présentation synthétique

RAPPORT SUR LES TRAVAUX EFFECTUÉS
VINCENT PECASTAING
Mes recherches portent sur les dynamiques de groupes de Lie sur des structures géométriques
rigides. Mes travaux se sont jusqu’à maintenant principalement concentrés sur des problèmes de
géométrie conforme lorentzienne, notamment sur une généralisation d’une conjecture de Lich-
nerowicz. Un de mes résultats à ce sujet s’appuie sur la théorie générale des isométries locales
des structures A-rigides de Gromov. Je me suis également intéressé à certains résultats de cette
théorie dans le cadre des géométries de Cartan.
Table des matières
1. Thématiques générales 1
2. Structure du groupe conforme d’une variété lorentzienne compacte 2
3. Géométrie et dynamique des actions conformes de groupes de Lie 5
4. Généralisations pseudo-riemanniennes 7
5. Orbites des automorphismes locaux des géométries de Cartan 8
Références 10
1. Thématiques générales
Soit (M, g)une variété pseudo-riemannienne. Une autre métrique g0sur Mest dite conforme
àgs’il existe ϕ∈ C∞(M),ϕ > 0, telle que g0=ϕg. On note [g] = {g0, g0conforme à g}la classe
conforme de g. Si f: (M, g)→(N, h)est un difféomorphisme local, on dit que fest conforme si
f∗hest conforme à g. On note Conf(M, g)le groupe des difféomorphismes conformes de (M, g).
Lorsque Mest de dimension au moins 3, ce groupe admet une unique structure différentielle qui
en fait un groupe de Lie agissant différentiablement sur M. C’est une manifestation de la rigidité
des structures conformes en dimension au moins 3.
Les principaux problèmes sur lesquels ma thèse et mes travaux récents ont porté se formulent
comme suit.
Question 1. Quels groupes de Lie peuvent agir conformément sur une variété lorentzienne
compacte ? Ou encore plus finement : est-il possible de classer les groupes de Lie de la forme
Conf(M, g), où (Mn, g),n>3, est une variété lorentzienne compacte ?
Question 2. Lorsque l’on sait qu’un groupe donné peut agir, peut-on décrire la géométrie des
variétés sur lesquelles il agit ? et que peut-on dire de sa dynamique ?
Ces questions sont closes en signature définies positives depuis les années 1970 (voir §3),
d’où l’intérêt porté au cas lorentzien. Je m’intéresse également aux questions analogues en toute
signature (p, q), et mes recherches s’ouvrent naturellement vers d’autres types de structures
géométriques en lien avec la géométrie pseudo-riemannienne.
Date: 14 mars 2017.
1

RAPPORT SUR LES TRAVAUX EFFECTUÉS 2
Ces problématiques s’inscrivent dans le cadre de la description des actions différentiables
G→Diff(M)de groupes de Lie sur des variétés compactes. Traditionnellement, on aborde ce
problème en supposant que Gpréserve une donnée géométrique sur M, telle qu’un tenseur mé-
trique, une connexion linéaire ou encore une forme symplectique. L’idée est qu’en étudiant cette
problématique avec un spectre large de structures géométriques, on parvient à une description
de plus en plus détaillée des actions supposées seulement différentiables.
Mon travail se place ainsi dans la situation où Gpréserve une classe conforme de métriques
pseudo-riemanniennes. Ce choix est en outre motivé par le fait que ces dernières sont de bons
exemples de structures paraboliques, le problème décrit ci-dessus étant encore très ouvert pour
ce type de structures (j’y reviens dans le programme de projet de recherche).
2. Structure du groupe conforme d’une variété lorentzienne compacte
Un des principaux objectifs de ma thèse était d’obtenir une classification des groupes conformes
des variétés lorentziennes compactes. La motivation était d’étendre au groupe conforme un ré-
sultat dû à Adams, Stuck [AS97a,AS97b] et - indépendamment - Zeghib [Zeg98] qui classe à
isomorphisme local près les possibilités pour la composante neutre Isom(M, g)0du groupe des
isométries d’une variété lorentzienne compacte.
