Programmation linéaire : Introduction et Modélisation

© Reproduction interdite - 3 -
Chapitre I : Programmation linéaire
Introduction
La programmation linéaire est sans aucun doute la technique la plus
connue de la recherche opérationnelle. C’est aussi un des outils les plus
puissants et les plus utilisés en applications industrielles parmi les
technologies d’aide à la décision pour ne citer que :
- Planification de la production
- Répartition des ressources
- Choix de produits à fabriquer
- Planification d’investissements
- Etablissement de routes et d’horaires
- Affectation et gestion de personnel
- Gestion de projet
- …
La renommée de la programmation linéaire remonte en effet aux
années cinquante quand G.B. Dantzig découvrit l’algorithme du simplexe,
principal outil de résolution des programmes linéaires.
L’importance de la programmation linéaire est liée aux facteurs
suivants :
- De nombreux problèmes de la vie économique peuvent se formuler
comme des programmes linéaires. Ceci est d’autant plus vrai que
depuis la deuxième guerre mondiale, les organisations
économiques et sociales en grandissant en taille ont également
grandi en complexité quant à leur fonctionnement.
- Une autre raison est le développement des outils de calcul. Il ne
fait nul doute que le développement de la recherche opérationnelle
et en particulier de la programmation linéaire est lié au
développement des ordinateurs qui grâce à leurs fantastiques
moyens de calcul permettent de résoudre des problèmes qu’il
n’était pas possible d’étudier avant l’apparition de ces outils de
calcul. De fait, résoudre un programme linéaire est un problème de
mathématiques appliquées et l’algorithme du simplexe n’est pas

© Reproduction interdite - 4 -
autre chose qu’une méthode de calcul destinée à être programmée
et utilisée sur un ordinateur. Notons d’ailleurs que le terme
programmation linéaire ne provient pas de l’expression
« programmation » telle qu’elle est conçue par les informaticiens.
Les applications de la programmation linéaire sont nombreuses et
relèvent de milieux divers comme la médecine, les transports, la finance,
le marketing, la gestion des ressources humaines ainsi que l’agriculture.
Vu la taille ainsi que la complexité des problèmes rencontrés dans ces
diverses applications, le développement de tous les modèles de
programmation linéaire pour approcher ces problèmes peut se faire
selon trois étapes :
(1) Une étape de formulation
(2) Une étape de résolution
(3) Une étape d’interprétation
(1) La formulation consiste à traduire le problème sous forme
d’expressions mathématiques (équations, inéquations)
(2) L’étape de résolution consiste à résoudre le modèle
mathématique en évaluant les variables de décision.
(3) Interprétation et analyse de sensibilité : en supposant que le
modèle mathématique est correct et qu’une solution a été trouvée
grâce aux outils (logiciels) comment utiliser ces résultats, telle est
la question qui se pose au décideur ou manager.
Propriétés des programmes linéaires
Tous les modèles de programmation linéaire possèdent les propriétés
suivantes :
1- Tous les problèmes ont un objectif qui consiste à maximiser ou
minimiser une quantité, souvent un profit ou un coût. On parle de
fonction économique ou fonction objectif pour un programme
linéaire.
2- Les programmes linéaires font état d’un certain nombre de
restrictions ou contraintes qui traduisent des ressources limitées ou

