÉ 4 La grille de vérification est cachée au moment où un joueur lance le dé et réalise le déplacement de son pion. L’autre joueur peut la consulter pour vérifier le ou les déplacements réalisés par son adversaire. 68 • soixante-huit 055-071-Unite 4.indd 68 24/01/2020 10:25 Si le jeu est pratiqué plusieurs fois, les élèves mémoriseront certains résultats. Cela est intéressant pour l'acquisition de connaissances repères, mais fait perdre de l'intérêt pour le jeu lui-même. L'enseignant (ou des élèves) peuvent alors réaliser d'autres jeux sur le même principe en utilisant de nouvelles fractions (ou plus tard des nombres donnés par leur écriture à virgule et sous forme de fractions). 167 4 Ateliers UNITÉ problèmes Je résous à mon rythme Manuel p. 69 Ateliers UNITÉ Ces problèmes font appel au sens de l'addition et de la soustraction (problèmes de la série A) ou de la multiplication (problèmes des séries B et C). Ils doivent être résolus rapidement, en recourant soit au calcul purement mental, soit au calcul posé, avec vérification à l'aide d'une calculatrice. Les élèves sont incités à écrire leurs calculs et, le cas échéant, les étapes intermédiaires de la résolution. Ils doivent enfin formuler une phrase en réponse à la question posée ou recopier le tableau à compléter dans certains cas. L'exploitation peut être individuelle, en ateliers ou collective, et porter sur la diversité des procédures, leur mise en relation et sur la mise en forme des solutions. 3 Je réso us à mon ryth me problèmes Résous ces problèmes. N’oublie pas d’écrire la phrase réponse. Aya, Tom et Romy ont chacun 60 €. a. Aya veut acheter le plus possible de bandes dessinées à 10 € chacune. Combien peut-elle en acheter ? b. Tom veut acheter le plus possible de livres à 9 € chacun. Combien peut-il en acheter ? c. Romy veut acheter le plus possible de calculatrices à 13 € chacune. Combien peut-elle en acheter ? A 1 43 personnes veulent aller voir un match de foot. Elles possèdent des voitures qui peuvent transporter 5 personnes. Combien faut-il prévoir de voitures pour emmener tout le monde ? 2 B 1 ★ s, Écris une question pour ces problème puis réponds à la question. Un groupe de 52 personnes organise une sortie en minibus. Chaque minibus peut transporter 8 personnes. Un automobiliste achète des pneus neufs 80 €. pour sa voiture. Chaque pneu coute Il paie 320 €. 2 ★ 4 1 2 ★ veut Dans une feuille comme celle-ci, Milo qui découper des rectangles ou des carrés contiennent tous exactement 36 carreaux. carrés ou s rectangle les tous Quels sont ? découper peut différents que Milo 5 Pour ces problèmes, réponds d’abord en faisant une estimation. Vérifie ensuite en effectuant des calculs précis. C en Paola a déplacé un pion sur une piste partant de la case « Départ » et en faisant est des sauts identiques. En 7 sauts, elle arrivée sur la case 56. à De combien de cases a-t-elle avancé chaque saut ? 3 ou Une automobiliste peut parcourir entre 800 km et 900 km avec un plein de carburant. Pour rejoindre son lieu de vacances, elle va faire 3 étapes : une de 219 km, une de 198 km et une de 285 km. Est-elle sure de réaliser tout son trajet sans refaire le plein ? s. Une salle peut accueillir 5 000 personne trois soirs Un spectacle de danse est proposé sur de suite. Les spectateurs se sont inscrits il n’est 3 sites Internet de réservation mais pas sûr que tous puissent être accueillis de venir chaque soir. On leur proposera alors un autre soir. sont Les réservations sur les 3 sites Internet données dans ce tableau. Dans une feuille identique, Aya veut découper des rectangles ou des carrés qui contiennent 29 carreaux. Trouve toutes les possibilités. Lundi Mardi Mercredi danse.net 1 780 978 2 853 tickets.eu 2 075 1 446 743 sortir.net 1 790 1 783 1 025 être Les spectateurs pourront-ils toujours accueillis le soir qu’ils ont choisi ? cinquante-trois • 53 23/01/2020 18:40 039-054-Unite 3.indd 53 2 Quelle masse de miel a-t-il achetée ? A Réponse : 3 000 g ou 3 kg Quelle masse de miel lui reste-t-il au bout d'une semaine ? Réponse : 2 800 g ou 2 kg et 800 g Pendant combien de semaines pourra-t-il manger du miel ? Réponse : 15 semaines Quel est le prix d'un pot de miel ? Réponse : 10 € Ces problèmes relèvent du champ additif. 1 État initial avant diminution Réponse : 60 € 50 c 2 Valeur d'une diminution. Réponse : 27 € 15 c 3 Valeur d'une différence. Réponses : a. 23 ans b. 26 ans 4 Valeur d'une grandeur dont on connait la différence avec une autre grandeur. C Ces problèmes relèvent des champs additif et multiplicatif. L'exploitation porte sur la compréhension des situations et sur la validité des calculs posés. Réponses : Garonne : 647 km ; Loire : 1 012 km 1 Multiplication et soustraction : valeur totale et reste Réponse : 7 590 € B Ces problèmes relèvent des champs additif et multiplicatif. L'exploitation porte sur la pertinence des questions posées par les élèves qui peuvent faire l'objet d'échanges mutuels. ★ 1 2 Exemples de questions possibles Réponse : 1 Combien a-t-il acheté de kg d'oranges ? Réponse : 90 kg Combien a-t-il vendu de kg d'oranges ? Réponse : 83 kg 168 ★ 2 Multiplication : disposition rectangulaire (nombre total d'éléments) Réponses : 786 432 pixels ★★ 3 Multiplication : valeur totale et moitié Réponses : a. 972 000 g ou 972 kg b. 486 kg UNITÉ 4 Les maths dans la vie Des abeilles et du miel Ces problèmes sont relatifs à la vie des abeilles et à la ruche. Certains termes du texte peuvent nécessiter une explication collective (colonie d’abeilles, société organisée, reine, ouvrières). Les connaissances mobilisées sont celles étudies depuis le début de l'année. La résolution nécessite une prise d'information sur différents supports (texte, illustration, diagramme en bâtons). Les maths dans la vie Manuel p. 70-71 Vidéo Des abeilles et du miel Sauvons les abeilles ! hatier-clic.fr/CM1cap104 Dans la ruche, les abeilles déposent le pollen, le miel et leurs œufs dans des alvéoles fabriquées avec de la cire. Dans une ruche, les abeilles vivent en colonie. Leur société est très organisée. Autour de la reine, dont la tâche unique est de pondre, environ 50 000 ouvrières s’activent. En juin, la reine pond 2 000 œufs par jour, soit plus d’un œuf par minute. Les abeilles ouvrières d’hiver vivent 4 mois alors que les abeilles ouvrières d’été ne vivent que 45 jours. 1 Une abeille ouvrière d’hiver vit plus longtemp s qu’une abeille ouvrière d’été. Combien vit-elle de jours de plus ? Tu peux utiliser 1 mois = 30 jours. 2 Anaïs, apicultrice, possède 8 ruches. Combien possède-t-elle environ d’abeilles Le dessus de chaque alvéole a cette forme qu’on appelle un hexagone. 6 ★ Pour produire 1 gramme de miel, il faut le nectar obtenu par le butinage de 3 000 fleurs. À chacune de ses sorties une abeille butine 50 fleurs. a. Combien de sorties une abeille butineuse doit-elle faire pour obtenir 1 gramme de miel ? b. Combien de fleurs doivent être butinées pour obtenir 250 g de miel ? 9 3 mm. Quelle est la longueur totale du tour d’une alvéole ? 11 Combien y a-t-il d’alvéoles entières sur la plaque ci-dessus ? 12 Les alvéoles sont disposées sur un cadre ouvrières ? ★ Ce diagramme indique le nombre les mois de l’année. Utilise-le pourd’abeilles qui vivent dans la ruche selon répondre aux questions 3, 4 et 5. Nombre d’abeilles 70 000 60 000 7 50 000 ★ 40 000 20 000 r vie jan r rie fév rs ma l avri i ma juin Pendant quels mois, le nombre d’abeilles let juil t aou bre tem sep bre octo bre bre em vem no déc de la ruche est-il supérieur à 35 000 4 Entre quels mois consécutifs (c’est-à-d ire qui se suivent), le nombre d’abeilles de la ruche a-t-il subi la plus forte augmenta tion ? 5 Romy affirme que, dans la ruche, le nombre d’abeilles du mois de décembre est le quart du nombre d’abeilles du mois de juin. A-t-elle raison ? Au bon miel % %% 13 Une abeille se déplace d’une Le papa de Marius achète 3 pots de miel d’acacia et 6 pots de miel de mille fleurs. Il paie avec un billet de 50 €. Quelle somme d’argent l’apiculteur doitil lui rendre ? ? 8 rectangulaire. Un cadre peut accueillir 720 abeilles sur chacune de ses faces. L’essaim de Madame Dumiel comporte 9 000 abeilles. Combien faut-il de cadres pour que toutes puissent s’y installer ? ★★ alvéole à l’autre de la façon Miel d'acacia : 5 ! Miel de mille eurs : 4 ! 10 000 3 Chez un apiculteur, les prix des pots de 250 g de miel sont indiqués sur cette affiche : % %% 30 000 0 Combien un hexagone a-t-il de côtés ? Combien a-t-il d’angles ? 10 Le côté d’une alvéole mesure environ indiquée sur le dessin. Combien de chemins différents peut-elle utiliser pour se rendre de l’alvéole A à l’alvéole B ? B UNITÉ Chez le même apiculteur, un acheteur ★★ a dépensé 47 € pour 10 pots de miel. Il a acheté les 2 sortes de miel. Combien a-t-il acheté de pots de chaque sorte ? 4 A 70 • soixante-dix soixante-et-onze • 71 055-071-Unite 4.indd 70 24/01/2020 10:25 055-071-Unite 4.indd 71 24/01/2020 10:25 – Résoudre un problème à étapes 1 objectifs : – Sélectionner des informations dans un texte – Convertir des durées – Résoudre des problèmes du champ additif (recherche d'une différence) Réponse : 75 jours 2 objectifs : – Prendre des informations dans des textes – Résoudre des problèmes du champ multiplicatif (total) Réponse : 400 000 abeilles ouvrières 3 4 5 objectifs : – Prendre et traiter des informations sur un diagramme en barres – Résoudre des problèmes du champ additif (différence) et multiplicatif (rapport) Réponses : 3 avril à juillet 4 de mars à avril (environ 30 000) 5 oui, car 15 000 est égal à un quart de 60 000 ★ 6 objectifs : – Résoudre des problèmes du champ multiplicatif (nombre de parts, valeur totale) Réponse : a. 60 sorties (car 60 × 50 = 3 000) b. 750 000 fleurs (car 250 × 3 000 = 750 000) ★ 7 objectifs : – Résoudre des problèmes du champ multiplicatif (valeur totale) et additif (total, différence) Réponse : 11 € (50 € – 39 €) ★★ 8 objectifs : – Résoudre un problème de recherche (par essais et ajustements ou en inventoriant toutes les décompositions additives de 10 pots en 2 sortes de pots et en calculant les couts correspondants) Réponse : 7 pots d’acacia ; 3 pots de mille fleurs 9 10 objectifs : – Prendre des informations sur une figure géométrique – Connaitre le vocabulaire : côté, angle Réponse : 9 6 côtés et 6 angles 10 18 mm 11 objectifs : – Résoudre un problème du domaine multiplicatif (total) et additif (calcul de la somme) Réponse : 94 alvéoles (4 lignes de 13 alvéoles et 3 lignes de 14 alvéoles ou 81 alvéoles si on ne prend pas en compte la dernière ligne d'alvéoles). ★ 12 objectifs : – Résoudre des problèmes du champ multiplicatif (nombre de parts) Réponse : 7 cadres (un cadre pouvant accueillir 1 440 abeilles, 6 cadres seraient insuffisants) ★★ 13 objectifs : – Résoudre un problème de recherche (stratégie de dénombrement exhaustif) Réponse : 6 chemins Une évaluation trimestrielle est prévue en fin d'unité 4 (1er trimestre). hatier-clic.fr/CM1capgevaltrim01 Les documents élèves et enseignant sont sont téléchargeables 169 UNITÉ Toutes les ressources imprimables de l'unité : hatier-clic.fr/CM1capg05 Le DÉROULEMENT 5 LE CALCUL MENTAL Les 10 rituels de 15 minutes Problèmes Fraction d’une quantité n Nombres Écritures en lettres et en chiffres Fractions en quarts, tiers, dixièmes n Comparaison n guide p. 172 manuel p. 72 Calcul mental : automatismes Tables, multiplications par 25, par des multiples simple de 10 ou de 100 Nombres < 1 000 000 n Produits, facteurs d'un produit Expressions « de plus », « de moins », « triple » Proportionnalité n Utilisation des propriétés de linéarité Ateliers de calcul mental guide p. 201 manuel p. 86 Les bonnes opérations / Les bons nombres / Le grand écart Calculs avec parenthèses / produit et différence Les RÉVISIONS et APPRENTISSAGES RÉVISER APPRENDRE 10 ou 11 séances de 15 min 10 ou 11 séances de 45 min guide p. 176 manuel p. 74 Problèmes Gestion de données – Organiser et représenter des données guide p. 173 manuel p. 73 Les nombres jusqu’à 999 999 Nombres et numération Problèmes : déduire Les cubes empilés – Décompositions en unités de numération ou avec des puissances de 10 ex. 1 à 3 Ranger des nombres – Lignes graduées – Rangement et placement sur une ligne graduée ex. 4 à 6 guide p. 179 et 183 manuel p. 76-78 Sommes et différences de fractions Déplacements de tortues – Addition et soustraction de fractions en dixièmes. – Décomposition de fractions décimales en unités de numération Dixièmes et nombres à virgule Les bandes accolées – Relation entre écriture à virgule et fraction décimale – Valeur positionnelle des chiffres, signification de la virgule guide p. 173-174 manuel p. 73 Calculs Multiplication : calcul posé ou réfléchi Des nombres cibles – Décomposition avec l’addition, la soustraction, la multiplication – Utilisation de parenthèses ex. 7 à 9 guide p. 174 cahier p. 31 Grandeurs et mesures guide p. 186 manuel p. 80 – Notion de multiple en lien avec la décomposition d'un nombre sous forme de produits – Reconnaissance des multiples de 2, 5 et 10 guide p. 190 manuel p. 82 Mesurer des aires – Comparaison, mesure de l'aire d'une surface sur quadrillage – Construction d'une surface d'aire donnée ex. 1 à 3 Du décamètre au millimètre Mesurage et unités usuelles – Ordre de grandeur – Relation entre unités guide p. 174 cahier p. 32 guide p. 193 cahier p. 34 Reproduire des figures Espace et géométrie – Repérage et utilisation d’alignements 170 ex. 4 à 6 Les Shadoks au travail Droites parallèles – Reconnaissance de deux droites parallèles hatier-clic.fr/CM1capgecran05 Géométrie sur écran GéoTortue (5) : Se déplacer sans laisser de trace Je prépare mon bilan BILAN PROBLÈMES Multiples Le jeu de la puce manuel p. 84 Je fais le bilan cahier p. 36 manuel p. 85 Ateliers : Je résous à mon rythme n Problèmes du domaine multiplicatif et du domaine additif manuel p. 87 cahier p. 36 Les maths dans la vie n Sur une route des Alpes manuel p. 88 ZOOM sur les APPRENTISSAGES PROBLÈMES PROPOSÉS • Trouver la hauteur d'un empilement de cubes à partir Déductions des hauteurs d'autres empilements Problèmes • Planification d'une résolution en partant de la question (stratégie remontante) et des données (stratégie descendante) • Effectuer des déductions apprentissage 1 PROBLÈMES PROPOSÉS Nombres décimaux • Calculer avec des fractions décimales En dixièmes • Placer des nombres sur des lignes graduées propriétés • Valeur des chiffres en fonction de leur rang dans l'écriture d'un nombre • La virgule comme indicateur de la place des unités apprentissages 2 et 3 Calculs • Déterminer les valeurs et nombres de sauts réguliers pour atteindre Multiples un nombre en partant de 0 apprentissage 4 PROBLÈMES PROPOSÉS Unités de longueur • Relations entre unités de numération • Passage de l'écriture fractionnaire à l'écriture à virgule (et inversement) langage • Expressions à virgule, fractionnaires et littérales des nombres décimaux • Décomposition en unités de numération PROBLÈMES PROPOSÉS Grandeurs et mesures résultats et procédures • Mesurer des longueurs apprentissage 5 PROBLÈMES PROPOSÉS • Déterminer si Espace deux droites sont et géométrie parallèles Droites parallèles • Tracer deux droites parallèles connaissant apprentissage 6 leur écartement propriétés • Définition de multiple (24 multiple de 4 car 24 = 4 × 6) • Propriétés des multiples de 2, 5 et 10 résultats et procédures • Trouver des multiples d'un nombre UNITÉ 5 langage • Multiple • Reconnaitre si un nombre est multiple d'un autre • Reconnaitre les multiples de 2, 5 et 10 propriétés • Sur un instrument de mesure, – l’unité est reportée à partir de la graduation 0 – on peut voir que 10 mm = 1 cm, 10 cm = 1 dm, 100 cm = 1 m, etc. résultats et procédures • Utiliser un instrument de mesure de longueur gradué et adapté • Décamètre, mètre, décimètre, centimètre, millimètre • Nom des instruments de mesure en relation avec ces unités propriétés résultats et procédures • Deux droites parallèles sont : – deux droites qui ne se coupent pas – deux droites d’écartement constant. • Mesurer un écartement entre deux droites • L’écartement entre deux droites se mesure sur une perpendiculaire à une des droites. langage • Déterminer si deux droites sont parallèles • Tracer deux droites parallèles connaissant leur écartement langage • Droites parallèles, droite parallèle à ..., écart ou écartement, guide-âne • Utiliser un guide-âne 171 UNITÉ 5 Rituels de calcul mental Ces questions sont proposées oralement aux élèves qui répondent par écrit dans leur cahier. Les questions figurant dans le manuel (Mes rituels de calcul mental, p. 72) viennent en complément et peuvent être utilisées soit en vue de préparer les moments collectifs, soit en vue d’un entrainement supplémentaire. Des ateliers sont également proposés dans le manuel (p. 86). Problèmes ● Fraction d'une quantité, comparaison, proportionnalité Formuler deux fois chaque énoncé. Jour 1 Problèmes a. Zoé a reçu 12 cartes pendant les vacances. Jules n’en a reçu que le quart. Combien de cartes Jules a-t-il reçues ? b. Le papa de Tom a 36 ans. Tom a le tiers de cet âge. Quel est l’âge de Tom ? c. Un dictionnaire coute 40 €. Un livre de poche coute le dixième de ce prix. Combien coute un livre de poche ? GUIDE : a. 3 cartes b. 12 ans c. 4 € MANUEL : a. 5 cartes b. 11 ans c. 5 € Jour 2 Problèmes a. La maman de Marie a 40 ans et son papa a 37 ans. De combien d’années son papa est-il moins âgé que sa maman ? b. Isaac et Amélie collectionnent les fossiles. Isaac a 60 fossiles. Il en a le triple d’Amélie. Combien Amélie a-t-elle de fossiles ? c. Pour venir au cours de judo, je dois parcourir 200 mètres, et Sophie doit parcourir 500 mètres. Combien doit-elle parcourir de mètres de plus que moi ? Jour 3 Problèmes Tom a acheté 4 stylos identiques et il a payé 8 €. a. Milo en a acheté 8. Combien a-t-il payé ? b. Aya en acheté 20. Combien a-t-elle payé ? c. Romy en acheté 10. Combien a-t-elle payé ? GUIDE : a. 16 € b. 40 € c. 20 € MANUEL : a. 12 € b. 30 € c. 20 € Écriture en lettres et en chiffres (nombres < 1 million) En cas de difficultés, vérifier la capacité des élèves à lire et écrire des nombres de 2 ou 3 chiffres avant d'entrainer celle de nombres plus grands. ● Jour 4 Nombres dictés a. 10 000 b. 15 070 e. 205 500 f. 205 050 c. 15 300 g. 158 005 d. 230 000 h. 73 790 MANUEL : a. 60 000 b. 20 090 c. 200 000 d. 10 015 e. 63 960 f. 100 100 g. 300 220 172 c. 700 009 g. 110 110 d. 108 500 h. 140 040 MANUEL : a. 4 900 b. 18 700 c. 15 000 d. 720 700 e. 114 112 f. 17 023 g. 117 017 h. 600 405 Multiplication par 25 Les résultats peuvent être obtenus en prenant appui sur le résultat de 2 × 25 et/ou de 4 × 25 qui devrait être mémorisé. Le résultat de chaque calcul peut être conservé au tableau pour servir de point d'appui pour les calculs suivants. ● Jour 6 Calculs dictés a. 2 × 25 b. 3 × 25 e. 8 × 25 f. 10 × 25 c. 4 × 25 g. 20 × 25 d. 5 × 25 h. 30 × 25 GUIDE : a. 50 b. 75 c. 100 d. 125 e. 200 f. 250 g. 500 h. 750 MANUEL : a. 50 b. 150 c. 175 d. 250 e. 300 f. 500 g. 1 000 h. 1 500 Jour 7 Calculs dictés Combien de fois 25 dans : a. 50 ? b. 100 ? e. 275 ? f. 750 ? c. 150 ? g. 1 000 ? d. 125 ? h. 2 500 ? GUIDE : a. 2 b. 4 c. 6 d. 5 e. 11 f. 30 g. 40 h. 100 MANUEL : a. 3 b. 4 c. 8 d. 5 e. 10 f. 12 g. 20 h. 0 GUIDE : a. 3 ans b. 20 fossiles c. 300 m MANUEL : a. 3 ans b. 12 fossiles c. 50 m Grands nombres Jour 5 Nombres dictés a. 47 000 b. 40 080 e. 500 075 f. 842 610 Tables de multiplication Recherche d'un facteur La plupart des questions sont nouvelles pour les élèves dans la mesure où le nombre à atteindre n’est pas toujours un multiple du facteur connu. ● Chercher « combien de fois 6 est contenu dans 31 » exige en effet de : – situer 31 entre 2 multiples consécutifs de 6 : 6 × 5 = 30 et 6 × 6 = 36 ; – conclure que 6 est contenu 5 fois dans 31 car 31 = (6 × 5) + 1. Ce type de tâche prépare le travail sur la division. ● Jour 8 Calculs dictés Combien de fois 6 dans : a. 24 ? b. 25 ? e. 45 ? f. 50 ? c. 31 ? g. 36 ? d. 42 ? h. 38 ? GUIDE : a. 4 b. 4 c. 5 d. 7 e. 7 f. 8 g. 6 h. 6 MANUEL : a. 3 b. 3 c. 4 d. 5 e. 6 f. 9 g. 10 h. 10 Multiplication par des multiples simples de 10 ou de 100 Jour 9 Calculs dictés Combien de fois 9 dans : a. 18 ? b. 20 ? e. 38 ? f. 55 ? c. 45 ? g. 90 ? d. 50 ? h. 95 ? ● Dicter les calculs sous la forme « 30 fois 4 ». Jour 10 Calculs dictés a. 30 × 4 b. 70 × 6 e. 7 × 70 f. 400 × 5 GUIDE : a. 2 b. 2 c. 5 d. 5 e. 4 f. 6 g. 10 h. 10 MANUEL : a. 3 b. 3 c. 4 d. 5 e. 6 f. 7 g. 7 h. 9 c. 90 × 5 g. 8 × 300 d. 6 × 40 h. 800 × 6 GUIDE : a. 120 b. 420 c. 450 d. 240 e. 490 f. 2 000 g. 2 400 h. 4 800 MANUEL : a. 240 b. 350 c. 360 d. 300 e. 560 f. 1 200 g. 2 700 h. 4 000 r Voir aussi Ateliers de calcul mental (p. 86) Révisions Ces exercices de révision sont destinés à raviver des connaissances et des compétences travaillées dans les unités précédentes ou à entretenir celles qui sont travaillées dans cette unité. Ils sont à proposer aux élèves en fonction de leurs besoins particuliers identifiés lors des activités d'apprentissage ou au moment des bilans, en classe entière ou en ateliers différenciés et, éventuellement préparés à la maison. Ils sont conçus pour une durée quotidienne d'environ 15 min. 5 Manuel p. 73 EXERCICES 4 Numération décimale Je révise Les nombres jusqu’à 999 999 UNITÉ 5 2 Trouve le nombre qui correspond à chaque description. a. Je contiens 25 milliers, je suis le plus grand nombre possible. b. Je contiens 123 centaines, mon chiffre des unités est 7. Je suis le plus petit nombre possible. c. Je contiens 240 milliers, je suis le plus petit nombre possible. 3 – Maitrise des équivalences entre unités de numération – Écriture en chiffres et en lettres Écris en chiffres et en lettres : a. 24 milliers et 10 centaines b. 482 centaines c. 100 centaines et 1 000 dizaines d. (23 × 1 000) + (23 × 10) e. (4 × 10 000) + (26 × 1 000) f. (50 × 1 000) + (50 × 100) + 50 Complète de 3 façons différentes. 25 078 = (… × 1 000) + (… × 10) + … RANGER DES NOMBRES – LIGNES GRADUÉES 5 4 Écris ces nombres du plus petit au plus grand. 1 2032000 3 102 000 EXERCICES 105 002 Range ces nombres du plus petit au plus grand. Écris-les en chiffres. quatre-vingt-mille-cent 203 010 cent-vingt-mille-quatre Ces exercices sont l’occasion de rappeler les équivalences entre unités de numération. Elles sont à connaitre parfaitement. On pourra recourir au matériel de numération pour illustrer les procédures utilisables, notamment pour l’exercice 3, et éventuellement au tableau de numération. 100 250 98 756 mille-cent-vingt-quatre 6 a. Recopie cette ligne graduée et écris les nombres en face des repères A et B. b. Place au bon endroit les nombres : 520 530 545 595 610 625. 600 500 A MULTIPLICATION : CALCUL POSÉ OU RÉFLÉCHI 7 48 × 23 Sans poser d’opération, trouve le résultat de ce calcul parmi ces trois nombres. 9 004 10 104 1 104 Explique ta réponse. Effectue le calcul pour vérifier. Réponses : 8 Réponses : 9 308 240 vingt-mille-cent) < 120 004 (cent-vingt-mille-quatre) UNITÉ Je révise 6 EXERCICE 5 , trouve Avec les opérations au moins une façon d’atteindre chaque 7 8 10 30 60 2 a. 25 000Pour – chaque vingt-cinq-mille nombre cible, tu ne peux b. 48 200nombre. – quarante-huit-mille-deux-cents La calculatrice n’est pas autorisée. c. 20 000 – vingt-mille • 73 d. 23 230 – vingt-trois-mille-deux-cent-trente e. 66 000 – soixante-six-mille UNITÉ Je révise f. 55 050 – cinquante-cinq-mille-cinquante 5 3 Exemples : 25 078 = (25 × 1 000) + (7 × 10) + 8 LES NOMBRES JUSQU’À 999 999 2 Écris25 en chiffres 078et en=lettres (20: × 1 000) + (507 × 10) + 8 1 Trouve le nombre qui correspond a. 24 milliers et 10 centaines à chaque description. b. 482 centaines 25 078 = (25 × 1 000) + (5 × 10) + 28 a. Je contiens 25 milliers, je suis le plus c. 100 centaines et 1 000 dizaines utiliser qu’une seule fois chaque carte Les élèves peuvent d’abord identifier les nombres 550 et 650 correspondants aux repères marqués sur la ligne puis graduer la ligne de 10 en 10 ou de 5 en 5. 1 24/01/2020 10:25 ® Ces exercices de reprise d’apprentissage sont à répartir sur l’unité. d. (23 × 1 000) + (23 × 10) e. (4 × 10 000) + (26 × 1 000) f. (50 × 1 000) + (50 × 100) + 50 grand nombre possible. b. Je contiens 123 centaines, mon chiffre des unités est 7. Je suis le plus petit nombre possible. c. Je contiens 240 milliers, je suis le plus petit nombre possible. Ranger des nombres 3 102 000 100 250 Complète de 3 façons différentes. 25 078 = (… × 1 000) + (… × 10) + … RANGER DES NOMBRES – LIGNES GRADUÉES 5 4 Écris ces nombres du plus petit au plus grand. 100 250 105 002 98 756 203 000 Range ces nombres du plus petit au plus grand. Écris-les en chiffres. quatre-vingt-mille-cent 203 010 cent-vingt-mille-quatre mille-cent-vingt-quatre 6 a. Recopie cette ligne graduée et écris les nombres en face des repères A et B. b. Place au bon endroit les nombres : 520 530 545 595 610 625. 600 500 A MULTIPLICATION : CALCUL POSÉ OU RÉFLÉCHI 7 8 48 × 23 Sans poser d’opération, trouve le résultat de ce calcul parmi ces trois nombres. 9 004 10 104 1 104 Explique ta réponse. Effectue le calcul pour vérifier. 488 × 205 Sans poser d’opération, trouve le résultat de ce calcul parmi ces trois nombres. 