Méthodes Numériques en Mécanique Energétique - Cours Master

Royaume du Maroc
Université Mohamed Ier
Faculté des Sciences
Oujda
Cours
Master Mécanique Energétique
de
la Faculté des Sciences d’Oujda
Département
:
Physique
Module : Méthodes numériques en
Mécanique et Energétique
Matériel
An n ée u n i v e r s i t ai r e
2 0 18 /20 1 9
Pr. Dris BAHIA
( 2 0
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Table des matières
Introduction générale
Chapitre 1………………………………………………………………………..3
I.1 Introduction……………………………………………………………4
I.2 Techniques de discrétisation…………………………………………..8
I.2.1 Base de la méthode des didifférences finis…………………...8
I.2.2 Discrétisation de l’espace…………………………………….8
I.2.3 Schémas avec un nombre arbitraire de points……………….11
I.2.4 Dérivées supérieures………………………………………...12
I.2.5 Formulation des schémas implicites………………………...14
I.2.6 Différences finis dans un espace multidimensionnelle……...17
I.2.7 Maillage irrégulier…………………………………………..19
I.2.8 Discrétisation dans le temps…………………………………20
Chapitre 2………………………………………………………………………25
2.1 Introduction……………………………………………………...…………26
2.2 Analyse des schémas numériques………………………………………….27
2.2.1 Consistance du schéma numérique……….………………………..28
2.2.2 Stabilité du schéma numérique…………………………………….29
2.2.3 Etude de la stabilité………………………………………………..30
A- Schéma explicite d’Euler décentré en arrière dans l’espace…………31
B- Schéma implicite d’Euler centré……………………………………..34
C- Application des schémas centrés……………………………………..34
1. Euler centré………………………………………………………….34
2. Schéma de Lax Friedrichs…………………………………………...35
3. Schéma de Lax Wendroff……………………………………………37
4. Schéma de Leap-Frog
2.3 Cas de deux dimensions 2D………………………………………………..40

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Introduction générale
De nombreux comportements physiques sont régis par des équations aux
dérivées partielles (EDP). Ces équations étant insolvables analytiquement, la
simulation numérique permet de les résoudre numériquement : cela permet
d’avoir une solution approchée d’un problème physique.
La simulation informatique ou numérique désigne l'exécution
d'un programme informatique sur un ordinateur ou réseau en vue de simuler
un phénomène physique réel et complexe.
Les simulations numériques scientifiques reposent sur la mise en œuvre
de modèles théoriques utilisant souvent la technique des différences, éléments
ou volumes finis. Elles sont donc une adaptation aux moyens numériques de la
modélisation mathématique, et servent à étudier le fonctionnement et les
propriétés d’un système modélisé ainsi qu’à en prédire son évolution.
La simulation numérique est utilisée pour :
 prévoir l'état final d'un système connaissant son état initial (problème
direct);
 déterminer les paramètres d'un système connaissant un ou plusieurs
couples (état initial - état final) (problème inverse);
 préparer des opérateurs à des conditions plus ou moins rares dans leur
interaction avec un système complexe (simulation d'entraînement).
Le but du modèle est de représenter la réalité en éliminant les détails
difficiles à reproduire (ou n’étant pas important pour la simulation ou la
résolution du problème) et en se concentrant sur les seuls éléments jugés
importants pour l’étude.

2
Le modèle ne constitue pas la réalité, il la représente seulement. C’est
pour cela que les modèles n’ont pas forcément à être le plus précis possible ou à
intégrer tous les phénomènes possibles et imaginables.
Les modèles permettent ainsi l’étude de la réalité dans un cadre défini
dans lequel ils la représenteront bien et dans lequel nous aurons des données qui
les valideront.
Grâce à cette validation, les modèles seront réputés fiables, ils
permettront de reproduire des phénomènes réels, dans ce cadre défini je le
répète, et ils pourront être utilisés pour la simulation et la prédiction.
L’intérêt des modèles est donc, dès lors qu’ils sont corrects, de pouvoir
permettre différentes choses :
 La simulation des phénomènes afin de prévoir comment ils vont se
comporter dans le futur ou soumis à des contraintes spécifiques
 La simulation d’interaction entre différents phénomènes où il est
nécessaire de savoir comment ceux-ci interagissent
 Valider que les modèles représentent bien ce qu’ils sont censés
modéliser.
Ces simulations ont permis de reproduire et de comprendre un grand
nombre de phénomènes en laboratoire.
Après la phase de conception avec un outil de CAO, l’étape préalable à
la production d’un produit est la phase de test. Le meilleur outil pour tester vos
conceptions est un logiciel de simulation numérique.

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Chapitre 1
Méthode des Différences Finis
Techniques de discrétisation