ds1logique application 230907 114509

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MPSI Devoir surveille n01 Durée :2h
Exercice 1
1) Dire si les assertions suivantes sont vraies ou fausses (justifier) et dans le cas
d’une assertion fausse, on écrira sa négation :
a) x ] - 1; 1];y ] -1; 1]; y < x.
b) x , y ; (x < y) (z N; x < z < y). Et si on remplace par ?
c) T   
 
2) Pour toutes propositions P et Q, on note P Q =  
.
On définit ainsi un nouveau connecteur logique "   .
Dans ce qui suit, P; Q et R désignent des propositions.
a) Montrer que P Q = Q P et que
= P P
b) Le connecteur est-il associatif càd (P Q) R=P (Q R)
c) Exprimer uniquement à l’aide du connecteur les propositions suivantes :
i) P Q ii) P Q iii) P Q iv) (P (P Q)) Q
Exercice 2
Soit
E
fF
Montrer que :
f
est bijective
(
()
( ), ( )
A f A
EF
A P E f C C  =
)
Problème : Soient A et B deux ensembles non vide quelconques.
(A,P(B)) désigne lensemble des applications de A vers P(B).
(B,P(A)) désigne l’ensemble des applications de B vers P(A).
On considère une application
définie de la manière suivante :
,AB
: (A,P(B))
(B,P(A))
f
,AB
(
f
)=g
tq g est définie par : b B , g(b)= { aA / b
f
(a)}
1) Dans cette question seulement A={1,2,3} ,B={4,5,6,7}
Préciser la fonction g=
(
f
) pour
f
(A,P(B)) tq :
f
(1)={4,5} ,
f
(2)={5},
f
(3)=
Retour au cas général :
2) Explicitez
,AB
,BA
et
,BA
3) En déduire que
,AB
est une bijection.
4) Dans toute la suite, on suppose que A =  où n  
Si f est une application de A dans P(B), on pose
1
E
= f (1),
2
E
= f (2), … ,
n
E
= f (n) et g =
,AB
(
f
)
a) Pour i A, désignons par
i
l’ensemble des parties de A contenant i.
Montrer que
i
E
=
1
g
(
i
)
b)Montrer que :
B=
1
n
i
iE
=
si et seulement si l’ensemble vide n’est pas un élément de g (B).
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