Cours de Cristallographie: Calcul dans les Réseaux et Groupes Ponctuels

COURS DE CRISTALLOGRAPHIE
1ère partie :
Calcul dans les Réseaux et Groupes Ponctuels
Claude LECOMTE

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PREMIERE PARTIE
CRISTALLOGRAPHIE GEOMETRIQUE
Cette première partie se divise en cinq chapitres :
• Le chapitre 1 donne quelques généralités sur l'état cristallin.
• Le chapitre 2 est consacré aux calculs dans les réseaux : métrique d'un réseau,
produit scalaire, produit vectoriel, volume de maille, plan réticulaire, réseau
réciproque et changement de repère.
• Le chapitre 3 traite de la symétrie d'orientation associée à ces différents
réseaux. Nous démontrerons l'existence de 32 groupes de symétrie ponctuels
(symétrie macroscopique).
• Le chapitre 4 démontre l'existence des 14 modes de réseau de Bravais.
• Le cinquième chapitre décrit le cristal microscopique en tenant compte des
propriétés, des opérations, translations et rotations compatibles avec le réseau :
la symétrie de position. Les groupes d'atomes (unité asymétrique) du cristal se
répètent identiques à eux-mêmes par le jeu de nouveaux opérateurs de
symétrie, dite de position, produits d'opération rotation et translation.
• Le sixième chapitre est une introduction à l'étude des cristaux imparfaits,
cristaux incommensurables et quasi-cristaux.
CHAPITRE 1 : GENERALITES SUR L'ETAT CRISTALLIN
I- FACES NATURELLES D'UN CRISTAL, ELEMENTS DE SYMETRIE ET FORMES
CRISTALLINES
La figure I.1 représente un cristal d'olivine idéalisé : celui-ci possède un certain nombre
de faces naturelles que l'on peut grouper en familles ou formes cristallines : ainsi, certaines
faces telles que la facette (1) se retrouvent, huit fois identiques à elles-mêmes sur le cristal ;
ces faces se déduisent les unes des autres par des opérations de symétrie, appelées opérations
de symétrie ponctuelles. Ainsi, (1') se déduit de (1) par une opération dite miroir (m1), (1") de
(1) par le miroir m2..., (1"') par une opération de symétrie binaire, rotation de 180° autour de
l'axe A2... Si nous dénombrions le nombre d'opérations de symétrie existant pour décrire la
morphologie du cristal, nous en trouverions huit, dont l'opérateur identité, permettant à la face
(1) de se retrouver 8 fois identique à elle-même. Remarquons que certaines faces dont les
normales, issues du centre du cristal, sont confondues avec un axe binaire ou appartiennent à
un miroir, ne sont pas répétées par ces opérateurs : ainsi, (2) ayant sa normale dans le miroir,
n'est reproduite que quatre fois pour donner une forme appelée prisme, tandis que (3) ou (4)
dont les normales sont confondues avec des axes binaires, qui comme nous pouvons le
remarquer sont l'intersection de deux miroirs, ne se reproduisent que deux fois : cette forme
est appelée pinacoïde. L'existence et la multiplicité des formes cristallines est liée à la
symétrie du cristal. La morphologie est la première propriété physique du cristal liée à la
symétrie.

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m
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Figure 1.1 : Habitus d'un cristal d'olivine ; les éléments de symétrie miroir m1, m2, m3 et
axes binaires ( −−−−−−− ) sont représentés sur la figure.
Par ailleurs, un autre cristal d'olivine, cristallisé dans des conditions presque identiques,
peut avoir un développement de faces différent. Cependant, on retrouvera toujours les mêmes
angles entre normales aux faces ; ces angles se mesurent à l'aide d'un goniomètre optique
(voir Annexe 1). Il en résulte que si on trace à partir du centre du cristal l'ensemble des
normales aux faces, les directions de ce faisceau de droites forment un invariant (Romé de
l'Isle, 1722). Cette observation démontre le caractère anisotrope du cristal, les directions des
normales étant des directions privilégiées.
II- REPRESENTATION GEOMETRIQUE D'UN CRISTAL : PROJECTION STEREOGRAPHIQUE
1. Projection sphérique
On représente le cristal par un faisceau de normales aux faces naturelles dont l'origine
commune est le centre du cristal (figure 1.2(a)).
(a)

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(b)
Figure 1.2(a) : Faisceau de normales aux faces d'un cristal (b) Projection sphérique d'un
cristal
Plaçons alors le cristal au centre d'une sphère de rayon r quelconque et appelons A, B,
C...F les intersections des normales aux faces du cristal avec la sphère. Ces points sont
appelés projections sphériques des normales.
2. Définition de la projection stéréographique
La projection sphérique du cristal est une représentation tridimentionnelle donc
compliquée à mettre en oeuvre ; il est préférable d'utiliser une représentation à deux
dimensions conservant les relations angulaires existant entre les normales ; c'est la projection
stéréographique, représentation déjà connue par les grecs au deuxième siècle avant J.C. et
utilisée en cristallographie au XIXe siècle par Neumann et Miller. La figure 1.3 donne le
principe de cette projection : le cristal est centré en O, centre de la sphère. Appelons N et S
respectivement les pôles nord et sud et considérons une normale P
→ issue du centre O et
interceptant la sphère en P dans l'hemisphère nord : le point P est la projection sphérique de
P
→. Relions P appartenant à l'hemisphère nord au pôle sud S. La droite PS coupe le plan
équatorial π en p, projection stéréographique de P. Ainsi, comme l'indique la figure I4, un
faisceau de normales interceptant l'hemisphère nord en A, B, C...F aura pour projection
stéréographique les points a, b, c...f.