Dérivée
Dérivée en un point
Soit Iun intervalle ouvert de Ret f:I→Rune fonction. Soit x0∈I.
Définition :
fest dérivable en x0si le taux d’accroissement f(x)−f(x0)
x−x0a une limite finie
lorsque xtend vers x0. La limite s’appelle alors le nombre dérivé de fen x0et
est noté f′(x0). Ainsi
f′(x0) = lim
x→x0
f(x)−f(x0)
x−x0
Pr. Z. Hamidi (UMI) FSM 19 novembre 2024 4 / 54
Dérivée
Remarque :
En posant x=x0+h,lim
h→0
f(x0+h)−f(x0)
h=f′(x0).
Voici deux autres formulations de la dérivabilité de fen x0.
Proposition :
fest dérivable en x0si et seulement si lim
h→0
f(x0+h)−f(x0)
hexiste et est
finie.
fest dérivable en x0si et seulement s’il existe ℓ∈R(qui sera f′(x0)) et
une fonction ε:I→Rtelle que ε(x)−−−→
x→x0
0 avec
f(x) = f(x0)+(x−x0)ℓ+ (x−x0)ε(x).
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