105 002 B – Ordre et comparaison – Écriture en chiffres et en lettres – Repérage sur une ligne régulièrement graduée Écris en chiffres et en lettres : a. 24 milliers et 10 centaines b. 482 centaines c. 100 centaines et 1 000 dizaines d. (23 × 1 000) + (23 × 10) e. (4 × 10 000) + (26 × 1 000) f. (50 × 1 000) + (50 × 100) + 50 quatre-vingt-mille-cent 203 010 98 756 520 530 545 A cent-vingt-mille-quatre mille-cent-vingt-quatre 6 a. Recopie cette ligne graduée et écris les nombres en face des repères A et B. b. Place au bon endroit les nombres : 520 530 545 595 610 B 595 610 625 625. 600 500 Multiplication Calcul posé ou réfléchi A B MULTIPLICATION : CALCUL POSÉ OU RÉFLÉCHI 7 48 × 23 Sans poser d’opération, trouve le résultat de ce calcul parmi ces trois nombres. 9 004 10 104 1 104 Explique ta réponse. Effectue le calcul pour vérifier. 8 488 × 205 Sans poser d’opération, trouve le résultat de ce calcul parmi ces trois nombres. 100 040 10 040 80 040 Explique ta réponse. Effectue le calcul pour vérifier. DES NOMBRES CIBLES – Calcul réfléchi : 308 240 120 estimation de , trouve Avec les opérations au moins une façon d’atteindre chaque l'ordre de grandeur nombre cible en utilisant ces nombres : d'un 8 produit 10 30 60 7 Pour chaque nombre cible, tu ne peux – Calcul utiliser qu’uneposé seule fois:chaque carte nombre. algorithme de la La calculatrice n’est pas autorisée. multiplication 9 soixante-treize • 73 EXERCICES 7 072-088-Unite 5.indd 73 Lignes graduées 2 Trouve le nombre qui correspond à chaque description. a. Je contiens 25 milliers, je suis le plus grand nombre possible. b. Je contiens 123 centaines, mon chiffre des unités est 7. Je suis le plus petit nombre possible. c. Je contiens 240 milliers, je suis le plus petit nombre possible. 3 façons différentes. Réponses : a. A ➝ 5503 Complète B078➝= (…de650 25 × 1 000) + (… × 10) + … b. RANGER DES NOMBRES – LIGNES GRADUÉES 5 Range ces nombres du plus petit 4 Écris ces nombres du plus petit au plus grand. 500 au plus grand. Écris-les en chiffres.600 203 000 soixante-treize 072-088-Unite 5.indd 73 ® Ces exercices de reprise d’apprentissage sont à répartir sur l’unité. LES NOMBRES JUSQU’À 999 999 120 en utilisant : 1 a. 25 999nombreb.cible12 307ces nombres c. 240 000 488 × 205 Sans poser d’opération, trouve le résultat de ce calcul parmi ces trois nombres. 100 040 10 040 80 040 Explique ta réponse. Effectue le calcul pour vérifier. 102 000 < 203 010 5 1 124(mille-cent-vingt-quatre) < 80 100 (quatre- B DES NOMBRES CIBLES 5 4 98 756 < 100 250 < 102 000 < 105 002 < 203 000 ® Ces exercices de reprise d’apprentissage sont à répartir sur l’unité. LES NOMBRES JUSQU’À 999 999 1 UNITÉ 8 24/01/2020 10:25 Il s’agit d’utiliser les ordres de grandeur pour estimer et contrôler le résultat du calcul d’un produit. Cette estimation est plus difficile à réaliser que dans le cas d’une somme ou d’une différence. En effet, une approximation trop large pour un des facteurs peut conduire à une approximation très éloignée de la valeur exacte. Réponses : 7 1 104 (approximation : 50 × 20 = 1 000) 8 100 040 (approximation : 500 × 200 = 100 000) DES NOMBRES CIBLES 9 308 240 120 , trouve Avec les opérations au moins une façon d’atteindre chaque nombre cible en utilisant ces nombres : 7 8 10 30 60 Pour chaque nombre cible, tu ne peux utiliser qu’une seule fois chaque carte 173 105 002 98 756 quatre-vingt-mille-cent 203 010 cent-vingt-mille-quatre mille-cent-vingt-quatre 520 530 545 595 610 625. 600 A Des nombres cibles EXERCICE 2 B DES NOMBRES CIBLES 9 10 104 308 8 10 30 60 Pour chaque nombre cible, tu ne peux utiliser qu’une seule fois chaque carte nombre. La calculatrice n’est pas autorisée. 80 040 Procéder comme pour l’exercice 1. ● Les élèves peuvent compter les triangles unités sur le réseau ou compter les carrés entiers qui pavent les surfaces et doubler le résultat obtenu. ● – Décomposition de nombres avec des nombres et des opérations données 120 , trouve Avec les opérations au moins une façon d’atteindre chaque nombre cible en utilisant ces nombres : 1 104 7 10 040 240 Aide pour identifier la surface-unité lorsqu’elle est dans une orientation différente de celle donnée dans l’énoncé : proposer de décalquer la surface unité sur un petit morceau de papier calque et de la superposer au triangle orienté différemment. soixante-treize • 73 EXERCICE 9 24/01/2020 10:25 Avant de lancer la recherche, un ou deux exemples peuvent d’abord être traités collectivement, par exemple pour obtenir : 87 = (8 × 10) + 7. Voir commentaire de l’unité 3, page 108 du guide. Réponses : E ➝ 5 unités F ➝ 8 unités G ➝ 14 unités H ➝ 16 unités Réponses possibles : 308 ➝ (30 × 10) + 8 240 ➝ 30 × 8 (30 × 10) – 60 120 ➝ 60 × (10 – 8) (7 + 8) × 10 – 30 ● Cahier p. 31 à 33 EXERCICE 3 Proposer une vérification par deux avant de reproduire quelques productions sur le document projeté. Réponses possibles : UNITÉ révise Aires des aires 5 JeMesurer J MESURER DES AIRES 1 – Comparer des aires – Exprimer la mesure de l’aire d’une surface une unité étant donnée – Construire une surface d’aire donnée Range ces surfaces de celle qui a la plus petite aire à celle qui a la plus grande aire. Explique comment tu as fait. A B D C Réponse : .............................................................................................................................................. Explication : ........................................................................................................................................... 2 Écris l’aire de chaque surface en utilisant l’unité indiquée. 1 unité G H G : ……………………. H : ……………………. F E K L 1 unité Reproduire des figures Reconnaissance et utilisation d’alignements matériel par élève • règle E : ……………………. 3 F : ……………………. Ces exercices visent à réactiver la notion d’alignement travaillée en cycle 2 et à consolider l’analyse d’une figure. ● Insister sur le fait que, dans les trois exercices, la règle ne 5 Jedoit révise être utilisée que pour tracer, pas pour mesurer. Sur le quadrillage avec l’unité indiquée : a. Dessine un rectangle J qui a pour aire 10 unités. b. Dessine une surface K qui n’est pas un rectangle et qui a pour aire 16 unités. c. Dessine un carré L qui a pour aire 18 unités. 1 unité UNITÉ REPRODUIRE DES FIGURES matériel pour la classe • page du cahier projetée Cahier geom.indd 31 trente-et-un • 31 4 a. Quels sont les points qui sont alignés sur la figure 1 ? ............................................................................................................................................................... 22/01/2020 10:30 EXERCICE 1 Recueillir les propositions de rangement. Demander à quelques élèves de venir illustrer leurs procédures sur les figures projetées : – Les surfaces A, C, D sont des polygones dont l’aire peut être mesurée par comptage de carrés unités, mais leurs aires peuvent être aussi comparées par découpage et réorganisation de surfaces découpées ; – la surface B peut être découpée et réorganisée pour former un rectangle de 5 carrés de long par 2 de large, dont l’aire peut être ensuite facilement déterminée. B C ● Réponse : A < B (= C) < D. × × × × D F × E Figure 1 b. Les figures 2 et 3 sont des reproductions de la figure 1, mais il manque un point sur chaque figure. Place-le avec précision, sans mesurer. A × B C A × × × B × D C × × × × D F × E Figure 2 Figure 3 32 • trente-deux Cahier geom.indd 32 174 Tu peux utiliser ta règle pour tracer, mais pas pour mesurer. A × 22/01/2020 10:30 – Percevoir et utiliser des alignements EXERCICE 5 ➜ Dans les exercices 5 et 6, on a commencé à reproduire la figure. Termine en utilisant ta règle pour tracer, mais pas pour mesurer. Tu peux faire des tracés sur les figures modèles. 5 Il faut repérer les segments manquants et déterminer l’ordre dans lequel les tracer : – Les segments (1) et (2) sont faciles à tracer ; – Pour (3) et (4), il faut repérer sur la figure modèle que l’extrémité commune aux segments (a) et (b) est dans l’alignement du segment (3), que (4) est dans le prolongement de (b). ● modèle 6 3 modèle a 1 b trente-trois • 33 EXERCICE 4 2 EXERCICE 6 22/01/2020 10:30 Cahier geom.indd 33 4 Question a. : S’assurer que les élèves ont identifié tous les alignements avant de passer à la question b. ● Pour la question b., il est possible que certains élèves placent approximativement les points F (figure 2) et E (figure 3) sans utiliser le fait qu’ils sont à l’intersection de deux droites ou encore ne tracent qu’une des deux droites et placent approximativement le point sur cette droite. ● En conclusion de l’exercice, rappeler que : ● EXPLICITATION, VERBALISATION L’analyse du modèle peut se faire individuellement, à deux ou collectivement. Pour compléter la reproduction, il est nécessaire de repérer que l’extrémité manquante de chacun des quatre segments restant à tracer : – appartient à un cercle ; – est sur une des diagonales du quadrilatère déjà reproduit. ● Il n’est pas indispensable, pour compléter la figure, d’identifier qu'elle est composée de quadrilatères et encore moins que ce sont des losanges. ◗ Trois points sont alignés si le troisième point est sur la droite qui passe par les deux premiers. Si on place un bord de la règle contre deux des points, le troisième est aussi contre le bord de la règle ◗ On peut toujours placer la règle de façon à ce que deux points soient contre un bord. Par conséquent, l’expression « points alignés » n’a de sens que pour 3 points ou plus. Réponses : a. Points alignés : A, B et C A, D et E B, F et E C, F et D b. A A B C B F D E C F D E 175 UNITÉ 5 Problèmes : déduire Objectifs : UNITÉ apprentissage 1 La démarche déductive occupe une place importante en mathématiques. Elle intervient souvent dans les problèmes à étapes, mais elle fait rarement l’objet d’un travail spécifique. Nous avons choisi d’en faire un objet d’enseignement explicite, dans des situations où il est facile de bien la mettre en évidence. Les situations ont été choisies pour que cette approche puisse y être privilégiée mais, comme dans les autres problèmes dits « ouverts », d’autres stratégies sont toujours possibles et ne doivent pas être ignorées si des élèves y ont recours. – Organiser les étapes de la résolution d'un problème – Procéder par déductions successives Problèmes : déduire 5 apprentissage 1 LesJecubes cherche empilés Les cubes empilés A B Romy a réalisé des tours avec des cubes bleus et des cubes roses. Voici les trois tours qu’elle a réalisées et les hauteurs des tours A et B. Quelle est la hauteur de la tour C ? A 27 cm B 24 cm E 21 cm F 16 cm 2 Recherche de la question A par équipes de 2 ou 3 Laisser un temps suffisant de recherche. ● Observer les démarches utilisées. Tom a réalisé quatre autres tours avec des cubes rouges, verts et jaunes. Quelle est la hauteur de la tour D ? D ? ● Les hauteurs de cubes ont été choisies pour qu’une démarche par essais et ajustements ne soit pas la plus efficace dans la mesure où la hauteur des cubes bleus n’est pas un nombre entier de cm alors que toutes les données sont des nombres entiers. Elle peut cependant être utilisée par certains élèves et donc prise en considération lors de la synthèse, mais l’avantage de la démarche privilégiant un enchainement de déductions doit être souligné. G 13 cm C ? INCONTOURNABLE pour la classe DES HAUTEURS ◗ DÉDUIRE INCONTOURNABLE MATÉRIEL Je m’entraine DÉROULÉ 5 2 ◗ PROCÉDURES POSSIBLES Quelle est la hauteur de la tour M ? du manuel p. 74 agrandie ou projetée •1 activité Quelle est la hauteur de la tour J ? par élève • manuel p. 74, questions A et B • cahier de brouillon ou feuille de recherche H I J de mathématiques • cahier 10 cm 12 cm ? K L 1 DÉDUIRE Présentation de la situation DES LONGUEURS ◗ INCONTOURNABLE UNITÉ 2 Quelle Recherche de la question A est la longueur d’une bande bleue ? 3 Réponds sans mesurer. 3 Exploitation de la question A 12 cm 4 Recherche de la question B 14 cm 5 Exploitation de la question B 74 • soixante-quatorze 6 Entrainement 18 cm 27 cm • Procéder par essais en faisant des hypothèses sur la hauteur d'un cube de chaque couleur. • Procéder par déductions successives, par exemple : – déterminer la hauteur d’un cube rose (6 cm), puis d'un cube bleu (4 cm 5 mm ou 45 mm), puis celle de la tour C ; – déterminer la hauteur d’un cube rose (6 cm), puis de 2 cubes bleus (9 cm), puis celle de la tour C, en remarquant qu'elle contient 3 fois 2 cubes bleus. M ? Collectif Par équipes de 2 ou 3 Collectif Par équipes de 2 ou 3 Collectif Individuel 072-088-Unite 5.indd 74 ◗ DIFFICULTÉS ÉVENTUELLES – Pour démarrer la recherche Aide Demander ce qu’il faudrait connaitre pour répondre à la question. Si trop d’équipes ne démarrent pas ou s’enferrent dans des calculs sans signification, proposer une mise en commun intermédiaire, en précisant qu’il ne s’agit pas de dire ce qu’on a trouvé, mais comment on a démarré. 24/01/2020 10:25 RECHERCHE Comment trouver la hauteur d’une tour constituée de deux ou trois sortes de cubes à partir de la donnée des hauteurs de deux ou trois autres tours ? 1 Présentation collective de la situation Demander aux élèves de prendre connaissance de la question A. ● Faire formuler les données principales du problème : ● ➞ On connait la hauteur des tours A et B ; ➞ La tour A est constituée de 3 cubes roses et de 2 cubes bleus ; ➞ La tour B est constituée de 4 cubes roses ; ➞ La tour C est constituée d’un cube rose et de 6 cubes bleus ; ➞ Il faut trouver la hauteur de cette tour. Préciser que les équipes devront rendre compte de leur recherche. ● 176 3 Exploitation collective pour la question A Recenser les réponses. Demander à quelques équipes ayant utilisé des stratégies différentes (correctes ou non) de les expliquer. Pour chacune d’elles : – faire contrôler par la classe si la réponse est compatible avec les données ; – faire expliciter les étapes de la résolution ; – demander à la classe d’en débattre pour savoir si la stratégie peut mener à la réponse ; – demander si d’autres équipes ont utilisé la même stratégie et le faire vérifier rapidement. ● Regrouper au tableau les feuilles de recherche qui correspondent à des stratégies comparables. ● Si la stratégie par déductions n'est pas apparue, la réaliser avec la classe au moment de l'explicitation. ● ● ? B 24 cm Je m’entraine tions est la plus sûre et la plus rapide. – à partir de la tour B, il est facile de trouver la hauteur d'un cube rose ➝ 24 cm : 4 = 6 cm ; – à partir de la tour A, on peut ensuite trouver la hauteur de 2 cubes bleus : 27 cm – 18 cm = 9 cm ; – cela suffit pour trouver la hauteur de la tour C qui contient 1 cube rose (6 cm) et 3 fois 2 cubes bleus (9 cm × 3 = 27 cm), sa hauteur totale est donc : 6 cm + 27 cm = 33 cm. On peut aussi trouver la hauteur d'un cube bleu (9 cm : 2 = 4 cm 5 mm), puis celle de 6 cubes bleus (4 cm 5 mm × 6 = 24 cm 30 mm = 27 cm). ◗ Pour trouver la suite des déductions à faire, il faut : – partir des données pour savoir ce qu’on peut en déduire facilement ; – partir de la question pour déterminer ce qu’il serait utile de connaitre puis revenir ensuite à ce qu’on peut tirer des données. ◗ DÉDUIRE DES HAUTEURS Réponses : 1 9 cm H 10 cm I 12 cm K 18 cm 12 cm 14 cm 4 Aya et son frère Ilyès ont deux chambres 74 • soixante-quatorze voisines. La chambre d’Ilyès est de forme Ilyès 9 4 ★ Combien de grammes pèse la balle rouge ? g ★★ g g g mot ami mais mimi aimais 5m Réponses : Ilyès 4 16 mmTrouve la valeur de chaque lettre utilisée par Tom pour écrire ces mots. Aya Déduire des masses 5 Même déroulement que pour la question A. INCONTOURNABLE 5 Exploitation collective pour la question B 6 Combien de grammes pèse la balle rouge ? g tours qu’elle a réalisées et les hauteurs des tours A et B. g est la hauteur de la tour C ? TRACEQuelle ÉCRITE Conserver au tableau ou dans le cahier de mathématiques les étapes de la résolution d'un des problèmes. D ? 6 Entrainement individuel A B C E 21 cm F 16 cm G 13 cm Manuel p. 74-75 ? Déduire des hauteurs Je m’entraine INCONTOURNABLE INCONTOURNABLE ◗ DÉDUIRE DES HAUTEURS Quelle est la hauteur de la tour J ? I 12 cm J ? INCONTOURNABLE Quelle est la hauteur de la tour M ? K 18 cm ◗ DÉDUIRE DES LONGUEURS 3 2 Quelle est la longueur d’une bande bleue ? Réponds sans mesurer. 12 cm 14 cm g apprentissage 1 Tom a réalisé quatre autres tours avec des cubes rouges, verts et jaunes. Quelle est la hauteur de la tour D ? L 27 cm M ? 42 numéros du journal La Gazette coutent 36 € de plus que 24 numéros. 24/01/2020 10:25 Quel est le prix d’un numéro de ce journal ? 10 Milo a acheté une raquette, un maillot, ★★ un short et un ballon. Les cubes empilés B soixante-quinze • 75 9 g Combien de grammes affiche la dernière balance ? Reprendre les éléments de la phase 3. A Romy a réalisé des tours avec des cubes Réponse 22 cmroses. Voici les trois bleus:et des cubes hatier-clic.fr/CM1cap025 ★ Problèmes : déduire 5 EXPLICITATION, VERBALISATION valeur 17 37 14 52 le composent. 3 3 cm g H 10 cm 42 numéros du journal La Gazette coutent 36 € de plus que 24 numéros. Quel est le prix d’un numéro de ce journal ? g 072-088-Unite 5.indd 75 Cf. phase 2. 1 24/01/2020 10:25 Le problème 4 peut présenter une difficulté pour certains élèves du fait du contexte (périmètre) et parce qu’il faut comprendre qu’un côté du carré est commun avec un côté 6 Combien de grammes affiche la dernière du rectangle. Préciser que le périmètre est la longueur du balance ? 10 Milo a acheté une raquette, un maillot, short et un ballon. de la chambre contour et demander de montrerunLeleprix contour de la raquette est le double du prix Le maillot coute 2 € de plus d’Ilyès, de la chambre d’Aya. D’oùduquemaillot. lale short. suite de déductions : Le prix du short est le double du prix du ballon. Le maillot coute 12 €. – la chambre d’Ilyès étant de Combien forme carrée, a-t-il dépensé au total ?son côté mesure mfrère; Ilyès ont deux chambres 8 Aya a acheté 4 kg de poires, 6 kg 4 Aya 3 et son de pommes et 2 kgÉnigme de cerises. voisines. La chambre d’Ilyès est de forme Elle a payé 47 €. et laaussi chambre d’Aya est de forme – 3 mcarrée est la largeur de la Tomchambre a donné une valeur àd’Aya (dont on Quel est le prix d’un kilogramme de cerises ? rectangulaire. chaque lettre de l’alphabet. Le périmètre dePRIX la chambre d’Ilyès mesure DES connait donc les 2 dimensions) ;Il a écrit 4 mots et a ◗ DÉDUIRE 12 mètres. calculé la valeur de chaque 7 Quel d’une sucette ? Quel est est le le prix périmètre de la chambre mot en additionnant – on peut d’Aya ? alors déterminer le périmètre de la chambre d'Aya. les valeurs des lettres qui INCONTOURNABLE ◗ DIFFICULTÉS ÉVENTUELLES 24 cm Aya a acheté 4 kg de poires, 6 kg de pommes et 2 kg de cerises. Elle a payé 47 €. Quel est le prix d’un kilogramme de cerises ? Aya ◗ DÉDUIRE DES MASSES 27 cm ★ 5m INCONTOURNABLE – Procéder par essais en faisant des hypothèses sur la hauteur d'un cube de chaque couleur. – Procéder par déductions successives : déterminer la hauteur d’un cube rouge (7 cm), puis d'un cube jaune (2 cm), puis d'un cube vert (6 cm), puis celle de la tour D (22 cm). Je cherche 8 carrée et la chambre d’Aya est de forme rectangulaire. 072-088-Unite 5.inddLe 74 périmètre de la chambre d’Ilyès mesure 12 mètres. Quel est le périmètre de la chambre d’Aya ? ★ ◗ PROCÉDURES POSSIBLES UNITÉ M ? Quelle est la longueur d’une bande bleue ? Réponds sans mesurer. g ● L 27 cm ◗ DÉDUIRE DES LONGUEURS 3 INCONTOURNABLE Reprendre le même déroulement que pour la question A (phase 2) C’est ici le nombre de tours qui peut faire privilégier une suite de déductions directes à une méthode par essaisajustements. ● Quelle est la hauteur de la tour M ? 2 16 cm J ? Déduire des longueurs ◗ DÉDUIRE DES MASSES 4 Recherche de la question B par équipes de 2 ou 3 2 Ces 12 Quelle problèmes est la hauteur de sont la tour J ? proches de ceux de la recherche, le 1er étant très simple. 3 EXERCICES 5 Réponse : 33 cm 13 cm 2 INCONTOURNABLE ◗ Pour ce problème, la stratégie par une suite de déduc- EXERCICES 1 INCONTOURNABLE EXPLICITATION, VERBALISATION 16 cm C ? INCONTOURNABLE A 27 cm 21 cm ◗ 5 EXERCICE 7 g DÉDUIRE DES PRIX Quel est le prix d’une sucette ? Le prix de la raquette est le double du prix du maillot. Le maillot coute 2 € de plus que le short. Le prix du short est le double du prix du ballon. Le maillot coute 12 €. Combien a-t-il dépensé au total ? Énigme Tom a donné une valeur à chaque lettre de l’alphabet. Il a écrit 4 mots et a calculé la valeur de chaque mot en additionnant les valeurs des lettres qui le composent. mot ami mais mimi aimais valeur 17 37 14 52 La 2e information permet de trouver la masse d’une balle Trouve la valeur de chaque lettre utilisée par Tom pour écrire ces mots. bleue. Il faut ensuite utiliser la 1re information pour trouver la masse de 3 balles bleues, puis de la balle rouge. hatier-clic.fr/CM1cap025 Réponse : 50 g 072-088-Unite 5.indd 75 EXERCICE 6 soixante-quinze • 75 24/01/2020 10:25 Le problème 6 est proche de celui traité dans la question B de la recherche. La 3e balance permet de trouver qu'une sucette jaune pèse 3 g, la 2e balance permet alors de trouver qu'une sucette rouge pèse 5 g, la 1re balance permet alors de trouver qu'une sucette bleue pèse 4 g. La dernière balance affiche donc 12 g. Réponse : 12 g 177 UNITÉ 5 Le prix de la raquette est le double du prix du maillot. Le maillot coute 2 € de plus que le short. Le prix du short est le double du prix du ballon. Le maillot coute 12 €. Combien a-t-il dépensé au total ? 4 Aya et son frère Ilyès ont deux chambres voisines. La chambre d’Ilyès est de forme carrée et la chambre d’Aya est de forme rectangulaire. Tom a donné une valeur à mot valeur Le périmètre de la chambre d’Ilyès mesure chaque lettre de l’alphabet. ami 12 mètres. 17 Il a écrit 4 mots et a Quel est le périmètre de la chambre 37 calculé la valeur de chaque mais d’Aya mimi? 14 mot en additionnant 5m aimais 52 les valeurs des lettres qui le composent. Énigme Déduire des prix ◗ DÉDUIRE DES PRIX 7 Quel est le prix d’une sucette ? Trouve la valeur de chaque lettre utilisée Ilyès Aya par Tom pour écrire ces mots. hatier-clic.fr/CM1cap025 Aya a acheté 4 kg de poires, 6 kg ★ de pommes et 2 kg de cerises. Elle a payé 47 €. 072-088-Unite 5.indd 75 Quel est le prix d’un kilogramme de cerises ? soixante-quinze • 75 DES MASSES ◗ DÉDUIRE INCONTOURNABLE 8 5 24/01/2020 10:25 g INCONTOURNABLE 5m 9 ★ 6 Combien de grammes affiche la dernière balance ? g g g g ◗ DÉDUIRE DES PRIX 7 Quel est le prix d’une sucette ? 10 Milo a acheté une raquette, un maillot, ★★ un short et un ballon. Tom a donné une valeur à chaque lettre de l’alphabet. Il a écrit 4 mots et a calculé la valeur de chaque mot en additionnant les valeurs des lettres qui le composent. mot ami mais mimi aimais 072-088-Unite 5.indd 75 valeur 17 37 14 52 hatier-clic.fr/CM1cap025 soixante-quinze • 75 24/01/2020 10:25 Le fait d'avoir 3 catégories de fruits et à prendre des informations sur plusieurs supports peut entrainer une difficulté supplémentaire. Réponse : 5 e 178 36 € de plus que 24 numéros. Quel est le prix d’un numéro de ce Réponse 2e journal ? : EXERCICE 10 ✶ ✶ La difficulté peut venir du nombre de données à traiter et du10 fait l’information la plus simple soit donnée à la fin. Milo a que acheté une raquette, un maillot, Le prix de la raquette est le double du prix Réponse 51 €coute 2 € de plus du maillot.:Le maillot que le short. Le prix du short est le double du prix du ballon. Le maillot coute 12 €. Combien a-t-il dépensé au total ? Énigme Tom a donné une valeur à chaque lettre de l’alphabet. Il a écrit 4 mots et a calculé la valeur de chaque mot en additionnant les valeurs des lettres qui le composent. mot ami mais mimi aimais valeur 17 37 14 52 Une stratégie par essais• et ajustements est envisageable… 75 mais difficile à mener à son terme. Une stratégie par déductions est ici plus pertinente, par exemple : – de la comparaison de ami et mais : on déduit que le s vaut 20 et que ami vaut 17 ; – de mimi, on déduit que mi vaut 7 et donc, comme ami vaut 17, que a vaut 10 ; – dans aimais, il y a deux fois a, im (comme mi), s et i ; on en déduit que i vaut 5. – d’où la valeur de m : 2. soixante-quinze Trouve la valeur de chaque lettre utilisée par Tom pour écrire ces mots. EXERCICE 8 ✶ Une résolution par essais est possible, notamment si on tente successivement 1 € puis 2 €. La résolution par déduction est rapide… à condition d’interpréter l’énoncé sous la forme : 36 € est le prix des 18 numéros supplémentaires. 9 42 numéros du journal La Gazette coutent hatier-clic.fr/CM1cap025 La difficulté peut être due au fait d’avoir à trouver la moitié de 1 € 80 c. Il peut être suggéré de convertir les prix en centimes. Réponse : 30 c EXERCICE 9 ✶ Trouve la valeur de chaque lettre utilisée par Tom pour écrire ces mots. Le prix de la raquette est le double du prix du maillot. Le maillot coute 2 € de plus que le short. Le prix du short est le double du prix du ballon. Le maillot coute 12 €. Combien a-t-il dépensé au total ? EXERCICE 7 Aya a acheté 4 kg de poires, 6 kg de pommes et 2 kg de cerises. Elle a payé 47 €. Quel est le prix d’un kilogramme de cerises ? ★★ un short et un ballon. 