© Reproduction interdite - 5 -
autres. Des contraintes de non-négativité font partie de l’ensemble
des contraintes pour traduire l’impossibilité de valeurs négatives
pour les variables du modèle. Produire des quantités négatives de
meubles ou d’ordinateurs n’a pas de sens.
3- La fonction objectif et les contraintes d’un programme linéaire
doivent être formulées en termes d’expressions mathématiques
linéaires (équations, inéquations linéaires)
Exemple
Expressions linéaires :
24,177 yxyx
…
Expressions non linéaires :
12)ln(,2²,103²5²2  yxyxyxyyx
…
Hypothèses de base d’un programme linéaire
1- On se place dans le cadre déterministe, c’est à dire toutes les
données numériques sont utilisées dans le programme linéaire
(fonction objectif et contraintes) sont supposées connues et
constantes durant la période d’étude.
2- On suppose le principe de proportionnalité dans la fonction
économique et les contraintes. Exemple : si la production d’une
unité d’un produit nécessite 3 heures d’une ressource, alors
produire 10 unités de ce produit utiliseront 30 heures de cette
ressource.
3- La troisième hypothèse est l’additivité. Si l’objectif est de
maximiser un profit de 8 DH/unité du premier produit + 3DH/unité
du second produit, et si une unité de chaque produit est fabriquée,
les profits unitaires 8 DH et 3 DH doivent être additionnées pour
produire un profit de 8 + 3 = 11 DH.
4- L’hypothèse de divisibilité qui exprime que les variables du
problème sont réelles et pas forcément des entiers naturels. Si les
variables sont sujettes à la contrainte d’indivisibilité, on est alors en
cas de programmation en nombres entiers (PNE) qui sort du cadre
du présent ouvrage.

© Reproduction interdite - 6 -
La production des biens est l’une des applications courantes de la
programmation linéaire (Product mix problem).
Dans la plupart des firmes manufacturières, deux ou plusieurs
produits sont fabriqués utilisant des ressources limitées comme le
personnel, les machines, la matière première, etc.
Le profit que cherche à maximiser la firme dépend du profit unitaire
réalisé sur chaque produit (profit unitaire = prix de vente unitaire –
coût variable unitaire).
Pour traiter de la formulation de ces problèmes ainsi que leur
résolution nous étudierons le cas simple de problèmes à deux
variables avant de discuter le cas général à plusieurs variables.
I- Programmes linéaires à deux variables
1-Problème de maximisation
a) Un problème de production : cas de la menuiserie
MOBILIA
La menuiserie MOBILIA fabrique des tables et des chaises bon marché.
Le procédé de fabrication est le même pour ces deux produits dans le
sens où chacun nécessite un certain nombre d’heures de travail dans
l’atelier « Menuiserie » et un certain nombre d’heures dans l’atelier
« peinture ».
Le tableau suivant résume les données du problème :
Atelier
« menuiserie »
Atelier
« peinture »
Table
4
2
Chaise
3
1
Capacité horaire
totale
240
100
Table 1.1
Le commercial confirme la vente de toute la production de tables.
Cependant et pour cause d’un stock de chaises, il recommande de na
pas dépasser la fabrication de 60 nouvelles chaises.

© Reproduction interdite - 7 -
Chaque table vendue laisse une marge de 7 DH et chaque chaise vendue
une marge de 5 DH.
Le problème que se pose le gestionnaire de la fabrique MOBILIA est de
déterminer un plan de production de chaises et de tables optimal.
Pour ce faire, une modélisation sous forme d’un programme linéaire
s’impose.
b) Modélisation
La construction d’un modèle est, en général, une opération en trois
étapes :
1- Le choix des variables de décision
2- L’expression de l’objectif en fonction de ces variables
3- L’expression des contraintes en fonction de ces variables
1. Variables de décision
Définition 1 : on appelle variable de décision toute quantité utile à la
résolution du problème dont le modèle détermine la valeur.
Par exemple, dans le cas de MOBILIA, ce sont les quantités de tables et
de chaises à produire.
Généralement, elles sont notées par des lettres de la fin de l’alphabet (x,
y, z, etc.) ou autres symboles évocateurs. Par exemple, on peut noter T
le nombre de tables à fabriquer et C le nombre de chaises à fabriquer.
Ce sont les notations qu’on va retenir pour notre exemple.
2. Fonction objectif
Définition 2 : l’objectif est la quantité que l’on veut maximiser ou
minimiser.
Ici, il s’agit de la somme des contributions de chacune des productions
au profit net de la fabrique. Elle s’exprime simplement par :