2.1. Motivations : Groupes d’isométries et théorème d’Adams-Stuck-Zeghib. Rappe-
lons que par le théorème d’Ascoli, les isométries d’une variété riemannienne compacte forment
un groupe de Lie compact. En dehors du cadre défini positif, on perd la donnée d’une distance
invariante. Néanmoins, que la métrique soit riemannienne ou non, son groupe d’isométries pré-
serve sa connexion de Levi-Civita. C’est ce qui rigidifie la situation. Qui plus est, si un groupe
agit par isométries sur une variété pseudo-riemannienne (M, g), alors il préserve le volume dvolg,
donc une mesure finie de support total si Mest compacte. On parle de structure unimodulaire.
On se retrouve notamment dans le champ d’action de travaux fondateurs de Zimmer dans les
années 1980 sur les actions mesurées de groupes de Lie semi-simples sur des G-structures (voir
[Zim86b,Zim84a] notamment). En géométrie lorentzienne, ils conduisirent notamment au :
Théorème d’Adams-Stuck-Zeghib. A isomorphisme local près, Isom(M, g)0est de la forme
S×K×Rk, où Kest un groupe de Lie semi-simple compact, et si non trivial, Sest localement
isomorphe à SL(2,R), à un groupe de Heisenberg Heis(2d+ 1),d>1, ou encore à un groupe de
Heisenberg tordu,i.e. un produit semi-direct résoluble bien choisi de la forme S1nHeis(2d+ 1).
Quelques exemples. Si Γ<SL(2,R)est un réseau cocompact, alors la métrique de Killing
de SL(2,R)induit une métrique lorentzienne invariant à gauche sur SL(2,R)/Γ. Par le même
procédé, lorsque G=S1nHeis(2d+1) est un groupe de Heisenberg tordu, on peut construire une
métrique lorentzienne invariante à gauche sur des quotients compacts G/Γ, et on peut déformer
cette métrique pour la rendre seulement Heis(2d+ 1)-invariante.
Il est à l’heure actuelle encore difficile d’étudier les dynamiques lorentziennes de groupes dis-
crets. Néanmoins, on peut considérer qu’on est parvenu à un degré satisfaisant de compréhension
des groupes d’isométries des variétés lorentziennes compactes, et on aimerait un résultat analogue
pour leurs groupes conformes. Les groupes d’isométries étant classés, on prend la
Définition 1. Soit G < Conf(M, g)un groupe de Lie agissant conformément sur une variété
pseudo-riemannienne. On dit que Gest inessentiel s’il existe g0∈[g]telle que G < Isom(M, g0).
Sinon, Gest dit essentiel.
Notons que tout groupe compact est inessentiel : il suffit de moyenner avec sa mesure de Haar
pour trouver une métrique invariante dans la classe conforme.

RAPPORT SUR LES TRAVAUX EFFECTUÉS 3
2.2. Groupes conformes essentiels : État de l’art.
Des exemples. Considérons l’espace de Minkowski privé de son origine R1,n−1\ {0}. Le groupe
généré par une homothétie non triviale, disons <2 id >, agit librement proprement discontinû-
ment et conformément, et nous obtenons au quotient une variété difféomorphe à Sn−1×S1munie
d’une classe conforme lorentzienne, dite variété de Hopf. Comme CO(1, n−1) agit conformément
sur le revêtement en normalisant <2 id >, nous obtenons au quotient une action conforme de
S1×O(1, n −1) sur cette variété.
