11 Rationale getallen

281
HOOFDSTUK 11
Rationale getallen
TER INFO
De uitvinder van het decimale stelsel voor breuken
Simon Stevin werd in 1548 geboren in Brugge.
Hij schreef De Thiende, een boekje dat in 1585
gepubliceerd werd door Christoffel Plantijn.
Hierin introduceerde Simon Stevin een revolutionair
idee, namelijk het gebruik van decimale breuken.
Hierdoor werd het rekenen met breuken sterk
vereenvoudigd.
Een decimale breuk is een breuk met als noemer een macht van 10,
dus noemer 10, 100, 1 000, 10 000, …
Decimale breuken worden doorgaans niet als breuk geschreven, maar als een rij cijfers,
waarbij het gehele deel gescheiden wordt van het decimale deel door een decimaalteken.
In België en in de meeste andere Europese landen gebruiken we een komma.
In vele andere landen wordt een punt gebruikt.
7 15 2111
0,7 0,15 2,111
10 100 1000
= = =
In het dagelijks leven heb je vaak decimale getallen nodig bij het betalen in euro.
Je wordt je ook bewust van het talstelsel waarmee we werken.
Elk cijfer heeft in een getal immers zijn eigen specifieke waarde.
Wist je trouwens dat tiendelige getallen in China al gebruikt werden vanaf de 10de eeuw ?

282
Inhoudstafel
1
De rationale getallen
283
1.1
Inleiding
283
1.2
Begrippen
283
1.3
Schrijfwijze van een rationaal getal
284
2
Breuken
285
2.1
Gelijke breuken
285
2.2
Hoofdeigenschap van breuken
286
2.3
Breuken vereenvoudigen
287
2.4
Breuken gelijknamig maken
288
2.5
Toestandsteken bij breuken
289
3
Decimale getallen
290
4
Absolute waarde, tegengestelde en omgekeerde
291
4.1
Absolute waarde
291
4.2
Tegengestelde
291
4.3
Omgekeerde
292
5
Rationale getallen ordenen
293
5.1
Breuken ordenen
293
5.2
Decimale getallen ordenen
294
6
De getallenas
295
6.1
Breuken op een getallenas zetten
295
6.2
Decimale getallen op een getallenas zetten
296
7
Het geijkte vlak
297
7.1
Herhaling
297
7.2
Coördinaten met rationale getallen
298
8
Van decimale breuk naar decimaal getal en omgekeerd
299
8.1
Van decimale breuk naar decimaal getal
299
8.2
Van decimaal getal naar decimale breuk
300
9
Decimale benadering van een rationaal getal
301
9.1
Decimale benadering
301
9.2
Decimale getallen afronden
301
Differentiatie : Basis
303
Differentiatie : Extra
308
Samenvatting
310
Studiewijzer
314

283
1. De rationale getallen
1.1 Inleiding
In de vorige hoofdstukken werkte je met gehele getallen. In de onderstaande voorbeelden merk je
dat je vaak gebruik moet maken van een ander soort getallen.
Ik meet 1,76 meter.
1,76
Je lichaamstemperatuur is 36,8 graden Celsius.
36,8
Het recept van een cake bestaat voor een vierde uit bloem.
1
4
Een lijnstuk meet 3,5 cm.
3,5
Je verdeelt een pizza in drie stukken. Je neemt één stuk.
1
3
In de lagere school noemde je die getallen ‘breuken’ en ‘kommagetallen’.
Nu zul je ze de rationale getallen noemen. De verzameling van de rationale getallen stel je voor met
het symbool Q. Ze bestaat uit breuken en decimale getallen (kommagetallen).
1.2 Begrippen
DEFINITIE
Een rationaal getal is het quotiënt van twee gehele getallen, waarvan de deler niet nul is.
NOTATIE
Q De verzameling van de rationale getallen
………… De verzameling van de rationale getallen zonder nul
………… De verzameling van de positieve rationale getallen
………… De verzameling van de negatieve rationale getallen
………… De verzameling van de positieve rationale getallen zonder nul
………… De verzameling van de negatieve rationale getallen zonder nul

284
1.3 Schrijfwijze van een rationaal getal
▪ Elk rationaal getal kun je noteren in een breukvorm.
Voorbeelden :
2 1 6
,,
3 4 7
−
−
▪ Elk rationaal getal kun je noteren als een decimaal getal.
Voorbeelden : 0,7 ; −1,5 ; 0,2727
▪ Elk geheel getal kun je schrijven als een rationaal getal.
Voorbeelden :
2 4 6
21 2 3
= = =
3 6 9
31 2 3
− − −
− = = =
AFSPRAAK
De noemer 1 wordt niet geschreven in de uitkomst van oefeningen.
1
Markeer de getallen waarvan de best passende naam een rationaal getal is.
2,5 +3 0
2
5
−
−14,79
8
4
2
Plaats N, Z en Q op de juiste plaats. Noteer daarna de getallen in het venndiagram.
2
3
22
3
−125 0
28
7
−
2
10
10
24
6
−3,6
Wat is het verband tussen de drie getallenverzamelingen ? …………………………………………

285
2. Breuken
2.1 Gelijke breuken
Voorbeeld :
Kleur
1
3
van de strook.
Kleur
2
6
van de strook.
Kleur
3
9
van de strook.
Je ziet dat je in de drie stroken telkens een even groot stuk hebt gekleurd.
De breuken zijn dus ………………………………
1
3
= ……… = ………
Er bestaat nog een andere manier om te onderzoeken of twee breuken gelijk zijn.
uiterste termen
23
69
=
middelste termen
Vul de producten aan : 2 · 9 = ………… 6 · 3 = …………
Dus : product van de uiterste termen = product van de middelste termen
DEFINITIE
Twee breuken zijn gelijk als het product van de uiterste termen gelijk is aan het product
van de middelste termen.
Met symbolen :
ac ...................................
bd
=
3
Vul de gelijkheden aan.
a
3 .........
5 10
=
b
63
8 .........
=
c
15 30
......... 6
−−
=
d
......... 8
52
=
e
......... 4
24 8
=
f
11 .........
10 100
−=
−
g
26 13
......... 10
=
h
......... 1
91
=