Division et Factorisation de Polynômes : Méthodes et Exercices d'Algèbre

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d [ f(x) ] = 4 d [ q(x) ] = 4 1 = 3
d [ g(x) ] = 1
q(x) = 3x3 + 6x2 + 13x + 28
r(x) = 54
 Déterminons le quotient et le reste de la division du polynôme –2t3 – 9t2 + 5 par t + 3
ou t – (–3).
–2 –9 0 + 5 q(t) = –2t2 – 3t + 9
–3 6 9 –27 r(t) = –22
–2 –3 9 –22
 Le quotient et le reste de la division de
3
23
xx + 16
3+ 4
par
x + 2
3
3
2
0
16
3
4 q(x) =
3
2
x2 – x + 6
2
3
–1
2
3
–4 r(x) = 0
3
2
–1 6 0
Remarque
Le quotient de la division du polynôme f(x) par ax – b ou a
x  b
a
est égal au quotient
de la division de f(x) par
x  b
a
divisé par a.
Le reste est f
b
a
.
 Le quotient et le reste de la division de f(x) = 3x3 + 4x2 + x – 2 par g(x) = 3x + 2
3 4 1 –2
2
3
–2
4
3
2
9
3 2
1
3
16
9
3x2 + 2x
 1
3
est le quotient de la division de f(x) par x +
2
3
.
3 0 1 2 –2
2 2 6 2 12 2 26 2 56
3 6 13 28
coefficients du quotient
54
reste
zéro du
diviseur

108
Le quotient de la division de f(x) par 3
x + 2
3
est :
q x x ( ) = 3x + 2x 1
3 = x + 1
9
2
2
3
2
3
et r(x) =
16
9
.
Exercices
193. Déterminer le reste de la division de :
a) 3x4 – 5x3 + 2x – 6
par x – 2
d) 2x3 – 3x2 + 6x – 3
par x – 1
b) 2x3 – 5x2 + 6x – 3
par x +
3
e) 2x4 – 5x3 + 6x2 – 5x + 1
par 3x – 2
c) –4x3 – 3x2 + 7
par x – 1
194. Déterminer a pour que les divisions suivantes soient exactes.
a) ax2 – 3x3 + 4
par x – 3
d) 4 – 7x – 2x2 + ax4 – 3x5
par x + 4
b) 2x3 + 6x2 – ax – 1
par x + 3
e) x4 + ax3 – 4x + 12
par x – 3
c) 2x4 + ax3 – 2 + x + x2
par x –1
f) –1 + ax – 5x3 + x4
par 2x – 3
195. Déterminer a pour que les divisions suivantes aient pour reste les nombres indiqués.
a) 3x4 – 2x3 + 6x – a
par x – 2
R = 8
b) 2x3 – (3a + 1)x2 + (2a – 3)x – 3
par x + 3
R = –2
c) 2x3 + ax2 + 3x – 10
par x – 3
R = –4
d) –x4 + 3x2 – (5a + 1)x – 6
par x + 2
R = 3a – 2
e) 2x3 – (a + 1)x2 – 5x + 6
par x + 2
R = –4a – 4
f) 5x2 – (a – 3)x + 8
par x – 1
R = –a + 4
196. Déterminer le quotient et le reste des divisions suivantes ( Méthode de Horner ).
a) x4 + 6x3 – 5x2 + 3x + 2
par x – 3
e) x6 + 16
par x + 2
b) 4 – 3x + 9x2 + x3
par 1 + x
f) x3 – 5x2 + 10x – 7
par 2x + 1
c) x2 – x – 2x4 + 5x3 – 2
par 2 + x
g) a3 – 4a2b + 4ab2 – b3
par a – b
d) x5 – 243
par x – 3

109
VI.4. FACTORISATION
1. Définition
Factoriser un polynôme c’est l’écrire sous forme d’un produit de facteurs.
2. Méthodes de factorisation
a) Mise en évidence
En deuxième année nous avons vu qu’on met en évidence le facteur commun à tous les
termes d’un polynôme. Ce facteur commun est le p.g.c.d des termes du polynôme.
Exemples
 45a2b – 60a3b5 + 15ab = 15ab(3a – 4a2b4 + 1)
 (x + y) a + (x + y)b – (x + y)2 = (x + y) [a + b – (x + y)]
= (x + y) (a + b – x – y)
 (x – 5) (4a + b) + (5 – x) (2a + 5b) = (x – 5) (4a + b) – (x – 5) (2a + 5b)
= (x – 5) [(4a + b) – (2a + 5b)]
= (x – 5) (4a + b – 2a – 5b)
= (x – 5) (2a – 4b)
= 2 (x – 5) (a – 2b)
Remarque
Un groupement convenable peut faire apparaître un facteur commun à mettre en
évidence.
 b2 – 4b + bd – 4d = (b2 – 4b) + (bd – 4d)
= b(b – 4) + d (b – 4)
= (b – 4) (b + d)
b) Emploi des identités remarquables
Une identité est une égalité qui est vérifiée pour toutes les valeurs attribuées aux lettres
(variables) qu’elle renferme.
(x – y)2 = x2 – 2xy + y2 est une identité.
Si x = 2 et y = 3 , on a : (2 – 3)2 = 22 – 2  2  3 + 32
Si x = – 1 et y = 5 , on a : (–1 – 5)2 = (–1)2 – 2  (–1)  5 + 52
Les identités remarquables sont :
a2 – b2 = (a + b) (a – b)
a2  2ab + b2 = (a  b)2
a3  b3 = (a  b) (a2 ab + b2)
a3  3a2b + 3ab2  b3 = (a  b)3