Dans RPn+1, considérons le projectivisé du cône isotrope épointé de R2,n. C’est une quadrique
lisse difféomorphe à (S1×Sn−1)/Z2et on vérifie que la forme quadratique de R2,n y induit une
classe conforme lorentzienne. Il s’agit de l’Univers d’Einstein lorentzien, noté Ein1,n−1. Il est
par construction muni d’une action conforme transitive de PO(2, n). Il s’agit en fait de l’espace
modèle de la géométrie conforme lorentzienne, cf §5.1. Cette construction se généralise en toute
signature (p, q), où l’on dispose d’un Univers d’Einstein Einp,q, doublement revêtu par Sp×Sq,
dont le groupe conforme est PO(p+ 1, q + 1).
Dans un registre plus élaboré, en quotientant un ouvert strict de Ein1,n−1par des « groupes
de Schottky lorentziens », Frances construit dans [Fra05], pour chaque g>2, une infinité de
structures conformes lorentziennes sur S1×(S1×Sn−2)(g−1)]dont le groupe conforme est essentiel
et localement isomorphe à SL(2,R)×SO(n−1).
Travaux antérieurs en rang maximal. Dans [Zim87], Zimmer s’intéresse à des actions de
groupes de Lie semi-simples sur des structures géométriques compactes non-unimodulaire, ne
préservant a priori pas de mesure finie. Il formule des restrictions sur le groupe en considérant la
dynamique de certains sous-groupes moyennables - qui préservent automatiquement une mesure
finie par compacité.
En géométrie conforme, ses conclusions deviennent : Si un groupe de Lie Gsemi-simple sans
facteur compact agit conformément sur (M, g)pseudo-riemannienne compacte de signature (p, q),
p6q, alors RgR(G)6p+1. Cette borne est optimale puisque l’on dispose de l’Univers d’Einstein
de même signature. Bader et Nevo prouvent alors dans [BN02] que lorsque Gest simple et
de rang maximal, alors il est localement isomorphe à SO(p+ 1, k + 1),p6k6q. Enfin,
Frances et Zeghib complètent ce travail en prouvant dans [FZ05] que dans le même contexte,
alors la variété elle-même doit être un quotient du revêtement universel de Einp,q par un groupe
discret monogène. On pourra consulter [BFM09] pour des généralisations de ces observations aux
géométries paraboliques.
Groupes nilpotents d’indice maximal. Dans [FM10], Frances et Melnick étendent ces ré-
sultats au cas nilpotent. Ils prouvent que si Nest un groupe de Lie nilpotent connexe agissant
conformément sur (M, g)compacte de signature (p, q), alors il est d’indice de nilpotence au plus
2 min(p, q)+1. Si la borne est atteinte, alors (M, g)est conforme à un quotient du revêtement
universel de Einp,q par un groupe monogène.
2.3. Groupes conformes lorentziens : Contributions.
Actions conformes de groupes simples de rang 1.L’objet du début de ma thèse a été de
compléter la description de Bader et Nevo en signature lorentzienne. J’obtiens :
Théorème 1. Soit Gun groupe de Lie semi-simple sans facteur compact. Si Gagit conformé-
ment sur une variété lorentzienne compacte de dimension n>3, alors il se plonge localement
dans SO(2, n). Autrement dit, il est localement isomorphe à
—SO(1, k),26k6n;
—SU(1, k),26k6n/2;
—SO(2, k),36k6n;

RAPPORT SUR LES TRAVAUX EFFECTUÉS 4
—SO(1, k)×SO(1, k0),k, k0>2,k+k06max(n, 4).
Ce travail a fait l’objet de l’article [Pec15b], qui sera finalement incorporé dans [Pec17]. Il
s’agissait essentiellement de déterminer parmi les groupes de rang 1ceux qui peuvent agir sur
une variété lorentzienne compacte.
