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TRAVAUX DIRIGES DE LOGIQUE ET STRUCTURE DISCRETES
EXERCICE 1 : Répondre par Vrai ou Faux en justifiant votre réponse
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1. La formule
1
F p q r q p q r F si p q F et r F
.
2. La formule
2
,
F p q r s V avec p F et s V
.
3. Si la formule
P
est non contingente alors la formule
P Q
est une tautologie.
4. On a
P Q P
qui est une tautologie.
5. Si
A et B
sont des tautologies alors
A B
est une tautologie.
6. La formule
P Q P
est cohérente.
7. Toute formule logique est une conséquence logique de
.
8. Toute formule valide est contingente mais la réciproque n’est pas vraie.
EXERCICE 2 : Ajouter les parenthèses, déterminer l’arbre d’expression et la table de vérité pour les
formules ci-dessous :
A p q
B p q
C p q p q
D p q p r p r
E p q r
F p q r p
EXERCICE 3 :
1. Évaluer les formules suivantes en considérant uniquement les valeurs des variables données.
a.
,
q p r avec q F
b.
,
p q r s avec s V
c.
,
p q r q p q r avec p q V et r F
.
2. En utilisant une méthode purement syntaxique, vérifiez si :
a.
( )p q r
est équivalente à
( ( ))r p q
b.
( )p q p
est équivalente à q
EXERCICE 4 :
1°) Soit p désignant la proposition « l’enfant sait lire » et q désignant la proposition « l’enfant sait écrire
». Donner la traduction dans le langage courant des propositions suivantes :
(1) p q (2) p (q) (3) (q → p) (4) (p) (q) (5) (p) (q)
2°) Même question avec p la proposition « l’homme est mortel » et q désignant la proposition « l’homme
est éternel » et les propositions :
(1) (p q) (2) ( p) (q) (3)(p q) (4) p (q) (5) (p → (q))
EXERCICE 5 : Soit p la proposition « X estime Y » et q la proposition « Y estime X ». Ecrire sous forme
symbolique les phrases suivantes :
1. X estime Y mais Y ne lui rend pas son estime ;
2. X et Y s’estiment ;
3. X et Y se détestent ;
4. Y est estimé par X mais X est détesté par Y ;
5. X et Y ne se détestent ni l’un ni l’autre.
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EXERCICE 6 : Sachant que x, y sont vrais et z est faux, trouver les valeurs de vérité des propositions :
(1) (x (y z)) (y z) ; (2) (y → x) (x ↔ y) (z x). (3) (y ↔ x) (x ↔ y) (z → x).
EXERCICE 7 : Soient A et B deux variables propositionnelles désignant respectivement « il pleut »
et « il y a des nuages ». Donner, en Français, cinq phrases différentes ayant le même sens que la formule
.A B
EXERCICE 8 : Trois personnes, Ali (A), Belaid (B) et Chérif (C) exercent chacune une profession
différente : pharmacien, dentiste ou chirurgien.
Sachant que les implications suivantes sont vraies, retrouver leur profession :
( A chirurgien B dentiste ),
( A dentiste B pharmacien ),
( B non chirurgien C dentiste ).
EXERCICE 9 : Montrer par réfutation que :
|
p q q p
, |
p q q r p r
|
p r q r r p q
, , |p q r p s s r
EXERCICE 10 : Modéliser les situations données ci-dessous avec la logique propositionnelle i.e., proposer
des propositions et des formules, construire des modèles des formules, et évaluer les requêtes :
a. Si la température et la pression sont constantes, alors il ne pleut pas. La température était constante.
Est-il vrai que s’il ne pleuvait pas, alors la pression était constante ?
b. Jean mange quand il a faim. Jean porte son t-shirt bleu quand il mange. En ce moment, Jean n’a
pas faim. Quelle est la couleur de son t-shirt ?
EXERCICE 11 :
Trois pirates (Anonymous, Breakforcing et CutSystem) informatiques biens connus sont soupçonnés d’avoir
piraté les serveurs d’une entreprise de la place. Ces trois pirates ont été attrapés par la police et ont faits les dépositions
suivantes :
Anonymous : " Breakforcing est coupable et CutSystem est innocent"
Breakforcing : "si Anonymous est coupable, CutSystem aussi"
CutSystem : "Je suis innocent mais au moins un des deux autres est coupable."
On sollicite votre expertise pour déterminer le responsable de cet acte. Pour cela répondre aux questions
suivantes :
1. Transcrire les trois déclarations dans le calcul propositionnel en posant comme valeurs des variables
propositionnelles a, b, c : {Anonymous est coupable (a), Breakforcing est coupable (b) et CutSystem est coupable
(c)}.
2. Construire la table de vérité des trois déclarations.
3. À l'aide de la table de vérité, répondre aux questions suivantes :
a. Si CutSystem a menti, que dire de la déclaration d’Anonymous et de celle de Breakforcing ?
b. En supposant que tous ont dit la vérité, qui est innocent, qui est coupable ?
c. En supposant que tous sont coupables, qui a menti ? qui a dit la vérité ?
d. En supposant que tout innocent dit la vérité et que tout coupable ment, qui est coupable ? qui est
innocent ?
e. Que répondre à la question : " En supposant que les innocents ont menti et que les coupables ont dit
la vérité, qui est innocent et qui est coupable ?
4. On suppose que la culpabilité d’Anonymous fut prouvé et lors de son jugement, le procureur dit : "s'il a piraté
ces serveurs, il avait forcément un complice". L'avocat d’Anonymous répond : "c'est complètement
faux !". Pourquoi est-ce la pire chose que pouvait dire l'avocat à propos de son client ?
Ce qui est dit sans preuve peut être nié sans preuve …alors soyez logique
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