Resumé de cours : régimes transitoires électriques
S. Benlhajlahsen - PCSI1
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I Circuit linéaire du second ordre
•Circuit (R,L,C)série
On considère le montage de la figure 1. On ferme l’interrupteur à t=0 et on suppose que le condensateur est
initialement déchargé.
KR L
C
EuC
i(t)
FIGURE 1 – Circuit (R,L,C) pour la charge du condensateur.
Capacité exigible : Analyser, sur des relevés expérimentaux, l’évolution de la forme des régimes transitoires en
fonction des paramètres caractéristiques.
0t
uC
E
FIGURE 2 – Régime pseusopério-
dique d’une charge de condensa-
teur.
0t
uC
E
FIGURE 3 – Régime apériodique
d’une charge de condensateur.
0t
uC
E
FIGURE 4 – Régime critique d’une
charge de condensateur.
Capacité exigible : Prévoir l’évolution du système à partir de considérations énergétiques.
Réponse :
— Un bilan de puissance pour la charge donne :
∀t>0, d
dt1
2Li2+1
2Cu2
C=E·i−R·i2
L’énergie électromagnétique dans le circuit sera tendanciellement augmentée par le générateur et sera dimi-
nuée par la résistance.
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— Un bilan de puissance pour la décharge donne :
∀t>0, d
dt1
2Li2+1
2Cu2
C=−R·i2⩽0
Autrement dit, la résistance va produire une diminution irrémédiable de des énergies électromagnétiques
stockées dans le condensateur et la bobine.
Capacité exigible : Écrire sous forme canonique l’équation différentielle afin d’identifier la pulsation propre et le
facteur de qualité.
Réponse : Dans le cas d’un régime transitoire d’ordre deux, l’équation différentielle peut se mettre sous la forme
canonique :
d2u
dt2+ω0
Q
du
dt+ω2
0u(t) = second membre (cours de physique)
d2u
dt2+2ξω0du
dt+ω2
0u(t) = second membre (cours de SII)
où :
—Qle facteur de qualité (facteur sans dimension);
—ω0est la pulsation propre : c’est la pulsation obtenue lorsqu’il n’y a pas d’amortissement a;
—ξ=1
2Qle facteur d’amortissement.
a. C’est donc la pulsation de l’oscillateur harmonique associé.
Capacité exigible : Décrire la nature de la réponse en fonction de la valeur du facteur de qualité.
Réponse : On distinguera :
— le régime pseudo-périodique obtenu pour Q>1
2: c’est un régime de faible amortissement où le « retour à
l’équilibre » se fait via une oscillation amortie;
— le régime apériodique obtenu pour Q<1
2: c’est un régime d’amortissement élévé;
— le régime critique qui est la situation où Q=1
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Capacité exigible : Déterminer la réponse détaillée dans le cas d’un régime libre ou d’un système soumis à un
échelon en recherchant les racines du polynôme caractéristique.
Capacité exigible : Déterminer un ordre de grandeur de la durée du régime transitoire selon la valeur du facteur
de qualité.
Réponse : Le temps caractéristique du régime transitoire est τ=1
ξω0=2Q
ω0. En effet, ces différents régimes s’at-
ténue comme exp −t
τ=exp −ω0·t
2Q.
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