Idées de preuve. À isomorphisme local près, les groupes de rang 1sont SO(1, k),SU(1, k),
Sp(1, k),k>2, et le groupe exceptionnel F−20
4. L’approche de [Pec15b] consiste à utiliser le ré-
sultat principal de [BFM09] pour construire - en quelque sorte - un plongement de sous-algèbres
nilpotentes bien choisies de gdans so(2, n), ce qui exclut d’office Sp(1, k)et F−20
4. Lorsque
SO(1, k)ou SU(1, k)agissent, je caractérise certaines orbites singulières dans la variété, ce qui
donne une borne sur k. Par exemple, je montre que si G= SO(1, k),k>4, alors Mcontient un
point fixe de G, ou une sphère riemannienne Sk−1ou un fibré en cercles ou en droites au-dessus
de Sk−1. Dans tous les cas, on déduit n>k.
Comme on le verra plus loin, mes travaux sur les aspects géométriques des dynamiques
conformes ([Pec16a]) impliquent ce résultat. Néanmoins, l’approche de [Pec15b] reste intéres-
sante car elle est directe, et permet d’avoir des résultats analogues dans d’autres signatures,
voire d’autres géométries paraboliques (cf §4), alors qu’un résultat analogue à [Pec16a] semble
encore difficile d’accès dans d’autres signatures.
Décomposition de Levi du groupe conforme. Soit G= Conf(Mn, g)0la composante neutre
du groupe conforme d’une variété lorentzienne compacte de dimension n>3. Une fois que l’on
sait décrire les groupes semi-simples qui peuvent se plonger dans G, il est naturel de s’intéresser à
la même problématique mais avec des groupes résolubles. En effet, on dispose d’une décomposition
de Levi g'snrad(g), où sest une sous-algèbre semi-simple de get rad(g)son radical résoluble.
Si l’on peut caractériser les actions conformes de groupes résolubles, on peut espérer pouvoir
reconstruire ainsi les algèbres de Lie des groupes conformes.
Actions conformes de groupes nilpotents. Dans ma thèse, je me suis intéressé au cas des
groupes nilpotents. De façon analogue au cas semi-simple, j’ai complété le résultat de [FM10] en
signature lorentzienne pour finalement obtenir ([Pec14] Ch. 7) :
Théorème 2. Soient (Mn, g),n>3, une variété lorentzienne compacte, et Nun groupe de Lie
connexe, nilpotent et non abélien. Si Nagit fidèlement et conformément sur (M, g), alors il se
plonge localement dans SO(2, n). De plus, si Nest essentiel, alors gest conformément plate sur
un ouvert non-vide de M.
Rappelons qu’une métrique gest dite conformément plate si tout point admet un voisinage
Vtel que g|Vest conforme à une métrique plate sur V. Notamment, tous les exemples du §2.2
sont conformément plats. Par un théorème de Liouville, si gest une algèbre de Lie de champs
de vecteurs conformes sur un ouvert conformément plat, alors gse plonge dans so(p+ 1, q + 1).
Idées de preuve. Le résultat de Frances et Melnick caractérise les groupes nilpotents d’indice
(maximal) 3. Il fallait donc s’intéresser à ceux d’indice 2. Pour tout Z∈[n,n]\{0}, je prouve que
Nest inessentiel si et seulement si le champ de vecteurs conforme associé à Zne s’annule pas.
Dans cette situation, par le théorème d’Adams-Stuck-Zeghib, N'loc Heis(2d+ 1) ×Rk, que l’on
peut explicitement plonger dans SO(2, n). Dans le cas contraire, en analysant la dynamique de
Zau voisinage de ses singularités et en utilisant des résultats antérieurs, je prouve qu’un ouvert
de Mest conformément plat, ce qui fournit le plongement voulu. 
Lorsque Nest abélien, de dimension au moins 2, j’ai pu récemment vérifier qu’il agit localement
librement sur un ouvert dense de la variété. Ceci implique en particulier dim N6dim M. On
vérifie alors que toutes les situations se produisent sur Ein1,n−1.

RAPPORT SUR LES TRAVAUX EFFECTUÉS 5
L’existence d’un ouvert conformément plat dans le cas essentiel a des conséquences intéres-
santes. Soient G= Conf(M, g)0et N(G)<Rad(G)son nilradical. Supposons N(G)non abélien.