42 numéros du journal La Gazette coutent 36 € de plus que 24 numéros. Quel est le prix d’un numéro de ce journal ? Énigme ★ ★ Combien de grammes pèse la balle rouge ? g Aya 8 24/01/2020 10:25 Réponse : a ➝ 10 i ➝ 5 m ➝ 2 s ➝ 20 D’autres raisonnements sont possibles, par exemple s = 20, puis ai = 52 – 37 = 15 et m = 17 – 15 = 2. Sommes et différences de fractions Objectifs : UNITÉ Sommes et différences de fractions 5 apprentissage 2 Déplacements de tortues Je cherche Déplacements de tortues 2 Recherche individuelle puis collective de la question A Une tortue bleue et une tortue verte se déplacent le long de deux lignes graduées. A 0 1 2 1+ 0 1 3 B 27 28 2 29 9 10 28 + 27 3 30 ● 6 10 28 29 30 • Déplacements effectifs sur la ligne graduée puis lecture du nombre associé au repère après identification du pas de graduation. Utiliser cette procédure pour répondre à la question b. nécessite de prolonger la ligne graduée en sixièmes (ou d’évoquer mentalement son prolongement) • Raisonnements sur les écritures : – du nombre repère du départ : par exemple, pour la tortue bleue, 9 dire que 1 + , c’est 10 dixièmes plus 9 dixièmes, donc 19 dixièmes 10 et que 11 pas de graduations correspondent à 11 dixièmes, puis effectuer les opérations sur des nombres entiers de dixièmes. – ou du pas de graduation : par exemple, pour la tortue bleue, dire que 11 dixièmes, c’est 10 dixièmes + 1 dixième, donc 1 unité + 1 dixième, puis effectuer les opérations séparément sur les unités et les dixièmes en échangeant si nécessaire une unité contre dix dixièmes. Ces raisonnements nécessitent de connaitre et d’utiliser l’égalité « une unité = dix dixièmes », il est probable que pour répondre à cette première question la plupart des élèves préfère utiliser la première procédure. 4 6 Les tortues partent maintenant à chaque fois du repère marqué par une flèche violette. Écris le nombre en face duquel se trouvera chaque tortue a. 5 6 Les deux tortues partent à chaque fois du repère marqué par une flèche rouge. Écris le nombre en face duquel se 28 + 1+ a. de graduation b. de graduation b. C Recopie et complète le tableau de numération de Tom et explique comment il l’utilise pour répondre pour la tortue bleue à la question B. DÉPLACER ◗ SE SUR UNE LIGNE GRADUÉE pour la classe 2 Une tortue rouge se déplace sur une ligne graduée en quarts d’unité, à chaque fois 3 . + 4 Écris en face de quel nombre elle La tortue bleue se déplace sur sa ligne du manuel p. 76 agrandie ou projetée •1 activité graduée en dixièmes d’unité, à chaque fois 3 . + 10 Écris en face de quel nombre elle se par élève a. après avoir avancé de 4 d’unité 4 p. 76, questions A à Cb. après avoir avancé de 13 d’unité • manuel 17 d’unité a. après avoir avancé de 4 10 de recherche 13 • brouillon ou feuille d’unité c. après avoir reculé de 17 d’unité b. après avoir reculé de 4 de mathématiques • cahier 10 76 •1soixante-seize Présentation de la situation 2 Recherche de la question A 3 Recherche de la question B 072-088-Unite 5.indd 76 4 Recherche de la question C 5 Entrainement Collectif Individuel puis collectif Individuel ou par équipes de 2 puis collectif Individuel ou par équipes de 2 puis collectif Individuel 24/01/2020 10:25 ◗ DIFFICULTÉS ÉVENTUELLES – À identifier le pas de graduation Aide Inviter l’élève à identifier l’unité de longueur sur la ligne et à dénombrer les parts égales qui la constituent. – À écrire les résultats à l’aide de fractions Aide Inciter l’élève à verbaliser sa réponse puis le guider pour la traduire sous forme symbolique. RECHERCHE Comment trouver le nombre qui repère la position d’une tortue qui se déplace d’un certain nombre de pas de graduation sur une ligne graduée en sixièmes ou en dixièmes ? 1 Présentation collective de la situation Demander aux élèves de prendre connaissance de l’activité, faire remarquer que les deux lignes ne sont pas graduées avec le même pas de graduation et rappeler l’enjeu de la situation. ● Souligner qu’à chaque question les tortues partent toujours du repère marqué d’une flèche. ● Préciser la tâche : ● ➞ Vous devrez d’abord répondre aux deux questions du A sur votre brouillon (ou votre feuille de recherche) et écrire vos résultats à l’aide de fractions. Puis vous expliquerez à la classe comment vous avez fait pour les trouver. Pendant la recherche, observer les procédures utilisées. ◗ PROCÉDURES POSSIBLES MATÉRIEL apprentissage 21 apprentissage Les calculs de sommes ou de différences de fractions, abordés ici, servent à mettre en évidence l’intérêt d’utiliser des fractions décimales, qui peuvent se décomposer en unités de numération en en introduisant une nouvelle, le dixième. Ce sont ces fractions décimales qui, dans la situation suivante, seront codées avec une écriture à virgule. L’objectif n’est pas ici d’acquérir une aisance en calcul mais de commencer à comprendre comment le système écrit de numération décimal des nombres entiers se prolonge aux décimaux. Une approche similaire est proposée en unité 7 au moment d’aborder les centièmes. Les techniques d’addition et de soustraction de décimaux seront reprises et approfondies en unité 10. – Calculer des sommes et des différences de fractions simples en privilégiant les fractions décimales de dénominateur 10 – Savoir décomposer des fractions décimales (de dénominateur 10) en unités de numération (jusqu’au dixième d’unité) INCONTOURNABLE 5 DÉROULÉ UNITÉ Recenser les résultats et mettre en débat les différentes écritures proposées en réponse à chacune des questions, faire valider les égalités en les illustrant sur la ligne graduée correspondante, puis faire verbaliser les procédures effectivement apparues. ● 8 tortue verte ➝ 0 10 30 22 4 = 3 tortue verte ➝ =3+ b. tortue bleue ➝ 10 6 6 Réponses : a. tortue bleue ➝ EXPLICITATION, VERBALISATION Faire formuler par les élèves que : ◗ Les déplacements vers l’arrière peuvent être traduits par des soustractions : – que l’on exprime à l’oral ce qui permet de raisonner sur les fractions : 179 UNITÉ 5 • 1 unité et 9 dixièmes (c’est 10 dixièmes et 9 dixièmes donc dix-neuf dixièmes) moins 11 dixièmes est égal à 8 dixièmes. • 1 unité et 5 sixièmes (c’est 6 sixièmes et 5 sixièmes donc 11 sixièmes) moins 11 sixièmes est égal à 0. – que l’on écrit : (1 + 9 11 8 )– = ; 10 10 10 5 6 (1 + ) – 11 =0 6 ◗ Les déplacements vers l’avant peuvent être traduits par des additions : – que l’on exprime à l’oral : • 1 unité et 9 dixièmes (c’est 10 dixièmes et 9 dixièmes donc 19 dixièmes), plus 11 dixièmes (ce qui donne 30 dixièmes ou 3 fois 10 dixièmes) est égal à 3 unités. • 1 unité et 5 sixièmes (c’est 6 sixièmes et 5 sixièmes donc 11 sixièmes), plus 11 sixièmes (ce qui donne 22 sixièmes ou 3 fois 6 sixièmes + 4 sixièmes) est égal à 3 unités et 4 sixièmes. – que l’on écrit : (1 + 9 11 )+ =3; 10 10 5 6 (1 + ) + 11 4 =3+ 6 6 Sans nécessairement attendre que tous les élèves soient parvenus à répondre pour la tortue verte, recenser les résultats et les mettre en débat. Demander aux élèves de formuler les procédures utilisées et faire ressortir que celles-ci sont plus aisées à mettre en œuvre avec des fractions données en dixièmes qu’en sixièmes. ● La nature décimale de notre système de numération facilite la mise en œuvre de ces procédures avec des fractions données en dixièmes. On exploitera ce fait pour justifier que, par la suite, l’étude des fractions décimales et donc des nombres décimaux sera privilégiée. 6 158 128 8 = = 12 + Réponses : a. tortue bleue ➝ (25 + ) – 10 10 10 10 4 158 14 2 = =2+ tortue verte ➝ (28 + ) – 6 10 6 6 6 158 444 4 = = 44 + b. tortue bleue ➝ (28 + ) + 10 10 10 10 4 158 330 = = 55 tortue verte ➝ (28 + ) + 6 10 6 EXPLICITATION, VERBALISATION 3 Recherche individuelle ou par équipes de 2 de la question B Faire remarquer aux élèves que les pas de graduations sont les mêmes que dans la question A mais que, sur le manuel, seule une partie des lignes graduées est représentée. Préciser que celles-ci se prolongent à gauche vers 26, 25, 24… et à droite vers 31, 32… ● Pendant la recherche, observer les procédures utilisées. ● ◗ PROCÉDURES POSSIBLES • Écriture d’une suite de nombres correspondants à des déplacements par bonds sur la ligne graduée, à partir du départ, jusqu’à avoir effectué 158 pas. Par exemple, la tortue bleue en reculant 15 fois par bonds de dix pas, atteint successivement les nombres repères : 6 6 6 27 + ; 26 + … 13 + ; en reculant encore de 6 pas, 10 10 10 elle atteint le nombre 13, il ne lui reste plus que 2 pas à effectuer pour finir de reculer des 158 pas demandés. Elle peut aussi commencer par reculer de 6 pas pour atteindre un premier nombre repère entier, puis continuer par bonds de 10 pas jusqu’à atteindre 13, et terminer en reculant encore de 2 pas. • Raisonnements sur les écritures : – du nombre repère du départ. Par exemple pour la tortue verte : puisque 1 unité c’est 6 sixièmes, 28 unités c’est 28 fois 6 sixièmes 4 donc 168 sixièmes, et donc 28 + correspondent à 172 sixièmes 6 auxquels soustraire (ou ajouter) 158 sixièmes... – ou du pas de graduation. Par exemple pour la tortue verte : puisque 1 unité c’est 6 sixièmes et que dans 158 sixièmes c’est 26 fois 6 sixièmes + 2 sixièmes, 158 sixièmes c’est donc 26 unités 4 et 2 sixièmes avant (ou après) 28 + . 6 Faire formuler par les élèves que : ◗ comme 10 dixièmes = 1 unité, il est facile de calculer men- talement que 28 unités et six dixièmes font 286 dixièmes (28 fois 10 dixièmes + 6 dixièmes), ou de décomposer 158 dixièmes (15 fois dix dixièmes et 8 dixièmes) en 15 unités et 8 dixièmes. ◗ mais, même en sachant que 6 sixièmes = 1 unité, il est plus difficile de calculer que 28 unités et 4 sixièmes font 172 sixièmes (28 fois 6 sixièmes + 4 sixièmes) ou de décomposer 158 sixièmes (26 fois 6 sixièmes + 2 sixièmes) en 26 unités et 2 sixièmes. 4 Recherche individuelle ou par équipes de 2 de la question C Demander aux élèves de prendre connaissance de la question. Rappeler que la ligne utilisée par la tortue bleue est graduée en dixièmes et que l’enjeu est de trouver la méthode utilisée par Tom pour répondre correctement aux deux questions posées. ● ◗ PROCÉDURES POSSIBLES – Décomposition des 158 dixièmes en unités de numération (en décomposant, par exemple, d’abord 158 dixièmes et 15 unités et 8 dixièmes), identification de la colonne « dixièmes » du tableau de numération, pose et calcul de l’opération en colonnes dans le tableau, lecture et écriture du résultat. ◗ DIFFICULTÉS ÉVENTUELLES – Pour lire et décomposer les fractions en unités de numération. Aide Inciter à verbaliser les décompositions en les illustrant si nécessaire sur une ligne graduée en dixièmes. – Pour effectuer l’opération posée Aide Autoriser la vérification à la calculatrice ◗ DIFFICULTÉS ÉVENTUELLES – Pour amorcer une procédure de résolution Aide Proposer aux élèves de commencer par déplacer les tortues d’un nombre restreint de pas sur la ligne graduée puis d’imaginer une suite possible de déplacements – Pour mener la procédure à son terme sans effectuer d’erreur dans les calculs Aide À traiter au moment de l’exploitation des résultats. 180 Après la recherche, recueillir les propositions des élèves : faire justifier le positionnement des chiffres dans le tableau, faire contrôler la justesse des opérations posées, puis lire les résultats obtenus pour les traduire en écriture fractionnaire. Interroger leur validité par retour au problème posé. ● A 0 1 2 1+ UNITÉ centaines dizaines unités 0 28 9 10 28 + 2 27 3 apprentissage 2 TRACE ÉCRITE INDIVIDUELLE 29 30 29 30 6 10 28 4 28 + 6 Les tortues partent maintenant à chaque fois du repère marqué par une flèche violette. Écris le nombre en face duquel se trouvera chaque tortue : a. après avoir reculé sur sa ligne de 158 pas de graduation b. après avoir avancé sur sa ligne de 158 pas de graduation 5 1+ 6 Les deux tortues partent à chaque fois du repère marqué par une flèche rouge. Une tortue bleue et une tortue verte se déplacent le long de deux lignes graduées. Écris le nombre en face duquel se B trouvera A 0 chaque 27 28 tortue : 29 30 1 2 3 a. après avoir reculé sur sa ligne de 11 pas de graduation 6 9 b. après avoir avancé 28 sur + sa ligne de 11 pas 1+ 10 10 de graduation Je cherche dixièmes 1 27 Sommes et différences de fractions 5 Réponses : a. Soustraction (méthode par emprunt) B 3 Écrire ou faire coller dans le cahier le tableau de numération complété par la colonne des dixièmes. Illustrer son utilisation sur des décompositions d’une fraction décimale ou sur la pose d’une addition d’une somme ou d’une soustraction comme ci-avant. Déplacements de tortues 6 10 158 – – 1 5 8 C Recopie 27 28 29 de 30 0 1 2 3 et complète le tableau 10 numération de Tom et explique comment pour la tortue il l’utilise pour répondre 8 5 . + 4 bleue à la question B28 1+ Manuel p. 76-77 5 Entrainement 12 + individuel 1 2 8 6 6 10 Les deux tortues partent à chaque Les tortues partent maintenant à chaque fois fois du repère marqué par une flèche violette. du repère marqué par une flèche rouge. Je m’entraine Écris le nombre en face duquel se le nombre en face duquel se Il est impossible de soustraire directement 8 dixièmes à Écris 6 dixièmes. Se déplacer sur ligne graduée trouvera chaque tortueune : trouvera chaque tortue : er SE DÉPLACER 2 Une tortue rouge se déplace sur une ligne En décomposant 1 unité en 10 dixièmes au 1 terme, celui-ci devient ◗ SUR a. après avoir reculé sur sa ligne a. après avoir reculé sur sa ligne de 11 pas UNE LIGNE GRADUÉE graduée en quarts d’unité, à chaque fois de 158 pas de graduation de graduation 3 2 dizaines, 7 unités, 16 dixièmes. à partir du repère 9 + . b. après avoir avancé sur sa ligne b. après avoir avancé sur sa ligne de 11 pas 1 La tortue bleue se déplace sur sa ligne 4 de 158 pas de graduation de graduation On a alors : 16 dixièmes – 8 dixièmes = 8 dixièmes, Écris en face de quel nombre elle graduée en dixièmes d’unité, à chaque fois 3 . se trouve : à partir du repère 9 + et complète le tableau de 7 unités – 5 unités = 2 unités ; 2 dizaines – 1 dizaine =C1Recopie dizaine. a. après avoir avancé de 4 d’unité 10 2 87 28 + 16 DICO INCONTOURNABLE 23 numération de Tom et explique comment il l’utilise pour répondre pour la tortue bleue à la question B. dixièmes 21 81 6 1 5 8 4 14 14 Je m’entraine DICO 23 6 DÉPLACER 28 + ◗ SE SUR UNE LIGNE GRADUÉE 10 tortue bleue se déplace sur sa ligne 158 1 La graduée en dixièmes d’unité, à chaque fois + à partir du repère 9 + 3 . 10 10 en face de quel nombre elle se 4 Écris trouve : 44 + a. après avoir avancé de 17 d’unité 10 10 b. après avoir reculé de 17 d’unité 10 6 dixièmes + 8 dixièmes = 14 dixièmes = 10 dixièmes + 4 dixièmes76 • soixante-seize = 1 unité (de retenue) + 4 dixièmes 9 unités + 5 unités = 14 unités = 10 unités + 4 unités 072-088-Unite 5.indd 76 = 1 dizaine (de retenue) + 4 unités 3 dizaines + 1 dizaine = 4 dizaines EXPLICITATION, VERBALISATION Faire remarquer par les élèves que : ◗ Comme dans l’écriture des nombres entiers, on peut retrouver, dans l’écriture d’une fraction de dénominateur 10, sa décomposition en unités de numération. ◗ Pour cela, il nécessaire de se servir d’une nouvelle unité de numération obtenue en partageant l’unité en 10 parts égales : le dixième. 128 ◗ Dans : 10 centaines dizaines unités 1 12 2 dixièmes 128 8 8 – de droite à gauche, 8 désigne le chiffre des dixièmes, 2 celui des unités, 1 celui des dizaines – il y a, dans ce nombre, 12 unités et 8 dixièmes (ou 1 dizaine et 28 dixièmes). ◗ Et inversement 12 unités et 8 dixièmes (ou 1 dizaine et 28 dixièmes) est égal à ◗ En synthèse, rappeler : Une tortue rouge se déplace sur une ligne 76 2• soixante-seize graduée en quarts d’unité, à chaque fois 3 . à partir du repère 9 + 4 en face de quel nombre elle 072-088-Unite 5.indd Écris 76 se trouve : 4 a. après avoir avancé de d’unité 4 13 d’unité b. après avoir avancé de 4 c. après avoir reculé de 13 d’unité 4 EXERCICE 1 UNITÉ C’est une reprise de la recherche. Pour répondre les élèves peuvent effectuer ou évoquer les déplacements sur une ligne gradée en dixièmes, raisonner sur les écritures (en 3 93 disant par exemple que 9 + c’est auxquels on ajoute 10 10 17 110 , ce qui donne , c’est-à-dire 11) ou poser les opérations 10 10 dans un tableau de numération. 24/01/2020 10:25 Réponses : a. 11 b. 7 + 6 76 ou + 10 10 EXERCICE 2 Il s’agit de rappeler que les propriétés des fractions décimales ne s’appliquent pas aux fractions non décimales et que les stratégies de résolution s’appuient sur la compréhension de la signification de l’écriture fractionnaire. Réponses : a. 10 + 3 43 2 26 ou b. 13 c. 6 + ou 4 4 4 4 Ajouter, soustraire des longueurs SOUSTRAIRE ◗ AJOUTER, DES LONGUEURS 3 128 . 10 – que les fractions n’ont pas toutes cette propriété, et qu’on appelle fractions décimales les fractions de dénominateur 10 qui la possèdent (de même que les fractions de dénominateur 100, 1 000… qui seront vues plus tard). – qu’avec les fractions décimales les calculs mêlant entiers et fractions sont facilités : on peut par exemple les poser en colonnes dans un tableau de numération en utilisant, entre autres, le fait que 1 unité = 10 dixièmes pour placer la retenue. 24/01/2020 10:25 4 ★ Une sportive a effectué, lors d’une épreuve de triple saut, un premier bond long de 4 m et demi, un deuxième qui mesure 1 m de moins et un troisième qui fait 5 m de plus que le deuxième. 10 Quelle est la longueur totale de son triple saut ? ★ Chaque équipe d’un relai 4 × 100 m, est composée de 4 coureurs, qui parcourent chacun 100 m. Voici les temps de l’équipe verte : Premier coureur 13 secondes et 7 dixièmes de seconde Deuxième coureur 14 secondes Troisième coureur 12 secondes et 9 dixièmes de secondes Quatrième coureur 12 secondes et 2 dixièmes de secondes a. Quel écart de temps sépare le coureur le plus rapide du coureur le plus lent ? b. Quel est le temps réalisé par cette Une bassine contient 2 L d’eau, on y verse 10 1 L et demi. Trouve la quantité d’eau restante dans la bassine. Romy a construit une bande de longueur 27 u. Aya en a construit une de longueur 10 1 u + 9 u. 10 a. Quel est l’écart de longueur entre les deux bandes ? b. Quelle est la longueur totale des deux bandes mises bout à bout ? SOUSTRAIRE DES DURÉES, ◗ AJOUTER, DES CONTENANCES 5 6 ★★ 3 pots d’eau de 1 L puis on en retire DES SOMMES ◗ CALCULER ET DES DIFFÉRENCES ➜ Pour les exercices 7 à 9, donne les réponses sous la forme de la somme d’un entier et d’une fraction plus petite que 1. INCONTOURNABLE + unités b. après avoir avancé de 13 d’unité 4 13 c. après avoir reculé de d’unité 4 INCONTOURNABLE dizaines INCONTOURNABLE centaines 4 Écris en face de quel nombre elle se trouve : 17 d’unité a. après avoir avancé de 10 17 b. après avoir reculé de d’unité 10 INCONTOURNABLE b. Addition 7 Écris les dix nombres qui suivent 45 en comptant de 7 dixièmes en 7 dixièmes. 8 Écris les dix nombres qui précèdent 18 en comptant en reculant de 8 dixièmes en 8 dixièmes. 9 Calcule : a. la somme des nombres inscrits sur les étiquettes de même couleur b. la différence entre ces nombres 2 dizaines 13 unités 40 + 2 10 2 dixièmes 7 unités et 3 dixièmes 27 + 1 10 Énigme 47 48 49 Une tortue bleue est située à : • 14 unités et 8 dixièmes d’unité du repère 47 ; 181 5 EXERCICE 3 EXERCICE 7 Ces exercices, posés dans un autre contexte, amènent à réaliser des additions et des soustractions sur les fractions décimales. Pour réaliser ces calculs, les élèves peuvent SOUSTRAIRE 6 Une bassine contient 2 L d’eau, on y verse ◗ AJOUTER, DES LONGUEURS s’aider d’une ligne graduée en dixièmes, 3 pots d’eau de 1raisonner L puis on en retire sur les 10 1 L et demi. 3 Romy aou construit une bande de longueur fractions utiliser un tableau de numération. Trouve la quantité d’eau restante dans 27 Les élèves peuvent évoquer des bonds sur une ligne graduée en dixièmes, poser les additions dans un tableau de numération ou raisonner sur les fractions : 7 14 4 4 45 + ; 45 + c’est 45 + 1 + , donc 46 + ; 10 10 10 10 11 1 1 8 46 + c’est 46 + 1 + c’est 47 + ; 47 + ; .... 10 10 10 10 u. Aya en a construit une de longueur la bassine. 8 6 46 u b. 4 u + u ou u DES SOMMES CALCULER 10 ◗ ET DES 10 DIFFÉRENCES a. Quel est l’écart10 de longueur entre les deux bandes ? b. Quelle est la longueur totale des deux bandes mises bout à bout ? ➜ Pour les exercices 7 à 9, donne les réponses sous la forme de la somme d’un entier et d’une fraction plus petite que 1. EXERCICE 4 ✶ en 8 dixièmes. 9 INCONTOURNABLE Réponse : 12 m INCONTOURNABLE ★ Une sportive a effectué, lors d’une épreuve de triple saut, un premier bond long de 4 m et demi, un deuxième qui mesure 1 m de moins et un troisième qui fait 5 m de plus que le deuxième. 10 Quelle est la longueur totale de son triple saut ? 3 Romy a construit une bande de longueur 27 u. Aya en a construit une de longueur Calcule : 10 u + 9 sur u. les a. la somme des nombres1inscrits 10 étiquettes de même couleur a. Quel est l’écart de longueur entre b. la différence entre ces les nombres deux bandes ? b. Quelle est la longueur totale des deux 2 dizaines 2 dixièmes bandes mises bout à bout ? 13 unités 7 unités et 3 dixièmes Ajouter, soustraire des durées, des contenances SOUSTRAIRE DES DURÉES, ◗ AJOUTER, DES CONTENANCES 5 ★ Chaque équipe d’un relai 4 × 100 m, est composée de 4 coureurs, qui parcourent chacun 100 m. Voici les temps de l’équipe verte : Premier coureur 13 secondes et 7 dixièmes de seconde Deuxième coureur 14 secondes Troisième coureur 12 secondes et 9 dixièmes de secondes Quatrième coureur 12 secondes et 2 dixièmes de secondes 40 + 2 10 1 Une sportive a effectué, lors d’une épreuve 10 de triple saut, un premier bond long de 4 m et demi, un deuxième qui mesure 1 m de moins et un troisième qui fait 5 m de plus que le deuxième. 10 Quelle est la longueur totale de son triple 48 saut ? 49 27 4 + ★ Énigme 47 a. Quel écart de temps sépare le coureur le plus rapide du coureur le plus lent ? b. Quel est le temps réalisé par cette équipe sur 400 mètres ? 6 Une bassine contient 2 L d’eau, on y verse ★★ 3 pots d’eau de 1 L puis on en retire Une tortue bleue est située à : • 14 unités et 8 dixièmes d’unité du repère 47 ; • 165 dixièmes d’unité du repère 48 + 7 . 10 5 ★ DES SOMMES ◗ CALCULER ET DES DIFFÉRENCES ➜ Pour les exercices 7 à 9, donne les réponses sous la forme de la somme d’un entier et d’une fraction plus petite que 1. Premier coureur 13 secondes et 7 dixièmes de seconde Deuxième coureur 14 secondes Troisième coureur 12 secondes et 9 dixièmes de secondes Quatrième coureur 12 secondes et 2 dixièmes de secondes INCONTOURNABLE La tâche est similaire à celle des exercices précédents Quel écart de temps sépare le coureur Écris les dix nombresdans qui suiventun 45 autre contexte, oùa.les mais7 présentée dixièmes le plus rapide du coureur le plus lent ? en comptant de 7 dixièmes b. Quel est le temps réalisé par cette en 7 dixièmes. apparaissent en expressions verbales. équipe sur 400 mètres ? INCONTOURNABLE 8 8 Écris les dix nombres qui précèdent s (118seconde et 8 dixièmes) Réponses : a.en reculant 1 s + de 8 dixièmes en comptant 10 en 8 dixièmes. 8 s (52 secondes et 8 dixièmes de seconde) 9 Calcule : b. 52 s + 10 sur les a. la somme des nombres inscrits étiquettes de même couleur 528 b. la différence entre s (528 dixièmes de secondes) = ces nombres 2 dizaines 2 dixièmes 10 072-088-Unite 5.indd 77 13 unités 7 unités et 3 dixièmes EXERCICE 6 ✶ ✶ 13 secondes et 7 dixièmes de seconde 14 secondes 12 secondes et 9 dixièmes de secondes 12 secondes et 2 dixièmes de secondes 2 10 27 + 1 10 La résolution de cet exercice nécessite de connaitre et d’utiliser 1 on y verse5 6 Une bassine contient 2 L d’eau, Énigme L et L. l’équivalence entre 3 pots d’eau de 1 L puis on en retire 2 10 10 1 L et demi. ★★ 47 48 49 Trouve la quantité d’eau restante dans Une tortue bleue est située à : la bassine. • 14 unités et 8 dixièmes d’unité du repère 47 ; 7 • 165 dixièmes d’unité du repère 48 + . CALCULER DES SOMMES 10 ET DES DIFFÉRENCES En face de quel repère se trouve la tortue ? 8 L Réponse : 10 ◗ rt de longueur entre Calculer des sommes et des différences INCONTOURNABLE INCONTOURNABLE ➜ Pour les exercices 7 à 9, donne les hatier-clic.fr/CM1cap026 réponses sous la forme de la somme d’un entier et d’une fraction plus petite que 1.• 77 soixante-dix-sept 7 Écris les dix nombres qui suivent 45 en comptant de 7 dixièmes en 7 dixièmes. 8 Écris les dix nombres qui précèdent 18 en comptant en reculant de 8 dixièmes en 8 dixièmes. 9 Calcule : a. la somme des nombres inscrits sur les étiquettes de même couleur b. la différence entre ces nombres 2 dizaines × 100 m, est 13 unités 40 + 2 10 24/01/2020 10:25 2 dixièmes 7 unités et 3 dixièmes 27 + 1 10 13 secondes et 7 dixièmes de seconde Énigme 14 secondes 12 secondes et 9 dixièmes de secondes 12 secondes et 2 dixièmes de secondes 182 47 48 10 1 L et demi. Trouve la quantité d’eau restante dans la bassine. 4 6 8 ; 15 + ; 14 + ; 14 ; 10 10 10 4 6 8 ➜ Pour les exercices 7 à 9,2donne les ; 12 ; 11 + ; 10 + ; 10 réponses sous la 13 forme+de la somme d’un+ 10petite que 1. 10 10 10 entier et d’une fraction plus Réponse : 17 + 49 Une tortue bleue est située à : • 14 unités et 8 dixièmes d’unité du repère 47 ; • 165 dixièmes d’unité du repère 48 + 7 . 