Triangle rectangle et cercle : cours de maths

TRIANGLE RECTANGLE et CERCLE
6°Avon 2010Bernard Izard
Chapitre
05-FI
I –LES 2 PROPRIETES
II –THEOREME DE LA MEDIANE
III- DISTANCE
IV –TANGENTE

I-LES 2 PROPRIETES

Propriété 1
Si un triangle est inscrit dans un cercle avec l’un de
ses côtés comme diamètre, alors ce triangle est rectangle.
Un des côtés
est un
diamètre du
cercle
B
A
C
O
Et ce côté est l’hypoténuse

B
A
C
O
Démo
//
A,B,C sur le cercle
[BC] diamètre
O centre du cercle
Hypothèses
Soit A’ le symétrique de A par
rapport à O. A’ est sur le cercle
car OA=OA’= Diamètre
A’
O est donc le milieu de [AA’]
De plus O milieu du diamètre [BC]
Le quadrilatère ABA’C est un Rectangle car
ses 2 diagonales [AA’] et [BC] ont la même
longueur et le même milieu O
AA’ = BC = Diamètre
BÂC est donc un angle droit et ABC triangle rectangle
//

Propriété 2 (La réciproque)
Si un triangle est rectangle, alors le centre de son
cercle circonscrit est le milieu de l’hypoténuse.
Nous admettons cette réciproque
Si un triangle est rectangle alors il s’inscrit dans un
cercle ayant l’hypoténuse comme diamètre
Variante