J’ai récemment prouvé que Gest essentiel si et seulement si N(G)est essentiel. Autrement dit,
si N(G)fixe une métrique dans la classe conforme, alors il en va de même pour G. Ainsi,
•soit Gest inessentiel, et par le théorème d’Adams-Stuck-Zeghib G'loc S×K×Rkavec
Sun groupe de Heisenberg ou un groupe de Heisenberg tordu ;
•soit N(G)est essentiel, et alors Gse plonge localement dans SO(2, n).
3. Géométrie et dynamique des actions conformes de groupes de Lie
Soit (Mn, g),n>3, une variété lorentzienne compacte. Les résultats précédents suggèrent
que si son groupe conforme est essentiel, alors à isomorphisme local près, il apparaît également
dans le groupe conforme de Ein1,n−1. Il est alors naturel de se demander si en fait la géométrie
conforme de (M, g)est reliée à celle de Ein1,n−1.
Le théorème de Ferrand-Obata. L’idée selon laquelle la géométrie d’une variété pseudo-
riemannienne est prescrite par son groupe conforme est illustrée en signature riemannienne par
un très beau théorème de Ferrand et Obata [Fer71,Fer96,Oba71]. Ce résultat, motivé par une
conjecture de Lichnerowicz, dit qu’une variété riemannienne (Mn, g)ayant un groupe conforme
essentiel est conforme à la sphère Snou l’espace euclidien En. En signature définie positive,
supposer Conf(M, g)essentiel revient à supposer qu’il agit non proprement sur M. Ce résultat
nous dit donc que certaines dynamiques conformes ont des conséquences sur la géométrie.
Conjecture de Lichnerowicz généralisée. Lorsque la métrique n’est pas définie positive,
la diversité - notamment au niveau topologique - des exemples exhibés par Frances [Fra05]
(voir §2.2) montre qu’il n’est pas raisonnable d’espérer une classification des variétés pseudo-
riemanniennes dont le groupe conforme est essentiel. Néanmoins, en signature lorentzienne, tous
les exemples essentiels compacts que l’on sait produire sont conformément plats. C’est ce qui
motive la
Conjecture 1. Si une variété lorentzienne compacte (M, g)admet un groupe conforme essentiel,
alors gest conformément plate.
On retrouve cette conjecture dans la littérature sous l’appellation conjecture de Lichnerowicz
généralisée. Citons [Ale85] où Alekseevsky donne notamment des métriques non-conformément
plates sur Rnadmettant un flot conforme essentiel (voir également [KR95,KR97,Fra15] dans
d’autres signatures).
Comme expliqué précédemment, j’ai partiellement confirmé cette conjecture lorsque Conf(M, g)0
a un nilradical non abélien car il existe toujours un ouvert conformément plat. En particulier, si
(M, g)est analytique, gest bien conformément plate.
Preuve de la conjecture dans le cas semi-simple. Mon résultat le plus important a été
de démontrer la conjecture précédente dans le cas où la variété admet une action conforme d’un
groupe de Lie semi-simple.
Rappelons qu’en rang 2(maximal possible), la variété doit être un quotient de
g
Ein1,n−1.
Ma contribution se situe donc au niveau des actions de groupes de rang 1, et spécialement des
"plus petits", i.e. PSL(2,R)et ses revêtements, c’est à dire lorsque l’hypothèse est la plus faible
possible. On obtient alors beaucoup d’exemples, comme on peut le voir sur les exemples du
§2.2 : tous admettent des actions conformes essentielles de SL(2,R). Ceci laisse peu d’espoir
pour décrire la géométrie globale même lorsqu’un groupe semi-simple agit essentiellement.
Le théorème ci-dessous a d’abord été démontré dans ma thèse dans le cas où (M, g)est
analytique, et a fait l’objet de la publication [Pec15a]. C’est durant ma première année de postdoc