10 En face de quel repère se trouve la tortue ? hatier-clic.fr/CM1cap026 2 DES SOMMES 10 ◗ CALCULER ET DES DIFFÉRENCES ; 16 + 7 9 EXERCICE Écris les dix nombres qui suivent 45 en comptant de 7 dixièmes en 7 dixièmes. Les différentes formulations des nombres obligent à faire 8 Écris les dix nombres qui précèdent 18 en comptant en reculant dixièmes le lien entre desde 8expressions verbales ou symboliques. en 8 dixièmes. Le tableau de numération avec une colonne « dixièmes » 9 Calcule : fournit unedesaide la résolution. a. la somme nombresà inscrits sur les 2 3 3 ; 67 + 10 10 10 7 unités et 3 dixièmes 8 7 1 1 ;5+ ; 13 + b. 27 +19 + 10 10 10 10 étiquettes de même couleur 13 unités 40 + 2 10 24/01/2020 10:25 EXERCICE 5 ✶ 40 + Une bassine contient 2 L d’eau, on y verse ★★ 3 pots d’eau de 1 L puis on en retire 2 dizaines Chaque équipe d’un soixante-dix-sept • 77relai 4 × 100 m, est composée de 4 coureurs, qui parcourent chacun 100 m. Voici les temps de l’équipe verte : 072-088-Unite 5.indd 77 × 100 m, est 6 EXERCICE 8 b. la différence ces nombres SOUSTRAIRE DES DURÉES, ; 20 + Réponses : entre a. 20 + ◗ AJOUTER, DES CONTENANCES En face de quel repère se trouve la tortue ? hatier-clic.fr/CM1cap026 10 1 L et demi. Trouve la quantité d’eau restante dans la bassine. rt de longueur entre 7 4 1 8 5 ; 46 + ; 47 + ; 47 + ; 48 + ; 10 10 10 10 10 2 9 6 3 ; 49 + ; 50 + ; 51 + ; 52 49 + 10 10 10 10 Réponse : 45 + INCONTOURNABLE 1 5 les dix nombres qui suivent 45 = On peut résoudre cet exercice 7enÉcris utilisant l’égalité en comptant de 7 dixièmes 2 10 en 7 dixièmes. pour transformer 4 m et demi en 4 m et 5 dixièmes puis en SOUSTRAIRE 8 Écris les dix nombres◗quiAJOUTER, 18 déduire la longueur des deux derniers sauts. DESprécèdent LONGUEURS en comptant en reculant de 8 dixièmes 4 INCONTOURNABLE 10 1 u + :9 u. a. Réponses 10 INCONTOURNABLE INCONTOURNABLE ★★ 2 dixièmes Énigme 47 48 49 Une tortue bleue est située à : • 14 unités et 8 dixièmes d’unité du repère 47 ; 7 . • 165 dixièmes d’unité du repère 48 + 10 En face de quel repère se trouve la tortue ? hatier-clic.fr/CM1cap026 • 77 répondre aux deux conditions Il faut comprendre que pour le nombre cherché ne peut pas être compris entre les nombres donnés et qu’il se situe à l’extérieur de l’intervalle. On peut procéder par essais en opérant sur une des conditions et en vérifiant sur la seconde. soixante-dix-sept 24/01/2020 10:25 Réponse : 32 + 2 10 Dixièmes et nombres à virgule Objectifs : – Découvrir l’écriture à virgule et en comprendre la signification en lien avec une fraction décimale – Savoir reconnaitre la valeur des chiffres dans l’écriture à virgule d’un nombre apprentissage 31 apprentissage Dans l’apprentissage précédent, les élèves ont découvert que le dixième de l’unité peut être pris comme une nouvelle unité de numération, et qu’ainsi, toute fraction de dénominateur 10 peut être décomposée suivant les unités de numération. À partir de là, de la même façon qu’elle est apparue dans l’histoire, l’écriture à virgule est présentée aux élèves comme étant un codage de fraction décimale qui facilite le calcul d’additions ou de soustraction posées, car elles peuvent être alors effectuées avec des techniques similaires à celles mises en œuvre sur les entiers. Proche de celle des entiers, cette nouvelle écriture contribue à donner un statut de nombre à la fraction dont elle est un codage. Pour qu’elle garde sa signification fractionnaire, il est essentiel de l’associer à la fraction décimale correspondante et à ses décompositions en unités de numération. Une lecture signifiante des écritures à virgule est exigée pour renforcer cette compréhension. Conformément aux instructions officielles, au CM1, nous limitons l’étude des nombres décimaux à des expressions en dixièmes dans cette unité ou en centièmes dans l’unité 7. Comme dans l’apprentissage précédent, l’objectif n’est pas d’acquérir une aisance en calcul mais de comprendre comment le système écrit de numération des nombres entiers se prolonge à l’écriture à virgule des décimaux. Les techniques d’addition et de soustraction sur les nombres en écriture à virgule seront travaillées dans l’unité 10. UNITÉ Dixièmes et nombres à virgule 5 LesJebandes accolées cherche Les bandes accolées À l’aide d’une règle graduée en dixièmes, Romy a construit quatre bandes de couleurs et de longueurs différentes. 1u+ apprentissage 3 RECHERCHE Comment obtenir la longueur totale de 4 bandes mises bout à bout dont les longueurs sont exprimées sous forme entière ou fractionnaire (en dixièmes) en les traduisant en écriture à virgule ? Je vais mettre les 4 bandes bout à bout pour faire une longue bande. 9 u 10 Je me demande combien elle va mesurer en unités u… 26 u 10 2u 1 Présentation collective de la situation 7 u 10 Moi j’écris les longueurs de chaque bande avec des nombres à virgule Pour répondre, moi je fais une opération dans un tableau de numération. A Quelle est la longueur de la longue bande que Romy veut réaliser ? Pose l’opération comme Tom. B Comment Aya a-t-elle écrit les longueurs de chaque bande ? Écris comment elle a posé ensuite l’opération. (par exemple j’écris 1,9 pour 1 u + 9 u). 10 Je pose ensuite l’opération. C Milo a construit une bande qui mesure 28 u + 3 u et une autre qui mesure 157 u. 10 10 Trouve la longueur des deux bandes mises bout à bout en utilisant la méthode de ton choix. ● Demander aux élèves de prendre connaissance de l’activité. Rappeler l’enjeu de la situation : « Trouver la longueur totale des 4 bandes mises bout à bout ». Expliquer que Tom et Aya proposent deux méthodes différentes pour y parvenir. ● Préciser la tâche : ➞ Vous devrez d’abord répondre à la question A sur votre brouillon (ou votre feuille de recherche). Vous construirez le tableau de numération de Tom (celui qu’il a utilisé dans la leçon précédente) et vous effectuerez l’opération comme lui. Puis vous écrirez le résultat sous la forme d’une somme d’un entier et d’une fraction plus petite que 1. MATÉRIEL Je m’entraine pour la classe DES MESURES PAR UNE FRACTION OU UN NOMBRE À VIRGULE ◗ EXPRIMER INCONTOURNABLE 5 5 78 3 ➞ Mallette ou activité du manuel p. •1 poster Avec la règle graduée en dixièmes d’unité, trace un segment qui mesure 2 u + u, 10 29 agrandie projetée u et un troisième qui mesure 1,7 u. un deuxième quiou mesure 10 un des jeutroisde 4 bandes • éventuellement a. Quelle est la longueur totale segments mis bout à(deux bout ? fois plus Écris le résultat sous la forme d’une fraction. longues quede celles du lemanuel) etlong la etrègle graduée b. Quel est l’écart longueur entre segment le plus le segment le plus court ? Écris le résultat sous la forme d’un nombre à virgule. en dixièmes de la mallette pour les mesurer. 2 Recherche individuelle puis collective de la question A 78 par • soixante-dix-huit élève • manuel p. 78, questions A à C • fiche 50 pour l’entrainement 072-088-Unite 5.indd 78 24/01/2020 10:25 ◗ PROCÉDURES POSSIBLES • brouillon ou feuille de recherche • cahier de mathématiques 1 Présentation de la situation 2 Recherche de la question A 3 Recherche de la question B 4 Recherche de la question C 5 Entrainement L’activité est une reprise de l’apprentissage précédent. La recherche peut être menée assez rapidement. ● hatier-clic.fr/CM1capg0401 DÉROULÉ UNITÉ Collectif Individuel puis collectif Individuel puis collectif Individuel ou par équipes de 2 puis collectif Individuel – Tracé d’un tableau de numération comportant une colonne « dixièmes », décomposition des nombres en unités de numération, pose et calcul de l’opération dans le tableau, lecture et écriture du résultat. ◗ DIFFICULTÉS ÉVENTUELLES – Pour lire et décomposer les fractions en unités de numération Aide Inciter à verbaliser les décompositions en les illustrant si nécessaire du geste sur une règle graduée en dixièmes. – Pour effectuer l’opération posée Aide À traiter pendant l’exploitation. 183 UNITÉ 5 Faire un inventaire des résultats proposés et des méthodes utilisées pour effectuer l’opération à la manière de Tom. Les soumettre à la classe pour qu’elle s’accorde sur le résultat. Si nécessaire, opérer une vérification en mesurant au tableau avec la règle graduée en dixièmes. ● Garder le résultat écrit au tableau. ● Réponse : 7 u + 2 u 10 3 Recherche individuelle puis collective de la question B Demander aux élèves de lire ou de relire la méthode proposée par Aya puis de prendre connaissance de la question B : il faut écrire l’opération à la manière d’Aya, mais aussi se demander comment elle a écrit le résultat. ● ◗ PROCÉDURES POSSIBLES – Expression des longueurs en écriture décimale (avec utilisation ou non d’une virgule pour coder la longueur entière), pose et calcul de l’opération en colonnes en alignant les unités de numération, placement de la virgule dans l’écriture du résultat ◗ DIFFICULTÉS ÉVENTUELLES – Pour attribuer une écriture à virgule à 2 ou à 7 10 Aide Inviter à verbaliser le nombre en le plaçant dans le tableau de numération et proposer de transcrire en chiffres la formulation orale (2 unités ou 2 unités et 0 dixième ; 0 unité 7 dixièmes). – Pour poser l’opération Aide À traiter pendant l’exploitation. Recenser d’abord les propositions de codage des longueurs pour les soumettre à la classe. La validation se fait en référence à la décomposition des écritures fractionnaires en une somme d’un entier et d’une fraction plus petite que 1. L’illustrer si nécessaire sur une règle graduée en dixièmes. ● Recenser ensuite les résultats trouvés à l’addition et les mettre en débat en proposant de les comparer avec le résultat trouvé par la méthode de Tom. ● Faire exposer les façons de poser l’opération qui ont permis d’aboutir au résultat correct et les comparer aux autres. En déduire la nécessité de respecter l’alignement des chiffres dans chaque unité de numération. 4 Recherche individuelle ou par équipes de 2 de la question C Demander aux élèves de répondre à la question par la méthode de leur choix. ● Recenser les réponses et faire exposer les méthodes pour que la classe les valide, contrôle l’égalité des résultats trouvés et cherche la cause des erreurs éventuelles. ● Faire ensuite comparer les méthodes pour en dégager les avantages et inconvénients ● Réponses : 44 u EXPLICITATION, VERBALISATION ◗ S’appuyer sur les remarques des élèves pour souligner qu’utiliser l’écriture à virgule : – permet d’éviter d’avoir à construire un tableau de numération – nécessite d’y faire référence dans la pose les calculs : il faut donc garder en tête la valeur des chiffres dans l’écriture du nombre ◗ En synthèse, récapituler les écritures utilisées pour répondre à la question C avec mise en relation des écritures à virgule, des décompositions qui lui sont associées, et des lectures possibles. Écriture à virgule 28,3 15,7 Décomposition Lecture Fraction unique en fractions 3 283 vingt-huit unités 28 + trois dixièmes 10 10 7 157 quinze unités 15 + sept dixièmes 10 10 ● Réponses : 1,9 + 2,6 + 2 + 0,7 7,2 1,9 + 2,6 + 2,0 + 0,7 7,2 EXPLICITATION, VERBALISATION Faire remarquer : ◗ l’ordre des chiffres dans l’écriture à virgule est le même que dans le tableau de numération. ◗ la virgule indique le rang des unités ; le chiffre des unités est juste à sa gauche, celui des dixièmes juste à sa droite. ◗ l’égalité 2 = 2,0 : elle montre que les nombres entiers peuvent aussi avoir une écriture à virgule. 184 Remarques importantes : ○ La lecture « quinze virgule sept » est à éviter, dans la mesure où elle masque la signification de l’écriture. Dans d’autres occasions, elle pourra éventuellement être utilisée avec prudence, notamment dans des contextes de vie courante. ○ Il faut éviter de présenter la virgule comme un séparateur entre deux parties du nombre décimal. La virgule est en réalité un indicateur : celui de la place de l’unité (5 dans 15,7). Elle détermine ensuite la valeur des autres rangs : dizaine, centaine… (en allant à gauche de l’unité) et dixièmes, centièmes… (en allant à droite de l’unité). De ce point de vue, le repère principal n’est pas la virgule, mais le chiffre des unités. C’est d’ailleurs par rapport au chiffre des unités (et non par rapport à la virgule) que les chiffres des dixièmes et des dizaines occupent des positions symétriques (idem pour les chiffres des centièmes et des centaines). En particulier, il est faux de dire que la virgule sépare la partie entière et la partie décimale. Si, par exemple pour 15,7, 15 est bien la partie entière (le plus grand entier contenu dans 15,7), 7 n’est pas la partie décimale. Cette partie décimale est 0,7 qui est ce qu’il faut ajouter à la partie entière pour obtenir le nombre 7 = 15,7. Dans un premier temps, si le vocable décimal : 15 + 10 « partie entière » peut être utilisé, le vocable « partie décimale » n’est pas utile. TRACE ÉCRITE COLLECTIVE Réaliser une affiche reprenant le tableau présenté en synthèse ou le faire noter ou coller dans le cahier. (par exemple j’écris 1,9 pour 1 u + 9 u). 10 Je pose ensuite l’opération. dans un tableau de numération. A 5 Entrainement individuel B Comment Aya a-t-elle écrit les longueurs de chaque bande ? Écris comment elle a posé ensuite l’opération. 230 u 10 Cet exercice, similaire au premier, permet de travailler l’ex3 En ski alpin, l’épreuve de slalom géant se déroule en deux manches. pression verbale des nombres décimaux dans un contexte Il faut être le plus rapide sur l’ensemble des deux manches. Voici les temps réalisés par trois skieuses : différent. ★ 38,7 u 38,7 u 230 230 u 10 u 10 3 3 ★ ★ Première manche Première manche 45,3 s 45,3 s 46 secondes et 2 dixièmes 46 secondes et 2 dixièmes Pétra Pétra 45,4 s 45,4 s 24/01/2020 10:25 2 Exemple Écriture à virgule 1,3 u Énigme Réponses : a. 0 Lecture une unité et trois dixièmes d’unité 072-088-Unite 5.indd 45,3 s79 0,1 Tessa 46 secondes et 2 dixièmes 45,4 s 43 secondes et 8 dixièmes 1 432 10 ◗ soixante-dix-neuf • 79 24/01/2020 10:25 2,4 42,8 s s b. 0 23-24 hatier-clic.fr/CM1cap027 2 Seconde marche a. Calcule le temps total de chaque skieuse en secondes. Écris le nombre avec une virgule. b. Quel est l’écart de temps final qui sépare Mikaela et Pétra ? Écris le nombre avec une virgule. DICO 23-24 DICO INCONTOURNABLE I N CI ONNC TOONUTRONU AR BNLAEB L E 2 Décomposition 3 1u + u 10 4 7u + u 10 Pétra 3,5 UNITÉ 2 5 DICO SE REPÉRER SUR UNE LIGNE GRADUÉE EN DIXIÈMES 4 a. Écris les nombres marqués par une2,1 flèche. Utilise ta fiche. 0,3qui correspondent aux repères1,5 3 b. Place au bon endroit les nombres : 3 0 2 Où peut-il les placer pour piéger sur les mêmes repères Romy et Aya ? Où peut-il les placer pour piéger sur les mêmes repères Romy et Aya ? Trouve toutes les solutions. Trouve toutes les solutions. hatier-clic.fr/CM1cap027 hatier-clic.fr/CM1cap027 23-24 0,3 2,1 1,5 Énigme Sur une ligne graduée en dixièmes jusqu’au repère 5, Romy et Aya partent de 0. Romy avance de 0,4 en 0,4. Aya avance de 0,6 en 0,6. Tom veut placer des pièges sur cette ligne. Où peut-il les placer pour piéger sur les mêmes repères Romy et Aya ? Trouve toutes les solutions. soixante-dix-neuf • 79 soixante-dix-neuf • 79 hatier-clic.fr/CM1cap027 matériel par élève 24/01/2020 10:25 24/01/2020 10:25 Il s’agit d’entrainer les élèves aux acquis de la recherche en mettant en correspondance différentes écritures d’une même mesure. Le tableau de la fiche présente une ligne de plus que le tableau du manuel. 072-088-Unite 5.indd 79 Réponses : Fraction 13 u 10 74 u 10 387 u 10 25 u 10 230 u 10 En ski alpin, l’épreuve de slalom géant se déroule en deux manches. Il faut être le plus rapide sur l’ensemble des deux manches. Voici les temps réalisés par trois skieuses : Mikaela 2 2 072-088-Unite 5.indd 79 072-088-Unite 5.indd 79 DICO 23-24 Où peut-il les placer pour piéger sur les mêmes repères Romy et Aya ? Trouve toutes les solutions. C’est une reprise de la recherche. Les différentes formulations des données obligent à transformer des écritures fractionnaires en écritures à virgule et inversement. Énigme Énigme Sur une ligne graduée en dixièmesen jusqu’au repère 5, Romy et Aya partent de 0. La vérificationSur peut se faire traçant effectivement les une ligne graduée dixièmes jusqu’au repère 5, Romy et Aya partent de 0. Romy avance de 0,4 enen0,4. avance 0,4 0,4. Aya avance dede 0,6 enen 0,6. segments et Romy la ligne brisée constituée par les 3 segments Aya de 0,6 0,6. sur cette ligne. Tomavance veut placer desenpièges Tom veut placer des pièges sur cette ligne. mis bout à bout à l’aide d’une règle graduée en dixièmes. EXERCICE 2 0 Première manche 71 1 u ou 7 u + u b. 1,2 u 10 10 Pétra 88,6 s s 10 Il230faut utiliser les repères en dixièmes. Le fait que le 1 ne soit u 10 placé complique un peu le repérage. pas 3 Tessa 89 s 432 38,7 u Sur une ligne graduée en dixièmes jusqu’au repère 5, Romy et Aya partent de 0. Romy avance de 0,4 en 0,4. deux unités et cinq Aya avance de 0,6 en 0,6. dixièmes d’unité Tom veut placer des pièges sur cette ligne. a. Écris les nombres qui correspondent aux repères marqués par une flèche. Utilise ta fiche. a. Écris les nombres qui correspondent aux repères marqués par une flèche. Utilise ta fiche. 3 0,3 2,1 1,5 b. Place au bon endroit les nombres : 3 0,3 2,1 1,5 b. Place au bon endroit les nombres : Réponses : a. Fraction 13 u 10 EXERCICE 4 ★ SE REPÉRER SUR UNE LIGNE GRADUÉE EN DIXIÈMES ◗ SE REPÉRER SUR UNE LIGNE GRADUÉE EN DIXIÈMES 45,4 s 4 a. Écris les nombres qui correspondent aux repères marqués par une flèche. Utilise ta fiche. 3 0,3 2,1 1,5 b. Place au bon endroit les nombres : Complète ce tableau comme dans l’exemple. Utilise ta fiche. deux unités et cinq deux unités et cinq dixièmes d’unité dixièmes d’unité Seconde marche Seconde marche 43 secondes et 8 dixièmes 43 secondes et 8 dixièmes 42,8 s 42,8 s 432 432 s 10 s 10 ◗ 1 EXERCICE 4 4 42,8 s Pétra ◗ SE REPÉRER SUR UNE LIGNE GRADUÉE EN DIXIÈMES Lecture Lecture une unité et trois une unité d’unité et trois dixièmes dixièmes d’unité a. Calcule le temps total de chaque skieuse en secondes. a. Calcule le temps chaque skieuse en secondes. Écris le nombre avectotal une de virgule. Écris le nombre avec virgule. b. Quel est l’écart de une temps final qui sépare Mikaela et Pétra ? b. Quel est l’écart de temps final qui sépare Mikaela et Pétra ? Écris le nombre avec une virgule. Écris le nombre avec une virgule. 0 0 43 secondes et 8 dixièmes 46 secondes et 2 dixièmes Se repérer sur une ligne graduée en dixièmes En ski alpin, l’épreuve de slalom géant se déroule en deux manches. ski être alpin,lel’épreuve de sur slalom géant sedes déroule deux manches. IlEnfaut plus rapide l’ensemble deux en manches. IlVoici fautles être le plus rapidepar surtrois l’ensemble des: deux manches. temps réalisés skieuses Voici les temps réalisés par trois skieuses : Mikaela Mikaela Tessa Tessa Seconde marche 45,3 s Tessa a. Calcule le temps total de chaque skieuse en secondes. Écris le nombre avec une virgule. b. Quel est l’écart de temps final qui sépare Mikaela et Pétra ? Écris le nombre avec une virgule. INCONTOURNABLE Exemple ple Exem 78 072-088-Unite 5.indd Écriture à virgule Écriture à virgule 1,3 u 1,3 u Première manche Mikaela Réponses : a. Mikaela 89,1 s b. 0,5 s 5 Avec la règle graduée en dixièmes d’unité, trace un segment qui mesure 2 u + u, 10 29 u et un troisième qui mesure 1,7 u. un deuxième qui mesure 10 a. Quelle est la longueur totale des trois segments mis bout à bout ? Écris le résultat sous la forme d’une fraction. b. Quel est l’écart de longueur entre le segment le plus long et le segment le plus court ? Écris le résultat sous la forme d’un nombre à virgule. INCONTOURNABLE I N CI ONNC TOONUTRONU AR BNLAEB L E INCONTOURNABLE ◗ EXPRIMER DES MESURES PAR UNE FRACTION OU UN NOMBRE À VIRGULE Décomposition Décomposition 3 1u + 3 u 1 u + 10 u 10 4 7u + 4 u 7 u + 10 u 10 deux unités et cinq dixièmes d’unité EXERCICE 3 ✶ Manuel p. 78-79 Complète ce tableau comme dans l’exemple. Utilise ta fiche. 78 22• soixante-dix-huit Complète ce tableau comme dans l’exemple. Utilise ta fiche. une unité et trois dixièmes d’unité 1,3 u 38,7 u 28 u + 3 u et une autre qui mesure 157 u. 10 10 Trouve la longueur des deux bandes mises bout à bout en utilisant la méthode de ton choix. Exprimer des mesures par une fraction Je m’entraine ou un nombre à virgule Fraction Fraction 13 13 u 10 u 10 3 u 10 4 7u + u 10 1u + C Milo a construit une bande qui mesure Quelle est la longueur de la longue bande que Romy veut réaliser ? Pose l’opération comme Tom. 1 13 u 10 Exemple Décomposition Écriture à virgule Lecture 3 une unité et trois 1u+ u 1,3 u dixièmes d'unité 10 4 sept unités et quatre 7u+ u 7,4 u dixièmes d'unité 10 7 trente-huit unités et 38 u + u 38,7 u sept dixièmes d'unité 10 5 deux unités et cinq 2u+ u 2,5 u dixièmes d'unité 10 0 23 u + u = 23 u 23,0 u = 23 u vingt-trois unités 10 soixante-dix-neuf • 79 • ligne graduée ➞ fiche 51 hatier-clic.fr/CM1capg0501 24/01/2020 10:25 Plusieurs procédures sont possibles : – placer tous les repères de 0,4 en 0,4, puis de 0,6 en 0,6 et ne conserver que les nombres correspondant aux repères communs ; – se rendre compte que le premier repère commun est 1,2 et qu’ensuite les repères communs vont de 1,2 en 1,2. Réponse : 1,2 2,4 3,6 4,8 185 Multiples apprentissage 4 Objectifs : La notion de multiple sera approfondie au collège, il s’agit ici d’une première approche. La situation de recherche permet de faire fonctionner cette notion de façon implicite. Elle débouche sur une définition opérationnelle selon laquelle un nombre est multiple de 6 : – s’il se trouve dans la table de multiplication par 6 ou dans son prolongement, autrement dit s’il peut s’écrire sous la forme 6 × … ; – ou encore si, lorsqu’on le divise par 6, on trouve un reste égal à 0. Il s’agit également d’une approche de la division, notamment lorsqu’il est demandé d’encadrer un nombre par deux multiples consécutifs d’un autre nombre. – Comprendre la notion de multiple d’un nombre entier – Savoir décomposer des nombres sous forme de produits – Savoir reconnaitre un multiple de 2, 5 ou 10 UNITÉ Multiples 5 de la puce Le jeu apprentissage 4 1 Présentation collective de la situation Présenter le jeu et le faire commenter par les élèves pour mettre en évidence que la puce part toujours de 0 et fait des bonds réguliers : par exemple la première colonne du tableau rose indique qu’elle a sauté de 4 en 4 et qu’il lui a fallu 6 sauts pour atteindre la case 24. ● Préciser la tâche : ● La puce part de 0 et fait des sauts réguliers. Un joueur choisit une de ces cartes. 11 15 18 23 48 60 75 100 120 150 240 430 24 36 45 47 La carte choisie indique la case sur laquelle la puce doit • • • Il faut trouver le plus possible de solutions et les indiquer sur une feuille de jeu comme celle-ci. ➞ Vous allez répondre d’abord à la question A, il faut trouver d’autres longueurs de saut possibles et, chaque fois, le nombre de sauts nécessaires pour atteindre la case 24. F EUILLE DE JEU nombre à atteindre : 24 longueur du saut 4 nombre de sauts 6 12 2 A B 2 Recherche individuelle ou par équipes de 2 Trouve toutes les façons d’atteindre la case 18, la case 23, la case 36, la case 100. Recopie, puis complète la feuille de jeu. de la question A C Quelles sont les cases indiquées sur les cartes Observer ce que font les élèves, pour identifier les démarches suivies. a. b. c. D ● Si c’est Aya qui a raison, quels sont les deux nombres sur lesquels la puce ◗ PROCÉDURES POSSIBLES En partant de 0 avec des sauts de 8 en 8, la puce peut arriver sur 430. Je ne suis pas d’accord. La puce peut arriver avant ou après 430 mais pas sur 430. – Hypothèse sur un nombre possible, puis essai sur la piste ou par addition itérée ou par la suite de ses multiples ou par quelques multiples seulement. – Utilisation de la connaissance de la table de multiplication ou de produits particuliers. – Division de 24 par des nombres successifs (en utilisant des connaissances du CE2, mais cette procédure peut ne pas apparaitre). 