110
Exemples
 9x2 – 16y4 = (3x + 4y2) (3x – 4y2)
 16 – 9 (8x – 1)2 = [4 + 3 (8x – 1)] [4 – 3 (8x – 1)]
= (4 + 24x – 3) (4 – 24x + 3)
= (24x + 1) (–24x + 7)
 a2x2 + 2axt + t2 = (ax + t)2
 9y2 + b2 – 6by = (3y – b)2
 (a + b)2 – 2(a + b)x + x2 = [(a + b) –x]2
= (a + b – x)2
 27a3 + 64 = (3a + 4) (9a2 – 12a + 16)
 (x + 2)3 – (3x – 1)3 = [(x + 2) – (3x – 1)][(x + 2)2 + (x + 2) (3x – 1) + (3x – 1)2]
= (x + 2 – 3x + 1) (x2 + 4x + 4 + 3x2 + 5x – 2 + 9x2 – 6x + 1)
= (–2x + 3) (13x2 + 3x + 3)
 8x3 – 36x2y + 54xy2 – 27y3 = (2x – 3y)3
m m m
3 2 3
+ 3
2 + 3 4+ 1 8 = m + 1 2
Remarques
– Avant l’emploi des identités remarquables, songer à la mise en évidence.
 8x6y5 – 18x4y7 = 2x4y5 (4x2 – 9y2) = 2x4y5 (2x + 3y)(2x – 3y)
– Toujours pousser la décomposition le plus loin possible.
 x4 – 16y8 = (x2 + 4y4) (x2 – 4y4) = (x2 + 4y4) (x + 2y2) (x – 2y2)
– Un groupement convenable est parfois nécessaire avant l’emploi des identités
remarquables.
 a2 + 2ab + b2 – c2 = (a2 + 2ab + b2) – c2
= (a + b)2 – c2
= (a + b + c) (a + b – c)
 x2 – y2 + 2yz – z2 = x2 – (y2 – 2yz + z2)
= x2 – (y – z)2
= [x + (y – z)][x – (y – z)]
= (x + y – z) (x – y + z).

111
Exercices
197. Décomposer en facteurs
a) 25x2  57a3x2
f) 132x + 360y  84
b) 75a2 x3  57a3 x2
g) 252x3  126x2 + 315x
c) 14x3 y  7x2 + 56x2 y2
h) 24a2b2c + 30b2c2d  18x2d2a  4abcd
d) 3p2 9p + 12
i) 44axn + 286a2 xn + 1  66a3 xn + 2
e) 36x2 yz – 54xy2 z + 48xyz2
j) xm + n ym – x2n ym + n – xn y2m
198. Décomposer en facteurs
a) x(a – b) + y(a – b)
c) (p – 2q) (p – 4q) + 3 (2q – p)
b) (2x – 1)(3x – 7) + (3x + 2)(–7 + 3x)
d) a(x – y) – b(y – x) – c(x – y)
e) 9ab2 (a – 1) – 12a2 b3 (a – 1)
g) 3 (2a – b) (4x – 3) – 6 (a + b) (3 – 4x)
f) 360x2 (2x – 1) + 396x (1 – 2x)
h) (x + y – z)(x + 2y + 3z) + (z – x – y)(x – y – 3z)
199. Décomposer en facteurs
a) (a + b)2 + (a + b) (a – b)
e) (2x – 1)3 – 5 (1 – 2x)2
b) (x + 2)3 – (3x – 4) (x + 2)2
f) (2x – 1) (x + 1) + 3 (1 – 2x) + (2x – 1)2
c) 3(x + 1)2 (x – 2) + 6(x – 3) (x + 1)2
g) x (a – b) (2x – 5) + 3y (a – b) (5 – 2x)
d) (a + b – c)2 – (a + b – c) (a – b – c)
h) 12 (3x – 1)2 (4x + 1) – 4 (1 – 3x)2
200. Décomposer en facteurs
a) ax – bx – ay + by
h) 36by + 45bd + 4y + 5d
b) x2 – 2x + xy – 2y
i) 7he – 77hz – de + 11dz
c) x3 + x2 + x + 1
j) a2 c – acx + acx2 – a2 cx
d) 3xy – 2ay – 3ax + 2y2
k) 18x3 + 6x2 b – 3x2 – bx
e) 2d2 x + 4dx2 y – 3dy – 6xy2
l) 12ax5 – 6ax3 – 4x5 + 2x3
f) 1 + 3x – 5a – 15ax
m) 36axy + 45acy – 4xy – 5cy
g) 28ac + 9rx + 21ar + 12cx
n) 16acxy – 40bx2 y – 6abc2 + 15b2 cx
201. Décomposer en facteurs
a) a2 – 9
f) 9 – 4a2 x4
k)
a2
4 9
d2
p) x2n – y4
b) 25x2 – 49
g) 9x2 y2 – 16a2b2
l) 1012 – 1
q) 16.10–6 – x4
c) x2 y2 – 16
h) x4 y6 – 225b2
m)
4
9
x2 – 1,21y4
r) 16x8 – 81a12
d) 64 – 121x2
i) 169x2 y2 – 81a4
n)
1
16 4
a 81
625b2
s)
25
121 4
72
98
b
e) a2 – 289b2
j) 144a6 – 225x6 y8
o) –0,25c2 + 0,36a2 b2
t) 441x2 – 10 000y2
202. Décomposer en facteurs
a) (a + t)2 – 4
c) (a – 2x)2 – (3x + t)2
b) 9x2 – (2x + 1)2
d) 4(3a – 2)2 – 9(2a – 3)2