80 • quatre-vingts MATÉRIEL 5 par élève • manuel p 80, questions A à D • brouillon ou feuille de recherche • cahier de mathématiques • calculatrice pour les vérifications 072-088-Unite 5.indd 80 DÉROULÉ UNITÉ 1 Présentation de la situation 2 Recherche de la question A 3 Recherche de la question B 4 Recherche de la question C 5 Recherche de la question D 6 Entrainement 24/01/2020 10:25 ◗ DIFFICULTÉS ÉVENTUELLES Collectif Individuel ou par équipes de 2 puis collectif Individuel ou par équipes de 2 puis collectif Individuel ou par équipes de 2 puis collectif Individuel ou par équipes de 2 puis collectif Individuel RECHERCHE Comment trouver, en partant de 0, par quels types de sauts réguliers (et en combien de sauts) il est possible d’atteindre un nombre donné sur une piste numérotée ? – Pour s’approprier la règle du jeu Aide Inviter à effectuer concrètement les bonds sur la piste ou sur une liste des nombres de 0 à 24. – Pour trouver toutes les solutions possibles Aide À traiter lors de l’exploitation. À l’issue de la recherche des élèves, recenser toutes les réponses trouvées, justes et fausses. Faire expliciter les procédures utilisées pour trouver les réponses et faire l’inventaire des moyens de vérification. ● Exemples de moyens de vérification : – déplacement effectif d’un jeton sur la piste ; – addition itérée de la longueur du saut choisi ; – multiplication : essais de produits avec le nombre choisi et dont le résultat doit être 24. Réponses : Nombre à atteindre : 24 Longueur du saut Nombre de sauts 186 4 6 2 12 1 24 3 8 6 4 8 3 12 2 24 1 Les nombres ont été choisis pour qu’un traitement mental soit possible : nombre inférieur ou égal à 100. Un nombre premier (23) est proposé, mais cette notion n’a pas à être explicitée. On se limitera à constater que certains nombres n’admettent de décomposition qu’avec le nombre 1. EXPLICITATION, VERBALISATION S’appuyer sur les procédures effectivement apparues pour faire remarquer que le problème peut être résolu par addition itérée, multiplication ou éventuellement division. Faire formuler que : ◗ pour trouver le nombre de sauts, on peut : – prendre, comme hypothèse, un nombre représentant la longueur du saut ; – puis chercher « combien de fois ce nombre est contenu dans le nombre à atteindre », ce qui revient aussi à diviser le nombre à atteindre par la longueur du saut. C’est l’occasion de faire le lien avec les problèmes de division. ◗ Pour trouver de nouveaux produits à partir d’un produit déjà trouvé, on peut : – permuter les 2 facteurs : 6 sauts de 4 et 4 sauts de 6 car 6×4=4×6; – multiplier un facteur par un nombre et, simultanément, diviser l’autre facteur : passage de 4 × 6 à 8 × 3 par multiplication et division par 2. Si cette dernière propriété n’est pas apparue ici, elle peut n’être mentionnée qu’à la fin de la recherche de la question B. En synthèse, préciser que : ◗ on peut atteindre 24 par des sauts de 6 parce que : – 24, c’est 4 fois 6 ; – 24 est dans la table de 6 ; – 24 est le résultat d’une multiplication par 6 ➝ 24 = 6 × 4 ; – si on divise 24 par 6, le reste est égal à 0. Ce dernier point peut être mentionné par l’enseignant, sans exigence particulière à ce moment de l’année. ◗ on dit que 24 est un « multiple » de 6. Le terme « multiple » est ainsi expliqué en référence à la multiplication : 24 est multiple de 6 parce qu’il se trouve dans la table de multiplication de 6. Dans la suite, on trouvera que 100 est multiple de 4 parce qu’il se trouve dans la table de multiplication de 4, prolongée au-delà de 40… La signification mathématique du mot « multiple » peut être comparée à d’autres significations du même mot, en invitant les élèves à donner celles qu’ils connaissent ou en faisant une recherche dans un dictionnaire. La division sera reprise à partir de l’unité 6. Ici des connaissances du CE2 peuvent être évoquées, mais sans en faire un enjeu essentiel de la situation. 3 Recherche individuelle ou par équipes de 2 de la question B Reprendre le même déroulement avec les nombres proposés dans la question. ● Réponses : Les 4 tableaux se déduisent du fait que : 18 est multiple de 1, 2, 3, 6, 9, 18. 23 est multiple de 1 et de 23. 36 est multiple de 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36. 100 est multiple de 1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50, 100. EXPLICITATION, VERBALISATION Faire reformuler les éléments de la synthèse précédente avec les nombres proposés dans la question. Puis faire remarquer que: ◗ Certains nombres sont multiples de peu d’autres nombres. Exemple : 23 n’est multiple que de 1 et de 23 ! ◗ Tous les nombres sont multiples de 1 et d’eux-mêmes : – on peut toujours faire des sauts de 1 en 1 ; – tout nombre, comme 23, s’écrit sous la forme 1 × 23 (on peut aussi atteindre la cible en faisant un saut de 23). 4 Recherche individuelle ou par équipes de 2 de la question C La recherche peut être assez rapide. Préciser aux élèves qu’ils peuvent aussi chercher une manière de répondre rapidement aux trois questions posées. ● Recenser les résultats, faire formuler les procédures utilisées et remarquer les plus rapides ● Réponses : a. 18 24 36 48 60 100 120 150 240 430 sont multiples de 2. b. 15 45 60 75 100 120 150 240 430 sont multiples de 5. c. 60 100 120 150 240 430 sont multiples de 10 EXPLICITATION, VERBALISATION Partir de l’étude des résultats pour faire remarquer que : ◗ Les multiples de 2, de 5 et de 10 peuvent se reconnaitre sans calcul ; ◗ Les multiples de 10 sont aussi multiples de 2 et de 5 mais les multiples de 2 ou 5 ne sont pas tous des mulitples de 10. En synthèse, rappeler que : ◗ Tout nombre ayant 0, 2, 4, 6 ou 8 pour chiffre des unités est multiple de 2. Ce sont tous des nombres pairs ; ◗ Tout nombre ayant 0 ou 5 pour chiffre des unités est multiple de 5 ; ◗ Tout nombre ayant 0 pour chiffre des unités est multiple de 10. 5 Recherche individuelle ou par équipes de 2 de la question D Les élèves cherchent par deux. Préciser que l’usage de la calculette n’est pas autorisé. ● ◗ PROCÉDURES POSSIBLES – Ajouts successifs de 8, procédure reconnue comme difficile à mener à son terme. – Utilisation de multiples de 8, par exemple : 80 + 80 + 80 + 80 + 80 + 8 + 8 + 8 = 424 ; ce qui demande à la fin pour répondre à la question d’interpréter « 80 » comme 10 sauts et chaque « 8 » comme 1 saut. – Essais successifs de produits dont l’un des facteurs est 8. – Calcul d’un produit dont l’un des facteurs est 8 (par exemple 8 × 10 = 80), puis calcul de l’écart à 430 (ici 350) et nouvel essai pour s’approcher de 350... – Éventuellement, division de 430 par 8, par exemple en décomposant 430 en 400 + 30 (peu probable à ce moment de l’année). ◗ DIFFICULTÉ ÉVENTUELLE – Pour mener à son terme la procédure engagée Aide À traiter pendant la mise en commun des propositions. 187 UNITÉ 5 Recenser les réponses puis faire expliciter et justifier les procédures utilisées pour juger de leur pertinence. ● Repérer les procédures correctes que leurs auteurs n’ont pas pu interpréter pour en tirer la réponse à la question. Par exemple, il faut interpréter « 80 » comme « 10 sauts », ce qui est difficile pour certains élèves. EXERCICE 2 ✶ ● Réponses : Je m’entraine 1 16 25 2 Comment la puce peut-elle atteindre la carte 60 ? Trouve toutes les possibilités. ★ INCONTOURNABLE 3 8 50 15 60 10 INCONTOURNABLE Parmi les nombres de 20 à 50, lesquels sont multiples : a. de 2 ? c. de 10 ? b. de 5 ? d. de 4 ? 5 Pour chaque portrait, trouve le ou les nombres possibles. a. Je suis multiple de 3. Je suis aussi multiple de 4. Je suis compris entre 30 et 40. b. Je suis multiple de 25. Je suis aussi multiple de 4. Je suis plus petit que 150. c. Je suis multiple de 10. Je suis aussi multiple de 15. Je suis plus petit que 100. EXERCICES 3 120 2 ★ Comment la puce peut-elle atteindre la carte 60 ? Trouve toutes les possibilités. 15 24 38 32 50 100 120 10 ◗ CHERCHER DES MULTIPLESLaCOMMUNS. 60 et 80le 100 Cet exercice suivant travaillés puce part toujours de 0. Lesquels de 104 175 reprennent les points 50 8 Romy possède 12 baguettes vertes qui ces nombres la puce peut-elle atteindre : mesurent toutes 8 cm. Tom, lui, possède Parmiquestions ces nombres, lesquels sont : C de la recherche. a. en faisant des sauts de 2 en 2 ? dans les B et 12 baguettes jaunes qui mesurent a. multiples de 2 ? c. multiples de 10 ? b. entoutes faisant des sauts de 5 en 5 ? d. multiples de 4 ? 6 DES MULTIPLES Énigme ◗ TROUVER DE 2, 4, 5 ET 10 À quel jour correspond le 1er avril ? INCONTOURNABLE En 2021, le 1er janvier JANVIER 2021 est un vendredi. Lun. 3 Mar. Mer. Jeu. Ven. Sam. Dim. 28 4 11 18 25 29 5 12 19 26 8 10 15 60 a. multiples de 2 ? hatier-clic.fr/CM1cap028 b. multiples de 5 ? 188 INCONTOURNABLE quatre-vingt-un • 81 072-088-Unite 5.indd 81 24 80 38 47 100 104 175 2 3 30 31 1 6 7 8 9 10 13 14 15 16 17 20 21 22 23 24 27 28 ces 29 30 31 Parmi nombres, lesquels sont : 50 c. 30, 60 et 90 c. multiples de 10 ? d. multiples de 4 ? 4 Parmi les nombres de 20 à 50, lesquels sont multiples : 24/01/2020 10:25 a. de 2 ? c. de 10 ? b. de 5 ? d. de 4 ? 5 Pour chaque portrait, trouve 27 68 90 48 83 a. Parmi ces nombres, lesquels sont des multiples de 5 ? b. Encadre les autres nombres par deux multiples de 5 qui se suivent, comme dans l’exemple. Exemple 10 < 12 < 15 car 2 × 5 < 12 < 3 × 5. INCONTOURNABLE le ou les nombres possibles. a. Je suis multiple de 3. Je suis aussi multiple de 4. Je suis compris entre 30 et 40. b. Je suis multiple de 25. Je suis aussi multiple de 4. Je suis plus petit que 150. c. Je suis multiple de 10. Je suis aussi multiple de 15. Je suis plus petit que 100. 3 10 17 24 31 b. 10 15 50 60 80 100 175 c. 10 50 60 80 100 d. 8 24 60 80 100 104 85 10 cm. En mettant des baguettes c. enbout faisant des sauts de 10 en 10 ? à bout, ils; forment chacun un d. petit Réponses : a. 16 (8 sauts) ; 32 (16 sauts) 50 (25 sauts) en;train, faisant des sauts de 4 en 4 ? vert pour Romy et jaune pour Dans Tom. Ils ont cas, indique combien chaque 100 (50 sauts) ; 120 (60 sauts) construit deux trains de mêmedelongueur. sauts doit faire la puce. 4 Parmi les nombres de 20 à 50, lesquels Quelle est la longueur de ces trains ? sont multiples b.: 25 (5c.sauts) ; 50 (10 sauts) ; 100 (20a-t-il sauts) 120 (24 sauts) Combien chacun utilisé;de a. de 2 ? de 10 ? Comment la puce peut-elle atteindre la baguettes ? b. de 5 ? de 4 ? c. 50 (5d. sauts) ; 100 (10 sauts) ; 120 (12★2 sauts) carte 60 ? Trouve toutes les possibilités. Trouve toutes les solutions possibles. d. 16 (4 sauts) ; 32 (8 sauts) ; 100 (25 sauts) ; 120 (30 sauts) 5 Pour chaque portrait, trouve ★ 2 9 16 23 30 3 a. 8 10 24 38 50 60 80 100 104 UN NOMBRE PAR DEUX ◗ ENCADRER MULTIPLES CONSÉCUTIFS ★ b. multiples de 5 ? 1 8 15 22 29 Encadrer un nombre par deux multiples consécutifs ◗ 25 31 7 14 21 28 quatre-vingt-un • 81 4 Réponses : a. 36 b. 100 Je m’entraine 16 30 6 13 20 27 Sur l’exemple du premier « qui suis-je ? », les élèves peuvent : – écrire la liste des multiples de 3 et celle des multiples de 4 (compris entre 30 et 40), puis chercher les nombres écrits deux fois ; – écrire les multiples de 3 entre 30 et 40, puis chercher ceux qui sont multiples de 4. 83 1 29 5 12 19 26 EXERCICE 5 ✶ a. Parmi les nombres de l’exercice 6, lesquels sont des multiples de 4 ? b. Encadre les autres nombres par deux multiples de 4 qui se suiventATTEINDRE UNE CASE EN FAISANT DES SAUTS RÉGULIERS Exemple 12 < 13 < 16 car 3 × 4 < 13 < 4 × 4. 47 28 4 11 18 25 b. 20 25 30 35 40 45 50 c. 20 30 40 50 d. 20 24 28 32 36 40 44 48 a. Parmi ces nombres, lesquels sont des multiples de 5 ? b. Encadre les autres nombres par deux multiples de 5 qui se suivent, comme dans l’exemple. Exemple 10 < 12 < 15 car 2 × 5 < 12 < 3 × 5. 7 À quel jour correspond le 1er avril ? 4 a. 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46 48 50 48 90 INCONTOURNABLE INCONTOURNABLE 8 68 85 DES MULTIPLES ◗ TROUVER DE 2, 4, 5 ET 10 1 EXERCICE 3 27 Énigme En 2021, le 1er janvier JANVIER 2021 est un vendredi. Lun. Mar. Mer. Jeu. Ven. Sam. Dim. 24/01/2020 10:25 Réponses : Manuel p. 80-81 6 Romy possède 12 baguettes vertes qui mesurent toutes 8 cm. Tom, lui, possède 12 baguettes jaunes qui mesurent toutes 10 cm. En mettant des baguettes bout à bout, ils forment chacun un petit train, vert pour Romy et jaune pour Tom. Ils ont construit deux trains de même longueur. Quelle est la longueur de ces trains ? Combien chacun a-t-il utilisé de baguettes ? Trouve toutes les solutions possibles. 072-088-Unite 5.indd 81 INCONTOURNABLE 100 ★ Les élèves peuvent utiliser les critères dégagés à la question C de la recherche ou procéder par calcul réfléchi, en particulier pour les multiples de 4. UN NOMBRE PAR DEUX ◗ ENCADRER MULTIPLES CONSÉCUTIFS INCONTOURNABLE INCONTOURNABLE 50 ◗ CHERCHER DES MULTIPLES COMMUNS. 8 hatier-clic.fr/CM1cap028 Atteindre une case en faisant des sauts réguliers 32 a. Parmi les nombres de l’exercice 6, lesquels sont des multiples de 4 ? b. Encadre les autres nombres par deux multiples de 4 qui se suivent Exemple 12 < 13 < 16 car 3 × 4 < 13 < 4 × 4. 38 47 100 104 175 24 80 4 ★ Je m’entraine 25 48 68 car 2 × 5 < 12 < 3 × 5. Parmi ces nombres, lesquels sont : a. multiples de 2 ? c. multiples de 10 ? b. multiples de 5 ? d. multiples de 4 ? Faire recopier dans le cahier de mathématiques la définition de « multiple d’un nombre donné », en l’illustrant sur un exemple, ainsi que les propriétés des multiples de 2, 5 et 10. 16 27 TROUVER DES MULTIPLES DE 2, 4, 5 ET 10 TRACE ÉCRITE INDIVIDUELLE La puce part toujours de 0. Lesquels de ces nombres la puce peut-elle atteindre : a. en faisant des sauts de 2 en 2 ? b. en faisant des sauts de 5 en 5 ? c. en faisant des sauts de 10 en 10 ? d. en faisant des sauts de 4 en 4 ? Dans chaque cas, indique combien de sauts doit faire la puce. 120 Trouver des multiples de 2,7 4, 5 et 10 ◗ Pointer que : ◗ Les deux nombres atteints par la puce qui encadrent 430 sont 424 (elle fait alors 53 sauts de 8) et 432 (elle fait alors 54 sauts de 8) et qu’on peut écrire : – la double inégalité : 8 × 53 < 430 < 8 × 54 – l’égalité : 430 = (8 × 53) + 6. ◗ Le problème posé revient à chercher « combien de fois 8 est contenu dans 430 ». Rappeler éventuellement que cela revient à diviser 430 par 8, le quotient 53 représentant le nombre de sauts pour atteindre le nombre situé juste avant 430 et 6 la distance qui sépare ce nombre de 430. ◗ Le résultat trouvé permet d’affirmer : – « 430 n’est pas un multiple de 8 » ; – il n’est pas dans la « table de 8 prolongée » ; – il ne s’écrit pas sous la forme 8 × … . Mais il peut être encadré par deux multiples consécutifs de 8. En synthèse, faire remarquer que tout nombre est : – soit mutiple d’un autre nombre donné ; – soit encadré par deux multiples consécutifs de ce nombre. 1 100 Exemple EXPLICITATION, VERBALISATION UNE CASE EN FAISANT ◗ ATTEINDRE DES SAUTS RÉGULIERS 50 La puce de 0.60 Lesquels de ; 2 sauts de 30 cases ; 3 sauts de Réponse : part1 toujours saut de cases 90 83 85 ces nombres la puce peut-elle atteindre : a. en faisant sauts de 2; en ? 20descases 42sauts de 15 cases ; 5 sauts de 12 cases ; 6 a. Parmi ces nombres, lesquels sont b. en faisant des sauts de 5 en 5 ? des multiples 5? sauts dede 10 10encases ; 12 sauts de 15decases ; 15 sauts de c. en faisant des sauts 10 ? b. Encadre les autres nombres par deux d. en faisant des sauts de 4 en 4 ? 4 cases ; 20 sauts de 3 cases ; 30 sauts de 2comme cases ; 60 multiples de 5 qui se suivent, Dans chaque cas, indique combien dans l’exemple. de sauts doit faire lade puce.1 case sauts 10 < 12 < 15 Aya a raison : la puce n’arrivera pas sur 430. Elle arrivera sur 424 et 432. 6 Entrainement individuel 32 INCONTOURNABLE INCONTOURNABLE Des ◗essais systématiques permettent d’assurer l’exhaustiATTEINDRE UNE CASE EN FAISANT UN NOMBRE PAR DEUX ◗ ENCADRER DES SAUTS RÉGULIERS MULTIPLES CONSÉCUTIFS vité de la réponse. 6 7 a. Parmi les nombres de l’exercice 6, lesquels sont des multiples de 4 ? b. Encadre les autres nombres par deux multiples de 4 qui se suivent Exemple 12 < 13 < 16 car 3 × 4 < 13 < 4 × 4. ◗ CHERCHER DES MULTIPLES COMMUNS. 8 ★ Romy possède 12 baguettes vertes qui mesurent toutes 8 cm. Tom, lui, possède 12 baguettes jaunes qui mesurent toutes 10 cm. En mettant des baguettes bout à bout, ils forment chacun un petit train, vert pour Romy et jaune pour Tom. Ils ont construit deux trains de même longueur. Quelle est la longueur de ces trains ? Combien chacun a-t-il utilisé de baguettes ? Trouve toutes les solutions possibles. INCONTOURNABLE b. multiples de 5 ? EXERCICES 6 7 d. multiples de 4 ? 4 Parmi les nombres de 20 à 50, lesquels sont multiples : a. de 2 ? c. de 10 ? b. de 5 ? d. de 4 ? 5 Pour chaque portrait, trouve le ou les nombres possibles. a. Je suis multiple de 3. Je suis aussi multiple de 4. Je suis compris entre 30 et 40. b. Je suis multiple de 25. Je suis aussi multiple de 4. Je suis plus petit que 150. c. Je suis multiple de 10. Je suis aussi multiple de 15. Je suis plus petit que 100. ★ Dans des cas simples, il s’agit de renforcer cette compétence utile pour la compréhension de la division. UN NOMBRE PAR DEUX ◗ ENCADRER MULTIPLES CONSÉCUTIFS 50 100 120 6 a. 85 et 90 Réponses : : INCONTOURNABLE 32 6 b. 5 × 548< 27 < 6 × 5 9 × 5 < 48 < 10 × 5 90 13 × 5 < 8368 < 14 × 5 16 × 5 < 83 < 17 × 5 réponses peuvent aussi être données sous la a. Parmi ces nombres,Les lesquels sont des multiples de 5 ? formepar25deux< 27 < 30. b. Encadre les autres nombres 27 68 85 072-088-Unite 5.indd 81 multiples de 5 qui se suivent, comme dans l’exemple. Exemple 10 < 12 < 15 car 2 × 5 < 12 < 3 × 5. 7 a. 48 et 68 7 24 80 b. 6 × 4 < 27 < 7 × 4 20 × 4 < 83 < 21 × 4 21 × 4 < 85 < 22 × 4 22 × 4 < 90 < 23 × 4 a. Parmi les nombres de l’exercice 6, lesquels sont des multiples de 4 ? b. Encadre les autres nombres par deux multiples de 4 qui se suivent Exemple 12 < 13 < 16 car 3 × 4 < 13 < 4 × 4. Chercher des multiples communs 38 47 100 104 175 ◗ CHERCHER DES MULTIPLES COMMUNS. 8 ★ c. multiples de 10 ? d. multiples de 4 ? c. de 10 ? d. de 4 ? Romy possède 12 baguettes vertes qui mesurent toutes 8 cm. Tom, lui, possède 12 baguettes jaunes qui mesurent toutes 10 cm. En mettant des baguettes bout à bout, ils forment chacun un petit train, vert pour Romy et jaune pour Tom. Ils ont construit deux trains de même longueur. Quelle est la longueur de ces trains ? Combien chacun a-t-il utilisé de baguettes ? Trouve toutes les solutions possibles. Énigme EXERCICE 8 ✶ En 2021, le 1er janvier JANVIER 2021 est un vendredi. Lun. Mar. Mer. Jeu. Ven. Sam. Dim. Plusieurs procédures peuvent être mobilisées : – schéma des baguettes et calcul additif ou multiplicatif ; – essais de longueurs à obtenir avec des baguettes • 81 de chaque sorte ; – liste des multiples de l’un des 2 nombres et recherche de ceux qui sont aussi multiples de l’autre nombre ; – liste des multiples de chacun des 2 nombres et recherche des multiples communs. À quel jour correspond le 1er avril ? 28 4 11 18 25 29 5 12 19 26 30 6 13 20 27 31 7 14 21 28 1 8 15 22 29 2 9 16 23 30 3 10 17 24 31 hatier-clic.fr/CM1cap028 quatre-vingt-un 24/01/2020 10:25 10 cm. En mettant des baguettes bout à bout, ils forment chacun un petit train, vert pour Romy et jaune pour Tom. Ils ont construit deux trains de même longueur. Quelle est la longueur de ces trains ? Combien chacun a-t-il utilisé de baguettes ? Trouve toutes les solutions possibles. Énigme En 2021, le 1er janvier JANVIER 2021 est un vendredi. Lun. Mar. Mer. Jeu. Ven. Sam. Dim. À quel jour correspond le 1er avril ? 28 4 11 18 25 29 5 12 19 26 30 6 13 20 27 31 7 14 21 28 1 8 15 22 29 2 9 16 23 30 3 10 17 24 31 hatier-clic.fr/CM1cap028 • 81 possibles : Plusieurs procédures sont Procédure 1 Établir le calendrier des différents mois. Procédure 2 Compter de 7 en 7 pour obtenir tous les vendredis (8 janvier, 15 janvier, 22 janvier, 29 janvier, 5 février, 12 février…) et s’assurer que le passage d’un mois à l’autre est réalisé correctement. Procédure 3 Raisonner sur le 1er de chaque mois : – janvier ayant 31 jours (28 + 3), le 1er février sera un lundi ; – le 1er mars sera aussi un lundi (car février a 28 jours) ; – mars ayant 31 jours (28 + 3), le 1er avril sera un jeudi. Procédure 4 Chercher combien de jours il y a pour arriver au 1er avril : – 30 jours pour janvier (il faut enlever le 1er janvier) ; – 28 jours pour février ; – 31 jours pour mars ; – 1 jour pour avril ; soit 30 + 28 + 31 + 1 = 90 jours. Puis chercher combien il y a de fois 7 dans 90 (12 fois 7 et il reste 6 jours). quatre-vingt-un 24/01/2020 10:25 Réponse : jeudi Réponse : 40 cm (5 baguettes de 8 cm, 4 baguettes de 10 cm) ou 80 cm (10 baguettes de 8 cm, 8 baguettes de 10 cm) 189 UNITÉ 5 Du décamètre au millimètre Objectifs : UNITÉ apprentissage 5 Dans les classes antérieures, les élèves ont construit des connaissances sur la notion de longueur, les procédures de mesurage avec des instruments gradués, les unités usuelles. Il s’agit maintenant de faire un bilan de ces connaissances et de commencer à les structurer, pour qu’à terme les élèves connaissent l’ensemble du système métrique et en comprennent le caractère décimal. Dans cette séance, par un problème de mesurage à l’aide des instruments gradués, on fait le point sur les unités usuelles et leurs relations : le mètre et ses sous-multiples et le décamètre. Dans une séance ultérieure, le travail portera sur les multiples du mètre (kilomètre, hectomètre et décamètre). Dans une classe à cours multiples, cette recherche peut être menée avec un niveau CM2. Elle peut aussi être proposée à un niveau CE2. – Connaitre les instruments usuels de mesure de longueur – Avoir un ordre de grandeur pour les unités de mesure – Connaitre les relations entre les unités et réaliser des conversions Du décamètre au millimètre 5 Mesurage et unités usuelles Je cherche Mesurage et unités usuelles apprentissage 5 A Quelle est la longueur de l’objet que t’a remis le maitre ou la maitresse ? B Le nom de ces instruments vient de la longueur maximale qu’ils permettent de mesurer. équipe et lui demander de vérifier devant la classe, si besoin en les plaçant sur une table ou le sol ou au tableau avec des aimants, qu’elles sont bien de la même longueur. Rappeler si nécessaire la procédure de comparaison directe : EXPLICITATION, VERBALISATION Retrouve le nom de chaque instrument. double décimètre double mètre C Pour comparer les longueurs des deux objets, il faut faire coïncider deux extrémités des objets et vérifier que les deux autres extrémités coïncident aussi. double décamètre Utilise les instruments à ta disposition pour répondre aux questions. a. Combien de décimètres dans d. Combien de décimètres dans un mètre ? un double décimètre ? e. Combien de centimètres dans un mètre ? b. Combien de centimètres dans un décimètre ? f. Combien de mètres dans un décamètre ? c. Combien de millimètres dans un centimètre ? Donner une baguette à chaque équipe et formuler la consigne : ● ➞ Vous allez mesurer la longueur de la baguette. Vous pouvez utiliser un instrument. Vous me direz tout à l’heure quelle mesure vous avez trouvée et comment vous avez utilisé l’instrument. MATÉRIEL Je m’entraine pour la classe CHOISIR LA BONNE UNITÉ ◗ INCONTOURNABLE 5 DICO 47 instruments gradués : doubles ou triples •1 plusieurs Quelle est la longueur de chaque ligne ? Il peut y avoir plusieurs réponses possibles. décimètres, mètres (rigide, pliant ou ruban), A 1m 10 m doubles mètres, décamètres, doubles décamètres… (un instrument au moins par équipe de 2) 1 cm 10 cm affiche, aimants ou pâte à fixer • une par éQuipe De 2 10 mm B 1 dm • une baguette ou bande de papier de 132 cm (ou d’une autre longueur) ou un jalon de sport de plus de 1 m (la C 1 mm 10 dm D longueur de l’objet est la même pour toutes les équipes) • manuel p. 82, questions A à C DÉROULÉ UNITÉ 82 • quatre-vingt-deux 1 Présentation de la situation 2 Recherche et exploitation 072-088-Unite 5.indd 82 3 Recherche des relations entre unités 4 Exploitation 5 Entrainement Collectif Par équipes de 2 et collectif Par équipes de 2 24/01/2020 10:25 Présenter les instruments et les nommer : double ou triple décimètre, mètre de tableau, mètre ruban, doublemètre, décamètre ou double décamètre, etc. ● Donner à chaque équipe un instrument, lui laisser expérimenter son usage. ● 2 Recherche et exploitation collective ● Observer les démarches. ◗ DIFFICULTÉS ÉVENTUELLES – Pour utiliser l’instrument : placement du 0, tension d’un instrument souple, alignement des reports d’une règle trop courte (double décimètre, règle de tableau, précision des reports Collectif Individuel Aide À traiter lors de l’exploitation collective. – Pour exprimer la mesure suivant l’instrument : réponse du type 130 et 2 (lecture sur double mètre ruban) ou 1 m 30 et 2 (lecture sur décamètre) RECHERCHE Comment mesurer une longueur avec un instrument de mesure gradué ? Aide Demander d’interpréter le 2. – Pour donner l’unité de mesure Aide Demander si l’on voit sur l’instrument une unité connue. 1 Présentation de la situation (Question A) Le déroulé proposé pour un lot de baguettes d’une longueur identique pour toutes les équipes vaut pour n’importe quel objet rectiligne choisi. ● Montrer le lot de baguettes à la classe. ➞ Toutes les baguettes ont la même longueur. Comment peut-on le vérifier ? Si les élèves proposent de les mesurer, dire que l’on veut le vérifier sans instrument. Donner deux baguettes à une 190 Recenser les mesures obtenues par chaque équipe. Discuter des résultats. – Certains paraissent d’emblée faux, comme 130 m. Les mettre en relation avec l’ordre de grandeur de l’unité choisie (ici 1 m est la longueur de la règle de tableau). – D’autres ne sont pas exprimés dans la même unité : par exemple, les équipes ayant mesuré avec un double mètre ont trouvé 132 cm, celles ayant mesuré avec un décamètre 1 m 30 et encore 2 graduations. ● – D’autres diffèrent de 1 à 10 cm : repérage de la graduation 0 sur le décamètre, report imprécis et erreur de calcul. ● Interroger les élèves sur les unités connues présentes sur les instruments et qui leur donnent souvent leur nom. prié. Par exemple : sur la règle de tableau de 1 m, on peut compter les décimètres et compter ou calculer le nombre de centimètres. 1 cm 1 dm EXPLICITATION, VERBALISATION ◗ Faire observer les graduations sur chacun de ces instru- Réponses : vert : double mètre, jaune : double décimètre, bleu : double décamètre. 3 Recherche des relations entre unités Demander aux élèves de répondre à la question C. Leur proposer d’utiliser les instruments présents pour répondre aux questions. TRACE ÉCRITE COLLECTIVE Noter les noms des unités et leurs abréviations sur une affiche (qui sera complétée en unité 6) ainsi que les équivalences trouvées. Pour aider les élèves à visualiser un ordre de grandeur pour chacune des unités, dessiner un segment de la longueur de l’unité. 1 millimètre (mm) segment de 1 mm 1 centimètre (cm) segment de 1 cm 1 cm = 10 mm 1 décimètre (dm) segment de 1 dm 1 dm = 10 cm UNITÉ 1 mètre (m)Du décamètre segment 1m 1 m = 10 dm audemillimètre 5 5 1apprentissage m = 100 cm 1 décamètre (dam) 1 dam = 10 m A ◗ Rappeler les noms des unités en lien avec leurs abrévia- tions. – Pour reconnaitre l’unité évoquée dans la question par observation des instruments de mesure. Retrouve le nom de chaque instrument. double décimètre double mètre C e. 100 f. 10 4 Exploitation collective : unités et relations Recenser les réponses. Les faire discuter. Conclure sur chaque relation en la montrant sur l’instrument appro- ● Manuel p. 82-83 5 Entrainement individuel Je m’entraine Choisir la bonne unité ◗ CHOISIR LA BONNE UNITÉ 1 DICO 47 Quelle est la longueur de chaque ligne ? Il peut y avoir plusieurs réponses possibles. 10 m A 1m 1 cm 10 cm B 10 mm 1 dm C 10 dm 1 mm D Écris la bonne réponse. 822• quatre-vingt-deux a. La hauteur d’une table est : 75 m ; 75 cm ; 75 mm. b. La longueur d’une mouche est : 072-088-Unite 5.indd 82 5 dm ; 5 cm ; 5 mm. c. La longueur d’un crayon est : 14 mm ; 14 cm ; 14 m. d. La hauteur d’une porte est : 20 mm ; 20 cm ; 20 dm. e. La longueur d’un terrain de foot est : 9 cm ; 9 m ; 9 dam. ◗ CONVERTIR DES LONGUEURS INCONTOURNABLE 3 1 EXERCICE Complète. a. 1 m = … cm b. 1 dm = 10 … c. 1 … = 10 mm DICO 47 d. 10 m = 1 … e. 1 … = 10 dm f. 1 m = … mm 8 ★ Range ces longueurs par ordre croissant. Explique ta réponse. 300 mm 35 cm 1 dm 3m 24/01/2020 10:25 2 m 10 ◗ CALCULER DES LONGUEURS 9 DICO 57 Aya mesure 1 m 32 cm. Sa petite sœur mesure 34 cm de moins. Quelle est sa taille ? 10 Que faut-il ajouter : a. à 22 cm pour obtenir 1 m ? b. à 2 dm pour obtenir 1 m ? c. à 3 m pour obtenir 1 dam ? d. à 2 cm 4 mm pour obtenir 3 cm ? e. à 22 mm pour obtenir 1 dm ? b. 3 cm 2 mm + 4 dm 9 cm = … m 6 cm + 2 dm = … 5 Complète. Réponses : A ➝ 1 m = 10 dm B ➝ c.11dm = 10 cm ★ a. 243 mm = 2 … 4 … 3 … 12 Les chenilles cm = 10 mm ★D ➝ 1 dm = 10 cm b. 203 mm =C …➝ cm …1mm processionnaires c. 1 500 mm = 1 … 50 … d. 2 m = … mm e. 1 005 mm = 1 … 5 … EXERCICE 2 ◗ COMPARER DES LONGUEURS DICO 57 se déplacent en file. Chaque chenille mesure 40 mm. Une file peut compter 200 chenilles. Quelle est, dans ce cas, la longueur de la file. Donne ta réponse en mètres. Cet 6exercice nécessite une bonne connaissance de l’ordre Voici les longueurs de 4 bâtons : Énigme de grandeur de chacune des unités usuelles. 1 m 6 cm 98 cm INCONTOURNABLE d. 10 double décamètre Utilise les instruments à ta disposition pour répondre aux questions. a. Combien de décimètres dans d. Combien de décimètres dans un mètre ? un double décimètre ? e. Combien de centimètres dans un mètre ? b. Combien de centimètres dans un décimètre ? f. Combien de mètres dans un décamètre ? c. Combien de millimètres dans un centimètre ? ★ Aide La montrer sur un instrument. c. 10 UNITÉ ◗ Rappeler que les équivalences peuvent être retrouvées Cet exercice permet de revenir sur la mesure à l’aide d’un 4 Complète. gradué et de travailler les équivalences entre instrument a. 5 dm = … cm d. 2 m 4 cm = … cm 11 Recopie et complète. 2 m =longueur. … dm e. 3 dam 5 m = … m unitésc.b.de a. 35 cm + 1 m 20 cm = … 145 cm = … m … cm ◗ DIFFICULTÉS ÉVENTUELLES b. 10 Quelle est la longueur de l’objet que t’a remis le maitre ou la maitresse ? B Le nom de ces instruments vient de la longueur maximale qu’ils permettent de mesurer. EXPLICITATION, VERBALISATION ● Réponses : a. 2 Mesurage et unités usuelles Je cherche INCONTOURNABLE Demander à 4 ou 5 équipes ayant donné une mesure exacte de montrer chacune à leur tour devant leurs camarades leur méthode utilisée pour mesurer. Veiller à l’explicitation des démarches et des précautions à prendre : – reports précis d’une règle (double décimètre, mètre du tableau) le long de la baguette, comptage des reports, calcul de la mesure ; – placement de la graduation 0 et lecture correcte de la mesure sur les instruments gradués (double mètre, décamètre). L’utilisation d’instrument plus long que l’objet à mesurer permet d’éviter de faire des reports. ● En synthèse, demander aux élèves de répondre à la question B. Si besoin mettre en relation l’illustration du manuel avec l’objet utilisé dans la classe ● 1m INCONTOURNABLE ments et nommer les unités correspondantes. Par exemple : – Sur la règle de tableau, on reconnait les graduations correspondant aux centimètres, et celles numérotées correspondant aux dizaines de centimètres ou décimètres ; – Sur le double décimètre, les graduations correspondant aux centimètres sont numérotées et on reconnait celles correspondant aux millimètres ; – Sur le mètre ruban, les graduations correspondant aux centimètres sont numérotées ; – Sur le décamètre, on reconnait les graduations correspondant aux centimètres qui sont numérotées de 10 en 10, les graduations correspondant aux mètres sont numérotées. ◗ Énumérer les unités utilisées en montrant leur longueur à l’aide des instruments présents : 1 décamètre (dérouler et tendre le décamètre), 1 mètre (règle de tableau), 1 décimètre (sur règle de tableau ou double décimètre), 1 centimètre (sur règle de tableau ou double décimètre), 1 millimètre (sur double décimètre). Avec 2 m de ficelle dorée, Tom veut décorer 12 dm des boites Réponses : a. 108 75cmcm b. 5 mm c.des14boites cmbleuesd.et 20 dmrouges. e. 9 dam Range-les par ordre croissant. Explique ta réponse. 7 Complète avec = ou < ou >. Explique chaque réponse. a. 2 dm … 20 cm c. 99 mm … 10 cm b. 12 dm … 1 m d. 45 cm … 5 dm Pour décorer une boite bleue, il faut 15 cm de ficelle. Pour décorer une boite rouge, il faut 20 cm de ficelle. Tom veut utiliser toute la ficelle, sans en jeter. Combien de boites bleues et de boites rouges peut-il choisir de décorer ? Trouve au moins une solution. hatier-clic.fr/CM1cap029 191 quatre-vingt-trois • 83 072-088-Unite 5.indd 83 24/01/2020 10:25 5 Convertir des longueurs INCONTOURNABLE ◗ CONVERTIR DES LONGUEURS DICO 47 3 Complète. a. 1 m = … cm b. 1 dm = 10 … c. 1 … = 10 mm 4 Complète. a. 5 dm = … cm d. 2 m 4 cm = … cm b. 2 m = … dm e. 3 dam 5 m = … m c. 145 cm = … m … cm 5 ★ EXERCICES 6 Voici les longueurs de 4 bâtons : 3m 2 m 10 ◗ CALCULER DES LONGUEURS 9 DICO 57 On peut considérer d’abord celle qui est exprimée dans l’unité la plus grande et l’exprimer dans l’autre unité. Cela permet d’effectuer la comparaison avec des mesures entières de longueurs exprimées dans une même unité. Aya mesure 1 m 32 cm. Sa petite sœur mesure 34 cm de moins. Quelle est sa taille ? 10 Que faut-il ajouter : a. à 22 cm pour obtenir 1 m ? b. à 2 dm pour obtenir 1 m ? c. à 3 m pour obtenir 1 dam ? d. à 2 cm 4 mm pour obtenir 3 cm ? e. à 22 mm pour obtenir 1 dm ? Dans l’exercice 8, toutes les longueurs peuvent être exprimées en cm. 11 Recopie et complète. ★ Complète. a. 243 mm = 2 … 4 … 3 … b. 203 mm = … cm … mm c. 1 500 mm = 1 … 50 … d. 2 m = … mm e. 1 005 mm = 1 … 5 … 3 1 dm 35 cm d. 10 m = 1 … e. 1 … = 10 dm f. 1 m = … mm a. 35 cm + 1 m 20 cm = … b. 3 cm 2 mm + 4 dm 9 cm = … c. 1 m 6 cm + 2 dm = … Réponses : 12 Les chenilles ★ ◗ COMPARER DES LONGUEURS INCONTOURNABLE 300 mm INCONTOURNABLE b. La longueur d’une mouche est : 5 dm ; 5 cm ; 5 mm. c. La longueur d’un crayon est : 14 mm ; 14 cm ; 14 m. d. La hauteur d’une porte est : 20 mm ; 20 cm ; 20 dm. e. La longueur d’un terrain de foot est : 9 cm ; 9 m ; 9 dam. 4 DICO 57 5 ✶ processionnaires se déplacent en file. 2 Écris la bonne réponse. Chaque chenille a. La hauteur d’une table est : mesure 40 mm. 75 m ; 75 cm ; 75 mm. Une file peut compter 200 chenilles. b. La longueur d’une mouche est : Quelle est, dans ce cas, la longueur 5 dm ; 5 cm ; 5 mm. de la file. Donne ta réponse en mètres. c. La longueur d’un crayon est : 14 mm ; 14 cm ; 14 m. d. La hauteur d’une porte est : 20 mm ; 20 cm ; 20 dm. La décorer longueur d’un terrain de foot est : Avec 2 m de ficelle dorée, Tom e. veut cm ; 9 m ; 9 dam. des boites bleues et des boites 9rouges. Pour décorer une boite bleue, il faut 15 cm de ficelle. Pour décorer une boite rouge, CONVERTIR DES LONGUEURS DICO 47 il faut 20 cm de ficelle. Tom veut utiliser toute la ficelle, sans en jeter. 3 Complète. 8 ★ 6 98 cm < 1 m 6 cm < 108 cm < 12 dm 7 a. = b. > c. < d. < 2 m, 300 mm, 35 cm, 3 m 3 m 10 Range ces longueurs par ordre croissant. Explique ta réponse. 300 mm 8 a. 1 dm, 1 dm 2 m 10 Calculer des longueurs Énigme 35 cm ◗ CALCULER DES LONGUEURS 1 m 6conversions, cm 98 cm Pour les on s’attachera à construire du sens 12 dm 108 cm 9 Aya mesure 1 m 32 cm. Sa petite sœur en se Range-les référant par ordreaux équivalences connues, en termes de mesure 34 cm de moins. croissant. Quelle est sa taille ? ◗ Explique ta réponse. groupements et d’échanges, plutôt qu’à instaurer des 10 Que faut-il ajouter : mécanismes, utilisant un tableau par exemple 7 Complète avec =en ou < ou >. a. 1 m = …ou cm les d. 10 m = 1 … a. à 22 cm pour obtenir 1 m ? Explique chaque réponse. b. 1 dm = 10 … e. 1 … = 10 dm b. à 2 dm pour obtenir 1 m ? multiplications de1 … 10. a. 2 dm … 20 cm ouc.divisions 99 mm … 10 cm par des multiples c. = 10 mmUne f. 1 m = … mm c. à 3 m pour obtenir 1 dam ? b. 12 dm … 1 m d. 45 cm … 5 dm d. à 2 cm 4 mm pour obtenir 3 cm ? e. à 22 mm pour obtenir 1 dm ? exploitation collective permet d’expliciter les4 procédures Complète. • 83 a. 5 dm = … cm d. 2 m 4 cm = … cm 11 Recopie et complète. des élèves, notamment : b. 2 m = … dm e. 3 dam 5 m = … m a. 35 cm + 1 m 20 cm = … cm = … m … cm b. 3 cm 2 mm + 4 dm 9 cm = … – référence à l’image des graduations du doublec. 145 décimètre c. 1 m 6 cm + 2 dm = … 5 Complète. a. 243 mm = 2 … 4 … 3 … ou de la règle de tableau ; 12 Les chenilles b. 203 mm = … cm … mm processionnaires c. 1 500 mmà= 1des … 50 … 2 Écris la bonne 8 Range ces longueurs réponse. ordre croissant. – utilisation des procédures numériques separréférant se déplacent en file. d. 2 m = … mm a. La hauteur d’une table est : Explique ta réponse. Chaque chenille e. 1 005 mm = 1 … 5 … 75 m ; 75 cm ; 75 mm. mesure 40 mm. relations connues, comme par exemple 300 mm 1: dm 3m b. La longueur d’une mouche est : Une file peut compter 200 chenilles. 2 5 dm ; 5 cm ; 5 mm. COMPARER DES LONGUEURS Quelle est, dans ce cas, la longueur m ◗ 10 mm = 1 d’un cm, vérifié sur le double c. La longueur crayonce est : qui peut être 35 cm 10 de la file. Donne ta réponse en mètres. 14 mm ; 14 cm ; 14 m. 6 Voici les longueurs décimètre ; 145 cm,estc’est 100 cmCALCULER et 45 DES cm, soit 1 m 45 cm, d. La hauteur d’une porte : LONGUEURSde 4 bâtons : 20 mm ; 20 cm ; 20 dm. ◗ Énigme ✶ 6 cm 98 cm La longueur d’un terrain de foot est : ce quie.9peut être vérifié sur le double mètre. 1 msœur 9 10 11 12 ✶ EXERCICES Avec 2 m de ficelle dorée, Tom veut décorer 9 Aya mesure 1 m 32 cm. Sa petite cm ; 9 m ; 9 dam. 12 dm 108 cm des boites bleues et des boites rouges. 34 cm1 de moins. 1 m = 100 cm, et 1 cm = 10 mmmesure donc m, c’est 100 fois Range-les par ordre Pour décorer une boite bleue, il faut 15 cm Quelle est sa taille ? croissant. ◗ CONVERTIR DES LONGUEURS Un bilan collectif peut être mené à l’issue des exercices 9 de ces ficelle. Pour décorer une boite rouge, 2 Écris Explique 8 Range la bonne ta réponse. longueurs par ordre croissant. 10 mm, donc 1 000 mm. réponse. il fautta20réponse. cm de ficelle. Tom veut utiliser a. La hauteur d’une table est : Explique 3 Complète. 10 Que faut-il ajouter : toute la ficelle, sans en jeter. et 10. a. 1 m = … cm d. 10 m = 1 … a. à 22 cm pour obtenir 75 1 mm?; 75 cm ; 75 mm. 300 mm 1 dm 3m DICO INCONTOURNABLE INCONTOURNABLE 57 Combien de boites bleues et de boites rouges peut-il choisir de décorer ? Trouve au moins une solution. hatier-clic.fr/CM1cap029 quatre-vingt-trois ★ 072-088-Unite 5.indd 83 24/01/2020 10:25 ★ ★ ★ DICO DICO 57 INCONTOURNABLE 47 INCONTOURNABLE DICO INCONTOURNABLE 57 ★ Combien de boites bleues et de boites avec mouche = ou < ou longueur d’une est>.: b. 1 dm:= 10 … e. 1 … cm = 10 dm b.10 cm b. àc. 2 dm 3 a. 100 Réponses 1pour cmobtenir 1b.5m7dmLa? Complète rouges peut-il 2 choisir de décorer ? ; 5 cm ; 5chaque mm. réponse. c. 1 … = 10 mm f. 1 m = … mm c. à 3 m pour obtenir 1 dam ?Explique mune solution. Trouve au moins VERBALISATION 2 dm 20 crayon cm c. La 3a. longueur estc.: 99 mm … 10 cm EXPLICITATION, d. 1 dam e. 1 m f.d. à12 cm 000 mm 35 cm 10 4 mm pour obtenir cm ? …d’un b. 12 dm … 1 m d. 45 cm … 5 dm 14 mm ; 14 cm ; 14 m. e. à 22 mm pour obtenir 1 dm ? 4 Complète. d. La hauteur d’une porte est : Pour calculer sur des longueurs, il faut qu’elles soient 4 a. 50 cm b. 20 dm c. 1 m 45 cm • 83 a. 5 dm = … cm d. 2 m 4 cm = … cm ◗ CALCULER DES LONGUEURS quatre-vingt-trois 11 Recopie et complète. 20 mm ; 20 cm ; 20 dm. b. 2 m = … dm d. 204 e. 3 dam 5 m = …e. m 35 m a. 35 cm + 1 m 20 cm e. La longueur d’un terrain de foot est : cm =… exprimées dans la même unité. ★ c. 145 cm = … m … cm 9 Aya mesure 1 m 32 cm. Sa petite sœur cm=; … 9 m ; 9 dam. b. 3 cm 2 mm + 4 dm 99cm mesure 34 cm de moins. c. 1b. m 620 cm cm + 2 dm … 3=mm 5 Complète. 5 a. 2 dm 4 cm 3 mm Quelle est sa taille ? CONVERTIR DES LONGUEURS ◗1 m 5 mm … 31…m 50 cm ★ a. 243 mm = 2 … 4c. d. 2 000 mm e. 12 Les chenilles On attend une seule réponse correcte par item. Un bilan b. 203 mm = … cm … mm hatier-clic.fr/CM1cap029 DICO 072-088-Unite 5.indd 83 DICO ★ c. 1 500 mm = 1 … 50 … d. 2 m = … mm e. 1 005 mm = 1 … 5 … Comparer des longueurs 6 DICO 57 Énigme Voici les longueurs de 4 bâtons : 1 m 6 cm 98 cm 12 dm 108 cm Range-les par ordre croissant. Explique ta réponse. 7 8 ★ processionnaires 3 Complète. se déplacent en file. a. 1 m = … cm d. 10 m = 1 … Chaque chenille b. 1 dm = 10 … e. 1 … = 10 dm mesure 40 mm. c. 1 … = 10 mm f. 1 m = … mm Une file peut compter 200 chenilles. Quelle est, dans ce cas, la longueur Complète. de la file. Donne ta 4réponse en mètres. a. 5 dm = … cm d. 2 m 4 cm = … cm b. 2 m = … dm e. 3 dam 5 m = … m c. 145 cm = … m … cm Complète avec = ou < ou >. Explique chaque réponse. a. 2 dm … 20 cm c. 99 mm … 10 cm b. 12 dm … 1 m d. 45 cm … 5 dm Avec 2 m de ficelle dorée, Tom veut décorer 5 Complète. des boites bleues et des a. 243rouges. mm = 2 … 4 … 3 … ★ boites Pour décorer une boite bleue, il faut cmcm … mm b. 203 mm15 =… de ficelle. Pour décorer une c. boite 1 500rouge, mm = 1 … 50 … il faut 20 cm de ficelle. Tom veut utiliser d. 2 m = … mm toute la ficelle, sans en jeter. e. 1 005 mm = 1 … 5 … Combien de boites bleues et de boites rouges peut-il choisir de décorer ? COMPARER DES LONGUEURS Trouve au moins une solution. Range ces longueurs par ordre croissant. Explique ta réponse. 300 mm 072-088-Unite 5.indd 83 35 cm 1 dm DICO 57 7 8 ✶ Aya mesure 1 m 32 cm. Sa petite sœur 47 mesure 34 cm de moins. 1 m 6 cm 7 1… 5… DICO 57 Énigme 98 cm 108 cm = 192 Avec 2 m de ficelle dorée, Tom veut décorer des boites bleues et des boites rouges. Pour décorer une boite bleue, il faut 15 cm de ficelle. Pour décorer une boite rouge, il faut 20 cm de ficelle. Tom veut utiliser toute la ficelle, sans en jeter. Combien de boites bleues et de boites 57 b. 5 dm 2 cm 2 mm ou 52 cm 2 mm ou 522 mm c. 1 m 2 dm 6 cm ou 1 m 26 cm ou 126 cm 12 8 m processionnaires se déplacent en file. Chaque chenille mesure 40 mm. Une file peut compter 200 chenilles. Quelle est, dans ce cas, la longueur de la file. Donne ta réponse en mètres. Énigme Combien de boites bleues et de boites rouges peut-il choisir de décorer ? Trouve au moins une solution. ★ Pour comparer deux longueurs, il faut qu’elles soient exprimées dans la même unité. 1 … 50 … ★ b. 8 dm c. 7 m d. 6 mm e. 78 mm 11 a. 155 cm ou 1 m 55 cm Complète avec = ou < ou >. Explique chaque réponse. a. 2 dm … 20 cm c. 99 mm … 10 cm b. 12 dm … 1 m d. 45 cm … 5 dm b. 3 cm 2 mm + 4 dm 9 cm = … processionnaires se déplacent en file. Chaque chenille mesure 40 mm. Une file peut compter 200 chenilles. Quelle est, dans ce cas, la longueur de la file. Donne ta réponse en mètres. 10 a. 78 cm a. 35 cm + 1 m 20 cm = … b. 3 cm 2 mm + 4 dm 9 cm = … c. 1 m 6 cm + 2 dm = … Avec 2 m de ficelle dorée, Tom veut décorer des boites bleues et des boites rouges. Pour décorer une boite bleue, il faut 15 cm de ficelle. Pour décorer une boite rouge, il faut 20 cm de ficelle. Tom veut utiliser toute la ficelle, sans en jeter. c. 1 m 6 cm + 2 dm = … EXPLICITATION, VERBALISATION 12 Les chenilles ★ 12 Les chenilles DICO 9 98 cm 11 Recopie et complète. 98 cm 072-088-Unite 5.indd 83 ★ e. à 22 mm pour obtenir 1 dm ? Réponses : 12 dm 108 cm 24/01/2020 10:25 Range-les par ordre croissant. Explique ta réponse. est sa taille ? Dans Quelle l’exercice 6, la comparaison amène à utiliser des 10 Que faut-il ajouter : équivalences entre unités. Les quatre mesures peuvent d. 10 m = 1 … a. à 22 cm pour obtenir 1 m ? e. 1 … = 10 dm b. à 2 dm pour obtenir 1 m ? en m? et cm ou en cm. f. 1 m = … mm être exprimées c. à 3 m pour obtenir 1 dam d. à 2 cm 4 mm pour obtenir 3 cm ? Un bilan e. à 22collectif mm pour obtenir peut 1 dm ? être mené à l’issue des exercices d. 2 m 4 cm = … cm 117.Recopie et complète. 6 et e. 3 dam 5 m = … m a. 35 cm + 1 m 20 cm = … DICO 10 Que faut-il ajouter : a. à 22 cm peut pour obtenir 1m? collectif mettre en évidence les différentes expresb. à 2 dm pour obtenir 1 m ? c. à 3d’une m pour obtenir 1 dam ? longueur. sions même d. à 2 cm 4 mm pour obtenir 3 cm ? de 4 bâtons : • 83 quatre-vingt-trois 2 m 10 ◗ CALCULER DES LONGUEURS 24/01/2020 10:25 6hatier-clic.fr/CM1cap029 Voici les longueurs 3m 6 EXERCICES 9 INCONTOURNABLE ◗ INCONTOURNABLE INCONTOURNABLE ◗ COMPARER DES LONGUEURS INCONTOURNABLE 47 INCONTOURNABLE 57 hatier-clic.fr/CM1cap029 • 83 des essais d’additions et de Les élèves peuvent faire multiplications pour obtenir 200 avec des 15 et des 20. Ils peuvent aussi se dire qu’il faut la même quantité de ficelle pour décorer 4 boites bleues que pour 3 boites rouges. Plusieurs solutions sont possibles, une seule est demandée. quatre-vingt-trois 24/01/2020 10:25 Réponses : Boites bleues Boites rouges 10 4 7 8 4 12 1 Droites parallèles Objectifs : apprentissage 61 apprentissage Les élèves rencontrent pour la première fois la notion de droites parallèles, qui sont définies comme étant des droites d’écartement constant. La situation proposée prend appui sur l’évocation d’une voie de chemin de fer car l’image de traverses conservant un même écartement entre les rails renvoie aux moyens de contrôle du parallélisme. Si la notion de droites parallèles est plus facile à appréhender que la notion de droites perpendiculaires, sa mise en œuvre instrumentée est plus complexe. En effet, la vérification ou le tracé de deux droites parallèles nécessite le tracé avec la règle et l’équerre de deux perpendiculaires à l’une des droites et la vérification ou le report sur ces perpendiculaires de longueurs égales. – Savoir que deux droites parallèles sont deux droites d’écartement constant – Reconnaitre deux droites parallèles Les Shadoks au travail autorisée pour 54 e Recherch Recherche parallèles ? OUI ............................. ................................. ................................. ................................. r 2020 - Repro duction autorisée s (2) OUI pour une classe seule ment. NON Pour en savoir plus : www.lesshadoks.com. De nombreuses vidéos sont également disponibles en ligne. ● Commenter les figures et présenter la tâche : ➞ Sur la fiche sont dessinés trois tronçons d’une voie de chemin de fer. Les rails ont été posés par trois équipes différentes de Shadoks. Pour chaque tronçon, vous devez décider à deux si les rails ont été posés correctement ou non. NON D Les deux dro ites son Utilise un t-elles par guide-âne allèles ? pour déc ider. OUI NON te ecte La pose est incorr La pose est correc Tronçon 3 © Hatie parallèle ....... C Les deux droites sont-elles ........... Explication : ........... deux dro ites son Utilise un t-elles par guide-âne allèles ? pour déc ider. ecte La pose est incorr te La pose est correc Tronçon 2 Droites D Les ................................. ................................. ................................. ................................. pour une classe seulement. Droites parallèles (1) . voieBferrée Trace une droite parallèle à la droite tracée. urs tronçons d’une tement ? rails correc ont construit plusie L'écartement entre les deux droites ont-ils posé les doit être de 4 cm. n, les shadoks Pour chaque tronço réponse. ecte Expliquez votre La pose est incorr te correc est La pose Tronçon 1 A Des shadoks Explication : ........... M1 UNITÉ 5 - App rentissag Guide e6 p. 193 © Hatier 2020 - Reproduction autorisée e voie ferrée Construction d’un ➞ « Les Shadoks » est une ancienne série télévisée d’animation française. Les Shadoks ont l’apparence d’oiseaux rondouillards possédant de longues pattes et de petites ailes ridicules. Ils sont excessivement bêtes et échouent quasiment dans tout ce qu’ils entreprennent. CapMat hs C t. une classe seulemen UNITÉ 5 - Apprentissage 6 Guide p. 193 e - Reproduction Recherche 52 53 © Hatier 2020 issage 6 UNITÉ 5 - Apprent Guide p. 193 Recherch CapMaths CM1 1 CapMaths CM Recherche 2 Recherche par équipes de 2 de la question A ....... ................................. ................................. ...................... ................................. ........... Explication : ........... teriel CM1.i 001-109-Materiel Pour cette question, les élèves disposent de leurs instruments de géométrie habituels. ● Observer comment les élèves font pour décider. ● 001-109-Ma ndd 51 16:27 20/04/2017 001-109-Materiel CM1.indd 50 CM1.indd 49 20/04/2017 16:27 20/04/2017 MATÉRIEL 5 16:27 pour la classe • les fiches 52, 53 et 54 agrandies ou projetées ◗ PROCÉDURES POSSIBLES hatier-clic.fr/CM1capg0502 – Perceptivement : les rails s’écartent ou se rapprochent, ou l’écartement reste le même. – Rotation de la feuille pour amener une des deux droites en position verticale ou horizontale et apprécier si la seconde l’est aussi. – Utilisation d’une règle graduée et mesure de l’écartement entre les deux rails en leurs extrémités ou en des points quelconques. – Tracé de deux perpendiculaires aux rails et, sur ces perpendiculaires, mesure de la longueur des segments déterminés par les rails (les traverses de voies ferrées peuvent suggérer cette procédure). • un grand guide-âne ➞ Mallette par élève • les questions A à D ➞ fiches 52, 53 et 54 • instruments de géométrie • un guide-âne ➞ Mallette DÉROULÉ UNITÉ 1 Présentation de la situation 2 Recherche de la question A 3 Exploitation des réponses 4 Recherche et exploitation des questions B et C 5 Présentation du guide-âne 6 Recherche et exploitation de la question D 7 Entrainement Collectif Par équipes de 2 et individuel Collectif Individuel et collectif Collectif Par équipes de 2 et collectif Individuel Les repères annuels de progression font mention du tracé d’une parallèle à une droite passant par un point donné en CM2. Nous limitons donc en CM1, le tracé à celui de droites parallèles quand l’écartement entre les droites est connu. RECHERCHE Comment savoir si deux droites sont parallèles ? 1 Présentation collective de la situation ● ● Projeter la fiche 52 ou afficher un agrandissement. Présenter les Shadoks : Le travail se fait à deux pour permettre une première formulation des procédures qui sera ensuite affinée collectivement. 3 Exploitation collective des réponses Collecter les réponses. Il devrait y avoir accord pour les tronçons 1 (pose incorrecte) et 2 (pose correcte), mais pas pour le 3. ● Demander ensuite aux équipes comment elles ont procédé pour décider en étudiant les tronçons dans l’ordre de leur numérotation : – pour le tronçon 1, la perception suffit ; – pour le tronçon 2, dans un premier temps on se satisfera de la perception ; – pour le tronçon 3, la perception ne suffit pas pour conclure, il faut mesurer l’écartement pour trancher. Mais la conclusion peut être erronée si la règle est placée « de travers » ou « penchée » entre les deux droites. ● 193 UNITÉ 5 Préciser la technique de la mesure de l’écartement entre deux droites en faisant le tracé sur le tronçon 3 : 1. Tracer avec l’équerre une perpendiculaire à une des deux droites. 2. Mesurer sur cette perpendiculaire la longueur du segment déterminé par les deux droites. 3. Tracer une autre perpendiculaire à une des deux droites et mesurer l’écartement entre les deux droites sur cette seconde perpendiculaire. 4. Si l’écartement mesuré est le même que le premier, conclure que les rails sont correctement posés. ● Demander à une moitié de la classe de mettre en œuvre cette technique sur le tronçon 2 et à l’autre moitié sur le tronçon 3. ● Réponses : Tronçon 1 : pose incorrecte Tronçon 2 : pose correcte Tronçon 3 : pose incorrecte EXPLICITATION, VERBALISATION Indiquer que les rails peuvent être assimilés à des portions de droites. ◗ Deux droites qui ni ne s’écartent, ni se rapprochent sont appelées des droites parallèles. ◗ L’écartement entre deux droites parallèles est toujours le même, on dit qu’il est constant. ◗ DIFFICULTÉS ÉVENTUELLES – Choix de deux points trop proches sur une droite pour tracer les deux perpendiculaires sur lesquelles reporter une même longueur ou mesurer les distances entre les deux droites Aide À traiter lors de l’exploitation collective. – Erreur de conclusion (question C) due à une utilisation imprécise des instruments Aide À traiter lors de l’exploitation collective. ● Observer les élèves et procéder à une correction collective en prenant appui sur les difficultés rencontrées. Expliciter sur la question B les étapes du tracé d’une parallèle à une droite donnée quand l’écartement est connu. ● Les différences de conclusion à la question C permettent de mettre l’accent sur le fait que : – il faut être précis dans l’utilisation des instruments ; – « plus les deux droites perpendiculaires sont tracées éloignées l’une de l’autre, plus sûre est la conclusion ». ● C’est aussi l’occasion de rappeler que l’écartement se mesure sur une perpendiculaire. ● Réponse : C. Les deux droites ne sont pas parallèles. 5 Présentation collective du guide-âne 20 19 18 17 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 TRACE ÉCRITE Réaliser le dessin ci-contre 1 3 cm au tableau (en adaptant 3 cm les mesures écrites). 2 Et écrire : On dit que : Les droites 1 et 2 sont parallèles. ou La droite 1 est parallèle à la droite 2. ou La droite 2 est parallèle à la droite 1. Ces trois phrases ont la même signification. L’écartement entre deux droites parallèles est toujours le même. ● Demander aux élèves de commenter la figure et, au besoin, préciser : ➞ Reconnaissez-vous une figure connue ? (réponse : un rectangle) ● Le vérifier avec les instruments. EXPLICITATION, VERBALISATION Conclure : Deux côtés opposés d’un rectangle sont parallèles. ou encore : deux droites parallèles sont les prolongements des côtés d’un rectangle. ● Laisser la figure au tableau. ● Remettre un guide-âne à chaque équipe et afficher au tableau le guide-âne agrandi. ● Demander aux élèves de commenter ce qu’ils voient. Informer que toutes les droites du guide-âne sont parallèles, que les droites sont numérotées de 0 à 20. ● Préciser que sur les guide-ânes individuels les écartements entre deux droites voisines sont tous les mêmes, ils 1 sont de 5 mm ou cm. 2 6 Recherche par équipes de deux et exploitation collective de la question D Distribuer la question D (fiche 54) à chaque équipe et préciser : ● ➞ Cette fois, le seul instrument dont vous disposez est le guide-âne. À vous de trouver comment l’utiliser. 4 Recherche individuelle et exploitation collective des questions B et C Ces deux questions ont pour but d’installer la technique décrite dans la phase précédente : – pour tracer deux droites d’écartement constant ; – pour déterminer si l’écartement entre deux droites est constant. ● Distribuer la fiche 53 à chaque élève, qui traite les deux questions. ● Demander de faire des tracés et mesures précises ● 194 20 19 18 17 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 Observer les équipes au travail. ● Recueillir les réponses et demander à une équipe qui a correctement utilisé le guide-âne de présenter comment l’utiliser. ● EXPLICITATION, VERBALISATION Expliciter la technique : 1. Faire coïncider une droite du guide-âne avec une des deux droites de la figure. 2. Regarder la position de l’autre droite de la figure par rapport aux droites du guide-âne : MATÉRIEL – si la droite coïncide avec une droite du guide-âne, les deux droites de la figure sont parallèles ; – si la droite ne coïncide pas avec une droite du guide-âne, mais que ni elle s’en écarte, ni elle s’en rapproche, les deux droites de la figure sont parallèles ; pour la classe • figures projetées ou agrandies • guide-âne agrandi ➞ Mallette par élève • double décimètre, équerre et guide-âne EXERCICE 1 Réponse : Aya n’a pas raison. Un des écartements n’a pas été mesuré sur une droite perpendiculaire à une droite rouge. – si la droite s’écarte ou se rapproche d’une droite du guide-âne, les deux droites de la figure ne sont pas parallèles. Pour les exercices 2 et 3, les élèves utilisent leur double décimètre et leur équerre. m EXERCICES 2 3 Ce sont deux exercices d’application directe de la même technique. ● ● Réponse : Renvoyer les élèves au DICO 68 Pour les exercices 4 et 5, les élèves disposent du guide-âne. Si l’exercice 5 est simple avec un guide-âne, il est plus complexe avec une équerre car, à la différence de l’exercice 4, les tracés ne se font pas sur deux droites isolées. m TRACE ÉCRITE Une photocopie du DICO 68 peut faire office de trace écrite. La fiabilité d’une estimation faite avec un guide âne est au moins aussi bonne, voire meilleure, que celle de tracés de droites perpendiculaires et de mesures qui sont entachés d’une imprécision qui peut être importante si les élèves n’ont pas une bonne maitrise de l’équerre et de la règle graduée. EXERCICE 4 UNITÉ Réponse : b. figure 1 apprentissage 6 DICO 67-69 EXERCICE 5 Aya a voulu vérifier si les deux droites rouges sont parallèles. Pour cela, elle a effectué les tracés et les mesures qui sont en noir sur la figure. Elle affirme que les deux droites rouges sont parallèles. A-t-elle raison ? ......................................... ➜ Pour les exercices 4 et 5, utilise un guide-âne. 4 2 cm a. À vue d’œil, quelles sont les figures où les droites semblent parallèles ? ..................................... Dans cet exercice, les élèves sont confrontés aux différents cas décrits dans l’explicitation, verbalisation b. Et avec ton instrument, quelles sont les figures où les droites sont effectivement parallèles ? 2 cm ............................................................................................................................................................... Explique pourquoi. ................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................... Réponse : Les droites parallèles sont tracées en rouge et en vert. ➜ Pour les exercices 2 et 3, utilise ton double-décimètre et ton équerre. 2 Ces deux droites sont-elles parallèles ? OUI NON Figure 2 Figure 1 5 3 5 Il est difficile d’éliminer perceptivement des figures. ● Après avoir fait coïncider une droite du guide-âne avec une droite de la figure, on voit quasi instantanément si la deuxième droite lui est parallèle. 15 Droites parallèles Reconnaitre et tracer des droites parallèles 1 UNITÉ ● Cahier p. 34-35 7 Entrainement individuel RECONNAITRE ET TRACER DES DROITES PARALLÈLES 2 Les deux droites sont parallèles. Figure 3 Sur chaque polygone, repasse d’une même couleur les côtés qui sont parallèles. Trace une droite parallèle à la droite tracée. L’écartement entre les droites doit être 3 cm. DICO 68 Polygone 1 Polygone 1 Polygone 2 Polygone 3 Polygone 2 Polygone 3 Énigme 34 • ➜ trente-quatre Pour les exercices 4 et 5, utilise un guide-âne. 4 a. À vue d’œil, quelles sont les figures où les droites semblent parallèles ? ..................................... Construis un polygone qui a exactement deux côtés qui sont parallèles et exactement deux côtés qui sont perpendiculaires. b. Et avec ton instrument, quelles sont les figures où les droites sont effectivement parallèles ? 22/01/2020 10:30 Cahier geom.indd 34 ............................................................................................................................................................... hatier-clic.fr/CM1capc030 Figure 2 Figure 1 5 Figure 3 Sur chaque polygone, repasse d’une même couleur les côtés qui sont parallèles. MATÉRIEL trente-cinq • 35 Cahier geom.indd 35 par élève 22/01/2020 10:30 • double décimètre, équerre, guide-âne • une feuille de papier blanc Une difficulté est d’envisager d’autres polygones que des triangles et des quadrilatères. ● Une aide peut consister à demander : DICO 68 ● ➞ Qu’est-ce qu’un polygone ? Combien de côtés peut-il avoir ? Polygone 1 Polygone 2 Polygone 3 Énigme Construis un polygone qui a exactement deux côtés qui sont parallèles et exactement deux côtés qui sont perpendiculaires. hatier-clic.fr/CM1capc030 trente-cinq • 35 Cahier geom.indd 35 22/01/2020 10:30 195 Afficher les polygones qui auront été validés et constater la diversité de ceux-ci. ● Réponses : Exemples de polygones satisfaisant les conditions : Il est possible de construire un quadrilatère vérifiant les deux conditions. Mais pour les élèves, il est difficile de concevoir une telle figure car ce sont les droites portant deux côtés opposés qui sont perpendiculaires. La condition « deux autres côtés sont perpendiculaires » peut être mal interprétée, les élèves traçant par exemple un trapèze rectangle qui a deux paires des côtés perpendiculaires. 196 UNITÉ 5 Bilan et consolidation CALCUL MENTAL / NOMBRES ET CALCULS / GRANDEURS ET MESURES ! Manuel p. 84-85 ESPACE ET GÉOMÉTRIE ! Cahier p. 36 Comment utiliser les pages Bilan ! p.11. Bilan de compétences téléchargeable hatier-clic.fr/CM1capgbilancomp05 CONSOLIDATION BILAN ◗ Calcul mental Connaissances à acquérir ➞ Tables de multiplication, multiplication par 20, 200…, par 25 (produits, facteurs, quotient entier). Pas de préparation de bilan proposée dans le manuel. Je fais le bilan ! Manuel p. 85 EXERCICES 1 2 Tables de multiplication, multiplication par 20…, par 25 (produits, facteurs, quotient entier) 1 a. 72 b. 200 c. 160 d. 1 000 2 a. 6 b. 7 c. 3 d. 5 Ateliers de calcul mental Autres ressources ! Manuel p. 86 ! 100 Activités et jeux mathématiques ! Activités et exercices pour la CM1-CM2 29. Le plus de produits possibles 30. Quatre nombres dans un tableau Calculs avec plusieurs opérations, utilisation de parenthèses. calculatrice CM1-CM2 12. Tables de multiplication 17. Multiplication (calcul réfléchi) ! CD-Rom Jeux interactifs CE2-CM1-CM2 10. Calcul éclair (domaine multiplicatif) – niveaux 1, 2 et 5 12. As du calcul (domaine multiplicatif) – niveaux 3 et 4 ! Activités pour la calculatrice CE2- CM1-CM2 12. Tables d’addition et de multiplication UNITÉ CONSOLIDATION BILAN ◗ Résolution des problèmes apprentissage 1 Connaissances à acquérir ➞ Pour résoudre certains problèmes, il est possible d’aboutir à la solution en effectuant une suite de déductions. ➞ Pour cela, on doit : – partir des données et se demander quelles nouvelles informations elles permettent d’obtenir ; – partir de la question et se demander quelles informations sont nécessaires pour pouvoir y répondre. Je prépare mon bilan ! Manuel p. 84 Q C M1 c Je fais le bilan ! Manuel p. 85 EXERCICE 3 Résoudre des problèmes par une suite directe de déductions 500 g Je consolide mes connaissances ! Manuel p. 74-75 À choisir parmi les exercices non traités. ◗ Fractions en dixièmes : sommes et différences Connaissances à acquérir ➞ Le tableau de numération se prolonge sur sa droite par une unité de numération obtenue par partage de l’unité en 10 parts égales, le « dixième ». BIL A N centaines dizaines unités 1 12 2 dixièmes 128 8 8 ➞ On peut ainsi : • décomposer des fractions de dénominateur 10 en unités de numération : 128 est égal à : Exemple : 10 – 12 unités et 8 dixièmes ; – 1 dizaine 2 unités et 8 dixièmes. apprentissage 2 Je prépare mon bilan ! Manuel p. 84 Q C M2 c Je fais le bilan ! Manuel p. 85 EXERCICE 4 Écrire, à l’aide de fractions, des suites de nombres allant en avant de 8 dixièmes en 8 dixièmes ou en arrière de 5 dixièmes en 5 dixièmes 8 6 4 2 8 3+ 4+ 5+ 6 6+ a. 2 + 10 10 10 10 10 6 4 2 8+ 9+ 10 7+ 10 10 10 8 3 8 3 8 b. 5 + 5+ 4+ 4+ 3+ 10 10 10 10 10 3 8 3 8 3 2+ 2+ 1+ 1+ 3+ 10 10 10 10 10 197 5 CONSOLIDATION BILAN • poser une addition ou une soustraction avec des entiers ou des dixièmes et lire le résultat 128 + 39 Exemple : 10 Centaines Dizaines Unités Dixièmes + 1 2 8 3 5 9 1 8 Je consolide mes connaissances ! Atelier ! Manuel p. 76-77 matériel À choisir parmi les problèmes non traités. = 51 + EXERCICE 5 Utiliser les relations entre unités de numération a. 76 unités 5 dixièmes b. 490 c. 304 d. 2 007 EXERCICE 6 Calculer une somme puis une différence de nombres décimaux et les exprimer par une fraction 32 27 b. a. 10 10 8 10 1 2 6 ; ; chacun inscrit sur deux faces 10 10 10 • Une ligne graduée régulièrement en dixièmes de 0 à 9 Les joueurs partent de 0. À tour de rôle, ils lancent les dés et peuvent, soit avancer du nombre de dixièmes égal à la somme des nombres inscrits sur les deux dés, soit passer leur tour. Le premier joueur qui atteint exactement 9 gagne. • 2 dés identiques avec les nombres ◗ Dixièmes et nombres à virgule apprentissage 3 CONSOLIDATION BILAN Connaissances à acquérir ➞ Une fraction décimale (de dénominateur 10) peut s’écrire sous la forme d’un nombre à virgule) 283 Exemple : = 28,3 10 ➞ Dans l’écriture 28,3 la virgule indique les unités, ce qui permet de repérer les dizaines, centaines… (à gauche) et les dixièmes (à droite). ➞ 28,3 se lit donc 28 unités 3 dixièmes. 3 ➞ 28,3 peut s’écrire aussi 28 + . 10 Je consolide mes connaissances ! Atelier ! Manuel p. 78-79 matériel À choisir parmi les problèmes non traités. Je prépare mon bilan ! Manuel p. 84 Q C M3 a Q C M4 d Je fais le bilan ! Manuel p. 85 EXERCICE 7 Donner l’écriture fractionnaire et la décomposition en partie entière et fraction < 1 de décimaux écrits avec une virgule 104 7 83 4 7 3 a. b. 10 + 0+ 8+ 10 10 10 10 10 10 EXERCICE 8 Écrire avec une virgule des nombres donnés sous forme fractionnaire ou littérale a. 20,5 b. 3,8 c. 0,2 d. 0,6 e. 16,4 Autres ressources • Reprendre le matériel de la première version du jeu (consolidation de l’apprentissage 2) et remplacer l’un des dés avec les fractions par un dé avec les nombres 0,1 ; 0,2… 0,6. ! CD-Rom Jeux interactifs CE2-CM1-CM2 6. Les nombres décimaux (jeu 1) La règle du jeu est inchangée. BILAN ◗ Multiples 198 Connaissances à acquérir ➞ Pour reconnaitre si un nombre est un multiple d’un deuxième nombre : • on peut chercher s’il n’est dans la table de ce nombre ou dans son prolongement ; • on peut chercher s’il peut être obtenu en multipliant ce deuxième nombre par un troisième nombre. Exemple : 30 est multiple de 10 car 30 = 10 × 3 ; • dans certains cas, on peut utiliser une propriété, par exemple : – les multiples de 2 ont pour chiffre des unités 0, 2, 4, 6 ou 8 ; – les multiples de 5 ont pour chiffre des unités 0 ou 5 ; – les multiples de 10 ont pour chiffre des unités 0. apprentissage 4 Je prépare mon bilan ! Manuel p. 84 Q C M 5 b et d Q C M 6 a, b et d Q C M7 c Je fais le bilan ! Manuel p. 85 EXERCICES 9 10 Produire ou reconnaitre des multiples d’un nombre ou de deux nombres 9 20 40 80 100 10 a. oui b. non c. oui CONSOLIDATION Je consolide mes connaissances ! Manuel p. 80-81 À choisir parmi les exercices non traités ! Ateliers Atelier 1 : Ranger des objets Proposer un nombre donné d’objets et demander aux équipes s’il est possible de les organiser en rangées de 2, 3, 4… objets. Vérifier en effectuant les manipulations Atelier 2 : Nombres premiers Distribuer aux équipes un tableau des nombres de 1 à 50 et mettre à leur disposition une cinquantaine d’objets. Leur demander de trouver dans la grille tous les nombres pour lesquels on ne peut pas organiser les objets en 2 rangées égales ou plus. Autres ressources ! 100 activités et jeux mathématiques CM1CM2 42. Le jeu des pièges 43. Le jeu des multiples 44. Mémory des multiples 45. L’affrontement CONSOLIDATION BILAN ◗ Unités de longueur apprentissage 5 Connaissances à acquérir ➞ La règle de tableau mesure 1 mètre (1 m) ; on peut y compter entre la graduation 0 et la graduation 100 : – le nombre de décimètres : il y en a 10. 1 m = 10 dm. – le nombre de centimètres : il y en a 100. 1 m = 100 cm. ➞ D’autres unités de longueur sont utilisées : – le double décimètre permet des mesures en cm et mm : 1 dm = 10 cm 1 cm = 10 mm – le décamètre permet des mesures en dam, m et cm : 1 dam = 10 m Je consolide mes connaissances ! Atelier de mesurage ! Manuel p. 82-83 À choisir parmi les exercices non traités matériel Je prépare mon bilan ! Manuel p. 84 Q C M 8 b et d Je fais le bilan ! Manuel p. 85 EXERCICE 11 Comparer des longueurs a. = b. > c. = d. < EXERCICE 12 Connaitre un ordre de grandeur des unités a. m b. cm c. dm d. dam e. m f. mm ! 100 activités et jeux mathématiques CM1CM2 58. Atelier de mesure de longueurs 59. Jeu de questions sur les longueurs (1) ! CD-Rom Jeux interactifs CE2-CM1-CM2 • La règle graduée. ◗ Droites parallèles BILAN • Avec une équerre et une regle graduée 1. on trace deux perpendiculaires à une des droites ; 2. on mesure sur les deux perpendiculaires l’écartement entre les deux droites ; 3. si l’écartement est le même, les droites sont parallèles. • Avec un guide-âne 1. on fait coïncider une droite du guide-âne avec une des deux droites ; 2. on regarde la position de l’autre droite par rapport aux droites du guide-âne ; 3. si cette droite coïncide avec une droite du guide-âne ou ni ne s’écarte, ni se rapproche d’une droite du guide-âne, les deux droites sont parallèles. 5 Autres ressources • Les instruments proposés sont les mêmes que dans la recherche 5. Ils sont à disposition des élèves. • Choisir différentes longueurs de l’environnement proche à mesurer en choisissant l’instrument adapté. • Veiller à la précision de la méthode de mesurage (voir l’encadré Difficultés éventuelles p. 190). Connaissances à acquérir ➞ Deux droites parallèles sont deux droites qui ont un écartement constant (ni elles ne s’écartent, ni elles ne se rapprochent). ➞ Pour savoir si deux droites sont parallèles : UNITÉ apprentissage 6 Je prépare mon bilan ! Cahier p. 36 Q C M 1 a, b et c Je fais le bilan ! Cahier p. 36 matériel • double décimètre et équerre (exercice 1) • stylos ou crayons de couleur • guide-âne (exercice 2) EXERCICES 1 2 Déterminer si deux droites ou si deux côtés d’un polygone sont parallèles 1 Oui : l’écartement entre les deux droites est le même (ou partout le même). 2 Des élèves pourront arrêter la recherche après avoir trouvé deux côtés parallèles, le plus souvent ceux qui sont horizontaux. 199 Je consolide mes connaissances ! Exercices supplémentaires matériel • Fiche 55 CONSOLIDATION hatier-clic.fr/CM1capg0503 Il s’agit d’exercices d’approfondissement portant sur la construction de quadrilatères avec des contraintes sur le parallélisme et la perpendicularité de certains côtés. ! Ateliers Atelier 1 : Reconnaitre des droites parallèles matériel • double décimètre et équerre ou un guide-âne • Fiche 56 hatier-clic.fr/CM1capg0504 Reprise de la question A de la recherche avec comme instruments à disposition l’équerre et le double décimètre ou seulement le guide-âne. Atelier 2 : Tracé de droites parallèles connaissant l’écartement matériel • double décimètre et équerre • Fiche 57 hatier-clic.fr/CM1capg0504 Pour l’exercice 2, la construction ne nécessite que le tracé de deux droites perpendiculaires à la première droite et le placement sur ces deux perpendiculaires de points régulièrement espacés de 1 cm. 200 Autres ressources ! 100 activités et jeux mathématiques CM1-CM2 78. Des quadrilatères (instruments à disposition : double décimètre, équerre ou réquerre, guide-âne). liers 5 Ate ca tal UNITÉ lcul men Calcul rapide Manuel p. 86 Ces activités sont destinées à renforcer la connaissance des calculs élémentaires relatifs à l’addition, la soustraction et la multiplication, ainsi que la maitrise des calculs qui utilisent des parenthèses. Chaque calcul est également une question de recherche nécessitant de procéder par essais et déductions. UNITÉ Ateliers 5 calcul mental Calc ul rapi de ou jeu 1 Les bonnes opérations But du jeu jeu 2 Les bons nombres But du jeu Être le plus rapide à obtenir tous les résultats. Trouver rapidement le plus de réponses possibles. Règle du jeu Placer les signes , ou aux endroits qui conviennent pour obtenir le résultat indiqué. Avec 5, 8 et 6 (5 ■ 8) ■ 6 = 46 (5 ■ 8) ■ 6 = 19 5 ■ (8 ■ 6) = 53 (5 ■ 8) ■ 6 = 7 5 ■ (8 ■ 6) = 10 5 ■ (8 ■ 6) = 70 Avec 12, 5 et 10 (12 ■ 5) ■ 10 = 70 (12 ■ 5) ■ 10 = 50 12 ■ (5 ■ 10) = 27 (12 ■ 5) ■ 10 = 7 12 ■ (5 ■ 10) = 62 12 ■ (5 ■ 10) = 600 Règle du jeu Compléter les moules avec des nombres compris entre 2 et 12. Chaque nombre peut être utilisé plusieurs fois dans le même calcul. Chaque moule peut être utilisé plusieurs fois. Moules à disposition (■ × ■) + ■ = 13 (■ × ■) + ■ = 35 (■ × ■) − ■ = 25 (■ × ■) + ■ = 20 (■ × ■) – ■ = 16 (■ × ■) – ■ = 40 ■ × (■ + ■) = 28 ■ × (■ + ■) = 48 ■ × (■ − ■) = 36 ■ × (■ + ■) = 42 ■ × (■ − ■) = 20 ■ × (■ − ■) = 56 jeu 1 Les bonnes opérations jeu 3 Le grand écart Il s’agit de placer les bons signes opératoires pour obtenir un résultat donné. Réponses : Avec 5, 8 et 6 (5 × 8) + 6 = 46 (5 + 8) – 6 = 7 (5 + 8) + 6 = 19 5 × (8 – 6) = 10 5 + (8 × 6) = 53 5 × (8 + 6) = 70 Avec 12, 5 et 10 (12 – 5) × 10 = 70 (12 + 5) – 10 = 7 (12 × 5) – 10 = 50 12 + (5 × 10) = 62 12 + (5 + 10) = 27 12 × (5 × 10) = 600 à Matériel • deux dés • une calculatrice pour vérifier les calculs • une grille à 6 cases par joueur ➞ FICHE MATÉRIEL But du jeu Obtenir le plus grand écart entre 2 produits. Règle du jeu • À tour de rôle, lancer les 2 dés et additionner les points obtenus. Écrire le résultat dans la case jaune de son choix. • Au bout de 4 lancers par joueur, calculer les produits obtenus sur chaque ligne et écrire les résultats dans les cases roses. Puis calculer la différence entre ces deux résultats. • Le joueur qui obtient la plus grande différence est le gagnant. UNITÉ 5 86 • quatre-vingt-six 072-088-Unite 5.indd 86 24/01/2020 10:25 jeu 2 Les bons nombres Il s’agit de placer des nombres de 2 à 12 pour obtenir un résultat donné. De nombreuses réponses sont possibles. Un concours de propositions peut être organisé, chaque élève étant invité à trouver de nouvelles réponses pour chaque calcul proposé et à les noter sur une affiche collective, signées de son nom. Exemples de réponses (d’autres sont possibles) : (5 × 2) + 3 = 13 (6 × 3) + 2 = 20 (7 × 4) + 7 = 35 (4 × 5) – 4 = 16 (5 × 6) – 5 = 25 (5 × 10) – 10 = 40 4 × (2 + 5) = 28 8 × (5 + 1) = 48 6 × (10 – 4) = 36 7 × (3 + 3) = 42 5 × (10 – 6) = 20 7 × (10 – 2) = 56 jeu 3 Le grand écart matériel par Groupe • plusieurs grilles de jeu hatier-clic.fr/CM1capg0505 Ce jeu comporte un aspect stratégique dans le choix qui est laissé à chaque joueur d’écrire le total obtenu dans la case jaune de son choix (sauf pour la dernière case qui résulte du choix des 3 cases précédentes). Une partie peut être jouée collectivement pour aider à comprendre le déroulement du jeu. 201 5 Ateliers UNITÉ problèmes Je résous à mon rythme Manuel p. 87 Ateliers UNITÉ Ces problèmes font essentiellement appel au sens de l'addition et de la soustraction ainsi que de la multiplication pour certains d'entre eux (problèmes A3, C1 et C3). Ils doivent être résolus rapidement, en recourant soit au calcul purement mental soit au calcul posé, avec vérification à l'aide d'une calculatrice. Les élèves sont incités à écrire leurs calculs et, le cas échéant, les étapes intermédiaires de la résolution. Ils doivent enfin formuler une phrase en réponse à la question posée. L'exploitation peut être individuelle, en atelier ou collective, et porter sur la diversité des procédures, leur mise en relation et sur la mise en forme des solutions. 5 Je réso us à mon ryth me ou problèmes A 1 Résous ces problèmes. N’oublie pas d’écrire la phrase réponse. Le lundi, le cinéma « Charlot » propose B 1 3 séances. À la séance de 14 h, il a accueilli 275 spectateurs. rs À celle de 17 h, il y a eu 83 spectateu de moins qu’à la séance de 14 h. rs À celle de 20 h, il y a eu 85 spectateu de plus qu’à la séance de 14 h. Au total, combien de spectateurs sont ? allés au cinéma « Charlot » le lundi , Écris deux questions pour ce problème puis réponds à ces questions. été Sur un circuit piéton, des bornes ont s placées pour indiquer aux marcheur à quelle distance ils se trouvent du point de départ, en mètres. 150. Manon passe d’abord devant la borne devant Elle marche encore un peu et arrive la borne 500. m Elle sait alors qu’elle se trouve à 750 de l’arrivée. C Pour ces problèmes, réponds d’abord sans utiliser la calculatrice. Vérifie ensuite en utilisant la calculatrice. circuit Une course cycliste se déroule sur un de la de 16 km. Le coureur qui est en tête Au total, course a déjà fait 12 tours de circuit. doit-il Combien il doit parcourir 240 km. encore faire de tours de circuit ? 2 Dans un magasin d’informatique, la maman affiché d’Hugo regarde un ordinateur qui est pas à 749 €. Elle dit au marchand : Je n’ai assez d’argent pour l’acheter. une faire peux Je : répond lui Le marchand réduction de 50 €. bien, La maman d’Hugo est contente : C’est €. je l’achète et il me restera encore 25 Quelle somme d’argent la maman d’Hugo avait-elle avant l’achat ? 2 1 c de Une chemise blanche coute 15 € 50 de plus moins qu’une chemise bleue et 7 € qu’une chemise rose. Monsieur Beau achète une chemise blanche, une chemise bleue et une chemise rose. Combien Monsieur Beau dépense-t-il pour l’achat de ces 3 chemises ? 3 Pour aller à l’école, Camille parcourt 480 mètres à pieds. Louise parcourt 275 mètres de plus. Thomas, lui, doit parcourir une distance triple de celle de Camille. elle Combien de mètres Louise parcourtde moins que Thomas ? 4 La population de la ville de Reims est de 183 000 habitants. Cette ville compte 159 000 habitants de moins que Nice et 28 000 habitants de plus que Dijon. Quelles sont les populations de Nice et de Dijon ? ★ 3 ★ Le cœur d’un bébé bat très vite, au rythme de 120 battements par minute. C’est 30 battements de plus par minute nombre qu’un enfant de 9 ans et le double du repos. des battements d’un adulte sportif au de cœur Quel est le nombre de battements en 1 heure pour : a. un bébé ? b. un enfant de 9 ans ? c. un adulte sportif au repos ? quatre-vingt-sept • 87 24/01/2020 10:25 072-088-Unite 5.indd 87 A Ces problèmes relèvent principalement du champ additif (sens de l'addition et de la soustraction) 1 Situation de comparaison (recherche d’un état) et situation de combinaison (recherche de la totalité) Réponse : 827 spectateurs Exemples de questions possibles Quelle distance sépare les bornes 150 et 500 ? Réponse : 350 m Quel nombre est indiqué sur la borne arrivée ? Réponse : 1 250 m Quelle distance sépare la borne 150 de l'arrivée ? Réponse : 1 100 m 2 Situation de comparaison (recherche d’un état) et situation de combinaison (recherche de la totalité) Réponse : 112 € 3 Situation de comparaison additive ou multiplicative (recherche d’un état ou de la valeur d’une comparaison) Réponse : 685 m 4 Terme d'une comparaison Réponses : Nice : 342 000 habitants, Dijon : 155 000 habitants C Ces problèmes relèvent des champs additif et multiplicatif. L'exploitation porte sur la compréhension des situations et sur la validité des calculs posés. 1 Situation de réunion de grandeurs identiques avec recherche de la valeur totale ou du nombre de grandeurs et combinaison avec recherche d’une des parties Problème à étapes Réponse : 3 tours B ★ 2 Situation de transformation (recherche d’un reste et Ce problème relève du champ additif (problèmes relatifs à des distances). L'exploitation porte sur la pertinence des questions posées par les élèves qui peuvent faire l'objet d'échanges mutuels. 1 Une représentation schématique est utile pour traiter ce problème. 150 202 500 Arrivée d’une valeur initiale) Réponse : 724 € ★ 3 Situation de comparaison additive ou multiplicative (recherche d’un état) Réponses : a. 7 200 battements b. 5 400 battements c. 3 600 battements UNITÉ 5 Les maths dans la vie Sur une route des Alpes Ces problèmes évoquent une randonnée représentée sur une carte routière et avec des informations à prendre sur des panneaux routiers. Ils se situent dans le contexte des distances, des altitudes et des durées. Les maths dans la vie Saint-Michelde-Maurienne Valloire 1 objectif : col du Galibier – Prendre des informations sur une carte col du Lautaret Réponses : Saint-Michel de Maurienne, Valloire, Le Monétier-les-Bains, La Salle -des-Alpes, Briançon. Le Monétierles-Bains La Salle-des-Alpes Briançon Vidéo L’histoire des Alpes hatier-clic.fr/CM1cap105 Sur une route des Alpes À vélo, Lorenzo se rend de SaintMichel-de-Maurienne à Briançon en empruntant la route marquée sur la carte. Il a prévu de passer par le col du Galibier, qui est l’un des 5 cols routiers les plus hauts des Alpes françaises. L’itinéraire de Lorenzo 2 objectifs : 1 – Choisir le document comportant les informations utiles – Lire et comprendre un panneau routier avec indications de distances – Additionner des distances Réponse : 70 km La réponse à cette question nécessite de comprendre que l'information est donnée par le panneau des distances et par la carte qui positionne le col du Galibier entre Saint-Michel de Maurienne et Briançon, puis d'interpréter correctement les indications du panneau. Le traitement de cette question peut être l'objet d'un travail collectif. Par quels villes ou villages marqués sur la carte va-t-il passer pendant son trajet ? 2 Quelle distance totale va-t-il parcourir ? Aide-toi de la photo qu’il a prise. 3 Il part à 7 h et fait un premier arrêt à Valloire pour prendre son petit-déjeuner. Quelle distance a-t-il déjà parcouru e? 4 En passant le col du Galibier, il se dit : « J’ai déjà parcouru la moitié de la distance totale ». A-t-il raison ? 5 En passant à Le Monétier-les-Bains, il remarque qu’il a déjà parcouru 56 km. Quelle est la distance entre Le Monétier-les-Bains et Briançon ? 6 Il arrive à Briançon à 13 h 30. Quelle a été la durée de son parcours entre Saint-Michel-de-Maurienne et Briançon ? 7 Il fait un calcul rapide et constate que pour arriver au col du Galibier, il a mis la moitié du temps total de son parcours. À quelle heure a-t-il passé le col du Galibier ? Petite pause méritée au col du Galibier ! ➜ Pour les problèmes 8 à 10, utilise les informations sur le col du Galibier et ce tableau. col Agnel La Bonette Iseran Restefond altitude 2 744 m 2 715 m 2 770 m 2 680 m 8 Écris les noms des 5 cols les plus hauts des Alpes françaises par ordre décroissant d’altitude. 9 Parmi ces 5 cols, quelle est la différence d’altitude entre le plus élevé et le moins élevé ? ★ 10 Le col du Galibier est plus haut que le col ★ du Lautaret de 584 m. Quelle est l’altitude du col du Lautaret ? 11 Le col du Raspaillon ne fait pas partie de ★★ 5 plus hauts cols mais il dépasse 2 510 m d’altitude. Si on additionne tous les chiffres de son altitude exprimée en mètres, on trouve 11. La somme du chiffre des milliers et de celui des unités est égale au chiffre des centaines. Quelle est l’altitude du col du Raspaillon ? UNITÉ 88 • quatre-vingt-huit 3 objectifs : 5 072-088-Unite 5.indd 88 – Prendre des informations sur différents documents (texte, panneaux, carte) – Résoudre des problèmes du champ additif (complément) Réponse : 17 km Pour répondre, les élèves peuvent se servir de la carte et des informations portées par les panneaux. La situation peut, à partie de là, être représentée par un schéma : St Michel de M Manuel p. 88 Valloire Galibier 18 km 35 km 24/01/2020 10:25 8 objectifs : – Prendre de l'information dans un tableau et sur un document (panneau) – Ranger des nombres par ordre décroissant Réponse : Iseran (2 770 m) – Agnel (2 744 m) – La Bonette (2 715 m) – Restefond (2 680 m) – Galibier (2 642 m) ★ 9 objectif : – Résoudre des problèmes du champ additif (différence) Réponse : 2 770 m – 2 642 m = 128 m ★ 4 objectif : – Utiliser la notion de moitié Réponse : oui car « il y a 35 km du Galibier à St Michel et du Galibier à Briançon » ou « 35 km c'est la moitié de 70 km ». 5 objectifs : – Prendre des informations sur différents documents (texte) – Résoudre des problèmes du champ additif (complément) Réponse : 14 km Pour répondre, les élèves peuvent utiliser le même type de schéma que pour la question 3. 6 objectifs : – Prendre des informations dans un texte – Résoudre des problèmes du champ additif (durée) Réponse : 6 h 30 7 objectifs : 10 objectif : – Résoudre des problèmes du champ additif (état dans une comparaison) Réponse : 2 642 m – 584 m = 2 058 m ★★ 11 objectif : – Résoudre un problème de recherche par déductions et, éventuellement, par essais ajustés Exemple de résolution par une suite de déductions La réponse est comprise entre 2 510 m et 2 642 m. Le chiffre des milliers est donc 2 et le chiffre des centaines est 5 ou 6 D'après la dernière information, le chiffre des unités est : – soit 3 et le nombre est de la forme 2 5 _ 3 – soit 4 et le nombre est de la forme 2 6 _ 4 En tenant compte du fait que la somme des chiffres est égale à 11, on obtient une seule réponse possible : 2 5 1 3 Réponse : 2 513 m – Résoudre des problèmes du champ additif (durée) – Résoudre un problème à étapes Réponse : durée du trajet St Michel – Galibier ➝ 6 h 30 min : 2 = 3 h 15 min Arrivée au Galibier ➝ 7 h + 3 h 15 min = 10 h 15 min 203 UNITÉ Toutes les ressources imprimables de l'unité : hatier-clic.fr/CM1capg06 Le DÉROULEMENT 6 LE CALCUL MENTAL Les 10 rituels de 15 minutes Problèmes Fraction d'une quantité n Nombres décimaux Écritures en lettres et en chiffres Fractions en demis et tiers Domaine multiplicatif n Calcul mental : automatismes Addition de nombres décimaux n Nombres en dixièmes Addition, soustraction de nombres entiers : valeur approchée Nombre de parts n Proportionnalité n guide p. 206 manuel p. 89 Estimation à la dizaine près Multiplication par 4 : calcul réfléchi Utilisation des propriétés de linéarité n Ateliers de calcul mental Calcul d'un produit, calcul d'un facteur guide p. 235 manuel p. 104 Le trait final / La course à 100 Décomposition sous forme de produits / Atteindre un nombre donné Les RÉVISIONS et APPRENTISSAGES RÉVISER APPRENDRE Apprentissage et entrainement guide p. 207 manuel p. 90 Problèmes Gestion de données guide p. 210 manuel p. 92 Problèmes – Fractions d'une quantité – Multiplication Proportionnalité (2) ex. 1 à 3 Le prix des cahiers – Utiliser des raisonnements qui s'appuient sur les propriétés de linéarité guide p. 207-208 manuel p. 90 Nombres et numération Fractions décimales : dixièmes Nombres décimaux – Différentes expressions d'un nombre – Écritures fractionnaires et à virgule ex. 4 à 9 guide p. 208 manuel p. 90-91 guide p. 213, 216 et 219 manuel p. 94, 96 et 98 Multiples – Résolution d'un problème relatif à la notion de multiple Calculs ex. 10 Des nombres cibles Problèmes de comparaison Les tours de Dubaï – Expressions « de plus », « de moins », « fois plus », « fois moins »… Division : nombre de parts Combien de rubans ? – Décomposition avec la soustraction et la multiplication – Utilisation de parenthèses – Recherche du nombre de parts égales ex. 15 Division : valeur d’une part Le partage des pépites – Recherche de la valeur de chaque part (partage équitable) guide p. 208 manuel p. 91 Grandeurs et mesures Durées en années, mois et semaines – Calcul d’une durée connaissant deux dates ou d’une date connaissant une date et une durée ex. 11 à 14 guide p. 209 cahier p. 37 Côtés parallèles dans un quadrilatère Espace et géométrie – Droites et côtés parallèles : reconnaissance 204 – Relations entre unités et conversions guide p. 227 cahier p. 38 Le cercle Une corde, la plus longue possible – Diamètre et rayon vus comme des segments hatier-clic.fr/CM1capecran06 Géométrie sur écran GéoTortue (6) : Figures complexes Je prépare mon bilan BILAN PROBLÈMES ex. 1 à 3 guide p. 223 manuel p. 100 Le mètre et ses multiples Calculer des distances manuel p. 102 Je fais le bilan cahier p. 41 manuel p. 103 Ateliers : Je résous à mon rythme n Problèmes du domaine multiplicatif manuel p. 105 cahier p. 41 Les maths dans la vie n Des assemblages de cubes manuel p. 106 ZOOM sur les APPRENTISSAGES PROBLÈMES PROPOSÉS Problèmes • Trouver le prix de plusieurs lots de cahiers Proportionnalité connaissant le prix d'un lot de 8 cahiers propriétés • Propriétés de linéarité additive et multiplicative résultats et procédures • Utiliser un raisonnement s'appuyant sur les propriétés de linéarité langage • … fois une quantité apprentissage 1 PROBLÈMES PROPOSÉS Calculs Problèmes de comparaison apprentissage 2 • Trouver des hauteurs de tours à partir d'indications relatives à leurs comparaisons propriétés • Équivalence entre : – complément et soustraction – recherche d'un facteur et division résultats et procédures • Utiliser les 4 opérations pour modéliser les types d'expressions de la colonne langage langage • Expressions du type : « de plus », « de moins », « fois plus », « fois moins »… UNITÉ PROBLÈMES PROPOSÉS • Déterminer le nombre de parts dans un partage Calculs en longueurs égales Dicision euclidienne • Déterminer la valeur de chaque part dans un problème de partage apprentissages 3 et 4 équitable PROBLÈMES PROPOSÉS Unités de longueur • Calculer des distances apprentissage 5 PROBLÈMES PROPOSÉS • Tracer une des plus grandes cordes Le cercle d’un cercle apprentissage 6 • Relation entre division euclidienne et approche d'un nombre par multiplication • Relation a = (b × q) + r avec r < b propriétés • Relation des différentes unités de longueur au mètre Grandeurs et mesures Espace et géométrie propriétés résultats et procédures • Calcul réfléchi de quotients et de restes • Procédures personnelles de résolution de problèmes • Un cercle est caractérisé par son centre et son rayon ou par son centre et son diamètre. • Rayon et diamètre désignent : – une longueur – un segment • Division avec reste • Division exacte (avec le symbole :) • Dividende, diviseur, quotient et reste résultats et procédures langage • Exprimer une longueur dans une autre unité (convertir) • Mètre, décamètre, hectomètre, kilomètre, résultats et procédures langage • Pour comparer ou calculer sur des longueurs, celles-ci doivent être exprimées dans la ou les mêmes unités propriétés 6 langage • Différencier rayon et diamètre et leurs deux acceptions • Décrire un cercle • Tracer un cercle à partir d’une description • Leurs abréviations : m, dam, hm et km • Cercle, rayon, diamètre, qui passe par ..., point sur le cercle, point du cercle 205 UNITÉ 6 Rituels de calcul mental Ces questions sont proposées oralement aux élèves qui répondent par écrit dans leur cahier. Les questions figurant dans le manuel (Mes rituels de calcul mental p. 89) viennent en complément et peuvent être utilisées soit en vue de préparer les moments collectifs, soit en vue d’un entrainement supplémentaire. Des ateliers sont également proposés dans le manuel (p. 104). Problèmes Fraction d'une quantité, nombre de parts, proportionnalité Formuler deux fois chaque énoncé. À l’issue de la résolution de chaque problème ou de l’ensemble des problèmes, exploiter les réponses des élèves : repérage des erreurs de calcul, formulation des procédures en montrant leur équivalence… Jour 4 a. 3,1 e. 1,3 Nombres dictés (à écrire sous forme décimale) b. 6,4 c. 0,7 d. 0,8 f. 12,2 g. 16,5 h. 20,2 ● ● Jour 1 Problèmes a. Théa a 40 images de footballeurs. Elle donne la moitié de ses images à son copain Fred. Combien lui reste-t-il d’images ? b. À la fin de la récréation, Louise n'a plus que 10 billes. C’est exactement la moitié du nombre de billes qu'elle avait au début de la récréation. Combien Louise avait-elle de billes au début de la récréation ? c. Après avoir acheté un livre, Antoine a 10 €. C'est le tiers de la somme qu’il avait avant l'achat du livre. Quelle somme Antoine avait-il avant d'acheter le livre ? MANUEL : a. 7,1 b. 7,2 c. 0,3 d. 0,9 e. 1,7 f. 10,5 g. 13,8 Nombres décimaux Addition (nombres en dixièmes) Jour 5 Calculs dictés (sous la forme 4 dixièmes plus 4 dixièmes, 1 et 7 dixièmes plus trois…) a. 0,4 + 0,4 b. 1,7 + 3 c. 3,4 + 0,2 d. 4,7 + 10,2 e. 0,6 + 0,4 f. 3,5 + 0,5 g. 3,1 + 1,9 h. 6,3 + 6,7 GUIDE : a. 0,8 b. 4,7 c. 3,6 d. 14,9 e. 1 f. 4 g. 5 h. 13 MANUEL : a. 0,8 b. 3,7 c. 2,8 d. 12,8 e. 1 f. 11 Valeur approchée Addition, soustraction Les calculs peuvent être écrits au tableau. Après avoir calculé une valeur approchée, les élèves peuvent être incités à calculer la valeur exacte soit mentalement, soit par écrit. ● GUIDE : a. 20 images b. 20 billes c. 30 € MANUEL : a. 30 images b. 30 billes c. 18 € Jour 2 Problèmes a. Jade a planté 60 salades. Elle a mis 10 salades par rangée. Combien a-t-elle planté de rangées de salades ? b. Le directeur de l’école dispose de 60 € pour acheter des dictionnaires. Un dictionnaire coûte 20 €. Combien de dictionnaires le directeur peut-il acheter ? c. Clément fabrique des oiseaux en origami. Il lui faut 5 minutes pour fabriquer un oiseau. Il travaille sans s’arrêter pendant 50 minutes. Combien a-t-il fabriqué d’oiseaux ? GUIDE : a. 6 rangées b. 3 dictionnaires c. 10 oiseaux. MANUEL : a. 4 rangées b. 3 dictionnaires c. 8 oiseaux. Jour 3 Problèmes Une boite de 6 oeufs coute 3 €. a. Milo doit acheter 12 œufs. Combien va-t-il payer ? b. Aya doit acheter 30 œufs. Combien va-t-elle payer ? c. Romy doit acheter 42 œufs. Combien va-t-elle payer ? GUIDE : a. 6 € b. 15 € c. 21 € MANUEL : a. 4 € b. 10 € c. 14 € Nombres décimaux Écriture en lettres et en chiffres (nombres en dixièmes) Le contrôle peut être fait après chaque nombre dicté. ● Dicter les nombres sous la forme « trois unités et un dixième ». ● 206 ● Jour 6 Donner le résultat approché à la dizaine près de : a. 69 + 23 b. 138 + 43 c. 242 + 97 d. 103 + 48 e. 398 + 199 f. 588 + 53 g. 268 + 35 h. 497 + 109 GUIDE : a. 90 b. 180 c. 340 d. 150 e. 600 f. 640 g. 300 h. 610 MANUEL : a. 90 b. 150 c. 200 d. 200 e. 280 f. 400 Jour 7 Donner le résultat approché à la dizaine près de : a. 63 – 29 b. 131 – 48 c. 239 – 102 d. 101 – 48 e. 398 – 199 f. 588 – 49 g. 162 – 59 h. 348 – 97 GUIDE : a. 30 b. 80 c. 140 d. 50 e. 200 f. 540 g. 100 h. 250 MANUEL : a. 50 b. 40 c. 50 d. 110 e. 90 f. 100 Multiplication par 4 Produits, recherche d'un facteur Les questions sont formulées sous la forme « 4 fois 7 ». ● Un inventaire des diverses procédures utilisées est fait pour chaque produit : – résultat mémorisé ; – règle des 0 : pour 4 × 10, 4 × 20 et 4 × 100 ; – doubler deux fois de suite : par exemple pour 4 × 15 ; – décomposer le nombre à multiplier : par exemple pour 4 fois 22, c’est 4 fois 20 et 4 fois 2 ; ou pour 4 fois 15, c’est 4 fois 10 plus 4 fois 5. ● Pour les questions du type « Combien y a-t-il de fois 4 dans 32 ? », les mêmes types de procédures peuvent être utilisées. ● c. 4 × 12 g. 4 × 40 d. 4 × 15 h. 4 × 25 Jour 10 Combien y a-t-il de fois 4 dans : a. 20 ? b. 4 000 ? c. 0 ? e. 44 ? f. 88 ? g. 408 ? a. 32 b. 40 c. 48 d. 60 e. 80 f. 56 g. 160 h. 100 MANUEL : a. 36 b. 800 c. 44 d. 84 e. 140 f. 52 g. 600 h. 1 000 GUIDE : Jour 9 Calculs dictés a. 4 × 6 b. 4 × 80 e. 4 × 29 f. 4 × 105 r a. 24 b. 320 c. 76 d. 804 e. 116 f. 420 g. 424 h. 840 MANUEL : a. 28 b. 280 c. 72 d. 404 e. 220 f. 816 GUIDE : Jour 8 Calculs dictés a. 4 × 8 b. 4 × 10 e. 4 × 20 f. 4 × 14 d. 80 ? h. 92 ? GUIDE : a. 5 b. 1 000 c. 0 d. 20 e. 11 f. 22 g. 102 h. 23 MANUEL : a. 100 b. 12 c. 25 d. 15 e. 21 f. 103 c. 4 × 19 g. 4 × 106 d. 4 × 201 h. 4 × 210 Voir aussi Ateliers de calcul mental (p. 104) Révisions Ces exercices de révision sont destinés à raviver des connaissances et des compétences travaillées dans les unités précédentes ou à entretenir celles qui sont travaillées dans cette unité. UNITÉ Je révise lors des activités d'apprentissage Ils sont à proposer aux élèves en fonction de leurs besoins particuliers 6 identifiés ou au moment des bilans, en classe entière ou en ateliers différenciés et, éventuellement préparés à la maison. Ils sont conçus pour une durée quotidienne d'environ 15 min. UNITÉ ® Ces exercices de reprise d’apprentissage sont à répartir sur l’unité. Manuel p. 90-91 UNITÉ Je révise Problèmes 6 ® Ces exercices de reprise d’apprentissage sont à répartir sur l’unité. PROBLÈMES NOMBRES DÉCIMAUX 1 Tom doit faire 840 mètres pour aller de chez lui à l’école. La distance que doit parcourir Romy est le double de celle de Tom. La distance parcourue par Milo est la moitié de celle de Tom. Quelles sont les distances parcourues par Romy et Milo ? 7 Aya dit : « Le dernier livre que j’ai lu avait 68 pages. » Milo répond : « Le mien en avait le double du double du tien. » Tom ajoute : « Le mien en avait la moitié du double de celui d’Aya. » Combien de pages avaient les livres de Milo et de Tom ? 8 Écris sous la forme d’un nombre à virgule. 2 3 Complète ces énoncés de problèmes. Tu dois ensuite répondre en calculant 12 × 7. Effectue le calcul et rédige les réponses. a. Un cycliste fait plusieurs fois le tour d’un circuit... b. Un kangourou se déplace en faisant des bonds réguliers… un nombre à et virgule qui correspond –Écris Doubles moitiés à chaque repère A, B, et C. – 4Sens de la5 multiplication A ( )( FRACTIONS DÉCIMALES : DIXIÈMES MULTIPLES 4 Écris une fraction qui correspond 10 L’ogre poursuit le Petit Poucet sur un à chaque repère A, B, et C. EXERCICE 1 2 3 ) chemin où les distances en mètres sont écrites sur des panneaux, depuis le départ 0. Le Petit Poucet est parti loin devant alors que l’ogre est toujours au départ. Le Petit Poucet sait que l’ogre fait de grandes enjambées de 6 mètres. C’est l’occasion de revoir les notions de double et moitié. A 5 B C Écris sous la forme d’une seule fraction : a. 4 + 9 c. 12 + 3 10 10 b. deux dixièmes, une unité, trois dizaines Réponses : Romy : 1 680 m et Milo : 420 m 6 Écris chaque fraction sous la forme d’un nombre entier ou de2 la somme EXERCICE d’un nombre entier et d’une fraction plus petite que 1. a. 57 10 450 c. 10 Il décide de placer des pièges sur le chemin pour arrêter l’ogre. Entre 80 et 100, où doit-il placer ses pièges pour être sûr d’arrêter l’ogre ? quatre-vingt-dix 089-106-Unite 6.indd 90 7 Tom doit faire 840 mètres pour aller de chez lui à l’école. La distance que doit parcourir Romy est le double de celle de Tom. La distance parcourue par Milo est la moitié de celle de Tom. Quelles sont les distances parcourues par Romy et Milo ? 23/01/2020 18:41 Réponses : Milo : 272 pages et Tom : 68 pages EXERCICE 3 L’objectif est à la fois d’assurer une meilleure maitrise de ce qu’est un énoncé de problème (lien entre informations et question) et de revenir sur certaines significations de la multiplication (12 × 7 correspond, par exemple, aussi bien à 12 bonds de 7 mètres qu’à 7 bonds de 12 mètres). 6 Écris un nombre à virgule qui correspond à chaque repère A, B, et C. 4 5 A B C Réponses (exemples) : a. 12 tours de 7 km chacun ; 7 tours 2 Aya dit : « Le dernier livre que j’ai lu avait 8 Écris sous la forme d’un nombre à virgule. 7 68 pages. » Milo répond : « Le mien en avait 12c. (km ; 7 tours en a. 2 + de 2 + 7 chacun + 10 + 4 le double du double du tien. » Tom ajoute : 10 10 ) ( 10 ) « Le mien en avait la moitié du double de 4 minutes chacun… 12 b. 10 + celui d’Aya. » Combien de pages avaient 10 les livres de Milo et de Tom ? b. sous 12la bonds de à7virgule. m chacun, 9 Écris forme d’un nombre 3 Complète ces énoncés de problèmes. Tu a. 34 10 7 bonds de 12 m chacun… dois ensuite répondre en calculant 12 × 7. 849 Effectue le calcul et rédige les réponses. a. Un cycliste fait plusieurs fois le tour d’un circuit... b. Un kangourou se déplace en faisant des bonds réguliers… Fractions décimales b. 10 c. 849 − 34 10 10 Dixièmes FRACTIONS DÉCIMALES : DIXIÈMES MULTIPLES 4 Écris une fraction qui correspond 10 L’ogre poursuit le Petit Poucet sur un à chaque repère A, B, et C. 2 3 A 5 B C Écris sous la forme d’une seule fraction : a. 4 + 9 c. 12 + 3 10 10 b. deux dixièmes, une unité, trois dizaines –chemin Placement sur une ligne graduée où les distances en mètres sont écrites sur des panneaux, depuis le départ –0Égalité entre expressions fractionnaires . Le Petit Poucet est parti loin devant alors l’ogre est toujours au départ. –que Décomposition en partie entière Le Petit Poucet sait que l’ogre fait de grandes enjambées de 6 mètres. et partie décimale 6 Écris chaque fraction sous la forme Il décide de placer des pièges sur le chemin pour arrêter l’ogre. Entre 80 et 100, où doit-il placer ses pièges pour être sûr d’arrêter l’ogre ? d’un nombre entier ou de la somme d’un nombre entier et d’une fraction plus petite que 1. 57 608 450 b. c. a. 10 10 10 90 • quatre-vingt-dix EXERCICE 4 23/01/2020 18:41 089-106-Unite 6.indd 90 Il est un peu plus complexe que l’exercice 1, puisqu’il faut décrypter des formulations comme « double du double », 90 • ou « moitié du double » qui se traduit finalement par l’égalité. b. 608 10 NOMBRES DÉCIMAUX 1 C 7 c. 2 + 7 + 10 + 4 10 10 10 b. 10 + 4 10 Écris sous la forme d’un nombre à virgule. a. 34 10 b. 849 10 c. 849 − 34 10 10 a. 2 + 9 B PROBLÈMES Les élèves doivent repérer que la ligne est graduée en dixièmes et qu’elle ne démarre pas à l’origine. Réponses : A ➝ 24 10 EXERCICES 5 6 B➝ 34 10 C➝ 38 10 Pour répondre aux questions, on peut utiliser les relations entre unités de numération : 1 dizaine = 10 unités, 1 unité = 10 dixièmes, ou utiliser le tableau de numération. Réponses : 49 10 b. 6 a. 5 + 7 10 5 a. 312 10 123 10 8 b. 60 + c. 45 10 c. 207 Dixièmes Ce travail vient en prolongement de tout ce qui a été vu dans les unités précédentes sur les problèmes de durée. L’objectif est toujours d’amener l’élève à construire et utiliser des procédures personnelles. Les exercices sont résolus successivement. Un temps collectif a lieu après chaque exercice Nombres décimaux ® Ces exercices de reprise d’apprentissage sont à répartir sur l’unité. NOMBRES DÉCIMAUX 7 – Placement sur une ligne graduée – Égalité entre expressions fractionnaires et écritures à virgule Écris un nombre à virgule qui correspond à chaque repère A, B, et C. 4 5 Quelles sont les distances A B C 8 Écris sous la forme d’un nombre à virgule. ( )( : 9 × 7. ) 7 + 10 + 4 a. 2 + 7 c. 2 + 10 10 10 b. 10 + 4 10 Écris sous la forme d’un nombre à virgule. a. 34 10 849 b. 10 849 − 34 c. 10 10 EXERCICE 11 Il s’agit ici d’utiliser le fait qu’une semaine est une durée égale à 7 jours consécutifs. ● Les élèves peuvent prendre appui sur le calendrier semestriel fourni, puis doivent, dans la question c., imaginer le début de celui du semestre suivant. ● ® Ces exercices de reprise d’apprentissage sont à répartir sur l’unité. MULTIPLESDÉCIMAUX NOMBRES 7 8 EXERCICES chemin oùrepère les distances à chaque A, B, eten C.mètres sont 10 poursuit le àPetit Poucet un 7 L’ogre Écris un nombre virgule qui sur correspond 3 Quelles sont les distances B C Le lien entre écritu
